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Notion de dérivée Intégration Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration Clément Rau Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Test d’hyp Clément Rau Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration
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Sep 13, 2018

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Notion de dérivéeIntégration

Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse:dérivation-intégration

Clément RauLaboratoire de Mathématiques de ToulouseUniversité Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan

Module: Test d’hyp

Clément Rau Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration

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Notion de dérivéeIntégration

Introduction

Motivations :Etudier comportement d’une fonction.Applications, objectifs à long terme :

étude de fonctions issues de problèmes "économiques"probas continues (fonction de densité d’une loi )

Clément Rau Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration

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Notion de dérivéeIntégration

Introduction

Motivations :Etudier comportement d’une fonction.Applications, objectifs à long terme :

étude de fonctions issues de problèmes "économiques"probas continues (fonction de densité d’une loi )

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Notion de dérivéeIntégration

Introduction

Motivations :Etudier comportement d’une fonction.Applications, objectifs à long terme :

étude de fonctions issues de problèmes "économiques"probas continues (fonction de densité d’une loi )

Clément Rau Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration

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Notion de dérivéeIntégration

Introduction

Motivations :Etudier comportement d’une fonction.Applications, objectifs à long terme :

étude de fonctions issues de problèmes "économiques"probas continues (fonction de densité d’une loi )

Clément Rau Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration

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Notion de dérivéeIntégration

Introduction

Motivations :Etudier comportement d’une fonction.Applications, objectifs à long terme :

étude de fonctions issues de problèmes "économiques"probas continues (fonction de densité d’une loi )

Clément Rau Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration

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Notion de dérivéeIntégration

1 Notion de dérivéeConstruction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

2 IntégrationNotion de primitiveIntégrales

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Notion de dérivée

Soit f une fonction de ra;bs Ñ R, on cherche un procédé pourétudier le comportement (variation) de fÑ On va fabriquer un outil, une nouvelle fonction, que l’onnotera f 1, qui nous donnera des informations sur la fonctioninitiale f .

f ↝ f 1

(i) Comprendre l’interprétation, le "sens physique" de lafonction f 1.

(ii) Connaître la "technique" de fabrication de f 1, à partir de f .

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Notion de dérivée

Soit f une fonction de ra;bs Ñ R, on cherche un procédé pourétudier le comportement (variation) de fÑ On va fabriquer un outil, une nouvelle fonction, que l’onnotera f 1, qui nous donnera des informations sur la fonctioninitiale f .

f ↝ f 1

(i) Comprendre l’interprétation, le "sens physique" de lafonction f 1.

(ii) Connaître la "technique" de fabrication de f 1, à partir de f .

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Notion de dérivée

Soit f une fonction de ra;bs Ñ R, on cherche un procédé pourétudier le comportement (variation) de fÑ On va fabriquer un outil, une nouvelle fonction, que l’onnotera f 1, qui nous donnera des informations sur la fonctioninitiale f .

f ↝ f 1

(i) Comprendre l’interprétation, le "sens physique" de lafonction f 1.

(ii) Connaître la "technique" de fabrication de f 1, à partir de f .

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Notion de dérivée

Soit f une fonction de ra;bs Ñ R, on cherche un procédé pourétudier le comportement (variation) de fÑ On va fabriquer un outil, une nouvelle fonction, que l’onnotera f 1, qui nous donnera des informations sur la fonctioninitiale f .

f ↝ f 1

(i) Comprendre l’interprétation, le "sens physique" de lafonction f 1.

(ii) Connaître la "technique" de fabrication de f 1, à partir de f .

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Rappels sur les équations de droite

Une droite D non paralléle à l’axe des ordonnées à uneéquation de la forme

y “mx ` p

m s’appelle le coefficient directeur ou pente. Si A et B sontdeux de D, alors

m “yB ´ yA

xB ´ xA.

p s’appelle l’ordonnée à l’origine

Interprétation de ces deux nombres.Droite paralléle à l’axe des ordonnées, équation x “ c.Pente infinie.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Rappels sur les équations de droite

Une droite D non paralléle à l’axe des ordonnées à uneéquation de la forme

y “mx ` p

m s’appelle le coefficient directeur ou pente. Si A et B sontdeux de D, alors

m “yB ´ yA

xB ´ xA.

p s’appelle l’ordonnée à l’origine

Interprétation de ces deux nombres.Droite paralléle à l’axe des ordonnées, équation x “ c.Pente infinie.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Rappels sur les équations de droite

Une droite D non paralléle à l’axe des ordonnées à uneéquation de la forme

y “mx ` p

m s’appelle le coefficient directeur ou pente. Si A et B sontdeux de D, alors

m “yB ´ yA

xB ´ xA.

p s’appelle l’ordonnée à l’origine

Interprétation de ces deux nombres.Droite paralléle à l’axe des ordonnées, équation x “ c.Pente infinie.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Rappels sur les équations de droite

Une droite D non paralléle à l’axe des ordonnées à uneéquation de la forme

y “mx ` p

m s’appelle le coefficient directeur ou pente. Si A et B sontdeux de D, alors

m “yB ´ yA

xB ´ xA.

p s’appelle l’ordonnée à l’origine

Interprétation de ces deux nombres.Droite paralléle à l’axe des ordonnées, équation x “ c.Pente infinie.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Rappels sur les équations de droite

Une droite D non paralléle à l’axe des ordonnées à uneéquation de la forme

y “mx ` p

m s’appelle le coefficient directeur ou pente. Si A et B sontdeux de D, alors

m “yB ´ yA

xB ´ xA.

p s’appelle l’ordonnée à l’origine

Interprétation de ces deux nombres.Droite paralléle à l’axe des ordonnées, équation x “ c.Pente infinie.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Rappels sur les équations de droite

Une droite D non paralléle à l’axe des ordonnées à uneéquation de la forme

y “mx ` p

m s’appelle le coefficient directeur ou pente. Si A et B sontdeux de D, alors

m “yB ´ yA

xB ´ xA.

p s’appelle l’ordonnée à l’origine

Interprétation de ces deux nombres.Droite paralléle à l’axe des ordonnées, équation x “ c.Pente infinie.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

idée de base

Soit f ∶ ra;bs Ñ R, et soit x0 Psa;br, on veut étudier f auvoisinage de x0.Ñ On va "approximer" f au voisinage de x0, par des cordes.

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

idée de base

Soit f ∶ ra;bs Ñ R, et soit x0 Psa;br, on veut étudier f auvoisinage de x0.Ñ On va "approximer" f au voisinage de x0, par des cordes.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Vers la tangente

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Vers la tangente

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Vers la tangente

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Vers la tangente

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Vers la tangente

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Vers la tangente

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Vers la tangente

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Pente d’une corde

Coeff directeur d’une corde “f px0 ` hq ´ f px0q

h(aussi appelé "taux de variation")Parfois cette expression admet une limite quand h tend vers 0.

Définition :On dit que f est dérivable en x0, si

limhÑ0

f px0 ` hq ´ f px0q

hexiste.

Dans ce cas, on note f 1px0q la valeur de cette limite (nombredérivée en x0).

f 1px0q est donc le coeff directeur de la tangente en x0.On comprend alors le lien entre le signe de f 1px0q et lavariation de f au voisinage de x0.

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Pente d’une corde

Coeff directeur d’une corde “f px0 ` hq ´ f px0q

h(aussi appelé "taux de variation")Parfois cette expression admet une limite quand h tend vers 0.

Définition :On dit que f est dérivable en x0, si

limhÑ0

f px0 ` hq ´ f px0q

hexiste.

Dans ce cas, on note f 1px0q la valeur de cette limite (nombredérivée en x0).

f 1px0q est donc le coeff directeur de la tangente en x0.On comprend alors le lien entre le signe de f 1px0q et lavariation de f au voisinage de x0.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Pente d’une corde

Coeff directeur d’une corde “f px0 ` hq ´ f px0q

h(aussi appelé "taux de variation")Parfois cette expression admet une limite quand h tend vers 0.

Définition :On dit que f est dérivable en x0, si

limhÑ0

f px0 ` hq ´ f px0q

hexiste.

Dans ce cas, on note f 1px0q la valeur de cette limite (nombredérivée en x0).

f 1px0q est donc le coeff directeur de la tangente en x0.On comprend alors le lien entre le signe de f 1px0q et lavariation de f au voisinage de x0.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Pente d’une corde

Coeff directeur d’une corde “f px0 ` hq ´ f px0q

h(aussi appelé "taux de variation")Parfois cette expression admet une limite quand h tend vers 0.

Définition :On dit que f est dérivable en x0, si

limhÑ0

f px0 ` hq ´ f px0q

hexiste.

Dans ce cas, on note f 1px0q la valeur de cette limite (nombredérivée en x0).

f 1px0q est donc le coeff directeur de la tangente en x0.On comprend alors le lien entre le signe de f 1px0q et lavariation de f au voisinage de x0.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Remarque

Il existe des fonctions pour lesquelles, la limite précédenten’existe pas. On dit qu’elles ne sont pas dérivables en x0.Exemples :

f pxq “ |x | en 0.f pxq “

?x en 0.

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Remarque

Il existe des fonctions pour lesquelles, la limite précédenten’existe pas. On dit qu’elles ne sont pas dérivables en x0.Exemples :

f pxq “ |x | en 0.f pxq “

?x en 0.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Remarque

Il existe des fonctions pour lesquelles, la limite précédenten’existe pas. On dit qu’elles ne sont pas dérivables en x0.Exemples :

f pxq “ |x | en 0.f pxq “

?x en 0.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Sens physique du nombre f 1px0q.

Donne une indication sur la vitesse avec laquelle f pxq varieà coté de x0.Exemple : Soit une voiture repérée par un point At àl’instant t , qui se déplace sur l’axe pOxq. Soit,

f ptq “ OAt p distance entre 0 et Atq.

Que vaut f 1 ?

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Sens physique du nombre f 1px0q.

Donne une indication sur la vitesse avec laquelle f pxq varieà coté de x0.Exemple : Soit une voiture repérée par un point At àl’instant t , qui se déplace sur l’axe pOxq. Soit,

f ptq “ OAt p distance entre 0 et Atq.

Que vaut f 1 ?

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Sens physique du nombre f 1px0q.

Donne une indication sur la vitesse avec laquelle f pxq varieà coté de x0.Exemple : Soit une voiture repérée par un point At àl’instant t , qui se déplace sur l’axe pOxq. Soit,

f ptq “ OAt p distance entre 0 et Atq.

Que vaut f 1 ?

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Sens physique du nombre f 1px0q.

Donne une indication sur la vitesse avec laquelle f pxq varieà coté de x0.Exemple : Soit une voiture repérée par un point At àl’instant t , qui se déplace sur l’axe pOxq. Soit,

f ptq “ OAt p distance entre 0 et Atq.

Que vaut f 1 ?

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Sens physique du nombre f 1px0q.

Donne une indication sur la vitesse avec laquelle f pxq varieà coté de x0.Exemple : Soit une voiture repérée par un point At àl’instant t , qui se déplace sur l’axe pOxq. Soit,

f ptq “ OAt p distance entre 0 et Atq.

Que vaut f 1 ?

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Sens physique du nombre f 1px0q.

Donne une indication sur la vitesse avec laquelle f pxq varieà coté de x0.Exemple : Soit une voiture repérée par un point At àl’instant t , qui se déplace sur l’axe pOxq. Soit,

f ptq “ OAt p distance entre 0 et Atq.

Que vaut f 1 ?

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Dérivées des fonctions usuelles

f pxq f 1pxq Domaine de dérivabilitéc (constante) 0 R

x 1 Rx2 2x R

xn, n P N‹ nxn´1 R?

x 12?

x R‹`1x ´ 1

x2 R‹

xα, α P R αxα´1 R‹`ex ex R

lnp|x |q 1x R‹

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Règles de calculs

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, etλ P R. On a :

pu ` vq1 “ u1 ` v 1 pλuq1 “ λu1

puvq1 “ u1v ` uv 1 puv q1 “ u1v´uv 1

v2

p 1u q1 “ ´ u1

u2 p?

uq1 “ u12?

u

peuq1 “ u1eu´

lnp|u|q¯1

“ u1u

Plus généralement, pu ˝ vq1 “ v 1 ˆ u1pvq(u ne doit pas s’annuler lorsque elle apparaît en dénominateur.)

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Règles de calculs

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, etλ P R. On a :

pu ` vq1 “ u1 ` v 1 pλuq1 “ λu1

puvq1 “ u1v ` uv 1 puv q1 “ u1v´uv 1

v2

p 1u q1 “ ´ u1

u2 p?

uq1 “ u12?

u

peuq1 “ u1eu´

lnp|u|q¯1

“ u1u

Plus généralement, pu ˝ vq1 “ v 1 ˆ u1pvq(u ne doit pas s’annuler lorsque elle apparaît en dénominateur.)

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Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Règles de calculs

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, etλ P R. On a :

pu ` vq1 “ u1 ` v 1 pλuq1 “ λu1

puvq1 “ u1v ` uv 1 puv q1 “ u1v´uv 1

v2

p 1u q1 “ ´ u1

u2 p?

uq1 “ u12?

u

peuq1 “ u1eu´

lnp|u|q¯1

“ u1u

Plus généralement, pu ˝ vq1 “ v 1 ˆ u1pvq(u ne doit pas s’annuler lorsque elle apparaît en dénominateur.)

Clément Rau Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Règles de calculs

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, etλ P R. On a :

pu ` vq1 “ u1 ` v 1 pλuq1 “ λu1

puvq1 “ u1v ` uv 1 puv q1 “ u1v´uv 1

v2

p 1u q1 “ ´ u1

u2 p?

uq1 “ u12?

u

peuq1 “ u1eu´

lnp|u|q¯1

“ u1u

Plus généralement, pu ˝ vq1 “ v 1 ˆ u1pvq(u ne doit pas s’annuler lorsque elle apparaît en dénominateur.)

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Exemples

Dériver :

f1pxq “ 3x2´ 5x ` 7, f2pxq “ e´4x`1,

f3pxq “3x ` 1x ´ 1

, f4pxq “ lnpx2 ` 5x ` 1q.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Dérivées partielles, notations

Parfois, on aura à étudier des fonctions qui dépendent deplusieurs variables, par exemple f px ,yqSi f est une fonction numérique de plusieurs variables, lafonction dérivée partielle de f par rapport à l’une d’elless’obtient en dérivant l’expression de f par rapport à cettedernière et en considérant les autres comme des constantes.

Notations : BfBx désignera la dérivée de f par rapport à x . De

même, BfBy , désignera era la dérivée de f par rapport à y .

Exemple : Soit f px ,yq “ x2y ´ 3y ` 5x ` 1. On a :

BfBx“ 2xy ` 5 et

BfBy“ x2

´ 3.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Dérivées partielles, notations

Parfois, on aura à étudier des fonctions qui dépendent deplusieurs variables, par exemple f px ,yqSi f est une fonction numérique de plusieurs variables, lafonction dérivée partielle de f par rapport à l’une d’elless’obtient en dérivant l’expression de f par rapport à cettedernière et en considérant les autres comme des constantes.

Notations : BfBx désignera la dérivée de f par rapport à x . De

même, BfBy , désignera era la dérivée de f par rapport à y .

Exemple : Soit f px ,yq “ x2y ´ 3y ` 5x ` 1. On a :

BfBx“ 2xy ` 5 et

BfBy“ x2

´ 3.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Dérivées partielles, notations

Parfois, on aura à étudier des fonctions qui dépendent deplusieurs variables, par exemple f px ,yqSi f est une fonction numérique de plusieurs variables, lafonction dérivée partielle de f par rapport à l’une d’elless’obtient en dérivant l’expression de f par rapport à cettedernière et en considérant les autres comme des constantes.

Notations : BfBx désignera la dérivée de f par rapport à x . De

même, BfBy , désignera era la dérivée de f par rapport à y .

Exemple : Soit f px ,yq “ x2y ´ 3y ` 5x ` 1. On a :

BfBx“ 2xy ` 5 et

BfBy“ x2

´ 3.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Dérivées partielles, notations

Parfois, on aura à étudier des fonctions qui dépendent deplusieurs variables, par exemple f px ,yqSi f est une fonction numérique de plusieurs variables, lafonction dérivée partielle de f par rapport à l’une d’elless’obtient en dérivant l’expression de f par rapport à cettedernière et en considérant les autres comme des constantes.

Notations : BfBx désignera la dérivée de f par rapport à x . De

même, BfBy , désignera era la dérivée de f par rapport à y .

Exemple : Soit f px ,yq “ x2y ´ 3y ` 5x ` 1. On a :

BfBx“ 2xy ` 5 et

BfBy“ x2

´ 3.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Dérivées partielles, notations

Parfois, on aura à étudier des fonctions qui dépendent deplusieurs variables, par exemple f px ,yqSi f est une fonction numérique de plusieurs variables, lafonction dérivée partielle de f par rapport à l’une d’elless’obtient en dérivant l’expression de f par rapport à cettedernière et en considérant les autres comme des constantes.

Notations : BfBx désignera la dérivée de f par rapport à x . De

même, BfBy , désignera era la dérivée de f par rapport à y .

Exemple : Soit f px ,yq “ x2y ´ 3y ` 5x ` 1. On a :

BfBx“ 2xy ` 5 et

BfBy“ x2

´ 3.

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Notion de dérivéeIntégration

Construction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

Dérivées partielles, notations

Parfois, on aura à étudier des fonctions qui dépendent deplusieurs variables, par exemple f px ,yqSi f est une fonction numérique de plusieurs variables, lafonction dérivée partielle de f par rapport à l’une d’elless’obtient en dérivant l’expression de f par rapport à cettedernière et en considérant les autres comme des constantes.

Notations : BfBx désignera la dérivée de f par rapport à x . De

même, BfBy , désignera era la dérivée de f par rapport à y .

Exemple : Soit f px ,yq “ x2y ´ 3y ` 5x ` 1. On a :

BfBx“ 2xy ` 5 et

BfBy“ x2

´ 3.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

1 Notion de dérivéeConstruction de la fonction dérivéeTechniques de calcul de la dérivée

2 IntégrationNotion de primitiveIntégrales

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Notion de primitive

Soit f une fonction de ra;bs Ñ R, on vient de fabriquer unenouvelle fonction, notée f 1 :

f zÑ f 1

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Notion de primitive

Soit f une fonction de ra;bs Ñ R, on vient de fabriquer unenouvelle fonction, notée f 1 :

f zÑ f 1

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Notion de primitive

Soit f une fonction de ra;bs Ñ R, on vient de fabriquer unenouvelle fonction, notée f 1 :

f zÑó

f 1

On examine un "chemin" de retour...

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Notion de primitive

Soit f une fonction de ra;bs Ñ R, on vient de fabriquer unenouvelle fonction, notée f 1 :

f zÑ f 1

ó g

On examine un "chemin" de retour...

Plus précisémment, soit g une fonction,

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Notion de primitive

Soit f une fonction de ra;bs Ñ R, on vient de fabriquer unenouvelle fonction, notée f 1 :

f zÑ f 1

? ó g

On examine un "chemin" de retour...

Plus précisémment, soit g une fonction, existe t’il une fonctionG telle que :

G1 “ g ?

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Notion de primitive

Soit f une fonction de ra;bs Ñ R, on vient de fabriquer unenouvelle fonction, notée f 1 :

f zÑ f 1

? ó gG zÑ G1 “ g

On examine un "chemin" de retour...

Plus précisémment, soit g une fonction, existe t’il une fonctionG telle que :

G1 “ g ?

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

primitive

Définition :Une telle fonction G s’appelle UNE primitive de g.

Il y a une infinité de primitives d’une fonction g, puisquepG` cq1 “ g où c est une constante.On notera momentanément : G “ Primitivepgq pour unreprésentant des primitives de g.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

primitive

Définition :Une telle fonction G s’appelle UNE primitive de g.

Il y a une infinité de primitives d’une fonction g, puisquepG` cq1 “ g où c est une constante.On notera momentanément : G “ Primitivepgq pour unreprésentant des primitives de g.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

primitive

Définition :Une telle fonction G s’appelle UNE primitive de g.

Il y a une infinité de primitives d’une fonction g, puisquepG` cq1 “ g où c est une constante.On notera momentanément : G “ Primitivepgq pour unreprésentant des primitives de g.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Notion de primitive

Mêmes attentes :(i) Comprendre l’interprétation, le "sens physique" de la

fonction G.(ii) Connaître la "technique" de fabrication de G, à partir de g.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Notion de primitive

Mêmes attentes :(i) Comprendre l’interprétation, le "sens physique" de la

fonction G.(ii) Connaître la "technique" de fabrication de G, à partir de g.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Techniques pour trouver une primitive

Ñ Lire le tableau des dérivées à l’envers !Exemples : trouver une primitive des fonctions suivantes,

f1pxq “ x , f2pxq “ x3, f3pxq “1?

x,

f4pxq “ e5x , f5pxq “ 1x , f6pxq “ 5x ` 2.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Techniques pour trouver une primitive

Ñ Lire le tableau des dérivées à l’envers !Exemples : trouver une primitive des fonctions suivantes,

f1pxq “ x , f2pxq “ x3, f3pxq “1?

x,

f4pxq “ e5x , f5pxq “ 1x , f6pxq “ 5x ` 2.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Techniques pour trouver une primitive

On developpera à la fin du cours deux outils pour trouver uneprimitive, qui sont les analogues des formules suivantes sur lesdérivée :

puvq1 “ u1v ` uv 1,

etpfouq1 “ u1 ˆ f 1puq.

La première correspond à l’IPP et la deuxième à la formule duchangement de variable.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Techniques pour trouver une primitive

On developpera à la fin du cours deux outils pour trouver uneprimitive, qui sont les analogues des formules suivantes sur lesdérivée :

puvq1 “ u1v ` uv 1,

etpfouq1 “ u1 ˆ f 1puq.

La première correspond à l’IPP et la deuxième à la formule duchangement de variable.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Techniques pour trouver une primitive

On developpera à la fin du cours deux outils pour trouver uneprimitive, qui sont les analogues des formules suivantes sur lesdérivée :

puvq1 “ u1v ` uv 1,

etpfouq1 “ u1 ˆ f 1puq.

La première correspond à l’IPP et la deuxième à la formule duchangement de variable.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

Soit f une fonction définie sur un intervalle de R, supposéepositive et soit Apxq l’aire sous la courbe de f , délimitée entrea,x et pOxq.

On cherche à estimer Apxq pour différents x . On peut déjànoter que Apaq “ 0.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

Soit f une fonction définie sur un intervalle de R, supposéepositive et soit Apxq l’aire sous la courbe de f , délimitée entrea,x et pOxq.

On cherche à estimer Apxq pour différents x . On peut déjànoter que Apaq “ 0.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

Soit f une fonction définie sur un intervalle de R, supposéepositive et soit Apxq l’aire sous la courbe de f , délimitée entrea,x et pOxq.

On cherche à estimer Apxq pour différents x . On peut déjànoter que Apaq “ 0.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

Déterminons la dérivée de la fonction A.

Ñ Faute d’expression de Apxq en fonction de x , on revient autaux de variation. On étudie

Apx ` hq ´Apxqh

pour h petit.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

Déterminons la dérivée de la fonction A.

Ñ Faute d’expression de Apxq en fonction de x , on revient autaux de variation. On étudie

Apx ` hq ´Apxqh

pour h petit.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

Ainsi, on peut prouver que :

limhÑ0

Apx ` hq ´Apxqh

“ f pxq

Donc,A1 “ f ,

ie ∶ A est une primitive de f .

Or Apaq “ 0, donc A est la primitive de f qui s’annule en a.

Ñ Notation : Apxq “şxa f ptq dt .

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Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

Ainsi, on peut prouver que :

limhÑ0

Apx ` hq ´Apxqh

“ f pxq

Donc,A1 “ f ,

ie ∶ A est une primitive de f .

Or Apaq “ 0, donc A est la primitive de f qui s’annule en a.

Ñ Notation : Apxq “şxa f ptq dt .

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Notion de primitiveIntégrales

Interprétation de la primitive d’une fonction f

Ainsi, on peut prouver que :

limhÑ0

Apx ` hq ´Apxqh

“ f pxq

Donc,A1 “ f ,

ie ∶ A est une primitive de f .

Or Apaq “ 0, donc A est la primitive de f qui s’annule en a.

Ñ Notation : Apxq “şxa f ptq dt .

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Conséquences

On a :ż b

af ptq dt “ rAsba

“ Apbq ´Apaq.

On peut étendre cette définition à des fonctions nonpositives. On compte alors l’aire algébrique.

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Notion de primitiveIntégrales

Conséquences

On a :ż b

af ptq dt “ rAsba

“ Apbq ´Apaq.

On peut étendre cette définition à des fonctions nonpositives. On compte alors l’aire algébrique.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Quelques propriétés

Relation de Chasles :ż c

af ptq dt “

ż b

af ptq dt `

ż c

bf ptq dt .

Linéarité : pour tout λ réel et pour toutes fonctions f et g,ż b

aλf ptq ` gptq dt “ λ

ż b

af ptq `

ż b

agptq dt .

Croissance : pour toutes fonctions f , g et pour tousnombres a ď b, on a :´

@x P ra;bs, f pxq ď gpxq¯

ñ

ż b

af ptq dt ď

ż b

agptq dt .

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Notion de primitiveIntégrales

Quelques propriétés

Relation de Chasles :ż c

af ptq dt “

ż b

af ptq dt `

ż c

bf ptq dt .

Linéarité : pour tout λ réel et pour toutes fonctions f et g,ż b

aλf ptq ` gptq dt “ λ

ż b

af ptq `

ż b

agptq dt .

Croissance : pour toutes fonctions f , g et pour tousnombres a ď b, on a :´

@x P ra;bs, f pxq ď gpxq¯

ñ

ż b

af ptq dt ď

ż b

agptq dt .

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Notion de primitiveIntégrales

Quelques propriétés

Relation de Chasles :ż c

af ptq dt “

ż b

af ptq dt `

ż c

bf ptq dt .

Linéarité : pour tout λ réel et pour toutes fonctions f et g,ż b

aλf ptq ` gptq dt “ λ

ż b

af ptq `

ż b

agptq dt .

Croissance : pour toutes fonctions f , g et pour tousnombres a ď b, on a :´

@x P ra;bs, f pxq ď gpxq¯

ñ

ż b

af ptq dt ď

ż b

agptq dt .

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Exemples

Calculer :

I1 “ż 2

1t dt , I2 “

ş40 5 dt , I3 “

ż 2

0e3x dx ,

I4 “ż 1

´1x4` 6x5 dx , I5 “

ş62

1x dx , I6 “

ż `8

1

1x2 dx .

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Quelques méthodes pour calculer des intégrales

Intégration par parties (IPP)Formule du changement de variable.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Quelques méthodes pour calculer des intégrales

Intégration par parties (IPP)Formule du changement de variable.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Quelques méthodes pour calculer des intégrales

Intégration par parties (IPP)Formule du changement de variable.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Intégration par parties

Soit u,v deux fonctions dérivables.On sait que puvq1 “ u1v ` uv 1.Cette formule intégrée donne

Primitivepu1vq “ uv ´Primitivepuv 1q.Et on a également :

şba u1v “ ruvsba ´

şba uv 1

Ainsi, primitiver u1v revient à primitiver uv 1, qui est parfois plusfacile...

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Intégration par parties

Soit u,v deux fonctions dérivables.On sait que puvq1 “ u1v ` uv 1.Cette formule intégrée donne

Primitivepu1vq “ uv ´Primitivepuv 1q.Et on a également :

şba u1v “ ruvsba ´

şba uv 1

Ainsi, primitiver u1v revient à primitiver uv 1, qui est parfois plusfacile...

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Intégration par parties

Soit u,v deux fonctions dérivables.On sait que puvq1 “ u1v ` uv 1.Cette formule intégrée donne

Primitivepu1vq “ uv ´Primitivepuv 1q.Et on a également :

şba u1v “ ruvsba ´

şba uv 1

Ainsi, primitiver u1v revient à primitiver uv 1, qui est parfois plusfacile...

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Intégration par parties

Soit u,v deux fonctions dérivables.On sait que puvq1 “ u1v ` uv 1.Cette formule intégrée donne

Primitivepu1vq “ uv ´Primitivepuv 1q.Et on a également :

şba u1v “ ruvsba ´

şba uv 1

Ainsi, primitiver u1v revient à primitiver uv 1, qui est parfois plusfacile...

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Intégration par parties

Soit u,v deux fonctions dérivables.On sait que puvq1 “ u1v ` uv 1.Cette formule intégrée donne

Primitivepu1vq “ uv ´Primitivepuv 1q.Et on a également :

şba u1v “ ruvsba ´

şba uv 1

Ainsi, primitiver u1v revient à primitiver uv 1, qui est parfois plusfacile...

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Intégration par parties

Soit u,v deux fonctions dérivables.On sait que puvq1 “ u1v ` uv 1.Cette formule intégrée donne

Primitivepu1vq “ uv ´Primitivepuv 1q.Et on a également :

şba u1v “ ruvsba ´

şba uv 1

Ainsi, primitiver u1v revient à primitiver uv 1, qui est parfois plusfacile...

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Intégration par parties, exemple

Calculerş21 t lnptq dt . On pose,"

u1ptq “ t donc uptq “ t2{2vptq “ lnptq donc v 1ptq “ 1{t

On applique la formule :şba u1v “ ruvsba ´

şba uv 1. On obtient,

ş21 t lnptq dt “ r t2

2 lnptqs21 ´ş21

t2

2 ˆ1t dt

Puis,ż 2

1t lnptq dt “ 2 lnp2q ´

” t2

4

ı2

1

“ 2 lnp2q ´ p1´ 1{4q “ 2 lnp2q ´ 3{4.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Intégration par parties, exemple

Calculerş21 t lnptq dt . On pose,"

u1ptq “ t donc uptq “ t2{2vptq “ lnptq donc v 1ptq “ 1{t

On applique la formule :şba u1v “ ruvsba ´

şba uv 1. On obtient,

ş21 t lnptq dt “ r t2

2 lnptqs21 ´ş21

t2

2 ˆ1t dt

Puis,ż 2

1t lnptq dt “ 2 lnp2q ´

” t2

4

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“ 2 lnp2q ´ p1´ 1{4q “ 2 lnp2q ´ 3{4.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Intégration par parties, exemple

Calculerş21 t lnptq dt . On pose,"

u1ptq “ t donc uptq “ t2{2vptq “ lnptq donc v 1ptq “ 1{t

On applique la formule :şba u1v “ ruvsba ´

şba uv 1. On obtient,

ş21 t lnptq dt “ r t2

2 lnptqs21 ´ş21

t2

2 ˆ1t dt

Puis,ż 2

1t lnptq dt “ 2 lnp2q ´

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4

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“ 2 lnp2q ´ p1´ 1{4q “ 2 lnp2q ´ 3{4.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Intégration par parties, exemple

Calculerş21 t lnptq dt . On pose,"

u1ptq “ t donc uptq “ t2{2vptq “ lnptq donc v 1ptq “ 1{t

On applique la formule :şba u1v “ ruvsba ´

şba uv 1. On obtient,

ş21 t lnptq dt “ r t2

2 lnptqs21 ´ş21

t2

2 ˆ1t dt

Puis,ż 2

1t lnptq dt “ 2 lnp2q ´

” t2

4

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“ 2 lnp2q ´ p1´ 1{4q “ 2 lnp2q ´ 3{4.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Intégration par parties, exemple

Calculerş21 t lnptq dt . On pose,"

u1ptq “ t donc uptq “ t2{2vptq “ lnptq donc v 1ptq “ 1{t

On applique la formule :şba u1v “ ruvsba ´

şba uv 1. On obtient,

ş21 t lnptq dt “ r t2

2 lnptqs21 ´ş21

t2

2 ˆ1t dt

Puis,ż 2

1t lnptq dt “ 2 lnp2q ´

” t2

4

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1

“ 2 lnp2q ´ p1´ 1{4q “ 2 lnp2q ´ 3{4.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Formule du changement de variable

Proposition (Version1)Soit f une fonction numérique continue, et ϕ une fonction declasse C1 (c’est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue)sur un intervalle ra,bs et dont l’image est contenue dans ledomaine de définition de f . Alors, on a :

ż b

af pϕptqqϕ1ptq dt “

ż ϕpbq

ϕpaqf pxq dx .

Remarques :De la gauche vers la droite, on dit formellement que l’onpose x “ ϕptq et on a dx “ ϕ1ptqdt .Si on applique la formule de la droite vers la gauche,şβα f pxq dx “ ... choisir une fonction ϕ telle que ϕ1 ne

s’annule pas. (C1 difféomorphisme)Clément Rau Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Formule du changement de variable

Proposition (Version1)Soit f une fonction numérique continue, et ϕ une fonction declasse C1 (c’est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue)sur un intervalle ra,bs et dont l’image est contenue dans ledomaine de définition de f . Alors, on a :

ż b

af pϕptqqϕ1ptq dt “

ż ϕpbq

ϕpaqf pxq dx .

Remarques :De la gauche vers la droite, on dit formellement que l’onpose x “ ϕptq et on a dx “ ϕ1ptqdt .Si on applique la formule de la droite vers la gauche,şβα f pxq dx “ ... choisir une fonction ϕ telle que ϕ1 ne

s’annule pas. (C1 difféomorphisme)Clément Rau Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Formule du changement de variable

Proposition (Version1)Soit f une fonction numérique continue, et ϕ une fonction declasse C1 (c’est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue)sur un intervalle ra,bs et dont l’image est contenue dans ledomaine de définition de f . Alors, on a :

ż b

af pϕptqqϕ1ptq dt “

ż ϕpbq

ϕpaqf pxq dx .

Remarques :De la gauche vers la droite, on dit formellement que l’onpose x “ ϕptq et on a dx “ ϕ1ptqdt .Si on applique la formule de la droite vers la gauche,şβα f pxq dx “ ... choisir une fonction ϕ telle que ϕ1 ne

s’annule pas. (C1 difféomorphisme)Clément Rau Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Formule du changement de variable

Proposition (Version1)Soit f une fonction numérique continue, et ϕ une fonction declasse C1 (c’est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue)sur un intervalle ra,bs et dont l’image est contenue dans ledomaine de définition de f . Alors, on a :

ż b

af pϕptqqϕ1ptq dt “

ż ϕpbq

ϕpaqf pxq dx .

Remarques :De la gauche vers la droite, on dit formellement que l’onpose x “ ϕptq et on a dx “ ϕ1ptqdt .Si on applique la formule de la droite vers la gauche,şβα f pxq dx “ ... choisir une fonction ϕ telle que ϕ1 ne

s’annule pas. (C1 difféomorphisme)Clément Rau Cours 2: Interlude, Rappels d’analyse: dérivation-intégration

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Formule du changement de variable

Proposition (Version 2)Soit f une fonction numérique continue, et ϕ une fonction declasse C1 bijective ( C1 difféomorphisme) dont l’image contientrα;βs. Alors, on a :

ż β

αf pxq dx “

ż φ´1pβq

φ´1pαqf pϕptqqϕ1ptq dt .

Remarques : Cas particuluier, ϕ strictement monotone.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Formule du changement de variable

Proposition (Version 2)Soit f une fonction numérique continue, et ϕ une fonction declasse C1 bijective ( C1 difféomorphisme) dont l’image contientrα;βs. Alors, on a :

ż β

αf pxq dx “

ż φ´1pβq

φ´1pαqf pϕptqqϕ1ptq dt .

Remarques : Cas particuluier, ϕ strictement monotone.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Formule du changement de variable

Proposition (Version 2)Soit f une fonction numérique continue, et ϕ une fonction declasse C1 bijective ( C1 difféomorphisme) dont l’image contientrα;βs. Alors, on a :

ż β

αf pxq dx “

ż φ´1pβq

φ´1pαqf pϕptqqϕ1ptq dt .

Remarques : Cas particuluier, ϕ strictement monotone.

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Formule du changement de variable, exemple

Calculer à l’aide d’un changement de variableş10 tet2

dt .On pose x “ t2, formellement ”dx “ 2t dt”. (On remplacedonc, le ”dt” par ”dx

2t ”. )

ż 1

0tet2

dt “12

ż 1

0et2

2t dt “12

ż 12

02ex dx “

12rexs10 “

e´ 12

.

Rappel de la formule :şba f pϕptqqϕ1ptq dt “

şϕpbqϕpaq f pxq dx .

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Formule du changement de variable, exemple

Calculer à l’aide d’un changement de variableş10 tet2

dt .On pose x “ t2, formellement ”dx “ 2t dt”. (On remplacedonc, le ”dt” par ”dx

2t ”. )

ż 1

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dt “12

ż 1

0et2

2t dt “12

ż 12

02ex dx “

12rexs10 “

e´ 12

.

Rappel de la formule :şba f pϕptqqϕ1ptq dt “

şϕpbqϕpaq f pxq dx .

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Formule du changement de variable, exemple

Calculer à l’aide d’un changement de variableş10 tet2

dt .On pose x “ t2, formellement ”dx “ 2t dt”. (On remplacedonc, le ”dt” par ”dx

2t ”. )

ż 1

0tet2

dt “12

ż 1

0et2

2t dt “12

ż 12

02ex dx “

12rexs10 “

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.

Rappel de la formule :şba f pϕptqqϕ1ptq dt “

şϕpbqϕpaq f pxq dx .

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Notion de dérivéeIntégration

Notion de primitiveIntégrales

Formule du changement de variable, exemple

Calculer à l’aide d’un changement de variableş10 tet2

dt .On pose x “ t2, formellement ”dx “ 2t dt”. (On remplacedonc, le ”dt” par ”dx

2t ”. )

ż 1

0tet2

dt “12

ż 1

0et2

2t dt “12

ż 12

02ex dx “

12rexs10 “

e´ 12

.

Rappel de la formule :şba f pϕptqqϕ1ptq dt “

şϕpbqϕpaq f pxq dx .

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