Corso di Estimo Elementi di Matematica Finanziaria · Corso di Estimo Elementi di Matematica Finanziaria. Indice Capitale interesse Interesse semplice Interesse composto Annualita`

Indice Capitale interesse Interesse semplice Interesse composto Annualita Poliannualita r nominale e r effettivo

Corso di EstimoElementi di Matematica Finanziaria

Luciano Gutierrez

Dipartimento di Agraria

Corso di Scienze e Tecnologie Agrarie

Luciano Gutierrez Dipartimento di Agraria

Corso di Estimo Elementi di Matematica Finanziaria


Indice argomenti

Capitale e Interesse

Interesse semplice

Interesse composto

Annualita

Poliannualita

r nominale e r effettivo




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Interesse semplice

Interesse composto

Annualita

Poliannualita





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Interesse semplice

Interesse composto

Annualita

Poliannualita





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Interesse semplice

Interesse composto

Annualita

Poliannualita





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Interesse semplice

Interesse composto

Annualita

Poliannualita





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Interesse semplice

Interesse composto

Annualita

Poliannualita






Si definisce in estimo Capitale, C , uno stock di monetadisponibile in un dato momento.

Si definisce interesse, I , l’ammontare di moneta dovuta perdisporre del capitale C per un determinato periodo di tempo.L’interesse rappresenta il prezzo per l’uso del capitale C .

Si definisce con tasso di interesse, r , l’interesse maturato dauna un’unita di capitale (1 e).

Solitamente e definito in termini percentuali 3% (per ogni 100e di C si richiedono 3 e di I ), o anche in termini unitari 0.03(per 1 e di C richiedo 0.03 di I )




























Interesse semplice e interesse composto

L’interesse di definisce semplice se gli interessi maturati in unperiodo non si sommano a quelli del periodo successivo.

L’interesse di definisce composto se gli interessi maturati in unperiodo si sommano a quelli del periodo successivo.

La maturazione (pagamento) degli interessi puo avvenire conperiodi di tempo diversi, anno, semestre, trimestre, mese.

Risulta importante, quindi, definire se il tasso di interesse siaun tasso di interesse annuale, semestrale...





























Indichiamo con n la durata dell’operazione in numero di annio frazioni di anni.

n = 2, la durata dell’operazione e di 2 anni.

n = 312 , 0.25 e la frazione di anno.


















Formule di calcolo

Nel calcolo dell’interesse semplice gli interessi I vengonoliquidati alla fine del periodo.

Dato un capitale iniziale C0, una durata n e un tasso diinteresse (unitario) annuale r , gli interessi I saranno dati da:

I = C0 × r × n

Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.

I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.

I calcoli possono essere effettuati usando un foglio elettronico




Formule di calcolo



I = C0 × r × n

Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.

I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.





Formule di calcolo



I = C0 × r × n

Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.

I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.





Formule di calcolo



I = C0 × r × n

Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.

I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.





Formule di calcolo



I = C0 × r × n

Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.

I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.





Formule di calcolo



I = C0 × r × n

Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 2.

I = 10.000 × 0.05 × 2 = 1000.





Esempio

Es: C0 = 10.000 e, r = 0.05, n = 250/365, 250 giornidobbiamo ricostruire la frazione rispetto all’anno.

I = 10.000 × 0.05 × 250365 = 342.47.

Es: C0 = 5.000 e, r = 0.04, n = 4/12, 4 mesi dobbiamoricostruire la frazione rispetto all’anno.

I = 5.000 × 0.04 × 412 = 66.67.




Esempio


I = 10.000 × 0.05 × 250365 = 342.47.


I = 5.000 × 0.04 × 412 = 66.67.




Esempio


I = 10.000 × 0.05 × 250365 = 342.47.


I = 5.000 × 0.04 × 412 = 66.67.




Esempio


I = 10.000 × 0.05 × 250365 = 342.47.


I = 5.000 × 0.04 × 412 = 66.67.




Formule inverse

Se conosciamo I , r ed n possiamo ricavare facilmente C0,C0 =

Irn.

Se conosciamo C0, I ed n possiamo ricavare facilmente r ,r = I

C0n.

Se conosciamo C0, r ed n possiamo ricavare facilmente n,n = I

C0r.




Formule inverse


Irn.


C0n.


C0r.




Formule inverse


Irn.


C0n.


C0r.




Montante

Si definisce montante, Mn, la somma del capitale C e deirelativi interessi I

Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)

Le formule derivate sono:

C0 =Mn

(1+rn) .

Sc = Mn − C0 = Mn

(

1− 1(1+rn)

)

. In questo caso si puo

parlare di sconto Sc invece che di interesse I

r =MnC0

−1

n.

n =MnC0

−1

r.




Montante


Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)


C0 =Mn

(1+rn) .

Sc = Mn − C0 = Mn

(

1− 1(1+rn)

)



r =MnC0

−1

n.

n =MnC0

−1

r.




Montante


Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)


C0 =Mn

(1+rn) .

Sc = Mn − C0 = Mn

(

1− 1(1+rn)

)



r =MnC0

−1

n.

n =MnC0

−1

r.




Montante


Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)


C0 =Mn

(1+rn) .

Sc = Mn − C0 = Mn

(

1− 1(1+rn)

)



r =MnC0

−1

n.

n =MnC0

−1

r.




Montante


Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)


C0 =Mn

(1+rn) .

Sc = Mn − C0 = Mn

(

1− 1(1+rn)

)



r =MnC0

−1

n.

n =MnC0

−1

r.




Montante


Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)


C0 =Mn

(1+rn) .

Sc = Mn − C0 = Mn

(

1− 1(1+rn)

)



r =MnC0

−1

n.

n =MnC0

−1

r.




Montante


Mn = C0 + I = C0 + C0rn = C0(1 + rn)


C0 =Mn

(1+rn) .

Sc = Mn − C0 = Mn

(

1− 1(1+rn)

)



r =MnC0

−1

n.

n =MnC0

−1

r.




Esempio

Calcolare il montante maturato su un capitale di e5000,depositato ad un tasso r del 4% per 213 giorni:

M = 5000(

1 + 0.04 × 213365

)

= 5116.71 e.

Calcolare il capitale iniziale C0, il tasso r , il periodo n e losconto Sc .




Esempio


M = 5000(

1 + 0.04 × 213365

)

= 5116.71 e.





Esempio


M = 5000(

1 + 0.04 × 213365

)

= 5116.71 e.





Formule di calcolo

Nel caso di interesse composto, gli interessi si sommano alcapitale nel tempo.

In questo caso avremo che nel caso di interessi annuali

M1 = C0 + I1 = C0 + C0r = C0(1 + r)

Nel secondo periodoM2 = M1 + I2 = M1 +M1r = M1(1 + r) = C0(1 + r)2.

Mn = C0(1 + r)n = C0qn e il montante alla fine del periodo n.




Formule di calcolo



M1 = C0 + I1 = C0 + C0r = C0(1 + r)






Formule di calcolo



M1 = C0 + I1 = C0 + C0r = C0(1 + r)






Formule di calcolo



M1 = C0 + I1 = C0 + C0r = C0(1 + r)






Formule di calcolo



M1 = C0 + I1 = C0 + C0r = C0(1 + r)






Esempio

C0 = 10.000, r = 0.06, n = 6, M6 =?

M6 = 10.000(1 + 0.06)6 = 14185.19 e




Esempio

C0 = 10.000, r = 0.06, n = 6, M6 =?

M6 = 10.000(1 + 0.06)6 = 14185.19 e




Formule derivate

Se si deposita oggi in banca la somma di 100000 ead unr = 5%, quale sara l’interesse maturato dopo 8 anni?

I = M8 − C0 = C0(1 + r)8 − C0 = C0(q8− 1) = 47750




Formule derivate

Se si deposita oggi in banca la somma di 100000 ead unr = 5%, quale sara l’interesse maturato dopo 8 anni?

I = M8 − C0 = C0(1 + r)8 − C0 = C0(q8− 1) = 47750




Definizioni

Le Annualita sono delle somme che maturano ad intervallicostanti di tempo (ogni anno, ogni semestre, ogni trimestre...)

Le Annualita possono essere posticipate o anticipate aseconda del periodo di scadenza.

Le Annualita possono essere limitate o illimitate.

Si definisce accumulazione finale la somma delle Annualitacapitalizzate alla fine del periodo.

Si definisce accumulazione iniziale la somma delle Annualitaattualizzate all’inizio del periodo.




Definizioni









Definizioni









Definizioni









Definizioni









Accumulazione finale di Annualita posticipate limitate

Definiamo con An l’accumulazione finale delle Annualitaposticipate limitate.

An = aqn−1 + aqn−2 + ...+ aq + a =n

∑

i=1

aqn−i (1)

se moltiplichiamo per q ambo i membri otteniamo

Anq = aqn + aqn−1 + ...+ aq2 + aq (2)

Sottraiamo ora da ambo i membri la (1) otteniamo

Anq−An = aqn+aqn−1+...+aq2+aq−(aqn−1+aqn−2+...+aq+a)(3)

da cui si ottiene

An = aqn − 1

q − 1= a

qn − 1

r(4)






An = aqn−1 + aqn−2 + ...+ aq + a =n

∑

i=1

aqn−i (1)


Anq = aqn + aqn−1 + ...+ aq2 + aq (2)



da cui si ottiene

An = aqn − 1

q − 1= a

qn − 1

r(4)






An = aqn−1 + aqn−2 + ...+ aq + a =n

∑

i=1

aqn−i (1)


Anq = aqn + aqn−1 + ...+ aq2 + aq (2)



da cui si ottiene

An = aqn − 1

q − 1= a

qn − 1

r(4)






An = aqn−1 + aqn−2 + ...+ aq + a =n

∑

i=1

aqn−i (1)


Anq = aqn + aqn−1 + ...+ aq2 + aq (2)



da cui si ottiene

An = aqn − 1

q − 1= a

qn − 1

r(4)




Esempio

Calcolare l’accumulazione finale An di 10 Annualitaposticipate di 100 e al saggio del 5%.

An = a qn−1r

= 100 (1+0.05)10−10.05 = 1257.79




Esempio

Calcolare l’accumulazione finale An di 10 Annualitaposticipate di 100 e al saggio del 5%.

An = a qn−1r

= 100 (1+0.05)10−10.05 = 1257.79




Quote di reintegrazione e ammortamento

Utilizzando la formula sull’accumulazione finale possiamocalcolare le quote per il reintegro dei capitale.

Nel corso di Economia Agraria si e esaminato il problema dellacostituzione delle quote di ammortamento.

Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono esserecalcolate come:

Q = a = Anr

qn−1

Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali daaccantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valoredi e40000 nell’arco di 15 anni al tasso del 5%

Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1

= 1853.67








Q = a = Anr

qn−1


Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1

= 1853.67








Q = a = Anr

qn−1


Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1

= 1853.67








Q = a = Anr

qn−1


Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1

= 1853.67








Q = a = Anr

qn−1


Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1

= 1853.67








Q = a = Anr

qn−1


Q = 40000 0.05(1+0.05)15−1

= 1853.67




Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualitaposticipate limitate

Definiamo con A0 il valore attuale delle Annualita posticipatelimitate.

A0 =a

qn+

a

qn−1+ ...+

a

q=

n∑

i=1

a

qi(5)

se moltiplico ambo i membri della (5) per 1qe sottraggo

questa nuova equazione alla (5) ottengo

A0 = aqn − 1

rqn(6)




Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualitaposticipate limitate

Definiamo con A0 il valore attuale delle Annualita posticipatelimitate.

A0 =a

qn+

a

qn−1+ ...+

a

q=

n∑

i=1

a

qi(5)

se moltiplico ambo i membri della (5) per 1qe sottraggo

questa nuova equazione alla (5) ottengo

A0 = aqn − 1

rqn(6)




Quote di ammortamento di capitali

La quota di ammortamento di capitali e la rata annua osemestrale che si versa per estinguere un debito per undeterminato numero di anni.

Estinzione del debito in rate annue posticipate

La rata R puo essere derivata dall’espressionesull’accumulazione iniziale:

R = a = A0rqn

qn−1

NB: se la rata e semestrale il tasso annuale r deve esserediviso per due e n deve essere moltiplicato per due.








R = a = A0rqn

qn−1









R = a = A0rqn

qn−1









R = a = A0rqn

qn−1









R = a = A0rqn

qn−1





Esempio

Si richiede un prestito di 100000 euro da restituire in 20 annicon rate semestrali costanti al tasso r = 5%. Calcolare la rata:

R = 1000000.025q40

q40−1= 3983.6




Esempio

Si richiede un prestito di 100000 euro da restituire in 20 annicon rate semestrali costanti al tasso r = 5%. Calcolare la rata:

R = 1000000.025q40

q40−1= 3983.6




Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualitaposticipate illimitate

Nel caso di annualita posticipate illimitate avremo che n → ∞

Dalla (6).

A0 = limn→∞

aqn − 1

rqn=

a

r(7)

In questo caso conoscendo la annualita a e il tasso r possiamoimmediatamente calcolare il valore attuale A0

Nell’esempio precedente avremo che A0 =1000.05 = 2000.






Dalla (6).

A0 = limn→∞

aqn − 1

rqn=

a

r(7)








Dalla (6).

A0 = limn→∞

aqn − 1

rqn=

a

r(7)






Accumulazione finale di annualita anticipate

Per il calcolo dell’accumulazione finale basta moltiplicare per ilfattore q le formule delle accumulazioni per le Annualitaposticipate:Accumulazione finale annualita anticipate limitate:

An = aqqn − 1

r(8)

Accumulazione iniziale (valore attuale) annualita anticipatelimitate:

A0 = aqqn − 1

rqn(9)

Accumulazione iniziale (valore attuale) annualita anticipateillimitate:

A0 = aq1

r(10)






An = aqqn − 1

r(8)


A0 = aqqn − 1

rqn(9)


A0 = aq1

r(10)






An = aqqn − 1

r(8)


A0 = aqqn − 1

rqn(9)


A0 = aq1

r(10)






An = aqqn − 1

r(8)


A0 = aqqn − 1

rqn(9)


A0 = aq1

r(10)




Poliannualita

Le poliannualita sono dei valori che si ripetono ognideterminato numero di anni. Esempio, taglio del sughero ogni10 anni.

Occorre in questo caso definire :

n : il numero degli anni del periodo

t : il numero di periodi

P : la periodicita ossia l’ammontare di ognuno di questi valoripoliannuali.




Poliannualita









Poliannualita









Poliannualita









Poliannualita









Poliannualita limitate costanti posticipate

Le formule per il calcolo delle accumulazioni finali e inizialidelle poliannualita limitate sono molto simili a quelle delleannualita limitate.

Occorre tener conto che ora n deve essere moltiplicato per ilnumero dei periodi t. Avremo quindi

Atn = P qtn−1qn−1 (i) usa la stessa strategia delle annualita per

trovare il risultato. Provaci!!!

A0 =Atn

qtn= P qtn−1

qn−11qtn









A0 =Atn

qtn= P qtn−1

qn−11qtn









A0 =Atn

qtn= P qtn−1

qn−11qtn









A0 =Atn

qtn= P qtn−1

qn−11qtn




Poliannualita illimitate costanti posticipate e anticipate

Il risultato puo essere facilmente ricostruito calcolando illimite del caso di poliannualita limitate per tn → ∞

A0 = limtn→∞ P qtn−1qn−1

1qtn

= P 1qn−1

Mentre per le poliannualita illimitate anticipate avremo:

A0 = P qn

qn−1







1qtn

= P 1qn−1


A0 = P qn

qn−1







1qtn

= P 1qn−1


A0 = P qn

qn−1







1qtn

= P 1qn−1


A0 = P qn

qn−1




Definizioni

Solitamente il tasso di interesse r e espresso in terminiannuali, anche se le annualita maturano per frazioni di anno(es. semestre).

In questo caso occorre utilizzare le formule del montante perricavare dal tasso annuale nominale r il tasso annualeeffettivo. Esempio

Tasso annuale nominale rN = 10%. Tasso semestralenominale 10%

2 = 5%

Tasso annuale effettivo con un tasso semestrale del 5% :rE = (1 + 0.05)2 − 1 = 0.1025, cioe rE = 10.25%

Nel caso di calcolo di anticipazioni in presenza di frazioni dianno occorre utilizzare il tasso di interesse effettivo anzichequello nominale.




Definizioni




2 = 5%






Definizioni




2 = 5%






Definizioni




2 = 5%






Definizioni




2 = 5%





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