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Corso di Fluidodinamica delle Macchine – A.A. 2012-2013

- Dipartimento di Ingegneria Industriale Firenze -

Corso di Fluidodinamica delle

Macchine

Parte 2b: Risoluzione di Flussi Non Viscosi (applicazioni)

Pagina 1



Pagina 2

2D Flow Near a 90° Corner (1)

• Un flusso 2D incomprimibile, non viscoso, in prossimità di un angolo di 90° (come quello riportato in figura) viene descritto dalla seguente stream function ψ:

2sin22

r



Pagina 3


1. Determinare, se possibile, la funzione potenziale

2. Se la pressione in (1) vale 30kPa, calcolare la p in (2)

Si consideri ρ=1000kg/mc e z2=z1 .

P1 = 30 kPa

?



Pagina 4

2D Flow Near a 90° Corner (3) • Le velocità vr e vθ possono essere a loro volta espresse

attraverso la stream function ψ come segue:

• Si possono quindi calcolare le componenti di velocità radiale e tangenziale:

• Se il campo di moto ammette l’esistenza del potenziale questo soddisfa la relazione seguente:

rv

rv

r

1

2sin4

2cos42sin2

2

rv

rvr

r

rrV

1



Pagina 5


• Integrando le equazioni differenziali si ha:

• L’unico modo affinché entrambe siano valide è che le due funzioni f1 e f2 siano uguali fra loro e costanti, e per comodità, senza perdere in generalità, si pongono uguali a 0 (interessano le variazioni). Quindi:

• Il fatto che sia possibile individuare una funzione potenziale dimostra che il campo è IRROTAZIONALE.

rfrr

frrr

2

22

1

2

2cos22sin4

2cos22cos4

2cos22

r



Pagina 6


• Si può assumere una qualsiasi stream function, ma solo per quelle che definiscono un campo irrotazionale è possibile individuare una funzione potenziale.

• Per flussi irrotazionali è indifferente utilizzare le streamlines oppure le linee equipotenziale per caratterizzare il flusso.



Pagina 7


• Nell’ipotesi di flusso incomprimibile è possibile applicare il trinomio di Bernoulli tra i punti (1) e (2) per trovare la relazione tra pressione e velocità (z1=z2):

• Il modulo di V può essere calcolato:

2

2

2

112

2

22

2

11

222VVpp

g

Vp

g

Vp

222216 rvvV

r



Pagina 8

2D Flow Near a 90° Corner (7) • La stream function poteva essere espressa anche in

coordinate cartesiane:

• In questo modo però sarebbe stato più complesso generalizzare l’espressione di ψ per angoli diversi da 90°. Per un generico angolo α si ha:

quadrata) (iperbole 4cossin42sin22

xyrrr

cos

sin

Ar

Ar



Pagina 9

FLUSSI A POTENZIALE 2D (tipologie base)

• Uniforme

• Sorgente e pozzo

• Doppietto (pozzo-sorgente)

• Vortice

Essendo i flussi a potenziale governati dall’equazione di Laplace (LINEARE), i vari flussi base possono essere combinati per realizzare soluzioni particolari.

Si ricordi che le streamlines in un flusso 2D, non viscoso, possono essere considerate come pareti solide.



Pagina 10

FLUSSO UNIFORME GENERICO

( , ) c o s c o s ( )

s in ( ) s in

( , ) c o s s in

( , ) c o s s in

x y U d x U x f y

fU f y U y

y y

x y U x y

x y U y x

yxU

cos

xyU

sin

Potenziale e funzione di corrente (flusso uniforme)



Pagina 11

• Consideriamo un flusso che si muova radialmente come riportato in figura. Se m è la portata volumetrica per unità di lunghezza (lungo asse z) che fuoriesce dalla sorgente si ha:

r

mvmvr

rr

1

22

• Dal momento che la componente tangenziale del flusso è nulla, si può calcolare il valore del potenziale e della stream function integrando le relazioni già viste in precedenza.

2

ln2

01

1

2

m

rm

r

r

r

m

r

SORGENTE e POZZO



Pagina 12

• Se m > 0 si tratta di una sorgente (flusso uscente), se m < 0 si tratta di un pozzo (flusso entrante);

• Nell‘ origine la velocità ha una singolarità, ma questo non è un problema perché si farà sempre in modo che tali punti siano all‘ esterno del dominio fluido;

SORGENTE e POZZO

• Alcuni flussi reali possono essere approssimati ad una certa distanza dall’origine utilizzando pozzi o sorgenti.



Pagina 13

COMBINAZIONE POZZO-SORGENTE (1)

• Supponiamo di combinare una sorgente e un pozzo, disposti come in figura. La stream function per questo caso vale (eq. Laplace è lineare):

21

21

tan2

tan

2

m

m

• Sfruttando le relazioni trigonometriche e calcolando le tangenti degli angoli (θ1 e θ2) si ottiene:

22

0

22

1 sinsin2tan

2 ar

mar

ar

arm a



Pagina 14

• Quando a tende a 0 mentre m tende a infinito si parla di DOUBLETS (DOPPIETTO) e per questi casi si può scrivere:

rK

rKK

ma

m

a

cos;

sin0

• Sorgenti, pozzi e doublets non hanno una reale controparte in natura ma aiutano a modellare fenomeni fisici reali quando sono combinati con altri flussi a potenziale (flusso intorno ad un cilindro).

COMBINAZIONE POZZO-SORGENTE (2)

Streamlines



Pagina 15

VORTICE (1) • Se si considera un flusso in cui le streamlines

sono cerchi concentrici, le direzioni radiali rappresentano le linee equipotenziali (si inverte la SORGENTE):

0

1

ln ;

rv

r

K

rrv

rKK

• Nonostante quello che può sembrare, questo flusso è irrotazionale. In questo caso la velocità va come 1/r e le distorsioni del campo di moto giustificano la sua irrotazionalità (Vortice Libero).



Pagina 16

• Al concetto di moto vorticoso viene associata la circolazione del campo di moto. Se consideriamo che in questo caso che il campo di moto è rappresentabile come il gradiente di una funzione potenziale si ha:

• Questo è vero solo se la curva su cui viene calcolata la circolazione non contiene singolarità. Per il vortice libero la singolarità in r = 0 si ha, quindi:

CCC

ddsVds 0

222

2

0

KKrd

r

K

VORTICE (2)



Pagina 17

Riassunto dei principali flussi



Pagina 18

INTERAZIONE FRA FLUSSI BASE

• Uniforme + Sorgente (HALF BODY)

• Uniforme + Sorgente e Pozzo (RANKINE OVALS)

• Uniforme + Doppietto (CILINDRO senza LIFT)

• Uniforme + Doppietto + Vortice (CILINDRO con LIFT)

Essendo i flussi a potenziale governati dall’equazione di Laplace (LINEARE), i vari flussi base possono essere combinati per realizzare soluzioni particolari.

Si ricordi che le streamlines in un flusso 2D, non viscoso, possono essere considerate come pareti solide.



Pagina 19

UNIFORME + SORGENTE (1)

• Se consideriamo una sorgente ed un flusso uniforme che interagiscano tra loro, si ha che:

• In un punto del dominio fluido i due campi si annulleranno creando un punto di stagnazione.

2

sinm

Ursourceuniform



Pagina 20

• Nel sistema di riferimento considerato il punto stagnazione si verifica nel punto x=-b (r=b; θ=π) dove:

• Considerando la definizione di ψ e il fatto che m = 2πbU, si può calcolare l’equazione della streamline che passa dal punto stagnazione, già evidenziata in figura:

• Sostituiamo la streamline con un corpo solido che abbia lo stesso profilo.

2

1

2

1

2

1

2

m

U

mb

b

mU

r

mv

b

b

r

sin

br




Pagina 21

• In questo modo è evidente che questo modello permette di descrivere il flusso intorno ad un corpo solido chiamato half-body la cui ampiezza tende a 2πb per θ → 0.

• Attraverso le definizioni di vr e vθ si può valutare la velocità del flusso in ogni punto del dominio:

• Sfruttando il trinomio di Bernoulli e considerando trascurabile la variazione di quota, è possibile ottenere il valore della pressione in ogni punto del dominio fluido.

2

2

cos21

sin

2cos

1

r

b

r

bUV

Ur

v

r

mU

rv

r




Pagina 22

Alcune considerazioni: • La velocità del flusso a “parete” non è nulla poiché, considerando il flusso

non viscoso, trascuriamo gli sforzi di taglio che impongono la condizione di no slip. Di conseguenza nella zona dello strato limite la trattazione a potenziale non permette una accurata risoluzione del campo di moto;

• Va detto che la pressione non varia in direzione normale a parete nemmeno nel boundary layer, perciò il suo profilo sarà ben approssimato anche da una trattazione non viscosa;

• Al contrario, lontano dallo strato limite questa trattazione è molto utile e permette con buona approssimazione di valutare il campo di moto.




Pagina 23

• Nel caso dell’ovale di Rankine, oltre alla sorgente ed al flusso si considera anche un pozzo che permette di passare da un half-body ad una porzione chiusa di dominio fluido.

• In questo caso le streamlines hanno la seguente forma:

• Per ψ = 0 le streamlines formano un profilo chiuso.

21

2sin

mUr

wellsourceuniform

UNIFORME + SORGENTE e POZZO (1)



Pagina 24

• Le streamlines che si trovano all’interno del profilo vanno direttamente dalla sorgente al pozzo.

• Gli ovali di Rankine hanno lunghezza 2l e altezza 2h e hanno due punti di stagnazione dove le velocità del flusso, della sorgente e del pozzo si combinano per dare una velocità complessiva del flusso nulla. Le dimensioni si possono ottenere considerando la funzione ψ = 0 al variare di θ:

a

h

m

Ua

a

ah

a

h

Ua

m

a

l

2tan2

1

2

22




Pagina 25

Alcune considerazioni: • La forma dell’ovale dipende dal valore del parametro adimensionale

πUa/m.

• Per diversi valori di πUa/m si possono quindi avere infinite forme. All’aumentare del parametro ci troveremo di fronte a oggetti sempre più oblunghi, mentre per valori piccoli si hanno quelli che si chiamano blunt body.

• A valle della zona di massimo spessore, il flusso decelera e recupera pressione fino al punto di stagnazione in cui la velocità è nulla. Nella realtà il gradiente di pressione avverso porta all’ispessimento dello strato limite fino alla sua “separazione”, creando zone di ricircolo che la trattazione a potenziale non può mostrare.

• Caso particolare degli ovali di Rankine è il cilindro circolare (a → 0 ).




Pagina 26

• Quando a → 0 sorgente e pozzo collassano in un punto che è il centro di un cerchio.

• Con riferimento all’analisi del doublet si era già vista la forma assunta dall’equazione delle streamlines nel caso in cui a → 0 e m → ∞. In tali condizioni l’ovale di Rankine si transforma in un cilindro.

UNIFORME + DOPPIETTO (1)



Pagina 27

• Con geometria circolare è infatti utile considerare coordinate polari

c o s( , ) c o s c o s ( ) in c u i in te n s i tà

s in( , ) s in s in ( )

Kr U r K U r K

r r

Kr U r K U r

r r


Uniforme Doppietto



Pagina 28

• La funzione di corrente vale quindi:

• Siccome sappiamo già che la superficie del cerchio è una superficie su cui ψ = costante , si può calcolare l’intensità K del doublet:

• Si possono quindi calcolare le velocità:

sinsin

sin2

rr

KU

r

KUr

sin12

2

02

0

r

rUrUrK

sin1 ; cos12

2

0

2

2

0

r

rUv

r

rUv

r




Pagina 29

• Sulla superficie del profilo, dove r = r0, si ha:

• Il valore massimo della velocità si ha per θ = ± π/2 . Se invece ci si muove radialmente dal cilindro in direzione radiale la velocità tangenziale diminuisce con il quadrato del raggio (vedi figura iniziale).

• Trascurando le variazioni di quota si può calcolare la pressione in ogni punto del dominio fluido attraverso il trinomio di Bernoulli scritto tra un punto sulla superficie e un punto del campo di moto:

sin2 ; 0 Uvvr

22

0sin41

2

1 Upp

s

sin1 ; cos12

2

0

2

2

0

r

rUv

r

rUv

r




Pagina 30

• Il confronto tra il risultato numerico e sperimentale evidenzia l’effetto dovuto allo sviluppo dello strato limite e della separazione dello stesso quando il gradiente di pressione è avverso.

• Se si valutano le forze di lift e drag e si inserisce l’espressione ottenuta per ps si perviene al paradosso di d’Alambert:

0sin ; 0cos

2

0

2

0

dapFdapFsysx




Pagina 31

• Poiché il flusso è non viscoso ed il campo irrotazionale, la teoria a potenziale riferisce che il cilindro non è soggetto ad alcuna forza di Drag

• Il confronto tra il risultato numerico e sperimentale evidenzia l’effetto dovuto allo sviluppo dello strato limite e della separazione dello stesso quando il gradiente di pressione è avverso (parte posteriore del cilindro)




Pagina 32

• Consideriamo nuovamente il flusso intorno ad un ostacolo circolare cui aggiungiamo una sorgente tipo vortice:

• La velocità tangenziale sulla superficie assume un valore diverso rispetto al caso precedente:

• Il punto di stagnazione varia a seconda dei valori assunti dalla funzione Γ.

rr

rUr ln

2sin1

2

2

0

004

sin2

sin2Urr

Uvstag

UNIFORME + DOPPIETTO + VORTICE (1)



Pagina 33


0 14

0

Ur

14

0

Ur1

40

Ur



Pagina 34

• Se andiamo a valutare il campo di pressione in questo caso, assume la seguente forma (con Bernoulli):

• Calcolando le forze di lift e drag si vede che, mentre il drag resta nullo, il lift diventa diverso da zero:

• L’equazione generalizzata per la valutazione del lift in funzione di densità, velocità e circolazione si chiama legge di Kutta-Jukowski.

222

2

22

0

4

sin2sin41

2

1

UaaUUpp

s

UFFyx

; 0




Pagina 35

• Nella pratica questo modello fisico rivela che un cilindro dotato di circolazione ed investito da una corrente sviluppa un azione di lift.

• Nella pratica, a causa delle azioni di no-slip a parete, quando un cilindro viene posto in rotazione sviluppa una circolazione non nulla dando effettivamente ruolo ad un’ azione di lift:

• Questo è detto

EFFETTO MAGNUS

E NELLA REALTA’?



Pagina 36

• Nella pratica qualsiasi corpo in rotazione sviluppa questo effetto e guadagna un’ azione proporzionale alla sua rotazione (Golf, Calcio)

• Nel caso di una corpo sferico lanciato, il flusso visto dalla stessa è quello relativo dovuto al suo movimento

ESEMPI



Pagina 37

E’ Possibile ottenere la soluzione intorno ad una geometria semplice

(Cilindro) e con trasformazione conforme (retta da Eq. di Laplace)

trasportarla intorno al profilo atteso che:

si mappi nel cerchio

02

2

2

2

xy

0

2

2

2

2

),(),( yx

Flusso Intorno ad Un Profilo Isolato



Pagina 38

• Da un punto di vista matematico si possono sviluppare degli operatori matematici nel campo complesso che permettono di trasformare la generica sezione circolare in una sezione di forma differente e viceversa. Questo metodo è detto CONFORMAL MAPPING.

Queste trasformazioni permettono quindi di risolvere il flusso intorno al cilindro e poi di “trasportare” la soluzione trovata alla geometria del profilo. La circolazione è trovata imponendo la condizione di Kutta.




Pagina 39

• Per le trasformazioni da cilindro a profilo si adotta come intensità del vortice quello per cui il punto di ristagno a valle cade sul trailing edge della pala (condizione di kutta)




Pagina 40

ESTENSIONE DELLA TEORIA A POTENZIALE • Altri metodi invece sfruttano distribuzioni complesse di flussi base per

modellare geometrie reali come profili aerodinamici (panel methods).



Pagina 41

FLUSSI NON VISCOSI SUPERSONICI (esempi)

Esercizio 1

• Trovare le condizioni del flusso nelle varie zone contrassegnate (1,2,3,4,5)

M1 = 3, T1 = 277.6K, p1 = 1.034 bar, γ=1.4, θ = 10



Pagina 42


• Notare come nascano, anche nel caso non viscoso, una forza di lift ed una di drag.

Drag

Lift



Pagina 43


Esercizio 1

• Dimensionare il condotto in modo che non si abbiano urti riflessi

M1 = 3, T1 = 300 K, p1 = 1 bar, γ = 1.4, θ = 10

D

D2?

θ

1

2

L?



Pagina 44

APPENDICE



Pagina 45

APPENDICE



Pagina 46

APPENDICE



Pagina 47

Bibliografia

• Munson, B.R., Young, D.F., Okiishi, T.H., Fundamentals of Fluid Mechanics, fourth edition, John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-44250-X

• White,F.M., Fluid Mechanics, sixth edition, McGraw Hill, ISBN 978-0-07-128645-9

• Liepmann, H.W.; Roshko, A. (1993) [1957], Elements of gasdynamics, Courier Dover Publications, ISBN 0-486-41963-0

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