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Contraintes et deformations en polaire
1) Considerons le probleme plan en coordonnees polaires r, . Au
point A le deplacement vaut u A.A lextremite des deux segments
perpendiculaires AB et AC les deplacements valent respectivementu B
et u C . Les longueurs des segments AB et BC sont respectivement
:
AB = dr AC = rd
Fig. 1 A gauche deplacement radial et a droite deplacement
circonferentiel
Pour un deplacement radial seul :Les composantes des
deplacements selon r et aux points A,B,C valent dans le repere
initial r, dupoint A :
Composantes selon r uAr = ur uBr = ur +urr dr uCr = (ur +
ur d) cos d
Composantes selon uA = 0 uB = 0 uC = (ur +ur d) sin d
De la definition du gradient de deplacement il en resulte : urdr
urrdudr
urd
= rr urrdu
dr
=uBruAr
ABuCruAr
ACuBuA
AB
uCuAAC
= urr 1rd [(ur + ur d) cos d ur]0 1rd (ur + ur d) sin d
urr 1r ur0 urr
dans la limite des petites deformations pour lesquelles on ne
conserve que les termes du premier ordreen dr et d avec cos d 1 et
sin d d.
Pour un deplacement circonferentiel seul :Les composantes des
deplacements selon r et aux points A,B,C valent dans le repere
initial r, dupoint A :
Composantes selon r uAr = 0 uBr = 0 uCr = (u + u d) sin
dComposantes selon uA = u uB = u +
ur dr uC = (u +
u d) cos d
De la definition du gradient de deplacement il en resulte : urdr
urrdudr
urd
=uBruAr
ABuCruAr
ACuBuA
AB
uCuAAC
= 0 1rd (u + u d) sin d1dr [(u +
ur dr) u]
1rd [(u +
u d) cos d u]
0 uru
r1rud
dans la limite des petites deformations pour lesquelles on ne
conserve que les termes du premier ordreen dr et d avec cos d 1 et
sin d d.
Le tenseur des deformations etant la partie symetrique du
gradient de deplacement, en additionnantcomposante par composante
les deux resultats ci-dessus on obtient finalement :
(r, ) =
rr rr =
urr 12{1r ur + ur ur }12{
1rur +
ur
ur }
1ru +
urr
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Lors dun deplacement radial seul, le terme = urr correspond a
leffet geometrique propre a toutsysteme a symetrie de revolution
qui impose une variation de perimetre associee a toute variation
derayon. Lors dun accroissement ur du rayon r, le perimetre P = 2r
saccrot de dP = 2ur et induitune deformation circonferentielle =
dPP =
urr .
Lors dun deplacement circonferentiel seul, si le point A subit
un deplacement tangentiel AA,la droite OAB devient en labsence de
toute deformation la droite OAB et le glissement vrai dusegment AB
doit se mesurer non pas a partir de AB mais a partir de AB deduit
de AB par unerotation de corps rigide damplitude AA
OA =uAr . Le deplacement relatif du point B par rapport au
point A responsable du glissement du segment AB doit se mesurer
a partir du point dintersection B
du vecteur uB avec la droite (en pointille) issue de lorigine et
passant par lextremite A du vecteuruA. En effet, BB se decompose en
BB = AA
OAOB = ur+drr rotation de corps rigide ninduisant pas
de deformation et du terme de glissement BB.
2) Equation de lequilibre.
Facette Force normale Force tangentielleFacette AD [rr]2rd
[r]2rdFacette DC [ + d]dr [r +
r d]dr
Facette CB [rr + rrr dr]2(r + dr)d [r +rr dr]2(r + dr)d
Facette BA [ d]dr [r r d]dr
Projetons sur les axes r et en statique et en labsence de forces
de volume :
Projection sur r [Fn(AD) + Fn(CB)] + [Ft(DC) + Ft(BA)] cos(d) +
[Fn(DC) + Fn(BA)] sin(d) = 0Projection sur [Ft(AD) + Ft(CB)] +
[Ft(DC) Ft(BA)] sin(d) + [Fn(DC) + Fn(BA)] cos(d) = 0
Comme, en se limitant aux termes du premier ordre en dr et d
avec cos(d) 1 et sin(d) d :
Fn(CB) + Fn(AD) = [rr + rrr dr]2(r + dr)d [rr]2rd [rr + rrrr
]2drd
(Ft(DC) + Ft(BA)) cos(d) = {[r + r d]dr [r r d]dr} cos(d)
r 2drd
(Fn(DC) + Fn(BA)) sin(d) = {[ + d]dr [ d]dr} sin(d) 2drd
Ft(CB) + Ft(AD) = [r + rr dr]2(r + dr)d [r]2rd [r + rrr
]2drd
(Ft(DC) Ft(BA)) sin(d) = {[r + r d]dr + [r r d]dr} sin(d)
r2drd
(Fn(DC) + Fn(BA)) cos(d) = {[ + d]dr [ d]dr} cos(d)
2drd
Il en resulte :Projection sur r rrr +
1rr +
rrr = 0
Projection sur rr +1r + 2
rr = 0
3) Lorsque la geometrie et le chargement presentent une symetrie
cylindrique linvariance parrotation implique que les grandeurs
physiques ne peuvent pas dependre de la variable . La
seulecomposante de deplacement est la composante radiale ur. Pour
la meme raison, il ne peut y avoir
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de composante de deformation r mais la symetrie ninterdit pas
lexistence dune composante non nulle ne dependant que de la
variable r. Il en sera de meme pour les composantes du tenseurdes
contraintes. Lapplication de ces regles de symetrie conduit, dans
le cas dun materiau elastiquelineaire isotrope ij = kkij + 2ij aux
simplifications suivantes :
=
rr rr =
urr 00 urr =
rr 00 =
(urr + urr ) + 2urr 00 (urr + urr ) + 2urr
Lequation de lequilibre est automatiquement satisfaite en
projection sur laxe et sa projection surlaxe r se reduit a :
rrr
+rr
r= 0
rrr
= (+ 2)2urr2
+ 1r
(urr ur
r)
rr r
= 21r
(urr ur
r)
conduisant a lequation differentielle ordinaire :
d2u
dr2+
1r
du
dr ur2
= 0
dans laquelle u designe pour des raisons de simplification
decriture, la composante radiale ur seulecomposante du champ de
deplacement.Du fait de la symetrie radiale de la geometrie et du
chargement on sattend a ce que le deplacement usoit proportionnel a
r, le coefficient de proportionnalite pouvant lui meme etre une
fonction de r doule changement de variable u = fr qui conduit a
:
du
dr= f+r
df
dr
d2u
dr2= r
d2f
dr2+3
df
dr
f
f = 3
rLn(
f
C) = 3Lnr f = C
r3f =
D
r2+F u =
D
r+Fr
Il en resulte immediatement :
=
F Dr2 00 F + Dr2
= 2(+ )F 2Dr2 00 2(+ )F + 2D
r2
= B Ar2 00 B + A
r2
avec
{B = 2(+ )FA = 2D