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Corso di Idraulica Corso di Idraulica
ed Idrologia Forestale ed Idrologia Forestale
Docente: Prof. Santo Marcello Docente: Prof. Santo Marcello ZimboneZimbone
Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino -- Ing. Demetrio Ing. Demetrio ZemaZema
Anno Accademico 2008Anno Accademico 2008--20092009
Lezione n. 8: Equazioni fondamentali Lezione n. 8: Equazioni fondamentali
delldell’’idrodinamicaidrodinamica
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22Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 8Lezione 8
�� Equazione indefinita dellEquazione indefinita dell’’equilibrio idrodinamicoequilibrio idrodinamico
�� Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
�� ApplicazioneApplicazione
IndiceIndice
SlidesSlides delle lezioni frontalidelle lezioni frontali
CitriniCitrini--NosedaNoseda (pagg. 90(pagg. 90--102)102)
Materiale didatticoMateriale didattico
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Equazione indefinita dellEquazione indefinita dell’’equilibrio idrodinamicoequilibrio idrodinamico
Detta Detta RR la la risultante delle forzerisultante delle forze, , mm la la massamassa e e AA
ll’’accelerazioneaccelerazione, per la prima , per la prima equazione cardinale della equazione cardinale della
dinamicadinamica deve risultaredeve risultare
AR m=
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Detta Detta FF la la forza di massa per unitforza di massa per unitàà di massadi massa e e ΦΦΦΦΦΦΦΦxx, , ΦΦΦΦΦΦΦΦyy e e
ΦΦΦΦΦΦΦΦzz gli gli sforzi agenti sulle superficisforzi agenti sulle superfici, risulter, risulteràà::
AF dzdydxdzdydxzyx
dzdydx zyx ρρ =
∂
Φ∂+
∂
Φ∂+
∂
Φ∂−
Equazione indefinita dellEquazione indefinita dell’’equilibrio idrodinamicoequilibrio idrodinamico
da cui si ottiene:da cui si ottiene:
( )zyx ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=− zyx ΦΦΦ
AFρ
Equazione indefinita Equazione indefinita
delldell’’equilibrio idrodinamico equilibrio idrodinamico
o equazione di Euleroo equazione di Eulero
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( ) pgrad=A-Fρ
pzzyyxx =Φ=Φ=Φ
kjiz
p
y
p
x
ppgrad
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
NellNell’’ipotesi che esistano solo ipotesi che esistano solo sforzi normalisforzi normali, le , le
particelle non subiscono azioni tangenziali (particelle non subiscono azioni tangenziali (fluido fluido
perfettoperfetto), per cui, essendo:), per cui, essendo:
Equazione indefinita dellEquazione indefinita dell’’equilibrio idrodinamicoequilibrio idrodinamico
si ha:si ha:
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con:con:
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Aρρ =−− pgradzgradg
dt
d
g
pzgrad
v1−=
+
γ
Nel Nel campo di gravitcampo di gravitàà, essendo , essendo FF == gg, si ha:, si ha:
e, se si considera il e, se si considera il fluido incomprimibilefluido incomprimibile, dividendo per , dividendo per
ρρρρρρρρ gg: :
Equazione indefinita dellEquazione indefinita dell’’equilibrio idrodinamicoequilibrio idrodinamico
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zgradg−=g
ll’’equazione indefinita dellequazione indefinita dell’’equilibrio idrodinamico diventa:equilibrio idrodinamico diventa:
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
Consideriamo una massa Consideriamo una massa
fluida in moto, che in un fluida in moto, che in un
certo istante tcerto istante t1 1 occupi il occupi il
volume volume ΣΣΣΣΣΣΣΣ1 1 dsds11
Sia vSia v1 1 la velocitla velocitàà allall’’istante tistante t11; immaginiamo ora che, ; immaginiamo ora che,
allall’’istante tistante t22 = t= t11+dt, la massa considerata vada ad +dt, la massa considerata vada ad
occupare il volume occupare il volume ΣΣΣΣΣΣΣΣ22dsds22 e possegga la velocite possegga la velocitàà vv2. 2.
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
Ricordando che nella Meccanica la quantitRicordando che nella Meccanica la quantitàà di moto di di moto di
un corpo un corpo èè un vettore dato dal un vettore dato dal prodotto della massa del prodotto della massa del
corpo per la sua velocitcorpo per la sua velocitàà, poich, poichéé ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ1 1 dsds11 èè la la massa massa
fluida interessatafluida interessata, potremo dire che la, potremo dire che la quantitquantitàà di moto di moto
inizialeiniziale èè::
ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ1 1 dsds
1 1 vv1 1 Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 8Lezione 8
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
La La quantitquantitàà di moto finaledi moto finale èè allo stesso modo: allo stesso modo:
ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ2 2 dsds
2 2 vv22
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
Le forze che agiscono sulla massa fluida sono le Le forze che agiscono sulla massa fluida sono le forze forze
di massa, Gdi massa, G, e le , e le forze di superficie, forze di superficie, ΠΠΠΠΠΠΠΠ
La La risultanterisultante èè::
G + G + ΠΠΠΠΠΠΠΠ
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
LL’’impulso della forza risultante (pari al prodotto fra la impulso della forza risultante (pari al prodotto fra la
forza e lforza e l’’intervallo temporale durante cui essa viene intervallo temporale durante cui essa viene
applicata, applicata, dtdt) ) èè::
((G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ)) dtdt
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
Per il teorema dellPer il teorema dell’’impulso, limpulso, l’’impulso di una forza che impulso di una forza che
durante un intervallo durante un intervallo dtdt agisce su un corpo agisce su un corpo èè uguale alla uguale alla
variazione della variazione della quantitaquantita di moto del corpo stesso; di moto del corpo stesso;
pertanto:pertanto:
((G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ)) dtdt = = ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ22 dsds22 vv22 -- ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ11 dsds1 1 vv11
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
Dividendo ambo i membri per Dividendo ambo i membri per dtdt::
G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ = = ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ22 vv2 2 vv22 -- ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ11 vv11 vv11
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
Ricordando la definizione di portata si ottiene:Ricordando la definizione di portata si ottiene:
G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ = = ρρρρρρρρQQvv22 -- ρρρρρρρρQQvv11
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
LL’’uguaglianza dei vettori uguaglianza dei vettori G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ e e ρρρρρρρρQ(Q(vv22 -- vv11) ) èè mostrata mostrata
dalla figuradalla figura
Poniamo:Poniamo:
ρρρρρρρρQQvv11 = M= M11
ρρρρρρρρQQvv22 = M= M22Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 8Lezione 8
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
Pertanto risulta:Pertanto risulta:
G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ + M+ M11-- MM22 = 0= 0 Equazione globale Equazione globale
delldell’’idrodinamicaidrodinamica
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
Si noti che MSi noti che M1 1 e Me M22, che in idraulica chiamiamo , che in idraulica chiamiamo ““quantitquantitàà
di motodi moto””,, hanno le dimensioni di una forza; esse sono in hanno le dimensioni di una forza; esse sono in
effetti una quantiteffetti una quantitàà di moto nelldi moto nell’’unitunitàà di tempo (di tempo (flusso flusso
della quantitdella quantitàà di motodi moto):):
vdt
dsΣM ρ=
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica
ΠΠΠΠΠΠΠΠ èè la risultante delle forze di superficie, quindi tiene la risultante delle forze di superficie, quindi tiene
conto sia di quelle che agiscono sulla superficie della conto sia di quelle che agiscono sulla superficie della
tubazione, sia di quelle che agiscono sulle superfici tubazione, sia di quelle che agiscono sulle superfici ΣΣΣΣΣΣΣΣ1 1 e e
ΣΣΣΣΣΣΣΣ2 2 da cui il fluido rispettivamente entra ed esceda cui il fluido rispettivamente entra ed esce
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamica: applicazioneidrodinamica: applicazione
Tratto di tubazione curva in un Tratto di tubazione curva in un piano orizzontalepiano orizzontale, in cui , in cui
defluisca, in defluisca, in moto permanentemoto permanente, un , un fluido incomprimibilefluido incomprimibile
Determinare la Determinare la spintaspinta che il liquido esercita sulla parete che il liquido esercita sulla parete
della curva stessadella curva stessa
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Applichiamo lApplichiamo l’’equazione globale al volume contenuto equazione globale al volume contenuto
nella curva. Risulta:nella curva. Risulta:
G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ + M+ M11-- MM22 = 0= 0
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamica: applicazioneidrodinamica: applicazione
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La La spinta spinta ΠΠΠΠΠΠΠΠ che la superficie che la superficie
di contorno esercita sul fluido di contorno esercita sul fluido
allall’’interno della curva si può interno della curva si può
scomporre come segue:scomporre come segue:
ΠΠΠΠΠΠΠΠ = = ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 + + ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 ++ΠΠΠΠΠΠΠΠLL
dove dove ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 èè la spinta applicata la spinta applicata
dalla superficie dalla superficie ΣΣΣΣΣΣΣΣ11, , ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 quella quella
applicata dalla superficie applicata dalla superficie ΣΣΣΣΣΣΣΣ22, ,
ΠΠΠΠΠΠΠΠLL quella applicata dalla quella applicata dalla superficie laterale Lsuperficie laterale L
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamica: applicazioneidrodinamica: applicazione
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LL’’equazione globale si scrive quindi come:equazione globale si scrive quindi come:
G + G + ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 + + ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 + + ΠΠΠΠΠΠΠΠLL + M+ M11-- MM22 = 0= 0
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamica: applicazioneidrodinamica: applicazione
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La spinta S che si vuole determinare La spinta S che si vuole determinare èè uguale e contraria uguale e contraria
a quella esercitata dalla parete della curva, quindi: a quella esercitata dalla parete della curva, quindi:
S = S = -- ΠΠΠΠΠΠΠΠLL = G + = G + ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 + + ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 + M+ M11-- MM22
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamica: applicazioneidrodinamica: applicazione
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Consideriamo le forze che agiscono sul Consideriamo le forze che agiscono sul piano piano
orizzontaleorizzontale; l; l’’equazione precedente diventa:equazione precedente diventa:
SSo o = = ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 + + ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 + M+ M11-- MM22
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamica: applicazioneidrodinamica: applicazione
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I moduli dei vettori che compaiono nella precedente I moduli dei vettori che compaiono nella precedente
equazione risultano:equazione risultano:
ρρρρρρρρQvQv1 1 = M= M
11; ; ρρρρρρρρQvQv2 2 == MM22; ; ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 = p = p ΣΣΣΣΣΣΣΣ11; ; ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 = p = p ΣΣΣΣΣΣΣΣ22
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamica: applicazioneidrodinamica: applicazione
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Effettuando la composizione dei vettori, si evince che la Effettuando la composizione dei vettori, si evince che la
componente orizzontale della spintacomponente orizzontale della spinta esercitata dal fluido esercitata dal fluido
sulla superficie del tubo (sulla superficie del tubo (SSoo) ) èè diretta verso ldiretta verso l’’esterno esterno
della curvadella curva
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Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamica: applicazioneidrodinamica: applicazione
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Per tale motivo, nelle condotte in pressione, si Per tale motivo, nelle condotte in pressione, si
dispongono dei blocchi ddispongono dei blocchi d’’ancoraggio allancoraggio all’’esterno delle esterno delle
curvecurve
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