1 2 Cosa c’è nell’unità Introduzione ai metodi generali Prime definizioni della Teoria dei Grafi Definizioni Cammino e grafi connessi Maglie Taglio Albero e coalbero Grafi orientati Metodo del Tableau sparso e Metodo dei nodi Generalità del tableau e dei nodi Esempi di applicazione del metodo dei nodi Metodo dei nodi modificato Matrice di incidenza Teorema di Tellegen
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Cosa c’è nell’unità - Politecnico di Torinocorsiadistanza.polito.it/.../Elettrotecnica_I/lezioned1/lezione.pdf · Elettrotecnica I Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen. 18.
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Cosa c’è nell’unità
Introduzione ai metodi generaliPrime definizioni della Teoria dei Grafi
DefinizioniCammino e grafi connessiMaglieTaglioAlbero e coalberoGrafi orientati
Metodo del Tableau sparso e Metodo dei nodiGeneralità del tableau e dei nodiEsempi di applicazione del metodo dei nodiMetodo dei nodi modificato
Matrice di incidenzaTeorema di Tellegen
ovcin
Elettrotecnica I Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen
I metodi generali per il calcolo di reti elettriche di bipoli lineari sono il:
metodo dei potenziali ai nodimetodo degli anelli o delle correnti cicliche (applicabile solo allo studio di reti con grafi planari)metodo delle corde o delle maglie fondamentalimetodo dei rami o dei tagli fondamentali
Noi considereremo solo il“Metodo dei potenziali ai nodi”(il primo in elenco)
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Metodi generali
I metodi generali sono di solito formulati per reti di bipoliQuesto non limita la loro applicabilità a reti contenenti multipoli o multiporta, in quanto utilizzando generatori pilotati o controllati è sempre possibile ricondurre tali reti a reti di bipoliI generatori pilotati (o controllati) verranno trattati in seguito in questo stesso modulo di Elettrotecnica ILa formulazione dei metodi generali viene facilitata utilizzando la “Teoria dei Grafi”
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Metodi generali
Una rete di bipoli costituita da generatori ideali di tensione, di corrente e resistori, come ad esempio quella di figura a, verrà simbolicamente indicata come in figura b
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Metodi generali
Se la rete è costituita da l bipoli il vettore di uscita avrà al massimo 2l componenti, cioè le ltensioni e le l correnti sui bipoli
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Metodi generali
Per determinare queste 2l incognite abbiamo a disposizione le l relazioni costitutive degli l bipoliLe rimanenti l equazioni debbono essere ottenute tenendo in conto le connessioni dei bipoliE questo conduce a considerare le leggi di Kirchhoff
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Grafi planari e non planari
Un grafo si dice planare quando si riesce a disegnare in modo da avere lati che non si intersechinoUna rete è planare se il grafo ad essa associato è planare
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Cammino
Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi Vj e Vk un insieme di lati b1 , b2 , ..., br tali che:1. i lati consecutivi bi , bi+1 hanno sempre un
punto in comune2. nessun nodo di G è punto terminale di più di
due lati di C3.Vj e Vk sono nodi terminali di un solo lato di C
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Cammino: esempi
I lati d, h, i, b formano un cammino tra i nodi 1 e 2
Definizione di CAMMINO:Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi Vj e Vk un insieme di lati b1 , b2 , ..., b r tali che:1. i lati consecutivi bi , bi+1 hanno sempre un punto in comune2. nessun nodo di G è punto terminale di più di due lati di C3.Vj e Vk sono nodi terminali di un solo lato di C
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Cammino: esempi
I lati e, g, j, f non formano un cammino perché è violata la condizione 2
Definizione di CAMMINO:Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi Vj e Vk un insieme di lati b1 , b2 , ..., b r tali che:1. i lati consecutivi bi , bi+1 hanno sempre un punto in comune2. nessun nodo di G è punto terminale di più di due lati di C3.Vj e Vk sono nodi terminali di un solo lato di C
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Cammino: esempi
I lati e, f, h, i, c non formano un cammino perché è violata la condizione 1
Definizione di CAMMINO:Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi Vj e Vk un insieme di lati b1 , b2 , ..., b r tali che:1. i lati consecutivi bi , bi+1 hanno sempre un punto in comune2. nessun nodo di G è punto terminale di più di due lati di C3.Vj e Vk sono nodi terminali di un solo lato di C
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Grafi connessi
L’importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connesso
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Grafi connessi
L’importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connessoUn grafo è connesso se fra due nodi arbitrari di esso esiste un cammino
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Grafi connessi
L’importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connessoUn grafo è connesso se fra due nodi arbitrari di esso esiste un camminoUn grafo sconesso è l’insieme di più grafi connessi
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Grafi connessi
L’importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connessoUn grafo è connesso se fra due nodi arbitrari di esso esiste un camminoUn grafo sconnesso è l’insieme di più grafi connessi
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Maglia
Un sottografo Gm di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà:
1. Gm è connesso2. ogni nodo di Gm ha esattamente due lati
incidenti su di esso
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Maglia: esempi
I lati (a, b, c, d) insieme ai nodi (1, 2, 6, 5) formano una maglia
Definizione di MAGLIA:Un sottografo Gm di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà:1. Gm è connesso2. ogni nodo di Gm ha esattamente due lati incidenti su di esso
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Maglia: esempi
I lati (a, e, f, g, j ) insieme ai nodi (1, 2, 3, 4) nonformano una maglia perché è violata la condizione 2
Definizione di MAGLIA:Un sottografo Gm di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà:1. Gm è connesso2. ogni nodo di Gm ha esattamente due lati incidenti su di esso
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Maglia: esempi
I lati (a, e, f, h, i, c ) insieme ai nodi (1, 2, 3, 4, 5, 6) non formano una maglia perché è violata la condizione 1
Definizione di MAGLIA:Un sottografo Gm di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà:1. Gm è connesso2. ogni nodo di Gm ha esattamente due lati incidenti su di esso
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Taglio
Un insieme di lati T di un grafo connesso G è detto taglio od insieme di taglio se sono verificate le seguenti condizioni:1. rimuovendo da G tutti i lati dell’ insieme T (ma non i
nodi terminali perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso
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Taglio
Un insieme di lati T di un grafo connesso G è detto taglio od insieme di taglio se sono verificate le seguenti condizioni:1. rimuovendo da G tutti i lati dell’insieme T (ma non i
nodi terminali perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso
2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di T rimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T , ed uno solo
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Taglio: esempi
I lati (a, e, d ) costituiscono un taglio
Definizione di Taglio:
1. rimuovendo da G tutti i lati dell’insieme T (ma non i nodi terminali perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso
2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di Trimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T , ed uno solo
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Taglio: esempi
I lati (e, g, h, f, b ) non formano un taglio perché è violata la condizione 1
Definizione di Taglio:1. rimuovendo da G tutti i lati dell’insieme T (ma non i nodi terminali
perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso
2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di Trimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T , ed uno solo
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Taglio: esempi
I lati (a, e, d, c ) non formano un taglio perché è violata la condizione 2
Definizione di Taglio:1. rimuovendo da G tutti i lati dell’insieme T (ma non i nodi terminali
perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso
2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di Trimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T , ed uno solo
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Taglio
La legge di Kirchhoff delle correnti si può scrivere ed è valida su qualsiasi insieme di taglio di una rete elettrica (connessa)
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Taglio
La legge di Kirchhoff delle correnti si può scrivere ed è valida su qualsiasi insieme di taglio di una rete elettrica (connessa)Anche se non risulta evidente dalla loro definizione, i concetti di maglia e di taglio sono, in un certo senso, duali
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Albero (di un grafo connesso)
L’albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà:1. B è connesso2. contiene tutti i nodi del grafo G
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Albero (di un grafo connesso)
L’albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà:1. B è connesso2. contiene tutti i nodi del grafo G3. B non ha maglie
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Albero (di un grafo connesso)
L’albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà:1. B è connesso2. contiene tutti i nodi del grafo G3. B non ha maglie
I lati di un albero di un grafo vengono chiamati rami
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Albero (di un grafo connesso)
L’albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà:1. B è connesso2. contiene tutti i nodi del grafo G3. B non ha maglie
I lati di un albero di un grafo vengono chiamati ramiIl numero di alberi che si possono costruire per un dato grafo connesso può essere notevole
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Albero e Coalbero: esempi
Dato il grafo connesso G di 5 nodi ed 8 lati, la figura riporta due alberi (B1, B2) ed i relativi coalberiIn figura le corde sono individuate come lati “ondulati”
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Albero e coalbero: proprietà
3. Tagli fondamentali:considerato un albero B di un grafo connesso G e scelto un ramo bi di esso, esiste uno ed un solo taglio Ti che ha come lato quel ramo e come altri lati solo corde
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Albero e coalbero: proprietà
Ad ogni ramo corrisponde un taglio fondamentale ed il numero di tagli fondamentali è uguale al numero dei rami
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Albero e coalbero: proprietà
4. Maglie fondamentali:considerato un coalbero C di un grafo connesso G e scelta una corda ci di esso, esiste una ed una sola maglia Mi che ha come uno dei suoi lati quella corda e come altri lati solo rami
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Albero e coalbero: proprietà
Ad ogni corda corrisponde una maglia fondamentale ed il numero di maglie fondamentali è uguale al numero di corde c = l-n+1
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Metodo dei nodi
Rete di bipoli:intende ottenere un sistema di ordine ridotto:
inferiore a 2ll’ordine del sistema di equazioni è (n-1)si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCL
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Metodo dei nodi
Rete di bipoli:intende ottenere un sistema di ordine ridotto:
inferiore a 2ll’ordine del sistema di equazioni è (n-1)si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCLquesto implica si debbano scegliere ed utilizzare solo (n-1) incognite
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Metodo dei nodi
Rete di bipoli:intende ottenere un sistema di ordine ridotto:
inferiore a 2ll’ordine del sistema di equazioni è (n-1)si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCLquesto implica si debbano scegliere ed utilizzare solo (n-1) incognitele incognite scelte debbono implicitamente garantire le(l -n+1) equazioni KVL
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Metodo dei nodi
Rete di bipoli:intende ottenere un sistema di ordine ridotto:
inferiore a 2ll’ordine del sistema di equazioni è (n-1)si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCLquesto implica si debbano scegliere ed utilizzare solo (n-1) incognitele incognite scelte debbono implicitamente garantire le(l -n+1) equazioni KVLle equazioni scritte esplicitamente debbono tenere (implicitamente) conto delle l equazioni costitutive
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Metodo dei nodi
Il set delle tensioni nodali soddisfa implicitamente le KVL:
Esempio: maglia a, b, c, d
5 4 5 1 4 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0a b c dv v v - v
v (v - v ) (v - v ) - v
+ + =
+ + =
dc
a b
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Metodo dei nodi
Ricavate le tensioni di lato come differenza di tensioni nodali, se tutti i lati sono comandati in tensione (ossia, nel caso lineare, tutti i lati abbiano rappresentazione Norton) è possibile, attraverso le relazioni costitutive, calcolare le correnti di lato e poi imporre le KCL agli (n-1 ) nodi
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Metodo dei nodi
In termini di resistenze, l’equazione al nodo kdiviene:
Se per esempio il nodo i coincide con quello di riferimento 0, l’equazione diviene:
1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆk i j l ik jk lk
ik jk lk ik jk lk
v v v v a a aR R R R R R
+ + − − − = + +
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆk j l ik jk lkik jk lk jk lk
v v v a a aR R R R R
+ + − − = + +
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Metodo dei nodi
Se una coppia di nodi non è collegata da nessun lato questo si può fittiziamente aggiungere con un circuito aperto
Il circuito aperto ha una rappresentazione Nortonche è data da un generatore di corrente con corrente nulla, in parallelo ad un resistore di conduttanza nulla
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Metodo dei nodi
L’equazione ad un nodo generico ha un secondo membro che è costituito dalla somma algebrica dei valori dei generatori di corrente relativi ai lati (rappresentati Norton) che congiungono il nodo a tutti gli altri nodi della rete
Il primo membro è costituito invece da tanti termini che hanno a fattore le diverse tensioni ai nodi
1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆk i j l ik jk lk
ik jk lk i k j k lk
v v v v a a aR R R R R R
+ + − − − = + +
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Metodo dei nodi
Il termine più importante è quello che ha come fattore la tensione al nodo per il quale si sta scrivendo l’equazione; l’altro fattore di questo termine è costituito dalla somma di tutte le conduttanze dei lati tra il nodo di cui si sta scrivendo l’equazione e tutti gli altri nodi
1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆk i j l ik jk lkik jk lk i k j k lk
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Metodo dei nodi
Gli altri addendi al primo membro sono tutti preceduti dal segno - (meno) e sono costituiti dal prodotto della tensione di un generico nodo (diverso da quello per il quale si scrive l'equazione) e la conduttanza di collegamento diretto tra il nodo di cui si scrive la tensione ed il nodo di cui si scrive l’equazione
1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆk i j l ik jk lkik jk lk i k j k lk
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Metodo dei nodi modificato
questa parte di rete viene topologicamentemodificata (fig. a destra) in modo da non alterare il comportamento globale della rete (la nuova rete ha le stesse equazioni KCL e KVL della rete di partenza), ed in modo da avere tutti i lati rappresentabili Norton
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Metodo dei nodi modificato
è possibile trovare altre trasformazioni topologiche che portano a reti di topologia più semplice
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Metodo dei nodi modificato
Metodo modificato basato sul principio di sostituzione
il lato non Norton della rete di sinistra viene sostituito da un generatore di corrente ideale, che eroga la stessa corrente erogata dal generatore di tensione e nella rete di sinistra
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Metodo dei nodi modificato
1
2 4 4
2
4 3 4 5 5
3
5 1 5
ˆ1 1 1, , 0, 1
ˆ1 1 1 1 1, , , 0
0ˆ1 1 1
0, , , 10
ˆ
v
aR R Rv
R R R R R
vR R R
i
+ − − − + + − = − + + LLLLLLLLLL
12 4 4
24 3 4 5 5
35 1 5
1 1 1 ˆˆ, , 0
1 1 1 1 1 ˆ, , 0
1 1 1ˆ0, , ˆ
v a iR R R
vR R R R R
v iR R R
+ + − − + + − = − + −
La corrente iè incognita nel vettore delle incognite, a sinistra del segno di uguaglianza
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Metodo dei nodi modificato
2 4 41
4 3 4 5 52
5 1 53
1 1 1, , 0, 1
ˆ1 1 1 1 1
, , , 0ˆ 0
1 1 10, , , 1
ˆ 0
1, 0, 1, 0ˆ
R R Rv a
R R R R Rv
R R Rv
ei
+ − − − + + − − + + = + −
LLLLLLLLLL LL
Per bilanciare il numero di equazioni ed incognite si deve aggiungere e scrivere l’equazione costitutiva del bipolo non Norton (generatore di tensione e)
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Metodo dei nodi modificato
2 4 41
4 3 4 5 52
5 1 53
1 1 1, , 0, 1
ˆ1 1 1 1 1
, , , 0ˆ 0
1 1 10, , , 1
ˆ 0
1, 0, 1, 0ˆ
R R Rv a
R R R R Rv
R R Rv
ei
+ − + − + + − − + − = + − −
LLLLLLLLLL LL
La matrice di sistema risulta ancora simmetrica se ciascuna corrente incognita dei lati non rappresentabili Norton (corrente erogata da lati generatori di tensione) viene “misurata” secondo la convenzione degli utilizzatori (positiva entrante nel morsetto + convenzionale)
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Matrice di incidenza
La matrice di incidenza serve a tradurre in forma numerica l’informazione sulla topologia di una rete, quando questa deve essere analizzata da calcolatori, impiegando opportuni codici di calcolo
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Matrice di incidenza
La matrice di incidenza serve a tradurre in forma numerica l’informazione sulla topologia di una rete, quando questa deve essere analizzata da calcolatori, impiegando opportuni codici di calcolo
La matrice di incidenza A di un grafo orientato G con n nodi ed l lati è una matrice rettangolare di b=(n-1) righe ed l colonne
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Proprietà della matrice di incidenza
La legge di Kirchhoff per le correnti e la teoria dei grafi assicurano che il prodotto della matrice di incidenza A per il vettore delle correnti i è nullo ⇒ A i =0
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Proprietà della matrice di incidenza
La legge di Kirchhoff per le correnti e la teoria dei grafi assicurano che il prodotto della matrice di incidenza A per il vettore delle correnti i è nullo ⇒ A i =0
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Proprietà della matrice di incidenza
La teoria dei grafi assicura che il vettore v delle tensioni sui lati è uguale al prodotto della trasposta della matrice di incidenza At per il vettore delle tensioni nodali