Tugas Individu Getaran & GelombangOleh Indah Fauziyah /
1306365202Coupled oscilationOsilator harmonikdan model sistemnya
memilikiderajatkebebasan. Pada sistem yang lebihrumit biasanya
memilikilebih banyak derajatkebebasan, misalnya pada pegas yang di
ujungnya diberikan beban kemudian digantung bersama-sama. Dalam
kasus tersebut, perilaku masing-masing variabelmempengaruhivariable
yanglain. Halini menyebabkan koplingdari osilasimemiliki derajat
kebebasan sendiri. Misalnya, dua jam pendulum (dari frekuensi yang
sama)dipasang pada dinding akan cenderung untuk melakukan
sinkronisasi. Kasus khususnya adalah osilator terkopel dimana
energi mengalami dua bentuk osilasi yaitu osilasi vertical dan
osilasitorsional. Contoh yang popular adalah pendulum Wilberforce,
di mana osilasi terjadi disepanjangpegas vertikal dan beban pada
ujung pegas mengalami rotasi.Osilasi terkopel terjadi ketika dua
atau lebih sistem osilasi yang terhubung sedemikian rupamengalami
resonansi. Osilator terkopel terjadi di alam (misalnya, bulan dan
bumi mengorbit satusama lain) atau dapat ditemukan dalam perangkat
buatan manusia (seperti dengan alat pacujantung).Osilator terkopel
tidak berayun bolak-balik seperti pada pendulum biasa. Osilator ini
memiliki massa yang berputar untuk menyesuaikan momen inersia dan
untuk 'menyempurnakan' periode getaran torsional. Osilasi vertikal
disebabkan oleh kopling antara dua gerakan atau derajat kebebasan,
karena geometri pegas. Ketika pegas bergerak ke bawah, pegas
memberikan bebantambahan pada benda sehingga benda bergerak untuk
mempertahankan momen inersianya.Ketika beban bergerak naik, hal itu
menyebabkan pegas memberikan beban lagi pada bendasehingga benda
akan bergerak kearah yang berlawanan. Jadi, ketika beban bergerak
naik danturun, osilasi masing-masing memberikan impuls agar benda
berotasi.Frekuensi alternatif sama dengan perbedaan antara
frekuensi osilasi. Semakin dekat frekuensidua getaran, akan semakin
mudah terjadi resonansi. Hal ini berlaku sama untuk semua
osilatorterkopel, analog dengan fenomena ketukan dalam instrumen
musik, di mana dua nada bergabunguntuk menghasilkan 'mengalahkan'
nada pada perbedaan antara frekuensi merekaCoupled PendulumUntuk
kasus 2 pendulum dimana benda saling terkopel dari X dan Y dimana
ketika diberi gaya kearah kanan maka benda 1 bergeser sejauh x dan
benda 2 akan bergeser sejauh Y.Asumsikan Dimana
Analisis gaya untuk benda I (bergeser sejauh X) : 2 gaya pegas
(saat tertarik sejauh x dan saat tertekan sejauh y) gaya tali
(besar nya sama dengan gaya gravitasi) gaya gravitasi terhadap
sumbu XSehingga untuk benda I total gaya nya dapat dirumuskan
sebagai berikut
Untuk benda II gaya yang mempengaruhi sama dengan benda I, yang
membedakan hanyalah arah pada pegas nya.Sehingga persamaan gaya
untuk benda II adalah sebagai berikut :
Dengan mensubsitusikan 02 ke persamaan (1) dan (2)0202Untk
menyelesaikan kedua persamaan tersebut digunakan 2 koordinat baru
(3) (4)Dari hasil penjumlahan equation (1) dan (2) diperoleh
persamaan02020202X = 0(5)Dari pengurangan persamaan equation (1)
dan (2) diperoleh persamaan :0202020202 (6)Dilihat dari kerdua
persamaan (5) dan (6) terlihat bahwa penyelesaian nya terdiri dari
2 koordinat acuan X dan Y dengan bentuk persamaan SHM.Sehingga
terdapat dua keadaan untuk kasus coupled pendulumKasus
pertamaKeadaan ketika X = 0 maka nilai x=y, yang berarti saat benda
I bergeser sejauh x maka nilai y akan sama dengan x . Arah ayunan
kedua massa ini sama.02X = 0
Kesimpulan yang diperoleh :1. Frekuensi osilasi akan selalu
sama2. Kekakuan kopel tidak berpengaruh3. Kedua massa bergerak
dalam fase yang sama (sefase)Kasus keduakeadaan ketika Y=0, maka
nilai x=-y. Hal ini mengindikasikan jika benda 1 bergeser sejauh x
maka benda 2 akan bergeser sejauh y dengan arah yang
berlawanan02
Kesimpulan yang diperoleh :1. Frekuensi osilasi lebih besar
(karena selalu out of fase)2. Pegas bergerak antara teregang dan
tertekan3. Efek kopel berpengaruh pada gerakKarena persamaan ke (5)
dan (6) merupakan persamaan SHM, maka X dan Y dpat dinyatakan
dengan :1)2)Untuk keadaan dimana x 0 = y0 = 2a, 1=2=0 diperoleh
persamaan :1) =2) = Jumlahkan persamaan (3) dan (4), sehingga
diperoleh persamaan perpindahan sejauh x :
(X+Y)Subtitusikan nilai X dan Y
(7)Dari persamaan perpindahan diperoleh persamaan kecepatan
Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan (7) dapat
disederhanakan menjadi :
(9)Untuk persamaan perpindahan sejauh y
(X-Y)Subtitusikan nilai X dan Y
(8)Dari persamaan perpindahan diperoleh persamaan kecepatan
Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan (8) dapat
disederhanakan menjadi :
(10)Dari persamaan (9) dan (10) terlihat bahwa keduanya nya
adalah persamaan superposisi gelombang. Sehingga untuk keadaan x 0
= y0 = 2a,1=2=0 diperoleh :Perpindahan sejauh x
Perpindahan sejauh y
METODA UMM UNTUK MENEMUKAN FREKUENSI MODE NORMAL, MATRIKS VEKTOR
EIGEN, DAN NILAI EIGEN.Misalnya sistem dari sebah pendulum terkopel
berislasi hanya pada salah satu frekuensi normalnya maka
(1)dan
(2)Jika pendulu mulai bekerja maka didapat dan Dimana A dan B
merupakan amplitudo perpndahan pada x dan y saat frekuensi Kemudian
persamaan gerakan nya akan menjadi (3) (4)Lalu kita subtisusikan
persamaan (3) an (4) ke persamaan (1)
Subtitusikan persaaan (3) dan (4) ke persamaan (2)
Jika kedua persamaan dijumlahkan maka akan diperoleh
+( (A+B)(A+B)(Dengan , frekuensi normal pertamaJika kedua
persamaan dikurang, maka
-( =(A-B)(Maka , merupakan mode frekuensi normal keduaNilai
membuat A=B, konsisi demikian menyebabkan pendulum bergerak sefase
smentara membuat A=-B kondisi tidak sefase.