Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs Logique – Licence Informatique
Cours 5Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique
Interprétation d’un langage logique avec variablesformules de IF(X ,F ,P) constituées de symboles de variable (X ), deconstante et de fonction (F) et de prédicat (P)
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 2/14
Interprétation d’un langage logique avec variablesformules de IF(X ,F ,P) constituées de symboles de variable (X ), deconstante et de fonction (F) et de prédicat (P)
interprétation des symboles de F et de PI structure M
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Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 2/14
Interprétation d’un langage logique avec variablesformules de IF(X ,F ,P) constituées de symboles de variable (X ), deconstante et de fonction (F) et de prédicat (P)
interprétation des symboles de F et de PI structure M
interprétation des symboles de variable de X
I les variables dénotent des objets de l’univers du discoursI valuation v : X → |M|
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Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 2/14
Interprétation d’un langage logique avec variablesformules de IF(X ,F ,P) constituées de symboles de variable (X ), deconstante et de fonction (F) et de prédicat (P)
interprétation des symboles de F et de PI structure M
interprétation des symboles de variable de X
I les variables dénotent des objets de l’univers du discoursI valuation v : X → |M|
associe une valeur v(x) du domaine d’interprétation |M| à chaquesymbole de variable x
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Interprétation d’un langage logique avec variablesformules de IF(X ,F ,P) constituées de symboles de variable (X ), deconstante et de fonction (F) et de prédicat (P)
interprétation des symboles de F et de PI structure M
interprétation des symboles de variable de X
I les variables dénotent des objets de l’univers du discoursI valuation v : X → |M|
changer la valeur associée à une variable w ∈ X par v (changer lavaleur d’une fonction en un point)
valuation v [w ← m] : X → |M|
définie par v [w ← m](x) ={
m si x = wv(x) sinon
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Interprétation d’un langage logique avec variablesformules de IF(X ,F ,P) constituées de symboles de variable (X ), deconstante et de fonction (F) et de prédicat (P)
interprétation des symboles de F et de PI structure M
interprétation des symboles de variable de X
I les variables dénotent des objets de l’univers du discoursI valuation v : X → |M|
changer la valeur associée à une variable w ∈ X par v (changer lavaleur d’une fonction en un point)
valuation v [w ← m] : X → |M|
définie par v [w ← m](x) ={
m si x = wv(x) sinon
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Interprétation d’un langage logique avec variablesformules de IF(X ,F ,P) constituées de symboles de variable (X ), deconstante et de fonction (F) et de prédicat (P)
interprétation des symboles de F et de PI structure M
interprétation des symboles de variable de X
I les variables dénotent des objets de l’univers du discoursI valuation v : X → |M|
changer la valeur associée à une variable w ∈ X par v (changer lavaleur d’une fonction en un point)
valuation v [w ← m] : X → |M|
définie par v [w ← m](x) ={
m si x = wv(x) sinon
exemple : si v(x) = 3 et v(y) = 5, alors v [x ← 8](x) = 8 etv [x ← 8](y) = 5
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Interprétation des formules logiques avec variablesinterprétation des termes avec variables de T (X ,F)
I [t ]Mv ∈ |M| : valeur du terme t
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Interprétation des formules logiques avec variablesinterprétation des termes avec variables de T (X ,F)
I [t ]Mv ∈ |M| : valeur du terme t
interprétation des formules avec variables et quantificateurs deIF(X ,F ,P)
I interprétation des formules atomiques : IM,v : L(X ,F ,P)→ IB
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Interprétation des formules logiques avec variablesinterprétation des termes avec variables de T (X ,F)
I [t ]Mv ∈ |M| : valeur du terme t
interprétation des formules avec variables et quantificateurs deIF(X ,F ,P)
I interprétation des formules atomiques : IM,v : L(X ,F ,P)→ IBI interprétation des connecteurs logiques : opérateurs booléens
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Interprétation des formules logiques avec variablesinterprétation des termes avec variables de T (X ,F)
I [t ]Mv ∈ |M| : valeur du terme t
interprétation des formules avec variables et quantificateurs deIF(X ,F ,P)
I interprétation des formules atomiques : IM,v : L(X ,F ,P)→ IBI interprétation des connecteurs logiques : opérateurs booléensI interprétation des quantificateurs
F parcours du domaine d’interprétation |M|
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Interprétation des formules logiques avec variablesinterprétation des termes avec variables de T (X ,F)
I [t ]Mv ∈ |M| : valeur du terme t
interprétation des formules avec variables et quantificateurs deIF(X ,F ,P)
I interprétation des formules atomiques : IM,v : L(X ,F ,P)→ IBI interprétation des connecteurs logiques : opérateurs booléensI interprétation des quantificateurs
F parcours du domaine d’interprétation |M|I [F ]Mv ∈ IB : interprétation de la formule logique F
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X
I exemple : v(x) = 3 et v(y) = 5
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X
I exemple : v(x) = 3 et v(y) = 5
structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de F
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X
I exemple : v(x) = 3 et v(y) = 5
structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de FI chaque constante k ∈ F0 est interprétée par l’entier relatif
kM = k ∈ ZF exemple : la valeur de l’expression 8 est l’entier relatif 8
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X
I exemple : v(x) = 3 et v(y) = 5
structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de FI chaque constante k ∈ F0 est interprétée par l’entier relatif
kM = k ∈ ZF exemple : la valeur de l’expression 8 est l’entier relatif 8
I interprétation des symboles de fonction de F2F ⊕ : T (X ,F)× T (X ,F)→ T (X ,F) : opérateur binaire de
construction d’expressions arithmétiquesF interprété par l’opérateur binaire ⊕M : Z× Z→ Z d’addition de deux
entiers relatifs (⊕M = +)F ,⊗ ...
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X
I exemple : v(x) = 3 et v(y) = 5
structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de Finterprétation des termes
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ X
⊕M ([t1]Mv , [t2]Mv ) = [t1]Mv + [t2]Mv si t = ⊕(t1, t2)· · ·
exemple : [⊕((8, x),(y ,1))]Mv
= ⊕M([(8, x)]Mv , [(y ,1)]Mv ) = [(8, x)]Mv + [(y ,1)]Mv= M([8]Mv , [x ]Mv ) +M([y ]Mv , [1]Mv ) = (8− v(x)) + (v(y)− 1)= (8− 3) + (5− 1) = 9
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X
I exemple : v(x) = 3 et v(y) = 5
structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de Finterprétation des termes
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ XkM = k si t = k ∈ F0
⊕M ([t1]Mv , [t2]Mv ) = [t1]Mv + [t2]Mv si t = ⊕(t1, t2)· · ·
exemple : [⊕((8, x),(y ,1))]Mv
= ⊕M([(8, x)]Mv , [(y ,1)]Mv ) = [(8, x)]Mv + [(y ,1)]Mv= M([8]Mv , [x ]Mv ) +M([y ]Mv , [1]Mv ) = (8− v(x)) + (v(y)− 1)= (8− 3) + (5− 1) = 9
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X
I exemple : v(x) = 3 et v(y) = 5
structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de Finterprétation des termes
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ XkM = k si t = k ∈ F0⊕M ([t1]Mv , [t2]Mv ) = [t1]Mv + [t2]Mv si t = ⊕(t1, t2)· · ·
exemple : [⊕((8, x),(y ,1))]Mv
= ⊕M([(8, x)]Mv , [(y ,1)]Mv ) = [(8, x)]Mv + [(y ,1)]Mv= M([8]Mv , [x ]Mv ) +M([y ]Mv , [1]Mv ) = (8− v(x)) + (v(y)− 1)= (8− 3) + (5− 1) = 9
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X
I exemple : v(x) = 3 et v(y) = 5
structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de Finterprétation des termes
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ XkM = k si t = k ∈ F0⊕M ([t1]Mv , [t2]Mv ) = [t1]Mv + [t2]Mv si t = ⊕(t1, t2)· · ·
exemple : [⊕((8, x),(y ,1))]Mv
= ⊕M([(8, x)]Mv , [(y ,1)]Mv ) = [(8, x)]Mv + [(y ,1)]Mv= M([8]Mv , [x ]Mv ) +M([y ]Mv , [1]Mv ) = (8− v(x)) + (v(y)− 1)= (8− 3) + (5− 1) = 9
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X
I exemple : v(x) = 3 et v(y) = 5
structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de Finterprétation des termes
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ XkM = k si t = k ∈ F0⊕M ([t1]Mv , [t2]Mv ) = [t1]Mv + [t2]Mv si t = ⊕(t1, t2)· · ·
exemple : [⊕((8, x),(y ,1))]Mv= ⊕M([(8, x)]Mv , [(y ,1)]Mv ) = [(8, x)]Mv + [(y ,1)]Mv
= M([8]Mv , [x ]Mv ) +M([y ]Mv , [1]Mv ) = (8− v(x)) + (v(y)− 1)= (8− 3) + (5− 1) = 9
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Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X
I exemple : v(x) = 3 et v(y) = 5
structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de Finterprétation des termes
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ XkM = k si t = k ∈ F0⊕M ([t1]Mv , [t2]Mv ) = [t1]Mv + [t2]Mv si t = ⊕(t1, t2)· · ·
exemple : [⊕((8, x),(y ,1))]Mv= ⊕M([(8, x)]Mv , [(y ,1)]Mv ) = [(8, x)]Mv + [(y ,1)]Mv= M([8]Mv , [x ]Mv ) +M([y ]Mv , [1]Mv ) = (8− v(x)) + (v(y)− 1)= (8− 3) + (5− 1) = 9
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Interprétation des termes de T (X ,F)structure M permettant d’interpréter les symboles de F
I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)
I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonction
n-aire f M : |M|n → |M|
valuation v permettant d’interpréter les symboles de X
interprétation des termes de T (X ,F)
[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ X
kM si t = k ∈ F0f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)
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Interprétation des termes de T (X ,F)structure M permettant d’interpréter les symboles de F
I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)
I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonction
n-aire f M : |M|n → |M|
valuation v permettant d’interpréter les symboles de X
interprétation des termes de T (X ,F)
[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ X
kM si t = k ∈ F0f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)
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Interprétation des termes de T (X ,F)structure M permettant d’interpréter les symboles de F
I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|
I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonctionn-aire f M : |M|n → |M|
valuation v permettant d’interpréter les symboles de X
interprétation des termes de T (X ,F)
[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ X
kM si t = k ∈ F0f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)
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Interprétation des termes de T (X ,F)structure M permettant d’interpréter les symboles de F
I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonction
n-aire f M : |M|n → |M|
valuation v permettant d’interpréter les symboles de X
interprétation des termes de T (X ,F)
[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ X
kM si t = k ∈ F0f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)
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Interprétation des termes de T (X ,F)structure M permettant d’interpréter les symboles de F
I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonction
n-aire f M : |M|n → |M|
valuation v permettant d’interpréter les symboles de X
interprétation des termes de T (X ,F)
[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ X
kM si t = k ∈ F0f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)
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Interprétation des termes de T (X ,F)structure M permettant d’interpréter les symboles de F
I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonction
n-aire f M : |M|n → |M|
valuation v permettant d’interpréter les symboles de X
interprétation des termes de T (X ,F)
[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ X
kM si t = k ∈ F0f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)
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Interprétation des termes de T (X ,F)structure M permettant d’interpréter les symboles de F
I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonction
n-aire f M : |M|n → |M|
valuation v permettant d’interpréter les symboles de X
interprétation des termes de T (X ,F)
[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ X
kM si t = k ∈ F0f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)
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Interprétation des termes de T (X ,F)structure M permettant d’interpréter les symboles de F
I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonction
n-aire f M : |M|n → |M|
valuation v permettant d’interpréter les symboles de X
interprétation des termes de T (X ,F)
[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ XkM si t = k ∈ F0
f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)
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Interprétation des termes de T (X ,F)structure M permettant d’interpréter les symboles de F
I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonction
n-aire f M : |M|n → |M|
valuation v permettant d’interpréter les symboles de X
interprétation des termes de T (X ,F)
[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|
[t ]Mv =
v(x) si t = x ∈ XkM si t = k ∈ F0f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)
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Interprétation des formules formules atomiques
interprétation de F et de P : structure MI domaine d’interprétation |M|I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque f ∈ Fn une fonction n-aire f M : |M|n → |M|I associe à chaque symbole p ∈ P0 un booléen pM ∈ {0,1}I associe à chaque p ∈ Pn un ensemble de n-uplets pM ⊆ |M|n
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Interprétation des formules formules atomiques
interprétation de F et de P : structure MI domaine d’interprétation |M|I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque f ∈ Fn une fonction n-aire f M : |M|n → |M|I associe à chaque symbole p ∈ P0 un booléen pM ∈ {0,1}I associe à chaque p ∈ Pn un ensemble de n-uplets pM ⊆ |M|n
interprétation de X : valuation v : X → |M|
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Interprétation des formules formules atomiques
interprétation de F et de P : structure MI domaine d’interprétation |M|I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque f ∈ Fn une fonction n-aire f M : |M|n → |M|I associe à chaque symbole p ∈ P0 un booléen pM ∈ {0,1}I associe à chaque p ∈ Pn un ensemble de n-uplets pM ⊆ |M|n
interprétation de X : valuation v : X → |M|
interprétation des formules atomiques IM,v : L(X ,F ,P)→ IB
p ∈ P0 IM,v (p) = pM
p ∈ Pn(n > 0) IM,v (p(t1, · · · , tn)) =
{1 si
([t1]Mv , · · · , [tn]Mv
)∈ pM
0 sinon
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Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
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Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
formule ∀x p(x , f (x))I ∀x p(x , f (x)) est « vraie » ssi la formule p(x , f (x)) est vraie pour
toutes les valeurs possibles de x
I valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
formule ∀x p(x , f (x))I ∀x p(x , f (x)) est « vraie » ssi la formule p(x , f (x)) est vraie pour
toutes les valeurs possibles de x
I valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
formule ∀x p(x , f (x))I ∀x p(x , f (x)) est « vraie » ssi la formule p(x , f (x)) est vraie pour
toutes les valeurs possibles de xI valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
formule ∀x p(x , f (x))I ∀x p(x , f (x)) est « vraie » ssi la formule p(x , f (x)) est vraie pour
toutes les valeurs possibles de xI valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
formule ∀x p(x , f (x))I ∀x p(x , f (x)) est « vraie » ssi la formule p(x , f (x)) est vraie pour
toutes les valeurs possibles de xI valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
pour chaque m ∈ |M|, on a m ≤ |m|
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
formule ∀x p(f (x), x)I ∀x p(f (x), x) est « vraie » ssi la formule p(f (x), x) est vraie pour
toutes les valeurs possibles de x
I valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
formule ∀x p(f (x), x)I ∀x p(f (x), x) est « vraie » ssi la formule p(f (x), x) est vraie pour
toutes les valeurs possibles de x
I valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
formule ∀x p(f (x), x)I ∀x p(f (x), x) est « vraie » ssi la formule p(f (x), x) est vraie pour
toutes les valeurs possibles de xI valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
formule ∀x p(f (x), x)I ∀x p(f (x), x) est « vraie » ssi la formule p(f (x), x) est vraie pour
toutes les valeurs possibles de xI valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
lorsque m ∈ |M| est négatif, on a |m| 6≤ m
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
formule ∃x p(f (x), x)I ∃x p(f (x), x) est « vraie » ssi la formule p(f (x), x) est vraie pour au
moins une valeur possible de x
I valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
formule ∃x p(f (x), x)I ∃x p(f (x), x) est « vraie » ssi la formule p(f (x), x) est vraie pour au
moins une valeur possible de x
I valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
formule ∃x p(f (x), x)I ∃x p(f (x), x) est « vraie » ssi la formule p(f (x), x) est vraie pour au
moins une valeur possible de xI valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
formule ∃x p(f (x), x)I ∃x p(f (x), x) est « vraie » ssi la formule p(f (x), x) est vraie pour au
moins une valeur possible de xI valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
lorsque m ∈ |M| est positif, on a |m| ≤ m
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
formule ∃x q(f (x), x)I ∃x q(f (x), x) est « vraie » ssi la formule q(f (x), x) est vraie pour au
moins une valeur possible de x
I valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
formule ∃x q(f (x), x)I ∃x q(f (x), x) est « vraie » ssi la formule q(f (x), x) est vraie pour au
moins une valeur possible de x
I valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
formule ∃x q(f (x), x)I ∃x q(f (x), x) est « vraie » ssi la formule q(f (x), x) est vraie pour au
moins une valeur possible de xI valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des quantificateurs : exemples
langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}
f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}
[∀x p(x , f (x))]Mv =∏
m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]
= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←1] · [p(x , f (x))]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[∀x p(f (x), x)]Mv =∏
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←1] · [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 · 0 · 1 · 1 = 0
[∃x p(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]
= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←1] + [p(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 1 + 1 = 1
formule ∃x q(f (x), x)I ∃x q(f (x), x) est « vraie » ssi la formule q(f (x), x) est vraie pour au
moins une valeur possible de xI valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2
[∃x q(f (x), x)]Mv =∑
m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]
= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←1] + [q(f (x), x)]
Mv [x←2]
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
pour chaque m ∈ |M|, on a |m| 6< m
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 7/14
Interprétation des formules : exemple
∀x ∃y r(x , f (y))
structureM1
M2 M3 M4
domaineIN
Z IN IN
interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN
f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ IN
n 7→ n + 1
n 7→ n + 1 n 7→ n n 7→ n + 1
interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN
rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN
{(n1, n2) | n1 ≥ n2}
{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1
« faux » « vrai » « vrai » « vrai »(x = 0) (y = x − 2) (y = x) (y = x)
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 8/14
Interprétation des formules : exemple
∀x ∃y r(x , f (y))
structureM1
M2 M3 M4
domaineIN
Z IN IN
interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN
f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ IN
n 7→ n + 1
n 7→ n + 1 n 7→ n n 7→ n + 1
interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN
rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN
{(n1, n2) | n1 ≥ n2}
{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1
« faux » « vrai » « vrai » « vrai »(x = 0) (y = x − 2) (y = x) (y = x)
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 8/14
Interprétation des formules : exemple
∀x ∃y r(x , f (y))
structureM1
M2 M3 M4
domaineIN
Z IN IN
interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN
f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ IN
n 7→ n + 1
n 7→ n + 1 n 7→ n n 7→ n + 1
interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN
rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN
{(n1, n2) | n1 ≥ n2}
{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}
∀x ∃y x ≥ y + 1
∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1
« faux »
« vrai » « vrai » « vrai »
(x = 0)
(y = x − 2) (y = x) (y = x)
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 8/14
Interprétation des formules : exemple
∀x ∃y r(x , f (y))
structureM1 M2
M3 M4
domaineIN Z
IN IN
interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z
f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ IN
n 7→ n + 1 n 7→ n + 1
n 7→ n n 7→ n + 1
interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z
rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN
{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2}
{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}
∀x ∃y x ≥ y + 1
∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1
« faux »
« vrai » « vrai » « vrai »
(x = 0)
(y = x − 2) (y = x) (y = x)
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 8/14
Interprétation des formules : exemple
∀x ∃y r(x , f (y))
structureM1 M2
M3 M4
domaineIN Z
IN IN
interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z
f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ IN
n 7→ n + 1 n 7→ n + 1
n 7→ n n 7→ n + 1
interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z
rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN
{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2}
{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}
∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1
∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1
« faux » « vrai »
« vrai » « vrai »
(x = 0) (y = x − 2)
(y = x) (y = x)
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 8/14
Interprétation des formules : exemple
∀x ∃y r(x , f (y))
structureM1 M2 M3
M4
domaineIN Z IN
IN
interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN
f M4 : IN→ IN
n 7→ n + 1 n 7→ n + 1 n 7→ n
n 7→ n + 1
interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN
rM4 ⊆ IN× IN
{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2}
{(n1, n2) | n1 ≤ n2}
∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1
∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1
« faux » « vrai »
« vrai » « vrai »
(x = 0) (y = x − 2)
(y = x) (y = x)
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 8/14
Interprétation des formules : exemple
∀x ∃y r(x , f (y))
structureM1 M2 M3
M4
domaineIN Z IN
IN
interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN
f M4 : IN→ IN
n 7→ n + 1 n 7→ n + 1 n 7→ n
n 7→ n + 1
interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN
rM4 ⊆ IN× IN
{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2}
{(n1, n2) | n1 ≤ n2}
∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y
∀x ∃y x ≤ y + 1
« faux » « vrai » « vrai »
« vrai »
(x = 0) (y = x − 2) (y = x)
(y = x)
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 8/14
Interprétation des formules : exemple
∀x ∃y r(x , f (y))
structureM1 M2 M3 M4
domaineIN Z IN IN
interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ INn 7→ n + 1 n 7→ n + 1 n 7→ n n 7→ n + 1
interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN
{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y
∀x ∃y x ≤ y + 1
« faux » « vrai » « vrai »
« vrai »
(x = 0) (y = x − 2) (y = x)
(y = x)
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 8/14
Interprétation des formules : exemple
∀x ∃y r(x , f (y))
structureM1 M2 M3 M4
domaineIN Z IN IN
interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ INn 7→ n + 1 n 7→ n + 1 n 7→ n n 7→ n + 1
interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN
{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1
« faux » « vrai » « vrai » « vrai »(x = 0) (y = x − 2) (y = x) (y = x)
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 8/14
Interprétation des formules de IF(X ,F ,P)
interprétation [∀x F ]Mv de ∀x F
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 9/14
Interprétation des formules de IF(X ,F ,P)
interprétation [∀x F ]Mv de ∀x FI expression booléenne :
∏m∈|M|
[F ]Mv [x←m]
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 9/14
Interprétation des formules de IF(X ,F ,P)
interprétation [∀x F ]Mv de ∀x FI expression booléenne :
∏m∈|M|
[F ]Mv [x←m]
I s’évalue à 1 si et seulement si pour chaque valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 1
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 9/14
Interprétation des formules de IF(X ,F ,P)
interprétation [∀x F ]Mv de ∀x FI expression booléenne :
∏m∈|M|
[F ]Mv [x←m]
I s’évalue à 1 si et seulement si pour chaque valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 1
I s’évalue à 0 si et seulement si pour au moins une valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 0
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
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Interprétation des formules de IF(X ,F ,P)
interprétation [∀x F ]Mv de ∀x FI expression booléenne :
∏m∈|M|
[F ]Mv [x←m]
I s’évalue à 1 si et seulement si pour chaque valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 1
I s’évalue à 0 si et seulement si pour au moins une valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 0
interprétation [∃x F ]Mv de ∃x F
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Interprétation des formules de IF(X ,F ,P)
interprétation [∀x F ]Mv de ∀x FI expression booléenne :
∏m∈|M|
[F ]Mv [x←m]
I s’évalue à 1 si et seulement si pour chaque valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 1
I s’évalue à 0 si et seulement si pour au moins une valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 0
interprétation [∃x F ]Mv de ∃x FI expression booléenne :
∑m∈|M|
[F ]Mv [x←m]
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
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Interprétation des formules de IF(X ,F ,P)
interprétation [∀x F ]Mv de ∀x FI expression booléenne :
∏m∈|M|
[F ]Mv [x←m]
I s’évalue à 1 si et seulement si pour chaque valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 1
I s’évalue à 0 si et seulement si pour au moins une valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 0
interprétation [∃x F ]Mv de ∃x FI expression booléenne :
∑m∈|M|
[F ]Mv [x←m]
I s’évalue à 1 si et seulement si pour au moins une valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 1
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 9/14
Interprétation des formules de IF(X ,F ,P)
interprétation [∀x F ]Mv de ∀x FI expression booléenne :
∏m∈|M|
[F ]Mv [x←m]
I s’évalue à 1 si et seulement si pour chaque valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 1
I s’évalue à 0 si et seulement si pour au moins une valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 0
interprétation [∃x F ]Mv de ∃x FI expression booléenne :
∑m∈|M|
[F ]Mv [x←m]
I s’évalue à 1 si et seulement si pour au moins une valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 1
I s’évalue à 0 si et seulement si pour chaque valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 0
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Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 9/14
Interprétation des formules : [ ]Mv : IF(X ,F ,P)→ IB
[true]Mv = 1 [false]Mv = 0
[p(t1, · · · , tn)]Mv = IM,v (p(t1, · · · , tn)) ={
1 si([t1]Mv , · · · , [tn]Mv
)∈ pM
0 sinon[¬F ]Mv = [F ]Mv [F1 ∧ F2]Mv = [F1]Mv · [F2]Mv[F1 ∨ F2]Mv = [F1]Mv + [F2]Mv [F1 ⇒ F2]Mv = [F1]Mv + [F2]Mv
[∀x F ]Mv =∏
m∈|M|[F ]Mv [x←m]
=
{1 ssi [F ]Mv [x←m] = 1 pour chaque élément m ∈ |M|0 ssi [F ]Mv [x←m] = 0 pour au moins un élément m ∈ |M|
[∃x F ]Mv =∑
m∈|M|[F ]Mv [x←m]
=
{1 ssi [F ]Mv [x←m] = 1 pour au moins un élément m ∈ |M|0 ssi [F ]Mv [x←m] = 0 pour chaque élément m ∈ |M|
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 10/14
Interprétation des formules
la valuation v sert uniquement à déterminer la valeur des variableslibres de F lors du calcul de [F ]Mv
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 11/14
Interprétation des formules
la valuation v sert uniquement à déterminer la valeur des variableslibres de F lors du calcul de [F ]Mv
I exemple : ∀x p(x , y) (Free(∀x p(x , y)) = {y})
structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}pM ⊆ |M|2 pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2}valuation v telle que v(x) = −1 et v(y) = 2
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Interprétation des formules
la valuation v sert uniquement à déterminer la valeur des variableslibres de F lors du calcul de [F ]Mv
I exemple : ∀x p(x , y) (Free(∀x p(x , y)) = {y})
structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}pM ⊆ |M|2 pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2}valuation v telle que v(x) = −1 et v(y) = 2
[∀x p(x , y)]Mv =∏
m∈|M| [p(x , y)]Mv [x←m]
= [p(x , y)]Mv [x←−2] · [p(x , y)]Mv [x←−1] · [p(x , y)]
Mv [x←1] · [p(x , y)]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
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Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 11/14
Interprétation des formules
la valuation v sert uniquement à déterminer la valeur des variableslibres de F lors du calcul de [F ]Mv
I exemple : ∀x p(x , y) (Free(∀x p(x , y)) = {y})
structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}pM ⊆ |M|2 pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2}valuation v telle que v(x) = −1 et v(y) = 2
[∀x p(x , y)]Mv =∏
m∈|M| [p(x , y)]Mv [x←m]
= [p(x , y)]Mv [x←−2] · [p(x , y)]Mv [x←−1] · [p(x , y)]
Mv [x←1] · [p(x , y)]
Mv [x←2]
= 1 · 1 · 1 · 1 = 1
[p(x , y)]Mv [x←m] = 1
ssi([x ]Mv [x←m], [y ]
Mv [x←m]
)= (v [x ← m](x), v [x ← m](y)) = (m, v(y)) ∈ pM
ssi m ≤ v(y)
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Interprétation des formules
la valuation v sert uniquement à déterminer la valeur des variableslibres de F lors du calcul de [F ]Mv[F ]Mv ne dépend pas des valeurs associées par v aux variablesn’appartenant pas à Free(F )
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Interprétation des formules
la valuation v sert uniquement à déterminer la valeur des variableslibres de F lors du calcul de [F ]Mv[F ]Mv ne dépend pas des valeurs associées par v aux variablesn’appartenant pas à Free(F )
I si x 6∈ Free(F ), alors [F ]Mv = [F ]Mv [x←m] (pour tout m ∈ |M|)
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Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 11/14
Interprétation des formules
la valuation v sert uniquement à déterminer la valeur des variableslibres de F lors du calcul de [F ]Mv[F ]Mv ne dépend pas des valeurs associées par v aux variablesn’appartenant pas à Free(F )
I si x 6∈ Free(F ), alors [F ]Mv = [F ]Mv [x←m] (pour tout m ∈ |M|)
si F est une formule close, [F ]Mv ne dépend pas de v
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Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 11/14
Modèles – Formules validesune structure M satisfait une formule F ssi [F ′]Mv = 1 où F ′ est laclôture universelle de F (et v est une valuation quelconque).
I M est un modèle de F
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 12/14
Modèles – Formules validesune structure M satisfait une formule F ssi [F ′]Mv = 1 où F ′ est laclôture universelle de F (et v est une valuation quelconque).
I M est un modèle de F
une formule insatisfiable est une formule qui n’admet pas de modèle.
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
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Modèles – Formules validesune structure M satisfait une formule F ssi [F ′]Mv = 1 où F ′ est laclôture universelle de F (et v est une valuation quelconque).
I M est un modèle de F
une formule insatisfiable est une formule qui n’admet pas de modèle.
une formule F est valide ssi elle est satisfaite par toutes les structuresdu langage défini par F ∪ P.
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 12/14
Modèles – Formules validesune structure M satisfait une formule F ssi [F ′]Mv = 1 où F ′ est laclôture universelle de F (et v est une valuation quelconque).
I M est un modèle de F
une formule insatisfiable est une formule qui n’admet pas de modèle.
une formule F est valide ssi elle est satisfaite par toutes les structuresdu langage défini par F ∪ P.
I F est valide ssi ¬F est insatisfiable.
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 12/14
Modèles – Formules validesune structure M satisfait une formule F ssi [F ′]Mv = 1 où F ′ est laclôture universelle de F (et v est une valuation quelconque).
I M est un modèle de F
une formule insatisfiable est une formule qui n’admet pas de modèle.
une formule F est valide ssi elle est satisfaite par toutes les structuresdu langage défini par F ∪ P.
I impossible d’énumérer toutes les structures M : déterminer si F estvalide est un problème indécidable
F il n’existe pas d’algorithme qui détermine si F est valide
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 12/14
Conséquences – Formules équivalentes
F2 |= F1 : la formule F1 est une conséquence de la formule F2 ssi pourtoute structure M et toute valuation v , si [F2]Mv = 1, alors [F1]Mv = 1
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 13/14
Conséquences – Formules équivalentes
F2 |= F1 : la formule F1 est une conséquence de la formule F2 ssi pourtoute structure M et toute valuation v , si [F2]Mv = 1, alors [F1]Mv = 1
I {F1, · · · ,Fn} |= F : la formule F est une conséquence del’ensemble de formules {F1, · · · ,Fn} ssi pour toute structure M ettoute valuation v , si [F1 ∧ · · · ∧ Fn]Mv = 1, alors [F ]Mv = 1.
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Conséquences – Formules équivalentes
F2 |= F1 : la formule F1 est une conséquence de la formule F2 ssi pourtoute structure M et toute valuation v , si [F2]Mv = 1, alors [F1]Mv = 1
I {F1, · · · ,Fn} |= F : la formule F est une conséquence del’ensemble de formules {F1, · · · ,Fn} ssi pour toute structure M ettoute valuation v , si [F1 ∧ · · · ∧ Fn]Mv = 1, alors [F ]Mv = 1.
I F2 |= F1 ssi F2 ⇒ F1 est valide
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 13/14
Conséquences – Formules équivalentes
F2 |= F1 : la formule F1 est une conséquence de la formule F2 ssi pourtoute structure M et toute valuation v , si [F2]Mv = 1, alors [F1]Mv = 1
I {F1, · · · ,Fn} |= F : la formule F est une conséquence del’ensemble de formules {F1, · · · ,Fn} ssi pour toute structure M ettoute valuation v , si [F1 ∧ · · · ∧ Fn]Mv = 1, alors [F ]Mv = 1.
I F2 |= F1 ssi F2 ⇒ F1 est valideI {F1,F2, · · · ,Fn} |= F ssi (F1 ∧ F2 ∧ · · · ∧ Fn)⇒ F est valide
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
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Conséquences – Formules équivalentes
F2 |= F1 : la formule F1 est une conséquence de la formule F2 ssi pourtoute structure M et toute valuation v , si [F2]Mv = 1, alors [F1]Mv = 1
I {F1, · · · ,Fn} |= F : la formule F est une conséquence del’ensemble de formules {F1, · · · ,Fn} ssi pour toute structure M ettoute valuation v , si [F1 ∧ · · · ∧ Fn]Mv = 1, alors [F ]Mv = 1.
I F2 |= F1 ssi F2 ⇒ F1 est valideI {F1,F2, · · · ,Fn} |= F ssi (F1 ∧ F2 ∧ · · · ∧ Fn)⇒ F est valide
F1 |≡|F2 : les formules F1 et F2 sont équivalentes ssi pour toute structureM et toute valuation v , [F1]Mv = [F2]Mv
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
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Conséquences – Formules équivalentes
F2 |= F1 : la formule F1 est une conséquence de la formule F2 ssi pourtoute structure M et toute valuation v , si [F2]Mv = 1, alors [F1]Mv = 1
I {F1, · · · ,Fn} |= F : la formule F est une conséquence del’ensemble de formules {F1, · · · ,Fn} ssi pour toute structure M ettoute valuation v , si [F1 ∧ · · · ∧ Fn]Mv = 1, alors [F ]Mv = 1.
I F2 |= F1 ssi F2 ⇒ F1 est valideI {F1,F2, · · · ,Fn} |= F ssi (F1 ∧ F2 ∧ · · · ∧ Fn)⇒ F est valide
F1 |≡|F2 : les formules F1 et F2 sont équivalentes ssi pour toute structureM et toute valuation v , [F1]Mv = [F2]Mv
I |≡| est une relation d’équivalence (relation réflexive, symétrique ettransitive)
Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs
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Conséquences – Formules équivalentes
F2 |= F1 : la formule F1 est une conséquence de la formule F2 ssi pourtoute structure M et toute valuation v , si [F2]Mv = 1, alors [F1]Mv = 1
I {F1, · · · ,Fn} |= F : la formule F est une conséquence del’ensemble de formules {F1, · · · ,Fn} ssi pour toute structure M ettoute valuation v , si [F1 ∧ · · · ∧ Fn]Mv = 1, alors [F ]Mv = 1.
I F2 |= F1 ssi F2 ⇒ F1 est valideI {F1,F2, · · · ,Fn} |= F ssi (F1 ∧ F2 ∧ · · · ∧ Fn)⇒ F est valide
F1 |≡|F2 : les formules F1 et F2 sont équivalentes ssi pour toute structureM et toute valuation v , [F1]Mv = [F2]Mv
I |≡| est une relation d’équivalence (relation réflexive, symétrique ettransitive)
I F1 |≡|F2 ssi F2 |= F1 et F1 |= F2.
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Validité/Complétude de la Déduction NaturelleF ,F1, · · · ,Fn ∈ IF(X ,F ,P)
Validité : si F est prouvable à partir des hypothèses F1, · · · ,Fn, alors{F1, · · · ,Fn} |= F
Complétude : si {F1, · · · ,Fn} |= F alors F est prouvable à partir deshypothèses F1, · · · ,Fn
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