Cours M2 ASTR - module FRS - Commande Robuste Cours 3 - Stabilit ´ e robuste et th´ eor ` eme du petit-gain Stabilit ´ e robuste et th´ eor ` eme du petit-gain n Stabilit ´ e robuste - Sur la base du crit` ere de Nyqvist (syst ` emes SISO) − Σ + K l Plus le lieu de Nyquist de ⌃K est distant du point -1 plus on peut attendre de robustesse s Marge de gain : de combien augmenter/diminuer le gain de ⌃K sans couper -1 s Marge de phase : de combien augmenter/diminuer la phase de ⌃K sans couper -1 s Marge de module : rayon maximal du cercle autour de -1 qui ne coupe pas ⌃K s Marge de module : rayon des cercles en tout point de ⌃K qui ne coupent pas -1. Cours M2 UPS - Commande robuste 2 Dec 2014 - F´ ev 2015, Toulouse Stabilit ´ e robuste et th´ eor ` eme du petit-gain n Stabilit ´ e robuste - Marge de module SISO s Marge de module : rayon maximal du cercle autour de -1 qui ne coupe pas ⌃K r = min ! |1+ ⌃(j !)K(j !)| = 1 max ! |1+ ⌃(j !)K(j !)| -1 s Marge de module : rayon des cercles en tout point de ⌃K qui ne coupent pas -1. n Stabilit ´ e robuste - Marge de module MIMO s Marge de module : inverse de la norme H 1 de la fonction de sensibilit ´ e S = (1 + ⌃K) -1 r = min ! σ (1 + ⌃(j !)K(j !)) = 1 max ! σ(S(j !)) = ||S|| -1 1 s Marge de module : norme maximale des incertitudes additives sur ⌃K : ||Δ|| 1 r + Σ − K + Σ − K ∆ Cours M2 UPS - Commande robuste 3 Dec 2014 - F´ ev 2015, Toulouse Stabilit ´ e robuste et th´ eor ` eme du petit-gain n Stabilit ´ e robuste - Probl` eme de Lur’e Y q s φ 2 [ - k, -k ] gain TV,NL born´ e dans un secteur s ⌃ = T (j !) fonction de transfert l Crit` ere du cercle : s Pour une valeur k 2 [ - k, -k ] la boucle ferm´ ee est stable s Le trac ´ e de Nichols ne coupe pas le cercle de diam` etre [ -1/k , -1/ k ] −1/k −1/k 2 1 Cours M2 UPS - Commande robuste 4 Dec 2014 - F´ ev 2015, Toulouse
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Cours M2 ASTR - module FRS - Commande Robuste
Cours 3 - Stabilite robuste et theoreme du petit-gain
Stabilite robuste et theoreme du petit-gain
n Stabilite robuste - Sur la base du critere de Nyqvist (systemes SISO)
− Σ+ K
l Plus le lieu de Nyquist de ⌃K est distant du point �1 plus on peut attendre de robustesse
s Marge de gain : de combien augmenter/diminuer le gain de ⌃K sans couper �1
s Marge de phase : de combien augmenter/diminuer la phase de ⌃K sans couper �1
s Marge de module : rayon maximal du cercle autour de �1 qui ne coupe pas ⌃K
s Marge de module : rayon des cercles en tout point de ⌃K qui ne coupent pas �1.
Cours M2 UPS - Commande robuste 2 Dec 2014 - Fev 2015, Toulouse
Stabilite robuste et theoreme du petit-gain
n Stabilite robuste - Marge de module SISO
s Marge de module : rayon maximal du cercle autour de �1 qui ne coupe pas ⌃K
r = min
!|1 + ⌃(j!)K(j!)| = 1
max! |1 + ⌃(j!)K(j!)|�1
s Marge de module : rayon des cercles en tout point de ⌃K qui ne coupent pas �1.
n Stabilite robuste - Marge de module MIMO
s Marge de module : inverse de la norme H1 de la fonction de sensibilite S = (1+⌃K)
�1
r = min
!�(1 + ⌃(j!)K(j!)) =
1
max! �(S(j!))= ||S||�1
1
s Marge de module : norme maximale des incertitudes additives sur ⌃K : ||�||1 r
+Σ− K
+Σ− K
∆
Cours M2 UPS - Commande robuste 3 Dec 2014 - Fev 2015, Toulouse
Stabilite robuste et theoreme du petit-gain
n Stabilite robuste - Probleme de Lur’eY
q
s � 2 [ �k, �k ] gain TV,NL borne dans un secteur
s ⌃ = T (j!) fonction de transfert
l Critere du cercle :
s Pour une valeur k 2 [ �k, �k ] la boucle fermee est stable
s Le trace de Nichols ne coupe pas le cercle de diametre [ �1/k , �1/k ]
−1/k−1/k
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Cours M2 UPS - Commande robuste 4 Dec 2014 - Fev 2015, Toulouse
Stabilite robuste et theoreme du petit-gain
n Stabilite robuste - Theoreme du petit gain - [Zhou et al.(1996)Zhou, Doyle, and Glover]
⌃ est stable et ||⌃||1 < µ
si et seulement si
la boucle fermee � ? ⌃ est stable pour toute incertitude causale stable telle que ||�||1 1
µ
Cours M2 UPS - Commande robuste 5 Dec 2014 - Fev 2015, Toulouse
Stabilite robuste et theoreme du petit-gain
l Preuve suffisance :
s Pour tout ⌧ 2 [0 1] on a ⌧k�k1k⌃k1 < 1
On en deduit k⌃[⌧�]k1 < 1 8⌧ 2 [0 1] 8||�||1 1
µ
C’est a dire �(⌃(j!)[⌧�(j!)]) < 1 8⌧ 2 [0 1] 8||�||1 1