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Sommaire
I - Loi entre-sortie dun systme
....................................... 2
I.1 - Chane de solide
...................................................................
2
I.2 - Dtermination dune loi entre-sortie dune chane ferme
.............. 2
II - Loi entre-sortie des rducteurs et multiplicateurs de
vitesse . 4
II.1 - Rapport de transmission
........................................................ 4
II.2 - Transmission par adhrence : roues friction
.............................. 4
II.3 - Transmission par obstacles : engrenages
..................................... 5 Trains dengrenages simples
.........................................................................
7 Train dengrenages picyclodaux
...................................................................
8
II.4 - Transmission par lien flexible.
............................................... 10
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I - Loi entre-sortie dun systme
On appelle loi entre sortie dun systme mcanique, lensemble des
relations entre les paramtres de position et dorientation (ou leurs
drives) du solide dentre (1) et ceux du solide de sortie . La
manire dont on obtient cette loi entre sortie dpend de la
configuration de la chaine cinmatique.
I.1 - Chane de solide
Chane ouverte. Chane ferme. Chane complexe.
Une chane complexe est constitue de plusieurs chanes ouvertes ou
fermes.
Exemple : bras robot. Exemple : lve-barrire
Exemple : plate-forme lvatrice
Les paramtres cin-matiques sont tous indpendants. La loi
entre-sortie concerne la relation entre les coordonnes articulaires
(c'est--dire les paramtres pilotant les actionneurs : moteurs,
vrins) et les coordonnes oprationnelles (c'est--dire les coordonnes
dun point de leffecteur en bout de chane : pince, outil)(2).
Certaines caractristiques gomtriques du systme sont invariantes
et sont supposes connues. Dautres paramtres permettent de
caractriser les mouvements des solides les uns par rapport aux
autres. La loi entre-sortie est une loi exprimant le(s) paramtre(s)
de sortie du systme uniquement en fonction du(des) paramtre(s)
dentre et des caractristiques gomtriques invariantes du systme,
sans faire intervenir les paramtres de mouvement intermdiaires. Les
mthodes pour obtenir la loi entre-sortie sont : la fermeture
gomtrique ; la fermeture angulaire ; le produit scalaire constant
de 2 vecteurs dorientation ; la prise en compte de la condition de
non glissement ; la fermeture cinmatique.
I.2 - Dtermination dune loi entre-sortie dune chane ferme
Quelle que soit la mthode utilise, il faut commencer par
identifier le paramtre dentre et le paramtre de sortie du systme
afin de correctement cibler la loi entre-sortie recherche.
(1) Il sagit en gnral du solide mis en mouvement par lactionneur
de la chane dnergie.
(2) Dans ces systmes, chaque liaison, pilote par son propre
action-neur, est appele un axe. On parle alors de robots ou de
machines trois axes, quatre axes, etc.
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Fermeture gomtrique
liant les paramtres de
position.
Dmarche Rsultatscrire la relation vectorielle de fermeture de la
chane de solide. En gnral, cela consiste crire une relation de
Chasles en passant par les points caractristiques des diffrents
solides tout en parcourant la chane ferme :
... 0AB BC DA+ + + =JJJG JJJG JJJG G .
En projetant cette quation sur les vecteurs unitaires dune base
unique judicieusement choisie de manire faire apparatre tous les
paramtres(1), on obtient : - 3 quations scalaires pour un systme en
mouvement spatial, - 2 quations scalaires pour un systme en
mouvement plan. On limine enfin les paramtres intermdiaires en
combinant les quations obtenues(2) afin dobtenir la relation dentre
sortie recherche.
Une loi entre-sortie en position
ou
une loi entre-sortie en vitesse en drivant cette
relation.
Fermeture angulaire liant les paramtres dorientation.
Dmarche Rsultats
crire la relation angulaire de fermeture de la chane de solide
:
0)x,x(...)x,x()x,x( 0n2110 =+++ .
Une loi entre-sortie en position
ou
une loi entre-sortie en vitesse en drivant cette relation.
Produit scalaire constant de 2
vecteurs dorientation.
Dmarche RsultatsEcrire lquation qui traduit la particularit
angulaire du systme. Il sagit en gnral de la conservation, impose
par certaines liaisons, dune valeur angulaire lors du mouvement des
solides du systme.
.i jx x =JJG JJG
constante (0 si les 2 vecteurs sont orthogonaux).
On obtient ainsi une quation scalaire pour un systme en
mouvement spatial ou en mouvement plan.
Une loi entre-sortie en position
ou
une loi entre-sortie en vitesse en drivant cette
relation.
Fermeture cinmatique
Dmarche Rsultatscrire, en utilisant une criture en ligne des
torseurs cinmatique, la relation de composition des mouvements : {
} { } { } { }0/11/21n/n0/n ... VVVV +++= A condition davoir exprim
tous les torseurs au mme point, cette quation torsorielle permet
dobtenir 2 quations vectorielles :
- composition des vecteurs rotation ; - composition des vecteurs
vitesse.
Ce qui conduit : - 6 quations scalaires pour un systme en
mouvement spatial ; - 3 quations scalaires pour un systme en
mouvement plan. Pour obtenir la loi entre-sortie recherche, on peut
rsoudre ce systme dquations ou directement crire uniquement celle
qui lie le paramtre dentre au paramtre de sortie sans faire
apparatre les paramtres indsirables .
une loi entre-sortie en vitesse
ou
Une loi entre-sortie en position en intgrant cette
relation(3).
(1) Cela peut-tre intressant de choi-sir une base intermdiaire
pour limiter les pro-jections.
(2) Lorsque le paramtre interm-diaire liminer est un angle, il
est souvent intressant dlever au carr les quations obtenues et
dutiliser la rela-tion :
2 2cos sin 1 + =
(3) Il ne faut pas oublier la constante d'intgration qui se
dtermine pour une position particulire du systme.
(4) Les quations obtenues par fer-meture de chane cinmatique
corres-pondent aux dri-ves des quations obtenues par ferme-ture
gomtrique. Les deux approches permettent donc, priori, dobtenir les
mmes rsultats.
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II - Loi entre-sortie des rducteurs et multiplicateurs de
vitesse
Dans un systme, lnergie mcanique de rotation en sortie de
lactionneur est rarement directement utilisable par leffecteur.
Lorsque lon souhaite adapter les caractristiques cinmatiques de
cette nergie, on utilise un transmetteur permettant de rduire ou de
multiplier la vitesse angulaire.
II.1 - Rapport de transmission
Le rapport de transmission est dfini comme tant un rapport entre
la vitesse angulaire (note s ) de sortie et la vitesse angulaire
dentre ( e ) du transmetteur.
s e
e si ou i
= =
Selon la fonction du transmetteur et la valeur de ce rapport (
1< ou 1> ), on parle dun multiplicateur ou dun rducteur de
vitesse. On peut classer ces transmetteurs en deux grandes familles
vis vis de la technologie employe pour transmettre le mouvement :
ceux utilisant la transmission par adhrence : roue friction
(exemple : dynamo
de vlo), dispositif poulie-courroie lisse (exemple : alternateur
de voiture) ; ceux utilisant la transmission par obstacle :
dispositif poulie-courroie crante
(exemple : courroie de distribution dune voiture), dispositif
pignon-chane (exemple : vlo, moto), engrenages (exemple : boite de
vitesse).
II.2 - Transmission par adhrence : roues friction
0xG
Roue menante 1 O1
0xG
0yG
1xG
2xG
1
O2
2
O1
O2
0yG
0zG
0zG
I
R1
R2 Roue mene 2
I
ressort presseur
1/02/0
Principe
Deux roues cylindriques ou coniques sont en contact linique(1).
Le frottement au contact des deux roues permet de transmettre le
mouvement dentre (roue menante 1) la roue de sortie (roue mene 2).
Pour un bon fonctionnement, il faut assurer un roulement sans
glissement en utilisant :
- un couple de matriaux avec un fort coefficient de frottement ;
- un effort presseur entre les deux roues.
Utilisation Transmissions de faible puissance.
(1) La zone de contact est une ligne.
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Rapport de transmission
La condition de roulement sans glissement au point de contact I
scrit 2/1 0IV =JJJJJJG G
.
2/1 2/0 1/0I I IV V V = JJJJJJG JJJJJJJG JJJJJJG
avec 22/0 2/0 2 2/0 2 0 2 0 2 2 0
0
.I OV V IO R y z R x = + = = G
JJJJJJJG JJJJJJJJG JJJG JJJJJG JJG JJG JJG
et 11/0 1/0 1 1/0 1 0 1 0 1 1 0
0
.I OV V IO R y z R x = + = = G
JJJJJJG JJJJJJJJG JJJG JJJJJG JJG JJG JJG
donc : 2 2 0 1 1 0 2 2 1 10R x R x R R = = JJG JJG G
On en dduit le rapport de transmission(1) : 2/0 2 11/0 21
RiR
= = =
II.3 - Transmission par obstacles : engrenages
0xG
O1 0xG
0yG
1xG
2xG
1
1
2 O2 2
O1
O2
0yG
0zG
0zG
1
2
I I
D1
D2
1/02/0
Principe
Un engrenage est constitu de deux roues dentes(2) qui engrnent
lune avec lautre.
Caratristiques
Diamtres primitifs Pas primitif
1D et 2D 1 2
1 2
2 . 2 .R Rpas
z z = =
La forme des dents assure le roulement sans glissement au point
de contact I des
cercles fictifs de diamtres 1D et 2D . Ces cercles sont appels
cercles primitifs. Ils correspondent aux profils des roues de
friction qui assureraient le mme rapport de transmission.
Le pas primitif correspond la longueur de larc de cercle
primitif compris entre deux dents successives. Pour garantir
lengrnement, les pas primitifs des deux roues dentes doivent tre
gaux.
Nombre de dents Module
1Z et 2Z
zDm = .pas m =
Le module (enmm ) caractrise la forme de la dent. Les deux roues
dentes doivent imprativement avoir le mme module pour pouvoir
engrener
.
1 Les cercles reprsents sur les schmas cin-matiques
corres-pondent aux cercles primitifs des roues dentes.
(1) Le signe ngatif du rapport de transmission indique que le
sens de rotation est invers par ce type de transmetteur.
(2) La plus petite des roues dentes est appele parfois pignon et
la plus grande est appele roue ou couronne dans le cas dun
engrenage intrieur.
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Utilisation Transmissions de faibles et fortes puissances.
Applications : de la montre la boite de vitesse automobile.
Rapport de transmission La condition de roulement sans
glissement au point de contact I entre les deux cercles
primitifs(1) permet dobtenir le rapport de transmission :
2/0 2 1 1 1
1/0 2 2 21
R D ZiR D Z
= = = = =
(rappel : i iD m Z= )
Types
Engrenages cylindriques extrieurs
Engrenages cylindriques intrieurs Engrenages coniques
Ils transmettent un mouvement de rotation entre des arbres axes
concourants perpendiculaires ou non.
Ils transmettent un mouvement de rotation entre des arbres axes
parallles.
denture droite
denture hlicodale Avantages Inconvnient Avantages
Inconvnient
simples ; conomiques ; ils peuvent
admettre des dplacements axiaux.
bruyants. plus silencieux ; ils permettent de
transmettre des couples plus importants.
Ils sont lorigine defforts axiaux.
Engrenage
roue et vis sans fin Avantages Inconvnients
Ils transmettent un mouvement de rotation entre des arbres axes
perpendiculaires non concourants.
rapport de rduction important (jusqu 150) ;
irrversible si ncessaire (2) .
faible rendement (60%) ; forte usure.
Dans le cas particulier dun engrenage roue et vis sans fin, le
rapport de transmission est :
/0
/0
vis
roue
Z nombre de filets de la visroue visZ nombre de dents de rouevis
roue
Zi
Z
= =
(1) Voir le calcul au II.2.
(2) Ce qui peut tre utile pour des raisons de scurit. Sur un
treuil de levage par exemple, pour viter que la charge ne devienne
entrainante en cas de coupure dnergie.
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Trains dengrenages simples
Pour augmenter le rapport de rduction on peut associer dans un
rducteur plusieurs engrenages en srie. On parle alors de train
dengrenages. Lorsque toutes les roues dentes sont en mouvement de
rotation par rapport au bti, on parle de train simple . Dans la
pratique, pour calculer la loi entre-sortie dun train
dengrenages simple, il est inutile de repartir de la condition
de RSG au point de contact. On utilise directement la formule
suivante qui dfinit le rapport de transmission :
/0
/0( 1) .ns
e
RouesmenantesiRouesmenes
= =
( 1)n donne le sens de rotation de la sortie par rapport
lentre(1) avec n : nombre de contacts extrieurs(2) entre roues.
On qualifie de roue menante toute roue motrice dans le train
dengrenage et de roue mene toute roue rceptrice dans le train
dengrenages(3).
Exemple :
Soit 1 la roue dentre de ce rducteur et 4 la roue de sortie. Le
rapport de
transmission 4/01/0
i= est tel que :
1 2 324/0
1/0 2 3 4
80 17 30( 1)60 50 60
0,23
p p
r r
Z Z Zi
Z Z Z
i
= = = =
Cela signifie que ce rducteur divise la vitesse angulaire
quasiment par quatre.
(3) Une roue qui peut tre la fois une roue menante et une roue
mene est appele roue folle . Son nombre de dents ninterviendra pas
dans le rapport de transmission mais il une incidence sur son
signe.
(2) Cela ne concerne pas les contacts entre engrenages intrieurs
pignon-couronne.
(1) Cela na de sens que si lon compare le sens des mouvements de
rotation autour daxes parallles. Il faut donc tre prudent lorsquil
y a des engrenages coniques ou roue et vis sans fin dans le
rducteur.
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Train dengrenages picyclodaux
Avec un seul train dengrenages simple, la rduction de vitesse
nest gnralement pas suffisante et les arbres de sortie et dentre ne
sont pas coaxiaux. Lutilisation de trains simples plusieurs tages
permet de combler ces problmes mais cette solution devient
rapidement encombrante et lourde. Une solution consiste utiliser
des trains picyclodaux qui permettent dobtenir de grands rapports
de rduction dans un encombrement faible.
0xG
O1I
0yG
0zG
4
4yG
4yG
2yG
4
11
2 23
3
O3 O4
O2
J
Satellite 2
Plantaire 1
Plantaire 3
Porte satellites 4
Constituants
Porte-satellite Il sagit dune pice en rotation par rapport au
bti sur laquelle sont monts le ou les satellites.
Satellite Il sagit de roues dentes en rotation par rapport au
porte-satellite. Leur axe de rotation nest donc pas fixe par
rapport au bti.
Plantaire Les plantaires sont des roues dentes (pignon ou
couronne) qui engrnent avec le ou les satellites.
Un des deux plantaires ou le porte-satellite peuvent tre le
mouvement
dentre ou de sortie(1). Pour dterminer la loi entre-sortie dun
train picyclodal, on peut soit crire les conditions de roulement
sans glissement aux points de contact entre le satellite et les
plantaires (en I et J) ou bien utiliser la relation de Willis :
( ). /0 . /0 . /01 0Pla A Pla B Po Sa + = avec . /0
. /0
. /0 0Po Sa
Pla A
Pla B = =
Pla A plantaire A Pla B plantaireB Po Sa porte satellite :
raison de base du train picyclodal. Cest une constante qui
correspond au rapport de
transmission du train dengrenage simple obtenu si on immobilise
le porte-satellite.
Lutilisation dun train picyclodal ncessite dimposer la vitesse
angulaire par rapport au bti de deux des trois entres pos-sibles (
. /0 . /0 . /0,Pla A Pla B Po Saou ). Cependant, dans la pratique :
- on bloque souvent lune dentre-elles ( . /0 . /0Pla A Pla Bou
gnralement) ; - on impose la vitesse de rotation la deuxime. La
troisime ( . /0Po Sa gnralement) est alors donne par la relation de
Willis en prenant en compte la vitesse nulle de l'entre bloque.
1 Lutilisation de plusieurs satellites ne modifie par le
comportement cin-matique du rduc-teur mais permet de mieux rpartir
les efforts.
(1) Pour la majorit des cas : - un des deux plantaires est
lentre ; - lautre plantaire est fixe ; - le porte satellite est la
sortie.
1 Pour dterminer le rapport de transmission dun train
picyclodal, il faut : - crire la relation
de Willis et calculer la raison de base sans tenir compte du
fait que cer-taines entres sont bloques ou ont une vitesse impose
;
- puis simplifier la relation obtenue en tenant compte de ces
particu-larits.
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Exemple :
4
1
2
Z1
Z2a Z2b
Z3
3
Soit 1 la pice dentre de ce rducteur et 4 la pice de sortie. Le
rapport de
transmission 4/01/0
i= est tel que :
( )1/0 3/0 4/0. 1 . 0 + = avec 4/0
21/0 3 2
3/0 2 10( 1) a
b
Z ZZ Z =
= =
Or on a 3/0 0 = donc : ( ) 4/0 2 11/0 4/0
21/ 3 20 11 0 1.
1b
b a
Z ZZ Z Z Z
i i = = =
+ =
Conditions gomtrique de fonctionnement
Les conditions gomtriques indispensables au montage et au
fonctionnement du train picyclodal impliquent des relations entre
les diamtres (ou rayons) primitifs des diffrentes roues dentes. Ces
relations peuvent se traduire sous la forme de relations liant les
nombres de dents de roues dentes conditions que leurs modules
soient gaux. Exemple pour le train pi. de type I :
3 1 22.D D D= + 3 1 22.z z z= + Exemple pour le train pi. de
type II :
1 2' 2'' 3R R R R+ + = 1 2' 2'' 3z z z z+ + =
1
2a 2b 3
4
0
1
2
4
0
3
Plantaire A : 1Plantaire B : 3 Porte-satellite : 4 Satellite :
2
1 Dans cet exemple, on parle de satellite double.
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II.4 - Transmission par lien flexible.
Les liens flexibles sont particulirement avantageux lorsquil
sagit de transmettre un mouvement de rotation entre deux axes
parallles trs distants.
Pignons-chane Poulies-courroie
Dans les rducteurs liens flexibles, les poulies ou les pignons
tournent dans le mme sens, contrairement aux engrenages. Le rapport
de transmission scrit :
/0 e
/0
s
e s
Ri
R= =