RESISTÊNCIA DE MATERIAIS II RESISTÊNCIA DE MATERIAIS II Prof. Carlos Prof. Carlos Chastre Chastre Rodrigues Rodrigues M Mó ódulo 2 dulo 2 - Corte Corte UNL, UNL, Mar Març ço 2007 o 2007 Prof. Chastre Rodrigues RM2-UNL–2007 (2) M Mó ódulo dulo 2- Corte Corte 1. INTRODUÇÃO AO CORTE 2. TEORIA ELEMENTAR DE CORTE 3. CÁLCULO DE LIGAÇÕES 4. ESCORREGAMENTO 5. TENSÕES TANGENCIAIS A. SECÇÃO COMPACTA i. RECTANGULAR ii. NÃO RECTANGULAR B. SECÇÃO DE PAREDE FINA ABERTA C. SECÇÃO DE PAREDE FINA FECHADA D. CAIXÕES MULTICELULARES 6. DEFORMAÇÃO 7. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 8. ÁREA REDUZIDA DE CORTE 9. CENTRO DE CORTE 10. DESLOCAMENTO RELATIVO ENTRE DUAS SECÇÕES
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS IIRESISTÊNCIA DE MATERIAIS II
Prof. CarlosProf. Carlos ChastreChastre RodriguesRodrigues
MMóódulo 2dulo 2 -- CorteCorte
UNL,UNL, MarMarçço 2007o 2007
Prof. Chastre Rodrigues RM2-UNL–2007 (2 )
MMóódulodulo 22 -- CorteCorte1. INTRODUÇÃO AO CORTE
2. TEORIA ELEMENTAR DE CORTE
3. CÁLCULO DE LIGAÇÕES
4. ESCORREGAMENTO
5. TENSÕES TANGENCIAIS
A. SECÇÃO COMPACTA
i. RECTANGULAR
ii. NÃO RECTANGULAR
B. SECÇÃO DE PAREDE FINA ABERTA
C. SECÇÃO DE PAREDE FINA FECHADA
D. CAIXÕES MULTICELULARES
6. DEFORMAÇÃO
7. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
8. ÁREA REDUZIDA DE CORTE9. CENTRO DE CORTE
10.DESLOCAMENTO RELATIVO ENTRE DUAS SECÇÕES
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1. INTRODU1. INTRODUÇÇÃO AO CORTEÃO AO CORTE
• O esforço transverso não aparece isolado mas, associado ao momento flector.
• Logo que o momento (M) não é constante a ele está associado o esforço transverso (V).
• No estudo do esforço transverso recorre-se sempre à flexão, pois:
• Na hipótese de BERNOUILLI (Secções planas após a deformação) estabelece-se adistribuição linear de tensões na secção.
• Com base no equilibrio estático, determina-se a distribuição de tensões tangenciais.
• A partir destas determinam-se as deformações correspondentes que definem oempenamento da secção.
• O empenamento, representa uma correcção à hipótese de BERNOUILLI
3
12
dx
dM V =
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2. TEORIA ELEMENTAR DO CORTE2. TEORIA ELEMENTAR DO CORTE
Na hipótese mais simples relativa à deformação por corte admite-se segundo BERNOUILLIque “As secções t ransversais per manecem planas e se deslocam par alelas a sí mesmas na dir ecção do esf orço de cort e ”.
Nesta situação, se destacarmos da viga um trecho de comprimento elementar dx3, comose pode observar na figura, submetida à acção de um esforço de corte numa determinada
direcção, a secção S2 terá em relação à secção S1 (infinitesimamente próxima) umdeslocamento relativo dv na direcção do esforço de corte actuante.
dx
dv=
γG=
A distorção angular produzida num pontoqualquer do trecho elementar será dada por:
O trecho elementar está submetido a um estadode distorção uniforme de valor γ.
Considerando a lei de HooKe, a tensão tangencial que actua num qualquer ponto dasecção vale:
Sendo G o módulo de distorção da peça.
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Como a resultante das tensões tem de ser igual ao esforço de corte, resulta uma distribuiçãouniforme de tensões tangenciais, com a direcção coincidente com a do esforço de corte (*):
Sendo A, a área da secção. A distorção vem então:
A extensão (εx) de uma fibra qualquer, por exemplo a que une os centros degravidade das secções extremas (S1 e S2) vem dada por:
A
V =
GA
V =
dx
dx dv dx x
−+=
22
ε 1)(22
−×+
= dx
dx dx γ11
2 −+= γ
2
2γ
≈
Sendo pequeno o valor da distorção (γ) pode desprezar-se a extensão
longitudinal (εx) e consequentemente as tensões normais.
Esta teoria elementar do corte não é exacta porque não cumpre as condições internas de equilibrio dosólido, em particular, viola o princípio da reciprocidade das tensões tangenciais.
De facto, se considerarmos uma secção transversal de uma peça submetida a umesforço de corte vertical e um elemento desta secção próximo do contorno.
Se τ é vertical, pode decompor-se numa componente normal (τn) e noutra
tangencial (τt). De acordo com o princípio da reciprocidade deve existir uma
componente igual e oposta a τn. No entanto, em geral esta superficie lateral da
peça está livre de tensões pelo que τn=0. Ficando apenas τt, em pontospróximos do contorno da secção, o que é contrário à hipótese referida (em *)
Esta inconsistência demonstra que a teoria elementar do corte baseia-se numateoria de deformação demasiado simplificada.
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A teoria elementar de corte é utilizada para realizar o cálculo de ligações de peças comrebites, parafusos ou através de cordões de soldadura.
3. C3. CÁÁLCULO DE LIGALCULO DE LIGAÇÇÕESÕES
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4. ESCORREGAMENTO4. ESCORREGAMENTO
Considere-se uma barra sujeita a flexão simples com esforço transverso.
E um trecho elementar dx3 , destacado da viga.
Considere-se, agora, o trecho dx3 dividido em duas parte (I e II) por uma superfíciequalquer de geratrizes paralelas ao eixo. O equilibrio global implica o equilibrio de cadauma das partes.
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O equilibrio global implica o equilibrio de cada uma das partes (I e II) como se pode observar no diagramade corpo livre do trecho dx3
A resultante das tensões normais que actuam na parte I é dada por:
e a resultante das tensões normais que actuam na parte II:
O esforço elementar de escorregamento dN é a resultante das tensões tangenciais de
ecorregamento τ que actuam na superfície de corte AB x dx3:
5. TENSÕES TANGENCIAIS5. TENSÕES TANGENCIAIS
dN ds dx AB
=×∫ × 3
τ
Fazendo a simplificação de que τ é uniformena superfície de corte, vem:
considerando:
33 dx b dx AB dN ××=××= τ
3
11
12 dx I
SV dN =
vem: b I
SV
11
12=
Sendo o fluxo das tensões tangenciais na linha AB=b11
12
I
SV b f =×= τ
Na secção transversal, as tensões σ31 e σ33 distribuem-se de uma forma que depende: do tipo de
secção e da forma do corte.
Considera-se sempre que a tensão tangencial é uniforme na superfície de corte. Quanto menor for aespessura de corte (b) mais válida se torna esta simplificação.
A largura b, de corte que era constante na secçãorectangular passa a ser variável, mantendo-se perpendicularao eixo x2 na direcção da menor espessura
O vector das tensões tangenciais tem de ser tangente aocontorno da secção, dado que, quer em A, quer em B não hácargas aplicadas.
Todos os vectores das tensões σ31 , ao longo de AB=bconvergem para P.
Admitindo que a tensão tangencial σ32 , igual à tensão
tangencial de escorregamento, τ, é constante ao longo do
corte b, a tensão tangencial σ31 será dada por:
NOTA:
De acordo com este método as tensões tangenciais, σ31 , são nulas na secção rectangular.
Os esforços transversos são a resultante das tensões tangenciais:
0311 =Ω= ∫
Ω
d V σ ∫ Ω
Ω= d V 322 σ
A B
Pσ32
σ31
σ3t
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5.B i)5.B i) –– SecSecççãoão dede paredeparede finafina abertaaberta(b(b segundosegundo aa menormenor espessuraespessura dada paredeparede: I, T, L, U): I, T, L, U)
Caso em que o plano de flexão contém um eixo principal central de inércia (x2) queé o eixo de simetria da secção
NOTA:A superfície de corte deve ser normal à parede de corte, isto é, deve estarsegundo a menor espessura
τ segue o andamento de S1
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5.B ii)5.B ii) –– SecSecççãoão dede paredeparede finafina abertaaberta(b(b segundosegundo aa menormenor espessuraespessura dada paredeparede: I, T, L, U): I, T, L, U)
Caso em que o plano de flexão contém um eixo principal central de inércia (x2) quenão é o eixo de simetria da secção
Nestas condições, para além de flectir a barratorce em torno do ponto Cc designado porCentro de Flexão ou Centro de Corte
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O momento estático de um trecho decomprimento x é:
As resultantes das tensões tangenciais Em cada banzo
Na alma
Visto que é o momento de inércia da secção reduzida à
sua linha média
Considere-se uma secção em U, reduzida à sua linha média e os correspondentesdiagramas de tensões tangenciais
x h
tS ××=
2
1
=×= ∫ dx t R
b
0
311 σ =××
×⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
××∫ dx x
h t
t I
V t
b
0 11
2
2
=×= ∫ dxe R
h
0
322σ
( )=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −×+
×××
×∫ dx x h xe h t b
e I
V e
h
0 11
2
22=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×+
××122
32
11
2 he h t b
I
V 2V
1S
1222
32
11
he h t b I
×+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ××=
4
2
11
2 b h t
I
V ××
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No caso geral podem analisar-se as
componentes V1 e V2.
O esforço transverso deve passar pelo pontodo eixo de simetria que fica à distância d dalinha média da alma.
A esse ponto chama-se centro de flexão oucentro de corte.
O sistema de forças resultante R1 e R2 é estaticamente equivalente a uma força V2(esforço transverso na secção) actuando a uma distância d da linha média da alma
h R d V ×=× 12
11
22
4 I b h t d ××=⇒
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Se o esforço transverso não passar pelo Cc, a barra não se limita a flectir e torce também, emconsequência do equilibrio.
PROCEDIMENTO GERAL DE ANÁLISE
Admite-se que a barra flecte sem torcer;
Determinam-se as resultantes das tensões tangenciais;
Considerando as flexões segundo os dois planos principais (x1 e x2), obtêm-se os doisesforços (V1 e V2) cujo ponto de cruzamento é o Cc.
CASOS PARTICULARES
Se existir eixo de simetria, Cc fica sobre esse eixo;
Se existirem dois eixos de simetria, Cc fica no ponto de cruzamento;
Quando as linhas médias das paredes convergem num ponto, esse ponto será Cc, uma vezque as resultantes das tensões tangenciais se cruzão nesse ponto.
5.C ii)5.C ii) –– SecSecççãoão dede paredeparede finafina fechadafechadaCaso em que o plano de flexão contém um eixo principal central de inércia (x2) quenão é eixo de simetria da secção (secção não simétrica)
O fluxo das tensões de corte numa espessurada secção só se pode determinar se seconhecer o fluxo noutra espessura.
O fluxo total é a soma dos fluxos através dasduas espessuras
Como tal, para determinar o fluxo numaespessura qualquer, o que constitui umproblema HIPERSTÁTICO, pode usar-se oMÉTODO DAS FORÇAS
CD ABTOTAL f f f +=
Este método consiste em suprimir um número suficiente de ligações para tornar oproblema estaticamente determinado e calcular as forças necessárias paraeliminar os deslocamentos que aparecem nas ligações suprimidas.
1) Efectua-se um corte da parede, num ponto qualquer da secção
Obtendo-se assim, uma secção aberta que constitui o SISTEMA BASE,
sendo o esforço de escorregamento libertado pelo corte a INCÓGNITA HIPERSTÁTICA X
2) No sistema base fazem-se actuar, separadamente, o esforço transverso V2, e o esforço deescorregamento X entre as faces do corte que definiu o sistema base,
calculando-se o deslocamento relativo dos bordos do corte, respectivamente:
3) Sobrepondo-se os efeitos no sistema base, obtem-se a equação de compatibilidade
com a qual se determina a incógnita hiperstática X
4) A tensão de corte é
por sobreposição dos efeitos no sistema base
X uu ΔΔ e 0
00 =Δ+Δ X uu
X τ+= 0
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1) SISTEMA BASE sob a acção do esforço transverso
Exemplo 2.4Exemplo 2.4Considere a secção fechada de parede fina (HIPERSTÁTICA)indicada na figura. Determine o fluxo de tensões de cortenuma espessura da secção.
2) SISTEMA BASE sob a acção da INCÓGNITAHIPERSTÁTICA X (esforço de escorregamento)
Os integrais curvilineos utilizados nas expressões anteriores referem-se apenas à partefechada da secção, não incluindo os troços ligados de forma simplesmente conexa
Em virtude da presença de esforço transverso, as secções transversais, inicialmente planas eperpendiculares ao eixo da peça, sofrem um empenamento deixando de ser planas eperpendiculares ao eixo.
Esta deformação associada ao esforço transverso constitui uma correcção à hipótese deBernouilli.
Conhecidas as tensões tangenciais na secção, as correspondentes distorções calculam-seatravés da lei de Hooke:
6. DEFORMA6. DEFORMAÇÇÃOÃO
G
3131
σγ =
G
32
32
σγ =
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A distorção é máxima onde fôr máximaa tensão tangencial
e anula-se onde esta se anular
sendo nulas as tensões tangenciais nassuperfícies laterais da barra (superiore inferior), as secções transversaispermanecem normais a estas superfícies.
Na linha neutra as distorções são máximasuma vez que as tensões tangenciais são máximas aí.
Como as fibras longitudinais permanecem sensivelmente paralelas umas às outras, assecções transversais são forçadas a empenar e deixam de ser perpendiculares ao eixo dabarra (contrariando assim a hipótese de Bernoulli de que as secções se mantêm planas apósa deformação).
A análise da deformação de um trecho de barra, de comprimento elementar, como se
mostra na figura, permite definir a distorção média
γmed(ângulo definido pelo eixo da
barra, antes e depois da deformação por esforço transverso):
Considere-se um trecho de comprimento l de uma barra sujeita a um esforço transversoconstante V2
7. ENERGIA DE DEFORMA7. ENERGIA DE DEFORMAÇÇÃOÃO
Nesse trecho considere-se apenas a deformação devida a esforço transverso (o qual éaplicado gradualmente desde 0 até ao valor final, com suficiente lentidão para que sepossam desprezar as forças de inércia)
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O trabalho realizado pelo esforço transverso durante a deformação é dado pela área dodiagrama triangular V2-u2
A energia de deformação da barra deformada é dada por:
em que W representa a densidade de energia de deformação.
pode relacionar-se com a área Ωpara uma Secção de parede fina em I ou U daseguinte forma:
Visto que a tensão tangencial pode supôr-senula nos banzos e aproximadamente constantena alma, vem:
Conclui-se neste caso que a área reduzida é a área da alma Ωa e portanto o FACTOR DE CORTEé unitário.
Da mesma forma é possível demonstrar que o factor de corte de uma secção em T é unitário,equanto o de uma secção circular é 9/10 e o de um anel é um ½.
b I
SV
11
12
32=
alma
V
Ω= 2
32
=×= 32322
1γW
a a G
V V
Ω×Ω22
2
1
== ∫ dvW U V
=ΩΩ×Ω∫ ∫
Ω
l
0
322
2
1 dx d
G
V V
a a
∫ Ω×
l
0
32
22
1 dx
G
V V
a
aΩ≅Ω∴ '
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O deslocamento relativo calcula-se a partirda definição de distorção média:
O que permite definir o deslocamento relativo entre as secções L0 e L de um trecho decomprimento finito:
No caso particular de V2 ,G e Ω’2 serem constantes no intervalo L - L0, o deslocamento relativoé dado por:
9. DESLOCAMENTO RELATIVO ENTRE DUAS SEC9. DESLOCAMENTO RELATIVO ENTRE DUAS SECÇÇÕESÕES