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Costos de Incertidumbre Para Demandas ControlablesConsiderando su Estocasticidad
Rudy Stefan Vargas Simbaqueba I.E.
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingenierıa, Departamento de Ingenierıa Electrica y Electronica
Bogota D.C., Colombia
2018
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Costos de Incertidumbre Para Demandas ControlablesConsiderando su Estocasticidad
Rudy Stefan Vargas Simbaqueba I.E.
Trabajo Final de Maestrıa presentado como requisito para optar al tıtulo de:
Magister en Ingenierıa Electrica
Director:
Sergio Raul Rivera Rodriguez PhD.
Lınea de Investigacion:
Demanda Controlable
Grupo de Investigacion:
Electromagnetic Compatibility EMC
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingenierıa, Departamento de Ingenierıa Electrica y Electronica
Bogota D.C., Colombia
2018
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Dedicatoria de Stefan
A mis padres los cuales son la razon de conti-
nuar hacia adelante con mis proyectos.
A todos mis amigos y aquellas personas
que me brindaron su apoyo y me han acom-
panado durante esta travesıa.
A los profesores de la Universidad Nacional
de Colombia, los cuales me han brindado sus
conocimientos, su apoyo y consejos durante la
estancia en la universidad.
Ensenar no es transferir conocimiento sino
crear las posibilidades para su produccion.
Paulo Freire
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Agradecimientos
Al profesor Sergio Rivera el cual ha sido un apoyo importante en el desarrollo de este traba-
jo, ha sido un gran mentor para alcanzar los objetivos propuestos durante el desarrollo del
trabajo final de maestrıa.
A la ingeniera Maria Alejandra Zapata, la cual me ha brindado su apoyo incondicional y su
consejo para finalizar este proyecto.
A los ingenieros Alvaro Avendano y Gustavo Prada los cuales me prestaron su valiosa ayuda
para la revision y correccion del documento.
A mis amigos de la universidad que a pesar de la distancia, siempre me han brindado su
apoyo y conocimiento para alcanzar mis metas.
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Resumen
Este documento presenta un analisis en el desarrollo de una nueva metodologıa con la cual
se podra determinar a traves de aproximaciones probabilısticas el costo que puede generarse
sı existiera un mercado electrico diversificado, en el cual la demanda es capaz de participar
activamente con la compra de energıa en los momentos en los cuales los precios son mas bajos.
Ademas, se podran tener ideas claras de como funcionan los mercados electricos donde la
demanda tiene poder de decision e influencia en la compra y venta de energıa.
Palabras Clave
Generacion distribuida, mercado electrico, costos de incertidumbre, estudios probabilısticos,
algoritmo.
Abstract
This document presents an analysis in the development of a new methodology with which
it will be possible to determine, through probabilistic approaches, the cost that can be ge-
nerated if a diversified electricity market existed, in which the demand is able to actively
participate with the purchase of energy at times when prices are lower.
In addition, you can have clear ideas of how electric markets work where demand has the
power to decide and influence the purchase and sale of energy.
Keywords
Distributed generation, electric market, uncertainty costs, probabilistic studies, algorithm.
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Lista de Figuras
2-1. Aproximacion de los 7 intervalos de la distribucion Gausiana [15]. . . . . . . 12
2-2. FDP Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4-1. Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
1, Funcion Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4-2. Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 1, Funcion Normal. 26
4-3. Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
2, Funcion Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4-4. Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 2, Funcion Normal. 27
4-5. Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
3, Funcion Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4-6. Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 3, Funcion Normal. 28
4-7. Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
4, Funcion Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4-8. Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 4, Funcion Normal. 29
4-9. Comparacion costo de penalidad, Funcion Normal. . . . . . . . . . . . . . . . 30
4-10.Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
1, Funcion Beta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4-11.Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 1, Funcion Beta. 32
4-12.Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
2, Funcion Beta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4-13.Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 2, Funcion Beta. 33
4-14.Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
3, Funcion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4-15.Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 3, Funcion Beta 34
4-16.Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
4, Funcion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4-17.Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 4, Funcion Beta 35
4-18.Comparacion costo de penalidad, Funcion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5-1. Diagrama de flujo para la validacion de resultados . . . . . . . . . . . . . . . 37
5-2. Comparacion Costos para el Caso 1, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . 38
5-3. Comparacion Costos para el Caso 2, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . 39
5-4. Comparacion Costos para el Caso 3, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . 40
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x Lista de Figuras
5-5. Comparacion Costos para el Caso 4, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . 41
5-6. Comparacion Costos para el Caso 1, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . 46
5-7. Comparacion Costos para el Caso 2, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . 47
5-8. Comparacion Costos para el Caso 3, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . 48
5-9. Comparacion Costos para el Caso 4, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . 49
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Lista de Tablas
4-1. Comparacion costo de penalidad, Funcion Normal. . . . . . . . . . . . . . . . 30
4-2. Comparacion costo de penalidad, Funcion beta . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5-1. Resultados Simulacion Caso 1, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . 38
5-2. Resultados Simulacion Caso 2, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . 39
5-3. Resultados Simulacion Caso 3, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . 40
5-4. Resultados Simulacion Caso 4, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . 41
5-5. Error Calculado, Caso 1, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5-6. Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 1, Distribucion Normal . . . . . . 42
5-7. Error Calculado, Caso 2, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5-8. Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 2, Distribucion Normal . . . . . . 43
5-9. Error Calculado, Caso 3, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5-10.Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 3, Distribucion Normal . . . . . . 44
5-11.Error Calculado, Caso 4, Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5-12.Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 4, Distribucion Normal . . . . . . 45
5-13.Resultados Simulacion Caso 1, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . . . . 46
5-14.Resultados Simulacion Caso 2, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . . . . 47
5-15.Resultados Simulacion Caso 3, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . . . . 48
5-16.Resultados Simulacion Caso 4, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . . . . 49
5-17.Error Calculado, Caso 1, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5-18.Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 1, Distribucion Beta . . . . . . . . 50
5-19.Error Calculado, Caso 2, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5-20.Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 2, Distribucion Beta . . . . . . . . 51
5-21.Error Calculado, Caso 3, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5-22.Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 3, Distribucion Beta . . . . . . . . 52
5-23.Error Calculado, Caso 4, Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5-24.Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 4, Distribucion Beta . . . . . . . . 53
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Lista de sımbolos
Esta seccion incluye algunos simbolos utilizados en las ecuaciones mostradas y utilizadas
para el desarrollo de las pruebas y simulaciones, ademas de algunas abreviaturas.
Sımbolos con letras latinas
Sımbolo Termino Unidad SI
G Radiacion Solar W/m2
Rc Parametro de referencia de irradiancia W/m2
Sımbolos con letras griegas
Sımbolo Termino Unidad SI
β Ubicacion de parametros m
λ Escala de parametros m
Abreviaturas
Abreviatura Termino
FDP Funcion de Distribucion de Probabilidad
GF Generacion Fotovoltaica
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Lista de Tablas xiii
Abreviatura Termino
GE Generacion Eolica
V E Vehıculos Electricos
FRE Fuentes Renovables de Energıa
OR Operador de Red
GEE Generacion de Energıa Electrica
DEE Demanda de Energıa Electrica
V PP Virtual Power Plant
RTP Real Time Price
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Contenido
Agradecimientos VI
Resumen VII
Lista de figuras IX
Lista de tablas X
Lista de sımbolos XII
1. Introduccion 2
2. Estado del Arte 4
2.1. Costos de Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Despacho de Energıa Electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Mercado Electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4. Respuesta de la Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5. Prediccion en el Comportamiento de la Demanda . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Formulacion Matematica de Costos de Icertidumbre de la Demanda de Energıa
Electrica 13
3.1. Analisis de Costos de Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Costo de penalizacion debido a subestimar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3. Costo de penalizacion debido a sobrestimar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4. Formulacion Matematica de los Costos por Subestimar . . . . . . . . . . . . 14
3.5. Formulacion Matematica de los Costos por Sobrestimar . . . . . . . . . . . . 15
3.6. Desarrollo Analıtico de los Costos para la Demanda (FDP NORMAL) . . . . 15
3.6.1. Costo de penalidad por subestimar la demanda de energıa electrica . 16
3.6.2. Costo de penalidad por sobrestimar la demanda de energıa electrica . 17
3.7. Desarrollo Analıtico de los Costos para la Demanda (FDP BETA) . . . . . . 19
3.7.1. Costo de penalidad por subestimar la demanda de energıa electrica . 20
3.7.2. Costo de penalidad por sobrestimar la demanda de energıa electrica . 22
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Contenido 1
4. Validacion de la Formulacion Analitica Para la Demanda de Energıa Electrica 24
4.1. Descripcion del Metodo de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.1. Generadores de Numeros Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.2. Lenguajes de Programacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.3. Software de Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Resultados Simulacion Metodo de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1. Funcion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.2. Funcion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5. Validacion de Resultados 37
5.1. Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.1. Error para la Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2. Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.1. Error para la Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3. Analisis de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.1. Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.2. Distribucion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6. Conclusiones, recomendaciones y trabajos futuros 56
6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2. Recomendaciones y trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A. Anexo: Algoritmos Desarrollados para el Analisis de Informacion. 58
A.1. Funcion de Distribucion de Probabilidad Normal . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A.2. Funcion de Distribucion de Probabilidad Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A.3. Funcion Hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
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1. Introduccion
Existen formas de calcular los costos de la energıa electrica cuando se utilizan fuentes al-
ternativas para su produccion, algunos de estos costos estan asociados al tipo de tecnologıa
utilizada para la conversion de otros tipos de energıa, en energıa electrica. Sin embargo, hay
un costo que puede llegar a ser parte importante en la toma de decisiones cuando la demanda
se comporta activamente en el mercado electrico y es el costo de incertidumbre.
El costo de incertidumbre viene ligado a la oportunidad de entregar la energıa generada a
traves de medios no convencionales por la red, por lo tanto, se deben conocer los diferentes
tipos de componentes [1] que se pueden analizar para obtener un panorama completo de los
tipos de costos por los cuales se ve influenciado el sistema electrico.
Ahora se amplıa el estudio de los costos de incertidumbre que se generan cuando el pronosti-
co de la demanda es estocastico para diferentes horas del dıa, esta demanda se modela a
traves de funciones de distribucion de probabilidad.
El costo de incertidumbre se presenta al conectar generacion distribuida a la red para suplir
demanda y se tienen que extraer energıa de la red, esto se debe a que la operacion de la
generacion distribuida no se puede definir a traves de la energıa firme y es difıcil pronosticar
cuando y como sera la participacion para suplir la demanda. Para este caso en particular
tenemos un estudio previo el cual presenta el costo de incertidumbre con una demanda fija [2].
En este estudio tenemos una idea concreta de como realizar el modelamiento y conexion
de diferentes tecnologıas a la red. Tambien se tienen consideraciones previas que se deben
definir para poder realizar un analisis que pueda comparar los resultados como en los casos
que se presentan con la generacion hidraulica y termica.
Debemos recordar que, al realizar el estudio para el caso que se presenta en Colombia. Se
tiene un problema debido a que la reglamentacion para definir a los auto generadores todavıa
no esta clara, por lo tanto, no se tiene certeza de como se van a pagar los intercambios de
energıa y el uso de la red para estos nuevos participantes.
Primero se definen los comportamientos de la generacion distribuida en terminos de la capa-
cidad de energıa que es capaz de satisfacer a traves de cada tecnologıa, y se definen lımites
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3
de sobreestimacion y subestimacion de la demanda a suplir [3].
A partir de estos dos parametros es posible modelar estaticamente la capacidad de gene-
racion a traves de funciones de distribucion de probabilidad (FDP), con lo cual, podemos
realizar un analisis estocastico del comportamiento para el caso de generacion fotovoltaica
(GF), generacion eolica (GE), y conexion de vehıculos electricos a la red (VE). Para este
ultimo caso en particular se tiene una mayor incertidumbre ya que estos vehıculos pueden
ser conectados a la red para suplir carga en cualquier momento o para ser cargados [2].
Solo se debe determinar que FDP se puede usar para el pronostico de la demanda, con lo cual
se tendra el modelo completo de las variables y ası comenzar con el estudio de los algoritmos
que describan un comportamiento que se aproxime a la realidad.
Teniendo en cuenta los lımites de energıa que pueden suplir las diferentes tecnologıas, se pue-
den calcular las tolerancias permitidas para cada sistema con diferentes tipos de generacion.
A partir de las FDP se pueden utilizar diferentes metodos de simulacion para determinar los
costos para cada caso en particular [3].
Para modelar un sistema apropiado de costos de incertidumbre es importante profundizar y
ajustar a traves de FDP el comportamiento de la demanda y en ultima instancia utilizar el
metodo de simulacion de Monte Carlo [4] para realizar la validacion de todos los datos que
fueron adquiridos y aproximar los resultados.
Con los datos que se obtienen se puede validar la informacion para adquirir resultados que
puedan dar claridad sobre el costo de incertidumbre para estas tecnologıas en particular. Por
lo tanto, es importante enfocar el estudio para el caso colombiano, modelando el comporta-
miento de la demanda, ya que las condiciones climaticas del paıs no son faciles de predecir
para el uso de estas tecnologıas y como se dijo anteriormente, no existe la reglamentacion
para los auto generadores.
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2. Estado del Arte
Se presenta un analisis de algunos estudios realizados para determinar los costos de incerti-
dumbre, la variacion de la demanda de energıa electrica, el comportamiento de la generacion
distribuida y el comportamiento de la demanda controlable. En estos casos se tienen las
bases para proponer una metodologıa que puede llevar a resolver los problemas encontrados.
2.1. Costos de Incertidumbre
Para realizar la formulacion de los costos de incertidumbre, primero hay que encontrar datos
historicos del comportamiento de la fuente primaria que se utilizara para la transformacion
en energıa electrica.
De acuerdo a las investigaciones realizadas es necesario determinar la conducta de la gene-
racion en diferentes instantes de tiempo, considerando el clima de la region donde se ubica
la planta de generacion, este procedimiento se hace para encontrar los puntos maximos y
mınimos de generacion para cualquier fuente de energıa renovable no convencional.
Esta metodologıa se conoce en la literatura tecnica como subestimar y sobrestimar la poten-
cia generada por plantas las cuales dependen de factores externos como el clima, el viento,
la temperatura ambiente y el caudal de los rıos [5].
Cuando se realiza la formulacion matematica que predice el comportamiento de la generacion
en las plantas, es posible determinar algunos costos por penalidad, debido al incumplimiento
por parte de las plantas de generacion que no son capaces de entregar la totalidad de la
energıa programada para el despacho en ciertas horas del dıa.
Estos dos rangos de la subestimacion y la sobreestimacion dan avisos claros para las plan-
tas de generacion no convencionales de cual debe ser la cantidad de energıa generada y por
lo tanto, limitar los riesgos y costos a los cuales puedan incurrir en caso de incumplimiento [6].
A continuacion, se presentan las ecuaciones de subestimacion 2-1 y sobreestimacion 2-2 para
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2.1 Costos de Incertidumbre 5
GE, GF y VE.
E[Cu,i(Ws,i,Wav,i)] =
∫ W∞,i
Ws,i
cu,i · (wav,i −Ws,i) · fw · (Wav,i) · dWav,i (2-1)
Donde:
E[Cu,i(Ws,i,Wav,i)] es el valor esperado del costo debido a la subestimacion.
fw · (Wav,i) es la funcion de distribucion de probabilidad que depende de cada tipo de
generacion (GE, GF, VE).
W∞,i es la maxima potencia de salida del generador i.
E[Co,i(Ws,i,Wav,i)] =
∫ Ws,i
Wmin,i
co,i · (Ws,i − wav,i) · fw · (Wav,i) · dWav,i (2-2)
Donde:
E[Cu,i(Ws,i,Wav,i)] es el valor esperado del costo debido a la sobreestimacion.
fw · (Wav,i) es la funcion de distribucion de probabilidad que depende de cada tipo de
generacion (GE, GF, VE).
Wmin,i es la mınima potencia de salida del generador i.
El siguiente paso es determinar la cantidad de energıa que puede llegar a ser generada cuan-
do se realizan estudios profundos sobre el comportamiento del clima, es decir, encontrar los
ciclos en los cuales las plantas son mas eficientes en la generacion de energıa electrica.
Debido a que la unica forma de determinar el comportamiento del clima es a traves de datos
historicos, a los cuales se les realiza un analisis probabilıstico que puede dar interpretaciones
de lo que puede pasar en el futuro, entonces se hacen proyecciones de acuerdo a los datos
recolectados y el comportamiento del clima en general.
Existen diferentes formas de definir los costos de incertidumbre, no solo estan referenciados
a la parte de la generacion y el comportamiento estocastico de las fuentes renovables no
convencionales, en algunos casos se tienen costos de incertidumbre o penalidad asociados
a la forma de despachar la energıa electrica, a la forma de transmitir la energıa electrica,
a como funcionan los mercados electricos y si es posible que la demanda participe activa-
mente del mercado electrico a traves de agregadores de demanda o contratos a largo plazo [7].
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6 2 Estado del Arte
Por lo tanto, se definen dos partes para el analisis de los costos de incertidumbre, las restric-
ciones en los sistemas de transmision y la parte financiera de los mercados. Para el caso de
los sistemas de transmision se tienen las limitaciones en cuanto al balance entre generacion
y demanda de energıa electrica, con lo cual varıan las tarifas, estas tarifas al presentarse
cambios en el comportamiento de la demanda, pueden ser altas o bajas y se reflejan cuando
se realizan los cruces de cuentas, estos cruces de cuentas pueden favorecer o castigar a la
demanda con el precio [8].
Para el mercado financiero, se tienen costos que no reflejan el precio real de la energıa
electrica, por lo tanto, se incorporan algunos importes que no dependen exclusivamente de
los intercambios de energıa electrica, estas distorsiones en los mercados se consideran como
incertidumbre en los costos, debido a que no tienen ninguna relacion directa con los sistemas
de potencia.
Con el desarrollo de la tecnologıa y los problemas enunciados anteriormente, se ha optado
por realizar una integracion de los sistemas de GE, GF y VE con sistemas de almacenamiento
de energıa, los cuales permiten un mayor control sobre la generacion de energıa electrica por
medios no convencionales, pueden adaptarse para definir el comportamiento de la demanda
y por ultimo, incrementan la confiabilidad de los sistemas de distribucion. Sin embargo, se
presenta una disminucion de la vida util de los sistemas de almacenamiento debido a su
operacion de carga y descarga [9] [10] [11].
Se ha utilizado optimizacion determinıstica para mejorar el balance entre generacion y de-
manda considerando los datos historicos del comportamiento del viento y de la radiacion
solar. Esta optimizacion puede ser de un solo objetivo como la optimizacion del costo, o
multi – objetivo como la emision de gases de efecto invernadero, los costos en la generacion
o los costos en el despacho.
Para realizar esta optimizacion se considera el metodo de programacion estocastico, el cual
modela las incertidumbres en el funcionamiento del sistema como diferentes escenarios en
los cuales el de mayor generacion de energıa se toma como el mas acertado para modelar el
sistema [12] [13].
2.2. Despacho de Energıa Electrica
Actualmente, las plantas termicas producen gases de efecto invernadero los cuales emiten en
el medio ambiente partıculas que generan enfermedades y contribuyen al cambio climatico,
por lo cual, es necesario utilizar nuevas fuentes de generacion de energıa electrica, como las
fuentes renovables no convencionales.
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2.2 Despacho de Energıa Electrica 7
Para permitir la penetracion de estas nuevas tecnologıas y bajar los niveles de contamina-
cion, se necesita programar los despachos de energıa de las nuevas formas de generacion, con
esto, se debe realizar un analisis profundo para el despacho de VE y GE. Sin embargo, esto
no es suficiente, la demanda juega un papel importante para determinar el balance en los
intercambios de energıa y por consiguiente el despacho optimo [14].
La formula de optimizacion del flujo de carga busca programar el despacho de energıa electri-
ca con la demanda de energıa. En los ultimos anos se tiene en cuenta la GE para reemplazar
la operacion de los generadores termicos debido a la contaminacion de estos, sin embargo,
y debido al comportamiento del viento, esto incorpora una nueva variable al flujo de carga
que no es posible fijar debido a su comportamiento probabilıstico.
Tambien se debe tener en cuenta que la carga o demanda puede ser modelada a traves de
FDP, con esto en el flujo de carga se incrementan las variables que no pueden ser controladas
y aumenta la complejidad del problema. A traves de la optimizacion del flujo de carga no
convexa y estocastica se propone una solucion a dicho problema [15].
A continuacion, se presenta la ecuacion 2-3 de optimizacion del flujo de carga.
F =
Ng∑i=1
(ai + bi · PGi + ci · P 2Gi
+ | disen(ei(PminGi− PGi)) |) (2-3)
Donde:
ai, bi, ci son los coeficientes de los costos que se presentan al combustible.
ei, di son los coeficientes sinusoidales de los terminos que modelan el efecto del gene-
rador i.
PG es la potencia activa del generador i.
PminGi
es la mınima potencia activa que es capaz de entregar el generador i.
NG es el numero total de unidades generadoras.
Algunos problemas que se presentan con la optimizacion del flujo de carga cuando se incluye
la GE, es el redespacho de la energıa y la congestion de las lıneas de transmision en los puntos
de conexion. Para los estudios realizados en Europa no se tienen en cuenta las plantas de
GF, y se definen las restricciones de la red.
Page 22
8 2 Estado del Arte
Teniendo en cuenta los resultados encontrados, se muestra una concordancia entre los datos
obtenidos de las simulaciones con las plantas de GE, y los datos obtenidos de simulaciones
sin incluir las plantas de GE, con lo cual se obtienen resultados para los sistemas con gene-
racion convencional [16].
Para el caso de la utilizacion de los VE conectados a la red, se debe tener en cuenta que es-
tos funcionan como carga o como fuentes de generacion no convencionales, las cuales pueden
ser programadas para poder suministrar energıa a la red en puntos donde no se evidencien
afectaciones al sistema de distribucion.
Cuando esto no se hace de la manera expuesta anteriormente, la red puede experimentar
sobrecarga, en cambio si se hace de manera controlada y a traves de la definicion de los
puntos de conexion, es posible suavizar la curva de demanda la cual afectarıa directamente
los precios de la energıa electrica [17].
La idea principal de usar fuentes no convencionales de generacion de energıa electrica, es com-
plementar el sistema existente de despacho de energıa electrica que incluye las hidroelectricas
y termoelectricas. Bajo estos criterios se debe definir la posicion en la cual debe ubicarse la
micro red, para que no existan afectaciones en el sistema de transmision, por lo tanto, se
deben usar formulas de optimizacion multi – objetivo, las cuales permitan que el despacho
de energıa alcance los objetivos de ser mas barato, menos contaminante y confiable [18].
2.3. Mercado Electrico
El funcionamiento de las FRE, muestran un problema al realizar un analisis del comporta-
miento de las fuentes de generacion. Sin embargo, una de las plantas que presenta mayor
variabilidad, por lo tanto, mayor incertidumbre, es la generacion eolica, esto conlleva a la
difıcil incorporacion de esta fuente de energıa en los mercados electricos [7].
Existen dos alternativas para que la participacion de la generacion eolica sea eficiente en
el desarrollo de los mercados electricos, la primera es hacer programable el despacho de las
plantas eolicas, el segundo es la no programacion del despacho para estas plantas.
Para la programacion del despacho de las plantas eolicas se utilizan funciones de distribucion
de probabilidad para modelar la incertidumbre en la generacion. A traves de estas FDP es
posible encontrar modelos aproximados del comportamiento de dichas fuentes de generacion
de energıa electrica. Con estos modelos es posible que la implementacion de ofertas en el
mercado electrico sea una realidad para estas fuentes y puedan participar al mismo tiempo
en la formacion de los precios de la energıa con las fuentes convencionales como la generacion
hidraulica y la generacion termica.
Page 23
2.4 Respuesta de la Demanda 9
En el caso de realizar la no programacion del despacho para estas plantas, entonces el ope-
rador de red (OR) del sistema, utiliza toda la generacion proveniente de estas fuentes para
realizar el despacho y esta energıa se paga a un precio convenido o cuota que se pacta entre
el OR y el generador [19].
Para el caso del balance entre la generacion de energıa electrica (GEE) y la demanda de
energıa electrica (DEE), en los mercados existe un modelo de casacion definido por el precio
de la energıa, esta energıa es ofertada y despachada por merito. Sin embargo, los contratos
entre los distribuidores y la demanda ponen lımites al precio y a la energıa a ser distribuida.
Estos lımites sirven de referencia para penalizar a ambas partes y por lo tanto, hacer el
mercado dinamico y con respuesta tanto de la demanda como de los distribuidores de energıa
[20].
2.4. Respuesta de la Demanda
La respuesta de la demanda ha sido una de las soluciones propuestas para mantener el ba-
lance entre la demanda y la generacion, sin embargo, algunas de estas soluciones no estan
directamente ligadas a las transferencias de energıa, ni a la atencion de la demanda, sino al
mercado financiero de intercambios de energıa [7], por lo tanto, la forma en la que se tranza
la energıa a dado al sistema una manera de controlar el balance de energıa, haciendo que los
precios en los mercados reflejen de manera real las posiciones de los generadores y la demanda.
Para conocer los alcances e implementacion de los contratos, es necesario tener informacion
en tiempo real de los intercambios de energıa y de las ofertas de los generadores, para alcan-
zar un mercado eficiente el cual pueda dar senales de formacion de precios que se ajusten a
la realidad [7].
A traves de contratos que se realizan entre la demanda y los comercializadores y/o agrega-
dores de demanda, es posible presentar posiciones favorables para que la demanda sea capaz
de desconectarse cuando los precios del mercado son muy altos, tambien existe la posibilidad
que a traves de estos contratos se limite la cantidad de energıa vendida a los usuarios, por
lo tanto, los generadores mejorarıan sus ofertas en el precio, y la curva que presenta el com-
portamiento de la demanda serıa mas plana [21]. Es posible tambien determinar la variacion
de la demanda por medio de datos historicos de comportamiento de los mercados electricos
en la forma de proceder de la demanda.
A traves de la penetracion de nuevas fuentes renovables de energıa se ha incrementado la
incertidumbre en el despacho de la energıa electrica por lo tanto, el sistema puede funcionar
bajo un punto de operacion no optimo.
Page 24
10 2 Estado del Arte
En estudios realizados se propone integrar todas las fuentes de energıa renovables en plantas
virtuales de potencia (VPP), por sus siglas en ingles [22], para poder determinar un despacho
de energıa favorable y que responda a las necesidades de los clientes, ası como existen plantas
de generacion convencionales que responden a problemas tecnicos, en este caso tambien se
pueden definir dos tipos de VPP, la primera como una planta comercial, y la segunda como
una planta tecnica que permita mantener la operacion del sistema en una condicion optima
de seguridad y confiabilidad, con la adicion de estas VPP se busca fijar un precio acordado
entre las partes, sin embargo, el comportamiento estocastico de ambas partes puede generar
perdidas monetarias en el sistema.
Existe un nuevo metodo que permite que la demanda pueda ser partıcipe del mercado, y es el
precio en tiempo real (RTP, lo que se busca es que se hagan despachos de energıa un dıa antes
del dıa D, una hora antes del dıa D y un despacho en tiempo real que permita conocer las
variaciones del precio de la energıa por los clientes ası no sea a traves de contratos [23], este
metodo de acuerdo a los requerimientos del sistema necesita la implementacion tecnologica
de nuevos equipos y un procesamiento computacional mayor, debido a la cantidad de datos
que se deben ingresar para poder realizar el despacho considerando tanto la incertidumbre
en la generacion por fuentes renovables como la incertidumbre en el comportamiento de la
demanda [24].
2.5. Prediccion en el Comportamiento de la Demanda
Para predecir el comportamiento de la demanda se debe tener en cuenta tanto la situacion
economica del paıs como la ubicacion geografica y su desarrollo industrial. Algunos de los
estudios para determinar estos comportamientos se basan en realizar o utilizar modelos de
regresion lineal, sin embargo, esto no es suficiente para determinar el comportamiento.
En el caso de Colombia, el clima afecta directamente el consumo de energıa electrica, y debi-
do a la alta dependencia de la generacion hidraulica los precios pueden aumentar en epocas
de sequıa, y la demanda presentar comportamientos erraticos como los vistos en zonas donde
existen estaciones climaticas, por lo tanto, se deben encontrar algunos patrones que permitan
definir algunos lımites en la conducta que tiene la demanda [25].
Cuando no es posible tener una prediccion acertada del comportamiento de la demanda [26],
generalmente la, energıa sobrante en el sistema se almacena, sin embargo, esto tiene un cos-
to en el despacho ya que no solo se debe tener en cuenta la energıa entregada al sistema
sino tambien la energıa almacenada, esto conlleva tambien a implementar nuevas reformas
al sistema electrico para permitir el redireccionamiento de energıa sin afectar el despacho de
la energıa.
Page 25
2.5 Prediccion en el Comportamiento de la Demanda 11
Debido a que no es posible tener un despacho balanceado y existen errores debido a la na-
turaleza del comportamiento de los usuarios, entonces es necesario modelar la demanda a
traves de FDP, con lo cual podremos minimizar el error a la hora del despacho.
Se presenta una FDP normal, sin embargo, cuando se tienen los datos del consumo de mu-
chos anos acumulados se puede representar la demanda con una FDP Weibull que no se
estudiara debido a la complejidad de obtener los datos de mas de 20 anos para poder rea-
lizar un modelo que nos permita obtener resultados confiables, a traves de la FDP normal
es posible modelar la demanda, sin embargo, se debe tener en cuenta que al utilizar esta
FDP es necesario partir la demanda, de manera que en las horas del dıa o en los tiempos de
despacho, existan siete diferentes periodos a los cuales se puede aplicar la FDP, y ası reducir
el rango de desviaciones con la demanda real.
En la ecuacion 2-4 se muestra la forma de calcular la funcion de probabilidad teniendo en
cuenta la prediccion de la demanda y la desviacion estandar de una FDP normal, y en la
figura 2-1, se muestra los valores aproximados de las desviaciones para cada una de las par-
ticiones de la demanda [27].
A partir de la ecuacion de la FDP normal se puede llegar a tener 7 intervalos de aproximacion
de la distribucion Gausiana.
Pd =1
σd√
2π
∫ uj
lj
e−(x−df )2/2σd
2 · dx (2-4)
Donde:
uj es el lımite superior de la demanda de energıa electrica.
ul es el lımite inferior de la demanda de energıa electrica.
df es la meta en el pronostico de la demanda de energıa electrica.
σd es la desviacion estandar de la FDP normal.
En la figura 2-1 se muestran los intervalos para formular la prediccion de la demanda a
traves de FDP.
Page 26
12 2 Estado del Arte
Figura 2-1.: Aproximacion de los 7 intervalos de la distribucion Gausiana [15].
Partiendo de la funcion de disribucion Normal, es posible tambien realizar una aproximacion
al comportamiento de la demanda a traves de una funcion de distribucion Beta [28], esta
funcion de distribucion de probabilidad, se ha utilizado para caracterizar el comportamiento
de la demanda en los casos de estudio de los mercados para agregadores de demanda, y para
algunos estudios de sistemas de distribucion, cabe aclarar que esta FDP se utilizo en este
caso como caracterizacion para la demanda residencial.
A continuacion, se presenta la FDP Beta en terminos generales:
Pd =Γ(α− β)
Γ(α) · Γ(β)· (x)α−1 · (1− x)β−1 (2-5)
En la figura 2-2 se muestra la FDP Beta, con diferentes valores para Alfa y Beta.
Figura 2-2.: FDP Beta
Page 27
3. Formulacion Matematica de Costos
de Icertidumbre de la Demanda de
Energıa Electrica
3.1. Analisis de Costos de Incertidumbre
Dado el comportamiento de la demanda de energıa electrica y su incertidumbre para ser
programada por los mercados, se debe deducir un modelo el cual presente esta variabilidad
de la demanda y sea posible deducir a traves de modelos probabilısticos la incertidumbre.
A continuacion, se presenta un analsis, el cual visualiza dos posibles escenarios en donde
se puede subestimar la demanda de energıa electrica o sobrestimar la demanda de energıa
electrica.
3.2. Costo de penalizacion debido a subestimar
Este costo de penalizacion se presenta por subestimar la potencia que es capaz de deman-
dar el usuario, en otras palabras el generador de energıa electrica no es capaz de suplir la
cantidad de energıa que el usuario necesita, por lo tanto, se debe aplicar una penalizacion
por no atender toda la demanda. Sin embargo, puede ocurrir un segundo escenario, el cual
representaria un contrato entre el generador de energıa electrica y la demanda, donde esta
ultima se compromete a no sobrepasar un lımite de potencia, potencia contratada. Este caso
es el que vamos a abordar debido a que se necesita realizar un analisis donde la demanda o
el usuario no cumple con los contratos de energıa bilaterales, entonces se debe penalizar a la
demanda y por esto se debe encontrar el costo de penalizacion asociado.
En terminos de la potencia demandada, tenemos el costo por subestimar representado como:
Ws,i < Wc,d (3-1)
Donde Ws,i es la potencia programada por el modelo del despacho economico y Wc,d es la
potencia contratada por la demanda.
Page 28
143 Formulacion Matematica de Costos de Icertidumbre de la Demanda de Energıa
Electrica
3.3. Costo de penalizacion debido a sobrestimar
Este costo de penalizacion se presenta por sobrestimar la demanda de energıa electrica, por
lo tanto, cuando se realiza el despacho de energıa, al generador que suple esa carga puede
sobrarle enegıa ya que la demanda o el usuario no fue capaz de preveer la cantidad real de
energıa que se prentendıa consumir y por la cual se realizo el contrato.
En terminos de la potencia demandada, tenemos el costo por sobrestimar representado como:
Wc,d < Ws,i (3-2)
Donde Ws,i es la potencia programada por el modelo del despacho economico y Wc,d es la
potencia contratada por la demanda.
3.4. Formulacion Matematica de los Costos por
Subestimar
Se realiza una aproximacion a traves de una funcion lineal para calcular los costos de pena-
lizacion por subestimar la demanda de energıa electrica.
Cu,i(Ws,i,Wc,d) = Cu,i(Wc,d −Ws,i) (3-3)
Donde:
Cu,i se tiene como coeficiente del costo de penalizacion por subestimar.
Cu,i(Ws,i,Wc,d) se denomina funcion de costo debido a subestimar.
A traves de estos terminos se puede determinar el costo de penalizacion como:
E[Cu,i(Ws,i,Wc,d)] =
∫ W∞,i
Ws,i
Cu,i(Wc,d −Ws,i) · fW (Wc,d) · dWc,d (3-4)
Donde:
E[Cu,i(Ws,i,Wc,d)] es el valor esperado de los costos por subestimar.
fW (Wc,d) es la FDP que determina el comportamiento de la demanda.
W∞,i es la potencia maxima suministrada por el generador i.
Page 29
3.5 Formulacion Matematica de los Costos por Sobrestimar 15
3.5. Formulacion Matematica de los Costos por
Sobrestimar
Se realiza una aproximacion a traves de una funcion lineal para calcular los costos de pena-
lizacion por sobrestimar la demanda de energıa electrica.
Co,i(Ws,i,Wc,d) = Co,i(Ws,i −Wc,d) (3-5)
Donde:
Co,i se tiene como coeficiente del costo de penalizacion por sobrestimar.
Co,i(Ws,i,Wc,d) se denomina funcion de costo debido a sobrestimar.
A traves de estos terminos se puede determinar el costo de penalizacion como:
E[Co,i(Ws,i,Wc,d)] =
∫ Ws,i
Wmin,i
Co,i(Ws,i −Wc,d) · fW (Wc,d) · dWc,d (3-6)
Donde:
E[Co,i(Ws,i,Wc,d)] es el valor esperado de los costos por sobrestimar.
fW (Wc,d) es la FDP que determina el comportamiento de la demanda.
W∞,i es la potencia mınima suministrada por el generador i.
3.6. Desarrollo Analıtico de los Costos para la Demanda
(FDP NORMAL)
El comportamiento de la demanda de energıa electrica en la red se puede representar a traves
de FDP con una funcion normal, que se presenta a continuacion:
fPe(Pe) =1√
2πφ2∗ e
(Pe−µ√
2φ
)2
(3-7)
Donde fPe es la FDP de la demanda, Pe representa la potencia demandada, µ y φ son la
media y la desviacion estandar respectivamente del comportamiento probabilıstico.
Se desarrolla la siguiente integral para relacionar el costo de penalizacion debido a subestimar
la demanda con su respectiva FDP.
Page 30
163 Formulacion Matematica de Costos de Icertidumbre de la Demanda de Energıa
Electrica
3.6.1. Costo de penalidad por subestimar la demanda de energıa
electrica
E[Ce,u,i(Pe,i, Pe,s,i)] =
∫ Pe,∞
Pe,s,i
Ce,u,i · (Pe,i − Pe,s,i) · fPe(Pe) · dPe,i (3-8)
Donde:
E[Ce,u,i(Pe,i, Pe,s,i)] es el valor esperado para el costo de penalidad debido a la subesti-
macion en la demanda.
fPe(Pe) Es la FDP de la potencia de la demanda en el nodo i.
Ce,u,i Es el coeficiente del costo de penalidad a traves de la subestimacion en la demanda
en el nodo i.
Pe,∞ Es la potencia maxima de salida causada por la demanda en el nodo i.
Pe,s,i Es la potencia programada para modelar la demanda en el nodo i.
Pe,i Es la potencia entregada por un generador en el nodo i.
Para determinar el costo de penalizacion reemplazamos 3-7 en la ecuacion 3-8 y comenzamos
con el desarrollo de la integral:
E[Ce,u,i(Pe,i, Pe,s,i] =
∫ Pe,∞
Pe,s,i
Ce,u,i(Pe,i − Pe,s,i) ·1√
2πφ2· e−
(Pe−µ√
2·φ
)2
· dPe,i (3-9)
Para el desarrollo, primero utilizamos el teorema de cambio de variable para reducir la
integral:
U =Pe,i − µ√
2 · φ−→ Pe,i = U ·
√2 · φ+ µ (3-10)
dU =dPe,i√2 · φ
−→ dPe,i = dU ·√
2 · φ (3-11)
Debido al cambio de variable se hace necesario cambiar los lımites de integracion a las nuevas
variables:
Si Pe,i = Pe,s,i −→ Ua =Pe,s,i − µ√
2 · φ(3-12)
Page 31
3.6 Desarrollo Analıtico de los Costos para la Demanda (FDP NORMAL) 17
Si Pe,i =∞+ −→ Ub =∞+ − µ√
2 · φ(3-13)
A traves del cambio de variable se procede a desarrollar la ecuacion 3-9.
E[Ce,u,i(Pe,i, Pe,s,i)] =
∫ Ub
Ua
Ce,u,i(U ·√
2 · φ+ µ− Pe,s,i) ·1√
2πφ· e−U2 ·
√2 · φ · dU (3-14)
=
∫ Ub
Ua
Ce,u,i
(√2 · φ√π· Ue−U2 · dU
)+
∫ Ub
Ua
Ce,u,i(µ− Pe,s,i)√
π· e−U2 · dU (3-15)
Para la primera parte de la integral se tiene el siguiente resultado:
E[Ce,u,i(Pe,i, Pe,s,i)] = Ce,u,i
√2√π· φ · 1
2·(e−U
2a − e−U2
b
)(3-16)
Para el caso del desarrollo de la funcion e−U2
de la segunda parte de la integral utilizamos
la funcion error, con la cual se puede resolver esta parte de la ecuacion.
Entonces:
e−U2
=
√π
2· erf(x) + C (3-17)
Al reemplazar en la segunda parte de la integral, tenemos:
E[Ce,u,i(Pe,i, Pe,s,i)] = Ce,u,i(µ− Pe,s,i)√
2·(erf(Ub)− erf(Ua)
)(3-18)
Al final el resultado de la ecuacion 3-15 realizando el cambio de variable, es:
E[Ce,u,i(Pe,i, Pe,s,i)] = Ce,u,i·(µ−Pe,s,i)·(
1+erf
(µ− Pe,s,i√
2 · φ
))+Ce,u,i · φ√
2π·e−
(µ−Pe,s,i√
2·φ
)2
(3-19)
3.6.2. Costo de penalidad por sobrestimar la demanda de energıa
electrica
E[Ce,o,i(Pe,i, Pe,s,i)] =
∫ Pe,s,i
0
Ce,o,i · (Pe,s,i − Pe,i) · fPe(Pe) · dPe,i (3-20)
Donde:
Page 32
183 Formulacion Matematica de Costos de Icertidumbre de la Demanda de Energıa
Electrica
E[Ce,o,i(Pe,i, Pe,s,i)] es el valor esperado para el costo de penalidad debido a la sobres-
timacion en la demanda.
fPe(Pe) Es la FDP de la potencia de la demanda en el nodo i.
Ce,u,i Es el coeficiente del costo de penalidad a traves de la subestimacion en la demanda
en el nodo i.
Pe,s,i Es la potencia programada para modelar la demanda en el nodo i.
Pe,i Es la potencia entregada por un generador en el nodo i.
Para determinar el costo de penalizacion reemplazamos 3-7 en la ecuacion 3-20 y comenzamos
con el desarrollo de la integral:
E[Ce,o,i(Pe,i, Pe,s,i] =
∫ Pe,s,i
0
Ce,o,i(Pe,s,i − Pe,i) ·1√
2πφ2· e−
(Pe,i−µ√
2·φ
)2
· dPe,i (3-21)
Para el desarrollo, primero utilizamos el teorema de cambio de variable para reducir la
integral:
U =Pe,i − µ√
2 · φ−→ Pe,i = U ·
√2 · φ+ µ (3-22)
dU =dPe,i√2 · φ
−→ dPe,i = dU ·√
2 · φ (3-23)
Debido al cambio de variable se hace necesario cambiar los lımites de integracion a las nuevas
variables:
Si Pe,i = 0 −→ Ua =0− µ√2 · φ
(3-24)
Si Pe,i = Pe,s,i −→ Ub =Pe,s,i − µ√
2 · φ(3-25)
A traves del cambio de variable se procede a desarrollar la ecuacion 3-21.
E[Ce,o,i(Pe,i, Pe,s,i)] =
∫ Ub
Ua
Ce,o,i(Pe,s,i − U ·√
2 · φ− µ) · 1√2πφ· e−U2 ·
√2 · φ · dU (3-26)
Page 33
3.7 Desarrollo Analıtico de los Costos para la Demanda (FDP BETA) 19
=
∫ Ub
Ua
Ce,o,i(Pe,s,i − µ)√
π· e−U2 · dU −
∫ Ub
Ua
Ce,o,i
(√2 · φ√π· Ue−U2 · dU
)(3-27)
Para el caso del desarrollo de la funcion e−U2
de la primera parte de la integral utilizamos
la funcion error, con la cual se puede resolver esta parte de la ecuacion. Entonces:
e−U2
=
√π
2· erf(x) + C (3-28)
Al reemplazar en la primera parte de la integral, tenemos:
E[Ce,o,i(Pe,i, Pe,s,i)] = Ce,o,i(Pe,s,i − µ)
2·(erf(Ub)− erf(Ua)
)(3-29)
Para la segunda parte de la integral se tiene el siguiente resultado:
E[Ce,o,i(Pe,i, Pe,s,i)] = − Ce,o,iφ√2π·(e−U
2a − e−U2
b
)(3-30)
Al final el resultado de la ecuacion 3-27 realizando el cambio de variable, es:
E[Ce,o,i(Pe,i, Pe,s,i)] =
= Ce,o,i ·(Pe,s,i − µ)
2·(erf
(µ√
2 · φ
)− erf
(µ− Pe,s,i√
2 · φ
))
+ Ce,o,i ·φ√2π·(e−
(Pe,s,i−µ√
2·φ
)2
− e
(− µ√
2·φ
)) (3-31)
Por lo tanto, es posible obtener el costo de incertidumbre para el caso de la demanda como
la suma de 3-19 y 3-31.
3.7. Desarrollo Analıtico de los Costos para la Demanda
(FDP BETA)
El comportamiento de la demanda de energıa electrica en la red se puede representar a traves
de FDP con una funcion beta, que se presenta a continuacion:
fPe(Pe) =Γ(α− β)
Γ(α) · Γ(β)· (Pe,i)α−1 · (1− Pe,i)β−1 (3-32)
Donde Γ representa la funcion gama, α y β son dos parametros que varıan entre 0 y 1, y Pe,ies la potencia demandada.
Se desarrolla la siguiente integral para relacionar el costo de penalizacion debido a subestimar
la demanda con su respectiva FDP.
Page 34
203 Formulacion Matematica de Costos de Icertidumbre de la Demanda de Energıa
Electrica
3.7.1. Costo de penalidad por subestimar la demanda de energıa
electrica
E[Ce,u,i(Pe,i, Pe,s,i)] =
∫ Pe,∞
Pe,s,i
Ce,u,i · (Pe,i − Pe,s,i) · fPe(Pe) · dPe,i (3-33)
Donde:
E[Ce,u,i(Pe,i, Pe,s,i)] es el valor esperado para el costo de penalidad debido a la subesti-
macion en la demanda.
fPe(Pe) Es la FDP de la potencia de la demanda en el nodo i.
Ce,u,i Es el coeficiente del costo de penalidad a traves de la subestimacion en la demanda
en el nodo i.
Pe,∞ Es la potencia maxima de salida causada por la demanda en el nodo i.
Pe,s,i Es la potencia programada para modelar la demanda en el nodo i.
Pe,i Es la potencia entregada por un generador en el nodo i.
Para determinar el costo de penalizacion reemplazamos 3-32 en la ecuacion 3-33 y comenza-
mos con el desarrollo de la integral:
Forma general:
E[Ce,u,i(Pe,i, Pe,s,i)] =
∫ Pe,∞
Pe,s,i
Ce,u,i·(Pe,i−Pe,s,i)·Γ(α− β)
Γ(α) · Γ(β)·(Pe,i)α−1·(1−Pe,i)β−1·dPe,i (3-34)
Desarrollando se tiene una forma generalizada de la funcion hipergeometrica con la cual se
aproxima el resultado:
Ck+1
Ck=P (k)
Q(k)=
(k + a1)(k + a2)...(k + ap)
(k + b1)(k + b2)...(k + bq)(k + 1)· x. (3-35)
El factor de k + 1 en el denominador se presenta como razon de notacion historica.
La funcion 2f1(a, b; c;x) correspondiente a p = 2, q = 1 es la primera funcion hipergeometri-
ca que se estudiara, debido a que es la mas frecuente en problemas fısicos.
Page 35
3.7 Desarrollo Analıtico de los Costos para la Demanda (FDP BETA) 21
Las funciones hipergeometricas son soluciones de la ecuacion diferencial hipergeometrica, la
cual tiene un punto regular singular en el origen. Para derivar la funcion hipergeometrica de
la ecuacion diferencial hipergeometrica se tiene:
z(1− z) y′′ + [c− (a+ b+ 1)z] y′ − aby = 0 (3-36)
El metodo de Frobenius permite crear una solucion en serie de potencias de esa ecuacion
diferencial, con p(z) y q(z) analıticas en 0 o, siendo analıticas, si sus lımites en 0 existen
(si son finitos).
Se usa el metodo de Frobenius para reducir la expresion:
∞∑n=0
[(n+ 1) · (n+ c) An+1 −
[n2 + (a+ b) n+ a · b
]An
]· zn = 0 (3-37)
Teniendo la ecuacion inicial:
An+1 =(n+ a)(n+ b)
(n+ 1)(n+ c)· An (3-38)
Utilizando la solucion de series de potencia:
y =∞∑n=0
Az · zn (3-39)
Entonces tenemos la solucion:
y = A0 ·[1 +
a · b1! · c
· z +a · (a+ 1)b · (b+ 1)
2! · c · (c+ 1)· z2 + ...
]. (3-40)
Esta es la llamada solucion regular, denotada como:
F1(a, b; c; z) = 1 +a · b1! · c
· z +a · (a+ 1)b · (b+ 1)
2! · c · (c+ 1)· z2 + ...
=∞∑n=0
(a)n · (b)n(c)n
· zn
n!
(3-41)
La cual converge si c no es un entero negativo (1) para todo | z |< 1 y (2) en el circulo
unitario | z |= 1 si R [c− a− b] > 0. Aquı, (a)n es un sımbolo de Pochhammer. El simbolo
Page 36
223 Formulacion Matematica de Costos de Icertidumbre de la Demanda de Energıa
Electrica
de Pochhammer introducido por Leo August Pochhammer es la notacion (x)n donde n es un
entero no negativo.
Por lo tanto el resultado final de la expresion es:
∫ Pe,∞
Pe,s,i
Ce,u,i · (Pe,i − Pe,s,i) ·Γ(α− β)
Γ(α) · Γ(β)· (Pe,i)α−1 · (1− Pe,i)β−1 · dPe,i
= −(Pe,i)α · ((1 + α) · Pe,s,i ·Hypergeometric 2F1[a,−b, 1 + a, x]
α · (1 + α)+
α · (−1 + Pe,s,i) · x ·Hypergeometric 2F1[a,−b, 1 + a, x]
α · (1 + α)
(3-42)
El cual representa el costo por subestimar la demanda con la funcion de distribucion de
probabilidad beta.
3.7.2. Costo de penalidad por sobrestimar la demanda de energıa
electrica
E[Ce,o,i(Pe,i, Pe,s,i)] =
∫ Pe,s,i
0
Ce,o,i · (Pe,s,i − Pe,i) · fPe · (Pe) · dPe,i (3-43)
Donde:
E[Ce,o,i(Pe,i, Pe,s,i)] es el valor esperado para el costo de penalidad debido a la sobres-
timacion en la demanda.
fPe(Pe) Es la FDP de la potencia de la demanda en el nodo i.
Ce,u,i Es el coeficiente del costo de penalidad a traves de la subestimacion en la demanda
en el nodo i.
Pe,s,i Es la potencia programada para modelar la demanda en el nodo i.
Pe,i Es la potencia entregada por un generador en el nodo i.
Para determinar el costo de penalizacion reemplazamos 3-32 en la ecuacion 3-43 y comenza-
mos con el desarrollo de la integral:
Forma general:
E[Ce,o,i(Pe,i, Pe,s,i)] =
∫ Pe,s,i
0
Ce,o,i·(Pe,s,i−Pe,i)·Γ(α− β)
Γ(α) · Γ(β)·(Pe,i)α−1·(1−Pe,i)β−1·dPe,i (3-44)
Page 37
3.7 Desarrollo Analıtico de los Costos para la Demanda (FDP BETA) 23
Se utilizan las ecuaciones presentadas para el analisis de la funcion hipergeometrica desde la
ecuacion 3-35 hasta la ecuacion 3-41.
Finalmente el costo por subestimar la demanda con la funcion de distibucion beta es:
∫ Pe,∞
Pe,s,i
Ce,u,i · (Pe,i − Pe,s,i) ·Γ(α− β)
Γ(α) · Γ(β)· (Pe,i)α−1 · (1− Pe,i)β−1 · dPe,i
= (Pe,i)α ·[− Pe,s,i ·Hypergeometric 2F1[a,−b, 1 + a, x]
α+
(−1 + Pe,s,i) · x ·Hypergeometric 2F1[a,−b, 1 + a, x]
(1 + α)
] (3-45)
Page 38
4. Validacion de la Formulacion Analitica
Para la Demanda de Energıa Electrica
4.1. Descripcion del Metodo de Monte Carlo
El origen del metodo de Monte Carlo, se remonta al ano 1940, con tres cientıficos; John
Von Neumann, Stanislaw Ulam y Nicholas Metropolis, los cuales estaban empleados en el
Laboratorio Nacional de los Alamos trabajando en el conocido Proyecto Manhattan [29].
Ellos concibieron un nuevo metodo matematico conocido como el metodo de Monte Carlo.
Para utilizar este metodo los analistas deben construir un modelo matematico que simule un
sistema real, un numero gigantesco de muestras aleatorias del modelo son aplicadas teniendo
un numero grande de muestras aleatorias en los resultados de salida [29].
El metodo se basa en correr el modelo muchas veces con muestras aleatorias, para cada
muestra, variaciones aleatorias se generan con cada variable de entrada. Ya que cada entrada
es aleatoria, las salidas tambien seran aleatorias.
4.1.1. Generadores de Numeros Aleatorios
Un generador de numeros aleatorios es un metodo computarizado o fısico que produce nume-
ros que no tienen un patron secuencial, y se arreglan por pura casualidad. Estos numeros
han encontrado muchas aplicaciones en estadıstica, diseno experimental, criptografıa y en
muchas otras disciplinas.
4.1.2. Lenguajes de Programacion
Algunos de los lenguajes de programacion desarrollados para utilizar este metodo de solucion
fueron: COBOL, FORTRAN, Basic, Visual Basic, Java y C++.
Como la simulacion se convirtio en una parte importante para el desarrollo de problemas
en casi todas las ramas de la educacion, un nuevo tipo de lenguajes de programacion fue
desarrollado (GAUSS, SAS, SPSS, R) y estos fueron enfocados en los dos mayores tipos de
simulacion: continua y discreta. Estos lenguajes son capaces de permitir al usuario emular la
Page 39
4.2 Resultados Simulacion Metodo de Monte Carlo 25
construccion de procesos y tambien le da la habilidad de tener ciertos aspectos estadısticos
de este proceso, desarrollar analisis de datos y proveer tablas y graficas que nos permiten
entender los datos de salida [29].
Los eventos discretos son los que cambian uno a la vez en el tiempo, en cambio los eventos
continuos son los que varian en el tiempo.
4.1.3. Software de Simulacion
Con el paso del tiempo, el numero de paquetes de simulacion que han podido asimilar el
metodo han sido muchos, y han sido implementados en la industria, el juego y las finanzas.
Cuando se tiene un programa adecuado a un proceso, este se puede modificar al revisar los
diferentes resultados de cada simulacion. Ademas este programa se puede adaptar a diferen-
tes variaciones de un programa en general.
Es posible encontrar la simulacion de Monte Carlo en Excel, facilitando el analisis de FDP.
Ademas se incluyo una funcion llamada RISK SOLVER Engine para Excel, que permite
realizar la simulacion de Monte Carlo en diferentes hojas de un archivo [29].
4.2. Resultados Simulacion Metodo de Monte Carlo
4.2.1. Funcion Normal
Para cada una de las funciones tenemos cuatro casos de simulacion para comprobar a traves
del metodo de montecarlo y el metodo analitico expuesto en el capıtulo anterior. Por lo
tanto, es posible a traves de las funciones analiticas tener costos de incertidumbre que se
aproximen a valores reales.
Como parametros iniciales se tiene:
Ps = Valor Despachado
me = Valor Medio
sg = Desviacion Estandar
N = Numero de Iteraciones = 100000
Cu = Costo por Subestimar = $300
Co = Costo por Sobrestimar = $700
Page 40
26 4 Validacion de la Formulacion Analitica Para la Demanda de Energıa Electrica
Se presentan cuatro casos en los cuales lo valores que variaran son: Ps, me y sg.
Caso 1.
La potencia del sistema esta entre 17.5 MW y 21.5 MW, y los valores asigandos para
Ps, me y sg son los siguientes: 18.5 MW, 19.54 MW y 0.54, respectivamente.
Figura 4-1.: Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
1, Funcion Normal.
Figura 4-2.: Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 1, Funcion
Normal.
Page 41
4.2 Resultados Simulacion Metodo de Monte Carlo 27
Caso 2.
La potencia del sistema esta entre 24 MW y 29 MW, y los valores asigandos para Ps,
me y sg son los siguientes: 25.5 MW, 26.3 MW y 0.67, respectivamente.
Figura 4-3.: Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
2, Funcion Normal.
Figura 4-4.: Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 2, Funcion
Normal.
Page 42
28 4 Validacion de la Formulacion Analitica Para la Demanda de Energıa Electrica
Caso 3.
La potencia del sistema esta entre 34 MW y 42 MW, y los valores asigandos para Ps,
me y sg son los siguientes: 35.9 MW, 38 MW y 1.03, respectivamente.
Figura 4-5.: Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
3, Funcion Normal.
Figura 4-6.: Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 3, Funcion
Normal.
Page 43
4.2 Resultados Simulacion Metodo de Monte Carlo 29
Caso 4.
La potencia del sistema esta entre 8 MW y 11 MW, y los valores asigandos para Ps,
me y sg son los siguientes: 8.3 MW, 9.5 MW y 0.34, respectivamente.
Figura 4-7.: Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
4, Funcion Normal.
Figura 4-8.: Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 4, Funcion
Normal.
Page 44
30 4 Validacion de la Formulacion Analitica Para la Demanda de Energıa Electrica
Resultados
A continuacion se presentan los resultados tanto para la simulacion a traves del metodo
de Monte Carlo, como del metodo analitico y sus ecuaciones:
Monte Carlo Analıtico
Caso 1 317.2303 317.579
Caso 2 278.2511 278.0512
Caso 3 638.3064 637.8763
Caso 4 359.8455 360.0177
Tabla 4-1.: Comparacion costo de penalidad, Funcion Normal.
Figura 4-9.: Comparacion costo de penalidad, Funcion Normal.
Page 45
4.2 Resultados Simulacion Metodo de Monte Carlo 31
4.2.2. Funcion Beta
Como se dijo anteriormente para la funcion Beta se presentan cuatro casos de simulacion,
la estructura de cada uno de los codigos es similar y aplicable para cada caso, solo hay una
diferencia entre el codigo presentado para la funcion Beta, y es el hecho que las variaciones
de la potencia se tienen definidas como cero para la potencia mınima y uno para la potencia
maxima dependiendo de cada caso de simulacion.
Como parametros iniciales se tiene:
Ps = Valor Despachado
me = Valor Medio
sg = Desviacion Estandar
N = Numero de Iteraciones = 100000
Cu = Costo por Subestimar = $300
Co = Costo por Sobrestimar = $700
Se presentan cuatro casos en los cuales lo valores que variaran son: Ps, me y sg.
Caso 1.
Los valores asigandos para Ps, me y sg son los siguientes: 0.25, 10 y 1.8, respectiva-
mente.
Figura 4-10.: Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
1, Funcion Beta.
Page 46
32 4 Validacion de la Formulacion Analitica Para la Demanda de Energıa Electrica
Figura 4-11.: Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 1, Funcion Beta.
Caso 2.
Los valores asigandos para Ps, me y sg son los siguientes: 0.75, 5 y 0.39, respectiva-
mente.
Figura 4-12.: Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
2, Funcion Beta.
Page 47
4.2 Resultados Simulacion Metodo de Monte Carlo 33
Figura 4-13.: Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 2, Funcion Beta.
Caso 3.
Los valores asigandos para Ps, me y sg son los siguientes: 0.75, 1 y 0.67, respectiva-
mente.
Figura 4-14.: Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
3, Funcion Beta
Page 48
34 4 Validacion de la Formulacion Analitica Para la Demanda de Energıa Electrica
Figura 4-15.: Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 3, Funcion Beta
Caso 4.
Los valores asigandos para Ps, me y sg son los siguientes: 0.89, 0.45 y 0.34, respectiva-
mente.
Figura 4-16.: Escenarios para la potencia, costos de subestimacion y sobrestimacion, Caso
4, Funcion Beta
Page 49
4.2 Resultados Simulacion Metodo de Monte Carlo 35
Figura 4-17.: Costo de penalidad, bajo los parametros de simulacion, Caso 4, Funcion Beta
Resultados
A continuacion se presentan los resultados tanto para la simulacion a traves del metodo
de Monte Carlo, como del metodo analitico y sus ecuaciones:
Monte Carlo Analıtico
Caso 1 181.4460 181.4107
Caso 2 205.4509 204.1888
Caso 3 165.0806 164.9153
Caso 4 250.4548 249.7449
Tabla 4-2.: Comparacion costo de penalidad, Funcion beta
Page 50
36 4 Validacion de la Formulacion Analitica Para la Demanda de Energıa Electrica
Figura 4-18.: Comparacion costo de penalidad, Funcion Beta
Page 51
5. Validacion de Resultados
A continuacion, se presenta el analisis de resultados encontrados a traves de la validacion de
la simulacion de Monte Carlo y el metodo analıtico encontrado.
Figura 5-1.: Diagrama de flujo para la validacion de resultados
Page 52
38 5 Validacion de Resultados
5.1. Distribucion Normal
Se presentan los resultados obtenidos para el calculo del error de acuerdo a la formulacion
analitica presentada en el capıtulo anterior y los resultados de las simulaciones a traves del
metodo de Monte Carlo.
Para cada caso se presentan los resultados de 25 simulaciones, el valor analıtico es el mismo
para todos los casos, sin embargo, debido a las iteraciones del programa el resultado de las
simulaciones es diferente para cada caso.
Caso 1: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 317.5790
# Simulacion Monte Carlo # Simulacion Monte Carlo
1 318.2913 14 318.0775
2 317.9161 15 317.3798
3 318.4017 16 318.9341
4 317.3396 17 317.4439
5 317.5135 18 317.4791
6 317.2197 19 317.2286
7 317.9858 20 317.6289
8 318.7582 21 317.5556
9 316.8641 22 318.3687
10 317.9871 23 317.6681
11 317.3757 24 317.3042
12 317.3007 25 318.2144
13 318.7174
Tabla 5-1.: Resultados Simulacion Caso 1, Distribucion Normal
Figura 5-2.: Comparacion Costos para el Caso 1, Distribucion Normal
Page 53
5.1 Distribucion Normal 39
Caso 2: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 278.0512
# Simulacion Monte Carlo # Simulacion Monte Carlo
1 277.8690 14 278.3164
2 277.4771 15 277.9106
3 278.4712 16 277.6831
4 278.4835 17 277.7117
5 277.2783 18 277.8994
6 277.8333 19 277.8017
7 279.3705 20 278.2596
8 277.0410 21 279.4031
9 277.7669 22 277.3989
10 277.7949 23 277.7563
11 276.9523 24 277.7839
12 278.4138 25 278.2705
13 279.0352
Tabla 5-2.: Resultados Simulacion Caso 2, Distribucion Normal
Figura 5-3.: Comparacion Costos para el Caso 2, Distribucion Normal
Page 54
40 5 Validacion de Resultados
Caso 3: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 637.8763
# Simulacion Monte Carlo # Simulacion Monte Carlo
1 639.0635 14 637.3875
2 637.4178 15 637.1580
3 637.2032 16 638.4472
4 638.8177 17 636.3506
5 637.3077 18 637.3036
6 636.3336 19 636.9238
7 639.8136 20 637.4465
8 637.9298 21 638.8680
9 637.2580 22 637.4706
10 635.7477 23 637.0749
11 638.8453 24 637.4375
12 637.1088 25 638.4381
13 637.4913
Tabla 5-3.: Resultados Simulacion Caso 3, Distribucion Normal
Figura 5-4.: Comparacion Costos para el Caso 3, Distribucion Normal
Page 55
5.1 Distribucion Normal 41
Caso 4: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 360.0177
# Simulacion Monte Carlo # Simulacion Monte Carlo
1 359.9904 14 360.0626
2 360.0837 15 360.2327
3 359.8322 16 360.3408
4 359.9465 17 360.0992
5 360.3732 18 359.8158
6 359.5328 19 360.1821
7 359.9689 20 360.2273
8 360.2543 21 359.6548
9 360.4312 22 359.7560
10 359.8203 23 360.1102
11 360.0178 24 360.2968
12 360.2176 25 359.8082
13 359.6463
Tabla 5-4.: Resultados Simulacion Caso 4, Distribucion Normal
Figura 5-5.: Comparacion Costos para el Caso 4, Distribucion Normal
Page 56
42 5 Validacion de Resultados
5.1.1. Error para la Distribucion Normal
Se presentan los resultados de los errores que se encontraron para cada caso de simulacion:
Caso 1: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 317.5790
# Simulacion Error ( %) # Simulacion Error ( %)
1 0.223789 14 0.156723
2 0.106034 15 0.062764
3 0.258384 16 0.424884
4 0.075440 17 0.042559
5 0.020629 18 0.031467
6 0.113265 19 0.110457
7 0.127930 20 0.015710
8 0.369936 21 0.007369
9 0.225617 22 0.248046
10 0.128339 23 0.028048
11 0.064057 24 0.086605
12 0.087709 25 0.199677
13 0.357182
Tabla 5-5.: Error Calculado, Caso 1, Distribucion Normal
Varianza 0.013770
Media 0.094694
Promedio 0.142905
Desviacion Estandar 0.117344
Tabla 5-6.: Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 1, Distribucion Normal
Page 57
5.1 Distribucion Normal 43
Caso 2: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 278.0512
# Simulacion Error ( %) # Simulacion Error ( %)
1 0.065570 14 0.095287
2 0.206900 15 0.050592
3 0.150823 16 0.132561
4 0.155234 17 0.122249
5 0.278745 18 0.054624
6 0.078428 19 0.089812
7 0.472240 20 0.074894
8 0.364639 21 0.483853
9 0.102352 22 0.235149
10 0.092262 23 0.106172
11 0.396783 24 0.096226
12 0.130238 25 0.078808
13 0.352644
Tabla 5-7.: Error Calculado, Caso 2, Distribucion Normal
Varianza 0.017929
Media 0.141036
Promedio 0.178683
Desviacion Estandar 0.133899
Tabla 5-8.: Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 2, Distribucion Normal
Page 58
44 5 Validacion de Resultados
Caso 3: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 637.8763
# Simulacion Error ( %) # Simulacion Error ( %)
1 0.185772 14 0.076688
2 0.071931 15 0.112735
3 0.105633 16 0.089420
4 0.147366 17 0.239758
5 0.089219 18 0.089549
6 0.242436 19 0.149547
7 0.302791 20 0.067425
8 0.008387 21 0.155228
9 0.097025 22 0.063642
10 0.334818 23 0.125794
11 0.151680 24 0.068838
12 0.120466 25 0.087996
13 0.060393
Tabla 5-9.: Error Calculado, Caso 3, Distribucion Normal
Varianza 0.006171
Media 0.106784
Promedio 0.129781
Desviacion Estandar 0.078555
Tabla 5-10.: Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 3, Distribucion Normal
Page 59
5.1 Distribucion Normal 45
Caso 4: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 360.0177
# Simulacion Error ( %) # Simulacion Error ( %)
1 0.007583 14 0.012470
2 0.018329 15 0.059684
3 0.051552 16 0.089665
4 0.019781 17 0.022633
5 0.098648 18 0.056112
6 0.134869 19 0.045644
7 0.013557 20 0.058185
8 0.065676 21 0.100902
9 0.114724 22 0.072744
10 0.9054861 23 0.025687
11 0.000028 24 0.077464
12 0.055494 25 0.058225
13 0.103268
Tabla 5-11.: Error Calculado, Caso 4, Distribucion Normal
Varianza 0.001324
Media 0.034699
Promedio 0.056711
Desviacion Estandar 0.036390
Tabla 5-12.: Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 4, Distribucion Normal
Page 60
46 5 Validacion de Resultados
5.2. Distribucion Beta
Se presentan los resultados obtenidos para el calculo del error de acuerdo a la formulacion
analitica presentada en el capıtulo anterior y los resultados de las simulaciones a traves del
metodo de Monte Carlo.
Para cada caso se presentan los resultados de 25 simulaciones, el valor analıtico es el mismo
para todos los casos, sin embargo, debido a las iteraciones del programa el resultado de las
simulaciones es diferente para cada caso.
Caso 1: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 181.4107
# Simulacion Monte Carlo # Simulacion Monte Carlo
1 181.4460 14 181.4098
2 181.4191 15 181.4099
3 181.3914 16 181.3515
4 181.3818 17 181.3818
5 181.4180 18 181.4601
6 181.4480 19 181.4114
7 181.4148 20 181.4097
8 181.4163 21 181.3926
9 181.3573 22 181.4198
10 181.4730 23 181.4055
11 181.4235 24 181.4310
12 181.4277 25 181.4227
13 181.3645
Tabla 5-13.: Resultados Simulacion Caso 1, Distribucion Beta
Figura 5-6.: Comparacion Costos para el Caso 1, Distribucion Beta
Page 61
5.2 Distribucion Beta 47
Caso 2: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 204.1888
Simulacion Monte Carlo # Simulacion Monte Carlo
1 205.4509 14 205.3744
2 205.3255 15 205.5502
3 205.5176 16 205.5018
4 205.1526 17 205.5595
5 205.2791 18 205.3562
6 205.5292 19 205.5373
7 205.5990 20 205.4439
8 205.3694 21 205.3690
9 205.2982 22 205.5717
10 205.4119 23 205.3810
11 205.5759 24 205.5860
12 205.3537 25 205.3743
13 205.2402
Tabla 5-14.: Resultados Simulacion Caso 2, Distribucion Beta
Figura 5-7.: Comparacion Costos para el Caso 2, Distribucion Beta
Page 62
48 5 Validacion de Resultados
Caso 3: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 164.9153
# Simulacion Monte Carlo # Simulacion Monte Carlo
1 165.0806 14 165.1094
2 165.3031 15 164.8392
3 165.0495 16 164.9935
4 165.0863 17 164.9959
5 165.0717 18 165.0557
6 165.0631 19 164.8375
7 165.0996 20 164.9082
8 164.8586 21 165.2230
9 164.8855 22 164.9662
10 164.8262 23 165.0040
11 165.0295 24 164.8271
12 164.8890 25 164.9309
13 165.0033
Tabla 5-15.: Resultados Simulacion Caso 3, Distribucion Beta
Figura 5-8.: Comparacion Costos para el Caso 3, Distribucion Beta
Page 63
5.2 Distribucion Beta 49
Caso 4: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 249.7449
# Simulacion Monte Carlo # Simulacion Monte Carlo
1 250.4548 14 250.4232
2 250.4973 15 250.1870
3 250.5916 16 250.6003
4 250.7420 17 250.1274
5 250.2652 18 250.7525
6 250.7986 19 250.3517
7 250.5171 20 250.6819
8 250.7023 21 250.2837
9 250.5929 22 250.3529
10 250.6746 23 250.1315
11 250.3498 24 250.3409
12 250.4644 25 250.2789
13 250.4919
Tabla 5-16.: Resultados Simulacion Caso 4, Distribucion Beta
Figura 5-9.: Comparacion Costos para el Caso 4, Distribucion Beta
Page 64
50 5 Validacion de Resultados
5.2.1. Error para la Distribucion Beta
Caso 1: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 181.4107
# Simulacion Error ( %) # Simulacion Error ( %)
1 0.019455 14 0.025474
2 0.004630 15 0.000496
3 0.010640 16 0.000441
4 0.015933 17 0.032644
5 0.016920 18 0.015933
6 0.004024 19 0.027224
7 0.020557 20 0.000386
8 0.002260 21 0.000551
9 0.003087 22 0.009978
10 0.029445 23 0.005016
11 0.034330 24 0.002867
12 0.007055 25 0.011189
13 0.009370
Tabla 5-17.: Error Calculado, Caso 1, Distribucion Beta
Varianza 0.000117
Media 0.006564
Promedio 0.012396
Desviacion Estandar 0.010833
Tabla 5-18.: Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 1, Distribucion Beta
Page 65
5.2 Distribucion Beta 51
Caso 2: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 204.1888
# Simulacion Error ( %) # Simulacion Error ( %)
1 0.614307 14 0.577287
2 0.553609 15 0.662320
3 0.646563 16 0.638924
4 0.469797 17 0.666814
5 0.531131 18 0.568476
6 0.652170 19 0.656085
7 0.685898 20 0.610921
8 0.574867 21 0.574673
9 0.540385 22 0.672709
10 0.595438 23 0.580482
11 0.674739 24 0.679618
12 0.567265 25 0.577239
13 0.512278
Tabla 5-19.: Error Calculado, Caso 2, Distribucion Beta
Varianza 0.003433
Media 0.600548
Promedio 0.603360
Desviacion Estandar 0.058595
Tabla 5-20.: Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 2, Distribucion Beta
Page 66
52 5 Validacion de Resultados
Caso 3: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 164.9153
# Simulacion Error ( %) # Simulacion Error ( %)
1 0.100133 14 0.117558
2 0.234599 15 0.046166
3 0.081309 16 0.047396
4 0.103582 17 0.048850
5 0.094747 18 0.085062
6 0.089542 19 0.047198
7 0.111630 20 0.004305
8 0.034393 21 0.186233
9 0.018073 22 0.030855
10 0.054057 23 0.053756
11 0.069200 24 0.053511
12 0.015950 25 0.009459
13 0.053332
Tabla 5-21.: Error Calculado, Caso 3, Distribucion Beta
Varianza 0.002810
Media 0.052966
Promedio 0.071636
Desviacion Estandar 0.053005
Tabla 5-22.: Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 3, Distribucion Beta
Page 67
5.2 Distribucion Beta 53
Caso 4: El costo de incertidumbre hallado analıticamente fue de $ 249.7449
# Simulacion Error ( %) # Simulacion Error ( %)
1 0.283444 14 0.270861
2 0.300363 15 0.176708
3 0.337880 16 0.341340
4 0.397660 17 0.152922
5 0.207899 18 0.401830
6 0.420138 19 0.242379
7 0.308242 20 0.373780
8 0.381887 21 0.215276
9 0.338397 22 0.242857
10 0.370879 23 0.154559
11 0.241622 24 0.238075
12 0.287266 25 0.213362
13 0.298213
Tabla 5-23.: Error Calculado, Caso 4, Distribucion Beta
Varianza 0.006201
Media 0.276877
Promedio 0.287914
Desviacion Estandar 0.078745
Tabla 5-24.: Datos Estadısticos, Error Calculado, Caso 4, Distribucion Beta
Page 68
54 5 Validacion de Resultados
5.3. Analisis de Resultados
Para cada uno de los casos mostrados, se realizaron 25 simulaciones. Los resultados se pre-
sentan en las secciones anteriores y el analisis se realiza a continuacion:
5.3.1. Distribucion Normal
Caso 1
• Los resultados de los costos mostrados en la tabla 5-1 con los cuales se ve una
variacion mostrada en la figura 5-2, la variacion del precio es mınima.
• Para el caso del error, se tiene la tabla 5-5, donde se muestra el calculo del error
comparado con el valor analıtico para cada una de las simulaciones, sin embargo,
a travez de datos estadısticos se puede mostrar que el promedio del error para
este caso es de 0,142905 % segun los resultados de la tabla 5-6.
Caso 2
• Para este caso los resultados se muestran en la tabla 5-2, y la variacion en la
figura 5-3, tal como se presento en el caso anterior, la variacion del costo de
incertidumbre es mınima.
• Como en el caso anterior y para mostrar el error presentado entre la formulacion
analıtica y las simulaciones se tiene la tabla 5-7, la tabla 5-8 presenta algunos
datos estadısticos que muestran que el promedio del error para este caso es de
0,178683 %.
Caso 3
• Como en el caso anterior se presentan los resultados en la tabla 5-3 y en la
figura 5-4 se muestra la variacion de los resultados, a pesar de cambiar los datos
de entrada para el programa se tiene un resultado muy similar entre el costo
analıtico y el costo hallado a traves de las simulaciones.
• El error presentado se muestra en la tabla 5-9, y los datos estadısticos se muestran
en la tabla 5-10, con esto se tiene un promedio de error de 0,129781 %, para este
caso que se analizo.
Caso 4
• Para el ultimo caso de simulacion se tiene los resultados del costo analıtico y
el costo a traves de simulaciones en la tabla 5-4 y la figura 5-5, de nuevo los
resultados muestran una variacion mınima del costo de incertidumbre.
• Para el caso del error y siguiendo el mismo analisis presentado en los casos an-
teriores, el error se presenta en la tabla 5-11, y los datos estadısticos con un
promedio de 0,056711 % en la tabla 5-12.
Page 69
5.3 Analisis de Resultados 55
5.3.2. Distribucion Beta
Caso 1
• Para los resultados de los costos analıticos y los costos que se encuentran a traves
de la simulacion, se tiene la tabla 5-13, y la figura 5-6, la variacion presentada
en los resultados es mınima.
• Para el error la tabla 5-17 muestra los resultados para cada una de las simulacio-
nes y el promedio de error para este caso es de 0,12396 %, este resultado y otros
se pueden ver en la tabla 5-18.
Caso 2
• El costo analıtico encontrado para este caso y los resultados de las simulaciones
se presentan en la tabla 5-14, para este caso en particular el resultado de las
simulaciones es mayor al del costo analıtico, sin embargo, no es mayor a una
unidad como se muestra en la figura 5-7.
• El error presentado para cada caso de simulacion se encuentra en la tabla 5-19,
el promedio de error encontrado para los casos de simulacion fue de 0,603360 %,
este resultado se puede encontrar en la tabla 5-20.
Caso 3
• Los resultados que se presentan en la tabla 5-15 y el comportamiento de las
variaciones mostradas en la figura 5-8 son similares a las encontradas con la
funcion normal.
• Para el caso del error la tabla 5-21 muestra los resultados obtenidos para cada
simulacion, y la tabla 5-22 muestra el promedio del error, que se encuentra en
0,071636 %.
Caso 4
• Para este ultimo caso presentado para la distribucion beta, el comportamiento es
similar al caso 2 de esta seccion, la tabla 5-16 muestra los resultados y la figura
5-9 presenta el comportamiento de la variacion de las simulaciones, la variacion
presentada es menor a una unidad, pero el costo analıtico esta por debajo del
costo encontrado en las simulaciones.
• La tabla 5-23 muestra el error para cada simulacion, y la tabla 5-24 muestra
algunos datos estadısticos en los cuales se presenta el promedio del error que es
de 0,287914 %.
Page 70
6. Conclusiones, recomendaciones y
trabajos futuros
6.1. Conclusiones
A traves del desarrollo y analisis de las funciones de distribucion de probabilidad
encontradas para modelar la demanda es posible determinar el costo de incertidumbre
aplicado a la subestimacion y sobrestimacion de la demanda de energıa electrica con
aproximaciones matematicas.
De acuerdo a la investigacion realizada se determino que, para modelar el comporta-
miento de la demanda de energıa electrica se puede utilizar la funcion de distribucion
de probabilidad normal, y para un caso en particular, para modelar la demanda de
energıa electrica residencial se puede utilizar la funcion de distribucion beta.
Con los resultados obtenidos a traves de la formulacion matematica desarrollada, se
puede entender que el modelamiento de la demanda de energıa electrica puede ser
resuelto con funciones de distribucion de probabilidad para casos generales o casos
particulares.
A traves del modelamiento de la demanda con funciones de distribucion de probabi-
lidad es posible encontrar un patron de consumo, que permite definir los costos de
incertidumbre que se generan en el sistema por la subestimacion y la sobrestimacion
de la demanda de energıa electrica.
Es posible encontrar valores muy cercanos a las simulaciones a traves de la formulacion
analıtica, como se puede ver a traves de los resultados, los valores encontrados se
aproximan al metodo de Monte Carlo, por lo tanto, se tiene una nueva herramienta
para definir los costos de incertidumbre sin emplear grandes tiempos de simulacion.
Con la formulacion analıtica presentada se pueden hallar los costos de incertidum-
bre por subestimar o sobrestimar a la demanda de energıa electrica, sin diferenciar
la demanda de energıa electrica y teniendo rangos amplios para el modelamiento de
cualquier tipo de demanda.
Page 71
6.2 Recomendaciones y trabajos futuros 57
Con el modelamiento de la demanda de energıa electrica a traves de las funciones
de distribucion normal y beta, se demostro que el algoritmo desarrollado es capaz
de adaptarse a cualquier tipo de variacion de la demanda y que no se tienen errores
significativos en la adquisicion de resultados.
Se ha encontrado una manera simple y sencilla de definir el costo de penalizacion que
debe ser asumido por el sistema o la demanda cuando alguno de las partes falla en los
compromisos adquiridos en el mercado de energıa electrica.
Las variaciones de los datos de simulacion y del error encontradas son menores al
1 %, evidenciando la facilidad y utilidad de la formula analıtica desarrollada en este
documento.
6.2. Recomendaciones y trabajos futuros
De acuerdo a las experiencias recogidas a lo largo del desarrollo de este trabajo, se propone:
Utilizar el teorema de la varianza para encontrar una zona donde se pueda asumir
directamente el costo de penalizacion para diferentes funciones de distribucion de pro-
babilidad que puedan modelar la demanda de energıa electrica, sea para la demanda
residencial, comercial o industrial.
Page 72
A. Anexo: Algoritmos Desarrollados para
el Analisis de Informacion.
A.1. Funcion de Distribucion de Probabilidad Normal
clc
close all
Ps=18.5;
me=19.54;
sg= 0.54;
N=100000;
Cu=300;
Co=700;
A set of montecarlo simulations
tic
ii=1;
iii=1;
CO=[]; CU=[]; Pe=[];
for i=1:N
Pe(i)=normrnd(me,sg);
if Ps¿=Pe(i)
CO(ii)=Co*(Ps-Pe(i));
ii=ii+1;
else
CU(iii)=Cu*(Pe(i)-Ps);
iii=iii+1;
end
Page 73
A.1 Funcion de Distribucion de Probabilidad Normal 59
end
figure(1)
subplot(3,1,1)
hist(Pe)
title(’Histograms’,’color’,’Black’,’fontsize’,13) , grid on;
ylabel(’Scenarios’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
xlabel(’Power [MW]’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
subplot(3,1,2)
hist(CU)
grid on;
title(’Cost due to underestimate Histogram’,’color’,’Black’,’fontsize’,12) , grid on;
ylabel(’Scenarios’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
xlabel(’Cost due to underestimate [$]’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
subplot(3,1,3)
hist(CO)
grid on;
title(’Cost due to overestimate Histogram’,’color’,’Black’,’fontsize’,12) , grid on;
ylabel(’Scenarios’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
xlabel(’Cost due overestimate [$]’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
COSTO TOTAL
figure(2)
CUCO=[CU CO];
hist(CUCO)
title( UCF Histogram’,’color’,’Black’,’fontsize’,12) , grid on;
ylabel(’Scenarios’,’color’,’Black’,’fontsize’,10);
xlabel(’Penalty cost (UCF) [$]’,’color’,’Black’,’fontsize’,11);
ExpectedUncertaintyCost Montecarlo=mean(CUCO)
xo1=mean(CO);
xu1=mean(CU);
toc
Analytical Calculation:
$d=(me-Ps)/(sg*sqrt(2));
Page 74
60 A Anexo: Algoritmos Desarrollados para el Analisis de Informacion.
$Cua=((Cu/2)*(me-Ps)*(1+erf(d)))+(((Cu*sg)/sqrt(2*pi))*exp(-d2));
$Coa=-((Co*sg/(sqrt(2*pi)))*((exp(-(me2/(2∗sg2))))−(exp(−d2))))+((Co/2)∗(Ps−me)∗(erf((me)/(sg ∗ sqrt(2)))− erf(d)));
$ExpectedUncertaintyCostAnalytical = Cua+ Coa
A.2. Funcion de Distribucion de Probabilidad Beta
clc
close all
Ps=0.89;
me=0.9;
sg=0.03;
N=1000000;
Cu=300;
Co=700;
Pinf=1;
a=me;
b=sg;
tic
ii=1;
iii=1;
CO=[];
CU=[];
Pe=[];
for i=1:N
Pe(i)=(betarnd(me,sg));
if Ps¿=Pe(i)
CO(ii)=Co*(Ps-Pe(i));
COO(i)=CO(ii);
CUU(i)=0;
ii=ii+1;
else
Page 75
A.2 Funcion de Distribucion de Probabilidad Beta 61
CU(iii)=Cu*(Pe(i)-Ps);
CUU(i)= CU(iii);
COO(i)=0;
iii=iii+1;
end
end
figure(1)
subplot(3,1,1)
hist(Pe)
title(’Histograms’,’color’,’Black’,’fontsize’,13) , grid on;
ylabel(’Scenarios’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
xlabel(’Power [MW]’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
subplot(3,1,2)
hist(CU)
grid on;
ylabel(’Scenarios’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
xlabel(’Cost due to underestimate [$]’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
subplot(3,1,3)
hist(CO)
grid on;
ylabel(’Scenarios’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
xlabel(’Cost due overestimate [$]’,’color’,’Black’,’fontsize’,9);
COSTO TOTAL
figure(2)
CUCO=[CU CO];
hist(CUCO)
title( UCF Histogram’,’color’,’Black’,’fontsize’,12) , grid on;
ylabel(’Scenarios’,’color’,’Black’,’fontsize’,10);
xlabel(’Penalty cost (UCF) [$]’,’color’,’Black’,’fontsize’,11);
ExpectedUncertaintyCost Montecarlo=mean(CUCO);
ExpectedUncertaintyCost OVERMontecarlo = mean(COO);
ExpectedUncertaintyCost UNDERMontecarlo = mean(CUU);
ExpectedUncertaintyCost Montecarlo = mean(COO) +mean(CUU)
toc;
Page 76
62 A Anexo: Algoritmos Desarrollados para el Analisis de Informacion.
Analytical Caculation
Terminos=10000;
x=Pinf;
Cua1= -( (xa ∗ (((1 + a) ∗ Ps ∗ hypergeometric2f1(a,−b, 1 + a, x, Terminos)) + (a ∗ (−1 +
Ps) ∗ x ∗ hypergeometric2f1(1 + a, 1− b, 2 + a, x, Terminos)))));
Cua1 = Cua1/(a ∗ (1 + a));
x=Ps;
Cua2= -( (xa ∗ (((1 + a) ∗ Ps ∗ hypergeometric2f1(a,−b, 1 + a, x, Terminos)) + (a ∗ (−1 +
Ps) ∗ x ∗ hypergeometric2f1(1 + a, 1− b, 2 + a, x, Terminos)))));
Cua2 = Cua2/(a ∗ (1 + a));
Cte=(Cu*gamma(a+b))/(gamma(a)*gamma(b));
Cua=Cte*(Cua1-Cua2);
Terminos=10000;
x=Ps;
Coa1=xa ∗ (((Ps ∗ hypergeometric2f1(a,−b, 1 + a, x, Terminos))/(a)) + (((−1 + Ps) ∗ x ∗hypergeometric2f1(1 + a, 1− b, 2 + a, x, Terminos))/(1 + a)));
x=0;
Coa2=xa ∗ (((Ps ∗ hypergeometric2f1(a,−b, 1 + a, x, Terminos))/(a)) + (((−1 + Ps) ∗ x ∗hypergeometric2f1(1 + a, 1− b, 2 + a, x, Terminos))/(1 + a)));
Cte=(Co*gamma(a+b))/(gamma(a)*gamma(b));
Coa=Cte*(Coa1-Coa2);
ExpectedUncertaintyCost OVERAnalytical = Coa;
ExpectedUncertaintyCost UNDERAnalytical = Cua;
ExpectedUncertaintyCost Analytical = Cua+ Coa
A.3. Funcion Hipergeometrica
function z=hypergeometric2f1(a,b,c,x,n)
HYPERGEOMETRIC2F1 Computes the hypergeometric function using a series expansion:
Page 77
A.3 Funcion Hipergeometrica 63
f(a,b;c;x)=
1 + [ab/1!c]x+ [a(a+ 1)b(b+ 1)/2!c(c+ 1)]x2+
[a(a+ 1)(a+ 2)b(b+ 1)(b+ 2)/3!c(c+ 1)(c+ 2)]x3 + ...
The series is expanded to n terms
This function solves the Gaussian Hypergeometric Differential Equation:
x(1− x)y′′ + c− (a+ b+ 1)xy′ − aby = 0
The Hypergeometric function converges only for:
—x— ¡1
c != 0, -1, -2, -3, ...
Comments to:
Diego Garcia - [email protected]
Chuck Mongiovi - [email protected]
June 14, 2002
if nargin ∼= 5
error(′ Usage : hypergeometric2f1(a, b, c, x, n)−− > Wrong number of arguments ′)
end
if (n <= 0|n ∼= floor(n))
error(′ Usage : hypergeometric2f1(a, b, c, x, n)−− > n has to be a positive integer ′)
end
if (abs(x) > 1)
error(′ Usage : hypergeometric2f1(a, b, c, x, n)−− > ‖x‖ has to beless than 1 ′)
end
if (c <= 0c == floor(c))
error(′ Usage : hypergeometric2f1(a, b, c, x, n)−− > c ! = 0,−1,−2,−3, ...′)
end z = 0;
m = 0;
while(m < n)
if(m == 0)
delta = 1;
else
delta = delta. ∗ x. ∗ (a+ (m− 1)). ∗ (b+ (m− 1))./m./(c+ (m− 1));
end
z = z + delta;
Page 78
64 A Anexo: Algoritmos Desarrollados para el Analisis de Informacion.
m = m+ 1;
end
Page 79
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