Outils pour l’algorithmique Second degré Fonctions de référence Dérivation Étude des variations d’une fonction Suites numériques – Généralités Suites arithmétiques et géométriques Géométrie plane Trigonométrie Produit scalaire Statistiques Probabilités Loi binomiale Jean-Paul Beltramone Vincent Brun Jean Labrosse Claudine Merdy Philippe Rousseau Olivier Sidokpohou Claude Talamoni Alain Truchan
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corrigé des exos du livre de math 1ère édition hachette
livre du professeur d'un livre de math de 1ère filière S.
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Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique 1
1. Programme offi cielEn Seconde, les élèves ont conçu et mis en œuvre quel-ques algorithmes. Cette formation se poursuit tout au long du cycle terminal. Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés à : - décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ; - en réaliser quelques-uns à l’aide d’un tableur ou d’un programme sur calculatrice ou avec un logiciel adapté ; - interpréter des algorithmes plus complexes. Aucun langage, aucun logiciel n’est imposé. L’algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme (analyse, géométrie, statistiques et proba-bilités, logique), mais aussi avec les autres disciplines ou le traitement de problèmes concrets. À l’occasion de l’écriture d’algorithmes et programmes, il convient de donner aux élèves de bonnes habitudes
de rigueur et de les entraîner aux pratiques systémati-ques de vérifi cation et de contrôle.
Instructions élémentaires (aff ectation, calcul, entrée, sortie). Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables : - d’écrire une formule permettant un calcul ; - d’écrire un programme calculant et donnant la valeur d’une fonction ; - ainsi que les instructions d’entrées et sorties néces-saires au traitement.
Boucle et itérateur, instruction conditionnelle Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables de : - programmer un calcul itératif, le nombre d’itérations étant donné ; - programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fi n de boucle conditionnelle.
Le manuel propose dans ses diff érents chapitres de très nombreuses occasions de concevoir des algorithmes ou d’écrire des programmes autour des contenus et compé-tences du programme de mathématique de Première S.Dans ce chapitre, on s’attache à organiser les connais-sances et savoir-faire du programme et à proposer pour chacun au moins une activité élémentaire et une activité évoluée en rapport avec une branche des mathémati-
ques du lycée. Cependant, afi n de laisser au professeur la maîtrise de la progression, aucun exercice ne nécessite d’outils étrangers à un élève sortant de Seconde. L’accent est mis sur la mise en œuvre d’algorithmes « à la main » et sur calculatrice programmable, seuls outils disponibles en permanence pour l’élève. L’ouverture indispensable sur d’autres logiciels est prise en compte et facilitée par les fi ches de la fi n de l’ouvrage.
2. Intentions des auteurs
2 Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique
ActivitéActivité 1 Analyse de trois algorithmes1 Algo 1 : Calcul du PGCD de a et b.Algo 2 : Détermination de la liste de tous les nombres premiers entre 2 et n (Crible d’Eratosthène).Algo 3 : Calcul de la moyenne des N nombres.2
◗ Lire les deux entiers a et b◗ Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b◗ TANT QUE r est diff érent de 0 – Remplacer a par b – Remplacer b par r – Remplacer r par le reste de la division
euclidienne de a par b◗ Affi cher la valeur de b
◗ Lire le nombre n◗ Écrire tous les entiers entre 2 et n◗ Pour chacun de ces entiers, en commençant par 2 : – Si il n’est pas rayé Alors rayer tous ses multiples sauf lui-même◗ Écrire la liste des entiers non rayés
◗ Lire le nombre de données N◗ Lire toutes les données◗ Calculer la somme des données◗ Diviser cette somme par N◗ Affi cher le résultat.
3 a. ◗ Lire x◗ Placer le point correspondant au réel x sur l’axe des abscisses◗ Tracer une verticale passant par le point précé-dent◗ Lire l’ordonnée du point d’intersection de la verticale et de la représentation graphique.
b. ◗ Lire le réel c◗ Tracer un segment de longueur c◗ Prendre un écart de compas de longueur c◗ Pour chacune des extrémités du segment : – Placer la pointe sèche du compas sur
l’extrémité et tracer un cercle◗ Relier les deux extrémités du segment à l’un des points d’intersection des deux cercles.
c. ◗ Lire les réels positifs a, b et c◗ Aff ecter le plus grand des trois réels à p◗ Aff ecter les deux autres à q et r◗ Aff ecter q r2 2+ à s◗ Si s est égal à p2
Alors Affi cher « Le triangle est rectangle »Sinon Affi cher « Le triangle n’est pas rectangle »
ActivitéActivité 2 La sauterelle et la grenouille1 Lire avanceSauterelle2 Aff ecter 0 à posGrenouilleAff ecter posGrenouille+avanceSauterelle à posSaute-relle3 Aff ecter 1 à ChasseEnCours4 Tant que ChasseEnCours est égale à 1 :
Aff ecter posGrenouille + 40 à posGrenouilleAff ecter posSauterelle + 24 à posSauterelle
5 Si posSauterelle – posGrenouille est négatifAlors
Aff ecter 0 à ChasseEnCoursAff ecter « La sauterelle s’est échappée » à txtFinal
SinonSi posSauterelle – posGrenouille est plus petit que 10
AlorsAff ecter 0 à ChasseEnCoursAff ecter « La grenouille a mangé la saute-relle » à txtFinal
FinSiFinSi
FinTantQue6 Affi cher txtFinal
3 Affecter une variable
ActivitéActivité 1 À mon tourÀ l’aide d’un tableau de suivi, déterminer les valeurs contenues dans les variables a, b et c à la fi n de l’algo-rithme :
Ligne a b c4 0 / /5 0 2 /6 0 2 27 4 2 28 4 4 29 4 4 0
10 4 4 0
ActivitéActivité 2 Le Bourgeois gentilhomme1 a = « belle marquise » ;
b = « vos beaux yeux » ;c = « me font » ;d = « mourir d’amour ».
Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique 3
a. Affi cher a + b + c + d.b. Affi cher a + d + b + c.c. Affi cher d + b + a + c.d. Affi cher c + b + a + d. 2 Nous constatons que nous pouvons donner un sens à certaines de ces phrases mais que le manque de ponc-tuation est gênant.a. Affi cher a + « , » + b + c + d + « . »b. Affi cher a + « , » + d + b + c + « . »c. Affi cher d + « , » + a + « , » + b + c + « . »
ActivitéActivité 3 Jouons avec les variables1 Il est nécessaire de recou-rir à un troisième pot. On verse le contenu du pot noté « abricot » dans ce troisième pot libérant ainsi le pot qui pourra recevoir le contenu correspondant à son éti-quette.
2 On obtient par exemple le tableau de suivi ci-dessous.
Étape a b1 7 /2 7 33 10 34 10 75 3 7
Cet algorithme permet donc également d’échanger le contenu de variables (numériques) sans avoir recours à une troisième variable.
4 Exprimer une condition
ActivitéActivité 1 Valeur d’une conditionDéterminer la valeur ( vrai ou faux ) de chacune des conditions suivantes :• Vrai ;• Vrai (inégalité triangulaire) ;• Faux.
ActivitéActivité 2 Instructions conditionnelles1 Algo 1 : v = « Le triangle est rectangle ».Algo 2 : v = 3.
2 a. a 1= , b 2= et c 3= conviennent (il faut 1 1a b c ).
b. a 1= , b 3= et c 2= conviennent (il faut 1a b et c bG ).c. a 2= , b 1= et c 3= conviennent (il faut b aG ).
3
DébutLire a^ h ; Lire b^ h ; Lire c^ h ;Delta = b*b - 4*a*cSi Delta 1 0Alors v = « Le trinôme n’admet aucune racine » ;Sinon Si Delta == 0 Alors x0 = -b/(2*a) ; v = « Le trinome admet une unique racine : » + x0 ; Sinon x1 = (-b + sqrt(Delta))/(2*a) ; x2 = (-b - sqrt(Delta))/(2*a) ; v = « Le trinôme admet deux
racines : » + x1 + « et » + x2 ; FinSiFinSiAffi cher v^ h ;Fin.
ActivitéActivité 1 La fonction de Heaviside1 a. H 2 01 - =^ h ; ,H 0 5 01 - =^ h ; H 0 11 =^ h et
image = 0 ;Sinon Si x == 2 Alors image = 0,5 ; Sinon image = 1 ; FinSiFinSiAffi cher(image) ;Fin.
DébutLire x^ h ;Si 1x 0 image = 0 ;Sinon Si x == 0 Alors image = 0,5 ; Sinon image = 1 ; FinSiFinSiAffi cher(image - 0,5) ;Fin.
b.
5 Répéter une instruction en boucle
ActivitéActivité 1 1 S = 55.
2 i = 11.
3 10 fois.
4 Elle sert à demander à l’utilisateur d’entrer un nombre jusqu’à ce que celui-ci soit positif.
5 Elle permet la première exécution de la boucle.
ActivitéActivité 2 1 a. Il teste la propriété pour plusieurs couples ;x y^ h avec fd xG G et fd yG G .b. Il faut remplacer les pointillés par : test == 1.d. On constate que pour certaines valeurs du couple
;x y^ h la propriété est fausse.
2 a. Casio
TI
b. On voit deux séries de points distinctes.c. On trouve x 1= et y x= .d. Soit un couple ;x y^ h de réels tels que :
x y x xy2 + = + .
On a alors x x xy y2 - = - , ce qui revient à :x x y x1 1- = -^ ^h h.
Cette dernière équation s’écrit aussi :y x x 1 0- - =^ ^h h ;
d’où y x 0- = ou x 1 0- = . Soit encore y x= ou x 1= .
Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique 5
ActivitéActivité 3 La marelle de Bresenham1 Le cas 10 # 10Algo 1 : les entiers naturels a et b sont choisis au début du jeu et ne changent pas à chaque tour.
Débutx = 0y = 0s = 0a = NombreAuHasard(0 ; 11)b = NombreAuHasard(0 ; 11)TantQue ( 1x 10= ET 1y 10= ) Faire Affi cherPoint ;x y^ h
Si 1s 0 Alors x x 1= +
s s a= +
Sinon y y 1= +
s s b= -
FinSiFinTantQueFin.
2 Le cas 3 # 3a. En la reproduisant sur votre feuille, tester le dépla-cement de Céline en comptant le nombre de déplace-ments dans les cas suivants :◗ dans le cas a b= : on obtient toujours trois déplace-ments ;◗ dans le cas a 1= et b 10= : de même.b. Au début du jeu, le compteur est à zéro. Le premier déplacement sera donc d’un carreau vers le Nord et le compteur prendra la valeur - b. On peut ainsi modifi er l’algo1 précédent en initialisant y à 1 et s à - b. Remarque : Notons que dans ce cas s devient strictement négatif et le déplacement suivant sera forcément d’un carreau vers l’Est, ce qui permet d’initialiser en plus x à 1 et s à a b- .)
3 Pertinence de l’algorithmeOn s’intéresse cette fois à la fi nitude de l’algorithme. La boucle utilisée ne s’arrêtant que si une condition est remplie, il nous faut prouver que cette condition se réali-sera en un nombre fi ni d’étapes.Pour cela, on se remet dans la condition initiale de la marelle de 10 sur 10.a. Pour atteindre la frontière Est il faut avoir fait 9 pas vers l’Est, on en déduit qu’elle a en outre fait 8 pas vers le nord. Voici un exemple d’un tel déplacement :
b. Étant donné qu’il faut (et qu’il suffi t de) faire 9 pas vers l’Est pour atteindre cette frontière, on en déduit que 16 pas ont été fait vers le Nord. Cependant, au bout de 9 pas vers le Nord la frontière Nord est atteinte. On en conclut que cette situation est impossible.c. Ainsi le nombre maximal de pas au total est de 9 pas dans une direction et de 8 dans l’autre, soit 17 pas.d. n p 1+ - .
Contenus Capacités attendues CommentairesSecond degréForme canonique d’une fonction polynôme de degré deux.Équation du second degré, discriminant.Signe du trinôme.
◗ Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique.
On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en classe de Seconde.� Des activités algorithmiques doivent être réalisées dans ce cadre.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole �.
2. Intentions des auteursLes fonctions polynômes de degré 2 ont été abordées en Seconde. Dans ce chapitre, on complète les connais-sances concernant la forme canonique et on les réin-vestit pour résoudre l’équation ax bx c 02 + + = . Enfi n, on réinvestit les connaissances concernant les variations pour étudier le signe de ax bx c2 + + .
Du point de vue mathématique :
– on met en place la forme canonique avec l’introduc-tion du discriminant ;– on résout l’équation ax bx c 02 + + = a 0!^ h et on en déduit la factorisation éventuelle de ax bx c2 + +
a 0!^ h ;
– on étudie le signe de ax bx c2 + + en exploitant le tableau de variations de la fonction qui à x associe ax bx c2 + + a 0!^ h.
Les exercices visent avant tout à assurer une bonne connaissance du second degré, tant du point de vue fonc-tionnel que du point de vue algébrique. Les nouveaux acquis permettent de résoudre des problèmes de mise en équation.
Objectifs◗ Réactiver les connaissances du cours de Seconde concer-nant :– les représentations graphiques des fonctions polynômes
de degré 2 ;– les variations de ces mêmes fonctions ;– l’utilisation de la forme canonique.◗ Revoir également les identités remarquables pour préparer le passage forme développée-forme canonique.
A 1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai.4 Faux, la forme canonique est x 1 12- +^ h .
B f est associé au tableau c., g au tableau d., h au tableau b. et k au tableau a.
C 1 Faux, c’est ;3 1-" ,. 2 Vrai. 3 Vrai.4 Faux, une seule solution : 1,5.
D 1 b. 2 c. 3 a. 4 a.
ActivitéActivité 1 Forme canoniqueObjectifRevoir l’obtention de la forme canonique par la résolution de l’équation f x c=^ h et l’utilisation de l’axe de symétrie de la parabole. Puis découvrir une autre méthode utilisant les identités remarquables.1 a. f x x x3 2 6 3 32+= + + =^ h
x x2 3 0+ + =^ h x 0+ = ou x 3=- .
D’où ,1 5=-a ., ,f 1 5 1 5= - =-b ^ h .
, ,f x x2 1 5 1 52= + -^ ^h h .b. g x x x1 3 5 1 12+= - + + =^ h
x x3 5 0+ - + =^ h
x 0+ = ou x 35
= .
D’où 65
=a .
g 65
1237
= =b c m .
g x x3 65
12372
=- - +^ ch m .
2 a. , ,x x x x x2 6 2 3 2 1 5 2 252 2 2+ = + = + -^ ^h h6 @., ,f x x x x2 6 3 2 1 5 2 25 32 2= + + = + - +^ ^h h6 @
, ,f x x2 1 5 1 52= + -^ ^h h .
b. .x x x x x3 5 3 35 3 6
536252 2
2- + =- - =- - -c cm m= G
g x x x3 5 12=- + +^ h
g x x3 65
3625 1
2=- - - +^ ch m= G
g x x3 65
12372
=- - +^ ch m .
ActivitéActivité 2 Découvrir le rôle du discriminantObjectifIntroduire le discriminant et conjecturer son infl uence sur le nombre de solutions de l’équation ax bx c 02 + + =
a 0!^ h .2 On conjecture que : – si 2 0D , alors il y a deux solutions ; – si 0=D , alors il y a une seule solution ;– si 1 0D , alors il n’y pas de solution.
a 0!^ h et lire sur le graphique le signe de ax bx c2 + + .1 a. Pour f , la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses et le sommet est sur cet axe.Pour g, la courbe est strictement au-dessus de l’axe des abscisses et donc le sommet aussi.Pour h, la courbe traverse l’axe des abscisses et le sommet est au-dessous de cet axe.Pour u, la courbe est strictement au-dessous de l’axe des abscisses et donc le sommet aussi.Pour v, la courbe traverse l’axe des abscisses et le sommet est au-dessus de cet axe.Pour w, la courbe est au-dessous de l’axe des abscisses et le sommet sur cet axe.b. Non, on ne peut pas.2 a.Équation f x 0=^ h g x 0=^ h h x 0=^ h
ActivitéActivité 4 Variations et équationsObjectifLier les approches fonctionnelles (tableau de varia-tions) et algébriques (nombre de solutions de l’équation ax bx c 02 + + = a 0!^ h.1 Si 2a 0, l’équation f x 0=^ h n’admet aucune solution si 2 0b , admet une solution si 0=b et deux solutions si 1 0b .
Si 1a 0, l’équation f x 0=^ h n’admet aucune solution si 1 0b , admet une solution si 0=b et deux solutions si 2 0b .3 Si a et b sont choisis, la valeur de a ne peut pas modifi er le nombre de solution(s) de l’équation a x 02- + =a b^ h .
Exercices d’applicationExercices d’application
Obtenir une forme canonique
a. Pour le trinôme : x x2 52 + - , on a : 1 4 2 5 412 # #= - - =D ^ h .
b. Pour le trinôme : x x7 32- + + , on a : 49 12 61= + =D .
c. Pour le trinôme : , , ,x x1 2 0 4 2 32 + + , on a : , , ,0 16 11 04 10 88= - =-D .
d. Pour le trinôme : x x23
21
412- + - , on a :
, , ,0 25 1 5 1 25= - =-D .
a. , ,x x x2 5 2 0 25 5 1252 2+ - = + -^ h .b. , ,x x x7 3 3 5 15 252 2- + + =- - +^ h .
c. , , , ,x x x1 2 0 4 2 3 1 2 61
15342
2+ + = + +c m .
d. x x x23
21
41
23
61
2452
2- + - =- - -c m .
a. x 3- - 0,25 3+
f x^ h - 5,125b. x 3- 3,5 3+
f x^ h15,25
c.x 3- 6
1-3+
f x^ h
1534
d.x 3- 6
13+
f x^ h 245-
x x x x5 6 2 2 5 6 02 +- + = - =^ h .L’ensemble des solutions est ; ,S 0 1 2= " ,.
a. ,x x x x2 10 2 2 5 22 + - = + -^ ^h h.b. , , ,x x1 2 0 4 2 32 + + : pas de factorisation.c. x x x x7 6 1 62- + - =- - -^ ^h h.
d. x x x21
21
81
21
212
2- + - =- -c m .
a. x x x x5 9 0 5 9 02 +- = - =^ h ; ; ,S 0 1 8= " ,.b. x x x4 4 0 2 02 2+- + = - =^ h ; S 2= " ,.c. x x11 0 112 2+- + = = ; ;S 11 11= -# - .d. x x x4 4 1 0 2 1 02 2+- + = - =^ h ; ,S 0 5= " ,.
a. x x x x5 3 2 3 7 5 5 02 2+- + =- + - =
x 1+ = ou x 1=- .f 1 4=^ h et f 1 10- =^ h . La parabole ! et la droite "
sont sécantes en ;A 1 4^ h et en ;B 1 10-^ h.b. La parabole ! et la droite " sont sécantes en ;A 2 1-^ h et en ;B 4 19- -^ h.c. La parabole ! et la droite " sont sécantes en ;A 0 2^ h et en ;B 3
1 2-c m.
d. x x x3 7 12 5 142- + + = +
.x x3 2 2 02+ - + - = 20=-D . La parabole ! et la droite " n’ont pas de points d’intersection.e. La parabole ! et la droite " sont sécantes en ; .A 4 2-^ h
À la calculatrice, on a - 0,62 et 1,62 à 0,01 près.x x 1 02- + + = . 5=D .
x 21 5
1 = + et x 21 5
2 = - .
Résoudre une inéquation du second degré
a. x x2 102 + - ; 81=D .Comme 2 0D et 2a 0, la parabole ! coupe l’axe des abscisses avec son sommet au-dessous de cet axe.b. x x3 7 52 - + ; 11=-D .Comme 1 0D et 2a 0, la parabole ! est toujours au-dessus de l’axe des abscisses.c. x x4 36 812 - + ; 0=D .Comme 0=D et 2a 0, la parabole ! est toujours au-dessus de l’axe des abscisses avec son sommet sur cet axe.d. x x9 6 12- - - ; 0=D .Comme 0=D et 1a 0, la parabole ! est toujours au-dessous de l’axe des abscisses avec son sommet sur cet axe.e. x x8 232- + - ; 28=-D .Comme 1 0D et 1a 0, la parabole ! est toujours au-dessous de l’axe des abscisses.f. x x2 2 402- + + ; 324=D . Comme 2 0D et 1a 0, la parabole ! coupe l’axe des abscisses avec son sommet au-dessus de cet axe.
a. 2x x2 10 02 + - ; 81=D . ,x 2 51 =- et x 22 = . L’ensemble des solutions est :
; , ;S 2 5 2,3 3= - - +6 6@ @ .b. x x3 7 5 02 G- + ; 11=-D .L’ensemble des solutions est QS = .c. x x4 36 81 02 G- + ; 0=D .
,x x 4 51 2= = . L’ensemble des solutions est ,S 4 5= " ,.
d. 1x x9 6 1 02- - - ; 0=D ; x x 31
1 2= = - .
L’ensemble des solutions est RS 31
= - -' 1.
e. 1x x8 23 02- + - ; 28=-D .L’ensemble des solutions est RS = .f. x x2 2 40 02 H- + + ; 324=D . x 41 =- et x 52 = . L’ensemble des solutions est
;S 4 5= -6 @.
Construction géométrique d’une paraboleSoit un repère dont l’axe des abscisses est la droite " et dont l’axe des ordonnées passe par F avec y aF = .Comme M est sur l’axe des abscisses, ses coordonnées sont ;x 0^ h.La droite IM^ h est perpendiculaire à l’axe des abscisses donc I a même abscisse x que M.On note y l’ordonnée de I. Ainsi, on a ;I x y^ h.
I I I IM F M F2 2+ ==y x y a2 2 2+ = + -^ h
y x y ay a22 2 2 2+ = + - -
x ay a0 22 2+ = - -
I+ appartient à la parabole d’équation ,y ax a
22 2
= +
soit y ax a2 2
2= + .
Lancer de balle et parabole1 a. , ,h t t t t3 0 5 3 252 2=- + + =- - +^ ^h h .b. h t^ h est maximum pour ,t 0 5= et la hauteur maxi-male est 3,25 m.c. Comme t 0H , , ,h t t0 0 5 3 25 02+= - - + =^ ^h h
, , , ,t t0 5 3 25 3 25 0 52+ +- = = +^ h . La balle touche le sol à l’instant , ,t 3 25 0 5= + .La balle tombe à une distance , , v3 25 0 5+ l_ i du point de départ, soit à ,2 3 25 1+_ i m.
2 a. Comme x v t= l , t vx
=l
et .hv
xvv x 32
2= - + +
l lb. Ayant une fonction trinôme,la trajectoire est une parabole.c. Pour v v 1= =l , on a h x x 32=- + + .3 h t t vt 32=- + +^ h
, ,h t t v v0 5 3 0 252 2=- - + +^ ^h h .h t^ h est maximum pour ,t v0 5= et la hauteur maximale est , v3 0 25 2+ .a. Si v 3= , la hauteur maximale est 5,25 ; donc la balle atteint bien une hauteur d’au moins 5 m avant de retomber.b. Comme 2v 0,
, ,v v3 0 25 5 0 25 22 2+H H+v 82+ H
v 2 2+ H .La balle atteint une hauteur minimale d’au moins 5 m avant de retomber si v 2 2H .4 a. Comme t 0H ,
, ,h t t v v0 0 5 3 0 25 02 2+= - - + + =^ ^h h
, ,t v v0 5 3 0 252 2+ - = +^ h
, ,t v v3 0 25 0 52+ = + + .b. La balle atteint le sol quand h t 0=^ h , c’est-à-dire quand , ,t v v3 0 25 0 52= + + .
v doit être supérieur ou égal à 2 pour que la balle n’at-teigne pas le sol avant l’instant t 3= s.5 a. h t t vt3 3 32+= - + + =^ h
t t v t0 0+ +- + = =^ h ou t v= .La balle est de nouveau à une hauteur de 3 m à l’instant t v= .La distance horizontale parcourue par la balle est vvl.
b. Comme on a v v 42 2+ =l , v v42 2= -l .vvl est maximal v v2 2+ l est maximal
v v42 2+ -^ h est maximal v v44 2+ - + est maximal V V42+ - + est maximal avec V v2= .
Il faut donc V 2= ; donc v 22 = et v 2= . On a alors v 2=l .Le rapport v
vl
doit valoir 1, ce qui correspond à la tangente d’un angle de 45°.
1 c. 2 b. 3 c.
1 a. et b. 2 a. et c. 3 a.
1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai.
1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.
Applications directes
1 Mesures des angles orientés de vecteurs
1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai.
1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux.
1 Faux, sauf si b 0= . 2 Vrai. 3 Vrai.
1 Faux, sauf si b 0= . 2 Faux, sauf si 0=D . 3 Faux, sauf si a 1= .
1 Toutes les expressions correspondent à des trinômes du second degré sauf C x^ h de degré 3 et F x^ h de degré 1.2 Pour A x^ h, a 5= , b 3=- et c 5= .Pour B x^ h, a 2=- , b 0= et c 3= .Pour D x^ h, a 4= , b 16= et c 16= .Pour E x^ h, a 6= , b 6= et c 9= .
Savoir obtenir et utiliser une forme canonique
1 33=D et , ,x x x8 0 5 8 252 2+ - = + -^ h .
2 7=D et ,x x x3 2 0 25 3 31
1272
2- + + =- - +c m .
3 60=D et , ,x x x2 2 7 2 0 5 7 52 2- - = - -^ h .4 6=D et la forme canonique est , x0 5 32 - .
1 Pour , ,x x x8 0 5 8 252 2+ - = + -^ h , les coor-données du sommet de la parabole sont , ; , .S 0 5 8 25- -^ h
2 Pour ,x x x3 2 0 25 3 31
1272
2- + + =- - +c m , les
coordonnées du sommet de la parabole sont ; .S 31
127
c m
3 Pour , ,x x x2 2 7 2 0 5 7 52 2- - = - -^ h , les coor-données du sommet de la parabole sont , ; ,S 0 5 7 5-^ h.4 Pour , x0 5 32 - , les coordonnées du sommet de la parabole sont ;S 0 3-^ h.
1 a. Sur calculatrice.b. La plus grande valeur prise par f x^ h semble être 7 pour x 2= .2 a. f x x x x4 3 2 72 2=- + + =- - +^ ^h h .b. Le sommet de la parabole est ;S 2 7^ h, donc la conjec-ture est vérifi ée.
1 x x x80 480 120 80 3 6002 2- + = - -^ h .
x 3- 3 3+
f x^ h - 600
Les coordonnées du sommet de la parabole sont;S 3 600-^ h.
2 x x x27 270 582 27 5 932 2- - - =- + +^ h .
x 3- - 5 3+
f x^ h93
Les coordonnées du sommet de la parabole sont ;S 5 93-^ h.
3 x x x43 602 2 107 43 72 2- + = -^ h .
x 3- 7 3+
f x^ h 0
Les coordonnées du sommet de la parabole sont ;S 7 0^ h.
f est la seule fonction affi ne, donc elle est repré-sentée par la droite #3.g est la seule fonction trinôme ayant un maximum, donc elle est représentée par #2.Pour h, 23=-D , donc h x 0=^ h n’a pas de solution et h est représentée par #5.Pour j, 9=D , donc j x 0=^ h a deux solutions et j est représentée par #1.Pour k, 0=D donc k x 0=^ h a une unique solution et k est représentée par #4.
Associer un trinôme à un tableau de variations
f x a x 11 72= - -^ ^h h avec 2a 0.
, ,f x a x 1 2 2 42= + +^ ^h h avec 2a 0.
,f x a x 4 5 232= - -^ ^h h avec 1a 0.
f x a x 12 802= + +^ ^h h avec 1a 0.
Démonstration d’un résultat du coursax bx c a x a
b x c2 2+ + = + +c m
a x ab
ab c2 4
2
2
2= + - +c m= G
a x ab
ab ac
2 442 2
= + - -c m .
On complète l’algorithme par :AFFICHER “La forme canonique est”
c. x x2 5 1 2 5 12 ++ = + =^ h ou x2 5 1+ =- ;;S 2 3= - -" ,.
d. x x5 2 5 1 0 5 1 02 2+- + = - =^ h ;
S5
1= ( 2.
e. x x2 1 02 - - = ; 9=D ; ; ,S 1 0 5= -" ,.f. x x x x3 0 3 02 ++ = + =^ h ; ;S 0 3= -" ,.
a. x x 122 + - ; 49=D ; les racines sont - 4 et 3.x x x x12 4 32 + - = + -^ ^h h.b. x x3 12 - + ; 13=-D ; on ne peut pas factoriser.c. x x2 7 52- + - ; 9=D ; les racines sont 2,5 et 1.
,x x x x2 7 5 2 2 5 12- + - =- - -^ ^h h.d. ,x x10 6 0 92 + + ; 0=D ; il y a une seule racine - 0,3.
, ,x x x10 6 0 9 10 0 32 2+ + = +^ h .
a. P x x x4 32= - +^ h ; 4=D ; les racines sont 1 et 3.P x x x1 3= - -^ ^ ^h h h.b. P x x x2 12= - +^ h ; 0=D ; la seule racine est 1.P x x 1 2= -^ ^h h .c. P x x x3 1 42= + +^ h ; 4=D ; les racines sont - 1 et
31- . P x x x x x3 1 3
1 1 3 1= + + = + +^ ^ c ^ ^h h m h h.
d. P x x x6 22=- + +^ h ; 49=D ; les racines sont - 0,5 et 3
2 .
,P x x x x x6 0 5 32 2 1 3 2=- + - = + - +^ ^ c ^ ^h h m h h.
e. P x x x5 30 452= + +^ h ; 0=D ; la seule racine est - 3. P x x5 3 2= +^ ^h h .f. P x x x5 62= - -^ h ; 49=D ; les racines sont - 1 et 6. P x x x6 1= - +^ ^ ^h h h.
a. x x x x3 5 3 52 - = -^ h.b. x x x4 81 2 9 2 92 - = - +^ ^h h.c. x2 32- - ne se factorise pas.d. ,x11 1 52 + ne se factorise pas.
On peut mettre une valeur a avec :a. a strictement négatif ;b. a nul ;c. a strictement positif.
On peut mettre une valeur a avec :a. a strictement positif ;b. a nul ;c. a strictement négatif.
a. Il est impossible d’avoir deux solutions.b. Il est impossible d’avoir une solution.c. Pour toute valeur à la place des pointillés, il n’y a pas de solution à f x 0=^ h .
1 On conjecture graphiquement qu’il y a un point commun.f x g x x x x22 3+= - =^ ^h h
x x x2 03 2+ - + =
x x x 2 02+ - + =^ h .
Pour x x 22 - + , on a 7=-D , donc x x 22 - + n’est jamais nul.La seule solution à f x g x=^ ^h h est 0.#f et #g n’ont que le point ;O 0 0^ h en commun.2 On conjecture graphiquement qu’il y a trois points communs.f x g x x x x2 2 22 3+= + - = -^ ^h h
x x x2 03 2+ - - =
x x x2 1 02+ - - =^ h .Pour x x2 12 - - , on a 8=D , donc x x2 12 - - a deux racines qui sont 1 2- et 1 2+ .f x g x=^ ^h h admet donc trois solutions 0, 1 2- et
1 2+ .#f et #g sont sécantes en ;A 0 2-^ h, en
;B 1 2 5 5 2- -^ h et en ;C 1 2 5 5 2+ +^ h.
1 On conjecture graphiquement qu’il y a trois points communs.f x g x x x x x x2 3 22 4 2+= - = - -^ ^h h
x x x x4 0 4 04 2 2 2+ +- = - =^ h
x 0+ = ou x 2= ou x 2=- .f x g x=^ ^h h admet donc trois solutions 0, 2 et - 2.
#f et #g sont sécantes en ;A 0 0^ h, en ;B 2 0^ h et en ;C 2 8-^ h.
2 On conjecture graphiquement qu’il y a trois points communs.f x g x x x x2 4 3+= = +^ ^h h
x x x x x x0 1 04 3 2 2 2+ ++ - = + - =^ h .Pour x x 12 + - , on a 5=D , donc x x 12 + - a deux
racines qui sont 21 5- + et 2
1 5- - .
f x g x=^ ^h h admet donc trois solutions 0, 21 5- +
et 21 5- - .
#f et #g sont sécantes en ;A 0 0^ h,
en ;B 21 5
23 5- + -
c m
et en ; .C 21 5
23 5- - +
c m
a. Pour X X3 5 2 02 - + = , 1=D et X 1= ou
X 32
= .
x x x3 5 2 0 14 2 2+- + = = ou x 322 = .
; ; ;S 1 1 32
32
= - -' 1.
b. Pour X X3 2 02 + + = , 1=D et X 1=- ou X 2=- .x x x3 5 2 0 14 2 2+- + = =- ou x 22 =- . QS = .
c. Pour X X2 1 02- - + = , 9=D et X 1=- ou ,X 0 5= .
x x x3 5 2 0 14 2 2+- + = =- ou ,x 0 52 = ., ; ,S 0 5 0 5= -# -.
3 En posant X x 12= + , on a X X6 5 02 - + = avec 16=D et X 1= ou X 5= .
On a donc x 1 12 + = ou x 1 52 + = . ; ;S 0 2 2= -" ,.4 Pour x 2! - et x 1! - ,
xx
xx
27 1
12 3 4 0 +
+- -
++ - =
x xx x x x x x
2 17 1 1 2 3 2 4 2 1
+ +
- + - + + - + +
^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
h h
h h h h h h
.0=x x13 15 02+ - - = .
On a 229=D et ;S 213 229
213 229
= + -' 1.
a. Si la parabole P coupe deux fois l’axe des abscisses, alors l’équation f x 0=^ h a deux solutions et 2 0D .b. Si 0=D , alors l’ordonnée a4
-D du sommet est nulle
et le sommet de P est sur l’axe des abscisses.c. Si le sommet de P est sur l’axe des ordonnées, alors son abscisse a
b2- est nulle donc b 0= .
d. Si c 0= , alors f x ax bx2= +^ h qui s’annule au moins en 0 et l’équation f x 0=^ h a au moins une solution.
a. « Si 2 0D , alors P coupe deux fois l’axe des abscisses » est vrai, car si 2 0D alors l’équation f x 0=^ h a deux solutions.b. « Si le sommet de P est sur l’axe des abscisses, alors
0=D » est vrai, car l’ordonnée nulle du sommet est
a4-D .
c. « Si b 0= , alors le sommet de P est sur l’axe des ordon-nées » est vrai, car l’abscisse a
b2- du sommet est nulle.
d. « Si f x 0=^ h admet au moins une solution alors c 0= » est faux, car x x5 6 02 - - = admet deux solu-tions avec c 0! .
1 AlgorithmegALGO
DébutDemander les valeurs de A, de B et de C.Calculer B2 – 4AC et ranger la valeur dans D.Si D < 0 alors Affi cher “pas de solution” sinon si D = 0 alors Affi cher “une solution” sinon Affi cher “deux solutions” fi nsifi nsiFin
DébutDemander les valeurs de A, de B et de C.Calculer B2 – 4AC et ranger la valeur dans D.Si D < 0 alors Affi cher “pas de solution” sinon si D = 0 alors Affi cher “une solution” et la
DébutDemander les valeurs de A, de B et de C.Calculer B2 – 4AC et ranger la valeur dans D.Si D < 0 alors Affi cher “pas de factorisation” sinon si D = 0 alors Affi cher la valeur de A,”(x+”,
d. P x x x4 4 242= + -^ h ; 400=D ; x 31 =- et .x 22 =
x 3- - 3 2 3+
P x^ h + 0 - 0 +
a. P x x x2 12=- + +^ h ; 9=D ; ,x 0 51 =- et x 12 = .
Le sommet est au-dessus de l’axe des abscisses et la parabole traverse l’axe des abscisses en - 0,5 et en 1.b. ,P x x x10 56 78 42= - +^ h ;
0=D ; ,x 2 8S = .La parabole est au-dessus de l’axe des abscisses avec son sommet d’abscisse 2,8 sur cet axe.c. ,P x x x5 0 12= + +^ h ;
1=-D .La parabole est toujours strictement au-dessus de l’axe des abscisses.d. P x x x4 4 242= + -^ h ;
400=D ; x 31 =- et .x 22 =Le sommet est au-dessous de l’axe des abscisses et la parabole traverse l’axe des abscisses en - 3 et en 2.
Résoudre avec un tableau de signes
1 Les solutions de l’inéquation correspondent aux abscisses des points de l’hyperbole situés au-dessous de la droite. L’ensemble des solutions ne comprend pas de valeurs inférieures à - 2.2 Zoé a multiplié par x 2+^ h dans une inéquation. Or x 2+^ h peut être négatif ou positif et le sens de l’iné-
quation doit être modifi é ou conservé selon les valeurs de x.3 x
x x xx x2
2 1 3 22 1 3 0+G G
++
++ -
xx x
23 4 1 0
2+ G
+- - + .
Soit x1 et x2 les racines de x x3 4 12- - + trouvées par Zoé.
x 3- - 2 x2 x1 3+
x x3 4 12- - + - - 0 + 0 -
x 2+ - 0 + + +
Quotient + - 0 + 0 -
; ;S 2 32 7
32 7, 3= - - - - + +; ;E E .
a. 2 2xx
xx x
2 1 22 0
2 2+
+ +- -
2xx x
21 2
0++
+ -^ ^h h .
; ;S 2 1 2, 3= - - +6 6@ @ .
b. x
xx
xx
xxx
23 1
34 5
23 1
34 5 0+G G
-- +
+- +
-- + +
+-
x xx x
2 37 5 7 0
2+ G
- +- + -^ ^h h
.
x x7 5 72- + - a un discriminant négatif et x x7 5 72- + - est toujours négatif.
x x2 3- +^ ^h h est positif sur ;3 2- 6@ .On en déduit que ;S 3 2= - 6@ .
2 On conjecture que ;S 0 1= 6@ .3 a.
.x x bx c x b x c x c1 1 12 3 2- + + = + - + - -^ ^ ^ ^h h h h
En identifi ant, pour tout réel x, avec x 13 - , on a b 1= et c 1= .b. 1 1x x x x
1 1 02 2+ -
1xx 1 0
3+ -
1xx x x1 1
02
+ - + +^ ^h h .
x x 12 + + est toujours strictement positif.On obtient ;S 0 1= 6@ .
Résoudre une inéquation bicarrée
1 Pour X X3 13 42 - + , 121=D et les racines sont 4 et 3
1 .
2 X X X X3 13 4 4 3 12 - + = - -^ ^h h.
3 2 2X x x x3 13 4 0 4 3 1 04 2 2 2+- + - -^ ^h h .
; ; ;S 2 31
31 2, ,3 3= - - - +6 ; 6@ E @ .
a. Pour X X2 5 72- + + , 81=D et les racines sont - 1 et 3,5.On a X X X X2 5 7 1 2 72- + + = + - +^ ^h h et :
x x x x2 5 7 0 1 2 7 04 2 2 2+G G- + + + - +^ ^h h
Comme x 12 + est strictement positif, il suffi t de résoudre x2 7 02 G- + .
; , , ;S 3 5 3 5,3 3= - - +6 6@ @ .
b. Pour X X9 12 42 - + , 0=D et la seule racine est 32 .
On a X X X9 12 4 3 22 2- + = -^ h .x x x9 12 4 0 3 2 04 2 2 2+G G- + -^ h .
Il faut donc avoir x3 2 02 - = .
;S 32
32
= -' 1.
c. Pour X X6 5 12 + + , 1=D et les racines sont - 0,5 et
31- .
On a X X X X6 5 1 2 1 3 12 + + = + +^ ^h h.2 2x x x x6 5 1 0 2 1 3 1 04 2 2 2++ + + +^ ^h h , ce qui
est toujours vrai.RS = .
d. On pose ici X x3= .Pour X X 12- + - , 3=-D . Il n’a pas de racine et
X X 12- + - est strictement négatif.Il en est de même de x x 16 3- + - , donc QS = .
Notons n le nombre de personnes. Le nombre de poignées de mains échangées correspond au nombre de groupes de deux personnes. Donc on résout :
n nn n2
155 110 02+-
= - - =^ h .
441 212= =D ; donc, n étant positif, .n 21 21 11= + =
1 Notons n le plus petit des deux entiers relatifs cherchés ; on résout :n n n n1 5 725 2 2 5 724 02 2 2++ + = + - =^ h
n n 2 862 02+ + - = .11449 1072= =D , donc n 2
1 107!= - .
On a donc deux solutions : 53 et 54 d’une part et - 54 et - 53 d’autre part.2 Notons n l’entier du milieu ; on résout :n n n n1 1 2 030 3 2 2 0302 2 2 2+- + + + = + =^ ^h h
n n676 262+ + != = .On a donc deux solutions : 25, 26 et 27 d’une part et - 27, - 26 et - 25 d’autre part.
1 La longueur du rectangle est , x12 5 - , donc son aire est égale à , ,x x x x12 5 12 52- =- +^ h . Ce trinôme admet un maximum pour ,x a
b2 6 25=- = ;
, , ,12 5 6 25 6 25- = . Donc dans ce cas, le rectangle est carré.2 La longueur du rectangle est p x2 - , donc son aire
vaut x p x x p x2 22- =- +d n . Ce trinôme admet un
maximum pour x ab p2 4=- = .
p p p2 4 4- = . Donc dans ce cas, le rectangle est carré.
a. ;S 2 3= -" ,.b. S 0= " ,.
1 a. Il faut que x x2 9 02 H- + + . 40=D ; les racines sont 1 10! et 1a 0, donc
;x 1 10 1 10! - +7 A.b. Non, car la fonction racine carrée ne prend que des valeurs positives.2 a. Les deux membres étant positifs, on obtient une équation équivalente en élevant au carré :
x x x x x x2 9 1 2 4 22 2 2+ + !- + + = + + = = .b. S 2= " , 2 1G-^ h.
Il faut que ;x 0 4! 6 @.x x
x x29
21
29 4 9 18 02+# #-
= - + - =^ h
9=D ; les solutions sont 29 3!-
- , c’est-à-dire 3 et 6. Donc x 3= .
Ce trapèze se décompose en un rectangle et un triangle isocèle, donc il faut que ;h 0 6! 6 @.
h hh h2
6 610 12 20 02+
#+ -= - + - =
^ h6 @ ;
64 82= =D ; les solutions sont 212 8!-
- , c’est-à-dire 2 et 10. Donc h 2= .
Il faut que ;x 0 3! 6 @. L’aire de la partie bleue est x x x3 5 2+ - .
Elle doit être égale à la moitié de l’aire totale ; donc : ,x x8 7 5 02- + - = .
34=D ; les solutions sont 28 34!
-- .
Donc x 28 34
= - ,x 1 08.^ h.
1 a. ab
ab
ab
ab
2 2 22- - + - + = - =-
D D
et.a
ba
ba
baac
ac
2 2 4 44
2
2
2#- - - + = - = =D D D
b. Si a 1= , S b=- et P c= .c. x u x v x u v x uv2- - = - + +^ ^ ^h h h .Donc, si u v S+ = et uv P= , alors u et v sont solutions de l’équation x Sx P 02 - + = .2 Les deux nombres cherchés sont les solutions de l’équation x x60 851 02 - + = .
142=D ; les solutions sont 23 et 37. 3 a. ; ; ;S 14 15 15 14= ^ ^h h" ,.
b. ; ; ;S 21
31
31
21
= - -c cm m' 1.
4 L et , sont les solutions de l’équation :x x30 221 02 - + = .
16=D ; 13, = et L 17= .
L et , sont les solutions de l’équation :x x130 4 081 02 - + =
576 242= =D ; 53, = et L 77= .
1 2b a4 02 2= +D .2 a. Le produit des solutions est 1a
ca
a 1 0= - =- .
Donc avec la règle des signes, les deux solutions sont de signes contraires.b. x x 11 2# =- , donc x x
12
1=- . Ainsi, x2 est l’opposé
de l’inverse (ou l’inverse de l’opposé) de x1.
a. f 2 0=^ h ; x 26 32 = = ;
b. f 1 0=^ h ; x 32 1 3
22 '= = .
c. ,f 0 5 0- =^ h ; ,x x2 1 52 1=- - =- ;d. f 7 0=^ h ; x 2 72 =- - .
On calcule le discriminant du trinôme x x k4 52 - - - et on discute selon son signe :
k k16 4 5 36 4= - - - = +D ^ h .Si 1 9-D , QS = .Si 9=-D , S 2= " ,.
On calcule le discriminant du trinôme x k x2 42 + - +^ h et on discute selon son signe :
k k k2 16 2 4 2 42= - - = - - - +D ^ ^ ^h h h
k k2 6= - - - +D ^ ^h h
k 3- - 2 6 3+
Signe de D + 0 - 0 +
Nombre de solutions 2 1 0 1 2
1 AB AC 84 2# #= , donc AC x168
= . Avec le théorème de Pythagore :
x x x x168 25 625 28 224 022
2 4 2++ = - + =c m .
En posant X x2= , on résout X X625 28 224 02 - + = ;
5272=D , donc X 2625 527 576!
= = ou 49.
576 242= et 49 72= , donc AB 7= et AC 24= (ou le contraire).2 En notant H le pied de la hauteur issue de E, le triangle
DEH a une aire de 84 cm² et son hypoténuse a pour longueur 25 cm. On retrouve les conditions de la question 1 . Donc DH 7= ou DH 24= , donc le périmètre est :
25 25 14 64+ + = ou 25 25 48 98+ + = .
1 L’aire de la zone bleue est :B x x x x x x x8 10 2 182= - + - =- +^ ^ ^h h h
et l’aire de la zone verte est :V x x x x x x8 10 2 18 802 2= + - - = - +^ ^ ^h h h .
2 V x B x x x4 36 80 02+H H- +^ ^h h
x x9 20 02+ H- + .
3 1=D ; les racines sont 4 et 5, donc ; ;x 0 4 5 8,! 6 6@ @. 1 x
168 et ,x 2168 0 4-
- .
2 ,x x168
2168 0 4=-
-
,x x x x168 2 168 0 4 2+ - = - -^ ^h h
, ,x x0 4 0 8 336 02+ - - = ., ,538 24 23 22= =D et x 0H , donc :
,, ,x 2 0 4
0 8 23 2 30#
=+
= .
Il y a 30 élèves dans cette classe.
Notons x le nombre de litres de gasoil achetés par Pierre et p le prix d’un litre de gasoil. Paul a alors acheté x 8-^ h litres de carburant à ,p 0 2+ € le litre. On peut donc écrire : ,p x 57 20# = et
, ,p x0 2 8 57 20#+ - =^ ^h h .
En remplaçant p par ,x
57 2 dans la seconde, on obtient :
, , ,x x0 2 1 6 457 6 02 - - = .
, ,368 64 19 22= =D et 2x 0, donc :
,, ,x 2 0 2
1 6 19 2 52#
=+
= .
Pierre a acheté 52 litres de gasoil.
Notons v la vitesse moyenne de Jean et t la durée de son trajet. La vitesse moyenne d’Ali est alors v 4+ , et la durée de son trajet t 1- .
D’où les équations v t195
= et v t4 1195
+ =-
.
On résout alors :
t t t t t t1951
195 4 195 1 195 4 1+=-
- - = - -^ ^h h
t t4 4 195 02+ - - = .
3 136 562= =D et 2t 0, donc ,t 2 44 56 7 5
#= + = . Ils
sont donc arrivés à 15 h 30.
1 ,58 1 6= .
2 a. Le format de ABCD est x x1 = et celui de BEFC est
x 11-
.
b. x x x x11 1 02+=-
- - = ;
5=D et 2 0U , donc 21 5
= +U .
c. 1 21 5
- = - +U et 1 12- = - =U U U U^ h
par défi nition de U .d. En divisant par U la dernière égalité, on obtient :
1 1- =U
U.
3 ABCD rectangle d’or + format de ABCD = U
EB 1+ = -U
+ format de EBCF 11
=-U
+ format de EBCF EBCF+= U rectangle d’or.BEFC est un rectangle d’or
x xx
11
21+
-=
--
x x2 1 2+ - = -^ h
x x 1 02+ - - = + ABCD est un rectangle d’or.
1 On conjecture que les courbes ont deux points communs.
2 x x x x221
23 3 4 02+= - - - = ;
25=D ; les solutions sont 1- et 4, donc les points communs ont pour coordonnées ;1 2- -^ h et ;4 2
1c m.
3 Par lecture graphique, ; ;S 1 0 4,3= - -@ @ @ @. 1 Pour toute valeur de m, le point de coordonnées ;1 2- -^ h appartient à "m et à $.
b. Lorsque m 0! , "m et $ semblent avoir deux points communs.c. x m x mx m x2 1 2 2 2 02+= + - + - - =^ ^h h ;
pour m 0! , cette équation a une unique solution si, et seulement si, son discriminant est nul :
m m0 2 8 02+= - + =D ^ h
m m4 4 02+ + + =
m 2 02+ + =^ h
m 2+ =- .
En calculant tan Bt dans les triangles rectangles BCD et BAH, on a :
,,
BDCD
BHAH
BH BHAH
2 42 4+=-
=
, HA HB HA HB2 4+ #+ =^ h .Avec le théorème de Pythagore :HA HB AB HA HB HA HB2 492 2 2 2+ #+ = + - =^ h
,HA HB HA HB4 8 49 02+ + - + - =^ ^h h .Ainsi, HA HB+ est solution de l’équation
,x x4 8 49 02 - - = .,14 82=D et 2HA HB 0+ ;
donc : , , ,HA HB 24 8 14 8 9 8+ =
+= .
Alors, , , ,HA HB 2 4 9 8 23 52# #= = .HA et HB sont donc les solutions de l’équation
, ,X X9 8 23 52 02 - + = ;,1 42=D et HA est plus petit que HB ; donc :
, , ,HA 29 8 1 4 4 2=
-= et , , ,HB 2
9 8 1 4 5 6=+
= .
R R
R R
R R
R RR R
1351 1
301
135
301
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2++ =
+ =
+ =
+=
* *
R RR R
13530 135 4 050
1 2
1 2+
#
+ =
= =*
Donc R1 et R2 sont les solutions de l’équation x x135 4 050 02 - + = .
452=D , donc les solutions sont 2135 45! .
Ainsi R 451 = X et R 902 = X (ou le contraire).
Notons t la durée de la chute et d la profondeur du canyon. On a donc : , ,d g t t0 5 4 92 2# #= = .Le son met t10 -^ h secondes pour revenir jusqu’aux enfants, d’où : d t340 10= -^ h.On résout alors :
, ,t t t t4 9 340 10 4 9 340 3 400 02 2+= - + - =^ h ;
182 240=D et 2t 0, donc ,t 2 4 9340 182 240
#= - + .
Finalement, ,d t4 9 3852 .= . Le canyon a une profondeur d’environ 385 m.
1 a. Le triangle FM Ml où ; ,M a 0 25l^ h est rectangle en M l ; donc, avec le théorème de Pythagore :FM M F M M2 2 2= +l l
,a a 0 252 2 2= + -^ h
, ,a a a0 5 0 06252 4 2= + - +
, ,a a0 5 0 06254 2= + +
,a 0 252 2= +^ h .
Donc ,FM a 0 252= + .b. ;R a a FM2 +^ h, donc ; ,R a a2 0 252 2 +^ h.2 a. Le coeffi cient directeur de la droite FR^ h est égal à
x xy y
aa a2 2
R F
R F2
-
-= = .
b. : y ax p2= +D ; avec les coordonnées de M, on obtient : y ax a2 2= -D .3 a. x ax a x a x a2 02 2 2+ += - - = =^ h .b. d = D , donc d FR= ^ h, donc d est la hauteur issue de M du triangle FMR. Ce triangle étant isocèle en M, d en est l’axe de symétrie. Donc le rayon symétrique de FM^ h est MR^ h. Ainsi le rayon réfl échi est parallèle à Oy^ h.
• À l’aide d’un logiciel, on conjecture que les longueurs CM et HK sont égales pour une valeur de x proche de 2,53 et que les points C, M et K ne sont pas alignés, car les angles en M mesurent 60° dans MBK et 57,6° dans MAC.• Le triangle équilatéral MBK a pour base MB x8= - et
pour hauteur HK MB23
= .
CM HK CM HK2 2+= =
x x16 43 82 2+ + = -^ h
x x x64 4 3 64 162 2+ + = - +^ h
x x48 128 02+ + - = . 2 816=D et il y a une seule solution positive .8 11 24-
• Pour la valeur x 8 11 24= - , dans le triangle AMC l’angle en M a une tangente qui vaut
8 11 244-
diff é-
rente de la tangente de l’angle en M dans MBK ; donc les points C, M et K ne sont pas alignés.
Soit x le nombre de pièces de tissu achetées. Le prix unitaire est x
180 .En achetant trois pièces de plus pour la même somme, le prix unitaire serait x 3
180+
, mais aussi x180 3- .
On résout donc x x3180 180 3 1+
= - ^ h.
Pour 2x 0, x x x1 180 180 3 3+ = - +^ ^ ^h h h
x x0 3 9 5402+ =- - + .Il y a une seule solution positive 12 : j’ai acheté 12 pièces de tissu.
Revoir les outils de base
a. x x x4 5 2 12 2- + = - +^ h .b. x x x6 2 3 72 2+ + = + -^ h .c. , ,x x x10 0 5 9 752 2+ + = + +^ h .d. , , ,x x x0 5 1 0 25 0 93752 2- + = - +^ h .
Contenus Capacités attendues CommentairesFonctions de référencex 7 x et x 7 x .
◗ Connaître les variations de ces deux fonc-tions et leur représentation graphique.
Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur 0 ; .3+7 7
Justifi er les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x 7 x, x 7 x2 et x 7 x .
Aucune technicité dans l’utilisation de la valeur absolue n’est attendue.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole �.
2. Intentions des auteursDans ce chapitre, on réactive les connaissances du cours de Seconde sur les fonctions affi nes, carré et inverse avant de voir les deux nouvelles fonctions de référence au programme. Les démonstrations exigibles sont détaillées dans la partie cours pour l’une et en activité de découverte pour l’autre.
Bien que le programme ne le stipule pas explicitement, il nous a semblé opportun de lier la valeur absolue à la notion de distance entre deux réels.
Du point de vue mathématique :
– on rappelle les résultats essentiels concernant les fonctions de référence du cours de Seconde ;
– on étudie la fonction racine carrée et on compare x, x2 et x lorsque x est positif ;– on étudie la fonction valeur absolue et on fait le lien avec la notion de distance.
Outre l’acquisition des nouvelles notions, les exercices permettent de revoir le vocabulaire lié aux fonctions (images, antécédents, maximum…), ainsi que le signe de ax b+ pour écrire des expressions sans valeur absolue selon les valeurs de x.
2 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence
Objectifs◗ Revoir le vocabulaire de base relatif aux fonctions ainsi que les notions de fonctions croissantes et décroissantes sur un intervalle.◗ Réactiver les connaissances concernant les fonctions de référence vues en Seconde.
A 1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai. 5 Faux. 6 Faux.
B 1 c. 2 b. et c. 3 c. 4 a.
C 1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Faux. 5 Vrai.
ActivitéActivité 1 Exprimer au moyen d’une racine carréeObjectifAborder la racine carrée à partir d’une fi gure connue (le cercle) et sensibiliser l’élève à l’infl uence de la nature du repère sur l’aspect d’une courbe.1 ;M x y !^ h ! OM 22 2+ =
x y 42 2+ + = .
2 a. x y 42 2+ = et y y x0 4 2+H = - ; donc !1 est la représentation graphique de la fonction g défi nie sur ;2 2-6 @ par g x x4 2= -^ h .b. h x g x x4 2=- =- -^ ^h h .3 a. Le repère est orthogonal mais pas orthonormal.b. a 1=- et a
b2 0- = , donc f est croissante sur
; 03-@ @ et décroissante sur ;0 3+6 6.c. g est croissante sur ;2 0-6 @ et décroissante sur ; .0 26 @ On peut donc conjecturer que la fonction x 7 x conserve l’ordre.
ActivitéActivité 2 Étudier des positions relatives de courbesObjectifConjecturer et démontrer un résultat du cours faisant parti des exigibles du programme.1 a. 2P P 0F H- . b. 1P P 0F H- .c. Après 60 ans la courbe de PF est au-dessus de celle de PH , et entre 30 et 50 elle est en dessous.2 On conjecture que sur ;0 16 @ la courbe de x 7 x2 est en dessous de celle de x 7 x, elle-même en dessous de celle de x 7 x , et que sur ;1 3+6 6 les positions sont inversées.3 a. x x x x 12 - = -^ h est du signe de x 1- (car x 0H ), c’est-à-dire négatif sur ;0 16 @ et positif sur
;1 3+6 6.b. L’affi rmation est fausse sur ;0 16 @.
4 a. x xx x
x x x xx xx x2
- =+
- +=
+-^ ^h h .
b. x x+ étant positif, x x- est du signe de x x2 - donc, d’après 3 , négatif sur ;0 16 @ et positif sur ; .1 3+6 65 Sur ;0 16 @, x x2 - et x x- sont négatifs, donc x x x2 G G , donc la courbe de x 7 x2 est en dessous de celle de x 7 x, elle-même en dessous de celle de x 7 x . Sur ;1 3+6 6, c’est le contraire.
ActivitéActivité 3 Découvrir la valeur absolueObjectifDécouvrir la fonction valeur absolue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.3
x1
1
A O
M
y
y = OA
4 L’ordonnée de M est égale à son abscisse quand cette dernière est positive et à l’opposé de son abscisse quand celle-ci est négative. Autrement dit, si x 0H , y x= et si x 0G , y x=- .
ActivitéActivité 4 Distance entre deux nombresObjectifLier les notions de valeur absolue et de distance.1 a. OA xA=- ; OB xB=- ; OC xC= et OD xD= .b. OM x= si x 0H et OM x=- si x 0G .2 a. CD x x2 D C= = - . b. BD x x5 D B= = - ; BA x x1 B A= = - .c. MN y x= - si y xH et MN x y= - si x yH .3 a. x1980 8- = ou x 1980 8- = .b. x 1980 8- = .
Exercices d’applicationExercices d’application
Utiliser les variations des fonctions de référence
a. x 3- 3+
f x^ h
b. x 3- 3+
g x^ h
c. x 3- 0 3+
h x^ h - 10
d. x 3- 0 3+
k x^ h
Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 3
a. b a0 G G , donc b a2 2G .b. b a 0G G , donc a b2 2G .c. a b=- , donc a b2 2= .d. b a0 G G , donc b a2 2G .
a. x 3- 1,5 3+
f x^ h - 0 +
b. x 3- 1,5 3+g x^ h + 0 -
a. 1 a b0 G , donc b a1 1G .
b. 1a b 0G , donc b a1 1G .
c. 1 1a b0 , donc 1 1a b1 0 1 .
d. 1b a0 G , donc a b1 1G .
a. x x xx2
41
482
3+ = +
.xx x x
42 2 42
=+ - +^ ^h h
Le discriminant de x x2 42 - + est négatif donc, pour tout réel x, 2x x2 4 02 - + . Le quotient est donc du signe de x x4 2+^ h. Finalement, la courbe de f : x 7 x4
1 2- est en dessous
de celle de g : x 7 x2 sur les intervalles ; 23- -@ @ et
;0 3+ 6@ , et au-dessus sur ;2 0-6 6.b. Sur ;0 3+ 6@ , 2x
2 0 et 1x41 02- , donc la compa-
raison est immédiate. Sur ; 03- 6@ , la calculatrice amène à conjecturer que les positions relatives des deux courbes changent lorsque x 2=- . On vérifi e que f g2 2 1- = - =-^ ^h h .La fonction f est croissante sur ; 03- 6@ , donc, si x 2G - , on a f x 1G -^ h . La fonction g est décroissante sur ; 03- 6@ , donc, si x 2G - , g x 1H -^ h .Ainsi, sur ; 23- -@ @, fg x xH^ ^h h. De même, si
1x2 0G- , on a f x 1H -^ h et g x 1G -^ h , donc sur ;2 0-6 6, fg x xG^ ^h h.
On retrouve les résultats de a.
Utiliser la fonction racine carrée
a. D , ;2 5f 3= - +6 6. b. D ;14f 3= +6 6.c. D ; 3
1f 3= -E E. d. D ; 6f 3= - -@ @.
a. ,f 0 5 0=^ h et f est toujours positive, donc elle admet pour minimum 0 atteint en 0,5.b. La fonction x 7 x1 2- est croissante puis décrois-sante, donc elle admet un maximum. Ce maximum est atteint en a
b2 0- = et vaut 1. La fonction racine carrée
étant croissante sur ;0 3+6 6, la fonction g admet un maximum en 0 valant 1 1= .
a. RD f = ( 1 0D et 2a 0).b. 49=D ; les racines sont 2- et 3
1 , et 1a 0 ;
d’où D ;2 31
f = -; E.
D ;2 31
f = -; E (voir exercice 8.b.).
La fonction x 7 x x3 5 22- - + est « d’abord crois-sante, puis décroissante », donc elle admet un maximum atteint en a
b2 6
5- =- valant :
3 65 5 6
5 2 12492
- - - - + =c cm m .
Ainsi, pour tout ;x 2 31! -; E, x x3 5 2 12
492 G- - +
avec égalité si x 65
=- .
En prenant la racine carrée, on obtient f x 1249G^ h
avec égalité si ,x 65 0 83.=- - , ce qui prouve la
conjecture émise.
Résoudre un problème de distance en utilisant la valeur absolue
a. 7. b. 0,001. c. ,3 14-r . d. 2 3- .
a. x 3- 2 3+
f x^ h x 2- + x 2-
b. x 3- 2- ,0 5 3+
g x^ h x3 1- - x 3- + x3 1+
a. x 3- 2 3+
f x^ h 0
x 3- 0,5 3+
g x^ h 2,5b.
x
y
10
1
!f
!g
a. S 3= -" ,. b. ;S 2 6= -" ,.
c. S 21
= -' 1. d. QS = .
a. 1- et 3.b. ; ;1 3,3 3- - +6 6@ @ .
4 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence
a. a et b sont positifs et 1a b , donc 1a b2 2.b. a 492 = et b 482 = , donc 2a b2 2.c. a b=- , donc a b2 2= .d. a et b sont positifs et 1a b , donc 1a b2 2.
a. a4 252G G .b. a100 4002G G .c. a0 92G G .d. a0 252G G .
a. 1211 212, donc 22111
2121 .
b. 243 1- - , donc 13
4 1- - .
c. 1,3 14 r , donc 2,3 141 1
r.
d. 2, ,2 0395 2 039, donc 1,2 03951
4 0782 000 .
a. x41 1
31G G .
b. x1 121G G- - .
c. 1x51 1 0G- .
d. 1 1x0 171 .
1 f 3 6- =^ h ; f 2 1=-^ h ; f 21
411
=-c m .
2 x x x3 2 5 52 2+ +- = = = ou x 5=- . 3 On considère deux réels quelconques a et b tels que
1a b0 G .On a successivement 1a b0 2 2G , puis 1a b3 3 32 2G- - - ; c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h, donc f est croissante sur ;0 3+6 6.On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G .
On a successivement 1b a0 2 2G , puis 1b a3 3 32 2G- - - ; c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h, donc f est décroissante sur ; 03-@ @.4 x 3- 0 3+
f x^ h - 3
1 f 1 0- =^ h ; f 3 2=-^ h ; f 32
95
=c m .
2 x x1 5 62 2+- + =- = x 6+ = ou x 6=- .
3 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b0 G .
On a successivement 1a b0 2 2G , puis 2a b2 2- - , puis 2a b1 12 2- + - + ; c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h, donc f
est décroissante sur ;0 3+6 6.On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G .
On a successivement 1b a0 2 2G , puis 2 ,b a2 2- - puis 2b a1 12 2- + - + ; c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h, donc f est croissante sur ; 03-@ @.4 Comme f est d’abord croissante puis décroissante, elle admet un maximum. Ce maximum est réalisé pour x 0= et il vaut f 0 1=^ h .
Revoir les généralités sur les fonctions
1 x 3- - 1 1 1 3+
f x^ h
2
- 2
2 a. ;S 2 1= -" ,. b. ; ;S 3 0 3, 3= - +7 7 7A .3 On doit enlever les valeurs qui annulent la fonction f . Donc l’ensemble de défi nition de f
1 est : R\ ; ;3 0 3-# - .
1 L’ensemble de défi nition de f est l’intervalle ;3 4-6 @.
2 x - 3 - 1 2 4
f x^ h
- 2
5
1
4
3 Si ;k 2 1 5,! -6 6 " ,, on a une solution.Si ;k 4 5 1,! 6@ " ,, on a deux solutions.Si ;k 1 4! @ @, on a trois solutions.Pour les autres valeurs de k, il n’y a pas de solution.
4 AB^ h : x 7 x27
217
+ .
BC^ h : x 7 x34
311
- + .
CD^ h : x 7 x23 2- .
a. Faux. b. Vrai. c. Vrai. d. Faux.
2 La fonction racine carrée
1 c. 2 b.
1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux. 4 Faux.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai.
a. D ;1f 3= +6 6.b. D ; ;1 1f ,3 3= - - +6 6@ @ .c. D ; ;2 3f ,3 3= - +6 6@ @ .d. D ;3f 3= +6 6. e. D ; 2f 3= -@ @\ 0" ,.
6 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence
Le réel x doit être à la fois supérieur ou égal à 5 et inférieur à 3, c’est impossible. La calculatrice ne trace rien.
1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b2 G- .On a successivement 1a b0 2 2G + + ,puis 1a b2 2+ + ,puis 1a b2 1 2 1+ - + - ,donc 1f fa b^ ^h h, et f est croissante sur ;2 3- +6 6.2 x - 2 3+
f x^ h
- 1
3 f x x x4 2 1 4 2 5+ += + - = + =^ h .Or x 2+ et 5 sont positifs, donc :
x x x2 5 2 5 25 2 232+ ++ = + = = - = .
D ;2f 3= - +6 6, c’est la courbe orange.D ; 2g 3= -@ @, c’est la courbe bleue.D ,0h 3= +6 6, c’est la courbe rouge.
RDk = , c’est la courbe violette.
1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b3 G .On a successivement 1a b0 3 3G - - , puis
1a b3 3- - , puis 2a b3 3- - - - , puis 2a b3 2 3 2- - + - - + , donc 2f fa b^ ^h h,
donc f est décroissante sur ;3 3+6 6.2 Comme f est décroissante sur ;3 3+6 6, pour tout x 3H , on a : f f fx x3 2+G G^ ^ ^h h h .Le maximum de f est 2, il est atteint pour x 3= .3 f x x x0 2 3 0 3 2+ += - - = - =^ h .Or x 3- et 2 sont positifs, donc :
x x x3 2 3 2 4 3 72+ +- = - = = + = .
1 Pour les valeurs - 1, 0 et 1 la réponse est impos-sible. Les valeurs obtenues pour 2, 3 et 5 sont respecti-vement 2, 1,414 et 1.2 Comme on calcule x 1- qui est au dénominateur, on doit avoir 2x 1 0- , c’est-à-dire 2x 1.
3 f : x 7 x 12-
. D ;1f 3= + 6@ .
4 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b1 .
On a successivement 1 1a b0 1 1- - , puis 1a b1 1- - ,
puis 2a b1
11
1- -
, puis 2a b1
21
2- -
,
donc 2f fa b^ ^h h, et f est décroissante sur ;1 3+ 6@ .
3 La fonction valeur absolue
1 a. 2 c. 3 a. 4 b.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Faux.
1 b. 2 b. 3 a. 4 c.
1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Vrai.
A 5= ; B 3= ; C 15= ; D 4= ; E 6= ; F 0= .
A 31
= ; B 121
= ; C 35
= ; ,D 0 09= ; E 3001
= .
A 43
22
= - ; B 5 1= + ;
C 3 6= + ; D 2 1= - .
E 32
23
=- + .
A 1= -r ; B 2 3 3= - ;
C 102=- +r ; D 2 31
= - ;
E 3 1= + .
a. E x x x1 2 2 5= - + - + =-^ ^h h .
b. E x x x x32 1 3
5= - - - + - + = -c ^ ^m h h .
c. E x x x x2 2 1 3 5 5= + + + + = +^ ^ ^h h h .
a. E x x1 1= - + + =^ h .b. E x x x x5 1 4= - + - + - = -^ ^h h .c. E x x x x3 3 3= - + - + - =- +^ ^ ^h h h .
a. ;S 4 4= -" ,.b. QS = .c. Si x 0H , on a x x x2 1 3
1++ =- =- impos-sible.Si x 0G , on a x x x2 1 1+- + =- =- .Donc S 1= -" ,.d. x 5 3 8= + = ou x 5 3 2= - = .Donc ;S 2 8= " ,.
e. Si x 21H - , on a x x x2 1 7 2 6 3+ ++ = = = .
Si x 21G - , on a :
x x x2 1 7 2 8 4+ +- - = - = =- . Donc ;S 4 3= -" ,.f. x x x x5 8 5 8++ = - + = -
ou ,x x x5 8 1 5++ =- + = .Donc ;S 1 5= " ,.
a. La distance de x à 0 vaut 4 , donc ;S 4 4= -" ,.b. Une distance ne peut être négative , donc QS = .d. La distance entre x et 5 vaut 3 :
2 3 4 5 6 7 8 9 xA B
;S 2 8= " ,.f. La distance entre x et - 5 doit être égale à celle entre x et 8, donc sur la droite graduée x est au milieu des deux autres nombres.
,x 25 8 1 5= - + = . Donc ,S 1 5= " ,.
Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 7
a. La distance entre x et 0 est inférieure ou égale à 4 : ;S 4 4= -6 @.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 xA B
b. La distance entre x et 0 est supérieure ou égale à 1 :; ;S 1 1,3 3= - - +6 6@ @ .
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 xBA
c. x x3 2 5+G G- .La distance entre x et 0 est inférieure ou égale à 5 :
;S 5 5= -6 @.–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 xA B
d. La distance entre x et 4 est supérieure ou égale à 2 : ; ;S 2 6,3 3= - +6 6@ @ .
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xA B
e. x x4 3 1 43
41
+G G+ + .
La distance entre x et 43
- est inférieure ou égale à 41 .
On a ;x 43
41
43
41! - - - +; E,
donc ;S 1 21
= - -; E.
–1 –0,9 –0,8 –0,7 3–— 4 –0,6 –0,5 –0,4x
B CA
f est associée à la courbe orange !2.g est associée à la courbe bleue !4.h est associée à la courbe rouge !1.k est associée à la courbe verte !3.
Démonstrations de cours1 Si x 0H , x x 0H= .Si x 0G , x x 0H=- .Donc pour tout réel x, x x 0H= .2 Si x 0= , alors x 0 0= = .Si x 0= , alors la distance de x à 0 est nulle donc x 0= .Conclusion : x x0 0+= = .3 Si x 0G , x x=- , de plus x 0H- , donc
x x- =- : on a bien égalité dans ce cas.Si x 0H , x x= , de plus x 0G- , donc
x x x- =- - =^ h : on a bien égalité dans ce cas égale-ment. Pour tout réel x, x x= - .4 Si x y= ou x y=- , alors x y= ou x y y= - = , donc dans tous les cas on obtient x y= .
Si x y= , alors x et y ont la même distance à 0, ils sont donc égaux ou symétriques par rapport à 0 , c’est-à-dire opposés.5 x x2 2 2=_ i et x x2 2= .Ces deux nombres positifs ont le même carré, donc ils sont égaux.
a. On obtient la bande de plan « verticale » limitée par les droites d’équations x 3=- et x 3= .b. On obtient la bande de plan « horizontale » limitée par les droites d’équations y 4=- et y 4= .c. On obtient la bande de plan « verticale » limitée par les droites d’équations x 1=- et x 3= .d. On obtient la bande de plan « horizontale » limitée par les droites d’équations y 3=- et y 1=- .
1 y 1 2G- . 2 x 21
23G+ .
Calculs de distances
a. AB 5 8 3= - = .b. AB 3 7 4= - + = .c. AB 15 62 77= - - = .
d. AB 1 5 1 5= - + =- + .e. AB 3 2 3 2= + = + .f. AB 3 2 3 2 2 2= + - + = .
Demander les valeurs de a, b, x.Calculer ax b+ et le mettre dans z.Si z 0H , affi cher « y z= ».Sinon affi cher y z=- .
Problèmes
1 ;M x x1 2-_ i .
2 OM x x x x1 1 12 2 2 2 2= + - = + - =^ h .M appartient au demi-cercle de centre O de rayon 1 situé au-dessus de l’axe des abscisses si, et seulement si, on a y 0H et OM 1= .OM OM x y1 1 12 2 2+ += = + =
y x12 2+ = - .Comme y 0H , on obtient y x1 2= - .
1 On conjecture que !f est au-dessus de !g sur l’intervalle ;0 1@ @ et en dessous sur l’intervalle ;1 3+6 6.2 D’après le cours, on sait que pour tout x appartenant à ;0 1@ @ on a x xG , donc sur cet intervalle on aura
x x1 1H c’est-à-dire !f au-dessus de !g . De même,
pour tout ;x 1 3! +6 6 on a x xH , donc sur cet inter-
valle on aura x x1 1G c’est-à-dire !f en dessous de !g .
8 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence
Par lecture graphique, on conjecture qu’il n’y a qu’une solution qui vaut environ 2,6.2 Si 1x 1, alors 1x 1 0- et x ne peut pas être négatif.Donc si 1x 1, il n’y a pas de solution.3 Si x 1H , les deux membres de l’équation étant posi-tifs, on élève au carré, on obtient une équation équiva-lente El^ h : x x 1 2= -^ h
E x x x x x2 1 3 1 02 2+ += - + - + =l^ h .4 29 4 5 0= - =D , donc deux solutions à cette équation.
x 23 5
1 = - et x 23 5
2 = + .
Or 1x 11 , donc il ne peut pas être solution d’après 1 .
Finalement, seul x2 est solution : S 23 5
= +' 1.
1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G .On a successivement 2a b 0H- - , puis 2a b 0H- - , c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h et f est décroissante sur ; 03-@ @.2 x 3- 0
f x^ h
0
3 x x x5 25 25+ +- = - = =- .S 25= -" ,.
1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G .On a successivement 2a b 0H- - , puis
2a b 0H- - et enfi n 1a b- - - - , c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h. Donc f est croissante sur , 03-@ @.On sait que la fonction racine carrée est croissante sur l’intervalle ;0 3+6 6.Conclusion : f est croissante sur R.2
x
y
10
1
!!f
3 a. Si x est positif, l’ordonnée de M est x .b. ;M x x- -l^ h.
c. Le milieu I de MMl6 @ a pour coordonnées
;x x x x2 2- -
c m, c’est le point 0 quelle que soit la
position de M sur la courbe de f .Conclusion : !f est symétrique par rapport au point 0.
1 x 0 1 3+
f x^ h 01
La fonction f est croissante puis décroissante, donc elle admet un maximum.Ce maximum vaut 1 et il est atteint pour x 1= .
2 Si x0 1G G , f x x x21
21
41+ += = =^ h .
Si x 1H , f x x x21 1
21 2+ += = =^ h .
Donc ;S 41 2= ' 1.
1 ff
a b
a ba b
a4 2 0
1 22 0
2+
= + =
= + =
+ =
=-
^
^
h
h* )
ba
42
+=
=-) .
2 On a f x x2 4=- +^ h .On considère deux réels quelconques a et b tels que
1a b0 G .On a successivement 1a b0 G , puis 2a b2 2- - , puis 2a b2 4 2 4- + - + , c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h.La fonction f est décroissante sur l’intervalle ;0 3+6 6.3 x 0 3+
f x^ h
4
4 On résout :x x x x2 4 0 2 4 2 4+ + +- + = = = = .
1 f
f
a b
a b
0 2
3 3 4
= =
= + =
^
^
h
h
* .
Les réels a et b étant strictement positifs, ce système est équivalent à :
a ba b
a b
b b
43 16
4
4 3 16
2
2
2
+=
+ =
=
+ =^ ^h h
Z
[
\
]]
]]* .
La deuxième équation donne :b b b12 4 16 1++ = = .
On obtient a a4 22 += = , car a est positif.Finalement f x x2 1= +^ h .2 f x^ h est défi nie si, et seulement si,
x x1 0 1+H H+ - .Donc D ;1f 3= - +6 6.3 On considère deux réels quelconques a et b tels que
1a b1 G- .On a successivement 1a b0 1 1G + + , puis 1a b0 1 1G + + , puis 1 ,a b2 1 2 1+ + c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h.
Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 9
1 On conjecture que la fonction f est toujours décroissante sur son intervalle de défi nition quelle que soit la valeur de b.2 On considère deux réels quelconques m et n tels que
1m n2 G .On a successivement 1m n0 2 2G - - , puis 1m n0 2 2G - - ,
puis 2m n21 2 2
1 2- - - -
et enfi n 2m b n b21 2 2
1 2- - + - - + quel
que soit b, c’est-à-dire 2f fm n^ ^h h.La fonction f est toujours décroissante sur ;2 3+6 6.3 On a f b b11 0 2
1 3 0 23+ +#= - + = =^ h .
1 Conjecture : Si a est strictement positif, la fonc-tion f est croissante sur ;1 3- +6 6 ; si a est négatif, elle est décroissante.Preuve : On considère deux réels quelconques m et n tels que 1m n1 G- .On a successivement 1m n0 1 1G + + ,puis 1m n0 1 1G + + , puis :• si a est positif, 1a m a n1 1+ + et enfi n 1a m a n1 3 1 3+ - + - , c’est-à-dire 1f fm n^ ^h h ;• si a est négatif, 2a m a n1 1+ + et enfi n 2a m a n1 3 1 3+ - + - , c’est-à-dire 2f fm n^ ^h h.2 f a a8 5 3 3 5 3
2+ +=- - =- =-^ h .
Comme a est négatif, f est décroissante.f x x3
2 1 3=- + -^ h et f 1 3- =-^ h .
x - 1 3+
f x^ h
- 3
f admet un maximum en - 1 qui vaut - 3, donc elle ne prend que des valeurs négatives.
1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b0 G .On a successivement 1a b0 2 2G , puis :
c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h.f est décroissante sur ; 03-@ @.2 La fonction f est décroissante puis croissante, donc elle admet un minimum. Ce minimum est atteint pour x 0= et il faut f 0 2=^ h .3 L’équation f x 1=^ h n’a aucune solution puisque le minimum atteint par f est 2. QS = .f x x3 2 1 32+= + =^ h
x 1 232+ + =
x 1 492+ + =
x 452+ =
x 25+ = ou 2
5=- .
;S 25
25
= -' 1.
1 f x x xx
1 1 12 22= + = +^ dh n
xx
xx
1 1 1 122 2= + .
2 Pour tout réel x non nul on a :f x g x x
xx1 1
2- = + -^ ^h h
.xx
1 1 12= + -d n
Or 2x
1 1 12+ , donc 2x
1 1 1 02+ -d n .
Comme dans ce cas 2x 0, on a bien : 2f x g x 0-^ ^h h .
De plus 2f g0 0 1 0- =^ ^h h .Donc pour tout réel x, on a bien la relation demandée.3 Comme pour tout réel x, 2f x g x^ ^h h, la courbe de f est toujours placée au-dessus de celle de g.4 Arthur s’est trompé.
1 On doit avoir 2 2x x1 0 1+- .Donc D ;1f 3= + 6@ .2 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b1 .
On a successivement 1 1a b0 1 1- - , puis 1 1a b0 1 1- - ,
puis 2a b1
11
1- -
,
c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h.f est décroissante sur ;1 3+ 6@ .
10 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence
On conjecture une solution à l’équation, elle vaut environ 1,6.4
xx x x
11
11+
-=
-= , car les deux quan-
tités sont positives.On obtient x x x x1 1 1 02+- = - - =^ h .
5=D , donc l’équation a deux solutions :
x 21 5
1 = + et x 21 5
2 = - .
Mais x 21 5
2 = - est négatif, donc cette solution est
impossible. Conclusion : S 2
1 5= +
' 1.
5 Une valeur approchée de ce nombre est 1,618, c’est donc cohérent avec la lecture graphique.
1 a a b aG , car on a multiplié par le même nombre positif a .
a bG , car la fonction racine carrée est croissante sur ;0 3+6 6.b a b bG , car on a multiplié l’inégalité précédente par le même nombre positif b.2 On obtient donc a a b a b bG G .On en déduit a a b bG , puis a a b b1 1G- - , c’est-à-dire f fa bG^ ^h h.f est croissante sur ;0 3+6 6.3 f 1 1 1 1 0= - =^ h .4 Pour tout réel x :
1x0 1G , on a 1x x 1 1 ; donc 1f x 0^ h .Pour tout réel x : 2x 1, on a 2x x 1 1 ; donc 2f x 0^ h d’après 1 et 2 .
Le réel 1 est donc l’unique solution de l’équation f x 0=^ h .
1 On conjecture que f est décroissante sur l’inter-valle ;1 3+6 6.2 On doit avoir simultanément x 1H - et x 1H , donc D ;1f 3= +6 6.3 x x1 1+ - -
x xx x x x
1 11 1 1 1
=+ + -
+ - - + + -_ _i i
x xx x
1 11 1
=+ + -
+ - +
x x1 12
=+ + -
.
4 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b1 G .
On a successivement 1a b1 1- - et 1 ,a b1 1+ + puis 1a b1 1- - et 1a b1 1+ + , donc on obtient :
1a a b b1 1 1 1+ + - + + - ,
puis 2a a b b1 1
11 1
1+ + - + + -
et enfi n 2a a b b1 1
21 1
2+ + - + + -
c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h.f est décroissante sur ;1 3+6 6.
1 Si x 0H , f x x2 1= +^ h .Si x 0G , f x 1=^ h .2
x
y
101
!f
3 Si x est négatif f x 1=^ h .f 0 1=^ h et la fonction affi ne x 7 x2 1+ est crois-
sante sur ;0 3+6 6, donc pour tout réel positif x, on a f x 1H^ h .
Donc pour tout réel x, on a bien f x 1H^ h .
1 Comme la valeur absolue d’un nombre est toujours positive, le nombre x existe toujours.2 Si x est positif, on a f x x=^ h et on sait d’après le cours que cette fonction est croissante.3 Si x est négatif, f x x= -^ h et on sait qu’elle est décroissante d’après l’exercice 78.
4 a. ;M x x^ h.b. ;M x x- -l` j, or dans ce cas x x- = , car x- est négatif. Donc ;M x x-l^ h : ce point a la même ordonnée que M.c. La courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.5
x
y
10
1
!!f
1 Si x 25H , f x x2 5= -^ h .
Si x 25G , f x x2 5=- +^ h .
2 x 3- 2
53+
f x^ h 0
Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 11
1 Si x 1H , f x x 3= -^ h .Si x 1G , f x x 1=- -^ h .2 x 3- 1 3+
f x^ h - 23
x
y
10
1
!f
1 • Si x 3H , f x x x2 3= + -^ h
f x x3 3= -^ h .• Si x0 3G G , f x x x2 3= - +^ h
f x x 3= +^ h .• Si x 0G , f x x x2 3=- - +^ h
f x x3 3=- +^ h .2 x 3- 0 3+
f x^ h 33
x
y
10
1
!f
1 • Si x 34H , f x x x2 3 4= + - +^ h
f x x2 6=- +^ h .
• Si x2 34G G- , f x x x2 3 4= + + -^ h
f x x4 2= -^ h .
• Si x 2G - , f x x x2 3 4=- - + -^ h
f x x2 6= -^ h .2 x 3- 3
43+
f x^ h 310
3
x
y
20
2
!!f
1 Si A 0H , on a A A= .Si A 0G , on a A A=- avec A 0H- , donc dans ce cas A AG - .Pour tout réel A, on a bien A AG .2 C’est évident si A est positif.Si A est négatif, on utilise le fait que A A2 2= -^ h .D’où le résultat.3 D’après la question 2 ,x y x y x y xy22 2 2 2+ = + = + +^ h .
De plus, x y x y x y22 2 2+ = + +_ i
x y xy22 2= + + .Or xy xyG donc x y x y2 2G+ +^ h .4 Les carrés de ces deux nombres positifs sont classés dans le même ordre que les nombres eux-mêmes, donc
x y x yG+ + .
Partie A 1
x y x y# x y# x y x y#
2 5 10 10 2 5 10- 3 - 4 12 12 3 4 12
7 - 2 - 14 14 7 2 14- 5 3 - 15 15 5 3 15
2 On conjecture que x y x y# #= .Partie B1 a. x y 0# H .b. x y x y# #= .c. x x= ; y y= ; x y x y# #= .d. Dans ce cas, on a démontré la conjecture.2 a. x 0G ; y 0G .x y 0# H ;x y x y# #= ;x x=- ; y y=- ; x y x y# #= .
Dans ce cas, on a démontré la conjecture.b. x 0H ; y 0G .x y 0# G ;x y x y# #=- ;x x= ; y y=- ; x y x y# #=- .
Dans ce cas, on a démontré la conjecture.c. x 0G ; y 0H .x y 0# G ;x y x y# #=- ;x x=- ; y y= ; x y x y# #=- .
Dans ce cas, on a démontré la conjecture.
12 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence
3 ,32 0 666. , donc on commet une erreur inférieure
à 0,02.
Dans la cellule A4, on met : =1/B1.Dans la cellule A5 : =A4+(1/$B$1) que l’on tire vers le bas jusqu’à obtenir x 1= .Dans la cellule C4 : =0.5*A3*B3.Dans la cellule C5 : 0.5*(B4+B5)*(1/$B$1).Dans la cellule D4 on somme les valeurs de la colonne C et dans la cellule E4 on met : =(2/3)-D4.Pour n 5= , on retrouve eff ectivement les résultats de la question 2 de l’exercice 92.On obtient une erreur inférieure à 10 4- à partir de n 162= .
2 On conjecture que l’aire du carré est égale à x2 2+ .
3 y x1 2= - .4 AM x y1 2 2= + +^ h
AM x x1 12 2= + + -^ h
AM x2 2= + .5 Aire de AMCD AM x2 22= = + .C’est bien une fonction affi ne.6 On résout :
,x x2 2 2 24 0 21+ c+ = = - -
r r .
Partie A – Fonction opposée1 Ml s’obtient à partir de M par une symétrie par rapport à l’axe des abscisses.2 La courbe de f- s’obtient à partir de celle de f par la symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
Partie B – Valeur absolue d’une fonction polynôme du second degré1 x 3- 1 3+
g x^ h
- 1
2 Les racines du polynôme sont 0 et 2 donc :x x22 - est positif sur ; ;0 2,3 3- +6 6@ @ et négatif sur ;0 26 @.3 D’après la défi nition de la valeur absolue, on a bien x x x x2 22 2- = - si x appartient à
; ;0 2,3 3- +6 6@ @ et x x x x2 22 2- =- + si x appartient à ;0 26 @.4
x
y
10
1
!!f!!g
1 f x x2 6= -^ h .
2 g x x 1= - +^ h .
3 h x x21
=^ h .
4 k xx1
=^ h .
x
y
10
1
!f
x
y
10
1
!g
y
x10
1!h
y
x10
1
!k
Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 13
3 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b0 .
On a successivement : 2a b1 1 , puis 2 ,a b2 1 2 1
+ +
donc 2f fa b^ ^h h c’est-à-dire que f est décroissante
sur ;0 3+ 6@ .On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b 0.
On a successivement : 2a b1 1 , puis 1a b
1 1- - , puis
1a b2 1 2 1- - ; donc 1f fa b^ ^h h, c’est-à-dire que f
est croissante sur ; 03- 6@ .
4 x 3- 0 3+
f x^ h
5 On résout 2x k x k2 12
1 0++ = =-
et 1x k x k2 12
1 0+- = =-
.
;S k k21
21
=- -
' 1
1 Cet algorithme sert à écrire la valeur absolue d’un trinôme du second degré sans utiliser les barres de valeur absolue selon les valeurs de x. Il n’est valable que si 2a 0.
2 x 31 =- ; x 12 = ;x x x x3 6 9 3 6 92 2+ - =- - + pour x compris entre
x1 et x2 ;x x x x3 6 9 3 6 92 2+ - = + - sinon.
3
1 Avec la calculatrice on conjecture que cette fonc-tion est croissante sur R.2 Si a est négatif, son cube l’est également, si b est positif, son cube l’est également ; on a donc 1a b3 3.3 a. Lorsqu’on développe le produit, on obtient bien a b3 3- .b. Si a et b sont de même signe, alors a2, ab et b2 sont positifs, donc leur somme est positive.4 Si a et b sont de mêmes signes, alors a b3 3- est du signe de a b- , donc si 1a b on a 1a b 0- ; on a donc
1a b 03 3- .Si a et b sont de signes contraires, alors 1a b3 3 d’après la question 2 .5 x 3- 3+
f x^ h
6
y
x10
1
y = x2
y = x3
x x x x 13 2 2- = -^ h avec x 02 H .Si x 1G , on a x x 03 2 G- , donc la courbe de la fonc-tion cube est en dessous de celle de la fonction carré.Si x 1H , on a x x 03 2 H- , donc la courbe de la fonc-tion cube est au-dessus de celle de la fonction carré.Il y a deux points communs à ces deux courbes, les points ;0 0^ h et ;1 1^ h.
1 C’est la symétrie d’axe la droite d’équation y x= .2 Le milieu I de MN6 @ a pour coordonnées
;I a b a b2 2+ +
c m dont l’ordonnée est égale à l’abs-
cisse, ce point appartient à la droite d’équation y x= .De plus OM a b2 2 2= + .
IO a b a b a b2 2 2
22 2 2
= + + + =+
c c^
m mh .
IM a b b a a b2 2 2
22 2 2
= - + - =-
c c^
m mh
I IO M a ab b a ab b2
2 22 22 2 2 2
+ = + + + - +
a b a b OM22 22 2
2 2 2= + = + = ,
ce qui prouve que le triangle OIM est rectangle en I , donc la droite d’équation y x= coupe le segment MN6 @ en son milieu et perpendiculairement. M et N sont bien symétriques par rapport à cette droite.3 On considère le point ;M x x2
^ h avec x positif quel-conque, il appartient à la courbe de la fonction carré. On en déduit que le point ;N x x2
^ h appartient à la courbe de la fonction racine carrée. En eff et, dans ce cas, x x2 = .
y
x10
1
!!#
14 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence
D’après la question 2 , ces deux points sont symétriques par rapport à la droite d’équation y x= . Comme c’est vrai pour tout point de la courbe de la fonction carré, on peut dire que les deux courbes sont symétriques par rapport à cette droite.
2 On conjecture que la fonction f est croissante.On considère deux réels quelconques a et b tels que
1a b0 G .On a successivement : 1g
agb , puis 1g
agb , puis
1ga
gb2 2r r ; donc 1f fa b^ ^h h et f est crois-
sante sur ;0 3+6 6.3 On résout :
, , ,2 9 81 5 9 81 25
9 81 425
2+ +, , ,= = =r
r r
, ,4
9 81 25 6 2122+ #, .=r
m.
4 , ,T 2 9 8167 16 42.= r s.
1 ,
I ZU
40 4 0 1 5004
2 2 2 2# #= =
+ r, AI 0 013. .
2 On résout ,
,1600 4 0 01
4 0 052 2#+
=r r
.
On obtient , ,n1600 0 04 0 0542 2+ =r
, n1600 0 04 6 4002 2+ + =r
, n0 04 4 8002 2+ =r
,n
0 044 8002
2+ =r
, ,n0 044 800
0 210 48
2+ = =r r
D’où Hzn 110. .
3 a. Lorsque n 0= , ,I 404 0 1= = A.
b. L’intensité I est décroissante sur l’intervalle ; .0 5006 @ Elle décroît de 0,1 A pour n 0= à 0,13 A environ pour n 500= .c. On considère deux réels quelconques a et b tels que
1a b0 G .On a successivement :
1a b0 2 2G ;1R R L a R L b4 42 2 2 2 2 2 2 2 2G + +r r ;
1R L a R L b4 42 2 2 2 2 2 2 2+ +r r ;
2R L a R L b4
141
2 2 2 2 2 2 2 2+ +r r ;
2R L a
UR L b
U4 42 2 2 2 2 2 2 2+ +r r
.
Ce qui prouve que I est une fonction décroissante de la fréquence n.
Revoir les outils de base
1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux.
1 a. f 2 6=^ h . b. f 4 18- =^ h .
c. f 32
922
=c m .
d. f 3 5=^ h .
e. f 52
2552
- =c m .
2 f x x7 52+= =^ h
x 5+ != .3 et 4 a est positif, donc f est décroissante puis crois-sante ; de plus a
b2 0- = .
x 3- 0 3+
f x^ h
2
1 a. f 2 11- =-^ h . b. f 1 2=-^ h .
c. f 31
32
=c m .
d. f 5 14- =-^ h .
e. f 23
45
- =-c m .
2 f x x3 342+=- =^ h
x3
2+ != .
3 et 4 a est négatif, donc f est croissante puis décrois-sante ; de plus a
b2 0- = .
x 3- 0 3+
f x^ h
1
1 a. f 1 5=^ h .
b. f 31 9=c m .
c. f 55
2 3- =- +^ h .
d. f 21 1- =-c m .
2 , ,f x x2 5 2 5 5+=- =-^ h
,x 5 52
114+ =- =- .
3 On prend 1 1a b0 et on obtient successivement
2a b1 1 , 2a b
2 2 et enfi n 2f fa b^ ^h h.
Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 15
1 a. On prend 1 1a b1 et on obtient successive-ment :1 1a b0 1 1- - ,
2a b11
11
- -,
2 ,a b14
14
- -
2a b14 2 1
4 2-
--
- ,
c’est-à-dire 2g a g b^ ^h h, donc g est décroissante sur ;1 3+ 6@ .
b. Si ;x 1 3! @ @, g x g 3 0H =^ ^h h .c. Si 1x 1, g x^ h est négatif.2 Il faut que x 1! et g x 0H^ h .Si x 3H , alors g x g 3 0G =^ ^h h .3 On prend 1 1a b1 3G et on obtient g a g b 0H H^ ^h h , puis 2f fa b^ ^h h. Donc f est décroissante sur l’intervalle ;1 3@ @.
1 • Si x 3G - , f x x x3 2=- - - -^ ^h h
f x 5=-^ h .• Si x3 2G G- , f x x x3 2= + - -^ ^h h
f x x2 1= +^ h .• Si x 2H , f x x x3 2= + + -^ h
f x 5=^ h .2 Sur les intervalles ; 33- -@ @ et ;2 3+6 6, f est constante ; sur l’intervalle ;3 2-6 @, f est une fonction affi ne croissante.3 f est négative sur ; 33- -@ @ et positive sur ;2 3+6 6 ; de plus, x x2 1 0 2
1+G G+ - .
Finalement, ;S 213= - -E E.
a. La distance séparant x et 2 est égale à 3 :
–1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
Donc ;S 1 3= -" ,.b. x est équidistant de 5- et 3 :
–1–2–3–4–5 0 1 2 3 x
Donc S 1= -" ,.c. x est plus proche de 5 que de 1- :
–1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
Donc ;S 2 3= +6 6.
g x x 1= -^ h et h x x 1= -^ h .On conjecture que g est décroissante sur ; 13-@ @ et croissante sur ;1 3+6 6.Démonstration : si x 1G , g x x 1=- +^ h est une fonction affi ne décrois-sante, et si x 1H , g x x 1= -^ h est une fonction affi ne croissante.On conjecture que h est décroissante sur ; 03-@ @ et croissante sur ;0 3+6 6.Démonstration : si x 0G , h x x 1=- -^ h est une fonction affi ne décrois-sante, et si x 0H , g x x 1= -^ h est une fonction affi ne croissante.
1 Pour g, il faut que f x 0H^ h ; le discriminant étant négatif, RDg = .Pour h, il faut que x 0H , donc D ;0h 3= +6 6.2 Si 1a b0 G , 1a b donc 1a b2 2 ; on obtient donc 1a a b b2 3 2 3+ + + + .3 On conjecture que g est décroissante sur ; 13- -@ @ et croissante sur ;1 3- +6 6.Démonstration : comme la fonction racine carrée est croissante sur
;0 3+6 6, g a les mêmes variations que f ; f est décrois-
sante puis croissante (a est positif ) et ab
2 1- =- .
En lien avec les sciences
1 , ,,
v 15 3 6 0 02911 63 15 273
#=+
^^
hh
km hv 15 1224 1$. -^ h .
2 La fonction sous le radical est une fonction affi ne croissante de la variable T. Comme la fonction racine carrée est croissante sur ;0 3+6 6, elle ne change pas l’ordre ; la multiplication par le réel positif 3,6 non plus, donc la vitesse du son est une fonction croissante de la température.3 On utilise la formule d v t#= ; donc la foudre est
Contenus Capacités attendues CommentairesNombre dérivé d’une fonction en un point.
Tangente à la courbe représentative d’une fonction dérivable en un point.
Fonction dérivée.
◗ Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé.
◗ Calculer la dérivée de fonctions.
Le nombre dérivé est défi ni comme limite du
taux d’accroissement h
a h af f+ -_ _i i,
quand h tend vers 0.On ne donne pas de défi nition formelle de sa limite.L’utilisation des outils logiciels facilite l’in-troduction du nombre dérivé.
On évite tout excès de technicité dans les calculs de dérivation. Si nécessaire, dans le cadre de la résolution de problèmes, le calcul de la dérivée d’une fonction est faci-lité par l’utilisation d’un logiciel de calcul formel.Il est intéressant de présenter le principe de démonstration de la dérivation d’un produit.
Dérivée des fonctions usuelles : x 7 x , x 7 x
1 et x 7 xll (n entier naturel non nul).
Dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient.
2. Intentions des auteursUne notion nouvelle et importante est abordée dans ce chapitre, celle de nombre dérivé et de fonction dérivée. La notion de tangente donne rapidement un sens concret au nombre dérivé. Les fonctions dérivées et le formulaire usuel sont étudiés ici, mais le lien avec les variations sera vu dans le chapitre 4. Le taux d’accrois-sement de f en a est introduit comme une fonction de la variable h. Cette fonction, que l’on devrait noter
ax , a volontairement été notée x pour ne pas perturber les élèves avec des notations trop compliquées. Les fonctions de référence étudiées en Seconde et dans le chapitre 2 fournissent les exemples et contre-exemples nécessaires.
Du point de vue mathématique :– on introduit, intuitivement, la notion de limite en zéro ;– on défi nit le taux d’accroissement de f en a, puis le nombre dérivé de f en a ;– on défi nit la tangente de f en ; fA a a^^ hh lorsque f est dérivable en a et on établit son équation ;– on établit les formules de dérivation au programme.
Les exercices ont pour but de faire assimiler aux élèves la défi nition sans oublier d’étudier des cas de non déri-vabilité, de s’approprier la notion de tangente et d’assi-miler le formulaire. L’utilisation de la calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel permet de vérifi er les résultats.
Objectifs◗ Réactiver les connaissances du cours de Seconde concer-nant les équations de droites et la notion de coeffi cient directeur.◗ Prendre contact avec le type de calculs littéraux qui sera utilisé.
A 1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Vrai. 6 Vrai.
B 1 c. 2 b. 3 d. 4 a.
C 1 a., c. et d. 2 b. et c. 3 b., c. et d.
ActivitéActivité 1 Taux d’accroissement d’une fonctionObjectif
Se familiariser avec l’expression f f
ha h a+ -^ ^h h .
1 hx^ h est le coeffi cient directeur de la droite AM^ h.
2 a. RD =x \ 0" , ; h hh h
2= =x^ h .
b. RD =x \ 0" , ;
h hh
hh h h
2 4 4 42 2
=- + -
= - = -x^^
hh .
3 a. RD =x \ ;1 0-" , ;
h hh
h hh
h1
1 1
11 1
11
= +-
=+
- +=
+-x^
^
^h
h
h .
b. D ;0 3= +x 6@ ; h hh
h1
= =x^ h .
ActivitéActivité 2 Approche de la « limite en zéro »ObjectifAborder intuitivement la notion de limite en zéro.1 Dans le cas 2 b., lim h 4
h 0=-x
"^ h .
Dans le cas 3 a., lim h 1h 0
=-x"
^ h .
2 a. h 1 0,25 0,01 10 4- 10 50-
hx^ h 1 2 10 100 1025
b. Il semble que lim hh 0
3=+x"
^ h .
ActivitéActivité 3 Tangente à un demi-cercleObjectifFaire le lien entre les notions de taux d’accroissement et de tangente par le biais de la seule situation connue par les élèves : la notion de tangente à un cercle.1 OA 1 2 52 2= + = , donc A ! !.2 Un point ;M x y^ h distinct de A appartient à la tangente au cercle en A si, et seulement si, OAM est un
triangle rectangle en A, ce qui, d’après le théorème de Pythagore se traduit par :OA AM OM x y x y5 1 22 2 2 2 2 2 2++ = + - + - = +^ ^h h
x y2 4 10 0+ - - + =
y x21
25+ =- + .
Le coeffi cient directeur de cette tangente est 21
- .
3 a. Un point ;M x y^ h appartient à ! si, et seulement si, y 0H et OM 5= , ce qui équivaut à y 0H et OM 52 = .OM x y y x5 5 52 2 2 2+ += + = = - .
b. h hh
hh h5 1 2 4 2 2
2 2=
- + -= - - -x^
^h
h
.hh h h
h hh h
h4 2 2
4 2 44 2 2
22
2
2=- - +
- - - =- - +
- -x^ _h ic. La limite de hx^ h quand h tend vers 0 est .4
221
- =- C’est le coeffi cient directeur de la tangente.
ActivitéActivité 4 À toute vitesse !ObjectifDécouvrir le calcul d’une vitesse instantanée.
1 • Entre 0 et 1 s : , m sd
11
4 9 1$. -^ h ;
• entre 1 et 2 s : , m sd d
2 12 1
14 7 1$.-
- -^ ^h h ;
• entre 0,5 et 1 s : ,,
, m sd d
1 0 51 0 5
7 35 1$.-
- -^ ^h h ;
• entre 1 et 1,5 s : ,,
, m sd d
1 5 11 5 1
12 25 1$-
-= -^ ^h h ;
• entre 0,9 et 1 s : ,,
, m sd d
1 0 91 0 9
9 31 1$.-
- -^ ^h h ;
• entre 1 et 1,1 s : ,,
, m sd d
1 1 11 1 1
10 29 1$.-
- -^ ^h h .
2 , g , g
h hd h d
hh
1 11 1 0 5 1 0 52
=+ -
+ -=
+ -x^
^ ^ ^h
h h h
, g, g , ,h h
h hh h
0 5 20 5 2 9 8 4 9.=
+= + +x^
^^h
hh .
3 ,lim h 9 8h 0
=x"
^ h , donc à l’instant 1, l’objet a une vitesse
de , m s9 8 1$ - , ou encore de :, , km h .1000
9 8 3 600 35 28 1# $= -
4 , gh hd h d
h2 2
0 5 4=+ -
= +x^^ ^
^hh h
h
, ,h h19 6 4 9. +x^ h .,lim h 19 6
h 0=x
"^ h , donc à l’instant 2, l’objet a une vitesse
de , m s19 6 1$ - , ou encore de , km h70 56 1$ - .
ActivitéActivité 5 Tangente à une paraboleObjectifEnvisager la tangente à la parabole au point A comme étant la seule droite non parallèle à l’axe des ordonnées ayant un unique point commun (A donc) avec la parabole, puis faire le lien avec la droite passant par A de coeffi cient directeur la limite de hx^ h quand h tend vers zéro.
1 a. M se rapproche de A.b. Le coeffi cient directeur de AM^ h semble se rappro-cher de la valeur 4.
c. x xy y
hh
hh h h2 2
2 4 4 4M A
M A2 2
-
-=
+ -
+ -= + = +
^ h ;
quand h se rapproche de zéro, h4 + se rapproche de 4.d. Équation réduite de la droite " : y x4 4= - .2 a. Les coordonnées de A doivent vérifi er l’équation, donc m p4 2= + , ou encore p m4 2= - .b. Les points communs à ! et # sont tels que leurs coor-données ;x y^ h vérifi ent y x2= et y mx p= + . Donc x est solution de l’équation x mx p2 = + , ou encore x mx m4 2 02 - - + = .c. Cette équation du second degré admet une unique solution si, et seulement si, son discriminant est nul.
m m0 4 2 4 02+= - - - =D ^ ^h h
m m m m8 16 0 4 0 42 2+ + +- + = - = =^ h .d. m 4= et p m4 2 4= - =- ; donc # : y m4 4= - .3 # = ".
Exercices d’applicationExercices d’application
Calculer un nombre dérivé et l’interpréter géométriquement
g 0 0=l^ h ; g 1 3=-l^ h ; g 2 0=l^ h et g 3 9=l^ h .
a. f fhh
hh1 1 3 2 2 3+ -
= - + =^ ^h h .
La fonction f est dérivable en 1 et f 1 3=l^ h .
b. f fhh
hh h h1 1 1 2 12+ -
= + + - -^ ^h h
h1= + .Quand h tend vers 0, h1 + se rapproche de 1. La fonc-tion f est dérivable en 1 et f 1 1=l^ h .
a. y x3 5= - . b. y x 1= - .
Utiliser le formulaire de dérivation des fonctions usuelles
1 f l : x 7 3.2 f l : x 7 x2 2+ .3 f l : x 7 x10 8- .4 f l : x 7 x x3 22 - .5 f l : x 7 x x16 10 14 3- + .
Les fonctions proposées sont dérivables sur l’inter-valle indiqué comme sommes et/ou produits par un réel de fonctions dérivables sur cet intervalle.1 f l : x 7 x
32- . 2 f l : x 7 x
22 .
3 f l : x 7 xx1 4+ . 4 f l : x 7 x
x2 2
2- .
g x xx
2 1 12= - -l^ h .
g 1 2 1 1 0= - - =l^ h et g 1 1 1 1 1= - + =^ h ,donc la tangente au point d’abscisse 1 a pour équation y x0 1 1 1= - + =^ h .
,g 2 4 1 41 2 75= - - =l^ h
et ,g 2 4 2 21 2 5= - + =^ h ,
donc la tangente au point d’abscisse 2 a pour équation :, , ,y x x2 75 2 2 5 2 75 3= - + = -^ h .
Utiliser les formules de dérivation du produit et du quotient
1 a. f x x x x3 5 3 53 2= - + -^ h , donc f x x x9 10 32= - +l^ h .b. f x x x x x x3 1 2 3 5 9 10 32 2= + + - = - +l^ ^ ^h h h .
2 a. f x x x x x x2 2 26 4 3 2= + - + - +^ h , donc f x x x x x6 8 3 2 25 3 2= + - + -l^ h .b. f x x x x x x2 1 2 4 14 2 3= - + + + -l^ ^ ^ ^h h h h
f x x x x x6 8 3 2 25 3 2= + - + -l^ h .
3 a. f x x x25 30 92= - +^ h , donc f x x50 30= -l^ h .b. f x x x x5 5 3 5 5 3 50 30= - + - = -l^ ^ ^h h h .
Les fonctions proposées sont dérivables sur l’inter-valle indiqué comme inverses ou quotients de fonctions dérivables sur cet intervalle, les dénominateurs ne s’an-nulant pas sur I.a. f l : x 7 x
x4
22 2+
-
^ h
. b. f l : x 7 xx
1164 2
3
+^ h
.
c. f l : x 7 xx x x
xx x
12 1 2 2 1
12 2 2
2 2
2
2 2
2
-
- - -=
-
- + -
^
^ ^
^h
h h
h
.
d. f l : x 7 x xx x x x x x
12 1 1 2 1 1
2 2
2 2
+ +
- + + - + - +
^
^ ^ ^ ^
h
h h h h
x xx
12 2
2 2
2=
+ +
-
^ h
.
Tangente commune à une parabole et une hyperboleÉtape 2tape 2
"a : f fy a x a a a x a a2 2= - + = - +l^ ^ ^ ^h h h h
ax a2 2= - .
On veut que "a passe par ;B b b1
c m, donc ,b ab a1 2 2= -
et que son coeffi cient directeur a2 coïncide avec ,g bl^ h d’où a
Pour vérifi er l’égalité il suffi t de développer le membre de droite.Ensuite, x 8
13 =-
x x x21
21
41 02+ + - + =c cm m
x 21 0+ + = ou x x2
1412 - +
x 21+ =- ( 1 0D pour l’équation du second degré).
On a donc b 21
=- .
Il s’en suit a 2=- .Il existe donc une unique droite tangente simultané-ment aux courbes des fonctions carré et inverse. Elle a pour équation y x4 4=- - .
Pour qu’une droite # soit tangente à une parabole1 On conjecture que k 2= et ,A 1 3^ h.2 a. Le coeffi cient directeur de # est 2 ; il doit être égal au nombre dérivé de f en a, soit 2a ; donc a 1= .b. A ! #, donc y 2 1 1 3A #= + = .Donc ;A 1 3^ h.c. A ! ! f k1 3 2+ += =^ h .
Dérivée et valeur absolue1
2 Il semble que f n’est pas dérivable en - 1 et en 1.
3 a. f f
h hh
hh1 1 1 12
=+ -
=+ -
x^^ ^ ^
hh h h
h hh h
hh h
hh h2 2 22 #
=+
=+
=+
x^^
hh
.
b. Si 2h 0, h et h 2+ sont positifs, donc :
h hh h
h2
2=+
= +x^^
hh .
Si 1 1h1 0- , h est négatif et h 2+ est positif, donc :
h hh h
h2
2=- +
=- -x^^
hh .
c. lim limh h 2 22 2
hh
hh
00
00
= + =x" "
^ h .
d. lim limh h 2 21 1
hh
hh
00
00
= - - =-x" "
^ h .
4 Sur ; 13- -@ @ et sur ;1 3+6 6, x 1 02 H- , donc f x x 12= -^ h .
Sur ;1 1-6 @, x 1 02 G- , donc f x x 12=- +^ h .5 Les fonctions g et d sont dérivables comme sommes de fonctions dérivables sur R.g x x2=-l^ h , donc g 1 2=-l^ h .d x x2=l^ h , donc d 1 2=l^ h .g d1 1!l l^ ^h h, donc f n’est pas dérivable en 1.
1 a. 2 c. 3 c. 4 b.
1 a. et c. 2 a. et b. 3 a., b. et c.
1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux.
Applications directes
1 Nombre dérivé
1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux.
1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux.
1 h 2=x^ h ; f 6 2=l^ h .2 h 2=-x^ h ; f 2 2- =-l^ h .3 h 1=x^ h ; f a 1=l^ h .
1 h h 2= +x^ h ; f 1 2=l^ h .2 h h9 2= -x^ h ; f 2 9- =l^ h .3 h h 1= -x^ h ; f 0 1=-l^ h .
1 g n’est pas défi nie en 0, donc elle n’est pas déri-vable en 0.
2 a. et b. h hg h g
hh2 2 1 1
=+ -
=+ -x^
^ ^h
h h
hx^ h h h
h hh h
h1 1
1 1 1 11 1
1 1=
+ +
+ - + +=
+ +
+ -^^ ^
^hh h
hh
h1 11
=+ +
x^ h .
c. limh1 1
121
h 0 + +=
", donc g est dérivable en 2 et
g 2 21
=l^ h .
3 h hg h g
h1 1 1f=+ -
= =x^^ ^
hh h tend vers
3+ quand h tend vers 0, donc g n’est pas dérivable en 1.
La calculatrice permet de vérifi er les résultats précé-dents.
1 h hx h x
h0 0
4=+ -
= -x^^ ^
hh h ;
lim h 4 4h 0
- =-"
, donc la vitesse à l’instant initial est de
m s4 1$- - .2 a. x t t t t0 4 0 0+ += - = =^ ^h h ou t 4= , donc il repasse en O après 4 s.
b. h hx h x
h4 4
4=+ -
= +x^^ ^
hh h ; lim h 4 4
h 0+ =
",
donc la vitesse à l’instant 4 est de m s4 1$ - .
2 Tangente à une courbe en un point
1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai.
1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.
1 b. 2 c. 3 b.
Les courbes 1 et 5.
1 a 1= ; f a 3=-^ h ; f a 3=-l^ h ; # : y x3=- .2 a 1=- ; f a 0=^ h ; f a 1=l^ h ; # : y x 1= + .3 a 2=- ; f a 2=^ h ; f a 0=l^ h ; # : y 2= .
a. f a 4=-^ h ; f a 2=l^ h .b. f a 10=-^ h ; f a 2=l^ h .c. f a 13=-^ h ; f a 5=-l^ h .d. f a 9=^ h ; f a 0=l^ h .
3 Fonction dérivée : premières propriétés
1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Faux. 5 Vrai.
1 b. et c. 2 a. et c. 3 a. et c. 4 b. et c.
1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai.
1 f l : x 7 13.2 f l : x 7 x2 8- .3 f l : x 7 x3 6- + .4 f l : x 7 x x12 10 112 - - .5 f l : x 7 x x x x2 6 2 9 74 3 2- + + - .
Les fonctions proposées sont dérivables sur l’inter-valle indiqué comme sommes et/ou produits par un réel de fonctions dérivables sur cet intervalle.1 f x
x2
2=l^ h . 2 f x xx
9 222= -l^ h .
3 f xx x
1 12= +l^ h . 4 f x
x3 2
2= -l^ h .
On propose une fonction u. Pour v, il suffi t d’ajouter n’importe quelle constante à u.a. u x x2=^ h . b. u x x2=^ h .
c. u x x x53= +^ h . d. u x x x21 2= -^ h .
1 Le pas de graduation est 0,5 en abscisse comme en ordonnée.2 f x x2 1= -l^ h .3 f fy x1 1 1= - +l^ ^ ^h h h
y x1 1 0+ = - +^ h
y x 1+ = - .4 T0 : y x=- ; T 1- : y x3 1=- - .5 On vérifi e en utilisant la touche indiquée dans l’énoncé.
1 f x x b2= +l^ h .2 a. f 0 1=-l^ h et f 0 3=^ h donnent b 1=- et c 3= .b. f 3 2- =l^ h et f 3 10- =-^ h donnent b 8= et c 5= .
1 f xx
bxc
2 2= -l^ h .
2 a. f 1 2=-l^ h et f 1 7=^ h donnent b 2= et c 3= .b. f 4 0=l^ h et f 4 3=^ h donnent b 1= et c 4= .
f x ax b2= +l^ h ; f 1 0=l^ h et f 1 2=^ h donnent a 2=- et b 4= .
1 La hauteur de la falaise est a 0^ h, c’est-à-dire 160 m.2 L’objet tombe dans la mer quand son altitude est nulle, donc ,t 4 9
16012= . Comme t 01 H , t 7
401 = s.
3 ,d t a t t160 4 9 2= - =^ ^h h .4 ,d t t9 8=l^ h .
5 ,v d t m s9 8 740 561 1
1# $= = = -l^ h
, km h , km hv 56 3 6 201 611 1# $ $= =- - .
1 a. h hm a h p ma p
m=+ + - +
=x^^ ^
hh h ;
donc, pour tout réel a, f a m=l^ h .b. On applique le résultat précédent avec m 0= .
à 1 La fonction proposée est dérivable sur l’intervalle indiqué comme produit, inverse ou quotient de fonc-tions dérivables sur cet intervalle, les éventuels dénomi-nateurs ne s’annulant pas sur I.
2 f x x xx
xx
x22
12
5 12 2= + - = -l^ h .
3 f fy x y x1 1 1 2 2+= - + = -l^ ^ ^h h h .
2 f x xx
x x2 2
11
=-
-
=l^ h .
3 f fy x y x2 2 22 2
12
3+= - + = -l^ ^ ^h h h .
2 f xx x
x2
5 2 12 2=+ -
- +l^
^
^h
h
h .
3 f fy x y x0 0 0 45
25+= - + =- -l^ ^ ^h h h .
2 f xx
x x4 3
2 4 3 3 2 12=
-
- + -l^
^
^ ^h
h
h h
f xx4 3
52=
-l^
^h
h
.
3 f fy x y x1 1 1 5 4+= - + = -l^ ^ ^h h h .
2 f xx
x x x2
2 2 12
2=
-
- + +l^
^
^ ^h
h
h h
f xx
x x2
4 12
2=
-
- + +l^^
hh
.
3 f fy x y x1 1 1 4 2+= - + = -l^ ^ ^h h h .
2 f xx x
x x3 2
2 34 72 2
2=
- + +
- + -l^^
hh
.
3 f fy x y x1 1 1 443
457+= - + + - =- -l^ ^ ^h h h .
a. f x x6 5= -l^ h .
b. f x xx x
x3 1 3 122 2
4= - = -l^ h .
c. f xx
x xx3
1 3 1 13
42 2=
-
- - +=
-
-l^^
^ ^
^h
h
h h
h
.
Le logiciel utilise la formule du produit en considérant f x^ h sous la forme x x1 3
1#+
-^ h .
a. f xx
22= -l^ h .
b. f x x x31 3 2 2#= =l^ h .
c. f xx2 1
22=
+
-l^^
hh
.
f xx2
1=l^ h et, avec le logiciel,
x x xx
x21 1
2 21
# # = =c cm m .
1 f est le quotient de deux fonctions dérivables sur I et x2 1+ ne s’annule pas sur I.
2 f xx
x x x x2 1
2 1 2 1 22
2=
+
- + - -l^
^
^ ^ ^h
h
h h h
f xx
x x2 1
2 2 12
2=
+
+ -l^^
hh
.
3 f fy x1 1 1= - +l^ ^ ^h h h
y x31 1 0+ = - +^ h
y x31
31+ = - .
4 f fy x2 2 2= - +l^ ^ ^h h h
y x2511 2 5
2+ = - +^ h
y x2511
2512+ = - .
5 Travail à faire sur la calculatrice.
1 Avec n 1=- , x x1n =
et nx xx
1 1n 1 22#=- = -- - .
2 a. Inverse d’une fonction dérivable qui ne s’annule pas sur les intervalles donnés.b. f x
fg x x x= +^ ^h h ; si g était dérivable en 0, g f- le serait aussi, or la fonction racine carrée n’est pas déri-vable en 0.
Problèmes
1 On conjecture qu’il y a une valeur de a (environ 0,33) et que le point de tangence a pour coordonnées (3 ; 3).2 # est tangente à ! en A si, et seulement si,
ff
x x
x
2 3
20 0
0
= -
=l
^
^
h
h* , ce qui correspond au système
proposé, car f x ax20 0=l^ h .3 En remplaçant ax0 par 1 dans la première équation, on obtient x x2 30 0= - ; d’où x 30 = et a 3
1= .
Ainsi, # est tangente à ! au point ;A 3 3^ h lorsque a 3
1= .
1 a. On remarque que le cercle passe par C.b. On remarque la même chose.c. A semble être le milieu de BC6 @.2 a. ;A a a
1c m.
b. f fy a x a a= - +l^ ^ ^h h h
ya
x a a1 12+ =- - +^ h
ya
x a1 22+ =- + .
c. ;B a0 2c m et ;C a2 0^ h.
d. a a20 2+ = et a
a2
2 0 1+= , donc A est le milieu
de BC6 @. a. f x x2 3= +l^ h ;
f x 2=ll^ h .
b. f xx 2
22=
-
-l^^
hh
;
f xx 2
43=
-ll^
^h
h
.
c. f xx2
1=l^ h ;
f x xx
x x4
22
1
41
#
=
-
= -ll^ h .
d. f xx12=-l^ h ;
f xx2
3=ll^ h .
1 f x a=l^ h ; f x 0=ll^ h .2 f x ax b2= +l^ h ; f x a2=ll^ h .
1 f x x6 5= -l^ h ; f x 6=ll^ h .
2 f f f fx x x x x0 0 20
2 5 32 2+ + = - + =lll
^ ^^
^h hh
h.
3 f x ax b2= +l^ h ; f x a2=ll^ h ;
f f f fx x c bx ax x0 0 20 2 2+ + = + + =l
ll^ ^
^^h h
hh.
1 On multiplie par h l’égalité de l’énoncé.2 f a^ h correspond à l’ordonnée de A. La tangente à ! en A a pour équation f fy a x a a= - +l^ ^ ^h h h, donc le point d’abscisse a h+ de cette tangente a pour ordonnée f fh a a+l^ ^h h ; d’où la quantité en bleu. L’or-donnée du point de ! d’abscisse a h+ a pour ordonnée f a h+^ h, d’où, avec l’égalité de la question 1 , la quan-
tité en vert.3 h 7 f fa a h+ l^ ^h h est une fonction affi ne de la variable h.
4 a. h h h1 12 1
1 2. .+ + + .
b. Avec ,h 0 02= , , , ,1 02 1 20 02 1 01. .+ ; avec
,h 0 004=- ,
, , ,0 996 1 20 004 0 998. .- .
5 a. hh
21
21
4.+
- .
b. Avec ,h 0 004= , ,, ,2 004
121
40 004 0 499. .- ;
avec ,h 0 008=- , ,, ,1 992
121
40 008 0 502. .+ .
Si on note a l’abscisse de A, la tangente à ! en A a pour coeffi cient directeur le nombre dérivé de la fonc-tion carré en a, c’est-à-dire a2 .La droite y x= ayant pour coeffi cient directeur 1, résoudre le problème revient à résoudre l’équation
a2 1= . Le problème a donc une solution, le point ;A 2
141
c m.
1 Comme h est petit par rapport à q, les écono-
mistes considèrent que hC q h C q+ -^ ^h h est proche
de sa limite quand h tend vers zéro, c’est-à-dire C ql^ h.
Contenus Capacités attendues CommentairesSens de variation des fonctions u k+ , um ,
u et u1 , la fonction u étant connue, k étant
une fonction constante et m un réel.
◗ Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples.
On nourrit la diversité des raisonnements travaillés dans les classes précédentes en montrant à l’aide de contre-exemples qu’on ne peut pas énoncer de règle générale donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fonctions.L’étude générale de la composée de deux fonctions est hors programme.
Lien entre signe de la dérivée et sens de variation.Extremum d’une fonction.
◗ Exploiter le sens de variation pour l’obten-tion d’inégalités.
Il n’est pas toujours utile de recourir à la dérivation pour étudier le sens de variation d’une fonction.On traite quelques problèmes d’optimisa-tion.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole �.
2. Intentions des auteursDans ce chapitre, on fait le point sur l’étude des varia-tions d’une fonction et son utilisation dans le cadre de la résolution de problèmes.On travaille tout d’abord sur la défi nition de fonction croissante et de fonction décroissante sur un intervalle, et on l’applique à l’étude d’une somme de fonctions, d’un produit d’une fonction par une constante, d’une racine carrée d’une fonction ou de l’inverse d’une fonc-tion. Une étude rapide des variations d’une fonction dans des cas simples est alors possible. Un travail a été particulièrement mené sur les hypothèses des théo-rèmes utilisés, et la non-généralisation des théorèmes donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fonctions.Puis on met en place un nouvel outil dans le cas de fonc-tions dérivables sur un intervalle : le lien entre le signe de la fonction dérivée et le sens de variation d’une fonc-tion. C’est l’occasion de réinvestir les formules de déri-vation vues au chapitre 3 et le travail sur les tableaux de signes amorcé en classe de Seconde .
Dans le cadre de la résolution de problèmes, l’étude des variations d’une fonction permet à l’élève de comparer deux images, d’obtenir des encadrements, d’optimiser des grandeurs, etc. Conformément au programme, les situations proposées répondent à des problématiques clairement identifi ées d’origine purement mathéma-tique ou en lien avec d’autres disciplines.
Dans tout le chapitre, l’utilisation de logiciels (calcula-trices, traceurs de courbes, logiciels de géométrie dyna-mique) donne du sens aux notions de variations d’une fonction et d’extrema (local ou global). L’utilisation d’un logiciel de calcul formel peut permettre, en fonction des élèves, de surpasser les diffi cultés du calcul algébrique.
De nombreux QCM et Vrai-Faux permettent de manier la notion de contre-exemple.
Des démonstrations de théorèmes non données en cours se retrouvent aux exercices 30, 31, 38 et 39.
2 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction
ObjectifIl s’agit de remettre en mémoire les outils indispensables pour aborder les problématiques du chapitre : défi nitions du sens de variation d’une fonction numérique, signe d’une expression algébrique, nombre dérivé comme coeffi cient directeur de la tangente.
A 1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai.
B 1 b. 2 a. et b. 3 b.
C 1 b. 2 b.
D 1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai.
ActivitéActivité 1 Utiliser une fonction pour étudier une situation en géométrieObjectifIl s’agit d’aborder les problématiques du chapitre en utili-sant les résultats de la classe de Seconde : mise en équa-tion, utilisation des variations d’une fonction (ici du second degré), retour au problème posé.1 Le périmètre mesurant 100 m, on a : .x y2 100+ =^ h Donc x y 50+ = .Les longueurs x et y étant positives, x et y appartiennent à l’intervalle ;0 506 @.2 Comme y x50= - et ! x x y#=^ h , on obtient ! x x x50= -^ ^h h.3 ! x^ h est un polynôme du second degré qui s’annule en 0 et en 50. Le sommet de la parabole le représentant a alors pour abscisse la moyenne de 0 et 50, soit 25. Son ordonnée est ! 25 625=^ h .Comme ! x x x502=- +^ h et que a 1=- est négatif, la parabole est tournée vers le bas.Donc le tableau de variations de ! sur ;0 506 @ est :
x 0 25 50
! x^ h
0
625
0
Les dimensions du rectangle d’aire maximale sont donc mx 25= et my 50 25 25= - = .
4 L’aire du rectangle de dimensions x et y et de péri-mètre P est :! x x P x x P x2 2
2= - =- +^ ch m , polynôme de degré 2
où a 1=- , s’annulant en 0 et en P2 .
Le tableau de variations de ! sur l’intervalle ; P0 2; E est :
x 0P4
P2
! x^ h
0
P16
2
0
Les dimensions du rectangle d’aire maximale sont donc :
x P4= et y P P P
2 4 4= - = .
ActivitéActivité 2 Variations d’une sommeObjectifs◗ Mobiliser la défi nition d’une fonction croissante ou d’une fonction décroissante.◗ Réinvestir le sens de variation des fonctions de référence.1 a. f fb a b b a a1 1
- = - - -^ ^ c ch h m m
b a a b aba b a b1 1
= - + - = - + -c ^ ^m h h
a b ab1 1= - +^ ch m.
b. Comme 1 1a b0 , on a : 1a b 0- et 2ab 0, et donc
2ab1 1 0+ . Par produit, 1f fb a 0-^ ^h h .
c. Pour tous réels a et b tels que 1 1a b0 , 2 .f fa b^ ^h h Donc la fonction f est strictement décroissante sur l’in-tervalle ;0 3+ 6@ .2 a. La fonction inverse g et la fonction affi ne h sont strictement décroissantes sur ;0 3+ 6@ .b. Pour tous réels a et b tels que 1 1a b0 , 2g a g b^ ^h h et 2h a h b^ ^h h. En ajoutant membre à membre, on obtient que : 2f fa b^ ^h h. Donc la fonction f est stricte-ment décroissante sur l’intervalle ;0 3+ 6@ .
ActivitéActivité 3 Sens de variation d’une fonction et signe du nombre dérivéObjectifIl s’agit de faire le lien entre le signe de la dérivée d’une fonc-tion et le sens de variation. Pour cela, on regarde le signe du nombre dérivé (comme coeffi cient directeur de la tangente à la courbe) sur chacun des intervalles où f est monotone.1 a. On conjecture le tableau de variations suivant :
x 3- 1- 1 3+
f x^ h
2
2-
b. La fonction affi ne représentant la tangente " n’est croissante que lorsque l’abscisse de M appartient à
; ;1 1,3 3- - +6 6@ @ .c. Pour tout réel x, f xl^ h est le coeffi cient directeur de la tangente en M d’abscisse x.D’après la question b., 1f x 0l^ h pour ;x 1 1! - 6@ .On conjecture que :• lorsque la fonction f est croissante sur un intervalle, la fonction f l est positive sur cet intervalle ;• lorsque la fonction f est décroissante sur un intervalle, la fonction f l est négative sur cet intervalle.2 a. f x x x x x3 3 3 1 3 1 12 2= - = - = - +l^ ^ ^ ^h h h h.b. On a le tableau de signes suivant :
x 3- 1- 1 3+
f xl^ h + 0 - 0 +
Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction 3
c. On admet la réciproque :• lorsque la fonction f l est positive sur un intervalle, la fonction f est croissante sur cet intervalle ;• lorsque la fonction f l est négative sur un intervalle, la fonction f est décroissante sur cet intervalle.On obtient alors le tableau obtenu en 1 a.
ActivitéActivité 4 Relier la courbe représentative d’une fonction à celle de sa fonction dérivéeObjectifsAssocier signe de la dérivée et sens de variation sans se laisser infl uencer par le sens de variation de la fonction dérivée ; la confusion entre le signe et le sens de variation est très répandue.On utilise le théorème vu dans l’activité 3 :• la fonction f est croissante sur un intervalle si, et seule-ment si, la fonction f l est positive sur cet intervalle ;• la fonction f est décroissante sur un intervalle si, et seule-ment si, la fonction f l est négative sur cet intervalle.Pour la fonction 1 : La fonction 1 est croissante sur
; 13-@ @ et sur ;3 3+6 6, et est décroissante sur ;1 36 @. Sa dérivée est donc positive sur ; 13-@ @ et sur ;3 3+6 6, et est négative sur ;1 36 @ : c’est la fonction b .Pour la fonction 2 : La fonction 2 est décroissante sur
; 33- -@ @ et sur ;1 3+6 6, et est croissante sur ; .3 1-6 @ Sa dérivée est donc négative sur ; 33- -@ @ et sur
;1 3+6 6, et est positive sur ;3 1-6 @ : c’est la fonction c .Pour la fonction 3 : La fonction 3 est croissante sur
;0 3+ 6@ . Sa dérivée est donc positive sur ;0 3+ 6@ : c’est la fonction a .
ActivitéActivité 5 Problème d’optimisationObjectifs◗ Traiter un problème central dans le chapitre : l’optimisa-tion.◗ Montrer que les outils « connus » ne suffi sent pas : seul le théorème sur le sens de variation et le signe de la dérivée permet de conclure.1 Par le théorème de Thalès, on a : ED
AEDFAG
= . Donc
xAG
xx
5 5-=
+.
On en déduit que : AG xx x
xx x
55
55 2
=+
-=
+-^ h .
2 On conjecture que le maximum de AG est environ 0,86, atteint lorsque CF est environ égal à 2,07.3 a. On applique la formule du quotient aux fonctions u et v dérivables sur ;0 56 @ suivantes :
u x x x5 2= -^ h et v x x5= +^ h .On a : u x x5 2= -l^ h et v x 1=l^ h .
Donc f xx
x x x x5
5 2 5 5 12
2 #=
+
- + - -l^
^
^ ^ ^h
h
h h h
f xx
x x5
10 252
2=
+
- - +l^^
hh
.
b. Pour le signe du numérateur : 200=D ; ;10 2=D
,x 5 5 2 2 071 .=- + et , .x 5 5 2 12 072 .=- - -
D’où le tableau de signes de f xl^ h et de variations de f sur ;0 56 @ :
x 0 x1 5
x x10 252- - + + 0 -
x5 2+^ h + +
f xl^ h + 0 -
f x^ h0
15 10 2-
0
c. La position du point F pour lequel la distance AG est maximale est ,CF 5 5 2 2 07.=- + .La distance maximale est ,15 10 2 0 86.- .On obtient ici la valeur exacte, alors qu’à la question 2 , on a obtenu une valeur approchée.
Exercices d’applicationExercices d’application
Utiliser les variations des fonctions de référence
La fonction affi ne x 7 x 1- est strictement crois-sante et positive sur l’intervalle ;1 3+ 6@ .Donc son inverse x 7 x 1
1-
est strictement décrois-sante sur ;1 3+ 6@ .En ajoutant 2, on en déduit que la fonction f est stricte-ment décroissante sur ;1 3+ 6@ .
1 Il semble que la fonction g est strictement décroissante sur ; 03-@ @ et strictement croissante sur
;0 3+6 6.
2 La fonction u : x 7 x 32 + est un polynôme du second degré, avec a 1= positif et ;S 0 3^ h comme sommet de la parabole. Alors la fonction u est stricte-ment décroissante sur ; 03-@ @ et strictement crois-sante sur ;0 3+6 6.Comme g u= , la fonction g a les mêmes variations que la fonction u.Donc la fonction g est strictement décroissante sur
; 03-@ @ et strictement croissante sur ;0 3+6 6. Sur l’intervalle ; 23-@ @ la fonction affi ne
u : x 7 x2 - est décroissante, car son coeffi cient directeur est négatif.Comme h u= , les fonctions u et h ont le même sens de variation. Donc la fonction h est décroissante sur
; 23-@ @.
4 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction
Étudier les variations d’une fonction et choisir une méthode
a. La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x, f x x2 1= -l^ h (fonction affi ne de coeffi cient positif,
s’annulant en 21 ).
Comme f 21
47
= -c m , on obtient donc :
x 3- 21 3+
f xl^ h - 0 +
f x^ h
47-
b. La fonction g est dérivable sur R et pour tout réel x, g x x6 2= +l^ h (fonction affi ne de coeffi cient positif,
s’annulant en 31- ).
Comme g 31
32- =b l , on obtient donc :
x 3- 31- 3+
g xl^ h - 0 +
g x^ h
32
a. Les fonctions x 7 x3 et x 7 x3 sont toutes deux des fonctions de base croissantes sur R ; donc par somme, la fonction f est croissante sur R.b. La fonction g est dérivable sur R et g x x x x x3 6 3 22= + = +l^ ^h h.g xl^ h est un trinôme du second degré qui admet pour racines 2- et 0.Donc g xl^ h est strictement positif sauf pour ; ,x 2 0! -6 @ d’où le tableau de variations :
x 3- 2- 0 3+
g xl^ h + 0 - 0 +
g x^ h
4
0
Si la fonction f est croissante sur un intervalle, alors f x 0Hl^ h sur cet intervalle.
Si la fonction f est décroissante sur un intervalle, alors f x 0Gl^ h sur cet intervalle.
D’où le tableau de signes de la fonction f l :
x 3- 2- 1 3
f xl^ h + 0 - 0 +
Déterminer des extrema, obtenir des inégalités
La fonction f est dérivable sur ;1 2-6 @ et pour tout réel x de ;1 2-6 @, f x x x x3 3 3 1 12= - = - +l^ ^ ^h h h.f xl^ h est un trinôme s’annulant en 1- et en 1, avec
a 3= positif.D’où le tableau suivant :
x 1- 1 2
f xl^ h 0 - 0 +
f x^ h
51
5
Par lecture du tableau, le maximum de f sur ;1 2-6 @ est 5 (atteint en 1- et en 2), et le minimum de f sur ;1 2-6 @ est 1 (atteint en 1).
On étudie le signe de g x u x v x= -^ ^ ^h h h.
En réduisant au même dénominateur, g xx12=^ h .
Donc pour tout réel 2x 0, 2g x 0^ h , donc 2u x v x^ ^h h.La courbe représentant u est située au-dessus de la courbe représentant v sur ;0 3+ 6@ .
1 Le maximum de f sur ;2 1-6 @ est 1. Le maximum de f sur ;1 56 @ est 5.2 Pour tout réel x de ;2 5-6 @, on a : f x4 5G G- ^ h .
Optimiser une aireÉtape 2tape 2
1 La variable x appartient à l’intervalle ;0 3+ 6@ .2 a. La hauteur issue de M du triangle MEF est :
J I IJM M x 4= + = + .b. ◗ Première méthode : En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle FMJ, on a :
J JFFA
MAD
= , soit : FAFA
x2 44
+=
+.
Les produits en croix donnent :x FA FA4 4 2# #+ = +^ ^h h.
Donc x FA 8# = , donc FA x8
= .
◗ Deuxième méthode : on utilise la trigonométrie :Les angles AFD% et IDM% sont égaux, donc leurs tangentes aussi.D’où I
IAFAD
DM
= , c’est-à-dire AFx42= .
Donc AF x8
= .
◗ Or JEF AF A x xx
2 2 8 22 8 2
= + = + =+
^ c^
h mh .
Donc EF xx4 4
=+^ h .
Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction 5
4 a. La fonction f est dérivable sur ;0 3+ 6@ comme double du quotient des fonctions dérivables u et v suivantes :
u x x 4 2= +^ ^h h et v x x=^ h .On a : u x x2 4= +l^ ^h h et v x 1=l^ h .Donc pour tout réel 2x 0,
f xx
x x x2
2 4 4 12
2
## #
=+ - +
l^^ ^
hh h
f xx
x x xx
x x2 4 2 4 2 4 42 2=
+ - -=
+ -l^
^ ^ ^ ^h
h h h h
b. Comme f 4 32=^ h , on a le tableau suivant :
x 0 4 3+
2 + +
x 4+ + +x 4- - 0 +
x2 0 + +f xl^ h - 0 +
f x^ h 32
c. Le minimum de l’aire du triangle MEF est donc 32 m², atteint lorsque IM vaut 4 m.
Minimiser une longueurPartie A2 À l’aide du logiciel Geogebra :
Partie B
A B
CD FM
E
10
x
y
1 En utilisant le coup de pouce, on a : ME EB x= = et MF DF y= = .Donc EF ME MF x y= + = + .2 D’après le théorème de Pythagore dans le triangle CEF :EF CE CF x y10 102 2 2 2 2= + = - + -^ ^h h
EF x x y y100 20 100 202 2 2= - + + - +
EF x y x y20 20 2002 2 2= + - - + .
3 Or EF x y x xy y22 2 2 2= + = + +^ h .Donc x y x y x xy y20 20 200 22 2 2 2+ - - + = + + .Donc xy y x2 20 20 200+ =- + , soit x y x2 10 2 100 10+ = -^ ^h h.
Donc y xx
10100 10
=+- .
Comme EF x y= + ,
EF x xx
xx x x
10100 10
1010 100 10
= ++- =
+
+ + -^ h
EF xx
101002
=++ .
4 a. La fonction f est dérivable sur ;0 106 @ et pour tout réel x de ;0 106 @ :f x
xx x x
102 10 100 1
2
2# #=
+
+ - +l^
^
^ ^h
h
h h
f xx
x x10
20 1002
2=
+
+ -l^^
hh
.
Pour le numérateur : 800=D ; ,x 10 10 2 24 11 .=- - -
et ,x 10 10 2 4 12 .=- + .Comme ,f 10 2 10 20 2 20 8 28.- = -^ h , on a :
x 0 x2 10
x x20 10 0252 + - - 0 +
x 10 2+^ h + +
f xl^ h - 0 +
f x^ h10
20 2 20-
10
b. Par lecture du tableau, la longueur minimale de EF est 20 2 20- , atteinte pour EB x 10 2 10= = - .Dans ce cas-là,DF y EF x 20 2 20 10 2 10= = - = - - -^ ^h h
EB10 2 10= - = .
Un volume maximum1 La variable x appartient à l’intervalle ;0 86 @.
I JV x A A AK31
2# # #=^ h
V x x x x x x61 8 8 6
1 8 2# # #= - - = -^ ^ ^ ^h h h h .
2 La fonction V est dérivable sur ;0 86 @, et pour tout réel x de ;0 86 @ :V x x x x6
1 1 8 2 82# #= - + - -l^ ^ ^ ^^h h h hh
V .x x x x x x61 8 8 2 6
1 8 8 3= - - - = - -l^ ^ ^^ ^ ^h h h h h h
3 On a le tableau suivant :
x 038 8
31
+ +
x8 - + + 0x8 3- + 0 -
V xl^ h + 0 - 0
V x^ h 0 272 048
0
6 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction
1 c. 2 a. c. 3 b. c. 4 b. 5 b. 6 b. c. 7 a. c. 8 a. c. 9 a. c.
1 Faux. 2 Faux. 3 Faux. 4 Vrai. 5 Faux.
Applications directes
1 Sens de variation et opérations sur les fonctions
1 a. 2 b.
1 a. 2 c. 3 b.
1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux.
1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux.
1 f 5 1- =^ h ; f 3 1- =-^ h ; f 0 2=^ h et f 4 0=^ h .2 La représentation graphique de f est :
x
y
1
1
0
Les antécédents de 2 par f sont : - 6 et 0.3 Voici le tableau des variations de f, car f est une fonc-tion affi ne par morceaux.
x 3- 3- 0 3+
f x^ h1-
2
Somme de fonctions
1 Vrai. 2 Faux.
• f a pour courbe représentative #2 , car f 0 0=^ h .• g a pour courbe représentative #3 , car g 0 1=-^ h .• h a pour courbe représentative #1 , car h 0 2=^ h .• k a pour courbe représentative #4 , car k 0 2=-^ h .
x - 5 - 2 1 3
f x^ h 46
27
x - 5 - 2 1 3
g x^ h 02
- 23
a. Les fonctions u et v sont deux fonctions affi nes de coeffi cients négatifs, donc elles sont décroissantes sur R.Donc la fonction u v+ est aussi décroissante sur R.b. De même les fonctions u , v et u v+ sont croissantes sur R.c. De même les fonctions u , v et u v+ sont décrois-santes sur R.
1 La fonction f est défi nie sur R\ 0" ,.
2 Pour tout réel x non nul, f x x x x x4 4
= - = + -^ h .
3 Les fonctions x 7 x et v 7 x4- sont croissantes
sur ; 03- 6@ .Donc par somme la fonction f est croissante sur ; 03- 6@ .
1
x
y
1
1
0
##f
##g#u
2 On a : sisisi
f xx x
x xx x
2 5 3 12 1 1 2
2 7 2 4
G G
G G
G G
=
+ - -
- + -
-
^ h *
et si
sig x
x x
x x
3 3 3 0
45 3 0 4
G G
G G=
- - -
-^ h
Z
[
\
]]
]]
.
Donc en sommant :
si ;
si ;
si ;
si ;
u x
x x
x x
x x
x x
35 2 3 1
37 2 1 0
43 2 0 2
413 10 2 4
!
!
!
!
=
+ - -
- - -
- -
-
^ h
6666
@@
@@
Z
[
\
]]]]
]]]]
.
3 La fonction u est affi ne par morceaux. On a :
x - 3 - 1 2 4
u x^ h
- 3
31
27-
3
Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction 7
Preuve du cours : somme d’une fonction et d’une constanteSoit une fonction u défi nie sur un intervalle I.Soit un réel k et la fonction v défi nie sur I par :v x u x k= +^ ^h h .1 a. On suppose que la fonction u est croissante sur I.Soient des réels x1 et x2 dans I tels que x x1 2G .Comme la fonction u est croissante sur I, ,u x u x1 2G^ ^h h donc u x k u x k1 2G+ +^ ^h h .Donc v x v x1 2G^ ^h h.b. En conséquence, la fonction v est croissante sur I.2 On suppose que la fonction u est décroissante sur I.Soient des réels x1 et x2 dans I tels que x x1 2G .Comme la fonction u est décroissante sur I, ,u x u x1 2H^ ^h h donc u x k u x k1 2H+ +^ ^h h .Donc v x v x1 2H^ ^h h.En conséquence, la fonction v est décroissante sur I.
Preuve du cours : somme de deux fonctions1 On suppose que les fonctions u et v sont croissantes sur I.a. Soient des réels x1 et x2 dans I tels que x x1 2G . Alors comme les fonctions u et v sont croissantes sur I, on a :
u x u x1 2G^ ^h h et v x v x1 2G^ ^h h.En ajoutant membre à membre,u x v x u x v x1 1 2 2G+ +^ ^ ^ ^h h h h.Donc u v x u v x1 2G+ +^ ^ ^ ^h h h h. Donc f fx x1 2G^ ^h h.b. La fonction f est croissante sur l’intervalle I.2 On suppose que les fonctions u et v sont décrois-santes sur I.Soient des réels x1 et x2 dans I tels que x x1 2G . Alors comme les fonctions u et v sont décroissantes sur I, on a :
u x u x1 2H^ ^h h et v x v x1 2H^ ^h h.En ajoutant membre à membre, u x v x u x v x1 1 2 2H+ +^ ^ ^ ^h h h h.Donc u v x u v x1 2H+ +^ ^ ^ ^h h h h. Donc f fx x1 2H^ ^h h.Donc la fonction f est décroissante sur l’intervalle I.
1 a. La fonction u est croissante et la fonction v est décroissante sur R.Pour tout réel x, u v x x2
3 4+ = +^ ^h h (affi ne de coef-fi cient positif ).Donc la fonction u v+ est croissante sur R.b. La fonction u est décroissante et la fonction v est croissante sur R.Pour tout réel x, u v x 7+ =^ ^h h . Donc la fonction u v+ est constante sur R.c. La fonction u est décroissante sur ; 03-@ @ et crois-sante sur ;0 3+6 6.La fonction v est croissante sur R.La fonction u v+^ h : x 7 x 1 2+^ h est décroissante sur
; 13- -@ @ et croissante sur ;1 3+6 6.2 En utilisant les exemples de la question 1 , on peut dire que l’affi rmation est fausse.
Produit par une constante
• La fonction f est associée à la courbe #2 car f 1 1=-^ h .
• La fonction g est associée à la courbe #4 car g 1 2=^ h .•La fonction h est associée à la courbe #3 car h 1 3=^ h .•La fonction k est associée à la courbe #1 car k 1 2=-^ h .
1 La fonction f admet le tableau de variations ci-dessous.
x 3- 0 3+
f xl^ h - 0 +
f x^ h 0
2 a. x 3- 0 3+
g xl^ h - 0 +
g x^ h 0
b. x 3- 0 3+
h xl^ h - 0 +
h x^ h - 3
c. x 3- 0 3+
k xl^ h + 0 -
k x^ h0
d. x 3- 0 3+
m xl^ h + 0 -
m x^ h1
a. x 0 6 11 18 24
f x^ h
20,7
6
22
6
20,7
b. x 0 6 11 18 24
g x^ h
- 10,35
- 3
- 11
- 3
- 10,35
c. x 0 6 11 18 24
h x^ h
- 8,35
- 1
- 9
- 1
- 8,35
1 a. fg x x x x1 21
412
= + = + -^ ^ ^ ch h h m .
x 3-21
- 3+
fg x^ ^h h41
-
8 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction
2 a. Faux : En prenant les fonctions f et g du 1 a., f et g
sont croissantes sur R, donc sur ; 213- -E E.
Pourtant le produit f g# est décroissant sur ; 213- -E E.
b. Faux : En prenant les fonctions f et g du 1 b., f et g
sont décroissantes sur R, donc sur ;21 3+; ;.
Pourtant le produit f g# est croissant sur ;21 3+; ;.
c. Faux : Le produit de deux fonctions monotones sur un intervalle I peut ne pas être monotone sur I comme le prouvent les exemples précédents.
Racine carrée de fonctions
1 La fonction u est une fonction affi ne strictement croissante et positive sur ;1 3+6 6.Donc, comme f u= , la fonction f a le même sens de variation que u.Donc la fonction f est strictement croissante sur ;1 3+6 6.2 a. La fonction u : x 7 x4 3- est une fonction affi ne strictement croissante sur I.Donc la fonction f est strictement croissante sur I.b. La fonction u : x 7 x 32 + est décroissante sur
; 03-@ @ et croissante sur ;0 3+6 6.Comme f u= , la fonction f est décroissante sur
; 03-@ @ et croissante sur ;0 3+6 6.Son tableau de variations est :
x 3- 0 3+
f x^ h3
Preuve du cours : racine carrée d’une fonction1 On suppose que la fonction u est croissante sur l’in-tervalle I.Soient deux réels x1 et x2 de I tels que x x1 2G .Comme la fonction u est croissante sur I, on a : u x u x1 2G^ ^h h.Comme la fonction racine carrée est croissante, on a :
u x u x1 2G^ ^h h .Donc la fonction u est croissante sur I.2 On suppose que la fonction u est décroissante sur l’in-tervalle I.Soient deux réels x1 et x2 de I tels que x x1 2G .Comme la fonction u est décroissante sur I, on a : u x u x1 2H^ ^h h.Comme la fonction racine carrée est croissante, on a :
u x u x1 2H^ ^h h .Donc la fonction u est décroissante sur I.
1 Pour tout réel x, on a :sisi
xx x
x x0
02 H
G=
-) . Donc x x2= .
2 La fonction f a les mêmes variations que la fonction carré. Donc :
x 3- 0 3+
x0
A. 2 On conjecture que la longueur AM minimale est environ 1,3, lorsque l’abscisse de M est environ 1,5.
B. 1 Pour tout réel x positif, ;A 2 0^ h et ;M x x^ h .Donc AM x x x x2 3 42 2 2 2= - + = - +^ ^h h .
Donc AM x x3 42= - + .2 La fonction f est du second degré, de coeffi cient a positif.Elle change de variation en a
b2 2
3= - =a .
Donc le tableau de variations de f est :
x 023 3+
f x^ h47
3 fAM x= ^ h .Donc la fonction x 7 AM a le même sens de variation que f .La distance minimum est donc de 2
7 , obtenue au
point de coordonnées ;23
23
c m.
Inverse de fonctions
1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Faux.
1 x 3- 25 3+
g x^ h + 0 -
2 La fonction f est défi nie en tout réel x tel que g x 0!^ h . Donc la fonction f est défi nie sur :
; ;25
25,3 3- +; ;E E .
La fonction g garde un signe constant sur chaque inter-valle et ne s’annule pas, donc g
1 a le sens de variation contraire à celui de g .La fonction g est décroissante sur chacun des inter-valles, donc la fonction f est croissante sur ; 2
53- ;E et sur ;2
5 3+ ;E .
x 3- 25 3+
f x^ h
1 Comme la fonction f est strictement positive sur ;2 2-6 @, la fonction g est défi nie sur ;2 2-6 @.
Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction 9
2 La fonction g a un sens de variation contraire à celui de f . Donc on a le tableau ci-dessous :
x - 2 0 2
f x^ h5
15
g x^ h
51
1
51
1 En réduisant au même dénominateur, on vérifi e que ces trois expressions sont égales.2 a. L’expression o permet d’étudier les variations de la fonction f .En eff et, la fonction f a le même sens de variation que l’inverse de la fonction u : x 7 x 1- .Elle est donc décroissante sur ; 13- 6@ et sur ;1 3+ 6@ .b. On utilise l’expression n.Pour tout réel x diff érent de 1,
f x x x0 3 1 0 31+ += - = =^ h .
Donc l’ensemble des solutions est S 31
= ' 1.
c. On utilise l’expression p : 1 1f x xx1 1
2 0+-
^ h .
En utilisant un tableau de signes, on obtient que l’en-semble des solutions est ;0 16@ .
1 La fonction f ne s’annule pas donc la fonction g est défi nie sur R.2 Pour tout couple de réels ;a b^ h tels que 1a b , on a f fa bG^ ^h h.
Donc la fonction f est strictement décroissante sur R.3 g 2 3
1- =^ h et g 1 2
1= -
^ h . Donc 2g g2 1-^ ^h h.
Donc la fonction g n’est pas strictement croissante sur R.4 On utilise le théorème sur l’inverse d’une fonction sur chacun des intervalles ; 03- 6@ et ;0 3+6 6.La fonction g est croissante ; 03- 6@ et sur ;0 3+6 6.
1 On a ! ABCDAB DC AH
2 12#=
+=^
^h
h .
Donc AH AB DC24
=+
.
On a : f x x424
=+
^ h .
2 La fonction u : x 7 x4 + est affi ne de coeffi cient 1. Elle est donc croissante sur R.3 Comme f u
24= , la fonction f est décroissante sur
l’intervalle ;0 8@ @.x 0 8
f x^ h6
2
2 Sens de variation et dérivation
1 c. 2 b. 3 a.
1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux. 5 Vrai.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Faux.
À partir de tableaux
1
x 3- - 2 - 1 0 3+
f xl^ h + 0 - - 0 +
f x^ h
2 a. 1f f5 3- -^ ^h h. b. 2 ,f f2 1 5- -^ ^h h.c. f 2-^ h et f 0^ h ne sont pas comparables.
1 Une allure possible de # sur ;5 4-6 @ est :
x
y
1
1
0
2 Le tableau de signes de f xl^ h est donné ci-dessous.x - 5 - 2 1 4
f xl^ h - 0 + 0 -
3 Points à tangente parallèle à l’axe des abscisses : ;A 2 1- -^ h et ;B 1 2^ h.
Lectures graphiques
1 et 2 x - 4 - 3 0 22 4
f xl^ h + 0 - 0 + 00 -
f x^ h
14
- 30
- 23 2 ; ;f x x0 4 3 0 2+ ,! - -l^ h 6 6 6@ .
1 x - 4 - 3 1 4
f xl^ h + 0 - 0 +
f x^ h
2 La courbe # admet deux points à tangentes parallèles à l’axe des abscisses : le point d’abscisse - 3 et le point d’abscisse 1, où la dérivée s’annule.
1 x - 4 - 1 3 4
f xl^ h 0 + 0 - 0 +
f x^ h
2 La courbe # admet trois points à tangentes parallèles à l’axe des abscisses : le point d’abscisse - 4, le point d’abscisse - 1 et le point d’abscisse 3 où la dérivée s’annule.
10 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction
1 Il s’agit de la courbe c . En eff et, la fonction f est décroissante sur ;4 2- -@ @ et croissante sur ;2 3- +6 6.Donc sa dérivée est négative sur ;4 2- -@ @, et positive sur ;2 3- +6 6.2 On doit avoir f 2 0- =l^ h ; f 3 3- =-l^ h et
f 2 29
- = -l^ h . Avec f x ax b xc
4= + ++
^ h et
f x ax
c4 2= -
+l^
^h
h
.
Ainsi f a c2 4 0- = - =l^ h ; f a c3 3- = - =-l^ h et
a b c2 2 29
- + + = - .
Les réels a, b et c sont solutions du système :
a c
a c
a b c
4 0
3
2 2 29
- =
- =-
- + + = -
Z
[
\
]]]
]]]
. On obtient :
a
b
c
1
29
4
=
= -
=
Z
[
\
]]
]]
.
Donc f x x x29
44
= - ++
^ h .
Étude de variations
1 Pour tout réel x, f x x10 2= +l^ h .2
x 3- 51
- 3+
f xl^ h - 0 +
3 x 3- 5
1- 3+
f x^ h 5,8
a. La fonction f est dérivable sur R et f x x x x3 3 3 1 12= - = - +l^ ^ ^h h h.
x 3- - 1 1 4
f xl^ h + 0 - 0 +
f x^ h 2- 2
b. La fonction g est dérivable sur R et g x x x x x3 6 3 22= - = -l^ ^h h.
x 3- 0 2 3+
g xl^ h + 0 - 0 +
g x^ h0
- 4
a. La fonction f est dérivable sur R et f x x x x x x4 16 4 2 23= - = - +l^ ^ ^h h h.
x 3- 2- 0 2 3+
x x2 2- +^ ^h h + 0 - - 0 +
x4 - - 0 + +
f xl^ h - 0 + 0 - 0 +
f x^ h
- 16
0
- 16
b. La fonction g est dérivable sur R et g x x x3 4 42=- + +l^ h .
64=D ; x 21 = et x 32
2 = - .
x 3-32- 2 3+
g xl^ h - 0 + 0 -
g x^ h
2740-
8
a. La fonction f est dérivable sur ; ;0 0,3 3- +6 6@ @ .
Sur cet ensemble, f xx x
x4 1 4 12 2
2= - = -l^ h qui est
du signe de x x2 1 2 1- +^ ^h h. On a le tableau :
x 3-21
- 021 3+
f xl^ h + 0 - - 0 +
f x^ h- 4
4
b. La fonction g est dérivable sur ;0 3+ 6@ .Sur cet ensemble,g x x
xx
xx1
21 1
23 1
# #= - + = -l^ ^h h
qui est du signe de x3 1- .On a le tableau :
x 031 3+
g xl^ h - 0 +
g x^ h
0 0
92 3
-
Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction 11
a. La fonction f est dérivable sur; ;2 2,3 3- - - +6 6@ @ .
Sur cet ensemble, f xx 2
82=
+
-l^^
hh
qui est toujours
négative. On a le tableau :x 3- 2- 3+
f xl^ h - -
f x^ h
b. La fonction g est dérivable sur ; ;21
21,3 3- +; ;E E .
Sur cet ensemble, g xx2 1
112=
-
-l^^
hh
qui est toujours négative.On a le tableau :
x 3-21 3+
g xl^ h - -
g x^ h
a. La fonction f est dérivable sur R, car le dénomi-nateur ne s’annule pas sur R.Sur cet ensemble, f x
x xx x
14 2
2 2=+ +
- +l^
^
^h
h
h qui est du
signe de x x4 2- +^ h.On a le tableau :
x 3- 2- 0 3+
f xl^ h - 0 + 0 -
f x^ h
31
-
5
b. La fonction g est dérivable sur R, car le dénominateur ne s’annule pas sur R.Sur cet ensemble, g x
xx
13 1
2 2
2=
+
-l^
^
^h
h
h qui est du signe
de x 12 - .On a le tableau :
x 3- 1- 1 3+
g xl^ h + 0 - 0 +
g x^ h 25
21
-
a. La fonction f est dérivable sur R\ ;0 1" ,, car le dénominateur s’annule en 0 et 1.Sur cet ensemble, f x
x xx
12 1
2 2=-
-l^^
hh
qui est du signe
de x2 1- .On a le tableau :
x 3- 021 1 3+
f xl^ h - - 0 + +
f x^ h
4
b. La fonction g est dérivable sur R\ 1" , car le dénomina-teur s’annule en 1.Sur cet ensemble, g x
xx
18 3
3=-
- +l^
^
^h
h
h qui est du signe
de x x3 1- + -^ ^h h.On a le tableau :
x 3- 3- 1 3+
g xl^ h - 0 + -
g x^ h0
1 Par lecture graphique, la fonction f semble stric-tement croissante sur ;0 46 @.2 La fonction f est dérivable sur ;0 46 @ et
,f x x x4 3 992= - +l^ h .,0 04=D ; ,x 1 91 = et ,x 2 12 = .
D’où le tableau de variations :x 0 1,9 2,1 4
f xl^ h + 0 - 0 +
f x^ h0
15003 971
2,64675
397
1
2 La fonction f est dérivable sur R et
f xx
x x1
16 12 2
2=
+
- + +l^^
hh
.
f xl^ h est du signe de x x16 12- + + .260=D ; x 8 651 = - et x 8 652 = + .
D’où le tableau de variations :
x 0 8 65+ 20
f xl^ h + 0 -
f x^ h8-
265 8-
40112
• La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x, f x ax x3 4 12= + +l^ h .
• La fonction f est strictement croissante sur R + pour tout réel x, 2f x a0 0+Hl^ h et 1 2a0 0+D et
1 2a a16 12 0 34
+- .
1 En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OBH, on peut écrire H R1502 2 2+ = .Or H R x= - . Donc R xR x R2 22 5002 2 2- + + = .Donc xR x2 22 5002= + .En divisant par 2x, on obtient R x
x211250
= + .
2 a. La fonction f est une fonction dérivable sur ;70 2006 @ et on a f x
x xx
21 11250
2150
2 2
2 2= - = -l^ h .
12 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction
On a le tableau de variations ci-dessous :x 70 150 200
f xl^ h - 0 +
f x^ h 71370
1504
625
b. Une fl èche de 150 cm rend le rayon minimal.
Déterminer des encadrements
1 La fonction f est dérivable sur ;0 3+ 6@ et
f xx x
x1 1 12 2
2= - = -l^ h qui s’annule en 1 et est du
signe de x 1- sur ;0 3+ 6@ .On a le tableau de variations ci-dessous :
x 0 1 3+
f xl^ h - 0 +
f x^ h 2
2 On en déduit que, pour tout réel 2x 0, x x1 2H+ .
La fonction f est dérivable sur ;23
25-; E et
f x x3 32= -l^ h qui s’annule en 1- et 1.On a le tableau de variations ci-dessous :
x ,1 5- 1- 1 2,5
f xl^ h + 0 - 0 +
f x^ h8
335
11 889
On en déduit que pour tout réel x de ;23
25-; E,
f x1 889G G^ h .
La fonction f est dérivable sur ;5 5-6 @ et
f xx
x x1
2 12 2
2=
+
- -l^^
hh
, qui s’annule en 1 2- et en
1 2+ et qui est du signe de x x2 12 - - .On a le tableau ci-dessous :
x 5- 1 2- 1 2+ 5
f xl^ h + 0 - 0 +
f x^ h 1342 2
7 2+
27 2- 13
37
On en déduit que pour tout réel x de ;5 5-6 @, f x2
7 22
7 2G G- +^ h .
La fonction f est dérivable sur ;4 4-6 @ et
f xx
x1 1
4 12 2=
+ +
- +l^
^^
^h
h h
h qui s’annule en 1- et qui est
du signe de x 1- +^ h.On a le tableau ci-dessous :
x 4- 1- 4
f xl^ h + 0 -
f x^ h 51
2
131
On en déduit que la fonction f admet sur ;4 4-6 @ un maximum égal à 2, atteint en 1- , et un minimum égal à
131 , atteint en 4.
1 La fonction f est dérivable sur ;0 3+ 6@
et f xx
x x2
35 6 92= + -l^ h , qui est du signe de
x x35 6 92 + - .
1296=D ; x 53
1 = - et x 73
2 = .
On a le tableau ci-dessous :
x 0 73 1 3+
f xl^ h - 0 +
f x^ h
0
4948 21-
00
2 On en déduit que pour tout réel x de l’intervalle ;0 16 @, f x49
48 21 0G G-^ h .
Cinématique
1 La fonction d est dérivable sur ;0 56 @ et d t t t4
329 62= - +l^ h .
,2 25=D ; t 21 = et t 42 = .On a le tableau de variations suivant :
t 0 2 4 5
d tl^ h + 0 - 0 +
d t^ h
0
5
4
5
2 Sur un axe, à l’instant t 0= le mobile est au point d’abscisse 0 et s’éloigne vers la droite jusqu’en B atteint au bout de 2 secondes et qui a pour abscisse 5. Puis il revient en arrière jusqu’au point C atteint au bout de 4 secondes et d’abscisse 4. Puis le mobile repart vers la droite jusqu’en B, au bout de 5 secondes.3 La vitesse sera maximum lorsque d t t t4
329 62= - +l^ h sera maximum.
Le sommet de la parabole (tournée vers le haut) repré-sentant dl a pour coordonnées ;3 4
3-c m.
En utilisant le tableau de signes de dl, on a :t 0 2 3 4 5
d tl^ h
6
0
43
049
La vitesse est donc maximum à l’instant t 0= .
1 La fonction d est une fonction dérivable sur ;0 3+6 6 et ,d t t b9 8=- +l^ h .
, , ,d b b1 5 0 14 7 0 14 7+ += - + = =l^ h .2 , ,d t t9 8 14 7=- +l^ h .
Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction 13
La vitesse initiale est , m/sd 0 14 7=l^ h .3 On résout d t 0=^ h , c’est-à-dire , , ,t t4 9 14 7 0- + =^ h soit t 0= s ou t 3= s.Donc la descente dure 3 s.
3 Extremum d’une fonction
1 b. 2 a., b. et c.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai.
1 f x x x x3 6 3 3 12 2= + + = +l^ ^h h et f 1 0- =l^ h .2 La fonction f n’admet pas d’extremum en 1- , car la dérivée s’annule mais ne change pas de signe en 1- .Plus précisément, la fonction f est strictement crois-sante sur R.
1 D’après la copie d’écran donnée, le minimum de f sur ;2 3-6 @ est atteint en 2- , et les maxima sont atteints en 0 et 3.2 La fonction f est dérivable sur ;2 3-6 @ et f x x x x x3 6 3 22= - = -l^ ^h h.
D’où le tableau de variations suivant :x 2- 0 2 3
f xl^ h + 0 - 0 +
f x^ h
16-
4
0
4
La fonction f admet aussi un minimum local en 2 , égal à 0.La calculatrice donne les extrema globaux sur l’inter-valle ;2 3-6 @.
1 La fonction f est dérivable sur ;0 3+ 6@ , et pour
tout réel 2x 0, f xx x
x2 1
12=
+
-l^^
hh
.
2 f xl^ h s’annule pour x 1= et est du signe de x1 - .D’où le tableau de variations :
x 0 1 3+
f xl^ h + 0 -
f x^ h
021
La fonction f étant positive, pour tout réel x de ;0 3+6 6, on a : f x0 2
1G G^ h .
En multipliant par 2x 1 0+ , on a pour tout réel x 0H :
x x0 21G G + .
3 Pour tout réel 2x 0, on a :
f xx x
xx x x
11
111
- =+
- =+
-^
^h
h
.
Donc f xx
1 0G-^ h , c’est-à-dire f xx
1G^ h .
Pour avoir f x 10 2G -^ h , il suffi t d’avoir
x1 102G ,
c’est-à-dire x 10 000H .Ainsi sur l’intervalle ;10 000 3+6 6, on a : f x 10 2G -
^ h .
1 La fonction P est dérivable sur ;4 226 @ et on a P v v v6 110 2102=- + -l^ h .
7 060=D ; ,v 655 1765 2 161 .= -
et ,v 655 1765 16 172 .= + .
v 4 v2 22
P vl^ h + 0 -
P v^ h
98
M
890
Où ,M 5472 469 1765 1765 2 715 19.= + .
2 La puissance est maximale pour une vitesse du vent égale à v2 m/s. Ce maximum est ,M 2 715 2. W.3 a. Voir ci-dessous :
x
y
50 11,5 20
500
y = 2 000
b. Les vitesses correspondant à une puissance de 2 000 W sont environ 11,5 et 20 m/s.
La fonction f est dérivable sur R et f x x x x x x x2 2 2 n1 2 f= - + - + + -l^ ^ ^ ^h h h h.
On a donc : f x nx x x x2 n1 2 f= - + + +l^ ^^h hh.On note x la moyenne arithmétique des xi et V la variance fV n x#= ^ h :
x nx x xn1 2 f
=+ + + .
Ainsi f x nx nx n x x2 2= - = -l^ ^ ^h h h.D’où le tableau de variations de f :
x 3- x 3+
f xl^ h - 0 +
f x^ h
nV
1 On a L2 2 2 400# #,
+ =r
donc L 200 2 ,= -r .
2 Le stade a pour aire :
L 2 200 2 42
2# # #, , , , ,+ = - +r r rc ^m h
200 42, ,= -
r .
14 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction
1 Le produit xy est égal à x x x x10 10 2- = -^ h qui est maximum en /x 10 2 5= = .2 Le produit xy est égal à x a x ax x2- = -^ h qui est maximum en /x a 2= .
1 a. Le fabriquant utilise toute la largeur du carton.Donc y x30 2= - et ,x0 15G G car x est maximum pour y 0= .b. Le volume V, en cm3, est y x x x30 22 2# = -^ h .Donc V x x30 22 3= - .2 La fonction f est dérivable sur ;0 156 @ et on a f x x x x x60 6 6 102= - = -l^ ^h h.
D’où le tableau de variations :x 0 10 15
f xl^ h + 0 -
f x^ h0
1 000
0
3 Le volume V est maximum pour x 10= , et donc y 10= . La boîte est alors cubique de volume 1 000 cm3.
1 On appelle H le projeté orthogonal du point N sur la droite AC^ h.D’après le théorème de Thalès,
ABNH
CBCN
= .
Donc NH y4 5= . D’où NH y
54
= .
L’aire du triangle CMN est :
CM NH2# . Donc
x y
25
42
#= . Ainsi y x
5= .
2 • On appelle K le projeté orthogonal du point N sur la droite AB^ h.On obtient de la même façon K
y5
3 5=
-^ h .
• ! I IA M A AM xx2 2
2 33# #
= =-
= -^^
hh .
• ! I INB B NKy
y2 2
2 53 5
53 5#
#= =
-
=-
^
^
^h
h
h
! INB xx5
3 5 5
3 3=
-= -^
c
h
m
.
• ! IMN =^ h ! ABC -^ h ! CMN -^ h ! IA M -^ h ! INB^ h.
Donc ! IMN x x6 2 3 3 3= - - - - -^ ^ ch h m.
Ainsi ! IMN x x2 3= - +^ h .
• On appelle f la fonction défi nie sur ;0 3@ @ par :
f x x x2 3= - +^ h .
La fonction f est dérivable sur ;0 3@ @ et ,f xx
x 32
2= -l^ h
qui s’annule en x 3= , et qui est du signe de x 3- . La fonction f admet un minimum en 3 et ce minimum est égal à 2 3 2- .• Conclusion : l’aire du triangle IMN est minimale lorsque
CM 3= et CN 35 3
= .
Problèmes
• La courbe #1 représente la fonction f qui est décroissante sur ; 13-@ @ et croissante sur ; .1 3+6 6 Donc #1 est associée à 2C , représentant une fonction négative sur ; 13-@ @ et positive sur ; .1 3+6 6• La courbe #2 est associée à 3C , car la fonction g est affi ne : sa fonction dérivée est une fonction constante.• La courbe #3 représente la fonction h qui est croissante sur ; 13-@ @ et ;4 3+6 6, et décroissante sur ;1 46 @. Donc #3 est associée à 1C .
1 La fonction f est dérivable sur R et f x x x3 2 12= - -l^ h .
16=D ; x 31
1 = - et x 12 = .
D’où le tableau de variations ci-dessous :
x 3- 31
- 1 3+
f xl^ h + 0 - 0 +
f x^ h 2732
0
2 a. f 31
2716
=c m et f 31
34
= -lc m .
Une équation de " est : y x34
2728
= - + .
b. fd x x x34
2728
= - - +^ ^ ch h m
d x x x x x1 34
27283 2= - - + + -^ ^h h
d x x x x31
2713 2= - + -^ h .
Comme x x x x31
31
2713
3 2- = - + -c m , on a :
d x x 31 3
= -^ ch m , qui est du signe de x 31
- .
D’où le tableau de signes de d x^ h :
x 3- 31 3+
d x^ h - 0 +
A
MH N
C
I B
Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction 15
1 On doit avoir f 0 4=^ h . Donc a 4= .Dans ce cas f 4 0=^ h , donc # passe par le point ;B 4 0^ h.
2 La fonction f est dérivable sur ;0 46 @ et
f x x x x x89
25
89
252=- + = - +l^ ch m, qui s’annule
en 0 et 920 .
x 0 920 4
f xl^ h 0 + 0 -
f x^ h4 243
1472
0
Le maximum de f sur ;0 46 @ est :
,2731472 6 06. .
L’espacement maximum entre le contour de l’évidement entre A et B, et l’axe des abscisses est environ 6,06.
1 a. • Pour tout réel x, 2f x x3 3 012= +l^ h , donc
la fonction f1 est strictement croissante sur R.• Les autres fonctions ont pour dérivée x 7 x3 12 -^ h.Les fonctions f2, f3 et f4 sont croissantes sur ; 13- - 6@ et sur ;1 3+ 6@ et décroissantes sur ;1 1- 6@ .b. Voir ci-dessous.
Ces courbes coupent l’axe des abscisses en un, deux ou trois points.2 a. f x x p3 2= -l^ h .b. • 1p 0 :
x 3- 3+
f xl^ h +
f x^ h
• p 0= :
x 3- 0 3+
f xl^ h + 0 +
f x^ hq
• 2p 0 :
x 3-p3-
p3 3+
f xl^ h + 0 - 0 +
f x^ hM
m
c. On a : fm p q p p3 2 3 3= = -d n
et fM p q p p3 2 3 3= - = +d n .
La courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses en trois points
m+ et M sont de signes contraires
1 1m M q p0 274 02
3+ +# - .
1 a. et b. x 0 1 3 5
f xl^ h + 0 - 0 +
f x^ h
2 a. b. c.
x
y
1
1
0
##
3 La fonction f est dérivable sur ;1 5-6 @ et f x x ax b22= + +l^ h .
On doit avoir f 1 0=l^ h , f 3 0=l^ h et f 0 1=-^ h .D’où le système :
a ba b
c
1 2 09 6 0
1
+ + =
+ + =
=-
*
Donc a 2=- , b 3= et c 1=- .
Donc pour tout réel x de ;1 5-6 @ :f x x x x3
1 2 3 13 2= - + -^ h .
4 Il y a une infi nité de fonctions qui admettent f x x x4 32= - +l^ h pour dérivée.
Il suffi t de changer la valeur du réel c.
1 Le polynôme x x2 22 - + , qui a pour discrimi-nant 4- (négatif ) , ne s’annule pas sur R.La fonction f est bien défi nie sur ;3 3- +6 6.2 Pour tout réel x 3H - ,
f xx xx x1
2 24 4 12
2- =
- +
+ - -^ h
f xx x
x x x x1
2 24 4 2 2
2
2 2- =
- +
+ - - - +^
^ ^h
h h
f xx x
xx x
x1
2 26 6
2 26 1
2 2- =- +
- =- +
-^
^h
h .
fffff
0 3
1 0
2 1
3 0
4 3
=
=
=-
=
=
l
l
l
l
l
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
16 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction
Ainsi f x 1-^ h est du signe de x 1- .• Si 1x 1, 1f x 1 0-^ h donc la courbe # est située sous la droite $.• Si x 1= , la courbe # et la droite $ se coupent en
;A 1 1^ h.• Si 2x 1, 2f x 1 0-^ h donc la courbe # est située au-dessus de la droite $.3 Pour tout réel x 3H ,
f xx x
x x x x x x2 2
2 4 2 2 2 2 2 22 2
2 2=
- +
+ - + - - - +l^
^
^ ^ ^ ^h
h
h h h h
f xx x
x x2 2
6 122 2
2=
- +
- +l^^
hh
.
x 3- 0 2 3+
f xl^ h - 0 + 0 -
f x^ h 177
-
2-
4
4
x
y
1
1
0
A##
$
1 Pour tout x élément de R\ 0" , on a :
f xx
x x x xx
x1 3 3 3 1 32
2 3
2= - + - =- + + -^ h .
2 Pour tout x élément de R\ 0" , on a :
f xx
x x2 13
2
=-+ -
l^^ ^
hh h ,
qui est du signe de x x 2- +^ h.
x 3- 2- 0 1 3+
f xl^ h - 0 + - 0 -
f x^ h
427 0
3 La droite " a pour équation
f fy x21
21
21
= - +lc c cm m m,
avec f 21 5=-lc m et f 2
121
=c m .
Donc " a pour équation : y x5 3=- + .
4 On résout sur R\ 0" , l’équation :f x x x x1 2 1 2 3+=- + - =l^ ^ ^h h h
x x x x x3 2 3 2 0 323 3+ + +- + = - = = .
Comme f 32
121
=c m et f 32 1=-lc m , la tangente paral-
lèle à la droite D passe par le point ;A 32
121
c m et a pour
équation y x 43
=- + .
5 On développe :
f x x xx
x x3 3 1 3 32- - + = - + + - - - +^ ^ d ^h h n h
x
x1 32= - .
• Si ; ;x 0 0 31,3! - 6 ;@ E , 2f x x 3 0- - +^ ^h h ,
donc la courbe # est située au-dessus de la droite $.
• Si x 31
= , la courbe # et la droite $ se coupent en
;B 31
38
c m.
• Si ;x 31 3! + ;E , 1f x x 3 0- - +^ ^h h , donc la
courbe # est située en dessous de la droite $.
1 a. La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x,
f xx
x x x1
3 1 1 1 22 2
2# #=-
+
- + - -l^
^
^ ^ ^ ^^h
h
h h h hh
f xx
x x1
3 2 12 2
2=
+
- - -l^
^
^h
h
h .
b. 8=D ; x 1 21 = - et x 1 22 = + .
x 3- 1 2- 1 2+ 3+
f xl^ h - 0 + 0 -
f x^ h
21 3 2-
21 3 2+
2 On résout :
f xx
x2 2
13 1
22+= -+
-=^
^h
h
x x1 0 1+ +- = = .Donc le point d’intersection de #f avec la droite d d’équation y 2= est le point ;A 1 2^ h.
3 On résout :
f xx
x1 2
13 1
12+=- -+
-=-^
^h
h
xx
x x1
3 13 1 12
2+ ++
-= - = +
^ h
x x x1 0 0+ ++ = =^ h ou x 1=- . Les antécédents de 1- par f sont 1- et 0.
4
x
y
1
1
0
A d#f
Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction 17
La fonction f est dérivable sur ;1 56 @, et pour tout
réel x de ;1 56 @, f x axc
2= -l^ h .
On doit avoir : f 2 0=l^ h , f 2 6=^ h et f 1 7=^ h . D’où le système :
a c
a b c
a b c
abc
4 0
2 2 6
7
124
+
- =
+ + =
+ + =
=
=
=
Z
[
\
]]]
]]
*
Donc pour tout réel x de ;1 56 @, on a .f x x x2 4= + +^ h
Donc f 5 539
=^ h .
1 On conjecture que l’aire du rectangle MNPQ est maximum pour ,x 1 4. .2 On a : QM x2= et MN x6 2= - .Donc en fonction de x, l’aire du rectangle MNPQ est égale à f x x x x x2 6 12 22 3= - = -^ ^h h .La fonction f est dérivable sur ;0 66 @, et pour tout réel x de ;0 67 A, on a : f x x12 6 2= -l^ h .Elle s’annule en 2 sur ;0 67 A.
x 0 2 6
f xl^ h + 0 -
f x^ h
0
8 2
0
L’aire est donc maximum pour x 2= et le maximum est 8 2 .
A - Un cas particulier1 Les points d’intersection de % et $ ont des abscisses qui vérifi ent l’équation x x x x6 6 02 2+= + - - = .
25=D ; x 21 =- et x 32 = .Comme 2 42- =^ h et 3 92 = , les points d’intersection de % et $ sont ;A 2 4-^ h et ;B 3 9^ h.2 a. ! AMB =^ h ! AHPB -^ h ! AHQM -^ h ! MQPB^ h.Pour tout réel x de ;2 3-6 @, on a :
• ! AHPBAH PB HP
2 24 9 2 3
=+
=+ +
^^ ^ ^
hh h h
;265
=
• ! AHQMAH QM HQ x x
2 24 22
=+
=+ +
^^ ^ ^
hh h h ;
• ! MQPBMQ PB QP x x
2 29 32
=+
=+ -
^^ ^ ^
hh h h .
Donc l’aire du triangle AMB est
! AMBx x x x
265
24 2
29 32 2
= -+ +
-+ -
^^ ^ ^ ^
hh h h h
fx x x25
25 15
2= - + + = ^ h.
b. Avec les notations habituelles, a 25
= - (négatif ) et
ab
2 21- = .
Donc l’aire du triangle AMB est maximale pour x 21
= .
B - Pour chercher1 Les points d’intersection de % et $ ont des abscisses qui vérifi ent l’équation :x mx p x mx p 02 2+= + - - = , qui admet deux solutions distinctes si, et seulement si, 2m p4 02 + :
xm m p
24
1
2=
- + et xm m p
24
2
2=
+ + .
Dans ce cas-là, les courbes % et $ se coupent en ;A x x1 1
2_ i et ;B x x2 2
2_ i.
2 a. ! AMB =^ h ! AHPB -^ h ! AHQM -^ h ! MQPB^ h.Pour tout réel x de ;x x1 26 @, on a :
• ! AHPBAH PB HP x x x x
2 212
22
2 1=
+=
+ -^
^ _ ^h
h i h ;
• ! AHQMAH QM HQ x x x x
2 212 2
1=
+=
+ -^
^ _ ^h
h i h ;
• ! MQPBMQ PB QP x x x x
2 2
222
2=
+=
+ -^
^ _ ^h
h i h.
Donc l’aire du triangle AMB est :
! AMBx x x x x x x x
2 212
22
2 1 12 2
1=
+ --
+ -^
_ ^ _ ^h
i h i h
x x x x2
222
2-
+ -_ ^i h
! fAMB x x x x x x x2 2 151 2 2 22
12
=-
+-
+ =^ ^h h.
b. Avec les notations habituelles, a x x2
1 2=- (négatif )
et ab x x
2 21 2- =+
m m p m m p m21
24
24
2
2 2=
++
+ += .
Donc l’aire du triangle AMB est maximale pour :
x x x m2 2
1 2=+
= .
1 On conjecture le tableau de variations suivant :
x 0 0,7 2 4
f x^ h
4
3,7
4
0
2 a. Dans le triangle rectangle AME, sin AME ME
AEME2
= =_ i% .
Dans le triangle rectangle MBN,sin MNB MN
MBMN
x4= = -
^ h% .
Comme MNB AME=% % , on a : ME MN
x2 4= -
donc MN x ME24
#= - .
L’aire du triangle EMN est :MN ME x ME2
121
24 2# # #= - .
Or dans le triangle rectangle AME, on a ME x 42 2= + .
Donc f xx x
44 4 2
=- +
^^ ^
hh h .
b. La fonction f est dérivable sur ;0 46 6 et pour tout
réel x de ;0 46 6, f x x x43 2 12=- + -l^ h .
18 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction
Les dimensions de la boîte de volume maximal sont au dixième près , , ,1 2 0 7 0 4# # .
1 Il semble que l’aire du trapèze OBMA soit constante et égale à 1,5.2 Soit ;x 0 3! + 6@ . Le point M a pour coordonnées
;x x1
c m. La tangente T a pour équation :
Yx
X x x xX x
1 1 1 22 2=- - + =- +^ h .
Donc le point A a pour coordonnées ; x0 2c m.
Ainsi :
! OBMAOA BM OB x x x
2 2
2 1
23#
=+
=+
=^^
c
hh
m
.
1 Une rampe rectiligne ne peut pas convenir, car elle ne peut être tangente au sol en A par exemple. Il en est de même d’une ligne brisée.2 Un arc de parabole ne peut pas convenir, car il ne peut pas avoir deux tangentes horizontales. 3 Une rampe formée d’un arc de cercle ne peut pas convenir, car il ne peut avoir deux tangentes horizontales.4 • On considère la fonction f défi nie par :
si ;
si ;f x
ax bx c x
x x x
0 1
1 2
2
2
!
!=
+ +
+ +a b c^ h
66
@@* .
Il faut que f 0 1=^ h , f 2 0=^ h , f 0 0=l^ h , f 2 0=l^ h , ce qui conduit à :
si ;
si ;f x
ax x
x x x
1 0 1
4 4 1 2
2
2
!
!=
+
- +a a a^ h
66
@@* .
On doit avoir raccordement à la fois des courbes et des
tangentes pour x 1= donc a
a1
2 2+ =
=-
a
a) .
On obtient donc : si ;
si ;f x
x x
x x x
21 1 0 1
21 2 2 1 2
2
2
!
!=
- +
- +^ h
66@
@Z
[
\
]]
]].
x
y
1
1
0
• Sur ;0 16 @, la pente est f x x x= - =l^ h , qui est maximum pour x 1= .Sur ;1 26 @, la pente est f x x x2 2= - = -l^ h , qui est maximum pour x 1= .Ainsi la pente maximum est obtenue au point d’abs-cisse 1 et cette pente vaut 1.5 • Si g x ax bx cx d3 2= + + +^ h . Alors g x ax bx c3 22= + +l^ h .On doit avoir : g 0 1=^ h , g 0 0=l^ h , g 2 0=^ h et g 2 0=l^ h .On obtient le système :
dc
a b c da b c
a
b
cd
10
8 4 2 012 4 0
41
43
01
+
=
=
+ + + =
+ + =
=
= -
=
=
Z
[
\
]]
]]
Z
[
\
]]]
]]]
Donc g x x x41
43 13 2= - +^ h .
x
y
1
1
0
• Pour x de ;0 26 @, la pente est :
g x x x43
232= -l^ h
g x x43 1 4
32= - -l^ ^h h .
On a les tableaux de variations suivants :
x 0 1 2
g xl^ h
0
43-
0
g xl^ h
043
0
Donc la pente est maximum au point d’abscisse 1 et elle est égale à 4
3 .
1 a. Pour x appartenant à ;10 1006 @,U x
x1 900
2= -l^ h
U xx
x x30 302=
- +l^
^ ^h
h h .
D’où le tableau de variations de U :
x 10 30 100
U xl^ h - 0 +
U x^ h
90
50
99
20 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction
b. Le coût unitaire est minimum pour une production de 30 objets.La production de 30 objets à 50 € chacun coûte 1 500 € et leur vente rapporte 3 000 €. Le bénéfi ce est donc de 1 500 €.c. Pour avoir un coût de production unitaire inférieur ou égal à 80 € , il faut produire environ entre 12 et 78 objets.2 a. Le coût de production de x objet est :
C x x U x x x10 9002#= = - +^ ^h h .La vente de ces x objets rapporte R x x100=^ h .Donc le bénéfi ce est :
B x R x C x x x110 9002= - =- + -^ ^ ^h h h .b. La fonction B est dérivable sur ;10 1006 @ et pour tout réel x de ;10 1006 @, B x x2 110=- +l^ h .D’où le tableau de variations :
x 10 55 100
B xl^ h + 0 -
B x^ h 100
2 125
100
Le bénéfi ce maximal est de 2 125 €, atteint pour une production et une vente de 55 objets.Le coût unitaire n’est pas, dans ce cas-là, minimal.
Partie A 1 p 3 5
3=^ h . La probabilité qu’une personne prise au
hasard ignore le nom du produit après trois semaines de publicité est : 1 5
352
- = .
2 p x xx x2
14 3
321
23+ +=
+= =^ h .
Au bout d’une semaine et demie, la moitié de la popula-tion connaît le nom de l’entreprise. 3 • « Avant le lancement de l’opération, personne ne connaît le nom du produit. » : vrai, car p 0 0=^ h .• « Au bout de 12 semaines de publicité, tout le monde connaît le nom du produit. » : faux, car
,p 12 1712 0 71.=^ h .
Partie B1 La fonction f est dérivable sur ;0 186 @ et pour tout
réel x de ;0 186 @, 2f xx4 3
9 02=+
l^^
hh
.
Donc la fonction f est strictement croissante sur ;0 186 @.2 a. On a ,f 3 0 6=^ h et ,f 3 0 04=l^ h . Donc la droite $ a pour équation :
, , , ,y x x0 04 3 0 6 0 04 0 48= - + = +^ h .b.
x
y
1 3 5
0,1
0,6
y = 0,72
0
y = 0,66
Partie C 1 Voir ci-dessus.2 • La durée nécessaire pour que la probabilité exprimée en A. passe de 0,6 à 0,66 est de 2,5 semaines environ.• La durée nécessaire pour que la probabilité exprimée en A. passe de 0,66 à 0,72 est de 12,5 semaines environ.3 Oui, car le gain en probabilité de connaissance est infi me au bout de 5,5 semaines.
On appelle f la fonction x 7 x4 2- .La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x, f x x2=-l^ h .Pour tout réel t de ;0 2@ @, le point M a pour coordonnées
; .t t4 2-^ h
La tangente en M à # a pour équa-tion : ,y t x t t2 4 2#=- - + -^ h soit y t x t2 4 2#=- + + .Donc les points P et Q ont pour coordonnées respectives
;tt
24 0
2 +d n et ; t0 42 +^ h.
L’aire du triangle OPQ est :
g t OP OQt
t2 4
42 2#= =
+^
^h
h .
La fonction g est dérivable sur ;0 2@ @ et pour tout réel t
de ;0 2@ @, g tt
t t4
4 3 42
2 2=
+ -l^
^ ^h
h h .
D’où le tableau de variations :
t 0 32 3 2
g tl^ h - 0 +
g t^ h 932 3
8
Donc l’aire du triangle OPQ est minimum pour ,t 32 3
=
et son minimum est 932 3 .
A. Une première modélisation1 a. ◗ Les positions limites du compas sont :• les branches sont collées et dans ce cas C est en B ;• les branches sont alignées et C est en Bl.
x
y
1
1
0
Q
O
M
P
Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction 21
◗ Le point A appartient à la médiatrice du segment BC6 @, car le triangle ABC est isocèle en A.◗ Le point A appartient aussi au cercle de centre B et de rayon 10 car AB 10= .b. D’après le dessin ci-dessous, l’aire est maximum pour
,BC 14 14. et dans ce cas l’aire maximum est 50.
2 a. Soit H le milieu du segment BC6 @. On a :AH AC HC2 2= - ;
donc AH x x100 4 21 400
22= - = - .
L’aire du triangle ABC est BC AH2# .
Donc pout tout réel x de ;0 206 @, l’aire du triangle ABC
est f x x x4 400 2= -^ h .
b. On remarque que pour tout réel x de ;0 206 @, f x x x4
1 4002 2#= -^ ^h h .
Les fonctions f et g : x 7 x x4002 2-^ h ont les mêmes variations sur ;0 206 @.Or g est dérivable sur ;0 206 @ et pour tout réel x de
;0 206 @, on a : g x x x4 200 2= -l^ ^h h.D’où les tableaux de variations de g et de f sur ;0 206 @ :
x 0 200 20
g xl^ h 0 + 0 -
g x^ h
0
40 000
0
f x^ h
0
50
0
Le maximum de f sur ;0 206 @ est donc 50, obtenu pour ,x 200 14 14.= .
B. Une question de « point de vue »On a : ! ABC AB CH
2#=^ h .
La longueur AB étant fi xe, l’aire du triangle ABC est maximum lorsque la longueur CH est maximum, c’est-à-dire lorsque le triangle ABC est rectangle en A. Dans ce cas :BC 10 2 200= = et ! ABC 2
10 10 50#= =^ h .
Revoir les outils de base
Les fonctions dérivées sont :
a. x 7 x3
4- en posant u : x 7 x3 et en appliquant la
formule u1
c ml
uu
2=-l .
b. x 7 xx2
3 1+ en posant : x 7 x 1+ , v : x 7 x
et en appliquant la formule uv^ hl u v uv= +l l.
c. x 7 x xx x
12 2
2 2
2
+ +
- + +
^ h
en posant u : x 7 x 1- ,
v : x 7 x x 12 + + et en appliquant la formule
vu
d nl
vu v uv
2= -l l .
a. A s’annule en 31 et 2.
On a le tableau de signes suivant :
x 3- 31 2 3+
x1 3- + 0 - -
x 2- - - 0 +
x x1 3 2- -^ ^h h - 0 + 0 -
b. On a B x x x x2 5 32= - +^ ^h h donc comme
x x2 5 32 - + s’annule en 1 et 23 , on a le tableau de
signes suivant :
x 3- 0 1 23
3+
x - 0 + + +
x x2 5 32 - + + + 0 - 0 +
B x^ h - 0 + 0 - 0 0 +
Les savoir-faire du chapitre
Sur ;0 3+6 6, u : x 7 x2 3- est une fonction affi ne de coeffi cient directeur positif, donc elle est crois-sante sur R ; v : x 7 x est croissante sur ;0 3+6 6. Comme f u v= + , f est croissante sur ;0 3+6 6.
1 x x 12 + + a un discriminant négatif, donc il ne s’annule pas. La fonction f est défi nie sur R.2 Pour tout réel x, f x
x xx
12 1
2 2=+ +
- -l^^
hh
qui est du
signe de x2 1- - ; d’où le tableau de variations :
x 3- 21
- 3+
f xl^ h + 0 -
f x^ h 34
22 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction
La fonction f est décroissante sur ; 23- 6@ et sur ;2 3+ 6@ .
La fonction f est déri-vable sur R et .f x x4 83= -l^ h La représentation graphique ci-contre montre qu’elle s’annule une fois en ,a 2 1 263 .= et donne le signe de f xl^ h.
x 3- a 3+
f xl^ h + 0 -
f x^ hm
La fonction f présente un mini-mum égal à :
,m a a8 7 564 += - - .
1 On a d t t2 8=- +l^ h . Donc, d est maximum pour t 4= et ce maximum est 16.Le point le plus éloigné est obtenu au bout de 4 secondes. La vitesse instantanée est nulle en ce point, puis elle change de signe. Le mobile revient donc vers A. 2 Il sera de nouveau en A au bout de 8 secondes, car dans ce cas d 8 0=^ h .
1
At = 0
t = 8 d’(4)= 8
t = 4
16
1 Pour tout réel x, f xx
x x1
2 12 2
2=
+
- -l^^
hh
qui est
du signe de x x2 12 - - . Ce trinôme a pour racines :
1 2- et 1 2+ . On en déduit le tableau de varia-tions ci-dessous, puis que pour tout x appartenant à
;10 10-6 @, on a :
f x27 2
27 2G G- +
^ h .
x 10- 1 2- 1 2+ 10
f xl^ h + 0 - 0 +
f x^ h
101314
27 2+
27 2-
101294
En lien avec les sciences
Pour x positif, f xx x
3203 168 1764
=- +
l^^
hh ,
soit f xx x
3203 42 14
=- -
l^^ ^
hh h qui est du signe de
x x42 14- -^ ^h h ; d’où le tableau ci-dessous.Au bout de 14 minutes, la quantité de substances actives est maximum et est de 34,3 milligrammes par litre.
x 0 14 42
f xl^ h + 0 - 0
f x^ h
0
34,3
0
1 On a :h
ha b
a b2 2 012
6 2 0184 2 2 000 2 01236 6 2 000 2 018
+=
=
+ + =
+ + =
^
^
h
h* )
a ba b
a
b
2 66 3
43
215+ +
+ =
+ =
=-
=
Z
[
\
]]
]]) ;
donc h t t t43
215 2 0002=- + +^ h .
2 a. , ,f x x1 5 7 5=- +l^ h qui s’annule pour x 5= ; d’où le tableau de variations :
x 0 5 8
f xl^ h + 0 -
f x^ h
2 000
2 018,75
2 012
b. La hauteur maximum de l’avion est de 2 018,75 m atteinte au bout de 5 secondes. En fi n de phase, il est à 2 012 m d’altitude.
1 On a PR r
RE2
2=
+^ h
.
2 f RR r
E r R4
2 2 2=
+
-l^
^
^h
h
h qui s’annule pour R r= . On a
le tableau ci-dessous :
R 0 r 100
f Rl^ h + 0 -
f R^ h
0r
E4
2
3 La puissance est maximum pour R r= .
x
y
1
1
0
Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction 23
1 x x 12 + + a un discriminant négatif, donc il ne s’annule pas sur R.2 La droite D coupe la courbe # en des points dont les abscisses sont solutions de l’équation f x x 1= -^ h , qui
équivaut à x3 1 0- = ; soit x 31
= . Le point d’intersec-
tion est ;A 31
32
-c m.
3 On a f xx x
x x x1
2 6 32 2
4 3 2=
+ +
+ + -l^^
hh
. À l’aide d’un
logiciel de calcul formel, les solutions
approchées de f x 0=l^ h sont : 0,63 et - 0,77. Le numérateur est du signe de l’expression x x x2 6 34 3 2+ + - que l’on a représentée ci-contre ; d’où le tableau de variations ci-dessous.
x 3- - 0,77 0,63 10
f xl^ h + 0 - 0 +
f x^ h
2,25
- 0,8
Le volume du fl acon est V x h31
22
= ;
donc on a hx
3 0002= .
La surface peinte a une aire :
S x xh xh xx2 2 2 2
3 0002 2= + + = + .
Il faut étudier les variations de la fonction f défi nie sur
;0 3+ 6@ telle que f x xx2
3 0002= +^ h .
Elle a pour dérivée f xx
x 3 0002
3= -l^ h qui s’annule
en ,a 3 000 14 43 .= . Si 2x a , alors 2x 3 0003 et
2f x 0l^ h . On a donc le tableau de variations :
x 0 a 10
f xl^ h - 0 +
f x^ h
mOn trouve m 312. cm2.
x
y
1
1
0
C H A P I T R E
Suites numériques
Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques 1
Contenus Capacités attendues CommentairesSuitesModes de génération d’une suite numérique.
◗ Modéliser et étudier une situation à l’aide de suites.� Mettre en œuvre des algorithmes permet-tant :– d’obtenir une liste de termes d’une suite ;– de calculer un terme de rang donné.
Il est important de varier les approches et les outils.L’utilisation du tableur et la mise en œuvre d’algorithmes sont l’occasion d’étudier en particulier des suites générées par une rela-tion de récurrence.
Sens de variation d’une suite numérique. ◗ Exploiter une représentation graphique des termes d’une suite.
On peut utiliser un algorithme ou un tableur pour traiter des problèmes de comparaison d’évolutions et de seuils.Par exemple, dans le cas d’une suite crois-sante non majorée, on peut déterminer un rang à partir duquel tout terme de la suite est supérieur à un nombre donné.Le tableur, les logiciels de géométrie dyna-mique et de calcul sont des outils adaptés à l’étude des suites, en particulier pour l’approche expérimentale de la notion de limite.On ne donne pas de défi nition formelle de la limite.
Approche de la notion de limite d’une suite à partir d’exemples.
◗ Exploiter le sens de variation pour l’obten-tion d’inégalités.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole �.
2. Intentions des auteursDans ce chapitre, on introduit une nouvelle notion : la notion de suite numérique.On travaille tout d’abord sur les deux principales façons de générer une suite : par une formule explicite et par une formule de récurrence, en diversifi ant les cadres (numérique, graphique, algorithmique). Puis on met en place la notion de sens de variation d’une suite, toujours en variant les approches. Un travail a été mené particulièrement sur les théorèmes utilisés et leurs réciproques (généralement fausses). Enfi n, on approche la notion de limite à partir d’exem-ples, toujours en variant les cadres de travail.Conformément au programme, le travail s’inscrit dans le domaine de la résolution de problèmes relevant de la modélisation de phénomènes discrets. Les situations proposées répondent à des problématiques clairement identifi ées d’origine purement mathématique ou en lien avec d’autres disciplines ou encore liées à la vie courante.
L’utilisation de logiciels (calculatrices, logiciels de programmation, tableur, logiciels de géométrie dyna-mique) donne du sens à ces notions tout en continuant l’apprentissage de l’algorithmique.De nombreux QCM et Vrai ou faux ? permettent de conforter les apprentissages des notions du cours tout en travaillant la logique par l’intermédiaire de contre-exemples.Des démonstrations de théorèmes non données dans le cours se retrouvent aux exercices 58 et 67.
2 Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques
ActivitéActivité 1 Liste de nombres et notation indicielleObjectif◗ Introduire la notion de suite et la notation indicielle.◗ Introduire le vocabulaire lié aux suites : rang, indice, terme général, terme précédent, terme suivant.◗ Introduire les deux principales façons de générer une suite : par une formule explicite ou par une formule de récurrence.
1 a. x 1 2 3 4 5 6
t x^ h - 32 - 30 - 24 - 14 0 18
b. Le terme de rang 8 est t 8 66=^ h .Le terme de rang 20 est t 20 690=^ h .c. La fonction t est dérivable sur R, et pour tout réel x, t x x4 4= -l^ h , qui s’annule en 1.D’où le tableau :
x 3- 1 3+
t xl^ h - 0 +
t x^ h
- 32
Pour tout entier n non nul, n 1H .Comme la fonction t est croissante sur ;1 3+6 6, on a alors : t n t n 1G +^ ^h h, c’est-à-dire t tn n 1G + .2 a. Le terme de rang 8 vaut 17 ; le terme de rang 10 vaut 21.b. Deux termes consécutifs sont distants de 2. Plus préci-sément, pour tout entier n, u u 2n n1 = ++ .c. Le terme de rang 15 est obtenu à partir du terme de rang 0 en ajoutant 15 2# . Donc le terme de rang 15 est 31.Le terme de rang 50 est obtenu à partir du terme de rang 0 en ajoutant 50 2# . Donc le terme de rang 50 est 101.Pour tout entier n, u u n n2 1 2n 0 #= + = + .On a bien :
u 1 2 8 178 #= + = et u 1 2 10 2110 #= + = .3 a. Le terme de rang 10 est 23 ; le terme de rang 15 est 29 ; le terme de rang 50 est 103 ; le terme de rang 100 est 203.b. Pour tout entier n, v v 4n n2 = ++ .
c. Pour tout entier n, u n2 et u n2 1+ sont échangés, c’est-à-dire que v un n2 2 1= + et v un n2 1 2=+ .D’où l’algorithme donné.On en déduit que pour tout entier n :– si n est pair, v u n n1 2 1 3 2n n 1= = + + = ++ ^ h ;– si n est impair, v u n n1 2 1 1 2n n 1= = + - =- +- ^ h .On obtient bien : v 3 2 10 2310 #= + = ;v 1 2 15 2915 #=- + = ;v 3 2 50 10350 #= + = ;v 3 2 100 203100 #= + = .
ActivitéActivité 2 Utiliser une suite pour modéliser une situationObjectifs◗ Introduire une suite pour résoudre un problème géomé-trique.◗ Travailler sur une formule de récurrence.◗ Introduire un algorithme pour résoudre un problème.1 u 11 = ; u 32 = ; u 63 = ; u 104 = .2 Pour tout entier n, l’ajout d’un point An 2+ sur le cercle rajoute les n 1+ segments le reliant aux n 1+ points précédents ( A1 à An 1+ ).Donc u u n 1n n1 = + ++ .3 On propose :
ALGO
Variables : n , i , u : entiers ;Début Entrer (n) ; u 1! ; Pour i allant de 2 à n faire iu u! + ; FinPour ; Affi cher(u) ;Fin.
ActivitéActivité 3 Comportement à l’infini d’une suiteObjectifs◗ Approcher la notion de limite par une étude numérique.◗ Découvrir le vocabulaire lié à la notion de limite.◗ Utiliser la calculatrice pour conjecturer des limites.1 Pour tout entier n 1H , fu nn = ^ h où f est la fonction inverse.Comme la fonction f est décroissante sur ;1 3+6 6, u un n1 G+ .Donc la suite u est décroissante.Pour tout entier n 1H , v g nn = ^ h où g est la fonction carré.Comme la fonction g est croissante sur ;1 3+6 6, v vn n1 H+ .Donc la suite v est croissante.2 ,u 0 01100 = ; ,u 0 0011000 = ; ,u 0 000 001106 = ; u 1012
12= - .
Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques 3
Le terme un se rapproche de 0 lorsque n devient « grand ».v 10 000100 = ; v 101000
6= ; v 101012
6 = ; v 101024
12 = .Le terme vn devient très « grand » lorsque n devient « grand ».3 a. On résout :
u n n0 10 1 10 10n3 3 3+ +G G G H- - .
Tout entier p supérieur à 1 000 convient.b. On résout :
u n n0 10 1 10 10n6 6 6+ +G G G H- - .
Tout entier q supérieur à 106 convient.c. Pour tout réel 2e 0, u e n e0 1
n +G G H .
On peut donc raisonner de la même façon avec 2e 0. En conclusion, pour tout réel e strictement positif, l’in-tervalle ; e0 6@ contient tous les termes de la suite u à
partir du rang E e1 1+c m .
4 a. On résout :v n n10 10 100n
4 2 4+ +H H H .Tout entier pl supérieur à 100 convient.b. On résout :
v n n10 10 10n10 2 10 5+ +H H H .
Tout entier ql supérieur à 105 convient.c. Pour tout réel positif M, v M n Mn +H H ;pour tout réel négatif M, v M n 1n +H H .Donc on peut raisonner de la même façon.5 a. On conjecture que la limite de la suite u est 2
1 .b. On conjecture que la limite de la suite v est 3- .c. On conjecture que la limite de la suite w est 2- .d. On conjecture que la limite de la suite t est 0.
Exercices d’applicationExercices d’application
Travailler sur des indices
1 u 20 =- ; u 01 = ; u 42 = .2 Pour tout entier n :◗ u n n1 1 2n 1
2= + + + -+ ^ ^h h
u n n n n n2 1 1 2 3n 12 2= + + + + - = ++ ;
◗ u n n1 1 2n 12= - + - -- ^ ^h h
u n n n n n2 1 1 2 2n 12 2= - + + - - = - -- ;
◗ u n n n n2 2 2 4 2 2n22 2= + - = + -^ h ;
◗ u n n3 1 3 1 2n3 12= - + - -- ^ ^h h
u n n n n n9 6 1 3 1 2 9 3 2n3 12 2= - + + - - = - -- ;
◗ u u n n n n n3 2 2 2n n12 2- = + - + - = ++ ^ ^h h .
1 v 21
0 = ; v 52
1 = ; v 21
2 = .
2 Pour tout entier n :v
n n3 1 22
3 52
nn n
11 1
=+ +
=++
+ +
^ h ;
vn n3 2 2
23 8
2n
n n2
2 2=
+ +=
++
+ +
^ h.
Alors vn12
3 8n n2 2= +
++
et v vn n1
41
23 5
4 23 2
n n n n1 1 #- = + - +
++
v vn n1
41
26 10
23 2
n n n n1 2 2- = + - +
++ +
v vn1
41
23 8
n n n1 2- = +
++
.
Donc pour tout entier n, v v v1 1
41
n n n2 1= -
+ +
.
w 30 = ; ,w 1 51 = ; ,w 1 52 = ; ,w 2 33 . .
Calculer des termes d’une suite
1 u 00 = ; u 01 = ; u 22 = ; u 63 = ; u 124 = .v 20 = ; v 41 = ; v 112 = ; v 283 = ; v 654 = .2 Pour tout entier n, u u n n n n1 1n n1 - = + - -+ ^ ^h h
u u n n n n n2n n12 2- = + - + =+ .
3 Pour tout entier n, v v n2 3 1n n 1= + -- ^ h.
t 50 =- ; t 11 = ; ,t 2 62 . ; t 33 . .
Étudier les variations d’une suite
1 u 10 = ; u 21 = ; ,u 3 52 . ; u 43 = ; ,u 4 54 . ; u 55 = ; u 66 = .2 Les premiers termes de la suite paraissent augmenter : la suite u paraît croissante.
a. Pour tout entier n,u u n n n n1 1n n1
2 2- = + - + - -+ ^ ^^ ^h hh h
u u n2 0n n1 H- =+ .Donc la suite u est croissante.b. v 10 = ; v 41 = ; v 12 = . Donc la suite v n’est pas mono-tone.
a. Pour tout entier n, 2u u n 11 0n n1 - =++ .
Donc la suite u est croissante.b. Pour tout entier n,
v v23
23
23
22 3
n n n
n
n
n
n
n
n
n1 2
1
1 2
1
2#- = - = -+ +
+
+ +
+
+
2v v2
3 3 22
3 0n n n
n
n
n1 2 2
#- =
-=+ + +
^ h .
Donc la suite v est croissante.
Déterminer la limite éventuelle d’une suite numérique
La suite u paraît converger vers 0.La suite v paraît converger vers 2.
4 Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques
1 La suite v semble converger vers 3.2 Pour tout entier n, v n
n3 13 2 3n - =
++ -
v nn
nn
n3 13 2
13 3
11
n - =++ -
++ =
+- .
a. On résout :, ,v n3 0 01 1
1 0 01n +G G-+
n n1 100 99+ +H H+ .On résout :
v n3 10 11 10n
6 6+G G-+
- -
n n1 10 99 9996+ +H H+ .b. Pour n’importe quel écart 2e 0,
v e n e n e3 11 1 1n + +G G H-+
- .
Donc vn peut être aussi proche de 3 qu’on le souhaite à partir d’un certain rang.Donc la suite v converge vers 3 .
Étude d’une suite définie par une sommeÉtape 2tape 2
1 u 21
1 = .Pour tout entier n 2H ,u
n n nn
n n11 1
11
n 1 ++
= - ++
-^ ^h h
n n
n nn n
n1
1 1 11
1 12=
+
- + +=
+- +
^
^ ^
^h
h h
h
n n
n u1 n
2=
+=
^ h.
Donc les suites S et u ont le même terme initial et véri-fi ent la même relation de récurrence.Donc les suites S et u sont égales.2 Pour tout entier n 1H , on a :
S nn
n n
n
n1 1 1 1 1
1n =
+=
+=
+c m
.
Lorsque n devient « grand », n1 devient proche de 0, et
Sn devient proche de 1 01 1+
= .
Donc la limite de la suite S est 1.
Un phénomène périodiqueA – Approche numérique, puis graphique1 On obtient le tableau ci- contre.On conjecture que un vaut alter-nativement 3 et - 0,5.
2 a. et b. On obtient :
x
y
1
10
!f !
La conjecture de la question 1 est confi rmée.B – Démonstration1 Pour tout entier n,
u uu
uuuu
uu u
uu u
11
1 11
1 11
11 1
11 1
nn
n
n
n
n
n
n
n n
n
n n
21
1=+
-=
++-
-+-
=
++ + -
++ - +
++
+
u u u22
nn
n2 = =+ .
On en déduit que les termes d’indice pair sont égaux (et donc égaux à u0), et que les termes d’indice impair sont égaux (et donc égaux à u1).
Comme u 30 = et u 1 31 3
21
1 = +- = - , on a : pour tout
entier n, si n est pair, alors u 3n = , sinon u 21
n = - .
2 On a démontré la conjecture émise à la partie A.
Une suite alternée1 Il semble que la suite v converge vers 0.2 a. Pour tout entier n 1H ,
v n n n1 1 1
n
n n
=-
=-
=^ ^h h
.
b. On résout , ,v n n0 01 1 0 01 100n + +G G H .
Donc la distance entre vn et 0 est inférieure à 0,01 à partir du rang 100.On résout v n n10 1 10 10n
6 6 6+ +G G H- - .
Donc la distance entre vn et 0 est inférieure à 10 6- à partir du rang 106.On résout v n n10 1 10 10n
12 12 12+ +G G H- - .
Donc la distance entre vn et 0 est inférieure à 10 12- à partir du rang 1012.3 La suite v converge vers 0, car le terme vn peut être aussi proche de 0 qu’on le souhaite à partir d’un certain rang.
Sommes d’inverses1 u 1
1 11 = = ;
u 11
21
23
2 = + = ;
u 11
21
31
611
3 = + + = ;
u 11
21
31
41
1225
4 = + + + = .
Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques 5
Comme pour tout entier n 1H , 2 ,u u n 11 0n n1 - =++
la suite u est croissante.2 L’algorithme donné permet de calculer un pour tout entier n entré.3 Par la calculatrice, on obtient :
,u 4 550 . et ,u 5 2100 . .4 a. On propose :
ALGO
Variables : M , u : réels ; n : entier ;Début Entrer(M) ; n 1! ; u 1! ; Tant Que 1u M faire n n 1! + ; u u n
1! + ;
FinTantQue ; Affi cher (n) ;Fin.
b. i) Le terme un est supérieur à 10 à partir du rang 12 367.ii) Le terme un est supérieur à 12 à partir du rang 91 380.
1 c. 2 b. 3 b. 4 b. 5 c. 6 a.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux. 5 Faux.
Applications directes
1 Définir une suite numérique
1 Vrai, car u 3 2 2 1022#= - = .
2 Faux, car u 3 10 2 298102#= - = .
3 Faux, car u 3 5 2 7352#= - = .
4 Faux, car une suite est défi nie sur N et N32 !Y .
5 Faux, car :u n n n3 1 2 3 2 1 2n 1
2 2= + - = + + -+ ^ ^h h
u n n3 6 1n 12= + ++ .
6 Vrai, car :u n n n6 3 3 2 6 3n
2+ + = - + +
n n u3 6 1 n2
1= + + = + .
a. Faux, car u est défi nie sur N\ 1" ,. b. Vrai.c. Faux, car ,u 5 1
1 0 255 = -= .
d. Faux, car uu
nn
n1 1 1
n
n 1 = - = -+ .
1 Vrai.2 Faux, car v v2 1 2 2 1 31 0 #= - = - =
et v v2 1 2 3 1 52 1 #= - = - = .3 Vrai, car v v2 1 93 2= - = et v v2 1 174 3= - = .4 Vrai.5 Vrai, car v 20 = , donc v 10 H . Alors v v2 11 0= - , soit v 2 1 11 #H - , ou encore v 11 H . Et ainsi de suite, de proche en proche, pour tout entier n, v 1n H : les termes de la suite v sont positifs.
1 Faux, car w w w w0 11 11 0 1 0 0= = ++
= ++ .2 Vrai.3 Vrai, car w w 1
1 21 0= + = ; w w 21
25
2 1= + = ;
w w 31
617
3 2= + = .
4 Vrai, car ,w w 41
1237 3 084 3 .= + = .
5 Vrai.
La suite u correspond au graphique o.La suite v correspond au graphique q.La suite w correspond au graphique n.La suite t correspond au graphique p.
Suites définies par une formule explicite
1 Vrai, car pour tout entier n, n2 1 0!- .2 Faux, car ;n n n1 5 0 1 5+H !- -^ ^h h 6 @.3 Vrai.
1 u 00 = ; u 21
1 = ; u 52
2 = ; u 103
3 = .
2 u 410 = ; u 411 = ; u 432 = ; u 473 = .
1 u 23
0 =- ; u 31
1 =- ; u 41
2 = ; u 53
3 = .
2 u 10 = ; u 21
1 =- ; u 31
2 = ; u 41
3 =- .
1 u 10 = ; u 01 = ; u 12 =- ; u 03 = .
2 u 00 = ; u 31
1 = ; u 53
2 = ; u 97
3 = .
a.
b.
6 Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques
1 a. u 10 = ; u 41 = ; u 32 = ; u 23 = ; ,u 1 54 . .b. Les termes semblent diminuer à partir du rang 1.2 a. u 10 =- ; u 21 =- ; u 12 = ; u 03 = ; u 34 = .b. Les termes semblent alternativement augmenter et diminuer.
1 u 10 = ; u 21 =- ; u 32 =- .2 Pour tout entier n, u n n4 1n
2= - + .3 a.
b. Les termes de la suite u semblent augmenter à partir du rang 2.
Suites définies par une formule de récurrence
1 c. 2 a. et c.
1 a. u 40 = ; u 51 = ; u 72 = ; u 113 = .b. u u2 34 3= - ; u u2 3n n 1= -- .2 a. u 21 =- ; u 12 =- ; u 13 = ; u 44 = .b. u u 34 3= + ; u u n 1n n 1= + -- .
1 a. u 20 = ; u 31 = ; u 82 = ; u 633 = .b. u u 14 3
2= - ; u u 1n n 1
2= -- .
2 a. u 30 = ; u 31
1 = ; u 52 = ; u 521
3 = .
b. u u u1 2 3 1 643 3
#= + = + ;
u u n1 2 1nn 1
= + --
^ h.
1 a. u 20 = ; u 34
1 = ; u 78
2 = ; u 1516
3 = .
b. u uu
12
43
3=+
; u uu
12
nn
n1 = ++ .
2 a. u 20 = ; u 31 =- ; u 27
2 = ; u 623
3 =- .
b. u u u41
41
4 3
4
3=- +-
=- +^ h ;
u u n 11
n n
n
1
1
=- ++
-+
+^ h .
1 a. f x x41 3= +^ h .
b. u 20 =- ; u 25
1 = ; u 829
2 = ; u 32125
3 = .
2 a. f x x x 12= - +^ h .b. u 30 = ; u 71 = ; u 432 = ; u 18073 = .
1
u 20 = ; u 71 = ; u 172 = ; u 373 = .2 u 30 =- ; u 31 =- ; u 32 =- ; u 33 =- .3 u 20 =- ; u 11 =- ; u 12 = ; u 53 = .4 u 50 =- ; u 71 =- ; u 112 =- ; u 193 =- .Le comportement de la suite est lié au terme initial. Il est donc important de le préciser lorsqu’on défi nit une suite par récurrence.
1 a. u 10 = ; u 21 = ; ,u 2 52 = .
b. u u n1
n n 1= +- ; u u n 11
n n1 = +++ .
c.
2 a.
b.
1 a. u 20 =- ; ,u 0 11 . ; ,u 2 62 . ; ,u 4 53 . .b. Pour tout entier n, ,u u0 1 5 5n n1
1 a. Les algorithmes corrects sont les algorithmes A et B.b. Algo A modifi é :
ALGO
Variables : n, i : entiers ; u : réel ;Début Entrer (n) ; u 100! ; Affi cher (u) ; Pour i allant de 1 à n faire ,u u0 5 5! #- + ; Affi cher (u) ; FinPour ;Fin.
Algo B modifi é : ALGO
Variables : n, i : entiers ; u : réel ;Début Entrer (n) ; u 100! ; Affi cher (u) ; i 0! ; TantQue 1i n faire i i 1! + ; ,u u0 5 5! #- + ; Affi cher (u) ; FinTantQue ;Fin.
2 a. On choisit pour sa facilité de compréhension de transformer l’algorithme A ; on obtient l'algorithme ci-après.Après avoir programmé la calculatrice, on obtient : u 350 . .
ALGO
Variables : n, i : entiers ; u : réel ;Début Entrer (n) ; u 10! ; Pour i allant de 1 à n faire u u2 3! # + ; FinPour ;Fin.
b. On choisit pour sa facilité de compréhension de trans-former l’algorithme A :
ALGO
Variables : n, i : entiers ; u : réel ;Début Entrer (n) ; u 3! - ; Pour i allant de 1 à n faire u u
1 2! - ; FinPour ;Fin.
Après avoir programmé la calculatrice, on obtient : ,u 2 41450 . - .
Travailler sur les indices
1 Pour tout entier n :◗ u n n2 1 1 2n 1
2= + - + -+ ^ ^h h
u n n n n n2 2 1 1 2 2 3 1n 12 2= + + - - - = + -+ ^ h ;
◗ u n n2 1 1 2n 12= - - - -- ^ ^h h
u n n n n n2 2 1 1 2 2 5 1n 12 2= - + - + - = - +- ^ h ;
◗ u n n n n1 2 2 1 2 1n2 2+ = - - + = - -^ h ;
◗ u n n n n2 2 2 2 8 2 2n22 2= - - = - -^ ^h h ;
◗ u n n2 3 1 3 1 2n3 12= - - - -- ^ ^h h
u n n n2 9 6 1 3 1 2n3 12= - + - + -- ^ h
u n n18 15 1n3 12= - +- .
2 Pour tout entier n,.u u n n n n n2 3 1 2 2 4 1n n1
2 2- = + - - - - = ++ ^ ^h h
3 u u n n n n1 2 3 1 2 1n n12 2+= + + - = - -+
n n4 0 0+ += = .Donc la proposition A est fausse et la proposition B est vraie.
1 v 41 =- ; v 27
2 = et v 41
3 =- .
2 Pour tout entier n 1H ,v 1 1
25 1
25
nn
n n22
2 1 2 1#= + - = +- -
^ h .
v 1 12
5 125
nn
n n2 12 1
2 1 1 2#= + - = -++
+ -^ h .
8 Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques
1 w 10 = ; w w2 3 0 21 0 #= - = ;w w2 3 1 12 1 #= - = et w w2 3 2 43 2 #= - =- .2 Pour tout entier n 1H ,w w n w n2 3 1 2 3 3n n n1 1= - - = - +- -^ h .
Modéliser à l’aide d’une suite
a. Pour tout entier n, u n2 1n2= +^ h .
b. Pour tout entier n, un2 1
1n =
+^ h.
c. Pour tout entier n, u n3 1n = +^ h.d. Pour tout entier n, u 2n
n= .
On a la fi gure suivante :
A2A0 A4 A5 A3 A1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10
On a : x 00 = et x 11 = .Pour tout n 1H , le point An 1+ est le milieu du segment
A An n1-6 @. Donc x x x2n
n n1
1=+
+- .
1 Pour tout entier n, on note pn la population de la ville au bout de n années de diminution.La suite p est défi nie par : p 10 0000 = et la relation de récurrence :
,p p p p1003 0 97n n n n1 = - =+ .
On a : p 9 7001 = ; p 9 4092 = et p 9 1273 . .2 Pour tout entier n, on note an le nombre d’abonnés à la revue l’année n (on commence à n 0= , et donc a0 désigne le nombre d’abonnés pour l’année 0, soit la 1re année).La suite a est défi nie par : a 5 0000 = et la relation de
récurrence : a a10095 500n n1 = ++ .
On a : a 5 2501 = ; a 5 4882 . et a 5 7133 . .3 Pour tout entier n, on note un le terme de rang n.La suite u est défi nie par u 20 = et la relation de récur-rence u u 3n n1
2= -+ .
On a : u 11 = ; u 22 =- et u 13 = .4 Pour tout entier n, on note Cn le capital obtenu après
n années de placement.La suite C est défi nie par : C 12 0000 = et la relation de récurrence :
,C C C C1002 400 1 02 400n n n n1 = + - = -+ .
On a : C 118401 = ; ,C 11676 802 = et ,C 11510 3363 = .
1 F 10 = ; F 11 = ; F F F 22 0 1= + = ; F 1 2 33 = + = ; F 2 3 54 = + = ; F 3 5 85 = + = ; F 5 8 136 = + = .
2 FF 10
1 = ; FF 2
1
2 = ; ,FF
23 1 5
2
3 = = ; ,FF
35 1 67
3
4 .= ;
,FF
58 1 6
4
5 = = et ,FF
813 1 625
5
6 = = .
Égalité de deux suites
Les termes initiaux sont : u 20 = et v 2 1 200= + = .
Pour tout entier n,v 2 1 2 2 1n
n n1
1 #= + = +++
v v v2 1 1 2 1n n n1 = - + = ++ ^ h .Donc les suites u et v ont même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence.Donc les suites u et v sont égales.
1 u 00 = ; u 11 = ; u 42 = ; u 93 = et u 164 = .2 On reconnaît les premiers carrés d’entiers. On conjec-ture donc que pour tout entier n, u nn
2= .
3 Soit la suite v défi nie sur N par v nn2= .
On a : v 00 = , et pour tout entier n,v n n n v n1 2 1 2 1n n1
2 2= + = + + = + ++ ^ h .Les suites u et v ont même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence.Donc les suites u et v sont égales : pour tout n, u nn
2= .
Les premiers termes de la suite u sont : u 10 = ; u 2
11 = ; u 3
12 = ; u 4
13 = et u 5
14 = .
Il semble que pour tout entier n, u n 11
n =+
.
Soit alors la suite v défi nie sur N par : v n 11
n =+
. On a
v 10 = et pour tout entier n, v n 21
n 1 = ++ .
Or vv
n
n
nnn
n1 1 111
1
121
1
21
n
n+
=+
+
+ =
+++ =
+.
Donc v vv
1nn
n1 = ++ .
Ainsi les suites u et v ont même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence.Donc les suites u et v sont égales :
pour tout n, u n 11
n =+
.
2 Sens de variation d’une suite
1 Vrai : pour tout entier n (positif ), ,n n 12 2G +^ h c’est-à-dire u un n 1G + .2 Vrai : pour tout entier n, v vn n 1H + , donc en multi-pliant par - 2 (négatif ), v v2 2n n 1G- - + .3 Faux : w 20 =- et w 61 =- . Donc 2w w0 1.4 Vrai : pour tout entier n, t t 3n n1 - =+ , donc
2t t 0n n1 -+ .
Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques 9
1 Vrai : pour tout entier n, n n 1G + . Comme f est croissante, f fn n 1G +^ ^h h, donc u un n 1G + .
2 Faux. On a représenté ci-contre en rouge la suite de terme général :
sinu n n nn = + =r^ h .Alors que la fonction x 7 sinx x+ r^ h n’est pas monotone.3 Vrai. 4 Faux.
Suites définies par une formule explicite
1 Pour tout entier n,u u n n n n
1 11 1 1
11
n n1 - = ++
- + =+
-+ c c
^m m
h.
Donc 1u u 0n n1 -+ .Donc la suite u est décroissante.
2 Pour tout entier n,u u n n n n1 1
1 1n n1 - = + +
+- ++ c cm m
u un n
n n1
1n n1
2- =
++ -
+^ h
.
5=D ; ,n 21 5 1 61 .= - - -
et ,n 21 5 0 62 .= - + .
D’où le tableau de signes pour n 1H :
n 1 3+
n n 12 + - +
n n 1+^ h +
u un n1 -+ +
Donc la suite u est croissante.
1 Pour tout entier n,u u n n n n1 1
1 1n n1 - = + -
+- -+ c cm m
2u un n
11
1 0n n1 - = ++
+^ h
, car n entier.
Donc la suite u est croissante.
2 Pour tout entier n, u u n n n n1
3 31
3n n1 - =
+- - - =
++
^ h.
Ainsi 2u u 0n n1 -+ .Donc la suite u est croissante.
1 Pour tout entier n,
u u 51
51
51
51
51
n n
n n n n1
1#- = - = -+
+
c c c cm m m m
u u 51 1 5
154
51
n nn n
1 # #- = - = -+ c c cm m m .
Donc 1u u 0n n1 -+ : la suite u est décroissante.
2 Pour tout entier n, u u n n n1 1 1 2 1n n1
2 2- = - + + - - + =- -+ ^^ ^h h h .Donc 1u u 0n n1 -+ : la suite u est décroissante.
1 Soit la fonction f défi nie sur ;0 3+6 6 par :
f xx
21
32= -+
^ h .
f est dérivable et pour tout réel x 0H ,f x
xx
16
2 2=+
l^^
hh
.
Donc f x 0Hl^ h : la fonction f est croissante.Comme pour tout n, fu nn = ^ h, alors la suite u est crois-sante.2 Soit la fonction f défi nie sur ;0 3+6 6 par :
f x x x2 12= + -^ h .f est dérivable et pour tout réel x 0H ,
f x x4 1= +l^ h .Donc f x 0Hl^ h : la fonction f est croissante.Comme pour tout n, fu nn = ^ h, alors la suite u est crois-sante.
1 Soit la fonction f défi nie sur ;0 3+6 6 par :f x n n3 12= + +^ h .
f est dérivable et pour tout réel x 0H ,f x n2 3= +l^ h .
Donc f x 0Hl^ h : la fonction f est croissante.Comme pour tout n, fu nn = ^ h, alors la suite u est crois-sante.2 Soit la fonction f défi nie sur ;0 3+6 6 par :
f x xx
42 1
=++
^ h .
f est dérivable et pour tout réel x 0H ,
f xx
x xx4
2 4 2 14
72 2=
+
+ - +=
+l^
^
^ ^
^h
h
h h
h
.
Donc f x 0Hl^ h : la fonction f est croissante.Comme pour tout n, fu nn = ^ h, alors la suite u est crois-sante.
1 Soit u une suite strictement positive.Supposons que pour tout entier n, u
u 1n
n 1 H+ . En multi-
pliant par 2u 0n , on obtient : u un n1 H+ .Donc la suite u est croissante.Supposons que pour tout entier n, u
u 1n
n 1 G+ . En multi-
pliant par 2u 0n , on obtient : u un n1 G+ .Donc la suite u est décroissante.2 a. La suite u est strictement positive. Pour tout entier
n, 2uu
23
32
23 1
n
nn
n
n
n1
2
1 1#= =+
+
+ +. Donc la suite u est
croissante.b. La suite v est strictement positive à partir du rang 1.Pour tout entier n 1H ,
vv n
n nn
21 2
21
n
nn
n1
1 #= + = +++
.
Comme nn
nn
21 1 2
1 0G+ - = - .
x
y
1
1
0
10 Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques
Donc la suite v est décroissante à partir du rang 1.
1 u 11 = ; u u12 22 1#= = ; u u2
3 33 2#= = ;
u u34 44 3#= = .
2 Par construction, tous termes consécutifs de la suite u ont le même signe, donc la suite u est de signe constant.Or u 11 = . Donc la suite u est strictement positive.
Comme pour tout entier n 1H , 2uu
nn 1 1
n
n 1 = ++ , la suite u est strictement croissante.Remarque : la suite u a pour terme général u nn = .
a. Pour tout entier n,u u n n1 2 2n n
n n1
1- = + - - -++
^ ^h h
.u u 1 2 2 1 2 1 2 1 2n nn n n n
11- = + - = + - = -+
+^ h
Or pour n 0H , 2 2n 0H . On a alors 2 1 0n H- , c’est-à-dire u u 0n n1 G-+ . Donc la suite u est décroissante.b. Soit f la fonction défi nie sur ;0 3+6 6 par :
f x xx
2 11
=++
^ h .
La fonction f est dérivable, et pour tout x 0H ,
1f xx
x xx2 1
1 2 1 2 12 1
1 02 2=+
+ - +=
+
-l^^
^ ^
^h
h
h h
h
.
Donc la fonction f est strictement décroissante sur ;0 3+6 6.
Comme pour tout entier n, fu nn = ^ h, la suite u est décroissante.
a. Soit f la fonction défi nie sur ;0 3+6 6 par :f x x x33=- +^ h .
La fonction f est dérivable, et pour tout x 0H ,f x x3 32=- +l^ h .
On a le tableau de signes et de variations suivant :
x 0 1 3+
f xl^ h + 0 -
f x^ h2
Comme pour tout entier n, fu nn = ^ h, la suite u est décroissante à partir du rang 1.b. La suite u est strictement positive, et pour tout entier
n, 1uu
310
103
31 1
n
nn
n1
1 #= =++
.
Donc la suite u est décroissante.
a. Pour tout entier n,u u n n2 2 1 1 2 2 1n n
n n1
1- = + + + - + +++
^^ ^h h h
2u u 2 2 0n nn
1 - = ++ .Donc la suite u est croissante.b. Soit f la fonction défi nie sur ;0 3+6 6 par :
f x x x 11
= ++
^ h .
La fonction f est dérivable, et pour tout x 0H ,
f xx x
x x1
11
12
02 2 H= -+
=+
+l^
^ ^
^h
h h
h .
Donc la fonction f est croissante sur ;0 3+6 6. Comme pour tout entier n, fu nn = ^ h, la suite u est croissante.
Suites définies par une formule de récurrence
a. Pour tout entier n, 1u u 3 0n n1 - =-+ . Donc la suite u est décroissante.b. Pour tout entier n, u u n 0n n1 H- =+ . Donc la suite u est croissante.c. u 10 = ; u 21 = et u 13 = . Donc la suite u n’est pas monotone.
1 u 10 = ; u 21
1 =- ; u 4
52 =
- et u 813
3 =- .
Il semble que la suite u est décroissante.2 a. Pour tout entier n,v u u u u2
1 1 21 1n n n n n1 2 1 1= - = - - -+ + + +c cm m
v u u21
n n n1 1= -+ +^ h.
Donc v v21
n n1 =+ .
b. On en déduit que tous termes consécutifs de la suite ont le même signe. Donc la suite v est de signe constant.Or 1v u u 2
3 00 1 0= - = - . Donc la suite v est stricte-
ment négative.c. Ainsi pour tout entier n, 1u u 0n n1 -+ : la suite u est décroissante.
1 et 2 a.
u0 = 1 u1 u2
u1u2u3u0 = –2 x
y
1
1
0
"
!
La suite u paraît décroissante.b. La suite u paraît croissante.c. La suite u paraît stationnaire lorsque u 10 =- .Dans ce cas-là, u 2 1 1 11 = - + =-^ h ;u 2 1 1 12 = - + =-^ h … De même si u 1n =- , alors u 2 1 1 1n 1 #= - + =-+ ^ h .d. On conjecture que :• si 1u 10 - , alors la suite u est décroissante ;• si u 10 =- , alors la suite u est stationnaire ;• si 2u 10 - , alors la suite u est croissante.
Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques 11
v u u u u v2 1 2 1 2 2n n n n n n1 1 1= + - + = - =+ + +^ ^ ^h h h .b. v u u u u u2 1 10 1 0 0 0 0= - = + - = +^ h .Donc si 1u 10 - , 1v 00 ;si u 10 =- , v 00 = ;si 2u 10 - , 2v 00 .c. D’après la question a., la suite v est de signe constant (donc celui de v0).D’après la question b. :• Si 1u 10 - , alors pour tout entier n, 1u u 0n n1 -+ : la suite u est décroissante.• Si u 10 =- , alors pour tout entier n, u u 0n n1 - =+ : la suite u est stationnaire.• Si 2u 10 - , alors pour tout entier n, 2u u 0n n1 -+ : la suite u est croissante.
1 On conjecture que la suite u est décroissante.2 a. Pour tout entier n, u u u u u u1n n n n n n1
2- = - - =-+ ^ h .
b. Donc pour tout entier n, u u 0n n1 G-+ : la suite u est décroissante.
Démonstration du cours1 On suppose que f est une fonction croissante sur
;p 3+6 6. Pour tout entier n pH , n n 1G + . Donc f fn n 1G +^ ^h h, c’est-à-dire u un n 1G + .Donc la suite u est croissante.2 On suppose que f est une fonction décroissante sur
;p 3+6 6. Pour tout entier n pH , n n 1G + . Donc f fn n 1H +^ ^h h, c’est-à-dire u un n 1H + .Donc la suite u est décroissante.
Propriétés et réciproques
1 a. Pour tout entier n, u 0n = . La suite u est mono-tone, et plus précisément constante.b. La fonction f : x 7 sin xr^ h n’est pas constante sur
;0 3+6 6 : f 0 0=^ h et f 21 1=c m .
c. La réciproque du théorème n est fausse.2 a. Pour tout entier n, v nn = . Donc la suite v est crois-sante.b. Par la calculatrice, on a : La fonction f n’est pas croissante sur ;0 3+6 6.c. La réciproque du théorème o est fausse.3 Soit la fonction g défi -nie sur ;0 3+6 6 par :
sing x x x=- + r^ ^h h, et la suite w défi nie sur N par : w g nn = ^ h.La fonction g n’est pas décrois-sante sur ;0 3+6 6.Pour tout entier n, w nn =- : la suite w est décroissante.Donc la réciproque du théorème p est fausse.
1 a. Pour tout entier n,1u u 2 2 2 0n n
n n n1
1- =- + =-++ .
Donc la suite u est décroissante.b. Pour tout entier n, u
u 2n
n 1 =+ . Donc 2uu 1
n
n 1+ .
c. La condition « suite strictement positive » est indis-pensable dans le théorème n.2 a. v 10 = ; v 21 =- ; v 42 = . Donc la suite w n’est pas monotone.b. Pour tout entier n, 1v
v 2 1n
n 1 =-+ .
La condition « suite strictement positive » est indispen-sable dans le théorème o.
3 Comportement d’une suite à l’infini
1 c. 2 a. 3 b.
La suite u correspond au graphique o.La suite v correspond au graphique p.La suite w correspond au graphique n.La suite t correspond au graphique q.
1 Pour tout entier n,u u n n n n1 2 1 2n n1
2 2- = + + + - ++ ^ ^^ ^h hh h
2u u n2 3 0n n1 - = ++ .Donc la suite u est croissante.2 u 12010 = ; u 10 200100 = ; u 1002 0001000 = ; u 100 020 00010 000 = .La suite u ne paraît pas convergente.3 a. u n n1000 2 1000n
2+H H+
n n2 1000 02+ H+ - .4 004=D .
,n 22 4 004 32 61 .= - - -
et ,n 22 4 004 30 62 .= - + .
D’où le tableau de signes :
n 0 n2 3+
n n2 10002 + - - 0 +
Comme n est un entier, u n1000 31n +H H .b. u n n10 000 2 10 000n
2+H H+
n n2 10 000 02+ H+ - .40 004=D .
n 22 40 004 1011 .= - - -
et n 22 40 004 992 .= - + (par défaut).
D’où le tableau de signes :
n 0 n2 3+
n n2 10 0002 + - - 0 +
Comme n est un entier, u n10 000 100n +H H .c. La limite de u est 3+ .
12 Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques
;0 3+ 6@ . Donc la suite u est décroissante.c. ;u u10 10 10n n
6 6 6+! G- - - -6@n
n n1 10 10 106 6 12+ + +G H H- .
Donc p 1012= .d. lim u 0
n n =" 3+
.
2 a. u 251
10 = ; u 2 5001
100 = ; u 250 0001
1000 = ;
u 25 000 0001
10 000 = .
b. La fonction f : x 7x4
2 est décroissante sur
;0 3+ 6@ . Donc la suite u est décroissante.c. ;u u10 10 10n n
6 6 6+! G- - - -6@n
n n4 10 4 10 2 00026 2 6+ + +$G H H- .
Donc p 2 000= .d. lim u 0
n n =" 3+
.
3 a. u 115
10 =- ; u 101
5100 =
- ; u 10015
1000 =- ;
u 10 0015
10 000 =- .
b. La fonction f : x 7 x 15+- est croissante sur
;0 3+ 6@ . Donc la suite u est croissante.c. ;u u10 10 10n n
6 6 6+! H- -- - -6@n n1
5 10 1 5 106 6+ + #H H+- - +-
n 4 999 999+ H .Donc p 4 999 999= .d. lim u 0
n n =" 3+
.
1 Pour tout entier n, on note Pn la population de la ville l’année n2010 + .a. La suite P est défi nie sur N par : P 30 0000 = et la rela-tion de récurrence :
,P P P P1005 1000 1 05 1000n n n n1 = + - = -+ .
b. P 30 0000 = ;P 30 5001 = ; P 310252 = ; P 315763 . ; P 32 1554 . .c. On conjec-ture que la suite P diverge vers 3+ . La population de la ville devient très grande au bout d’un certain temps.
2 Pour tout entier n, on note Vn le volume du vase, en L, au bout de n semaines.
a. La suite V est défi nie sur N par : V 20 = et la relation
de récurrence :
, ,V V V V51 0 3 5
4 0 3n n n n1 = - + = ++ .
b. V 20 = ; ,V 1 91 = ; ,V 1 822 = ; ,V 1 7563 = .
c. On conjecture que la suite V converge vers 1,5.Au bout d’un grand nombre de semaines, le volume d’eau dans le vase tend à se stabiliser autour de 1,5 L.
1 La droite D a pour équation : y x= et la droite " a pour équation : y x2
1 2= + .
2 On conjecture que la suite u est croissante et converge vers 4.3 a. On propose :
ALGO
Variables : U : réel ; N : entier.Début U 0! ; N 0! ; Tant que 2U 4 10 3- - faire N N 1! + ; U U2
1 2! + . FinTantQue ; Affi cher N^ h ;Fin.
b. On propose :ALGO
Variables : U, e : réels ; N : entier.Début Entrer e^ h ; U 0! ; N 0! ; Tant que 2U e4- faire N N 1! + ; U U2
1 2! + . FinTantQue ; Affi cher N^ h ;Fin.
Les programmes TI associé et exécuté sont :
Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques 13
1 a. La suite u est défi nie sur N par : u 10 = et la relation de récurrence : fu un n1 =+ ^ h, où f est la fonc-tion défi nie sur ;2 3- +6 6 par :
f x x2= +^ h .b. u 10 = ; ,u 1 7321 . ; ,u 1 9322 . ; ,u 1 9833 . ;
,u 1 9964 . .c. Il semble que la suite u converge vers 2.
2 a. La suite u est défi nie sur N par : u 10 = et la rela-tion de récurrence : fu un n1 =+ ^ h, où f est la fonction
défi nie sur R 2-" , par :
f x x21
=+
^ h .
b. u 10 = ; ,u 31 0 3331 .= ;
,u 73 0 4292 .= ;
,u 177 0 4123 .= ; ,u 41
17 0 4144 .= .
c. Il semble que la suite u converge. La limite est environ 0,414 à 0,001 près.
1 Voir ci-après.2 a. La suite v semble diverger vers 3+ .b. La suite v semble diverger vers 3- .c. Pour v 20 = , la suite v est constante à 2, et donc convergente.3 Si 2v 20 , la limite de v est 3+ .Si v 20 = , la limite de v est 2.Si 1v 20 , la limite de v est 3- .
x
v0 = 3v0 = 1
y
1
10
"!
1 Il semble que la suite u diverge vers 3+ .2 a. Pour n 20G , on a : ,u n0 5 3n H - .b. La limite de la suite de terme général , n0 5 3- est 3+ . On en déduit que la limite de la suite u est 3+ .
1 a. Un majorant de la suite u est 2, un minorant de la suite u est 0. La suite u paraît converger vers 0.b. Un majorant de la suite u est 1, un minorant de la suite u est 0. La suite u paraît converger vers 1.c. Un majorant de la suite u est 1, un minorant de la suite est 1- . La suite paraît ne pas admettre de limite.2 a. On peut choisir les suites du 1 a. et 1 b..b. La suite de terme général 1 n-^ h convient.c. Supposons que la suite u converge vers L.Il existe un rang N à partir duquel les termes un sont proches de L à 0,01 près. Ainsi pour tout entier n NH ,
, ,L u L0 01 0 01nG G- + .En notant ; ; ; ; ,maxM u u u L 0 01N0 1 1f= +-" , et
; ; ; ; ,minm u u u L 0 01N0 1 1f= --" ,, on a pour tout entier n, m u MnG G .Donc la suite u est bornée.
Pour tout entier n 1H , un demi-cercle constituant
!n a pour rayon 28
n , et donc une longueur de 28
nr .
Donc 228 4n
nn
1 #, = =r r- : la longueur totale est
constante.Donc la limite de la suite n,^ h est 4r .Remarque : Se méfi er des résultats « visibles » : si on regarde le dessin, il semble que la suite u converge vers 8 !
Problèmes
Pour tout entier n 1H , on note Cn le nombre de cartes nécessaires à la construction du château numé-roté n. Par construction, la suite C est défi nie sur N* par : C 21 = et la relation de récurrence :
C C n n C n1 2 3 2n n n1 #= + + + = + ++ ^ h .En eff et, le château numéroté n 1+ possède n 1+ étages. On ajoute au château précédent deux cartes par étage et une carte pour l’horizontale.
14 Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques
On calcule les premiers termes :C 21 = ; C 72 = ; C 153 = ; C 264 = ; C 405 = ; C 576 = ; C 777 = ; C 1008 = ; C 1269 = et C 15510 = .Le château n° 4 comporte 26 cartes ; le château n° 5 comporte 40 cartes ; le château n° 10 comporte 155 cartes.
1 On conjecture que la suite u est décroissante et que sa limite est 0,5.2 Soit f la fonction défi nie sur ;0 3+6 6 par :
f x xx
2 24
=++
^ h .
La fonction f est dérivable et pour tout x 0H ,
1f xx
x xx2 2
1 2 2 2 42 2
6 02 2=+
+ - +=
+
-l^^
^ ^
^h
h
h h
h
.
Donc la fonction f est décroissante sur ;0 3+6 6.Comme pour tout n, fu nn = ^ h, la suite u est décrois-sante.3 Pour tout entier n,
.n nn
n nn u2
12 2
32 2
12 2
32 2
4n+
+=
++ +
+=
++ =
4 a. 1 1, , ,u n0 51 0 5 2 23 0 51n + ++
1 2n n2 23 10 1492+ ++
- .
Donc N 1501 = .
b. 1 1, , ,u n0 501 0 5 2 23 0 501n + ++
1 2n n2 23 10 14993+ ++
- .
Donc N 15001 = .
c. 1 1, , ,u h n h0 5 0 5 2 23 0 5n ++ ++
+
1 2n h n hh
2 23
23 2+ +
+- .
Donc N E hh
23 2 1= - +; E .
d. On constate que tous les termes un à partir d’un certain rang sont aussi voisins de 0,5 qu’on le désire.Donc la limite de u est 0,5.
1 Quand le nombre de pièces augmente, on a besoin de plus de déplacements. Donc la suite u est croissante.Quand le nombre de pièces devient très grand, le nombre de déplacements devient aussi très grand. Donc la suite u diverge vers 3+ .2 u 11 = ; u 32 = ; u 73 = .3 Pour tout entier n 1H , pour déplacer la plus grosse pièce en la mettant en dessous de toutes les autres, il faut avoir déplacé les n pièces vers une tige, puis déplacer la plus grosse pièce, puis déplacer les n pièces au-dessus de la plus grosse pièce. Donc u u2 1n n1 = ++ .4 u 154 = ; u 315 = ; u 636 = ; u 1277 = et u 2558 = .Il faut donc au minimum 255 déplacements pour déplacer une tour de huit étages.
1 u 00 = ; u 31
1 = ; ,u 98 0 8892 .= ;
u 13 = ; ,u 8164 0 7904 .= ; ,u 243
125 0 5145 .= ;
,u 278 0 2966 .= .
Il semble que la suite u soit décroissante à partir du rang 3.2 Pour tout entier n 0! ,
uu n
n nn
31 3
31
n
nn
n1
1
3
3 3
3
#=+
=++
+
^ ^h h .
3 a. Pour tout entier n 1H ,
uu
nn n
131 3
n
n 13
3 3- =
+ -+ ^ h
uu
nn n n n1
33 3 1 3
n
n 13
3 2 3- = + + + -+
uu
nn n n1
32 3 3 1
n
n 13
3 2- = - + + ++ .
Comme 2n3 03 , le signe de uu 1
n
n 1 -+ est celui de n n n2 3 3 13 2- + + + .
b. La fonction f est dérivable sur R, et pour tout réel x, f x x x6 6 32=- + +l^ h .
108=D ; ,x 1 3661 . et ,x 0 3662 . - . D’où le tableau de variations :
x 3- x2 x1 3+
f xl^ h - 0 + 0 -
f x^ h
La fonction f est décroissante sur ;3 3+6 6 et 1f 3 17 0=-^ h . Donc pour tout x 3H , 1f x 0^ h .
c. On en déduit que pour tout entier n 3H , 1u
u 1 0n
n 1 -+ , c’est-à-dire 1uu 1
n
n 1+ .
Comme la suite u est strictement positive, la suite u est décroissante à partir du rang 3.
1 a. L’univers est l’ensemble des couples ;i j^ h où i et j sont des entiers de 1 à 6, muni de l’équiprobabilité.Donc p p1 = ^« obtenir ;6 6^ h » 36
1=h .
b. B2 : « ne pas obtenir de double-six au cours des deux lancers ».La situation peut être représentée par l’arbre suivant :
/1 36 double-sixdouble-six
/1 36 /35 36 pas de double-six
/1 36 double-six
/35 36pas de double-six
/35 36 pas de double-six
Donc p B 3635
3635
3635
22
#= =^ ch m .
Donc ,p p B1 1 3635 0 0552 2
2.= - = -^ ch m .
2 Bn : « ne pas obtenir n fois consécutives de double-six » (la même expérience est répétée n fois dans les mêmes conditions).Donc p B 36
353635
3635
3635
nn
# # #f= =^ c c c ch m m m m .
Donc p p B1 1 3635
n nn
= - = -^ ch m .
Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques 15
Donc la suite p est croissante.Concrètement, plus le nombre de lancers augmente, plus il est probable d’obtenir au moins un double-six au cours de ces lancers.4 a. Par la calculatrice, on obtient : 2 ,p n0 5 25n + H .b. Par la calculatrice, on obtient : 2 ,p n0 9 82n + H .c. Par la calculatrice, on obtient : 2 ,p n0 99 164n + H .5 La limite de p est 1 : concrètement, quand le nombre de lancers est très grand, il est quasiment certain d’ob-tenir au moins un double-six sur ces lancers.
1 a. Pour tout entier n 1H ,u u
n n n n1 21
11
n n1 - =+ +
-+
+^ ^ ^h h h
u un n n
n nn n n1 2
21 2
2n n1 - =
+ +
- +=
+ +-
+^ ^
^
^ ^h h
h
h h.
On en déduit que 1u u 0n n1 -+ . Donc la suite u est décroissante.b. On aurait pu étudier les variations de la fonction f défi nie sur ;0 3+ 6@ par : f x
x x 11
=+
^^
hh
.
2 a. 1 1un n
101
1 10n4 4+
+- -
^ h
2n n 10 02 4+ + - .
40 001=D ;
,n 21 40 001 100 51 .= - - -
et ,n 21 40 001 99 52 .= + .
Comme n est un entier naturel, on obtient : 1u n10 100n
4 + H- .
Donc k 100= .b. La limite de u est 0.3 a. Pour tout entier n 1H ,
n n n nn n u1
11
11
n-+
=+
+ - =^ h
.
b. Pour tout p 1H ,
S 11
21
21
31
31
21
p f= - + - + - +c c cm m m
p p1
11
+ -+
d n
S p1 11
p = -+
.
c. ,S u u u 1 99 11 0 991 2 99g= + + + = -+
= .
1 a.C 10 000 100
5 10 000 200 10 3001 #= + - = ;
C 10 300 1005 10 300 200 10 6152 #= + - = ;
,C 10 615 1005 10 615 200 10 945 753 #= + - = .
b. Pour tout entier n,,C C C C100
5 200 1 05 200n n n n1 #= + - = -+ .
c. On conjecture que la suite C est croissante et diverge vers 3+ .
2 a. Pour tout entier n, v C Cn n n1 2 1= -+ + +
, ,v C C1 05 200 1 05 200n n n1 1= - - -+ +^ ^h h
, .v C C1 05n n n1 1= -+ +^ h
Donc ,v v1 05n n1 =+ .b. Comme 2v C C 300 00 1 0= - = , de proche en proche la suite v est positive.On en déduit que pour tout entier n, 2C C 0n n1 -+ : la suite C est croissante (économiquement, les capitaux augmentent lorsque le nombre d’années de placement augmente).3 a. Le capital dépasse 15 000 € au bout de 13 années de placement.b. Le capital double au bout de 21 années de place-ment.4 Le capital dépasse 50 000 € au bout de 42 années de placement : c’est diffi cilement envisageable à l’échelle de l’homme.
On calcule le nombre de moles d’acides après chaque prélèvement.
Situation initiale : bécher 1 : C 101
3= - mol . L-1 ; V 1001 = mL ;n 101
4= - mol ;bécher 2 : C 102
5= - mol . L-1 ; V 1002 = mL ;n 102
6= - mol.
Prélèvement 1 (P1) : On prélève 10 mL du bécher 1 que l’on verse dans le bécher 2. On a alors 90 mL dans le bécher 1 et 110 mL dans le bécher 2.bécher 1 : V 901 = mL ;
9 10n 10 101 101 54 4# #= - =- - - mol ;
bécher 2 : V 1102 = mL ;
11 10n 10 101 102
6 4 6# #= + =- - - mol.
Prélèvement 2 (P2) : On prélève 10 mL du bécher 2 que l’on verse dans le bécher 1.bécher 1 : V 1001 = mL ;
Situation Nombre de moles d’acideBécher 1 Bécher 2
initiale 10 4- 10 6-
P1 9 10 5# - 11 10 6# -
P2 ,9 1 10 5# - 10 5-
À la fi n de cette première étape :– la concentration en acide dans le bécher 1 devient alors : ,c 9 1 101
4#= - mol . L-1 ;– la concentration en acide dans le bécher 2 devient alors : d 101
4= - mol . L-1 .2 a. La concentration en acide diminue dans le bécher 1, elle augmente dans le bécher 2.Donc la suite c est décroissante et la suite d est croissante.Au bout d’un nombre d’étapes, on conjecture que le nombre de moles d’acides s’équilibre entre les deux béchers. Alors les suites c et d convergent vers
,210 10 5 05 10
3 54#+ =
- -- mol . L-1.
b. À la fi n de l’étape n :
bécher 1 : n c10
n1 = mol ; bécher 2 : n d
10n
2 = mol.
Prélèvement 1 (P1) : On prélève 10 mL du bécher 1 que l’on verse dans le bécher 2. On a alors 90 mL dans le bécher 1 et 110 mL dans le bécher 2.bécher 1 : n cc c
10 101
10 1009n n1 n#= - = mol ;
bécher 2 : 10n dd c10 10
110 100
cn n2 n n#= + = + mol.
Prélèvement 2 (P2) : On prélève 10 mL du bécher 2 que l’on verse dans le bécher 1.bécher 1 :
;11 110 moln c dc d c100
911010
10 1001 n nn
n n= + + = +c m
bécher 2 : n d c d c
10 100 11010
10 1002n n n n= + - +c cm m
.11 110 moln d c2 n n= +
On reprend le tableau :
Situation Nombre de moles d’acideBécher 1 Bécher 2
À la fi n de l’étape n
c10
n d10
n
P1 c1009
nd c10 100
n n+
P2 c d11 110
n n+d c11 110
n n+
Donc c c d c d10 11 110 1110
111
nn n
n n1 = + = ++ c m
et d d c d c10 11 110 1110
111
nn n
n n1 = + = ++ c m .
c. On entre les formules suivantes :
On obtient :
Et le graphique suivant :
d. Les résultats obtenus sont cohérents.
1 a. C 1 112= = ; C 1 2 52
2 2= + = ; C 1 2 3 143
2 2 2= + + = ; C C 4 304 32= + = .
b. Pour tout entier n, C C n 1n n12= + ++ ^ h .
c. On propose :ALGO
Variables : U, N, i : entiers ;Début U 1! ; Entrer N^ h ; Pour i allant de 2 à N iU U 2! + ; FinPour ; Affi cher U^ h ;Fin.
Programme TI associé : Programme Casio associé :
En exécutant les programmes, on retrouve les résultats obtenus à la question 1 a. .
2 a. Pour tout entier n, v an bn cn dn3 2= + + + .
Alors :v a b c d1 = + + + ; v a b c d8 4 22 = + + + ; v a b c d27 9 33 = + + + et .v a b c d64 16 44 = + + +
Donc :
a b c da b c d
a b c da b c d
a
b
c
d
18 4 2 527 9 3 1464 16 4 30
31
21
61
0
+
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
=
=
=
=
Z
[
\
]]
]]
Z
[
\
]]]]
]]]]
Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques 17
3 Les suites C et v ont le même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence.Donc les suites C et v sont égales.Donc pour tout entier n, C n n n3
121
61
n3 2= + + .
4 n n n n n n n
61 2 1
62 2 12+ +
=+ + +^ ^ ^h h h
n n n C62 3
n3 2
= + + = .
Le résultat est identique à celui obtenu à la question 3 .
1 Pour tout entier n, un est pair si, et seulement si, u2
n est entier, c’est-à-dire si, et seulement si, la partie
entière de u2
n est égale à u2
n . D’où la formule écrite en
B3. On obtient :
La suite u paraît périodique à partir du rang 4 : le cycle 4 – 2 – 1 apparaît.2 Il semble que seulement deux cas soient possibles :– soit la suite u est stationnaire à 1 à partir d’un certain rang ;– soit la suite u est périodique 4 – 2 – 1 à partir d’un certain rang.
On calcule les premiers termes :b 10 = ; b 1
1 1 112= =^ h ;
b 21 1 1 12
2 2= + =^ h ;
b 31 1 1 1 13
2 2 2= + + =^ h .
Il semble que la suite b soit constante à 1.Soit la suite u défi nie sur N par u 1n = .
Alors pour tout entier n,
u nn
n1 11
11 1 1
termes
n
n
1
1
f= =
++ =
++ + +
+
+6 7 84444 4444
u nu u u
1nn
102
12 2
f=
+
+ + ++ .
Ainsi les suites u et b ont même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence.Donc les suites u et b sont égales. Ainsi pour tout entier n, b 1n = (entier).
On lit les images par f : f 4 1- =^ h ; f 3 2- =^ h ; f 0 3=-^ h ; f 1 1=^ h et f 2 0=^ h .
Pour la suite u :u 30 =- ; fu 3 21 = - =^ h ; fu 2 02 = =^ h ;
fu 0 33 = =-^ h ; fu 3 24 = - =^ h etc.Ainsi de proche en proche, pour tout entier n :– si n est de la forme 3k, u 3n =- ;– si n est de la forme k3 1+ , u 2n = ;– si n est de la forme k3 2+ , u 0n = ,où k est un entier naturel.On en déduit que u 2100 = , car 100 3 33 1#= + .Pour la suite v :v 40 =- ; fv 4 11 = - =^ h ; fv 1 12 = =^ h ; fv 1 13 = =^ h ;
fv 1 14 = =^ h etc.Ainsi de proche en proche, pour tout entier n 1H : v 1n = .On en déduit que v 1100 = .
Revoir les outils de base
a. Pour tout entier n :f n n n n1 1 3 2 22 2+ = + - = + -^ ^h h ;f n n n2 2 3 4 32 2= - = -^ ^h h .
b. Pour tout entier n :.f fn n n n n n1 2 2 3 2 12 2+ - = + - - - = +^ ^ ^ ^h h h h
a. La fonction affi ne f a pour coeffi cient a 2=- (négatif ). Donc la fonction f est décroissante sur
; .0 3+6 6b. La fonction g est du second degré, où a 1= (positif ) et a
b2 2
3- = . Comme g 23
41
= -c m , on a le tableau de
variations sur ;0 3+6 6 :x 0 2
33+
g x^ h
2
41
-
c. La fonction h est dérivable sur ;0 3+6 6, et pour tout
réel x 0H , 2h xx
11
1 02= ++
l^^
hh
.
Donc la fonction h est croissante sur ;0 3+6 6.
18 Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques
d. La fonction k est dérivable sur ;0 3+6 6, et pour tout
réel x 0H , k xx
x x xx
x1
1 1 21
12 2
2
2 2
2#=
+
+ -=
+
-l^^
^
^h
h
h
h
.
D’où le tableau de variations :x 0 1 3+
k xl^ h + 0 -
k x^ h0 2
1
Les savoir-faire du chapitre
1 u 3 5 1 212#= - =- ;
u 3 5 10 497102#= - =- ;
u n n n3 5 1 3 5 2 1n 12 2= - + = - + ++ ^ ^h h
n n5 10 22=- - - .2 u u2 2 2 1 2 01 0 #= + = - + =^ h ;u u2 2 22 1= + = ; u u2 2 63 2= + = ; u 144 = ; u 305 = ; u 626 = ; u 1267 = ; u 2548 = ; u 5109 = et u 102210 = .
La suite v est défi nie sur N par : v 120 = et la rela-tion de récurrence : v v2 3n n1 =- ++ .Pour calculer le terme d’indice n, on utilise :
ALGO
Variables : n, i : entiers ; v : réel ;Début Entrer n^ h ; v 12! ; Pour i allant de 1 à n faire v v2 3! - + ; FinPour ; Affi cher v^ h ;Fin.
Après avoir programmé la calculatrice, on obtient ,v 1 24 1050
16#. .
Pour Rémi, on ne peut rien conclure sur le sens de variation d’une suite en calculant seulement les trois premiers termes.Pour Sami, il y a une erreur dans le calcul de un 1+ (oubli de parenthèses).Pour tout entier n, u n
nnn
1 12 1
22 2
n 1 = + +
+=
++
+
^ h .Donc u u n
nn
n2
2 21
2n n1 - =
++ -
++
u un n
n n n n1 2
2 2 1 2 2n n1 - =
+ +
+ + - ++
^ ^
^ ^ ^
h h
h h h
u un n
n n n n n1 2
2 2 2 2 2 4n n1
2 2- =
+ ++ + + - -
+^ ^h h
2u un n1 2
2 0n n1 - =+ +
+^ ^h h
.
Donc la suite u est croissante.
1 L’affi rmation est fausse.2 a. Soit f la fonction défi nie sur ;0 3+6 6 par :
f x xx
13
=+
^ h .
La fonction f est dérivable, et pour tout réel x 0H ,
2f xx
x xx1
3 1 31
3 02 2=+
+ -=
+l^
^
^
^h
h
h
h
.
Donc la fonction f est croissante sur ;0 3+6 6 .Comme pour tout entier n, fu nn = ^ h, la suite u est crois-sante.b. On conjecture que la limite de u est 3.c. Les termes un peuvent être aussi proche de 3 qu’on le souhaite à partir d’un certain rang.Pour tout réel 2e 0,
1 1u e nn e3 1
3 3n +-+
-
1 2n e n e13 3 1+ ++
- .
Donc la suite u converge vers 3.
En lien avec les sciences
1 Pour tout entier n,,P P P P1000
181000
13 0 08n n n n1 = + - ++
, ,P1 005 0 08n= + .2 À l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice, on obtient que :– en 1970, la ville compte environ 42,863 millions d’ha-bitants ;– en 2000, la ville compte environ 52,364 millions d’ha-bitants ;– en 2020, la ville compte environ 59,536 millions d’ha-bitants.
1 Pour tout entier n,, , ,c c c c100
30 1 8 0 7 1 8n n n n1 = - + = ++ .
2 a. Pour tout entier n,, , , ,d c c c c0 7 1 8 0 7 1 8n n n n n1 2 1 1= - = + - ++ + + +^ ^h h
, ,c c d0 7 0 7n n n1= - =+^ h .b. Comme
2, , , , ,d c c 0 7 1 8 1 8 1 8 1 26 00 1 0 #= - = + - =^ h , de proche en proche, la suite d est strictement positive.Donc pour tout entier n, 2c c 0n n1 -+ . Donc la suite c est croissante.3 On calcule les pre-miers termes de la suite c à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur ci-contre.Il faut arrêter les injections au bout de 5 heures.
Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques 19
La valeur maximale injectée semble être 1,65 unités de produit.
Approfondissement
1 u 52
1 = ; u 2910
2 = .
2 a. Pour tout réel 2x 0,
f x xx
x xx
x1 12 2
3- =
+- =
+
-^ h .
Comme 1x 03- et 2x1 02+ , on a : 1f x x 0-^ h .b. Par construction, la suite u est strictement positive. Pour tout entier n, fu u u un n n n1 - = -+ ^ h . D’après la question 2 a., 1u u 0n n1 -+ .Donc la suite u est décroissante.
Préliminaire : La fonction f est dérivable sur ; ,0 16 @ et pour tout réel ;x 0 1! 6 @, 2f x x3 4 02= +l^ h .Donc la fonction f est strictement croissante sur ; .0 16 @Comme f 0=a^ h , on a le tableau de signes suivant :
x 0 a 1f x^ h - 0 +
1 a. x a b2 2
11 =
+ =
et 1f x 21 4 2
1 4 815 01
3= + - = -
^ c ch m m .
b. D’après le tableau de signes, 1 121 1a .
2 On pose : a 21
= et b 1= .
a. x 43
2 = et 1f 43
6437 0= -
c m .
b. D’après le tableau de signes, 1 1x 12 a .3 a.
ALGO
Variables : a ; b ; x : réels ;Début a 0! ; b 1! ; Tant que 2b a 10 4- - faire
x a b2! + ;
Si 1f x 0^ h alors a x! ; sinon b x! ; FinSi : FinTantQue ; Affi cher ;a b^ h ;Fin.
b. On entre la fonction f en Y1.Programme TI associé :
Programme Casio associé :
On obtient :
C H A P I T R E
Suites arithmétiqueset géométriques
Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques 1
Contenus Capacités attendues CommentairesSuites arithmétiques et suites géométriques. Établir et connaître les formules
donnant n1 2 f+ + +et q q1 nf+ + +
Approche de la notion de limite d’une suite à partir d’exemples.
Par exemple, dans le cas d’une suite croissante non majorée, on peut déterminer un rang à partir duquel tout terme de la suite est supérieur à un nombre donné.Le tableur, les logiciels de géométrie dynamique et de calcul sont des outils adaptés à l’étude des suites, en particulier pour l’approche expérimentale de la notion de limite.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole �.
2. Intentions des auteursDans ce chapitre, il s’agit de mettre en place deux outils de modélisation : les suites arithmétiques et les suites géométriques. Il s’agit d’étudier ces deux modèles d’une façon assez autonome. Pour cela, on a de nombreux exercices capables de fi xer les contraintes techniques de ces suites, puis une série de problèmes où ces deux suites sont à mobiliser pour modéliser des problèmes géométriques physiques et de la vie courante.
Comme l’indique le programme, on procède à une approche graduée de la notion de suites convergentes et divergentes.Certains résultats du cours sont démontrés aux exer-cices 35 et 54.De nombreux exercices du type QCM et Vrai-Faux et des exercices utilisant l’algorithmique sont présents dans ce chapitre.
2 Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques
C 1 a. Vrai. b. Vrai. c. Faux. d. Faux. 2 a. Vrai. b. Faux. c. Vrai.
ActivitéActivité 1 Isoler phoniquement et thermiquementObjectifDans cette activité tirée de la vie courante, il s’agit de modéliser une situation complexe pour pouvoir prendre une décision.1 Lorsque l’on insère une couche isolante, l’intensité du bruit sera de 100 2 3 9 85#- - = dB et la consom-mation annuelle sera de ,600 0 975 585# = €.Lorsque l’on insère deux couches isolantes, l’intensité du bruit sera de 100 2 3 2 9 76# #- - = dB et la con-sommation annuelle sera de , ,600 0 975 570 382# . €.2 a. u 100 2 3 940 #= - = ; v 6000 = . b. n Vrai. o Vrai. p Faux.q Faux. r Faux. s Vrai.3 a. On a pour tout entier n 1H , u n94 9n = - .Donc u n50 9
44n +G H .
Comme ,944 4 9. et que n est entier, N 5= .
L’intensité du bruit devient inférieure à 50 dB à partir de cinq plaques de mousse insérées.b. Pour n couches de mousse, le coût annuel de consom-mation est ,v 600 0 975n
n#= .La diminution absolue de coût pour N couches est :
c. 20 % de diminution correspond à une dimi-nution de 120 €. En utili-sant un tableur, on trouve que dès que l’isolation comporte neuf plaques l’objectif est atteint.Ce résultat peut aussi être obtenu à la calcu-latrice en déterminant le plus petit entier n tel que v 480n G .
ActivitéActivité 2 Le jeune GaussObjectif : L’objectif de cette activité est plus d’associer une image mentale au calcul d’une somme que d’eff ectuer eff ectivement cette somme.1 S10 est la moitié de l’aire d’un rectangle de dimen-sions 10 et 11, donc : S 2
10 11 5510#= = .
2 Voir le schéma ci-dessous.
1
1+2+
+ 2 +
+12
+12
S 212 25 7812
#= = .
3 De même, Sn est la moitié de l’aire d’un rectangle de
dimensions n et n 1+ . Donc Sn n
21
n =+^ h .
ActivitéActivité 3 RadioactivitéObjectifs◗ Montrer que l’on peut mathématiser des situations d’une autre discipline.◗ Répondre à de « vraies » questions qui sont abordées couramment dans l’actualité.
Erratum : il faut corriger dans l’énoncé 3 10 7# - seconde pour le « polonium 211 ».1 700 jours représentent 5 périodes du « polonium
210 », donc il restera ,1 21 0 031
5# .c m g.
2 0,125 g représente 1/8e de 1 g.
Comme 81
21 3
= c m , au bout de trois périodes, soit
420 jours, il restera 0,125 g de polonium.3 Pour tout entier n, on a u u2
1n n1 =+ .
Application : datation au carbone 141 30 000 ans représentent cinq périodes du carbone 14C. Si la quantité initiale était de M, au bout de 5 périodes,
il en reste M 21 5
# c m . En proportion, cela représente
, %21 3 1
5.c m .
2 81
21 3
= c m . L’objet correspond alors à trois périodes
du carbone 14, soit à 90 000 ans.
Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques 3
Démontrer qu’une suite est, ou n’est pas, arithmétique
a. Pour tout entier n,u n n5 1 1 5 1 5n 1 = + + - + =+ ^ ^h h . La suite u est arithmétique de raison 5 et de premier terme u 10 = .b. Pour tout entier n, .u n
n nn2 1
2 1 2 12 1n =
+
- += -
^ ^h h
La suite u est arithmétique de raison 2 et de premier terme u 10 =- .
c. u 00 = , u 21
1 = , u 32
2 = . Comme u u u u1 0 2 1!- - ,
la suite u n’est pas arithmétique.
1 u 10 = ; u 1 43
47
1 = + = ;
u 1 2 43
25
2 #= + = .
2 Pour tout entier n, u n1 43
n = + .
3 Pour tout entier n,u u
n n1 43 1
1 43
43
n n1 - = ++
- + =+
^d c
hn m .
Donc la suite u est arithmétique de raison 43 et de
premier terme u 10 = .
1 u 00 = ; u 21 = ; u 42 = ; u 63 = .2 La fonction f est défi nie par f x x 2= +^ h .3 Pour tout entier n, u u 2n n1 - =+ . Donc la suite u est arithmétique de raison 2 et de premier terme u 00 = .
Démontrer qu’une suite est, ou n’est pas, géométrique
a. uu
55 25
n
nn
n1
2 3
2 5= =+
+
+.
Pour tout entier n, u u25n n1 =+ . La suite u est géomé-trique de raison 25 et de premier terme u 1250 = .b. v 20 = ; v 2
51 = ; v 3
82 = , donc v
v45
0
1 = et
.vv
1516
1
2 =
Donc la suite v n’est pas géométrique.
Pour tout entier n :v v u u3 3
1 1n n n n1 1- = - = -+ +
v u v31 3 3
1n n n1 = - =+ ^ h .
Donc la suite v est géométrique de raison 31 et de
premier terme v u 3 30 0= - = .
1 u 10 = ; u 21 =- ; u 42 = ; u 83 =- .2 La fonction f est défi nie par f x x2=-^ h .3 Pour tout entier n, fu u u2n n n1 = =-+ ^ h . Donc la suite
u est géométrique de raison - 2.
Calculer des sommes
A 100 100 3 100 2 3#= + + + + +^ ^h h
100 100 3#f + +^ h
A 100 101 3 1 2 3 100# f= + + + + +^ h.
Donc A 100 101 3 2101 100 25 250# # #= + = .
Il faut calculer la somme :S 21 63 189 137 781f= + + + + .La suite utilisée est la suite géométrique de premier terme 21 et de raison 3.S 21 21 3 21 3 21 32 8# # #f= + + + +
S 21 1 3 3 3 21 1 31 32 8
9# #f= + + + + =
--
^ h
S 221 3 1 206 6619= - =^ h .
Il faut calculer la somme :S 128 256 512 16 384f= + + + + .La suite utilisée est la suite géométrique de premier terme 128 et de raison 2.S 128 128 2 128 2 128 22 7# # #f= + + + +
S 128 1 2 2 2 128 1 21 22 7
8# #f= + + + + =
--
^ h
S 128 2 1 32 6408= - =^ h .
1 Pour 10 colis, l’entreprise doit payer :S 98 98 3 1 98 3 2# #= + - + - +^ ^h h
98 3 9#f + -^ h.
Donc S 98 10 3 210 9
# # #= - . Donc S 845= €.
2 Le 34e colis devient gratuit. L’envoi de 33 colis coûte moins de 33 98 3 234# = €. Avec le budget prévu, ils peuvent envoyer tous les colis voulus !
Examiner le comportement à l’infini
1 La suite est arithmétique de raison r 3=- , donc u est divergente vers 3- . 2 La suite est arithmétique de raison r 2= , donc u est divergente vers 3+ .3 La suite est arithmétique de raison r 3=- , donc u est divergente vers 3- . 4 La suite est arithmétique de raison r 2= , donc u est divergente vers 3+ .
1 La suite est géométrique de raison 23 1 et v 20 = . Donc elle diverge vers +d.2 La suite est géométrique de raison 13 1- - . Donc elle diverge sans avoir de limites.3 La suite est géométrique de raison , ;0 5 1 1! - 6@ . Donc elle converge vers 0.4 La suite est géométrique de raison ;7
51 1!
--
^ h 6@ . Donc elle converge vers 0.
4 Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques
Calculer une somme infinie de termesÉtape 1 :À l’aide d’un tableur comme ci-dessous où un est 4
1 nc m et
Sn la somme des n premiers termes d’une suite géomé-trique de raison 4
1 et de premier terme 41 , on constate
que cette somme semble converger vers 31 .
Étape 2 : Validation géométriqueEn s’appuyant sur la fi gure, la quantité
,a a3 3 11 2 f+ + = car 3 fois l’aire de la surface verte donne la surface du carré de côté 1.Validation par le calculEn utilisant la suite géométrique de raison 4
1 , on a :
S 41
41
41
1 41
41
41
nn
n
2
1
f= + + + =-
-+
c c
c
m m
m
S 31
31
41
nn
= - c m . La suite géométrique de raison 41
converge vers 0. Donc lim S 31
n n =" 3+
.
À la recherche d’une formule1 En utilisant un tableur ou une calculatriceEn tapant en B3 : =B2+4*A2-6 et en « tirant » vers le bas, on obtient le tableau de valeurs ci-contre. Le graphique suggère une fonction polynôme de degré 2 pour un en fonction de n.2 a. En utilisant la régression quadratique de la calculatrice, on obtient u n n2 8n
2= - .
b. Comparons la suite u et la suite v telle que pour tout entier n, v n n2 8n
2= - .
On a v u00 0= = et pour tout entier n :v n n2 1 8 1n 1
2= + - ++ ^ ^h h
v n n n n n2 4 6 2 8 4 6n 12 2= - - = - + -+
v v n4 6n n1 = + -+ .Les suites u et v ont le même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence, donc elles sont égales. Donc pour tout entier n, u n n2 8n
2= - .
Utiliser une suite auxiliaire1 a. Voir ci-dessous.
b. On peut conjecturer que pour tout entier n, 2u 0n . La suite u semble décroissante et converger vers 0.c. La suite v semble être arithmétique de raison 0,4 et de premier terme 1.2 Signe de unLa fonction f défi nie sur ;0 3+6 6 par f x x
x2 5
5=
+^ h
est strictement positive.Comme 2u 1 00 = , alors 2fu u 01 0= ^ h . Alors 2fu u 02 1= ^ h , etc. Donc de proche en proche, pour tout entier n, 2u 0n .
3 a. v u uu
u1
52 5
52 1
nn n
n
n1
1= =
+= ++
+
.
Donc pour tout entier n, v v52
n n1 = ++ .
La suite v est arithmétique de raison 52 et de premier
terme v 10 = .b. On a donc v n1 5
2n #= + .
4 a. Pour tout entier n, u v n1
1 52
1n
n= =
+.
b. La suite v diverge vers 3+ , car elle est arithmétique de raison 0,4. Donc la suite u converge vers 0.
Comparer deux évolutions1 Pour tout entier n, u u 6n n1 = ++
et ,v v v v1003 1 03n n n n1 = + =+ .
La suite u est arithmétique de raison 6 et de premier terme u 800 = , et la suite v est géométrique de raison 1,03 et de premier terme v 1000 = .
Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques 5
2 a. L’algorithme met en place le calcul des termes un et vn jusqu’à ce que un dépasse vn et dans ce cas affi che la valeur correspondante de n.b. On propose les programmes suivants :
Casio
TI
On obtient : Noémie reçoit des étrennes supérieures à Alexandre en 2018. 3 a. On propose :p pALGO
Variables :i : entier ;U, V, S, C : réels ;
DébutU 80! ; V 100! ; S 80! ;C 100! ;Pour i allant de 1 à 9 faire
U U 6! + ;,V V 1 03! # ;
S S U! + ;C C V! + ;
FinPour ;Affi cher(« Noémie reçoit en tout », S ) ;Affi cher(« Alexandre reçoit en tout », C ) ;
Fin.
b. On propose les programmes suivants :
Casio
TI
Noémie reçoit en tout 1 070 € d’étrennes entre 2010 et 2019. Alexandre reçoit en tout environ 1 146,39 € entre 2010 et 2019.
1 a. 2 b. 3 b. 4 a. 5 b. 6 c. 7 a. 8 a.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai. 5 Vrai. 6 Faux.
Applications directes
1 Suites arithmétiques
1 a. et b. 2 c. 3 a. et c. 4 b.
1 a. et c. 2 c.
1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai.
a. La suite u est arithmétique de premier terme u 30 = et de raison r 2=- .b. La suite v est arithmétique de premier terme v 5
40 =
et de raison r 53
= .c. La suite w est arithmétique de premier terme w 20 =- et de raison r 4=- .d. La suite t n’est pas arithmétique.
a. La suite u est arithmétique de premier terme u 10 = et de raison r 2= .b. La suite u n’est pas arithmétique, car ,u 1 10
2= = u 3 91
2= = et u 5 2522= = . La diff érence u u 81 0- =
est diff érente de la diff érence u u 162 1- = .c. La suite u n’est pas arithmétique, car u 10 = , u 21 = et u 13 = . La diff érence entre deux termes consécutifs n’est pas constante.
a. La suite u est arithmétique de premier terme u 10 =- et de raison r 2= .Son terme général est u n1 2n =- + .u 199100 = .b. La suite u n’est pas arithmétique, car u 20 = , u 31 = et ,u 4 52 = . La diff érence entre deux termes consécutifs n’est pas constante.c. La suite u est arithmétique de premier terme u 10 =- et de raison r 4
3= .
Son terme général est u n1 43
n =- + . u 74100 = .d. La suite u est arithmétique de premier terme u 40 = et de raison r 1=- .Son terme général est u n4n = - . u 96100 =- .
1 u 1000 = ; u 40050 = .2 Pour tout entier n, u n100 6n = + .3 2r 6 0= . La suite u est strictement croissante.
1 a. La suite u est arithmétique de premier terme u 140 = et de raison r 5=- . En eff et : u u r24 2= + , donc r6 4 2- = + ; soit .r 5=- De plus u r2 40 + = , donc u 140 = .b. u 486100 =- .c. La raison de la suite u est négative, donc la suite u est décroissante.d. Le terme général est u n14 5n = - .
6 Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques
2 a. La suite u est arithmétique de premier terme u 2
50 =- et de raison r 10
3= .
b. u 255
100 = .c. La raison de la suite u est positive, donc la suite u est croissante.d. Le terme général est u n
25
103
n =- + .
1 u 20 = , u 61 = et u 102 = .2 Pour tout entier n,
u u n n4 6 4 2 4n n1 - = + - + =+ ^ ^h h .Donc la suite u est arithmétique de raison 4 et de premier terme 2.
1 a 14500 = ; ,a 1450 751 = ; ,a 1451 52 = .2 Pour tout entier n, le terme an 1+ est égal à la somme du terme précédent an et de 0,75 : ,a a 0 75n n1 = ++ .Donc la suite a est arithmétique de raison 0,75.3 Pour tout entier n, ,a n1450 0 75n = + .
smin15 900= . On a a 2 125900 = .Donc l’altitude de la gare d’arrivée est 2 125 m.
Le cercle !n a pour rayon n, donc :1 Pour tout entier n, p n2n = r .La suite p est arithmétique de raison 2r et de premier terme p 00 = .2 Pour tout entier n, a n n1n
2 2= + -r r^ h ; soit a n2n = +r r . La suite a est arithmétique de raison 2r et de premier terme a0 = r .
1 ,h 22 416 = et ,h 22 817 = .2 Pour tout entier n compris entre 15 et 30, on a
,h h 0 4n n1 - =+ . Donc la suite h est une suite arithmé-tique de raison 0,4.3 On a ,h n17 0 4 15n #= + -^ h. Donc h 2330 = .4 On a ,h h 10 0 428 18 #= + . Donc h 2418 = .
Démonstration de cours : les variations d’une suite arithmétiqueSoit une suite arithmétique u de raison r et de premier terme u0.1 Pour tout entier n, u u nrn 0= + .2 Pour tout entier n, u u rn n1 - =+ .3 Si 2r 0, alors pour tout entier n, 2u u 0n n1 -+ . Donc 2u un n1+ . La suite u est strictement croissante.Si 1r 0, alors pour tout entier n, 1u u 0n n1 -+ . Donc 1u un n1+ . La suite u est strictement décroissante.Si r 0= , alors la suite u est constante.
Utiliser les suites arithmétiques
1 a. u 10 = , u 31
1 = , u 51
2 = , u 71
3 = .
b. La suite u n’est pas arithmétique, car :
.31 1 5
131
!- -
2 La fonction f est dérivable sur ;0 3+6 6 et pour tout
réel x 0H , 2f xx2 1
1 02=+
l^^
hh
. Donc f est stricte-
ment croissante sur ;0 3+6 6 et comme f 0 0=^ h , la fonction f est strictement positive sur ;0 3+ 6@ .Comme 2u 1 00 = et fu u1 0= ^ h, on a 2u 01 .Comme fu u2 1= ^ h, 2u 02 , etc.Ainsi de proche en proche, pour tout Nn ! , 2u 0n .3 a. Pour tout entier n,
.v v u u uu
u1 1 2 1 1 2n n
n n n
n
n1
1- = - =
+- =+
+
Donc la suite v est arithmétique de premier terme v 10 = et de raison 2.b. Pour tout entier n, v n1 2n = + , donc u n1 2
1n =
+.
4 La suite v est arithmétique de raison 2, donc stricte-ment croissante. Donc la suite u est strictement décrois-sante.5 a. À l’aide de la calculatrice, on obtient le tableau de valeurs ci-dessous. On conjecture que :
lim u 0n n =" 3+
.
b. 1 1u n10 1 21 10n
6 6++
- -
2n1 2 106+ +
n 500 000+ H .À partir du rang N 500 000= , pour tout entier ,n NH 1 1u0 10n
6- .
1 u 19761 = , u 19722 = , v 21 = et v 42 = .2 On a u n1980 4n = - et v n2n = .3 Les suites u et v sont des suites arithmétiques. La suite u a pour raison 14 0- , donc u est décrois-sante.La suite v a pour raison 22 0, donc v est croissante.4 Jacques et William se rencontrent lorsque u vn n= ; soit n n1980 4 2- = , d’où n 330= . La rencontre a lieu au bout de 330 s, soit 5 min 30 s, sur la marche u 660330 = , c’est-à-dire entre les 36e et 37e étages.
2 Suites géométriques
1 b. et c. 2 b. 3 a.
1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai.
a. Pour tout entier n, uu
33
27n
nn
n1
3 1
3 4
=-
-=-+
+
+
^
^
h
h .
Donc u u27n n1 =-+ . La suite u est géométrique de raison - 27 et de premier terme u 30 =- .
Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques 7
Donc w w4n n1 =-+ . La suite w est géométrique de raison - 4 et de premier terme w 20 = .
a. Pour tout entier n, u 4 31
nn
= c m . Donc la suite
u est géométrique de raison 31 et de premier terme
u 40 = .b. u 20 = , u 41 = et u 62 = . Donc la suite u n’est pas géométrique.c. Pour tout entier n, ,u u0 97n n1 =+ . Donc la suite u est géométrique de raison 0,97 et de premier terme u 30 =- .d. On a u 40 = , u 51 = , u 2
112 = , donc u
uuu
0
1
1
2! .
La suite u n’est pas géométrique.
1 u 6 31
2432
66
#= =c m .
2 u 1024 21 88
7#= =c m .
1 u 1 3 2 18777#= - =-^ h .
2 u 3 41
10243
65
#= - - =^ ch m .
On a u qu4 3= , soit q18 2= . Donc q 9= .
On a u q u33
0= , donc u 7292
0 = .
On a u q u62
4= , soit u 81 18 14586 #= = .
1 La raison q vérifi e : uu q
2
6 4= . Donc q 814 = et
q 92 = . Donc q 3= ou q 3=- .2 Comme la suite u est croissante, 2q 0. Donc q 3= .
1 On a uu q2
42= . Donc q 16
92 = , soit q 43
= ou
q 43
=- . Comme la suite u est monotone, q 43
= .
2 La suite u est monotone décroissante, car la raison est positive et inférieure à 1 et que les termes sont positifs.3 Les termes de la suite u sont positifs non nuls.De plus, la suite u est décroissante, donc majorée par u
qu
932
0 22= = .
Pour tout entier n, 1u0 932
n G .
Soit q la raison de la suite géométrique.
On a q36 492 = , donc q 67
= ou q 67
=- .
Si q 67
= , alors x 67 36#= ; donc x 42= .
Si q 67
=- , alors x 67 36#=- ; donc x 42=- .
En notant un la taille de la n-ième poupée, la suite u est géométrique de raison 3
2 et de premier termeu 101 = .Donc ,u 10 3
281
160 1 9854
# .= =c m .
La cinquième poupée mesure environ 1,98 cm.
On note L la longueur initiale du triton.Pour tout entier n 1H , on note un la longueur du n-ième triton.Pour tout entier n 1H , on a : ,u L 0 8n
n 1#= - .
On cherche n tel que u L21
n G , c’est-à-dire tel que , ,0 8 0 5n 1 G- .
On obtient le tableau ci-dessous.La taille a diminué de moitié dès que n 5= .
Si la suite u est une suite géométrique de premier terme 2u 00 et de raison 2q 0, alors pour tout entier n 1H , u u qn
n1 0
1=-- et u u qn
n1 0
1=++ .
Donc u u u qn nn
1 1 02 2=- + .
Donc u u u q un nn
n1 1 0= =- + .
Pour tout entier n, on appelle un le prix du livre en n2011+ .
On a ,u u u u10012 0 88n n n n1 = - =+ .
La suite u est donc une suite géométrique de raison 0,88 et de premier terme u 200 = .Donc pour tout entier n, on a ,u 20 0 88n
n#= ^ h .En 2015, le livre coûtera ,u 20 0 88 124
4# .= €.
On a ,U U0 62 1= , , ,U U U0 6 0 363 2 1= = et , ,U U U0 6 0 2164 3 1= = .Comme U U U U 6 8001 2 3 4+ + + = , on a :
, U2 176 6 8001 = . Donc ,U 2 1766 800 3 1251 = = .
Donc ,U 3 125 0 6 18752 #= = ; U 11253 = et U 6754 = .
1 On a S 1004#= r - et pour tout entier n :
S 10 2nn4# #= r - .
2 a. La moitié de la surface est de 5 000r m2.
ALGO
Variables : S : réel ; N : entier ;Début S 10 4! #r - ; N 0! Tant que 1S 5 000 r faire N N 1! + ; S S2! # FinTantQue Affi cher N^ h ;Fin.
8 Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques
b. Il faut 26 jours pour que la moitié de l’étang soit recou-verte.3 Il suffi t de changer le test de la boucle TantQue :Tant que 1S 10 000 r faireOn obtient évidemment 27 jours.4 Si on appelle rn le rayon du nénuphar au bout de n jours, on a : r 10 2n
n2 4# #=r r - .On en déduit que r 10 2n
n2= - .
Pour tout entier n, on a rr 2
n
n 1 =+ . La suite des rayons
est une suite géométrique de raison 2 .
Démonstration du cours1 Pour tout entier n, u u u q u q u q q 1n n
n n n1 0
10 0- = - = -+
+^ h.
2 On prend u 10 = .Si 2q 1, alors 2q 0n et 2q 1 0- . Donc 2u u 0n n1 -+ . La suite u est strictement croissante.Si 1 1q0 1, alors 2q 0n et 1q 1 0- . Donc 1u u 0n n1 -+ . La suite u est strictement décrois-sante.Si 1q 0, alors 1q 1 0- , mais qn change de signe. Donc u un n1 -+ n’a pas un signe constant. La suite u n’est pas monotone.Si q 1= ou q 0= , alors la suite u est constante.3 Si 2u 00 , il n’a pas d’infl uence sur le sens de variation de la suite.Si 1u 00 , le sens de variation de la suite est changé.
Utiliser les suites géométriques
1 ,I I I I10023 0 771 0 0 0#= - = .
2 a. Pour tout entier n 1H , ,I I I I100
23 0 77n n n n1 1 1#= - =- - - .
b. Donc la suite I est géométrique de raison 0,77 et de premier terme I0.Donc pour tout entier n, ,I I 0 77n
n0 #= .
c. 1 1,0 0 77 1. Donc la suite ,0 77 n^ h est décroissante.
Comme 2I 00 , la suite I a le même sens de variation, donc I est décroissante.Ainsi plus le nombre de plaques augmente, plus l’inten-sité lumineuse à la sortie diminue.3 On résout : ,I 0 77 150
4# = .
Donc ,
,I0 77
15 42 670 4 .= lumen.
4 À l’aide de la calculatrice, on cherche le plus petit entier n, tel que I I4
1n 0G , c’est-à-dire , ,0 77 0 25n G .
Ainsi il faut au minimum six plaques.
1 Pour tout entier n, , .r r r r100
4 0 96n n n n1 = - =+
Donc la suite r est géométrique de raison 0,96 et de premier terme 50 000.2 Pour tout entier n, ,r 50 000 0 96n
n#= .
3 a. r 33 24210 . tonnes de déchets rejetés.La norme n’est pas respectée.b. Si le taux réduction de déchets est de 5 % par an, on a la suite u de terme général ,u 50 000 0 95n
n#= ; donc u 29 93710 . tonnes.La norme est respectée.
1 Voir le dessin ci-dessous.
x0 1
1
y
y = x
y = x—3+ 4
u0 = –2
La suite u semble croissante.La limite de la suite u semble être 6.2 a. Pour tout entier n, on a :
v u u u6 31 4 6 3
1 2n n n n1 1= - = + - = -+ + .
Donc v u v31 6 3
1n n n1 = - =+ ^ h .
La suite v est géométrique de raison 31 et de premier
terme v u 6 80 0= - =- .
b. On a v 8 31
nn
#=- c m . Donc pour tout entier n,
u v 6 6 8 31
n nn
#= + = - c m .
c. Pour tout entier n, on a :
u u 6 8 31 6 8 3
1n n
n n1
1# #- = - - -+
+
c cm m= <G F.Donc 2u u 3
1631 0n n
n1 #- =+ c m . La suite u est crois-
sante.
1 u 100 = , u 56
1 = , u 38
2 = , u 47
3 = .
Donc v 118
0 = , v 114
1 =- , v 112
2 = , v 111
3 =- .
On peut conjecturer que la suite v est une suite géomé-trique de raison 2
1- .
Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques 9
1 u 30 =- , u 21 = , u 72 = , u 123 = .2 Pour tout entier n,u n n5 1 3 5 3 5n 1 = + - = - ++ ^ ^h h ; donc u u 5n n1 = ++ . La suite u est arithmétique de raison 5 et de premier terme - 3.3 La suite u est arithmétique de raison 25 0 ; elle est donc croissante.4 S 98 3 5 1 2 3 97# f= - + + + + +^ ^h h ;
Donc S 98 3 5 298 97 23 471# #= - + =^ ch m .
1 Le terme général de la suite u est u u nrn 0= + .Donc S u r21 0= + , S u r3 1 22 0 #= + +^ h
et S u r4 1 2 33 0 #= + + +^ h.
2 S n u rn n
1 21
n 0= + ++
^^
hh .
3 Su nr n
22 1
n0
=+ +^ ^h h
Su u nr n u u n
21
21
nn0 0 0#
=+ + +
=+ +^ ^ ^ ^h h h h
4 Voir les exercices 62 et 63.
10 Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques
S1 est la somme des 7 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3
1 :
S 1 31
31
1 31
1 31
16
7
f= + + + =-
-c c
c
m m
m
,S 23
2 31 1 4991 6#
.= - ;
S2 est la somme des 11 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2- :S 1 2 2 22
2 10f= + - + - + + -^ ^ ^h h h
S1 2
1 23
1 2 6832
11 11=
- -
- -= + =
^
^
h
h .
S 2 1 51
51
51
1 2 6# f= + + + +d n.
Donc ,S 21 5
1
1 51
25
2 51 2 4991
7
6#.=
-
-= -
c
c
m
m
.
S 10 1 101
101
101
22 6
f= + + + + +c cd m m n.
Donc :
,S 101 10
1
1 101
9100
9 101 11 112
7
6#.= +
-
-= -
c m
.
a. S1 3
1 34
1 3n
n n1 1
=- -
- -=
- -+ +
^
^ ^
h
h h .
b. S 16 64 4nnf= + + +
S 16 1 16 4 16 4nn 2# # #f= + + + -
S 16 1 4 4nn 2# f= + + + -
^ h
S 16 1 41 4
316 4 1n
nn
11#=
-- = -
--
^ h.
1 On a pour tout entier n, u u qnn
0= .Donc S u q q q10
2 20# f= + + + +^ h.
2 S uq
q1
18
1 21
1 21
0
2121
#=-
-=
-
-
^
^
c
c
h
h
m
m
S 1621 1617 .= - .
1 u 40 = , u 21 = , u 12 = , u 21
3 = .
2 Par défi nition, la suite u est géométrique de raison
.21 Donc pour tout entier n, u 4 2
12
1n
n
n 2= =-
c m .
3 On a u 32 7681
21
17 15= = .
4 S 4 1 21
21 4
1 21
1 21
17
18
#f= + + + =-
-d
c
c
n
m
m
S 821 815 .= - .
En situation
1 On peut empiler au total 3 2 1 6+ + = tuyaux.2 D’un étage à l’étage supérieur, on met un tuyau de moins. En notant N le nombre de tuyaux posés sur le sol, le nombre total de tuyaux est :
N N 1 2 1f+ - + + +^ h .
Donc N N21 153#+ = , c’est-à-dire :
N N 306 02 + - = .On calcule 1225=D ; N 181 =- et N 172 = .Comme 2N 0, N 17= . Il y avait 17 tuyaux posés sur le sol.
1 Soit un le nombre de perles au rang n. La suite u est arithmétique de raison - 4 et de premier terme u 781 = .Donc pour tout n 1H , u n78 4 1n = - -^ h.On doit avoir u 10N = . Donc N78 4 1 10- - =^ h , soit N 18= .2 Le nombre S total de perles nécessaires pour garnir le bustier est :S u u u u1 2 3 18f= + + + + .S 78 78 4 78 2 4#= + - + - +^ ^h h
78 17 4#f + -^ h.Donc S 18 78 4 1 2 17# f= - + + +^ h
S 18 78 4 218 17
# # #= - .
Donc S 792= perles.
1 La suite u est une suite arithmétique de premier terme u 1301 = et de raison 52.On a u n130 52 1n = + -^ h.2 S 130 130 52 130 2 52n #= + + + + +^ ^h h
Donc la suite a est géométrique de raison 1,02 et de premier terme a 1000 = .Donc pour tout entier n, ,a 100 1 02n
n#= .2 , ,S 100 100 1 02 100 1 02n
n# #f= + + +
,, ,S 100 1 1 02
1 1 02 5 000 1 02 1nn
n1
1# #=-
-= -
++
d ^n h.
3 a. n représente l’âge d’Alban, a représente la somme versée l’année n et S la somme totale sur le compte au bout de n années.b. On complète :
ALGO
Variables :n : entier ; a, S : réels ;
Débutn 0! ; a 100! ; S 1000! ;Tant Que 1S 1999 faire
n n 1! + ;,a a 1 02! # ;
S S a! + ;FinTantQue ;Affi cher n^ h ;
Fin.
c.
TI
Casio
Alban pourra acheter sa guitare à 16 ans.
1 ,D 300 10020 300 300 0 8 2401 # #= - = = m3.
2 Pour tout entier n :,D D D D100
20 0 8n n n n1 #= - =+ .
La suite D est donc géométrique de premier terme D 3000 = et de raison 0,8. Donc pour tout n, ,D 300 0 8n
n#= .3 Le volume d’eau apporté dans la retenue au cours des 30 jours du mois de juin sera :
, ,V 300 300 0 8 300 0 829# #f= + + +
, , ,,V 300 1 0 8 0 8 300 1 0 8
1 0 82930
# f= + + + =-
-^ dh n;
soit V 1498. m3.
4 Approche du comportement à l’infini
1 a. 2 b. 3 b.
1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai.
1 La suite u est croissante ; elle est donc minorée par u 20 =- .
2 Soit M un réel. Pour tout n, u n2 3n =- + .
2 2 2u M n M n M2 3 3 6n + +- + + .
Quel que soit le réel M, dès que 2n M3 6+ , alors 2 .u Mn Donc la suite u n’est pas majorée.
3 lim un n 3=+" 3+
.
Pour n 3 10 66#H + , on a u 10n6H .
1 v 310 =- , v 48100 =- , v 4981000 =- ,v 4 99810 000 =- .Comme la raison 2
1- est négative, la suite v diverge vers 3- .
2 Pour tout entier n, v n2 2n = - .
a. v n10 2 21 10n
6 6+G G- - -
n 4 2 106+ #H + . Donc N 4 2 101
6#= + .b. De même N 4 2 102
12#= + .
1 lim un n 3=+" 3+
. lim v 0n n =" 3+
.
lim w 0n n =" 3+
.
2 La suite u a une raison 2q 1.La suite v a une raison q telle que 1 1q1 0- .La suite w a une raison q telle que 1 1q0 1.
a. lim u 0n n =" 3+
.
b. lim un n 3=-" 3+
.
c. La suite u n’admet pas de limite.d. lim u 0
n n =" 3+
.
1 Pour tout entier n, dans le triangle A B Bn n n1 1+ + rectangle en Bn, le théorème de Pythagore permet
d’écrire : c c c41
43
n n n12
2 2= ++ c cm m .
Donc c c410
n n1 =+ .
La suite c est géométrique de raison 410 et de premier
terme c a0 = .Donc pour tout entier n, c a 4
10n
n= c m .
2 La suite c est géométrique de raison ;q 0 1! 6@ , donc elle converge vers 0. Lorsque n devient grand, le côté du carré Fn est proche de 0.
1 ,C 1000 1001 5 1000 10151 #= + = ;
et , ,C 1015 1001 5 1015 1030 22 # .= + .
2 Pour tout entier n : , ,C C C C100
1 5 1 015n n n n1 #= + =+ .
La suite C est géométrique de raison 1,015 et de premier terme C 10000 = . La raison est supérieure à 1 et 2C 00 . Donc la suite C est croissante et a pour limite 3+ .Plus le temps passe, plus le capital augmente et fi nit par devenir très grand.
12 Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques
i i 1! + ; ,C C 1 015! # ;FinTantQue ;Affi cher(i) ;
Fin
TI
Casio
Le capital va doubler au bout de 47 ans.b. On modifi e :ALGO
Variables :C : réel ; i : entier ;
DébutEntrer C0^ h ;C C0! ; i 0! ;TantQue 1C C2 0 faire
i i 1! + ; ,C C 1 015! # ;FinTantQue ;Affi cher i^ h ;
Fin
TI
Casio
On constate que quelle que soit la valeur de C0 on double le capital au bout de 47 ans.
1 , ,R R R R10030 0 7 1 261 0 0 0 #= - = = .
, ,R R 0 7 0 8822 1 #= = .2 Pour tout entier n, ,R R R R100
30 0 7n n n n1 = - =+ .
Donc la suite R est géométrique de raison 0,7. Elle est donc décroissante et admet pour limite 0. Plus le temps passe, plus la quantité de médicament diminue et celui-ci tend à disparaître.3 On obtient : n 21 = ; n 92 = ; n 153 = .
1 d1 = r et d 22 =r .
2 a. Pour tout entier n, d d21
n n1 =+ . Donc la suite d est
géométrique de raison 21 et de premier terme d1 = r .
b. Pour tout entier n 1H , d 21
nn 1
= r-
c m .
3 a. Pour tout entier n 1H :D d d dn n1 2 f= + + +
D 21
21
nn 1
# #f= + + +r r r-
c m
D 1 21
21
nn 1
f= + + +r-
cd m n
D1 2
1
1 21
2 1 21
n
n
n=
-
-= -r r
c
cd
m
m n.
b. lim 21 0
n
n=
" 3+c m . Donc lim D 2
n n = r" 3+
.
Problèmes
1 Appelons un le nombre de cubes du mobile à l’étape n. Pour tout entier n 1H , le cube de l’étape n 1+ est obtenu en ajoutant un cube au bout de chaque branche du cube de l’étape n.Donc u u 6n n1 = ++ . La suite u est une suite arithmé-tique de raison 6 et de premier terme u 11 = .2 Pour tout entier n 1H , u n1 6 1n = + -^ h.Donc u 5510 = .
1 Pour tout entier n 1H , on pose un le montant des pénalités du n-ième jour : u 1001 = et pour tout entier n 1H , u u 50n n1 = ++ .Donc la suite u est arithmétique de raison 50.Donc pour tout entier n 1H , u n100 50 1n = + -^ h.Le fabriquant « off re » la machine dès que : u u u 10 000n1 2 f H+ + +
T 2 870. €.La proposition 1 est la plus avantageuse.
1 Pour tout entier n, u u 1n n1 = -+ .Donc la suite u est arithmétique de raison - 1.Donc pour tout entier n, u u nn 0= - .2 Le nombre de boîtes est égal à 24 23 1f+ + + , donc 2
24 25 300# = .
3 a. On a :
nn n
1 2 3 105 21
105+f+ + + + =+
=^ h
n n 210 02+ + - = .841=D ; n 151 =- et n 142 = .
14 est la seule solution positive. Chaque boîte a 10 cm de diamètre, donc la largeur de la pile sera de 140 cm.b. Il y a 14 lignes de boîtes, donc la hauteur sera de 140 cm.
Pour tout entier n, v 3 3 3 3nu u r u r
11n n n= = =+
++ .Donc v qvn n1 =+ en posant q 3r= .La suite v est une suite géométrique de raison 3r .
1 a. En tenant compte des transferts de puces, on a :• en B3 : =B2*0,8+C2*0,6 ;• en C3 : =B2*0,2+C2*0,4.
b.
c. On constate que le nombre de puces se stabilise sur chaque podium : 750 sur le grand et 250 sur le petit.2 Les suites u et v semblent géométriques de raison 5
1 . 3 a. Pour tout entier n :
, , , ,g g p g g0 8 0 6 0 8 0 6 1000n n n n n1 = + = + -+ ^ h.Donc pour tout entier n, ,g g600 0 2n n1 = ++ .b. ,u g g750 0 2 600 750n n n1 1= - = + -+ + .Donc , ,u g u0 2 750 0 2n n n1 = - =+ ^ h . La suite u est géométrique de raison 0,2 et de premier terme - 550.c. Pour tout entier n, ,u 550 0 2n
n#=- .Donc ,g 750 550 0 2n
n#= - .d. ,lim 0 2 0
nn =
" 3+. Donc lim g 750
nn =
" 3+.
4 Si g p 10000 0+ = , alors on obtient :,g g750 750 0 2n
n0 #= + -^ h , ce qui ne change rien
aux conclusions.
Pour tout entier n 1H , on note n, la distance parcourue par la balle après n rebonds. On a :
1 21
21
21
1 21
1 21
nn
n2 1
, f= + + + + =-
--
c c
c
m m
m
.
Donc 12 21 2n
n 1, = -
-
c m .
Donc la balle ne tombera pas de la table.
On considère la première marche comme unité de masse. Il en faut 6 pour un escalier de 3 marches, donc elle pèse 20 kg. Si on appelle un le nombre d’unités néces-saires pour la construction d’un escalier de n marches, on a pour tout entier n 1H , u u n 1n= + + .
Donc u nn n
1 2 3 21
n f= + + + + =+^ h .
Donc la masse de ciment nécessaire pour construire un escalier de n marches est :
mn n
n n20 21
10 1n #=+
= +^
^h
h kg.
Ainsi : m 2004 = , m 3005 = , m 110010 = en kg.
1 a. Au bout de 4 semaines, il y a :A : ,4 500 1 025 4 9674# . bactéries ;B : 5 000 4 140 5 560#+ = bactéries.Au bout de 10 semaines, il y a :A : ,4 500 1 025 5 76010# . bactéries.B : 5 000 10 140 6 400#+ = bactéries. b. Pour tout entier n :
, ,u u u u1002 5 1 025n n n n1 = + =+ et v v 140n n1 = ++ .
Donc la suite u est géométrique de raison 1,025 (et de premier terme u 4 5000 = ) et la suite v est arithmétique de raison 140 (et de premier terme v 5 0000 = ).On en déduit que pour tout entier n :
,u 4 500 1 025nn#= et v n5 000 140n = + .
2 Au bout de 28 semaines, le nombre de bactéries A aura dépassé le nombre de bactéries B.
On peut aussi programmer un algorithme :p p g gALGO
Variables :N : entier ; U, V : réels ;
DébutN 0! ; U 4 500! ; V 5 000! ;Tant Que U VG faire
N N 1! + ;,U U 1 025! # ;
V V 140! + ;FinTantQue ;Affi cher N^ h ;
Fin.
Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques 15
3 25 % par rapport au nombre initial de bactéries de la culture A représentent 1 125 bactéries. Il faut donc 2u 4 500 1125n + , soit 2u 5 625n . Un tableur nous indique que cela se vérifi e au bout de 10 semaines.
A0
A1
A2 A3
A4
A5
A6A7A8
A9 O
1 a. et b. Voir ci-dessus. Les points O, A0 et A8 sont alignés, ainsi que les points O, A1 et A9, car les triangles rectangles isocèles ont des angles aigus de 45°.
2 a. D’après le théorème de Pythagore dans OA A1 2, on a A A
210
1 2 = .
Puis de la même façon A A A A2
52 31 2= = .
b. Si, à une étape, la longueur du côté diff érent de l’hy-poténuse est notée a, la longueur du côté diff érent de l’hypoténuse du triangle de l’étape suivante est a
2.
c. La suite des côtés d’un triangle est une suite géomé-trique de premier terme 10 et de raison
21 .
Donc pour tout entier n 0H ,
A A 102
1n n
n
1 #=+ d n .
3 a. La longueur de la ligne brisée à l’étape 2 est :
S A A A A 102
10 10 5 22 0 1 1 2= + = + = + .
La longueur de la ligne brisée à l’étape 3 est :
S A A A A A A 102
102
103 0 1 1 2 2 3 2= + + = + +
^ h
S 15 5 23 = + .
b. Pour tout entier n 1H ,
S 102
102
10 102
1n
n
2
1#f= + + + +
-
^d
hn ;
S 101
21
12
1
2 110 2 1
21
n
n
n#=
-
-
=-
-
d
df
n
n p.
Remarque : on peut transformer 2 1
2 2 2-
= + et
obtenir : S 10 2 2 12
1n
n= + -^ dfh n p.
4 On entre An et Sn en Y1 et Y2.a. Le côté du triangle devient inférieur à 0,5 cm dès le 9e triangle.
b. La longueur de la ligne brisée est supérieure à 30 cm dès le 7e triangle.
c. La longueur de la ligne brisée est supérieure à 34,142 cm dès le 36e triangle.
5 Comme ;2
1 0 1! 6@ , on a lim 102
1 0n
n=
" 3+d n .
Donc lim S2 1
10 2 10 2 2n n =
-= +
" 3+^ h.
Partie A - Étude d’un triangle blanchi à l’étape n1 À l’étape 1, on blanchit un triangle, ayant un côté égal à la moitié du côté du triangle initial.
Donc u 11 = ; p 3 210 151 #= =c m
et a 41
410 3
425 31
2#= =c m (l’aire est le quart de
l’aire du triangle initial).On rappelle que l’aire d’un triangle équilatéral de côté a
est a4
32.
2 Pour le passage de l’étape 1 à l’étape 2 :• On blanchit 3 fois le nombre de triangles blanchis à l’étape précédente. Donc u u3 32 1= = .• Chaque triangle blanchi a un côté moitié du triangle blanchi précédent, donc un périmètre moitié du triangle
blanchi précédent. Donc p p2 2
152
1= = .
• Chaque triangle blanchi a une aire égale au quart de l’aire du triangle blanchi précédent. Donc a a4
11625 32 1= = .
D’une façon plus générale, pour tout entier n 1H :u u3n n1 #=+ ;
p p2n
n1 =+ ;
a a4n
n1 =+ .
Les suites u, p et a sont donc géométriques, de raisons respectives 3, 2
1 et 41 .
16 Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques
Partie B - Un tracé bien long1 Pour tout entier n 1H ,
P u p 3215 15 2
3n n n
nn
n1
1
1# # #= = =-
-
-
c m .
2 ◗ À l’aide de la calculatrice, on cherche le rang N à partir duquel P 100n H .On obtient N 6= .
◗ À l’aide de la calculatrice, on cherche N à partir duquel P 1000 000N H .On obtient N 29= .
3 Comme la raison de la suite géométrique u est 3 et que u 11 = , la suite u diverge vers 3+ .De même, les raisons des suites géométriques p et a sont comprises entre 0 et 1. Donc les suites p et a convergent vers 0.
Partie C – Vers le blanc1 Pour tout entier n 1H ,
A u a 3 254
3n n n
nn
1# #= = -
A 425 3
43
nn 1
#=-
c m .
Comme 1 10 43 1, la limite de la suite A est 0.
2 On peut conjecturer que pour un nombre très grand d’étapes, le triangle initial est complètement blanchi,
c’est-à-dire que l’aire Sn tend vers 410 3 25 3
2= .
Pour tout entier n 1H ,
S A A An n1 2 f= + + +
.S 425 3
425 3
43
425 3
43
nn 1
# #f= + + +-
c m
Donc :
S 425 3 1 4
343
nn 1
# f= + + +-
cd m n
S 425 3
1 43
1 43
25 3 1 43
n
n
n# #=
-
-= -
c
cd
m
m n.
Comme 1 10 43 1, la limite de 4
3 nc m est 0.
Donc la suite S converge vers 25 3 .
Partie A : Des formules de récurrence1 10, = , c 30 = , P 30 = et #0 4
3= .
2 D’après le processus de construction, pour tout entier n, 3
1n n1, ,=+ et c c4n n1 =+ .
3 Pour tout entier n, P cn n n# ,= .
4 On a pour tout entier n, #n + 1 = #n c 4
1 3n
n2
#,
++ .
Partie B : Expérimenter
On peut conjecturer que :– la suite , converge vers 0 ;– la suite c diverge vers 3+ ;– la suite P diverge vers 3+ ;– la suite # converge vers un réel voisin de 0,692 82.
À l’étape n, on a 1 2 2 2n2 f+ + + + branches au total, c’est-à-dire la somme des n 1+ termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
Donc il y a 1 21 2 2 1
nn
11
-- = -
++ branches.
Le nombre de rameaux dépasse 1 000 000 à la 19e étape.
Revoir les outils de base
1 c. 2 a.
1 b. 2 c.
Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques 17
1 Chaque minute, on apporte 50 litres d’eau, donc on ajoute une hauteur de , ,
, ,0 5 0 50 05 0 2#
= m.
La suite des hauteurs est donc arithmétique de raison 0,2 et de premier terme , ,
, ,h 0 5 0 50 075 0 30 #
= = m.
2 ,h h 8 0 28 0 #= + . La hauteur d’eau après 8 minutes de remplissage est de 1,9 m.
Rémi généralise hâtivement une propriété constatée sur les trois premiers termes.Sami se trompe, car u
32
n n
n1 1
2=+ +
+.
a. La suite u est une suite géométrique de raison 53
comprise entre 0 et 1 et de premier terme 1, donc elle converge vers 0.b. La suite v est une suite arithmétique de raison - 2 (négatif ), donc elle diverge vers 3- .c. Pour tout nombre entier n, ,k k0 5n n1 =+ .La suite k est géométrique de raison 0,5 comprise entre 0 et 1 et de premier terme 1 000, donc elle converge vers 0.
En lien avec les sciences
1 Les productions mondiales prévues pour 2009 et 2010 sont :
,120 791 1 2 144 949# . MW et ,144 949 1 2 177 939# . MW.2 a. Pour tout entier n, ,u u 1 2n n1 #=+ .La suite u est géométrique de raison 1,2 et de premier terme u 120 7910 = .b. Pour tout entier n, ,u 120 791 1 2n
n#= .3 On entre :– en C2 =120 791 ;– en C3 =C2*1,2.La production dépassera 250 000 MV en 2012.
Pour tout entier n :C C t C C t
100 1 100n n n n1 #= + = ++ c m.
La suite C est géométrique de raison t1 100+ .
Pour tout entier n, on a C C t1 100nn
0 #= +c m .
Donc p t1 100 1 100nn
#= + -c m= G .
La suite p est naturellement croissante.pn ne dépend pas de C0. Donc le temps de doublement ne dépend que de t.Pour t fi xé, on cherche n tel que p 100n H , c’est-à-dire
tel que t1 100 2nH+c m .
À l’aide de la calculatrice, on a :
Taux de placement (en %)
1 2 3 4 5 10 15 30 50
Nombres d’années 70 36 24 18 15 8 5 3 2
Approfondissement
1 u 21 = et u 38
2 = . Donc uu 2
0
1 = et uu
34
1
2 = .
La suite u n’est pas géométrique.
2 Pour tout entier n, 2u u 32 0n n
n1 - =+ c m . Donc la
suite u est strictement croissante.
3 Pour tout Nn ! , v u u 32
n n nn
1= - =+ c m .
La suite v est géométrique de raison 32 et de premier
terme v u u 10 1 0= - = .4 Pour tout entier n,
S 1 32
32
1 32
1 32
nn
n 1
f= + + + =-
-+
c
c
m
m
S 3 1 32
n
n 1= -
+
cd m n.
5 Pour tout entier n :S u u u u u un n n1 0 2 1 1f= - + - + + -+^ ^ ^h h h. Donc S u un n 1 0= -+ ,
soit u S u 1 3 1 32
n n
n
1 0
1= + = + -+
+
cd m n.
Donc u 3 1 32 1n
n= - +cd m n .
1 a. 500, = r , 251, = r , ,12 52, = r .
b. Pour tout entier n, 21
n n1, ,=+ .
c. La suite , est géométrique de raison 21 et de premier
terme 500, = r .d. Pour tout entier n, 50 2
1n
n, = r c m .
2 L 50 1 21
21
0 1 77
, , f , f= + + + = + + +r cd m n.
L 501 2
1
1 21
100 1 21
8
8=
-
-= -r r
J
L
KKKK
c
cd
N
P
OOOO
m
m n.
Donc ,L 312 9. m.
C H A P I T R E
Géométrie plane
Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane 1
Contenus Capacités attendues CommentairesGéométrie planeCondition de colinéarité de deux vecteurs : xy yx 0- =l l .
Vecteur directeur d’une droite.Équation cartésienne d’une droite.
Expression d’un vecteur du plan en fonction de deux vecteurs non colinéaires.
Utiliser la condition de colinéarité pour obtenir une équation cartésienne de droite.◗ Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un vecteur directeur et un point.◗ Déterminer un vecteur directeur d’une droite défi nie par une équation cartésienne.
◗ Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes.
On fait le lien entre coeffi cient directeur et vecteur directeur.
L’objectif est de rendre les élèves capables de déterminer effi cacement une équation cartésienne de droite par la méthode de leur choix.
On ne se limite pas au cadre de la géométrie repérée.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole �.
2. Intentions des auteursDans ce chapitre, il s’agit à la fois de renforcer la capacité des élèves à étudier des problèmes dont la résolution repose sur la démonstration d’alignement et de parallélisme, mais aussi de préparer l’introduction de l’outil produit scalaire.L’introduction de ce nouvel outil implique un travail, contrairement à la classe de Seconde, sur le calcul vectoriel non repéré, en particulier la décomposition d’un vecteur suivant deux vecteurs de directions diff érentes.On travaille tout d’abord sur la colinéarité de deux vecteurs, avec pour corollaire la décomposition d’un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires. Il s’agit de résoudre des problèmes d’alignement et de parallélisme.Ensuite, on travaille à la défi nition d’une équation cartésienne de droite et au lien avec l’équation réduite de celle-ci.Par ailleurs, on précise les positions relatives de deux droites où les vecteurs directeurs fournissent des critères de décision.
Les exercices d’applications directes sont basés sur :– la colinéarité de deux vecteurs : colinéarité dans un repère, étudier des confi gurations ;– l’expression d’un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires : lectures graphiques, utiliser la relation de Chasles, étudier des confi gurations ou des ensembles de points ;– équations cartésiennes d’une droite : vecteurs directeurs, équations de droites, étudier des confi gurations.De nombreux problèmes permettent à la fois de maîtriser les outils défi nis dans le chapitre en situation et de travailler dans des cadres diff érents : cadre algébrique, analytique et vectoriel.Certains résultats du cours sont démontrés aux exercices 77 et 78.De nombreux exercices du type QCM et Vrai- Faux et des exercices utilisant l’algorithmique sont présents dans ce chapitre.
2 Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane
ActivitéActivité 1 Utiliser la colinéarité de vecteursObjectifIl s’agit d’aborder les problématiques du chapitre en utili-sant les résultats de la classe de Seconde : calculs de coor-données, utilisation de la notion de colinéarité vue en Seconde.1 On a AD 4
2d n et BC 84d n. Donc BC AD2= . Ces vecteurs
sont colinéaires, donc les droites AD^ h et BC^ h sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est un trapèze.2 Le milieu E de BC6 @ a pour coordonnées :
; ;23 5
23 1 1 1- + - + = -c ^m h.
On en déduit que AB 15
--d n et DE 1
5--d n, soit AB DE= .
Le quadrilatère ABED est un parallélogramme.
3 On a OA 22
-d n et OE 1
1-d n, donc OA OE2=- .
En conséquence, les trois points A, E et O sont alignés.
ActivitéActivité 2 Décomposer des vecteursObjectifIl s’agit ici d’aborder l’outil vectoriel sans utiliser de repère.1 I I I JOM OC O C O O2
121
21
= = + = +^ ^h h
donc I JOM O O21
21
= + .
De même I JOD O O=- + .
2 Comme IO LB= et J JO L21
= , on a :
JOM LB L21
41
= + . De même JOD LB L21
=- + .
3 OM OC21
= . IOD OC CD OC O2= + = - .
Donc IOD O OC2=- + .
ActivitéActivité 3 Démontrer en utilisant une décompositionObjectifs◗ Mettre l’élève en position de correcteur d’une démonstra-tion utilisant les vecteurs sans coordonnées.◗ Retrouver un résultat à l’aide d’une autre méthode.
1 Marc utilise la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs EF et IB en fonction de vecteurs colinéaires à AB et AC .On en déduit que IEF B3
2= , donc que les droites EF^ h
et IB^ hsont parallèles, car elles ont des vecteurs direc-teurs colinéaires.2 a. ;A 0 0^ h, ;B 1 0^ h, ;C 0 1^ h, ;E 3
2 0c m, ;I 0 21
c m,
;F 0 31
c m.
b. IB1
21
-f p, EF 3
2
31
-J
L
KKKK
N
P
OOOO.
c. On a IEF B32
= . Les vecteurs EF et IB sont colinéaires,
donc les droites EF^ h et IB^ h sont parallèles.
ActivitéActivité 4 Appartenance à une droiteObjectifAutomatiser les calculs qui permettent de décider si un point appartient ou non à une droite.1 Un point appartient à la droite ! si, et seulement si, ses coordonnées vérifi ent l’équation de la droite !.2 0 1 1# + = , donc A ! !.De même, B ! !, C ! !, D !Y !.2 a. Si ;M x y^ h, on compare y avec x2 1+ . S’il y a égalité, la réponse est « oui » ; dans le cas contraire, c’est « non ».b. On vérifi e les résultats du 1 .
ActivitéActivité 5 Caractériser un ensemble de pointsObjectifs◗ Caractériser vectoriellement les points d’une droite passant par A et de vecteur directeur u .◗ Donner une équation cartésienne de cette droite.1 a. et b. On conjecture que l’ensemble E est la droite passant par le point A et de vecteur directeur u .2 a. Si M E! , alors il existe un réel a tel que AM a= u ; donc les vecteurs AM et u sont colinéaires.Réciproquement si AM et u sont colinéaires, alors il existe un réel a tel que AM a= u .b. « Le point M appartient à E si, et seulement si, les vecteurs AM et u sont colinéaires ».3 a. ;B 2 2^ h.b. M AB! ^ h si, et seulement si, AM et AB sont coli-néaires ; donc si, et seulement si, AM et u sont coli-néaires.c. L’ensemble E est la droite AB^ h.
4 Si ;M x y^ h, alors AM xy
11
+-
d n.
En utilisant la condition analytique de colinéarité, AM et u colinéaires équivaut à x y1 1 3 1 0# #+ - - =^ ^h h ; donc M E! si, et seulement si, x y3 4 0- + = .
Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane 3
Utiliser le calcul vectoriel pour étudier des configurations
Les vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si, m m1 1 2 12 0# #- + - =^ ^h h ; soit m 25 02 - = . Les vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si, m 5= ou m 5=- .
On a I JA C= , donc le quadrilatère ACJI est un parallélogramme. Ses diago-nales JA6 @ et IC6 @ se coupent en leur milieu D.
En utilisant la relation de Chasles, on obtient : MA MB MC MA MA AB MA AC2 2+ - = + + - +^ h
AB AC2= -
qui est un vecteur indépendant de M.
B C
A
AB – 2AC
MA MB MC2 3 3+ = .
Donc MA MA AB MA AC2 3 3+ + = +^ ^h h,
donc MA BA AC BC2 3 3= + =^ h .
Les vecteurs AM et BC sont colinéaires, donc les droites AM^ h et BC^ h sont parallèles.
Déterminer une équation cartésienne de droite
a. AB 35
-d n. Le point ;M x y^ h appartient à la droite
AB^ h si, et seulement si, AM xy
23
-+
d n et AB sont coli-
néaires ; soit x y2 5 3 3 0# #- - + - =^ ^ ^h h h .Donc la droite AB^ h a pour équation x y5 3 1 0+ - = .b. Le point ;M x y^ h appartient à la droite ! si, et seule-
ment si, CM xy
34
--
d n et u sont colinéaires ; soit :
x y3 3 4 2 0# #- - - - =^ ^ ^h h h .Donc la droite ! a pour équation x y3 2 17 0+ - = .
c. La droite d a pour vecteur directeur IO 10d n. Donc elle a
pour équation y 3=- .
La droite d passe par A si, et seulement si, a 1 3 2 5 3 0# #- - - + =^ ^h h ; soit a 3
4=- .
La droite d a pour équation cartésienne :
x y37 2 3 0- - + =
et a pour vecteur directeur u 67-
d n.
1 Soit ;M x y^ h et ;A 2 2-^ h. On a AB 42d n et
AM xy
22
+-
d n. Le point M appartient à AB^ h, si et seule-
ment si AM et AB sont colinéaires, c’est-à-dire :y x4 2 2 2 0- - + =^ ^h h .
La droite AB^ h a pour équation : x y2 6 0- + = .La droite AC^ h passe par ;A 2 2-^ h et ;C 2 1^ h. Donc son
coeffi cient directeur est : 2 2
1 241
- -- =-^ h
. Donc AC^ h
a pour équation y x p41
=- + . Comme elle passe par
A, on a p2 41 2#=- - +^ h , donc p 2
3= . La droite
AC^ h a pour équation y x41
23
=- + .
La droite BC^ h est parallèle à l’axe des ordonnées. Elle admet pour équation : x 2= .2 La droite EF^ h est parallèle à AC^ h, donc elle a pour équation : y x p4
1=- + .
Comme elle passe par ;E 0 3^ h, on a p 3= ; donc la
droite EF^ h a pour équation y x41 3=- + .
Utiliser les équations de droites et les vecteurs directeurs pour étudier alignement ou parallélisme
,AB 1 51d n et ,CD 4 5
3--
d n.
Comme , ,1 5 3 1 4 5 0# #- - - =^ ^ ^ ^h h h h , AB et CD sont colinéaires. Les droites AB^ h et CD^ h, qui ont des vecteurs directeurs colinéaires, sont parallèles.
On a AB 34
-d n, AC 4
5-d n, AD 1296
1728-d n
Ces trois vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B, C et D ne sont pas alignés.
Parmi toutes les méthodes possibles, choisissons celle faisant intervenir les équations de droites. On se place dans un repère orthonormé d’origine A et dont les axes sont portés par les droites AE^ h et AF^ h.On a ;E 13 0^ h et ;F 0 21^ h. Pour tout ;M x y^ h, M appar-
tient à la droite EF^ h si, et seulement si, EF 1321
-d n et
EM xy
13-d n sont colinéaires, c’est-à-dire :
y x13 21 13 0#- - - =^ h .D’où une équation de la droite EF^ h :
y x13 21 273 0- - + = . Comme les coordonnées de ;C 8 8^ h ne vérifi ent pas cette équation, les points F, C et E ne sont pas alignés.
A
CD
B
I
J
4 Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane
Étude d’un « lieu géométrique »Étape 11 et 2 Voir le schéma ci-contre. Lorsque M est en O, le point N est aussi en O : les points M, N et P sont alors confondus avec le point O.
3 Il semble que le point P décrit la droite D passant par
O et de vecteur directeur a 21d n.
Étape 2
1 a. MK xy b-
d n. Le vecteur MK est colinéaire à u si, et
seulement si, x y b1 2 0# #- - - =^ ^h h .Donc la droite dM a pour équation : x y b2 2 0+ - = .b. Le point N a pour ordonnée 0 et est sur la droite dM . Donc x b2= et N a pour coordonnées ;b2 0^ h.
Le milieu P de MN6 @ a pour coordonnées ;b b2c m.
2 Pour tout point ;M b0^ h, le point ;P b b2c m a des coor-
données qui vérifi ent l’équation de D .
3 Soit P un point de D . Il a pour coordonnées ; 2a ad n.
Soit ;M x y^ h un point de la droite passant par P et de
vecteur directeur u . Alors PMx
y 2
-
-
aaf p et u sont coli-
néaires. Donc cette droite a pour équation : x y2 2 0+ - =a .
Cette droite coupe les axes de coordonnées en ;N 0 a^ h et ;M 2 0a^ h. Le milieu de MN6 @ est le point P qui appartient donc à C .4 L’ensemble C des points P est la droite D .
Configuration du « trapèze complet »
A – Approche graphique1 Construction à l’aide du logiciel Geogebra (voir p. 211).2 On conjecture que les points O, I, J et E sont alignés.3 On conjecture que ces rapports sont égaux.
B – Démonstrations1 a. Les vecteurs BC et AD sont colinéaires et 2 .BC AD Donc il existe un réel k tel que BC k AD= et 2k 1.b. Première méthode : Par la relation de Chasles, BC BE EC= + et AD AE ED= + .
Ainsi BE EC k AE ED+ = +^ h, d’où : EC kED EB kEA- = -
1 2 344 44 1 2 344 44.
colinéaire à CD colinéaire à AB
Or les droites AB^ h et CD^ h ne sont pas parallèles.
Donc EC k ED 0- = et EB k EA 0- = .
Ainsi EC k ED= et EB k EA= .Seconde méthode : D’après le théorème de Thales avec les parallèles AD^ h et
BC^ h, on peut écrire ADBC
EAEB
EDEC k= = = et en tenant
compte du sens des vecteurs, on obtient : EB k EA= et EC k ED= .
c. On a I IE EA A EA AD21
= + = +
et J JE EB B EB BC k EA k AD21
2= + = + = + .
Donc J IE k E= . Donc les points E, I, J sont alignés.
2 a. On a BD BA AD k BC BA1= + = + . Donc le point
D a pour coordonnées ;k1 1c m.
b. BD k1
1f p.
;M x y BD!^ ^h h équivaut à BM xyd n et BD colinéaires.
Donc la droite BM^ h a pour équation : y kx= .De même, la droite AC^ h a pour équation dans le repère
, ,B C A^ h : x y 1 0+ - = .En résolvant le système formé par ces deux équations, on obtient les coordonnées de leur point d’intersection
;O k kk
11
1+ +c m.
c. ;I k21 1c m et ;J 2
1 0c m. Donc JI kk
21
1
-f p.
On a IO k kk
k
2 11
11+
-
+
J
L
KKKK
^
N
P
OOOO
h , donc I JIO k 11
=+
.
Les trois points O, I et J sont alignés. 3 Les conjectures de la partie A sont vérifi ées.
Déterminer une équation cartésienne d’une droite1 a. Le point ;M x y^ h appartient à D si, et seulement si,
les vecteurs AM x ay b
--
d n et u pqd n sont colinéaires, soit :
q x a p y b 0- - - =^ ^h h .La droite D a pour équation :
qx p y aq bp 0+ - + - + =^ ^h h .b. On propose :
Variables :a, b, p, q, e : réels.
DébutEntrer(a, b, p, q) ;e a q b p! # #- + ;Affi cher(« la droite a pour équation cx + dy + e = 0 ») ;Affi cher(« où c vaut » , q) ;Affi cher(« d vaut » , - p) ;Affi cher(« e vaut » , e) ;
Fin.
P
x
y
M !dM
N
u
u
10
1
Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane 5
2 a. La droite D a pour équation x y3 5 0+ + = .La droite BC^ h a pour équation x y3 2 1 0+ + = .b. Les vecteurs u et BC ne sont pas colinéaires. Donc les droites D et BC^ h sont sécantes. En résolvant le système formé par les équations de D et BC^ h, on obtient les coordonnées de leur point d’intersection ;1 2-^ h.
1 b. 2 c. 3 a. 4 c. 5 b. 6 b. 7 a. 8 b.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux.
Applications directes
1 Colinéarité de deux vecteurs
1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai.
1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux. 4 Vrai.
1 a., b., c. 2 b.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux.
Colinéarité dans un vecteur
1 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.
2 Les vecteurs u et v sont colinéaires, car v u2=- .
3 Les vecteurs u et v sont colinéaires, car v u1 2= +^ h .
1 Les vecteurs u et v sont colinéaires, car v u45
=- .
2 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, car 3 2 2 3 0# - =Y .
3 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, car 1 5 7 2 6 0#+ - =Y^ h .
1 u x1d n et v x 1
2+
d n sont colinéaires
x x x2 1 1 0 1+ +# #- + = =^ h .
2 u x 12-
d n et v x2
1+d n sont colinéaires
x x1 1 2 2 0+ # #- + - =^ ^h h
x x5 0 52+ +- = =- ou x 5= .
3 Si x 0! , u x 12+
d n et v x1
1f p sont colinéaires
x x x x1 1 2 1 0 2 02+ +# #+ - = + - =^ ch m
x 1+ = ou x 2=- .
1 AB 11d n et AC a
a1
3 12 +
-e o sont colinéaires si, et seule-
ment si, a a1 3 1 02 + - + = ; soit a a3 2 02 - + = . Cette équation admet deux solutions : 1 et 2.Les points C associés sont ;C 1 41^ h et ;C 4 72 ^ h.2 Les points A, B et C sont alignés :– si, et seulement si, AB et AC sont colinéaires ;– si, et seulement si, a 1= ou a 2= (d’après la question 1 ).
a. AB 32
--d n et AC 5
3--d n.
3 3 2 5 1# #- - - - - =-^ ^ ^ ^h h h h non nul. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. AB 50130-
d n et AC 140364-
d n.
50 364 130 140 0# #- - - =^ ^ ^ ^h h h h .Donc les points A, B et C sont alignés.
c. AB 43
1-f p et AC
1
34
-f p.
43
34 1 1 0# #- - - =c c ^ ^m m h h .
Donc les points A, B et C sont alignés.
a. AB 41
-d n et CD 4
2-d n.
4 2 1 4 4# #- - - =^ ^ ^h h h non nul. Donc les droites AB^ h et CD^ h ne sont pas parallèles.
b. AB 96-
d n et CD 32
-d n.
9 2 6 3 0# #- - - =^ ^ ^ ^h h h h .Donc les droites AB^ h et CD^ h sont parallèles.
c. AB 21
32
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO et CD 33
44-d n.
21 44 3
2 33 0# #- - - =c ^ c ^m h m h .
Donc les droites AB^ h et CD^ h sont parallèles.
6 Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane
DébutEntrer ( xu , yu , xv , yv ) ;Si x y y x 0u v u v# #- =
alors Affi cher (« les vecteurs sont colinéaires ») ;sinon Affi cher (« les vecteurs ne sont pas colinéaires ») ;FinSi ;
Fin.
On propose à la calculatrice :
Casio
TI
2 Entrer les données et conclure.
1
Variables :xA, yA, xB , yB , xC , yC : réels.
DébutEntrer ( xA, yA, xB , yB , xC , yC ) ;Si x x y y x x y y 0B A C A C A B A- - - - - =^ ^ ^ ^h h h h
alors Affi cher (« les points sont alignés ») ;sinon Affi cher (« les points ne sont pas alignés») ;FinSi ;
Fin.
2 On propose à la calculatrice :
Casio
TI
Étudier des configurations
1 Le point E a pour coordonnées
;21 5
21 1- + - +
c m. Donc ;E 2 0^ h.
2 La médiane issue de A est la droite AE^ h.Or AE 3
4-d n et AD 9
12-d n.
3 12 4 9 0# #- - - =^ ^ ^ ^h h h h . Donc les points A, D et E sont alignés.3 Le milieu de AD6 @ a pour coordonnées ;2
7 2-c m.
Les diagonales ne se coupent pas en leur milieu, donc le quadrilatère ABCD n’est pas un parallélogramme.
1 OA 63d n, BC 8
4d n.
6 4 3 8 0# #- = . Donc OA est colinéaire à BC . Les droites OA^ h et BC^ h sont donc parallèles.
2 BC 84d n et BD 2
1d n.
8 1 2 4 0# #- = . Donc BC est colinéaire à BD , et les points B, C et D sont alignés.
3 AM x19
3-d n, AB 9
3--d n.
Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, x19 3 3 9 0# #- - - - =^ ^ ^h h h ; soit x3 28 0- = ,
c’est-à-dire x 328
= . Donc ;M 25 328
c m.
1 AB 84-
d n, CD 84
-d n. Donc AB CD=- .
Les droites AB^ h et CD^ h sont parallèles. Plus précisément, le quadrilatère ABCD est un parallélo-gramme.2 AD 202 = , AB 802 = et BD 1002 = , donc BD AB AD2 2 2= + . D’après le théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en A.3 Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme qui a un angle droit, donc c’est un rectangle.
= - : les droites EF^ h et BD^ h sont paral-lèles.
1 Dans le repère , ,B C A^ h, on a ;L 21 0-c m, ;M 0 4
1c m
et ;B 21
21lc m.
2 Méthode 1, par les coordonnées :
LM 21
41
J
L
KKKK
N
P
OOOO, LB
1
21lf p. Donc LB LM2=l .
Les points L, M et Bl sont alignés.Méthode 2, en utilisant un parallélogramme :Comme Bl et C l sont les milieux des segments AC6 @ et AB6 @, on a C B BC LB2
1= =l l . Donc le quadrilatère
LBB Cl l est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu. Le point M, qui est le milieu de
BC l6 @, est aussi le milieu de LBl6 @.Donc les points L, M et Bl sont alignés.
1 Voir le schéma ci-contre.Conjectures :– les points B, C et F semblent alignés ;– il semble que BF BC2
3= .
2 Dans le repère , ,D C A^ h :
;E 32 0c m, ;A 0 1^ h.
Si ;F x y^ h, alors AF xy 1-
d n, AE 32
1-f p.
Comme AF AE23
= , on a x 23
32 1#= = et
y 23 1 1 2
1#= - + =-^ h . Donc ;F 1 2
1-c m.
;B 1 1^ h et ;C 1 0^ h. Donc les points B, C et F sont alignés sur la droite d’équation x 1= , et on vérifi e immédiate-ment que BF BC2
3= .
1 Voir le schéma ci-contre.2 On utilise le repère , ,A B D^ h :
;A 0 0^ h, ;E 43 1c m
et ;F 0 34
-c m.
Donc AE 43
1f p et FB
1
34f p.
43
34 1 1 0# #- = . Donc AE est colinéaire à BF .
Donc les droites AE^ h et BC^ h sont parallèles.
1 Les droites AB^ h et AD^ h sont perpendiculaires et AB AD= que l’on pose égal à 1.Donc , ,A B D^ h est un repère du plan.
2 ;D 0 1^ h.Comme les triangles ABE et BCF sont équilatéraux de
côté 1, ils ont pour hauteur 23 .
Donc ;E 21
23
c m et ;F 1 23
21
+c m.
3 On obtient DE 21
23 1-
J
L
KKKK
N
P
OOOO, DF 2
3 1
21+
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO.
Or 21
21
23 1 2
3 1 0# #- - - + =c c cm m m .
Donc les points D, E et F sont alignés.
4 Le triangle AED est isocèle en A et DAE 30c=% .
Donc AED 2180 30 75c= - =
% .
Le triangle BEF est isocèle en B et BEF 90c=% .
Donc BEF 2180 90 45c= - =
% .
Donc DEF 75 60 45 180c= + + =% .
On en déduit que les points D, E et F sont alignés.
1 Voir le schéma ci-dessous.A
EC
NM
B
2 ;A 0 0^ h, ;B 1 0^ h, ;C 0 1^ h, ;E 32
31
c m
3 a. M AB! ^ h. Donc il existe un réel a tel que AM AB= a .N AE! ^ h. Donc il existe un réel b tel que AN AE= b .b. ;M 0a^ h.AN AE AB AC3
231
= = +b b c m.
Donc ;N 32
3b b
c m.
4 Si le point M répond au problème, alors le point N doit être le milieu de CM6 @.Donc 3
22
0= +b a et 3 2
1 0= +b .
On en déduit 2=a et 23
=b ; on a AM AB2= .Réciproquement : soit le point M tel que AM AB2= et N le milieu de CM6 @.On a ;M 2 1^ h et ;N 1 2
1c m.
Alors AE 32
31
J
L
KKKK
N
P
OOOO et AN
1
21f p.
Donc AN AE23
= .
C’est-à-dire que N appartient à la droite AE^ h.Le point M ainsi défi ni répond au problème.
A
CE
F
D
B
F
A
E CD
B
8 Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane
2 G est le milieu du segment AAl6 @. Donc on a DG DA DA2
1= +l^ h.
Or Al est le centre de gravité du triangle BCD. Donc IDA D3
2=l . Donc IDG DA D2
131
= + .
3 On a DE DG65
= . Donc les vecteurs DE et DG sont
colinéaires. Donc les points D, G, E sont alignés.
1 Voir la fi gure ci-dessous.A
C
E D
B
2 CE CB AB23
25
= + .
DE DB BC CE= + + , soit :
DE AC AB BC CB AB2 21
23
25
= - - + + +c cm m.
DE CA AB BC CB BC BC2 2 21 2 2
125
= + - = - = - .
Les vecteurs DE et BC sont colinéaires, donc les droites DE^ h et BC^ h sont parallèles.
EF EB BF AB AD2= + =- + .HG HD DG AB AD2= + =- + .
Donc EF HG= , donc EFGH est un parallélogramme.
Ensembles de points
1 b. 2 c.
1 On conjecture que l’ensemble des points M du plan tel que MA MB+ soit colinéaire à AC est la droite passant par le milieu I de AB6 @ et parallèle à AC^ h.
A
M
B C
IMA + MB
2 On a IMA MB M2+ = . Donc :MA MB+ est colinéaire à AC :– si, et seulement si, IM2 est colinéaire à AC ;
– si, et seulement si, il existe k réel tel que IM kAC2 = ;
– si, et seulement si, il existe k réel tel que IM k AC2=- .
L’ensemble des points M est donc la droite passant par I et parallèle à AC^ h.
1 Voir le schéma ci-contre.2 On conjecture que l’ensemble des points P, lorsque le point M décrit la droite AC^ h, est la paral-lèle à AC^ h passant par I.3 M est un point de la droite
.AC^ h Donc il existe un réel k tel que AM kAC= . D’après le théorème de Thalès, IP AM2
1= ; soit
IP k AC2= . Lorsque M décrit la droite AC^ h, le point P
décrit la droite passant par le point I et de vecteur direc-teur AC .
3 Équation cartésienne d’une droite
1 b. et c. 2 b. et c. 3 a. et c.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux.
Vecteurs directeurs
A
x
y
!1
!2
!4
!3
u1u2
u3
u4
10
1
C
M
A
PD
B
I
10 Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane
néaires. Donc les trois points ne sont pas alignés.b. Les trois points sont alignés sur la droite d’équation x y3 4 0+ - = .
a. Les trois points sont alignés sur la droite d’équa-tion x y2 2 0+ + = .
b. Les vecteurs AB 11
--d n et AC 5
5-d n ne sont pas coli-
néaires. Donc les trois points ne sont pas alignés.
1 On suppose que b 0! .
On obtient : y ba x b
c=- - , qui est l’équation d’une
droite de coeffi cient directeur ba
- , et donc de vecteur
directeur u ba
-d n.
2 On suppose que b 0= .a. Comme les coeffi cients a et b ne sont pas simultané-ment nuls, a 0! .
b. Si b 0= , alors C admet pour équation : ,x ac
=- qui
est l’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordon-nées.
Droites parallèles
1 Les vecteurs directeurs des deux droites sont
u ba
-D d n et u b
a-
Dlll c m.
2 Les droites D et Dl sont parallèles si, et seulement si, uD et uDl sont colinéaires, soit : ba ab 0- =l l .Donc les droites D et Dl sont parallèles si, et seulement si, ;a b^ h et ;a bl l^ h sont proportionnels.
◗ //d d1 4. ◗ // // //d d d d2 3 5 6.
AB^ h et CD^ h ont pour vecteurs directeurs AB 76d n et
CD 65d n, 7 5 6 6 1# #- =- (non nul).
Donc les deux droites AB^ h et CD^ h ne sont pas paral-lèles.
a. !l a pour équation x y c2 3 0+ + = . Et comme elle passe par ;A 2 1-^ h, on a c4 3 0- + + = , donc c 1= . On obtient x y2 3 1 0+ + = .b. !l : x y 7 0- + = .c. !l : x y4 5 12 0- + = .
a. !l : y x2 5= - (!l = !).b. !l : y 4 0+ = .c. !l : x 3=- .
1 La droite AB^ h a pour vecteur directeur AB 63d n.
;M x y !^ h ! AM xy
22+ +
+d n et AB 6
3d n sont colinéaires
x y2 3 2 6 0+ #+ - + =^ ^ ^h h h .Une équation de ! est x y3 6 6 0- - = , soit : x y2 2 0- - = .2 De même, une équation cartésienne de la droite d est x y2 4 0- + = .3 Les droites AB^ h et d sont parallèles, car elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Intersections
1 u 12
-Dd n, u
1
21d -f p ;
1 21 2 1 2
3#- - - =-^ c ^h m h (non nul).
Donc les droites sont sécantes.En résolvant le système formé des deux équations, on obtient le point d’intersection ;3
837
-c m.
2 u 32
-D d n, u 3
2d--d n.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les droites D et d sont sécantes en ;B 1 2-^ h.
3 u 21D d n, u 1
3d -d n. Ces deux vecteurs ne sont pas coli-
néaires. Les droites D et d sont sécantes en ;C 6 2^ h.
1 On a AB 63-
d n et CD 104d n.
Comme 6 4 3 10 54# #- - =^ h (non nul), les vecteurs AB et CD ne sont pas colinéaires, donc les droites AB^ h et CD^ h sont sécantes. 2 La droite AB^ h a pour équation cartésienne x y2 8 0+ - = et la droite CD^ h a pour équation carté-sienne x y2 5 11 0- + = . Les coordonnées ;x y^ h du point d’intersection des deux droites vérifi ent les équations de ces droites :
x yx y
2 82 5 11
+ =
- =-* , qui a pour solution ;2 3^ h.
Le point d’intersection est le point de coordonnées ;2 3^ h.
12 Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane
unique si, et seulement si, a e b d 0# # !- .2 a. On suppose que a e b d 0# # !- .Les coordonnées ;x y^ h du point d’intersection des
droites ! et D vérifi ent f
ax by cdx ey
00
+ + =
+ + =* .
En multipliant la première équation par e et la seconde par b et en soustrayant, on obtient :
fa e b d x c e b# # # #- =- +^ h .
b. On en déduit : fx ae bdb ce
=-
- ; fy ae bdcd a
=-
- .
3 On propose :
Variables :a, b, c, d, e, f, m, x, y : réels.
DébutEntrer(a, b, c, d, e, f, g, h) ;m a e b d! # #- ;Si m 0! alors
fx mb c e
!# #- ;
fy mc d a
!# #- ;
Affi cher(« les droites sont sécantes en ;x y^ h où : ») ;
Affi cher(« x = » , x) ;Affi cher(« y = » , y) ;
SinonAffi cher(« les droites ne sont pas sécantes ») ;
FinSi ;Fin.
4 On propose : TI
Casio
Étudier des configurations
1 On a ;I 2 0^ h et ;J 0 32
c m.
2 La droite BC^ h passe par B et a pour vecteur directeur BC 1
1-d n. Elle admet pour équation x y 1 0+ - = .
La droite IJ^ h passe par I et a pour vecteur directeur
IJ2
32
-f p.
Elle admet pour équation x y3 2 0+ - = .3 Le point O, milieu de BC6 @, a pour coordonnées
;21
21
c m. On a 21
23 2 0+ - = .
Donc le point O appartient à IJ^ h.
1 Le milieu E du segment BC6 @ a pour coordonnées ;2
123
c m.
2 La médiane du triangle ABC issue du sommet A est la droite passant par A et de vecteur directeur AE .
;M x y AE!^ ^h h AM xy
23+ -
-d n et /
/AE 3 23 2
--d n sont coli-
néairesx y2 2
3 3 23 0+ #- - - - - =^ c ^ ch m h m .
Une équation de AE^ h est x y 1 0- + = .3 Le milieu F de AB6 @ a pour coordonnées ;0 4^ h. En procédant comme ci-dessus, la médiane CF^ h a pour équation x y2 4 0+ - = .Les coordonnées du point G vérifi ent les équations de
AE^ h et CF^ h, donc G est le centre de gravité du triangle ABC.
1 La droite DE^ h passe par ;D 6 4^ h et a pour
vecteur directeur AC 12
--d n. Elle admet donc pour équa-
tion x y2 8 0- + + = .
2 La droite AB^ h passe par ;A 2 3-^ h et a pour vecteur
directeur AB 63d n. Elle admet donc pour équation
x y2 8 0- + = .
Le point E est l’intersection de DE^ h et AC^ h. Donc en résolvant le système formé par leurs équations, on obtient que le point E a pour coordonnées ;8 8^ h.3
B
D
E
A
Cx
y
10
1
On se place dans le repère , ,A B C^ h.On pose ;M a b^ h avec a et b diff érents de 0 et 1.
;C 1 1^ h. Donc AC^ h admet pour équation y x= .;E b0^ h et ;H a 1^ h. La droite EH^ h a pour vecteur direc-
teur EH ab1 -
d n. Donc elle admet pour équation :
b x ay ab1 0- - + =^ h
;F b1^ h et ;G a 0^ h. La droite FG^ h a pour vecteur direc-
teur FG ab
1--
d n. Donc elle admet pour équation :
bx a y ab1 0- - - + =^ h .
Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane 13
on obtient les coordonnées du point d’intersection I de AC^ h et EH^ h ; soit : ;I a b
aba b
ab1 1+ - + -
c m.
Les coordonnées de I vérifi ent l’équation de la droite FG^ h. En eff et :
b a bab a a b
ab ab1 1 1 0# #-+ -
- -+ -
+ =^ h .
Les trois droites AC^ h, EH^ h et FG^ h sont sécantes en I.D’où le résultat.
Analyse : La droite d coupe l’axe des abscisses
en ;A 34 0c m et l’axe des
ordonnées en ;C 0 4^ h,
donc AC 34 10= .
Construction : À partir d’un point A de d, on construit un point C tel que
AC 34 10= .
On trace le milieu D de AC6 @ et le cercle "1 de diamètre AC6 @.
Le cercle de centre C et de rayon 4 coupe "1 en O.Le repère cherché est le repère orthonormé d’origine O et dont les axes sont OA^ h et OC^ h.Preuve : AC6 @ étant un diamètre du cercle "1, l’angle COA% est droit. Dans le repère orthonormé d’origine O et dont les axes sont OA^ h et OC^ h, la droite d coupe ces
axes en ;C 0 4^ h et ;A 34 0c m. Elle a donc pour équation
y x3 4=- + .
Problèmes
1 Dans le repère , ,A B H^ h, ;A 0 0^ h, ;G 1 1^ h. Donc
;I 21
21
c m.
;C 2 0^ h, AE 31d n. Donc la droite AE^ h a pour équation
x y3 0- = .J est le point de cette droite d’abscisse 1, donc ;J 1 3
1c m.
2 IC 23
21
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO, IJ 2
1
61
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO. Donc IJ IC3 = ; les points I, J et
C sont donc alignés.
1 ;B 0 0^ h, ;C 1 0^ h, ;A 0 1^ h, ;I 0 52
c m, ;J 25 0c m.
BK BC CK BC AC32
= + = + .
Donc BK BC AB BC BC BA32
35
32
= + + = -^ h .
Donc ;K 35
32
-c m.
2 JA 25
1-f p, IC
1
52
-f p, BK 35
32
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO sont tous les trois coli-
néaires à u 52-
d n.
Donc les droites JA^ h, BK^ h et IC^ h sont parallèles.
On se place dans le repère , ,A B C^ h.
;M x 0^ h, ;N x0 1 -^ h, ;K x x2 2
1 -c m, ;I 2
1 0c m et
;J 0 21
c m.
On a IKx
x2
1
21
-
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO, donc IK x
21
= - u avec u 11-
d n.
On a JKx
x2
2
-J
L
KKKK
N
P
OOOO, donc JK x u2=- avec u 1
1-d n.
Les vecteurs IK et JK sont colinéaires, donc les points I, J, K sont alignés.
Les coordonnées de A vérifi ent le système :x y
x y2 3 4 0
3 1 0- + =
+ + =* .
Après résolution, on obtient ;A 35
92
-c m.
La droite AB^ h a pour vecteur directeur AB 314
970
J
L
KKKK
N
P
OOOO.
Donc elle admet pour équation x y5 3 9 0- + = .
1 a. Le milieu M du segment AC6 @ a pour coordon-nées ;1 2
3-c m.
b. On pose ;D x y^ h. M est le milieu de BD6 @, donc x
23 1+ =- et y
21
23+
= ; soit ;D 5 2-^ h.
2 a. On pose ;E x y^ h.
AE ACx
y
x
y31
1 34
4 35
31
37
+ +=
- =-
- =-
=-
=
Z
[
\
]]
]]
Z
[
\
]]
]].
Donc ;E 31
37
-c m.
N le milieu de AD6 @ a pour coordonnées ;2 3-^ h.
b. NB 52-
d n et NE 35
32
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO, alors NE NB3 = ; donc les points
B, E et N sont alignés.
1 ;A 0 1^ h, ;C 1 0^ h, ;J 31 0c m, ;I 0 4
1c m.
CK CA52
= . Donc CB BK CB BA52
+ = +^ h,
soit BK BC BA53
52
= + . Donc ;K 53
52
c m.
2 JA 31
1-f p. Donc la droite JA^ h a pour équation
x y3 1 0+ - = .
A""1
OD
d
C
14 Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane
OOOO. Donc la droite BK^ h a pour équation x y2 3 0- = .
3 Les coordonnées du point E sont les solutions du
système : x yx y
3 1 02 3 0
+ - =
- =* . Donc ;E 11
3112
c m.
4 IC1
41
-f p. Donc la droite IC^ h a pour équation :
x y4 1 0+ - = .
Et comme 113 4 11
2 1 0#+ - = , le point E appartient
à IC^ h.
1 On a JAB A= et JBA 90c=% .
Donc le repère , , JA B^ h est orthonormé.2 a. ;C 1 1-^ h , ;E 0 2^ h, ;B 1 0^ h et ;F 2 2-^ h.
b. Les vecteurs CF 33
-d n et BE 1
2-d nsont non colinéaires,
donc les droites CF^ h et BE^ h sont sécantes.c. Les droites CF^ h et BE^ h ont pour équations respec-tives : x y 0+ = et x y2 2 0+ - = .Elles se coupent en ;I 2 2-^ h.
GD 21-
d n. Donc la droite GD^ h a pour équation :x y2 2 0+ + = .
Les coordonnées du point I vérifi ent cette équation ; donc les trois droites EB^ h, CF^ h et GD^ h sont concou-rantes (en I).
1 Voir le schéma ci-contre.
2 On a BF BA AE EF= + +
BF BA AC AB52
53
= + +
BF AC AB BC52
52
52
= - = .
Donc les vecteurs BF et BC sont colinéaires et les points B, F et C sont alignés.
Voir la fi gure ci-contre.a. AK AD DK= +
IAK AD D32
= +
IAK AD DA A32
= + +^ h.
IAK A AD32
31
= + .
Comme IAC A AD2= + , on a AC AK3= . Donc les points A, K et C sont alignés.b. Dans le repère , ,A B D^ h, ;I 2
1 0c m.
En utilisant le théorème de Thalès, ;K 31
31
c m.
Donc AK 31
31
J
L
KKKK
N
P
OOOO et AC 1
1d n, donc AC AK3= .
c. K est le centre de gravité du triangle DAB, car il se trouve au 3
2 de la médiane ID6 @.
Donc K appartient à la médiane AO^ h issue de A, qui n’est autre que la diagonale AC^ h.
1 Voir le schéma ci-dessous.
C
A
E F
B
2 a. EF EA AF= + .
Donc EF AB xAC xAB AC31
31
= - - + +
.EF x AB AC x CB x BC31
31
31
= - - = - = -c _ c cm i m m
Les vecteurs EF et BC sont colinéaires, donc les droites EF^ h et BC^ h sont parallèles.
b. Dans le repère , ,A B C^ h, on a :
;B 1 0^ h, ;C 0 1^ h, ;E x31
c m, ;F x 31
c m.
Donc EFx
x31
31-
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO et CB 1
1-d n.
Comme x x31 1 3
1 1 0# #- - - - =c ^ c ^m h m h ,
les vecteurs EF et CB sont colinéaires, donc les droites EF^ h et BC^ h sont parallèles.
3 a. E F= si, et seulement si, EF 0= , soit x 31
= .
b. BCFE est un parallélogramme si, et seulement si, EF BC= , c’est-à-dire x3
1 1- = , soit x 32
= - .
1 Voir le schéma ci-dessous.
B
D
!
EA
d
I
x
y
10
1
v
Le coeffi cient directeur de d est 32 .
Le vecteur u 32d n dirige d.
2 Les coordonnées de A et B vérifi ent l’équation de d.3 Voir le schéma ci-dessus.4 Les droites d et D ont pour vecteurs directeurs u 3
2d n
et v 64
--d n, qui sont tels que v u2=- .
Donc les droites d et D sont parallèles.5 a. Le milieu I du segment AD6 @ a pour coordonnées
;25
23
c m.
C
E
A
B F
C
A
K
D
BI
Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane 15
b. On a I IB E= . Donc si on pose ;E x y^ h, on a :
x
y
xy
25 3 2
5
23 0 2
383
++ = -
- = -
=
=
Z
[
\
]]
]]* . Donc ;E 8 3^ h.
6 Le quadrilatère ABDE a ses diagonales qui se coupent en leur milieu I, donc ABDE est un parallélogramme.Donc les droites BD^ h et AE^ h sont parallèles.
1 d d A1 2+ = " , et ;A 92
958
c m.
d d B1 3+ = " , et ;B 29 3- -c m.
d d C2 3+ = " , et ;C 4 3-^ h.
B C
Ad1d2
d3
x
y
10
1
2 k doit appartenir à l’ensemble :
; ;29 4,3 3- - +; 6E @ .
1 Le point P est diff érent de B et C, donc son abscisse est diff érente de 0 et 1.De même pour le point R.Ces points sont distincts, car sinon la droite PR^ h serait parallèle à AC^ h.2 Coordonnées du point Q
a. AC 11-
d n. Donc la droite AC^ h a pour équation :x y 1 0+ - = .
PR pr
-d n. Donc la droite PR^ h a pour équation :
rx py rp 0+ - = .b. Le point Q a pour coordonnées :
;r pp r
r pp r1 1
-
-
-
- -^ ^e
h ho.
3 a. ;I p2 2
1d n et ;J
r pp r
r pp r
21
21
-
-
-
- -
^
^
^
^e
h
h
h
ho
et ;K r21
2c m.
Donc IJ r pp p
r pp r
21
21
-
-
-
- -
J
L
KKKKK
^
^
^
^
N
P
OOOOO
h
h
h
h et IK
p
r2
1
21
--
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO.
b. Donc IJ Ir pp K=
-- : les vecteurs sont colinéaires.
c. Les points I, J et K sont alignés.
1 On conjecture que OH OG3= .
A
B’
CA’B
C’
H
G
O
2 a. On a : OA AM OA OB OC+ = + + .
Donc AM OB OC OA2= + = l. La droite AM^ h est donc parallèle à OAl^ h, qui est perpen-diculaire à BC^ h.Donc AM^ h est la hauteur de ABC issue de A.De même BM^ h est la hauteur de ABC issue de B.Donc M est l’orthocentre du triangle. On a M H= .b. En utilisant la relation de Chasles, on obtient :
OA OB OC OG GA GB GC3+ + = + + +^ h
et comme G est le centre de gravité du triangle ABC, on a : GA GB GC 0+ + = . Donc OA OB OC OG3+ + = .
c. On a OH OA OB OC= + + . Donc OH OG3= .
1 !2 a pour équation x y4 3 1 0- + + = .2 Les coeffi cients m 2- +^ h et m 1+ ne sont pas simul-tanément nuls. Donc m x m y2 1 1 0- + + + + =^ ^h h est toujours une équation de droite.
3 La droite !m a pour vecteur directeur u mm
12m
++
d n.
!m // IO^ h équivaut à : um colinéaire à IO , soit m 2=- .Dans ce cas, !
- 2 : y 1= .!m // JO^ h équivaut à : um colinéaire à JO , soit m 1=- .Dans ce cas, !
- 1 : x 1= .4 Le point commun à toutes les droites !m ne peut être que ;A 1 1^ h (point d’intersection de !
- 2 et !- 1).
On le vérifi e : pour tout réel m,m m2 1 1 1 1 0# #- + + + + =^ ^h h .
Donc toutes les droites !m passent par ;A 1 1^ h.
1 Pour t 0= , on a ;A 3 5^ h.Pour t 3=- , on a ;B 0 2^ h.2 On conjecture que l’ensemble E est une droite
passant par A et de vecteur directeur u 11d n. Voir la fi gure
ci-dessous.
x
y
B
MA
t = –1,6
10
1
16 Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane
– s’il existe t tel que AM t= u ;– si AM et u sont colinéaires.L’ensemble E est bien la droite passant par A et de vecteur directeur u .
1 Les vecteurs A Cl et A Bl sont colinéaires.Donc il existe un réel unique r tel que A C r A B=l l .De même, il existe deux réels uniques p et q tels que : C B pC A=l l et B A qB C=l l .Ces trois réels sont diff érents de 1, car les points A, B et C sont distincts.2 a. ;A 0 0^ h, ;B 1 0^ h et ;C 0 1^ h.
On a A A AC rA A rAB+ = +l l .
Donc r AA rAB AC1- = -l^ h .Comme r 1! , on obtient :
AA rr AB r AC1 1
1=
--
-l .
Donc ;A rr
r1 11
- --lc m.
On obtient de même ;B qq0 1-
le o et ;C p 11 0--
ld n.
b. ;M x y^ h appartient à la droite BBl^ h :
– si BBq
q1
1
-
-lf p et BM x
y1-
d n sont colinéaires ;
– si y qq x1 1 1 0#- --
- =^ ^h h ;
– si qx q y q1- - =^ h .c. On démontre de même que la droite CC l^ h a pour équation : p x y1 1- + =^ h .d. Les coordonnées ;x y^ h du point H, intersection de
BBl^ h et CC l^ h, vérifi ent le système :qx q y q
p x y
1
1 1- - =
- + =
^
^
h
h*
xq p q
yq p q
pq1 1
1
1 1
+=
+ - -
=+ - -
^ ^
^ ^
h h
h h
Z
[
\
]]
]]
.
Donc ;Hq p p q p q
pq1 1
11 1+ - - + - -^ ^ ^ ^
fh h h h
p
e. AA rr
r
1
11
-
--
l
J
L
KKKK
N
P
OOOO. Donc la droite AAl^ h a pour équation
ry x 0+ = .
3 H appartient à la droite AAl^ h si, et seulement si,
,rq p q
pqq p q1 1 1 1
1 0#+ - -
++ - -
=^ ^ ^ ^h h h h
soit pqr 1=- .
4 Justifi er le théorème de Ceva : les trois droites AAl^ h, BBl^ h, CC l^ h sont concourantes en H ou parallèles si, et seule-
ment si, pqr 1=- .
1 Voir le schéma ci-dessous.D
A
GC
B
E2 a. En utilisant la relation de Chasles :GB GD GE GA AB GA AD GE+ + = + + + +^ ^h h .
b. On a : GB GD GE GA GE AB AD2+ + = + + + .
Or GE GA AE GA AC GA AG3 21 3#= + = + = + .
Donc GE AG2= .
Ainsi GA GE2 0+ = et AB AD 0+ = .
Donc GB GD GE 0+ + = .Le point G est le centre de gravité du triangle BDE.3 La droite BG^ h est la médiane issue de B du triangle
BDE. Donc elle coupe la droite DE^ h au point F, le milieu du segment DE6 @.
1 On achète x y10 5+ rosiers et on doit en avoir au minimum 100. Donc x y10 5 100H+ .De même pour les camélias : x y3 30H+ .Les contraintes se traduisent par le système d’inéqua-tions :
x yx y10 5 100
3 30H
H
+
+* .
0 22 x
y
!5 000
!2 000
2 Les droites ont pour équations : x y2 20 0+ - = et x y3 30 0+ - = .
3 a. Si on achète x lots A et y lots B, la dépense est d x y150 250= + .Tous les couples ;x y^ h d’entiers correspondant à la dépense d sont représentés sur la droite dD d’équation réduite :
y x d53
250=- + .
b. Les droites 2 000D et 5 000D correspondant aux dépenses 2 000 € et 5 000 € sont représentées en vert et mauve respectivement. Elles sont parallèles, car elles ont le même coeffi cient directeur comme pour toutes les droites dD .
Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane 17
c. La dépense est proportionnelle à l’ordonnée à l’origine de dD . Elle sera minimum lorsque l’ordonnée à l’origine sera minimum avec au moins un point de concours dans la zone permise.Les deux droites limitant la zone de contraintes se coupent en ;A 6 8^ h.La droite qui passe par A est telle que :
d150 6 250 8# #+ = .Donc d 2 900= €.
1 OB xy
AB
d n colinéaire à OM xyd n équivaut à :
x y y x 0A B# #- = .La droite OB^ h a pour équation réduite :
y xy x
A
B #= .
2 xfFB yA
B
+d n colinéaire à fFM x
y+
d n équivaut à :
f fx y y x 0A B# #+ - + =^ ^h h .Donc une équation cartésienne de la droite BF^ h est :
f fy x x y y 0B A B#- + + =^ h .
Son ordonnée à l’origine est ffx
yA
B+
.
3 Bl appartient à la droite OB^ h et a pour ordonnée
ffx
yA
B+
. Donc ffx
yxy x
A
B
A
BB#
+= l.
Ainsi ffx x
xB
A
A=+
l .
Les points Al et Bl ayant même abscisse, on a :
ffx x
xA
A
A=+
l .
4 On a ff
fx xx
x1 1 1A A
A
A=
+= +
l.
Revoir les outils de base
a. On a u 33d n et v 6
4--d n.
b. ;A 6 2^ h, ;B 1 3^ h et ;C 5 1- -^ h.
2 En utilisant le théorème de Thalès :
AD AB53
= et AC AE411
= .
Droites d1 d2 d3 d4
Coeffi cient directeur 1 0 31 1-
Les savoir-faire du chapitre
1 On a FB FC2 0+ = , donc FB FB BC2 0+ + =^ h ;
soit BF BC31
= .
BF
G
E
A
C
2 EF EB BF BA BC21
31
= + = + ;
EG EB BA AG BA BA AC21
53
= + + = + +
EG BA AC23
53
= + .
Donc : EG BA AB BC BA BC23
53
109
53
= + + = +^ h .
On a donc : EF EG95
= . Les vecteurs étant colinéaires,
les trois points E, F et G sont alignés.
La droite passant par ;A 1 2-^ h et ;B 3 2^ h a pour
vecteur directeur AB 24d n.
;M x y^ h appartient à AB^ h :
– si et seulement si AB et AM xy
12
-+
d n sont colinéaires ;
– si et seulement si x y1 4 2 2 0# #- - + =^ ^h h .La droite AB^ h admet pour équation ,x y4 2 8 0- - = soit encore x y2 4 0- - = .
Le point d’abscisse 2 de la courbe est ;A 2 0^ h.La fonction dérivée est x 7 x3 42 - .Le nombre dérivé pour x 2= est 8.Donc la tangente est la droite qui passe par A et qui a pour coeffi cient directeur 8. Elle admet une équation du type y x b8= + . Et comme elle passe par A, b 16=- , son équation est donc y x8 16= - .
La droite d d’équation cartésienne x y3 6 6 0- - = a pour vecteur directeur v 6
3d n.
Comme 4 3 2 6 0# #- - - =^ ^h h , les vecteurs u et v sont colinéaires. Donc les droites d et dl sont paral-lèles.
1 La droite AB^ h admet pour vecteur direc-teur AB 2
1d n. Une équation cartésienne de AB^ h est
x y2 5 0- + = .2 On a : 51 2 28 5 0#- + = .Les points A, B et C sont alignés.
18 Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane
Les années 2013 et 2014 correspondent aux valeurs 10 et 11 de la variable x, on obtient donc pour chiff re d’af-faires : – en 2013 : ,y 16
27 10 32559 34 3# .= + ;
– en 2014 : y 1627 11 32
559 36# .= + .
1 Les coordonnées du point A vérifi ent le système :
x yx y
x
y
30 25 250 015 18 144 0
1160
1138+
+ - =
+ - =
=
=
Z
[
\
]]
]]* .
2 a. Le point de coordonnées ;5 4^ h appartient au domaine rose. Donc l’achat de 5 lots chez Sportco et de 4 lots chez Tousport satisfait les besoins du club.b. Le point de coordonnées ;6 3^ h appartient au domaine rose. L’achat de 6 lots chez Sportco et de 3 lots chez Tousport satisfait les besoins du club.3 a. La dépense pour équiper le club est :
x y990 895= +d .b. Les droites d’équations respectives x y990 895= +d sont parallèles, car elles ont le même vecteur directeur
u 895990
-d n.
c. La dépense est proportionnelle à l’ordonnée à l’ori-gine, qui doit donc être minimale, tout en restant dans le domaine rose. Donc il faut choisir la droite qui passe par A.Mais ce point n’est pas à coordonnées entières. Donc on étudie les deux points à coordonnées entières les plus proches, à savoir ;5 4^ h et ;6 3^ h.Pour ;5 4^ h, on a une dépense de 8 530 €.Pour ;6 3^ h, on a une dépense de 8 625 €.Donc la dépense minimum sera de 8 530 €.
Approfondissement
1 Le vecteur u mm
12 3
-+
d n est toujours diff érent du
vecteur nul. Donc l’ensemble Em est toujours une droite
du plan.2 Si m 1= , on obtient la droite d’équation x 2= qui est parallèle à l’axe des ordonnées.Si m 2
3=- , on obtient la droite d’équation y 4= qui
est parallèle à l’axe des abscisses.3 Le point commun à toutes les droites Em ne peut être que ;I 2 4^ h (point d’intersection de deux droites précé-dentes). Vérifi ons : m m1 4 2 3 2 10 0# #- - + + =^ ^h h pour tout réel m.4 Si la droite Em passe par ;A a b^ h, alors :
m b m a1 2 3 10 0# #- - + + =^ ^h h ;soit b a m b a2 3 10- = + -^ h .Si a 2= et b 4= , alors toutes les droites passent par ce point.Si a 2! et b a2= , alors aucune droite ne passe par le point de coordonnées ;a b^ h.Si b a2! , alors la droite de paramètre :
Contenus Capacités attendues CommentairesTrigonométrieCercle trigonométrique.Radian.Mesure d’un angle orienté, mesure principale.
◗ Utiliser le cercle trigonométrique, notam-ment pour :– déterminer les cosinus et sinus d’angles associés ;– résoudre dans R les équations d’inconnue x :
cos cosx a= et sin sinx a= .
L’étude des fonctions cosinus et sinus n’est pas un attendu du programme.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole �.
2. Intentions des auteursDans ce chapitre, on s’appuie sur les notions vues en classe de Seconde concernant l’enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique et on met en place le radian et les mesures des angles orientés. Envisagées dans un premier temps avec le cercle trigo-nométrique, les notions d’angle orienté de vecteurs non nuls et de leurs mesures sont étudiées dans le cas général. On détermine le sinus et le cosinus d’un angle de vecteurs et ceux des angles associés. Des résolutions d’équations trigonométriques dans les cas préconisés par le programme sont traitées, notam-ment avec l’apport de logiciels de calcul formel.
Du point de vue mathématique :– le travail est centré sur l’utilisation du cercle trigono-métrique et du repère orthonormé qui lui est associé ;– les mesures d’un angle orienté de vecteurs non nuls quelconques sont reliées à celles des vecteurs qui leur sont colinéaires et de norme 1 ;– la mesure principale d’un angle orienté de vecteurs est défi nie ;– bien que la relation de Chasles ne soit pas expressé-ment inscrite dans le programme, son utilisation est pratique dans des situations amenant à étudier des angles associés, leurs sinus ou cosinus.
Objectifs◗ Relier sur le cercle trigonométrique l’abscisse d’un point de la droite des réels avec un point du cercle trigonomé-trique et réciproquement.◗ Travailler sous forme de QCM avec des valeurs remarqua-bles de sinus et cosinus.
A 1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Faux.
B 1 a. 2 a. et c. 3 a. et c. 4 c.5 a., b. et c.
ActivitéActivité 1 Mesure d’angles orientés de vecteursObjectifs◗ Mise en place de la notion de radian.◗ Mesure en radian d’un angle orienté de vecteurs non nuls à partir de vecteurs construits avec comme origine le centre du cercle trigonométrique.
Partie A – Avec des vecteurs unitaires1 a. ,OA OG` j a pour mesure 4
3-
r .
b. ,OA OH` j a pour mesure 3-r .
c. ,OH OE` j a pour mesure 3 3 32
- - =r r r
d n .
d. ,OH OG` j a pour mesure :
43
3 129
124
125
- + =- + =-r r r r r .
e. ,OG OF` j a pour mesure 65
43
1219
+ =r r r .
f. ,OA OHl` j a pour mesure 3 34
- - =-r r r .
2 a. Couples dont les mesures sont égales à 2r près :
,OH OG` j et ,OG OF` j ; ,OH OE` j et ,OA OHl` j.
b. ,OA OG` j représente le même angle orienté que
,OG OB` j .
,OA OH` j représente le même angle orienté que
,OE OA` j .
Partie B – Avec des vecteurs quelconques non nuls1 a. Le point C est à l’intersection entre le segment JO6 @et le cercle trigonométrique.b. Ce sont respectivement les vecteurs OAl et OB .2 a. À ,IJ JL` j on associe ,OA OC` j de mesure 4
r .
b. À ,JI OB` j on associe ,OA OBl` j de mesure 2-r .
c. À ,IJ KL` j on associe ,OA OAl` j de mesure r .
d. À , IAK K` j on associe ,OB OEl l` j de mesure 45r .
e. À , ILO El` j on associe ,OC OE` j de mesure 2-r .
f. À , JAA Ll` j on associe ,OA OCl` j de mesure .43
-r
ActivitéActivité 2 Cosinus et sinus d’angles « associés »ObjectifDécouverte de quelques propriétés concernant les sinus et cosinus d’angles associés.1 Le point B est associé au réel 6 6
5- =r r r grâce à la
symétrie d’axe JO^ h.cos cos6
56=-
r r ; sin sin65
6=r r .
2 Le point D est associé au réel 6 67
+ =r r r grâce à
la symétrie de centre O.cos cos6
76=-
r r ; sin sin67
6=-r r .
3 Les points A et C sont symétriques par rapport à IO^ h, donc ils ont une même abscisse et des ordonnées oppo-sées, d’où les résultats.
ActivitéActivité 3 Résoudre des équationsObjectifRésolution d’équations trigonométriques avec l’apport d’un logiciel de calcul formel.1
5 a. Deux points du cercle correspondent aux solutions de l’équation sin x k= .b. Deux points du cercle correspondent aux solutions de l’équation cos x k= .
Exercices d’applicationExercices d’application
Déterminer la mesure principale d’un angle orienté
On a par exemple 52 2 5
8- + =
r r r .
Mesure en degré 10 18 67,5 72 150
Mesure en radian 18r
10r
83r
52r
65r
1 A et B sont respectivement associés à 32r et
32
-r .
2 ,IO OA 32
=r
` j ; ,IO OB 32
=-r
^ h .
, ,IOA OB O OA 32
= =r
` `j j .
,IA AB 3=-r
` j , c’est la mesure d’un des angles du
triangle IAB dans le sens indirect.
,I IO A 6=-r
` j , c’est la moitié de la mesure d’un angle
du triangle pris dans le sens indirect.
Calculer des cosinus et sinus particuliers
x 3r
32r
3-r
34r
38- r
317r
328- r
cos x 21
21
- 21
21
- 21
- 21
21
-
sin x23
23
23
- 23
- 23
- 23
- 23
sin sin sin631
636 5 6 6
5= - = -
r r r r rc cm m
sin sin631
65
21
= - =-r r
c m .
cos cos cos631
636 5 6 6
5= - = -
r r r r rc cm m
cos cos631
65
23
= - =-r r
c m .
x 4r
43r
4-r
45r
411- r
419r
431r
cos x22
22
- 22
22
- 22
- 22
- 22
sin x22
22
22
- 22
- 22
- 22
22
-
cos sin52
52 12 2+ =
r rc cm m ; donc :
sin cos52 1 5
2 1 45 12 2
2= - = - -r r
c c cm m m
1 166 2 5
1610 2 5
= - - = +c m .
Comme ;52 0!r r6 @, on a 2sin 5
2 0r .
Donc : sin 52
410 2 5
=+r .
cos cos cos53
52
52
45 1
= - =- = - +r r r rc m .
sin sin sin53
52
52
410 2 5
= - = =+r r r r
c m .
cos cos sin10 2 52
52
410 2 5
= - = =+r r r r
c m .
sin sin cos10 2 52
52
45 1
= - = = -r r r rc m .
Résoudre une équation trigonométrique
a. Les solutions sont les réels : x k 2#= r et x k 2#= +r r , avec Zk ! .b. Les solutions sont les réels : x k2 2#= +
cos x 1+ = ou cos x 1=- . Il y a deux solutions 0 et r .
Trigonométrie et électricité
1 a. et b. u t U2Cm=^ h pour les deux valeurs de t
suivantes : , ,t1 48 10 1 71 104
14# #G G- -
et , ,t8 29 10 8 52 1042
4# #G G- - .
2 a. , ,u u u0 0 001 0 002 6CC C= = =^ ^ ^h h h .b. , ,cosu t t0 001 2 000 0 001C + = +r^ ^^h hh
cos cost t u t2 000 2 2 000 C= + = =r r r^ ^ ^h h h.
3 cosu t t3 2 000 21
C += =r^ ^h h
cos cost2 000 3+ =r r^ h
t k2 000 3 2+ #= +r r r
ou t k2 000 3 2#=- +r r r , avec Zk !
t k6 000
11000+ = + ou t k
6 0001
1000=- + ,
avec Zk ! .Pour rester dans l’intervalle ; ,0 0 0016 @, il faut prendre k 0= pour la première famille de solutions et k 1= pour l’autre.On obtient les deux solutions : 6 000
1 et 6 0005 .
Donc les valeurs approchées sont cohérentes avec les encadrements du 1 b.
Résoudre une inéquation trigonométrique1 a. L’équation sin a 2
1= a pour solutions 6
r et 65r
dans l’intervalle ;-r r6 @.b. Les réels b sont dans l’intervalle ;6 6
5r r; E.c. Sur l’intervalle ;-r r6 @, on a :
sin x x2 3 21
6 2 3 65+H G G+ +
r r r rd n .
d. On obtient x x6 2 2 12 4+G G G G- -r r r r .
On a bien l’ensemble solution voulu.2 L’équation cos a 0= a pour solutions 2
-r et 2r
dans l’intervalle ;-r r6 @.
Les réels b vérifi ant cos b 0H sont les réels de l’inter-valle ;2 2-
r r< F.Sur l’intervalle ;-r r6 @, on a donc :
cos x x2 4 0 2 2 4 2+H G G- - -r r r r
d n .
On obtient x x4 2 43
8 83+G G G G- -
r r r r .
Donc ;S 8 83
= -r r; E.
Angle inscrit et angle au centre
1 , ,OA OB MA MB2 2= r` ` ^j j h.2
O
! = 1,94 rad
" = 4,11 rad
BA M
I
J
3 Lorsque M est sur l’arc de cercle d’extrémités A et B contenant J, la relation est vérifi ée. Sur l’autre arc, celui ne contenant pas J, le logiciel affi che 4,11 rad. Or
, ,2 4 11 8 22# = rad et , , ,8 22 6 28 1 94- = rad, donc on retrouve bien le double de la mesure de ,MA MB` j (6,28 est une valeur approchée de 2r). L’égalité est vraie pour tout M diff érent de A et B.
Avec deux points symétriques1
2 On conjecture que x x2 = +a l. Pour le cas n° 6, on considère que la mesure 5,66 est en fait
, ,5 66 2 0 62.- -r .3 On conjecture le même résultat.4 , ,I Ix x O OM O OM+ = +l l` `j j
, , , ,I IO OA OA OM O OA OA OM= + + + l` ` ` `j j j j .
Or , ,OA OM OA OM=-l^ `h j grâce à la symétrie donc on obtient x x 2+ = al .
a. sin sinA x x 0= - = .b. sin sin sin sinB x x x x=- + - =- .c. cos cos cosC x x x2= + = .d. sin cos sin cosD x x x x=- - + =- .e. cos cos cos cosE x x x x2 2= + - = .
a. sin sin sin sinA 4 4 4 4 0= + - - =r r r r .
b. cos cos cos cosB 3 3 3 3 0= + - - =r r r r .
c. sin cos cosC 6 6 6 21
= - + =r r r .
a. A 1 1 1 1= + - = .
b. B 22
22
22
23 2
= + + = .
c. C 23
23
232 2
= + =c cm m .
d. D 2 43
21 1 2#= - + = .
a. cos sin 12 2+ =a a , donc sin 1 91
982 = - =a .
Comme ;0 2!a r< F le sinus est positif, donc :
sin 98
32 2
= =a .
b. sin 32 2
+ =-r a^ h .
c. sin 32 2
- =r a^ h .
a. cos sin 12 2+ =a a ,
donc cos 1 169
1672 = - =a .
Comme ;2!a r r< F le cosinus est négatif,
donc cos 167
47
=- =-a .
b. cos 2 43
+ =-r ad n .
c. cos 2 43
- =r ad n .
Démonstrations du cours1 a. et b. Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel x.Le point Ml associé au réel x+r est le symétrique de M par rapport au point O. Donc M et Ml ont des abscisses opposées et des ordonnées opposées, d’où les égalités.2 a. et b. Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel x.Le point Ml associé au réel x-r est le symétrique de M par rapport à l’axe JO^ h. Donc M et Ml ont des abscisses opposées et des ordonnées identiques, d’où les égalités.
Zk ! .L’ensemble des solutions dans l’intervalle ;-r r@ @ est
;5 5-r r
( 2.
2 x k72 2#= +r r ou x k7
2 2#= - +r r r , avec
Zk ! .
;S 72
75
=r r
' 1.
1 ;S 32
32
= -r r
' 1.
2 ;S 3 32
=r r
' 1.
1 x k k2 2 1#= + = +r r r^ h .2 x k 2#= r ou x k 2#= +r r , ce qui revient à écrire x k= r , avec Zk ! .
1 x k4 2#= +r r ou x k4 2#=- +
r r (avec
Zk ! ).
2 x k6 2#=- +r r ou x k6
7 2#= +r r (avec
Zk ! ).
1 x k3 2#= +r r ou x k3 2#=- +
r r (avec
Zk ! ).
2 x k2 3 2#= +r r ou x k2 3 2#=- +
r r (avec
Zk ! ), ce qui est équivalent à x k6= +r r ou
x k6=- +r r , avec Zk ! .
1 x k6 2#= +r r ou x x k6
5 2#= + r (avec
Zk ! ).
2 x k4 6 2#+ = +r r r ou x k4 6
5 2#+ = +r r r
(avec Zk ! ), ce qui est équivalent à x x k12 2#=- + r
ou x k127 2#= +r r (avec Zk ! ).
1 cos sin cos cosx x32
6+= =r r
x k6 2+ #= +r r ou x k6 2#=- +
r r , avec
Zk ! .
2 x k3 6 6 2#- = +r r r
ou x k3 6 6 2#- =- +r r r , ce qui est équivalent à
x k3 3 2#= +r r ou x k 2#= r , ce qui est équivalent
à x k9 32
#= +r r ou x k 3
2#=
r , avec Zk ! .
x k100 4 2#= +r r r ou ,x k100 43 2#= +r r r
ce qui est équivalent à x k400
150= + ou
x k400
350= + (avec Zk ! ).
a.sin sin sin sinx x x6 2 3 2 2
12 6+ +=- =- = -
rd n
x k2 6 2+ #=- +r r ou x k2 6
5 2#=- +r r
x k3 4+ #=- +r r ou x k3
5 4#=- +r r (avec
Zk ! ).
b. cos x x k43
22
43
4 2+ #= = +r rc m
ou x k x k43
4 2 3 38+# #=- + = +
r r r r
ou x k3 38
#=- +r r (avec Zk ! ).
On peut calculer tan x si, et seulement si, cos x 0! .Or cos x x k0 2 2+ #= = +
r r
ou x k2 2#=- +r r (avec Zk ! ).
Ces deux familles de valeurs sont les valeurs à exclure pour que tan x existe.
cos x x k3 2
1 3 32 2+ #=- = +r r
ou x k3 32 2#=- +r r
x k92
32+ #= +
r r ou x k92
32
#=- +r r avec
Zk ! .Si on donne à k les valeurs 1 et 1- dans chacune des familles de solutions, on obtient quatre solutions supplé-mentaires à celles données par le logiciel.
; ; ; ; ;S 98
94
92
92
94
98
= - - -r r r r r r
' 1.
1 On résout cos x 23
= , ce qui est équivalent à
x k6 2#= +r r ou x k6 2#=- +
r r (avec Zk ! ).
Pour que la solution soit dans l’intervalle ;3 4r r6 @ on doit prendre k 2= dans la deuxième famille de solu-tions, on obtient le réel x 6 4 6
23=- + =
r r r .
2 On résout sin x2 23
= .
On obtient x k2 3 2#= +r r ou x k2 3
2 2#= +r r
(avec Zk ! ), ce qui est équivalent à x k6 #= +r r
Avec k 10= dans chaque famille de solutions, on obtient deux valeurs possibles pour x :
x 6 10= +r r et x 3 10= +
r r .
Les deux valeurs possibles sont : 331r et 6
61r .
1 On conjecture une solution : x 4. r .
2 cos x x k3 4 21
3 4 3 2+ #+ = + = +r r r rd n
ou x k3 4 3 2#+ =- +r r r
x k4 6+ #= +r r (avec Zk ! ).
La solution est obtenue pour k 0= et on retrouve bien
4r .
sin x x k2 21 2 6 2+ #= = +
r r
ou x k x k2 65 2 12+# #= + = +r r r r
ou x k125
#= +r r (avec Zk ! ).
Pour k 0= on obtient les deux solutions données par le logiciel mais avec k 1=- on en obtient deux autres dans l’intervalle imposé.Finalement : ; ; ;S 12
11127
12 125
= - -r r r r
' 1.
Problèmes
1 ;M 22
22
c m.
2 On a ;I 1 0^ h donc
IM 1 22
222 2
= - + -c cm m
IM 23 2 2
1 2 2= - + = - .
3 a. I I Isin sinM H OH2 2 1 2 8# #= = =r% .
b. sin 8 21 2 2= -
r .
4 cos sin8 1 8 1 42 22 2= - = - -r r
d dn n
cos 8 42 22 = +r
d n .
Comme ce sinus est positif (on est dans le premier quadrant), on a sin 8 2
1 2 2= +r .
5 sin sin sin87
8 8= - =r r r r
d n ;
cos cos cos87
8 8= - =-r r r r
d n .
sin sin sin89
8 8= + =-r r r r
d n ;
cos cos cos89
8 8= + =-r r r r
d n .
sin sin cos85
2 8 8= + =r r r r
d n ;
cos cos sin85
2 8 8= + =-r r r r
d n .
sin sin cos83
2 8 8= - =r r r r
d n ;
cos cos sin83
2 8 8= - =r r r r
d n .
1 ;M 23
21
c m.
2 IM 1 23
41 2 32
2= - + = -c m ,
donc IM 2 3= - .3 a. et b. Dans le triangle rectangle OIH,
II Isin OH M12 2
12
2 3= = =
-r .
4 cos 12 1 42 3
42 32 = - - = +r
d n
et 2cos 12 0r , donc cos 12 22 3
=-r .
5 cos 1211
22 3
=-+r
et sin 1211
22 3
=-r ;
cos 1213
22 3
=-+r
et sin 1211
22 3
=--r ;
cos 125
22 3
=-r et sin 12
52
2 3=
+r ;
cos 127
22 3
=--r et sin 12
72
2 3=
+r .
1 ,OA OM 6=r
` j à l’instant 1s.
,OA OM = r` j à l’instant 30 s ;
,OA OM 32
=r
` j à l’instant 40 s ;
,OA OM 2=-r
` j à l’instant 57 s ;
,OA OM 0=` j à l’instant 60 s.
2 a. À l’instant 5 s.b. Il occupe cette position aux instants k5 12 #+ , donc cinq fois : 125 s, 137 s, 149 s, 161 s et 173 s.
a. ; ; ;S 43
4 4 43
= - -r r r r
' 1.
b. sin cosx x2 2 02- + + =^ h
cos cosx x2 1 02+ + + =^ h
cos x 1 02+ + =^ h ; S = r" ,.
1 sin sinx x2 1 02 - - =^ h .2 En posant sinX x= , on obtient une équation du second degré dont le discriminant vaut 9 et les racines
Il semble que ! 2= lorsque 30c=i et lorsque 150c=i .2 ! sin4= i ou ! sin4= -r i^ h.
3 Sur ;0 2r< F, ! sin2 2
16+ += = =i i r .
Sur ;2r r< F, ! sin2 2
16
5+ += - = =r i i r^ h .
1 ,sin x 0 6= a deux solutions positives et ,sin x 0 3=- a deux solutions négatives.
2 La calculatrice ne donne qu’une solution.3 0,643 et 2,498 ; ,2 837- et ,0 305- .4 Aucune solution si 1k 1- , une solution 2-
rd n si
k 1=- , deux solutions négatives si 1 1k1 0- , trois solutions , ,0-r r^ h si k 0= , deux solutions positives si
1 1k0 1, une solution 2r
d n si k 1= et aucune solution
si 2k 1.
1 Les deux équations ont deux solutions opposées.2 La calculatrice ne donne que la solution positive.3 ,0 927! et ,1 875! .4 Aucune solution si 1k 1- , deux solutions ! r^ h si k 1=- , deux solutions opposées si 1 1k1 1- , une solution 0^ h si k 1= et aucune solution si 2k 1.
1 La fonction sinus semble être décroissante sur
les intervalles ; 2- -r r< F et ;2r r< F, et croissante sur
l’intervalle ;2 2-r r< F.
La fonction cosinus semble être croissante sur l’inter-valle ; 0-r6 @, et décroissante sur l’intervalle ;0 r6 @.2 Quand le point du cercle trigonométrique associé à x parcourt, dans le sens positif, le quart de cercle corres-pondant au troisième quadrant, son abscisse augmente (de 1- à 0) et son ordonnée diminue (de 0 à 1- ) ; on observe de même les trois autres quarts de cercle.3
0!- –2!–2
1
–1
-! !
4
0
1
–1
!- –2!–2
-! !
5
x -r 2-r 0
2r r
f x^ h
0
1
0
1
0
x -r 2-r 0
2r r
g x^ h
1
0
1
0
1
1
2 u 0 220=^ h ; ,u 0 01 220=-^ h ; ,u 0 0225 0=^ h .
3 cosu t t220 100 4 22+= + =r r
^ dh n
t k100 4 4 2+ ! #+ = +r r r r avec k entier
,t k0 02+ = ou , ,t k0 005 0 02=- + avec k entier.4 La tension est maximale lorsque le cosinus vaut 1, donc lorsque t k100 4 2#+ =r r r avec k entier, c’est-
à-dire lorsque , ,t k0 0025 0 02=- + avec k entier.5
1 a. L’angle au centre a une mesure double de celle de l’angle inscrit donc , ,I IO OA K KA x2 2#= =` ^j h .
b. Dans le triangle OIH, on a : II Isin x OH H2 = = .
c. Aire de I I sin cosAK A AK x x2 2
2 2# #= =
donc aire de I sin cosAK x x2= .d. Les triangles AKO et AOI ont la même aire, car ils ont tous les deux une base de longueur 1 et la même hauteur, celle issue de A.Aire de I I IAO AO H H
2 2#= = .
e. Aire de IAK = Aire de AKO + Aire de AOI, donc :I I Isin cos sinx x H H H x2 2 2 2= + = = .
2 Comme ;x 2! r r< F on aura ;x 0 2! rl < F.D’après la question 1 , on peut écrire :
xsin sin cosx x2 2=l l l,ce qui équivaut à :
sin sin cosx x x2 2 2 2 2- = - -r r r
dd d dnn n n
sin cos sinx x x2 2+ - =-r^ h
sin sin cosx x x2 2+ - =-
sin sin cosx x x2 2+ = .Avec les deux questions précédentes, on a démontré le résultat pour tout ;x 0! r6 @.3 a. Si ;x 0! -r6 @, alors ;x 0! rll 6 @. On peut appliquer le résultat au réel xll.sin sin cosx x x2 2=ll ll ll. b. Ce qui précède équivaut à écrire :sin sin cosx x x2 2- = - -^ ^ ^h h h
sin sin cosx x x2+ - =-
sin sin cosx x x2+ = .4 Tout réel x peut s’écrire sous la forme x y k 2#= + r avec k dans Z et ;y ! -r r6 @, on a alors sin sinx y= , cos cosx y= et sin sinx y2 2= .Comme l’égalité est vérifi ée pour y, elle l’est pour x.
C H A P I T R E
999999999999999999Produit scalaire
Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire 1
Contenus Capacités attendues CommentairesProduit scalaire dans le planDéfi nition, propriétés
Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par diff érentes méthodes :– projection orthogonale ;– analytiquement ; – à l’aide des normes et d’un angle ;– à l’aide des normes.
Choisir la méthode la plus adaptée en vue de la réso-lution d’un problème.
Il est intéressant de démontrer l’éga-lité des expressions attachées à chacune de ces méthodes.
La démonstration du théorème de la médiane fournit l’occasion de travailler le calcul vectoriel en lien avec le produit scalaire.
Vecteur normal à une droite Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un point et un vecteur normal.
Déterminer un vecteur normal à une droite défi nie par une équation cartésienne.
Applications du produit scalaire :– calculs d’angles et de longueurs ;– formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus.
Déterminer une équation de cercle défi ni par son centre et son rayon ou par son diamètre.
Démontrer que : cos cos cos sin sina b a b a b- = +^ h .
La relation de Chasles pour les angles orientés est admise.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole �.
2. Intentions des auteursLe produit scalaire, après l’introduction des vecteurs en Seconde, est un nouvel outil destiné, comme le précise le programme, à « renforcer la capacité des élèves à étudier des problèmes dont la résolution repose sur des calculs de distances et d’angles, la démonstration d’ali-gnement de parallélisme ou d’orthogonalité ».La notion de vecteur étant récente pour les élèves, il importe de n’aborder ce chapitre qu’après avoir activé leurs souvenirs en géométrie repérée, mais aussi de les avoir entraînés au calcul vectoriel et en particulier à la décomposition vectorielle sur deux vecteurs non coli-néaires. Les notions de trigonométrie et la compréhension du sens de l’écriture I Jcos sinOM O O= +i i , où , ,I JO^ h est un repère orthonormé, sont des points de passage obligés.Nous avons donc choisi dans ce chapitre :
de donner très rapidement les diff érentes expressions du produit scalaire : n à l’aide des normes et d’un angle, o en utilisant la projection orthogonale, p à l’aide des normes,q analytiquement,
les liens entre ces diff érentes formules étant soit établis en activité préparatoire, soit esquissés dans le cours ;
d’établir ensuite les propriétés algébriques du produit scalaire et de les mettre en application dans les calculs de longueurs et d’angles sur des confi gurations classi-ques. On cite les théorèmes de la médiane et d’Al-Kashi, on les démontre et on les met en application ;
de faire le lien entre orthogonalité et produit scalaire et de dégager la notion de vecteur normal à une droite pour en tirer les applications pratiques : équations de droites, de cercles, de tangentes ; de fi nir par une application à la trigonométrie, en
établissant les formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus.Il s’agit d’un chapitre très consistant en terme d’appli-cations mathématiques et de savoir-faire. L’essentiel du travail doit porter sur la maîtrise et l’emploi judicieux des diff érentes formules établies, en visant aussi la prise d’initiative par l’élève dans le choix ou la mise en place d’une méthode de résolution pour un problème.
2 Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire
Partir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon pied
Activité 1 Deux expressions du produit scalaire ObjectifParvenir, avec le soutien visuel du logiciel, à formuler une défi nition du produit scalaire utilisant les deux normes et le cosinus de l’angle, et voir le lien avec la projection ortho-gonale.Le changement de signe du produit scalaire en fonction de l’angle est aussi pointé.
1 Réalisation de la fi gure dans un repère orthonorméa. et b.
2 Comparaison de deux produitsa. On constate que p1 et p2 sont égaux.b. cos cosp AB AH AB AC AC AB1 # # # # #= = =i i
p AC AK p1 2#= = .3 Approche du produit scalaire à partir du logiciela. Lorsque H appartient au segment AB6 @, K appartient à la demi-droite ACh6 .Lorsque BAH = r
% , CAK = r% .
b. p est égal ou opposé à p1 et p2.c. Si BAH 0=
% , alors p est positif,si BAH = r% , alors p est négatif,
BAH 2=r% (ou si A B= ou A C= ), alors p 0= .
4 Défi nition du produit scalairecosu v u v$ # #= i.
a. cosAB AC 5 3 2 4 15$ # #= =r ;
b. cosAB AC 2 3 2 43 6$ # #= =-r ;
c. cosAB AC 6 6 3 18$ # #= =r .
Activité 2 Une identité avec des normes en repère orthonorméObjectifs
Revoir l’expression de la norme (ou longueur) d’un vecteur en repère orthonormé.
Établir la relation : u v u v u v u v2 2 2 2 2 2+ - - = + - -
xx yy2= +l l6 @.1 a. u AB 5 1 1 3 2 52 2= = - + - =^ ^h h ;
v BC 4 5 1 1 52 2= = - + - - =^ ^h h ;u v AC 3 4 52 2+ = = + - =^ h .
b. u v u v 25 20 5 02 2 2+ - - = - - = .
c. AC AB BC2 2 2= + , donc le triangle ABC est rectangle en B.2 a. u OM x y2 2= = + , où M a pour coordonnées
;x y^ h dans , ,I JO^ h.v x y2 2= +l l ;u v x x y y2 2+ = + + +l l^ ^h h ;u v x x y y2 2- = - + -l l^ ^h h .
b. u v u v2 2 2+ - -
x x y y x y x y2 2 2 2 2 2= + + + - + - +l l l l^ ^ ^ ^h h h hxx yy2= +l l^ h.
c. On trouve de même :u v u v xx yy22 2 2
+ - - = +l l^ h.3 a. Si u et v sont non nuls et si xx yy 0+ =l l , alors le triangle ABC, où AB = u et BC = v , est rectangle en B et par suite l’angle , modulou v 2=
r r_ i .
b. Cette phrase est vraie. Considérons le parallélogramme ABCD, posons AB = u et BC = v , alors DC = u , AD = v , et pour les diagonales :AC = u v+ et DB = u v- .AC DB u v u v2 2 2 2
+ = + + -
AC DB u v xx yy22 2 2 2+ = + + +l l^ h
u v xx yy22 2+ + - +l l^ h
AC DB u v2 22 2 2 2+ = +
.AC DB AB BC CD DA2 2 2 2 2 2+ = + + +Remarque : il s’agit sous une forme « déguisée » du théo-rème de la médiane.
Activité 3 Un exemple de vecteur normal à une droiteObjectifs
Montrer sur un exemple que l’on peut caractériser l’ap-partenance d’un point à une droite par une condition d’or-thogonalité.
Introduire la notion de vecteur normal à une droite, comme vecteur orthogonal à un vecteur directeur.
Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire 3
1 u 52d n. Les coordonnées du point A vérifi ent l’équation
de : 2 1 5 1 3 0# #- + = , donc A ! .
2 u n 5 2 2 5 0$ # #= + - =^ h .Les deux vecteurs étant non nuls, c’est donc que l’angle
,u n 2=r r_ ^i h.
3 a. M ! AM& et u sont colinéaires
& il existe un réel t tel que AM t= uAM& $ n tu n 0$= = .
Réciproquement, considérons que AM $ n 0= . Comme n et u ne sont pas colinéaires, il existe deux réels s et t tels que AM s= n tu+ . Or on a AM0 $= n s n 2
= , donc s 0= , et par suite AM = tu .
C’est-à-dire AM et u sont colinéaires, donc M ! .On peut aussi utiliser une autre idée : dans le repère
, ,I JO^ h,
AM $ n xy0 1
12
5 0+ #=-- -
=d dn nx y2 1 5 1 0+ - - - =^ ^h h
x y M2 5 3 0+ + !- + = .Ce deuxième point de vue paraît plus simple, mais il masque l’aspect géométrique des choses. Il semble important de présenter les deux méthodes (qui pour-ront avoir été trouvées par les élèves) en synthèse de cette activité.b. On peut conclure facilement que si M ! A-" ,,alors ,AM
` j
n 2=r r^ ^h h.
Activité 4 Une propriété des points d’un cercleObjectifFaire découvrir, sur un exemple et à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, le théorème de la médiane.1
2 Lorsque M se déplace sur le cercle de rayon donné R, s est invariant. On obtient le tableau suivant :
R 0 1 3 5s 18 20 36 68
3 a. Les points N semblent être placés sur une parabole ayant son sommet sur l’axe des ordonnées.b. d est la valeur de s pour R 0= , soit d 18= . Cela correspond donc au cas où IM = (cercle de rayon nul) et dans ce cas I I Is A B A22 2 2= + = .
Avec R 1= , on obtient c20 18= + , soit c 2= , ce qui est conforté avec R 3= , puisque 2 9 18 36# + = , et le tracé de la parabole d’équation y x2 182= + , qui se superpose à la trace des points N.c. On en déduit : I IMA MB M A2 22 2 2 2+ = + .
b. Soit ’ cette médiatrice et K le milieu du segmentAB6 @ :
M ! ’ KM AB 0+ $ =
xy x y4
142 0 2 7 0+ +#
-- -
= - - =d dn n .
111111 1 Un vecteur normal à d est n 23-
d n.2 La droite passant par A et perpendiculaire à d : a pour vecteur directeur n, donc les coordonnées de
AM xy
31
-+
d n sont proportionnelles à celles de n :
y x2 1 3 3+ = - -^ ^ ^h h h, soit x y3 2 7+ = ;
a pour vecteur normal un vecteur directeur de d,
u 32d n ; son équation est de la forme x y c3 2 0+ + = et
comme elle passe par A, c 7=- . Elle a pour équation x y3 2 7 0+ - = .
121212 1 ;M x y^ h appartient au cercle si, et seulement si, AM 92 = , soit x y2 3 92 2- + - =^ ^h h . Donc on obtient : x y x y4 6 4 02 2+ - - + = .2 L’équation s’écrit : x y2 3 162 2- + + =^ ^h h ; ’ est le cercle de centre ;K 2 3-^ h et de rayon 4.
131313 Une équation du cercle de centre A passant par O est :x y OA3 12 2 2- + - =^ ^h h
x y3 1 102 2+ - + - =^ ^h h .Les points communs au cercle et à la droite d, s’ils exis-tent ont leurs coordonnées solution du système :
161616 On a :cos cos cos cos sin sinx x x x x x x3 2 2 2= + = -^ h ,donc comme cos cosx x2 2 12= - et sin cos sinx x x2 2= , on a alors :cos cos cos sin cos sinx x x x x x3 2 1 22= - -^ h .cos cos cos sinx x x x3 2 1 23 2= - +^ het enfi n comme sin cosx x12 2= - , on obtient :cos cos cosx x x3 4 33= - . De même, on obtient : sin sin sinx x x3 4 33=- + .
Étape 3 : Rédaction d’une solution1 I I I IMA MB k M A M B k+$ $= + + =^ ^h h
I I I I I IM M A B A B k2+ $ $+ + + =^ hEt compte tenu de I IA B 0+ = et I IB A=- puisque I est le milieu du segment AB6 @, on obtient :
I I IMA MB k M A k M k 92 2 2+ +$ = - = = + .
2 Si 1k 9- , l’ensemble Ek est vide.Si k 9H - , l’ensemble Ek est le cercle de centre I et de rayon k 9+ , réduit à son centre I si k 9=- .Remarque : L’existence d’un point M tel que ,MA MB k$ = implique donc que k 9H - , valeur minimale apparue lors de l’exploration avec le logiciel.3 E16 est le cercle de centre I et de rayon 5, E
-8 est le cercle de centre I et de rayon 1.
222222222222 Puissance d’un point par rapport à un cercle1
2 a. p est invariant lorsque d pivote autour de M qui reste fi xe.b. Si M est à l’extérieur du disque délimité par C , 2p 0 et augmente lorsque M s’éloigne de O.Si M est à l’intérieur du disque délimité par C , 1p 0 et diminue lorsque M se rapproche de O.Enfi n p est nul pour tout point M sur C .c. On peut continuer à faire les mêmes observations qu’au b. lorsque l’on modifi e le cercle C .d. Le produit scalaire MC MD$ , ne semble donc dépendre que du cercle C et de la position du point M, plus précisément de la distance de M à O et du rayon du cercle.3 MC MD MC MC C D MC MC MC C D$ $ $ $= + = +l l l l^ h .Or C Dl et CD sont orthogonaux, puisque le triangle CC Dl est inscrit dans un demi-cercle de diamètre CC l6 @ et par suite MC C D 0$ =l .On obtient fi nalement : MC MD MC MC$ $= l.Puis en introduisant le point O :MC MC MO OC MO OC$ $= + +l l^ ^h hMC MC$ l MO OC MO OC MO OC2 2$= + - = -_ _i i
MC MC$ l OM R2 2= - .4 a. La valeur minimale pour un cercle de centre O et de rayon R est p R2=- ; elle est obtenue lorsque M est en O.b. M F p k OM R kk
2 2+ +! = - =
OM k R OM k R2k R
2 2 22
,+ = + = +-
.Fk est donc le cercle de centre O et de rayon k R2+ .En particulier FR2 est donc le cercle de centre O et de rayon R2 , que l’on obtient en traçant le carré direct OAEG, puis le cercle de centre O de rayon OE.
D
M
v
u
g
C
O
d G
E
A
C‘
B
6 Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire
232323232323 Déterminer une équation de droiteA. 1 Soit cette droite perpendiculaire à RS^ h passant
par T : M ! TM+ $ nx xy y
ab
0 0T
T+ $=
-
-=f fp p
a x x b y y 0T T+ - + - =^ ^h hax by ax by 0T T+ + - - = .
2 Il suffi t d’adapter l’équation précédente en prenant n =RS et de faire calculer les coeffi cients :
a x xS R= - , b y yS R= - et c ax byT T=- - .
3
ALGO
Variables : XR, YR, XS, YS, XT, YT, a, b, c : réels.Début Entrer (XR, YR, XS, YS, XT, YT) a XS XR! - b YS YR! - * *c a XT b YT! - - affi cher : « une équation de la perpendiculaire est : » affi cher : a affi cher : « x+ » affi cher : b affi cher : « y+ » affi cher : c affi cher : « = 0. »Fin.
B.
x
y
0
B
C
A
B’
C’
B1
A1
C1
A’H
1 Vu la confi guration, la hauteur issue de C a pour équa-tion : x 1= .À l’aide du logiciel, on obtient une équation de la hauteur issue de B : x y 1 0- + - = , et une pour la hauteur issue de A : x y2 3 8 0+ - = .Les coordonnées de l’orthocentre H sont donc ;1 2^ h.2 Avec ;A 1 1-l^ h et ;H 4 0l^ h, on obtient une équation du cercle C :M A M H M x
yx
y0 11
4 0+ +$ $! =+-
-=C l l d dn n
x y x y3 4 02 2+ + - - - = .Avec les milieux respectifs des segments AC6 @ et AB6 @,
;B 4 1l^ h et C ;2 2-l^ h, on vérifi e que :4 1 12 1 4 17 17 02 2+ - - - = - = ,et aussi 2 2 6 2 4 10 10 02 2+ - - + - = - =^ h ,et par conséquent Bl et C l appartiennent à C .Les pieds des trois hauteurs C1, B1 et A1 ont pour coor-données respectives :
;1 2-^ h, ;2 3^ h et ;131
1334c m.
On vérifi e aisément pour les points à coordonnées entières et pour A1 :
1691
1691156
133
1334 4 13
891337 4+ - - - = - -
1352 4 0= - = .
3 La médiatrice du segment AB6 @ a pour équation : ,x 2= et celle du segment AC6 @ : x y 3 0- + + = . On obtient les coordonnées du centre X du cercle : ;2 1-^ h.Le rayon de est A 26=X , tandis que le rayon de C
est A H2 2
26=
l l , c’est-à-dire la moitié.
Faire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le point242424242424 1 c. 2 a. 3 c. 4 a. et c. 5 b.
puis ,168 96c`a .3 Les contraintes sont vérifi ées, car 2150ca .
717171 Dans le plan ADFE^ h. En prenant comme repère
orthonormé , ,i jA^ h
, où i dirige AE^ h, j dirige AD^ h
on a : ;E a 2 0^ h
, ;D a0^ h, ;F a a2^ h, soit AF aa
2e o, ED a
a2-e o.
On en déduit AF DE a 3= = , puis cos cosAF ED EF ED a3 2$ # #= =a a,puis en utilisant la défi nition analytique du produit scalaire AF ED a2$ =- . On obtient cos 3
1=-a , donc ,109 47c`a .
727272 En utilisant le théorème de la médiane,I ICA CB C A2 22 2 2 2+ = + ,
donc IC 2712 = et ,IC 5 96. .
737373 En utilisant la formule du cosinus, on obtient :1 BC 212 = , soit BC 21= ;2 AC 41 20 32 = - , donc ,AC 6 36. .
747474 En utilisant la formule du cosinus et en posant BC x= , on obtient l’équation ,x x12 35 84 02 - + = qui admet deux solutions : 5,6 et 6,4 ; il y a donc deux valeurs possibles de BC.
757575 On calcule AC à l’aide du théorème du cosinus :cosAC BA BC BA BC2 1052 2 2 # #= + - .
On obtient ,AC 2 458 68. .On applique de nouveau le théorème du cosinus :
,cos AC BCAC CB AB
2 0 6182 2 2
#`= + -i , donc ,51 85c`i .
10 Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire
767676 1 Soit H le projeté orthogonal de B sur AC^ h. On a sinBH AB 70#= , donc l’aire est :
,sinAC BH AB AC2 2
70 32 9# # #.= .
2 Le théorème du cosinus donne :,cosBC AB AC AB AC2 70 50 92 2 2 # # .= + - ^ h .
Donc ,BC 7 1. et le périmètre de ABC est :, ,5 7 7 1 19 1+ + = .
4 Orthogonalité
777777 1 Faux. 2 Vrai.3 Faux. (Un vecteur peut être 0.)
787878 1 c. 2 a. 3 b.
797979 1 Faux. 2 Vrai.
808080808080 Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seule-ment si : m m m m1 2 5 4 0+ - + + - =^ ^ ^ ^h h h h
m2 18 0+ - = .Les deux vecteurs sont orthogonaux pour m 9= .
818181 AB 13d n, BC 6
2-d n, donc AB BC 0$ = ; donc le triangle
ABC est rectangle en B.
828282828282 1 En tenant compte des orthogonalités : AC BD AB BC BA AD$ $= + +^ ^h hAC BD AB BA BC AD 0$ $ $= + = .2 Les diagonales sont perpendiculaires.
838383838383 1 Voir la fi gure ci-dessous.
HC et HD semblent orthogonaux pour 1 1, ,x0 62 0 63.
2 Dans le repère , ,A B D^ h on a ;H x x2 2
3c m, ;C 1 1^ h et ;D 0 1^ h.
HC
x
x
1 21 2
3
-
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO, HD
x
x2
1 23
-
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO ;
HC HD 0$ =
x x x x1 2 2 1 23 1 2
3 0+ - - + - - =d d c cn n m mHC HD x x0 2
1 3 1 02+$ = - + + =c m .
Cette équation admet deux solutions ,x 1 611 ` et ,x 0 622 ` .
Comme x est compris entre 0 et 1 la seule valeur possible est x2.3 Le point H est l’intersection du demi-cercle de diamètre CD6 @ et de la droite passant par A et telle que l’angle fait avec AB^ h soit de 60°.
Équations de droites
848484848484 a. x y2 3 0+ - = ;b. x y3 11 0- + = .
858585858585 1 Un vecteur normal à d : n 21d n.
2 ;M x y AM+! D^ h colinéaire à n + Les coor-
données xy
51
--
d n et 21d n sont proportionnelles .
La droite D a pour équation : x y2 3 0- - = .
868686868686 n 11d n. Une équation de D : x y 1 0- - = .
878787878787 n 10d n. Une équation de D : y 2 0+ = .
888888888888 La médiatrice D passe par ;I 0 2^ h, milieu de AB6 @, et a pour vecteur normal AB 4
2-d n. Elle a pour équation
x y4 2 4 0- + = , soit encore x y2 2 0- + = .
898989898989 1 La droite passe par A et a pour vecteur normal
BC 52-d n. Elle a pour équation x y5 2 10 0- + - = .
2 La médiatrice D passe par ;I 21 2-c m, milieu de BC6 @
et a pour vecteur normal BC 52-d n. Elle a pour équation
x y5 2 213 0- + - = .
3 On a AB 41d n, donc un vecteur normal est n k
k4-d n avec
k réel quelconque non nul. Sa norme doit être égale à 1,
donc k k4 12 2- + =^ ^h h ; donc ,k171
171
! -( 2.
909090909090 1 Si H a pour abscisse a, son ordonnée est a21 2+ .
2 AHa
a3
21 1
-
+f p ; d a pour vecteur directeur u 2
1d n ;
AH = u équivaut à a a2 3 21 1 0- + + =^ h , donc
a 2= et ;H 2 3^ h.
3 AH 12-d n, donc AH 52 = et AH 5= .
Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire 11
919191 1 ,M x y !^ h OM 92+ = . Le cercle a pour équation x y 92 2+ = .2 Soit ;M x y^ h. On a AM x
y12
++
d n, BM xy
31
-+
d n.
,M x y !^ h 1 AM BM 0+ $ = .1 a pour équation : x y x y2 3 1 02 2+ - + - = .
929292929292 1 En écrivant que AM BM 0$ = , on obtient : x x y y2 6 2 8 0- - + - - =^ ^ ^ ^h h h h ,
soit : x y x y8 10 28 02 2+ - - + = .2 Le cercle a pour rayon OA. On obtient :
x y x y10 4 02 2+ - - = .
939393939393 1 Le cercle a pour rayon 4. Son équation est :x y x y8 6 9 02 2+ - - + = .
2 Le cercle a pour rayon 3. Son équation est :x y x y4 6 4 02 2+ + + + = .
949494949494 Cercle rouge : équation n ;cercle bleu : équation o ;cercle vert : équation p.
959595959595 1 AB 21d n, AC 2
4-d n. Comme AB AC 0$ = , le triangle
ABC est rectangle en A.2 Le milieu I de BC6 @ a pour coordonnées ;1 2
7c m. Le
rayon du cercle est IA 25
= , donc le cercle cherché a
pour équation : x y x y2 7 7 02 2+ - - + = .
969696969696 1 La hauteur issue de A a pour équation : x 0= .
La hauteur issue de B passe par B et a pour vecteur nor-
mal AC 43-
d n. Son équation est donc x y4 3 4 0- + = .
L’orthocentre H a pour coordonnées ;0 34c m.
2 La médiatrice de BC6 @ a pour équation x 23
= .
La médiatrice de AC6 @ passe par son milieu ;I 2 23c m et
a pour vecteur normal AC 43-
d n. Son équation est donc
x y4 3 27 0- - = . Le centre du cercle circonscrit est
;W 23
65c m.
3 Le cercle circonscrit C a pour centre W et pour rayon WA 2= . Il a pour équation :
x y x y3 35
911 02 2+ - - - = .
979797979797 x y x y2 02 2+ + - =
x y21 1 4
522+ + + - =c ^m h .
L’ensemble cherché est un cercle de centre ;I 21 1-c m et
de rayon R 25
= .
989898989898 1 x y x y4 2 5 02 2+ - + - =
x y2 1 102 2+ - + + =^ ^h h .Son centre est ,I 2 1-^ h et son rayon 10 .2 Il coupe l’axe des abscisses en des points d’ordonnée nulle vérifi ant : x x4 5 02 - - = . Cette équation admet deux solutions - 1 et 5. Le cercle coupe l’axe des abscisses en ;A 1 0-^ h et ;B 5 0^ h.
999999999999 x y x y k2 4 02 2+ - + + =
x y k1 2 52 2+ - + + = -^ ^h h .Pour que ce soit l’équation d’un cercle il faut, et il suffi t que k5 0H- , soit ;k 53! -@ @.100100100100100100 1 Le cercle a pour équation :
x y3 2 172 2- + - =^ ^h h .Son centre est ;3 2X^ h et son rayon 17 .2 Les points A et B sont des points de , car leurs coor-données vérifi ent l’équation de .
x
y
OB
A
d
I
J
3 La droite d passe par A et a pour vecteur directeur
u 14-
d n. On a A 41X d n et comme u $ A 0=X la droite d
est tangente au cercle .
3 Comme AB6 @ est un diamètre du cercle , la tangente en B est parallèle à d.
101101101 1 On considère les cercles et ’ d’équa-tions respectives : x y x y6 4 12 02 2+ - - - = et x y x2 12 02 2+ - - = . Les coordonnées des points d’intersection vérifi ent les deux équations, et par sous-traction on obtient .x y 0+ = En reportant la valeur y x=- dans la première, on obtient x x 6 02 - - = qui admet deux solutions : - 2 et 3.Les deux cercles se coupent en ;C 2 2-^ h et ;D 3 3-^ h.2 Le cercle a pour centre ;A 2 3^ h et 5 pour rayon. ’ a pour centre I ;1 0^ h et pour rayon 13 .
x
y
’A
O
B
C
D
I
J
12 Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire
1 Le cercle de diamètre AB6 @ coupe en D et E. Le triangle ADB est rectangle en D, donc AD BD=^ ^h h. Par défi nition, la droite BD^ h est tangente à en D.De même pour la droite BE^ h.2 Le cercle a pour centre ;A 2 0^ h et pour rayon 5 . Le point ;M x y^ h appartient au cercle de diamètre AB6 @ si, et seulement si, AM et BM sont orthogonaux.
AM xy
2-d n, BM xy
7-d n, donc x y x9 14 02 2+ - + = .
En résolvant le système formé par les équations des deux cercles (comme à l’exercice 101101101101101101 ) nous obtenons les points de tangence ;D 3 2^ h et ;E 3 2-^ h. Les tangentes ont pour équations respectives : x y2 7 0+ - = et x y2 7 0- - = .
Ensembles de points
103103103103103103 Soit H le point de tangence. Si son abscisse est x,
alors son ordonnée est x 1+ , donc H xx
2-X d n. La droite
a pour vecteur directeur u 11d n. Le point H est le point de
tangence si, et seulement si, H $X u 0= ; donc x vérifi e x 1 0+ = . Donc ;H 1 0-^ h. Le cercle cherché a pour centre X et HX pour rayon :
son équation est x y x y4 6 5 02 2+ - + - = .
104104104104104104 Soit I le milieu de AB6 @. D’après le théorème de la médiane, I IMA MB M A2 22 2 2 2+ = + . On a donc IM 42 = . L’ensemble des points M est le cercle de centre I et de rayon 2.
105105105105105105 1 L’ensemble des points M est la droite D perpen-diculaire en A à AB^ h.
2 ;M x y^ h, donc AM xy
21
++
d n et comme AB 44d n, la droite
D a pour équation x y 3 0+ + = .
106106106106106106 MA MB MA MB MA MB2 2 $- = + -_ _i i
.Si I est le milieu de AB6 @ alors :
IMA MB M BA15 2 152 2 + $- = =
IM AB2 15+ $ = ,ce qui équivaut à dire que si H est la projection orthogo-nale de M sur AB^ h : les vecteurs IH et AB ont même sens
et IH 23
= . L’ensemble cherché est la droite perpendi-
culaire en H à AB^ h.
107107107107107107 1 Soit I est le milieu de AB6 @, alors :
IMA MB M BA0 2 02 2 + $- = = ; donc l’ensemble D est la hauteur IC^ h.2 Soit J est le milieu de CB6 @, alors :
JNC NB BC N BC BC22 2 2 2+ $- = = , ce qui équivaut à dire que, si H est la projection de N sur la droite ,BC^ h les
vecteurs JH et BC ont même sens et JH BC2= . Donc
l’ensemble Dl est la droite perpendiculaire en B à BC^ h.
5 Application aux formules de trigonométrie
108108108108108108 1 c. 2 b.
109109109109109109 1 Vrai. 2 Vrai. 3 Vrai.
110110110 cos sin2 1 2 1 2532
2572= - = - =-i i .
Il faut calculer cos i. On a cos sin1 1 25
162592 2= - = - =i i .
Sachant que 1 1270 360c ci , on a cos 53
=i . Comme sin sin cos2 2=i i i, on a :
sin 2 2 54
53
2524
# #= - =-i c m .
111111111 1 On a :
sin cosx x1 1 42 2
42 22 2= - = - - = + ;
donc sin x 22 2
=-+ .
sin sin cosx x x2 2 22
= =- .
cos cosx x2 2 1 2 42 2 1 2
22 #= - = - - =- .
2 On en déduit que x2 43
=-r , puis x 8
3=-
r .
112112112 On utilise le théorème du cosinus :cosBC AB AC AB AC22 2 2 # #= + - a ,
soit cos cosBC a a a a2 2 12 2 2 2 2= + - = -a a^ h,
donc cosBC a2 21
= - a
113113113 Le théorème du cosinus donne :cosBD AD AB AD AB2 722 2 2 # #= + - .
Donc cos ADAB72 2 1 5
14
5 1= =
+= - .
114114114 1 Soit H le projeté orthogonal de C sur AB^ h.On a sinAB CH AB AC# # #= = i, donc sin80= i.2 L’aire du parallélogramme est maximale lorsque sin i est maximal, soit pour un angle de 90°.
115115115 On a (1) sin sin cos cos sinx y x y x y# #+ = +^ h ;(2) sin sin cos cos sinx y x y x y# #- = -^ h .
Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire 13
En additionnant (1) et (2), on obtient :sin sin sin cosx y x y x y2 #+ + - =^ ^h h ;
donc :
sin cos sin sinx y x y x y21
# = + + -^ ^h h6 @.116116116 1 En utilisant les formules d’addition donnant
sin a b+^ h et sin a b-^ h et en les additionnant (voir l’exercice 115115115115115115 ) on obtient :
sin sin sin cosa b a b b a2 #+ - - =^ ^h h .
En posant a b p+ = et a b q- = ,
on a a p q2=+ et b p q
2=- ; on obtient :
sin sin sin cosp q p q p q2 2 2#- =- + .
2 sin sin sin cos61 59 2 1 60#- =
sin sin2 1 21 1#= = .
117117117 On considère la fonction f défi nie sur R par :
f cos sinx x x21
23
= -^ h .
1 f 0 21
=^ h ; f 2 23
=-rd n ; f 4 4
2 6= -rd n .
2 .fcos cos cos sin sinx x x x3 3 3+ = - =r r rd d d ^n n n h
3 En utilisant les questions précédentes,
f cos cos4 4 3 127
= + =r r r rd d cn n m ;
donc cos 127
42 6
= -rc m .
118118118 On a :cos cos cos cos sin sin3 2 2 2= + = -i i i i i i i^ ^ ^h h h ;donc cos cos cos sin cos sin3 2 1 22= - -i i i i i i^ h ;soit cos cos cos3 4 33= -i i i, donc P x x x4 33
3= -^ h . En écrivant cos cos cos4 2 2 2 2 12= = -i i i^^ hh , on
obtient P x x x8 8 144= - +^ h .
2 xP x P x x x x x2 2 4 3 2 13 23 2- = - - -^ ^ ^ ^h h h h
P x4= ^ h.
119119119 a. sin sin sin cos sinx x x x x2 2 0+=- + =
sin cosx x2 21 0+ + =c m
sin x 0+ = ou cos x 21
=- .
; ; ;S 32
32
= - -r r r r' 1.
(On résout dans ;-r r6 @.)b. cos cos cos cosx x x x2 2 1 02+= - - =
cos x 1+ = ou cos x 21
=- .
; ;S 0 32
32
= -r r' 1.
Problèmes
120120120120120120 On appelle H le projeté orthogonal de C sur AB^ h.
AC AB AB AH HC$ $= +^ hAB AH$= , car AB HC 0$ = .
Comme AB AH AB AH$ #= , on doit avoir AH3 6= , donc AH 2= .Les points cherchés sont à l’in-tersection du cercle de centre A et de rayon 5 avec la droite perpendiculaire en A à AB^ h.
121121121 On appelle a et b les longueurs des côtés des deux carrés.
I IED A EA AD G GA$ $= + +^ ^h h.
Comme EA GA 0$ = et IAD G 0$ = , on a :
I IED A EA G AD GA$ $ $= + .
Donc IED A ab ab 0$ =- + = .Les droites ED^ h et IA^ h sont perpendiculaires.
122122122122122122 1 On a a b 180c+ = . Les angles sont supplémen-taires.
2 a. AE AD AC AB$ $+
cos cosAE AD a AC AB b# # # #= + .Mais cos cos cosb a a180= - =-^ h .
On en déduit donc que AE AD AC AB 0$ $+ = .
b. DB EC DA AB EA AC$ $= + +^ ^h hcomme DA AC 0$ = et AB EA 0$ = .On en déduit que DB EC DA EA AB AC 0$ $ $= + = d’après 1 a.
3 a. BAD CAE a 90c= = +% % , donc cos cosBAD CAE=
% %.
En conséquence : AB AD AE AC$ $= .
b. IA BC AD AE BA AC21 0$ $= + + =^ ^h h d’après ce
qui précède ; donc IA BC=^ ^h h.c. La droite IA^ h est une médiane dans le triangle ADE et une hauteur dans le triangle ABC.
123123123123123123 1 Méthode 1 : On calcule l’angle IJK par des propriétés de la géométrie plane.
Méthode 2 : On calcule IJ JK$ en décomposant les vecteurs.Méthode 3 : On considère un repère orthonormé et on calcule IJ JK$ .2 ABCD est un carré de côté a. On considère le repère
, ,A a AB a AD1 1c m. On a ;Ia4 0d n, ;J a a
4d n, ;K a a43c m.
On a IJ
a
a4
3
4
J
L
KKKK
N
P
OOOO et JK
a
a4
43
-J
L
KKKK
N
P
OOOO, donc IJ JK 0$ = . Donc les
droites IJ^ h et JK^ h sont perpendiculaires.
aA B
C’
C
H
14 Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire
124124124124124124 En faisant varier le point M sur la droite d, on constate que MA MB2 2+ est minimum au point d’in-tersection de d avec la droite passant par le milieu I du segment AB6 @ et perpendiculaire à d.
I IMA MB M A2 22 2 2 2+ = + , donc MA MB2 2+ est minimum lorsque MI est minimum, c’est-à-dire lorsque la droite IM^ h est perpendiculaire à d.
125125125125125125 1 Voir la fi gure ci-dessous.2 Un premier déplacement du point M permet d’ob-server que le réel d peut prendre des valeurs positives, négatives ou nulles.
3 Pour k 0= , on doit avoir MA MB2 2= , c’est-à-dire MA MB= : l’ensemble E0 est la médiatrice de AB6 @.4 Pour k 36= , on constate que si M est en B, la condi-tion est vérifi ée. Si le triangle MAB est rectangle en B, alors d’après le théorème de Pythagore on a :
MA MB AB 362 2 2+ = = .L’ensemble E36 est la perpendiculaire en B à AB^ h.5 Pour k 12= , on conjecture que l’ensemble E12 est une droite perpendiculaire à AB^ h.6 Les ensembles Ek semblent être des droites perpendi-culaires à AB^ h.On choisit donc un repère orthonormé lié à la fi gure,
, ,I JA^ h tel que ;B 6 0^ h.7 Si M a pour coordonnées ;x y^ h, on a MA x
y--d n et
MB xy
6 --
d n.
M E x k x k12 36 1236
k + +! - = = + .
8 L’ensemble Ek est une droite perpendiculaire à la droite AB^ h.
126126126126126126 1 Si le point H appartient à la droite OA^ h :OA AH OA AH AH4$ #= = ,
donc OA AH AH8 2+$ = = .
2 L’égalité OA AH OA AM$ $= signifi e que MH^ h est perpendiculaire à OA^ h.3 Le point M tel que OA AM 8$ = appartient à la droite
d perpendiculaire en H à OA^ h.Réciproquement si M appartient à d, on a OA AM OA AH HM$ $= +^ h et comme OA HM 0$ = ,
on a OA AM OA AH 8$ $= = , donc l’ensemble cherché est la droite d.4 On considère un repère orthonormé , ,i jO` j tel que i 4
1= OA.
a. On a OA 40d n et AM x
y4-d n, donc :
OA AM x8 4 4 0+$ = - =^ h .L’ensemble des points M est la droite d’équation x 4= .b. M appartient au cercle de diamètre OA6 @ si, et seule-ment si :
OM AM x x y0 4 02+$ = - + =^ h .Le cercle de diamètre OA6 @ a pour équation cartésienne : x y x4 02 2+ - = .c. L’ensemble a pour équation :
x y5 3 102 2- + - =^ ^h h .C’est un cercle de centre ;I 5 3^ h et de rayon 10 .d. Les coordonnées ;x y^ h des points d’intersection éventuels vérifi ent le système formé par les équations cartésiennes des deux cercles. Elles vérifi ent l’équation obtenue en soustrayant membre à membre, soit :
x y6 6 24 0+ - = .En reportant la valeur de y en fonction de x dans la première équation, on obtient l’équation : x x6 8 02 - + = ,qui admet deux solutions 4 et 2. Les deux cercles se coupent en ;P 4 0^ h et ;Q 2 2^ h.
127127127127127127 1 On a AB 21d n et CB 2
4-d n, donc AB CB 0$ = : le
triangle ABC est rectangle en B.2 Le cercle C a AC6 @ comme diamètre. Si ;M x y^ h, alors
AM xy
12
+-
d n et CM xy
31
-+
d n.
M AM CM 0+ $! =C .Le cercle C a pour équation x y x y2 5 02 2+ - - - = .
Son centre est ;K 1 21c m et son rayon 2
5 .
3 ;M x y^ h appartient à la tangente à C en A si, et seule-
ment si, AM AC 0$ = . Comme AC 43-
d n l’équation est : x y4 3 10 0- + = .
x
y
KH
O
BA
C
Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire 15
4 En utilisant la défi nition du produit scalaire avec le pro-jeté orthogonal, on obtient : AB AC AB AH AC
2$ #= = .
Comme AB 52 = et AC 5= , on en déduit que AH 1= et ,HK 1 5= .5 ;M x y E AM AC 5+ $! =^ ^h h
x y4 3 7 0+ - + = .L’ensemble E^ h est la droite perpendiculaire en H à AC^ h.
128128128128128128 Le cercle a pour centre le point X , intersection de la droite d avec la médiatrice dl de AB6 @.On a AB 6
2d n et le milieu ;D 5 3^ h de AB6 @.;M x y d DM AB 0+ $! =l^ h . La droite dl a pour
équation x y3 18 0+ - = .En résolvant le système formé par les équations de d et dl on obtient ;5
215
27X c m. Le rayon de est
A 5410
=X .
129129129129129129 Dans un repère orthonormé de centre A, on pose ;B a 0^ h et ;E b0^ h. On a donc ;C b 0^ h et ;D a0^ h.
On en déduit que ;Ia b2 2c m et ;J
b a2 2c m.
On a //IA a
b22d n et CD b
a-d n, donc IA CD 0$ = . Donc IA^ h
est perpendiculaire à CD^ h.On démontre de même que JA^ h est perpendiculaire à
BE^ h.
130130130130130130 Dans un repère orthonormé, on a ;F x 0^ h,
;H a a2 2d n et ;G a x^ h, donc :
HFx a
a2
2
-
-
J
L
KKKK
N
P
OOOO et HG
a
x a2
2-
J
L
KKKK
N
P
OOOO.
Comme HF HG 0$ = et HF HG a x a4 4
2 22 2
= = +-^ h ,
le triangle HFG est rectangle et isocèle en H.
131131131 On utilise le repère , ,A AB AD^ h
qui est orthonormé en prenant un carré de côté 1.
1 On a ;I 0 51c m, ;J 1 5
3c m, ;B 1 0^ h et ;M x 1^ h.
Les droites IJ^ h et BM^ h sont perpendiculaires si, et
seulement si, IJ BM 0$ = , c’est-à-dire x 53 0- = , soit
x 53
= .
2 a. K a pour coordonnées ;53 1c m, donc /
/JK 2 52 5-d n.
JI JK 256$ = . Le triangle IJK n’est pas rectangle en J.
b. IJJI J
JI Jcos K KK
529
58
256
#$
#
= =%
IJcos K2326
583
= =% .
Donc ,IJK 66 8c+% .
3 a. KB 52
1-f p, donc IJ KB 5
29= = .
b. On a IJ IJ IJDK DL LH HK LH$ $ $= + + =^ h en tenant compte des orthogonalités.Donc IJ IJDK LH$ #= .En calculant IJ DK$ à l’aide des coordonnées, on obtient
IJ DK 53$ = . On en déduit LH
293
= .
c. En projetant, on a JK KB KH KB$ #= et en utili-sant les coordonnées, on obtient JK KB 25
14$ = ; donc KH
5 2914
= .
d. L’aire du trapèze DLHK est :
DL KH LH
2 2294
5 2914
293
#=
+=
+^ dh n,
donc l’aire de DLHK est 14551
= .
132132132132132132 On considère, dans un repère orthonormé , , ,i jO` j les points ;A 1 2-^ h, ;B 4 1-^ h et ;C 4 4^ h.
1 a. ;I 25
23
-c m, AB 31d n, IM
x
y25
23
-
+
J
L
KKKK
N
P
OOOO.
IM D M AB 01 + $! = . La médiatrice D1 du segment AB6 @ a pour équation : x y3 6 0+ - = .
b. De même la médiatrice D2 du segment BC6 @ a pour équation y 2
3= .
c. En résolvant le système formé des deux équations des droites D1 et D2, on obtient ;I 2
323c m.
d. I est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
2 a. L’équation cartésienne du cercle s’écrit :
x y23
23
2252 2
- + - =c cm m .
Il a pour centre I=X et son rayon est 25 2 .
b. Comme A 21
27
-
-X
J
L
KKKK
N
P
OOOO on a A 2
5 2=X , donc le cercle
est le cercle circonscrit au triangle ABC.
133133133133133133 1 On a W P AB$= .2 a. CSD 60c=
% , car c’est le complémentaire de HAB 30c=% , donc 120c=i .
b. ,cosW P AB 55 9 81 800 21
# # # #= = -i c m.
Donc W 215 820=- J.c. W est négatif, car c’est un travail résistant.d. L ’ énergie potentielle fournie contrebalance le travail résistant, donc elle est égale à 215 820 J.4 a. On a aussi : W P HB P AB1$ $= = , car P AB 02 $ = .
HB représente le dénivelé de la piste.b. Le travail fourni par P2 est nul, car P AB 02 $ = .
134134134134134134 1 Si H, K et L sont les projections orthogonales de A, B et C sur BC^ h, CA^ h et AB^ h.
16 Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire
On a Q Qsin sinAH AB B c B# #= = . De même pour BK et CL, donc Aire Q Q Qsin sin sinABC bc A ac= = B ab C= .En divisant par abc on obtient :
Q Q Q airesin sin sina
Ab
Bc
Cabc
ABC= = = .
2 L’angle QC est égal à 74,7°. On a Q Qsin sinAC
BAB
C= , donc
,,
sinsinAC 74 1
10 39 6#= . On en déduit , kmAC 6 6. .
135135135135135135 Le théorème de la médiane dans les triangles ABC, ADC et BID donne :(1) I IAB BC B A2 22 2 2 2+ = +
(2) I IAD DC D A2 22 2 2 2+ = +
(3) I I IJ JB D B2 22 2 2 2+ = + .En eff ectuant (1) + (2) - 2(3), on obtient :
IJAB BC AD DC AC BD 42 2 2 2 2 2 2+ + + = + + ;donc :
AB BC AD DC AC BD2 2 2 2 2 2H+ + + + .
136136136136136136 1 MA BC MB CA MC AB a$ $ $+ + = .On peut écrire :
a MA BC MA AB CA MA AC AB$ $ $= + + + +^ ^h h .
Comme AB CA AC AB 0$ $+ = , on a :a MA BC MA CA MA AB$ $ $= + + .
Donc a MA BC CA AB MA 0 0$ $= + + = =^ h .2 Si M est l’orthocentre H du triangle ABC, alors HA BC 0$ = et HB CA 0$ = . On en déduit HC AB 0$ = et HC^ h est la troisième hauteur.
137137137137137137 1
2 a. Il y a 0, 1 ou 2 points possibles (intersection entre une droite et un cercle).b. Avec ,b 10 5= , on obtient 2 points. Par lecture graphique, ,BC 7 5- ou ,BC 4 5- .c. En appliquant le théorème d’Al-Kashi, on obtient :
cosAC AB BC AB BC2 602 2 2 # #= + - .En posant BC x= , on a l’équation :
,x x12 33 75 02 - + = ,qui admet 7,5 et 4,5 comme solutions.3 On obtient l’équation : x x b12 144 02 2- + - = .Son discriminant est b4 1082= -D ^ h.
1 1b0 6 3 , alors il n’y a pas de point C.b 6 3= , alors il y a un seul point C.2b 6 3 , alors il y a deux points C possibles.
138138138138138138 1 Comme A et B ont la même ordonnée, la hauteur issue de C a pour équation : x 1= .
Avec CA 66-
d n colinéaire à 11-
d n, on obtient une équation
de la hauteur issue de B : x y 1 0- + = .
Et avec BC 46d n colinéaire à 2
3d n la hauteur issue de A a
pour équation : x y2 3 8 0+ - = .Les coordonnées de l’orthocentre H sont donc ;1 2^ h.2 Avec ;A 1 1-l^ h et ;H 4 0l^ h, on obtient une équation du cercle C :
M A M H M 0+ $! =C l l
xy
xy
11
4 0+ $+-
-=d dn n
x y x y3 4 02 2+ + - - - = .Avec les milieux respectifs des segments AC6 @ et AB6 @,
;B 4 1l^ h et ;C 2 2-l^ h.on vérifi e que 4 1 12 1 4 17 17 02 2+ - - - = - = , et aussi 2 2 6 2 4 10 10 02 2+ - - + - = - =^ h .Par conséquent B et C appartiennent à C .
Les pieds des trois hauteurs C1, B1 et A1 ont pour coor-
données respectives : ;1 2-^ h, ;2 3^ h et ;131
1334c m.
On vérifi e aisément pour les points à coordonnées entières et pour A1 :
1691
1691156
133
1334 4 13
891337 4+ - - - = - -
1352 4 0= - = .
3 La médiatrice du segment AB6 @ a pour équation : x 2= , celle du segment AC6 @ : x y 3 0- - = .En calculant les coordonnées de leur point d’intersec-tion, on obtient les coordonnées ;2 1-^ h du centre X du cercle circonscrit .Le rayon de est A 26=X , tandis que le rayon de C
est A H2 2
26=
l l , c’est-à-dire la moitié.
139139139139139139 1 cos sinx x21
23 1- =-
cos cos sin sin cosx x3 3+ - =r r r
cos cosx3+ + =r rd n .
Puisque l’on résout dans ;0 2r6 @, ceci équivaut à :
x k3 2+ = +r r r et ;x 0 2! r6 @,
c’est-à-dire x 32
=r . D’où S 3
2=
r' 1.
Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire 17
cos cos sin sin cosx x 3+ + =a a r , où a est le réel de
l’intervalle ;0 2r< F, tel que cos 5
3=a et sin 5
4=a ; la
calculatrice donne ,0 93.a rad.
cos sin cos cosx x x3 4 25
3++ = - =ar^ h
x k3 2+ - = +a r r ou x k3 2- =- +a r r .
Comme on résout dans ;-r r6 @, on obtient x 3= +ar
ou x 3= -ar .
D’où ;S 3 3= - +a r a r( 2.
140140140140140140
IJ J IA A AC AB43
41
= - = - ,
donc IJ AC AB AC AB169
161
163 22 2 2 # $= + - .
IJ AB AC BC36 1 1632 2 2 2= + - + -^ h
IJ 37 163 16 64 36 4
1152 = - + - =^ h .
IJ BC AC AB AC AB43
41$ $= - -c _m i
IJ BC AC AB AC AB43
412 2$ $= + -
IJ BC 48 4 22 30$ = + - = .
,IJIJ
IJcos BC BCBC
#$
=^ h,IJcos BC
2115 6
30
#
=^ h
,IJcos BC11510
232 115
= =^ h ,
la calculatrice donne , ,IJ BC 21 2c.^ h
.
Pistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementpersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisé
Revoir les outils de base
111
A
E C
I J
B
F
G
D
H = 108,37° = 109,19° = 107,04° = 107,04°
= 108,37°
La construction de Albrecht Durer est élégante mais malheureusement inexacte.
222 1 IA AB AD21
= + , IJ AB AD21
21
=- + ,
CK AB AD31
=- - , et IK AB AD61
= - .
2 La droite IK^ h a pour coeffi cient directeur 61
- et
passe par ;K 0 32c m ; son équation est y x6
132
=- + .
La droite IJ^ h a pour vecteur directeur u 11-
d n et passe
par ;I 1 21c m ; son équation est y x 2
3 0+ - = .
3 IJ 22
= ; IK 637
= .
Les savoir faire du chapitre
333 a. cosEA EB EA EB 60 32$ # #= = .
b. AD CA AD DA 9$ $= =- .
c. cosAE AD AE AD 150 6 3$ # # c= =- .
d. AE AC AE AD DC 6 3 8$ $= + =- +^ h .
e. FB DB BF BA 8$ $= = .
f. cosAF BE AF BE 120 4$ # # c= =- .
g. CA DB CD DA DC CB 7$ $= + + =-^ ^h h .
444 a. On a donc AB 41d n, AC 2
3-d n,
donc AB AC 5$ = . De plus AB 17= et AC 13= , donc
cos BAC AB ACAB AC
2215
#$
= =% . D’où ,BAC 70 35c+
% .
18 Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire
b. On a QcosAB AC BC AC BC C22 2 2 # #= + - ,donc AB 164 80 22 = - soit ,AB 7 1- .
cos A AB ACAB AC BC
2 41 10 25 2 22 2 2
#= + - =
-
- ;
d’où Q ,A 52 5c+ .c. AC AD AB BD2 22 2 2 2+ = + (Théorème de la médiane),
donc AB 41792 = , soit AB 2
179= .
On a cosCB AC AB AC AB BAC22 2 2 # #= + -% (théo-
rème d’Al-Kashi), donc cos BAC18 179
211=
% ;
d’où ,BAC 28 8c+% .
d. En travaillant dans le repère orthonormé , ,i jA` j tel
que i IA31
= et j JA21
= , on obtient AB 31d n et /AC 3 2
3d n
donc AB 102 = , soit AB 10= .
AB AC 15$ = et AC 23 5
= , donc cos BAC 22
=% ;
d’où BAC 45c=% .
555 1 La droite a pour vecteur directeur u 52d n.
2 La perpendiculaire D à passant par le point A a u pour vecteur normal.
;M x y AM+ $! D^ h u 0= . D a pour équation cartésienne x y5 2 7 0+ - = .3 ;M x y AM BM 0+ $! =C^ h . Le cercle de diamè-tre AB6 @ a pour équation x y y7 5 02 2+ - + = .4 BA^ h est perpendiculaire à en B, donc C et sont tangents.
666 On considère les points ;A 1 1-^ h, ;B 0 3^ h et ;C 3 1-^ h, dans un repère orthonormé , ,i jO` j.
1 AB 12d n, AC 4
2-d n, donc AB AC 0$ = . Le triangle ABC
est rectangle en A.2 Le milieu I de BC6 @ a pour coordonnées ;2
3 1c m, son rayon est 2
5 . D’où son équation :
x y x y3 2 3 02 2+ - - - = .3 Une équation de la tangente à en A est x 1=- .
777 est le cercle de centre ;1 23
-X c m et de rayon 213 .
888 1 On a cos cos cos6 2 12 2 12 12#= = -r r r
donc cos 12 42 32 = +r ; soit cos 12 2
2 3=
+r .
On en déduit sin 12 22 3
=-r .
2 cos cos cos1211
12 12= - =-r r r rd n
cos 1211
22 3
=-+r .
sin sin sin1211
12 12 22 3
= - = =-r r r rd n .
En lien avec les sciences
999 On a :F F P F F2
12
325A B A B
2 2 2$ = - - =-8 B ;
d’où cos AMB F FF F
11213
A B
A B#
$= =-
% ;
soit ,AMB 96 6c+% .
cos AMH F PP F F
2 2817
A
A B2 2 2
#=
+ -=
% ;
d’où ,AMH 52 6c+% , donc Q ,A 37 4c- et par voie de
conséquence : QB 46c- .
Approfondissement
101010 La droite a pour vecteur directeur u 21-
d n. Le cercle
de centre A est tangent à en H tel que AH =^ h . Donc :
;M x y !^ h AH+ $ u 0= ; soit x y2 5 0+ - = .
En résolvant le système formé par les équations des deux
droites, on obtient ;H 0 25c m et le rayon AH 2 5= .
111111 1 AB BC AB BC AB BC21 2 2 2$ = + - -_ i6 @,
soit AB BC AC AB BC21
2512 2 2$ = - - =-6 @ .
I IA BC AB B BC AB BC BC21 2$ $ $= + = +^ h
IA BC 251
21 64 2
13$ #=- + =- .
2 IAG BC A BC32
313$ $= =- .
121212
1 On conjecture que le lieu des points G est un cercle de centre K, milieu de OA6 @.2 Dans le triangle OEF, le théorème de la médiane donne OF OE OG FG2 22 2 2 2+ = + ; donc OG FG 1002 2+ = . Comme AG FG= , on a OG AG 1002 2+ = .3 En utilisant le théorème de la médiane dans le triangle
GOK, GA GO GK AO2 22 2 2
2+ = + ; donc GK 41= .
L ’ ensemble des points G est le cercle de centre K et de rayon 41. (Voir la fi gure ci-après.)
Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire 19
Contenus Capacités attendues CommentairesStatistique descriptive, analyse de donnéesCaractéristiques de dispersion : variance, écart type.
◗ Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer une série statistique : (moyenne, écart type) et (médiane, écart interquartile).
On utilise la calculatrice ou un logiciel pour déterminer la variance et l’écart type d’une série statistique.
Diagramme en boîte. ◗ Étudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de deux séries statis-tiques à l’aide d’un logiciel ou d’une calcula-trice.
Des travaux réalisés à l’aide d’un logiciel permettent de faire observer des exem-ples d’eff ets de structure lors du calcul de moyennes.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole �.
2. Intentions des auteursD’un point de vue mathématique, ce chapitre de statis-tiques introduit la variance et l’écart type, ainsi que la représentation en diagramme en boîte.Ce chapitre comporte peu de nouveautés par rapport à la classe de Seconde. L’accent a donc été mis sur la
variété des situations proposées, que ce soit en reliant les calculs à des problématiques concrètes ou en propo-sant des simulations. Il s’agit de développer l’habitude de la réfl exion et du raisonnement statistiques.
ObjectifIl s’agit de réactiver le vocabulaire et les formules de statistiques vus en Seconde, et de préparer l’introduc-tion de la variance.
A Série A B
Moyenne, à 0,01 près 8,62 11,29Médiane 7 12
B 1 L’hypothèse revient à tester si on est en présence d’une loi binomiale de paramètres n 3 000= et ,p 0 5= .L’intervalle de fl uctuation au seuil de 95 % est donc :
, ; ,I 0 53 000
1 0 53 000
1= - +< F ;
soit , ; ,I 0 48 0 52= 6 @.On a observé une fréquence ,f 3 000
1400 0 47.= .
La fréquence n’appartient pas à l’intervalle de fl uctua-tion. On peut donc rejeter l’hypothèse : le dé est sans doute truqué.2 On a observé une fréquence égale à :
,f 3 0001200 0 40.= .
La probabilité de sortie d’un nombre pair se situe donc dans l’intervalle :
D 1 a. Le minimum est atteint pour une valeur de x comprise entre 4 et 4,5.
x
y
1
5
0
!f
b. f est une fonction polynôme du second degré. Le coeffi cient de x2 est égal à 5, et celui de x est à :
2 4 3 5 8 1#- + + + +^ h.f atteint donc son minimum en
2 52 4 3 5 8 1
54 3 5 8 1
#
#-
- + + + +=
+ + + +^ ^h h
,4 2= .2 a. Le minimum est apparemment atteint en x 4= .
x
y
1
5
0
!g
b. On a placé les points A, B, C, D, E d’abscisses respec-tives 1, 3, 4, 5 et 8. On appelle M le point d’abscisse x.
1 3 5 862 4
A B D EC
7
M
On a g x MA MB MC MD ME= + + + +^ h .On place le point M en 6. Tout déplacement vers la droite augmente les distances aux points C, B et A d’une quan-tité d et diminue les distances aux points D et E d’une même quantité. Globalement g x^ h augmente donc de d .On obtient le même résultat si on se déplace vers la gauche. Le point C correspond donc à un minimum.3 La moyenne de la série est 4,2 et la médiane est 4. On retrouve les valeurs obtenues aux questions 1 et 2 .
ObjectifOn a privilégié des activités expérimentales basées sur des données réelles ou des simulations sur tableur pour faire découvrir les paramètres de dispersion.
ActivitéActivité 1 Découvrir la notion de variance3 a. On peut obtenir un écart moyen nul, alors que les valeurs réelles sont éloignées du nombre U choisi, du fait de la compensation des écarts.b. C’est le choix du c., car en élevant l’écart au carré, si l’erreur passe de a à 2a, le carré passe de a2 à a4 2, soit un facteur 4.
ActivitéActivité 2 Comparer deux couples d’indicateurs1 b. En B4 : =MOYENNE(B1 :U1)En B5 : =ECARTYPE(B1 :U1)En B7 : =MEDIANE (B1 :U1)En B8 : =QUARTILE(B1 :U1 ;1)En B9 : =QUARTILE(B1 :U1 ;3)En B10 : =B9-B8c. Les salaires sont plutôt resserrés (écart interquartile faible).2 a.
b. La moyenne des salaires augmente, alors que l’inter-valle interquartile reste identique. Cependant, la grande majorité des salaires n’a pas évolué, ce qui, du fait de l’in-fl ation, représente une perte de pouvoir d’achat.
ActivitéActivité 3 Un résumé graphique : le diagramme en boîte1 a. Minimum : 20,60 ; maximum : 21,65 ; médiane : 20,95.2 a. La médiane correspond au centile 50 : 25 309 €.Le premier quartile au centile 25 : 20 096 €.Le troisième quartile au centile 75 : 34 796 €.b.
20 000
15 000 25 00030 000
35 00040 000
45 00050 000
55 000
Salaires (en €)
ActivitéActivité 4 Comparer trois séries statistiques1 Méthode A : =ENT(ALEA()*4+1)+ ENT(ALEA()*4+1)+ ENT(ALEA()*4+1)+ ENT(ALEA()*4+1)+ ENT(ALEA()*4+1)Méthode B : = ENT(ALEA()*6+1)+ ENT(ALEA()*6+1)+ ENT(ALEA()*6+1)+2Méthode C : =ENT(16*ALEA()+1)+4
3 Il y a visiblement équiprobabilité pour les issues correspondant à la méthode C.
Exercices d’applicationExercices d’application
Représenter une série statistique par un diagramme en boîte
d1 Q1 Med Q3 d9
Série A 2,5 5,3 15 27 60Série B 12 17 26 46 67
On a d 441 = et d 549 = ; Med 49= ; Q 471 = et Q 523 = .
44 4642 48 52 5450 50 56
Taille (cm)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
série B
série A
1 Le minimum de la série est 0,5 m et le maximum 2,5 m, le premier décile d1 est égal à 0,8 m et le neuvième décile d9 à 2. Le premier quartile est égal à 0,8 m et le troisième à 1,8 m. La médiane est égale à 1,6 m.2 a. Au moins 75 % des jours, soit 60 jours.b. 10 % des jours, soit 8 jours.c. 65 % des jours, soit 52 jours.
Calculer et utiliser un écart type
a. Moyenne : 10, écart type : 3.b. Moyenne : 104, écart type 2,81.
Série A : Moyenne : 11,17 et écart type : 5,6.Série B : Moyenne 11,1 et écart type : 5,59.Ces deux séries ont des dispersions comparables.
Les bandes de BollingerÉtape 1tape 1
La ligne bleue représente la moyenne mobile des cours sur 20 jours, ce qui permet de « lisser » les évolutions de l’action. Les deux bandes vertes représentent les trans-lations de la bande verte de deux écarts types.Étape 2tape 2
En E21, on a entré : =ECARTYPE(B2 :B21)En D21, on a entré : =MOYENNE(B2 :B21)En E21 : =D21-2*E21 et en F21 : = D21+2*E21
Effet d’une fonction affine sur les paramè-tres statistiques1 Paramètres :moyenne : 10,11 ; écart type : 4,92 ;médiane : 9,5 ; Q 61 = ; Q 143 = ; Q Q 83 1- = .2 Ce système permet en particulier à toutes les stations d’affi cher des notes au-dessus de 50.3 a. f 0 50=^ h et f 20 100=^ h , d’où , .f x x2 5 50= +^ h
b. Nouvelle série ordonnée :52,5-55-62,5-65-65-67,5-70-72,5-72,5-75-80-82,5-85-85-87,5-90-92,5-95.c. Moyenne : 75,28 ; écart type : 12,30 ; médiane : 73,75 ; Q 651 = ; Q 853 = ; Q Q 203 1- = .4 Moyenne, médiane, premier et troisième quartile ont subi la même transformation affi ne.L’écart type et l’intervalle interquartile ont été multi-pliés par 2,5.Moyenne, médiane, Q1 et Q3 subissent la transformation affi ne, tandis que l’écart type et l’intervalle interquartile sont multipliés par a.5 Démonstration2a 0, donc f est croissante, elle conserve l’ordre ; la
médiane et les quartiles de la série transformée sont
donc les images par f de la médiane et des quartiles de la série de départ. D’où le résultat également pour l’intervalle interquartile.Pour la moyenne :
nax b ax b ax b ax n
nbn1 2 f+ + + + + += +
ax b= + .Pour l’écart type, en utilisant le résultat précédent :V ax b ax b ax b ax bn1
2 2f= + - + + + + - +^ ^h h
V a x x a ax x an2
12 2 2 2f= - + + - =^ ^h h .
D’où le résultat, puisque 2a 0.
Un défi : minimiser une somme de distances – ModéliserMéthode 1 : analytiqueOn défi nit un repère orthonormé associé au quadrillage.La distance entre deux points ,M x y^ h et ,N x yl l^ h peut s’exprimer par la formule :
,D M N x x y y= - + -l l^ h .On doit donc minimiser une somme du type :
x x x x y y y yA B A Cf f- + - + + - + + - .Il suffi t donc de prendre pour abscisse de M la médiane des abscisses de A, B, C, D, E, c’est-à-dire l’abscisse de C, et pour ordonnée la médiane des ordonnées, c’est-à-dire celle de A.Méthode 2 : on construit la droite horizontale passant par A et la verticale passant par B. On appelle M le point d’intersection. Tout déplacement à partir du point M augmente globalement la somme des distances. Ce point correspond donc à la somme minimale.Généralisation : Les deux méthodes précédentes s’ap-pliquent dès qu’on a un nombre impair de points.
1 a. et b. 2 b. et c. 3 a. et c.
1 b. et c. 2 b. 3 a. et c.
1 Faux. 2 Faux. 3 Faux. 4 Vrai.
1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux. 4 Vrai.
1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai.
Applications directes
1 Quartiles, déciles
1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai.4 Vrai. 5 Faux, elle peut l’être.6 Faux, elle peut en contenir 17, 18, 19 ou 20.
1 Moyenne : 270,9 ; médiane : 270 ;Q1 : 260 et Q3 : 300.2 Il suffi t d’augmenter la valeur d’une maison de 110 100 11000# = milliers euros.3 a. Non.b. La médiane étant la sixième valeur, on ne peut faire mieux que 280 000 euros, soit une augmentation de 10 000 euros.4 Oui. Si la valeur de l’une des maisons passe de 270 à 260, et celle d’une autre de 270 à 280, seule la médiane sera changée, passant à 280 000 euros.
1 a. 80 ont eu au moins 10, 40 au moins 14.b. On sait que 16 candidats ont obtenu une note infé-rieure ou égale à 5, mais on ne peut pas dire combien ont eu une note strictement inférieure à 5, sauf à supposer que tous les candidats ont eu des notes diff érentes.2 a. n 14G : 75%. b. 25 %. c. 40 %.3 16 8 12- = .
2 Diagramme en boîte
1 c. 2 b. 3 c. 4 a.
1 Vrai.2 Vrai si les extrémités représentent les extrema, faux s’il s’agit des déciles.3 Vrai. 4 Faux.5 Faux, car c’est faux pour les femmes comme pour les hommes.
On peut déduire de l’énoncé qu’un carreau repré-sente deux unités. Le troisième quartile est donc égal à 14 et le neuvième décile à 21.
Q1 Med Q3
Série A 7 10 13
Série B 11 12 16
Les salaires médians sont identiques, mais l’entre-prise E2 a un premier quartile et un deuxième quartile nettement supérieurs à la première. Toutefois, l’écart inter-décile est supérieur dans la deuxième entreprise, le premier décile étant plus faible, et le dernier décile plus élevé.
Ces deux échantillons ont même médiane, même quar-tile. Seul le décile d9 varie : le type B possède plus d’am-poules ayant une durée de vie très longue.
1
2010
100
2030405060708090
100
30 40 50 60 x
y
d1 Q1 Q3 d9Med
On peut par exemple utiliser les fréquences cumulées croissantes :médiane : 24,7 ; d1 : 12,8 ; Q1 : 16,9 ; Q3 : 34,4 ; d9 : 47,5.2
2010 30 40 50 60Q1 Q3d1 d9Med
7,576,56 8 8,5 9
Note
Poutre
Q1 Q3d1 Med d9
7,576,56 8 8,5 9
Note
Barres
Q1 Q3d1 d9Med
7,576,56 8 8,5 9
Note
Saut
Q1 Q3d1 d9Med
7,576,56 8 8,5 9
Note
Sol
Q1 Q3d1 d9Med
De tous les exercices, le saut est celui qui est globale-ment le moins bien réussi.Au sol, l’écart inter-décile est fort, et la médiane décalée vers la gauche : il y a donc une minorité de notes beau-coup plus élevées que les autres.Les barres possèdent une médiane plus élevée que la poutre, mais l’intervalle interquartile est plus élevé.
3 Variance et écart type
1 Vrai, car c’est une somme de carrés.2 Faux : cela signifi e que tous les termes de la série sont égaux.3 Faux, car les écarts se compensent.4 Faux (tous les termes sont égaux).5 Faux : on peut imaginer une série de 100 valeurs nulles et une valeur égale à 100.
1 c. 2 c.
1 ,x 10 44= et ,s 3 37. .2 Il y a 8 valeurs, soit une fréquence pourcentage de 0,32.
2 Écart type : 1,36 (à 0,01 près).
Moyenne Écart typeSérie A 4,68 3,02Série B 12,91 3,52
1 Moyenne : 3,93 ; écart type : 1,10.2 Il y a 17 valeurs, soit 17 % de l’eff ectif.
Moyenne : 8,86 ; écart type : 3,67.
1 Moyenne : 99,80 ; écart type : 2,39.2 Il n’y a qu’une valeur, soit 1,8 %.
1 a. 500 soustractions, 500 mises au carré, 500 addi-tions et une division, soit 1 501 opérations.b. 501 mises au carré, 501 additions et une division, soit 1 003 opérations.2 a. S contient la somme des valeurs, et X la somme des carrés.b. Fin de l’algorithme :
ALGO
Entrer X^ h
S ! S X+ ; C ! C X X#+
FinPour ;Affi cher (« la moyenne est » ; S/N)Affi cher (« l’écart-type est » ; racine((C-(S/N)²)/N))
Au vu des deux tableaux, il y a peu d’évolution. La moyenne est passée de 95,75 à 96,5 et la médiane de 95 à 110. La médiane a donc augmenté de 15 %, contre moins de 1 % pour la moyenne : la moyenne est plus robuste.3 La distribution des valeurs dans la ville de Joli-Bois est bimodale, avec un trou aux alentours de la médiane, tandis que celle de Ville-Belle est fortement regroupée autour de la moyenne, avec peu de valeurs extrêmes.
3 C’est le couple médiane/intervalle interquartile.
Catégorie par catégorie, les salariés de SILOR sont mieux payés que ceux de SOLIR. Mais comme l’entre-prise SOLIR compte proportionnellement plus de cadres que l’entreprise SILOR, le salaire moyen des salariés de SILOR est plus élevé (2 478 contre 22 485).
1 Moyenne : 10,38 ; médiane : 10 ; médienne : 10,19.2 ◗ Si 1x M , on a : 1V x V M x V MM M# #+ +^ h.D’où 1M x .◗ Si 2x M , on a : 2V x V M x V MM M# #+ +^ h.D’où 2M x◗ Si x M= , on a M x= .3
La médienne est aussi robuste dans chacun des deux cas. Elle est donc insensible aux petites modifi cations de la série, quelle que soit la structure initiale de cette série.
2 b. =NB.SI(B504:CW504;»<»& B507-4,5*B508)+NB.SI(B504:CW504;»>»& B507+4,5*B508)c. Le premier type d’intervalle laisse échapper une dizaine de valeurs, tandis que le deuxième contient quasiment tout le temps toutes les valeurs.d. La première garantit la qualité de 80 à 90 % des pièces, tandis que la deuxième garantit quasiment 100 % des pièces.
1 a.Groupe Naissance 4 ans 11 ans
Moyenne 45 98 138Ecart type 3,55 3,92 4,45
b. Le groupe des enfants de 11 ans.2 a. C’est le calcul p qui apparaît le plus pertinent.b. On obtient les résultats suivants :groupe « naissance » : 8 % ; 4 ans : 4 % ; 11 ans : 3 %.C’est donc le groupe Naissance qui a la plus forte disper-sion relative.
1 Lettre F :
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
Occurrence
Lettre F
Q1 Q3Med
Moyenne : 192.Lettre K :
0 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800
Occurrence
Q1 Q3Med
Lettre K
Moyenne : 638.Lettre Z :
0 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800
Occurrence
Q1 Q3Med
Lettre Z
Moyenne : 448.2 On peut regrouper le français et l’italien, qui sont aux alentours de la médiane pour le F, et au premier quartile pour le K.On peut regrouper le tchèque et le slovène, qui ont quasiment les mêmes résultats.Enfi n, le néerlandais et l’allemand sont au-delà du troi-sième quartile pour le F, et aux alentours de la médiane pour le Z.
Contenus Capacités attendues CommentairesProbabilitésVariable aléatoire discrète et loi de probabilité. Espérance, variance et écart type.
◗ Déterminer et exploiter la loi d’une variable aléatoire.◗ Interpréter l’espérance comme valeur moyenne dans le cas d’un grand nombre de répétitions.
À l’aide de simulations et d’une approche heuristique de la loi des grands nombres, on fait le lien avec la moyenne et la variance d’une série de données.
On exploite les fonctionnalités de la calculatrice ou d’un logiciel pour déter-miner l’espérance, la variance et l’écart type d’une variable aléatoire.
On démontre les formules suivantes sur l’espérance et la variance :E aX b aE X b+ = +_ _i i
et V aX a V X2=^ ^h h.Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole �.
2. Intentions des auteursLa notion de probabilité déjà mise en place au collège a été renforcée en classe de Seconde. Dans ce chapitre, on introduit la notion de variable aléatoire et de loi de probabilité d’une variable aléatoire. On modélise ainsi des situations aléatoires et on propose un traitement probabiliste. Les notions d’espérance mathématique, de variance et d’écart type sont mises en place. La répétition d’expé-riences aléatoires identiques et indépendantes permet d’étudier des situations utilisant des arbres ou d’autres modes de modélisation (tableaux…).Conformément au programme, l’utilisation des outils informatiques est largement développée.
Du point de vue mathématique :– on défi nit une variable aléatoire discrète et on met en place la loi de cette variable ;– on défi nit l’espérance, la variance et l’écart type d’une variable aléatoire, ainsi que l’interprétation de l’espé-rance ;– l’apport des outils informatiques, comme le tableur, permet l’étude de diff érentes situations issues de la répétition d’expériences indépendantes et identiques.
A ObjectifProposer un vrai-faux pour remettre en place une partie du vocabulaire des probabilités et les calculs de base.1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.
B ObjectifRéinvestissement de la formule vue en Seconde sur la proba-bilité de l’intersection ou la réunion de deux événements.
1 AP 1710
=^ h ; AP 177
=^ h ; P B 171
=^ h ; CP 21
=^ h .
2 A B+ est l’événement : « obtenir la boule blanche numérotée 1 ».A C, est l’événement : « obtenir une boule blanche ou une boule qui porte un numéro pair ».3 A BP 34
1+ =^ h ; A CP 3427, =^ h .
4 B C+ est l’événement : « obtenir une bille numérotée 1 et portant un numéro pair ». Cet événement est impos-sible. Les événements B et C sont incompatibles.5 B C B CP P P 34
23417
3419, = + = + =^ ^ ^h h h .
C ObjectifApproche de la notion de variable aléatoire dans un cas très simple.1 On appelle respectivement B, R, V et S les événements qui correspondent à l’obtention des couleurs bleu, rouge, vert et rose.
BP 101
=^ h ; P R 103
=^ h ; P V 104
=^ h ; P S 102
=^ h .
2 On appelle X la variable aléatoire égale au gain.
Couleur Bleu Rouge Vert RoseGain 10 - 3 - 5 5
B ,P X P10 0 1= = =^ ^h h .3 La probabilité de gagner de l’argent est égale à
1B S ,P P 0 3 31
+ =^ ^h h .
Marie a eff ectivement moins d’une chance sur trois de gagner de l’argent.
ActivitéActivité 1 Une variable aléatoire à partir du lancer de deux pièces de monnaieObjectifMise en place de la notion de variable aléatoire à l’aide d’un jet de pièces et de gains.1 Les quatre issues sont PP, PF, FP, FF.2 On utilise la commande ALEA.ENRE.BORNES(0 ;1) pour obtenir au hasard 0 ou 1 (0 pour face et 1 pour pile).Puis avec la commande SI on aff ecte la valeur - 1 si la cel-lule contient la valeur 0 et 2 si la cellule contient la valeur 1.
3 L’issue PP correspond au gain 4, les issues PF et FP au gain 1 et l’issue FF au gain - 2.4 La probabilité de gagner 4 € est égale à 4
1 comme
celle de perdre 2 €, la probabilité de gagner 1 € est égale à 2
1 .
ActivitéActivité 2 Déterminer un gain moyen à l’aide de probabilitésObjectifMise en place de la notion d’espérance mathématique à l’aide d’un gain moyen lié à un jeu.
1 Slimane : 85 40 25# = €.
Luca : 83 40 15# = €.
2 Avec 100 fi ns de partie :Slimane : , ,0 87 40 34 80# = € ;Luca : , ,0 13 40 5 20# = €.Avec 10 000 fi ns de partie :Slimane : , ,0 874 7 40 34 99# . € ;Luca : , ,0 125 3 40 5 01# . €.3 S S
SL
LS
LL
La probabilité sur chaque branche de l’arbre est 21 . Donc
la probabilité que Luca gagne est égale à 21
813
=c m ,
celle que Slimane gagne est donc 87 .
Part de Slimane : 87 40 35# = €.
Part de Luca : 81 40 5# = €.
ActivitéActivité 3 Un jeu de dés : de la moyenne à l’espérance de gainObjectifApproche de la notion d’espérance mathématique à l’aide du tableur.1 2 3 Pour la simulation de 100 lancers, le gain moyen est proche de 0.4 a. On utilise la commande NB.SI pour dénombrer les cellules contenant 1 et celles contenant - 5.Si on appelle f1 et f2 les deux fréquences, la moyenne s’obtient par : f f1 51 2# #+ -^ h .Avec le cas exposé sur la feuille de calcul, on a bien :
, , ,1 0 84 5 0 16 0 04# #+ - =^ h .
b. p 65
1 = ; p 61
2 = ;
E 1 65 5 6
1 0# #= + - =^ h .
c. En moyenne, on gagne 0 € à ce jeu si l’on joue un grand nombre de fois.
ActivitéActivité 4 Propriétés de la moyenneObjectifRéinvestissement des propriétés de la moyenne d’une série statistique.Partie A1 La moyenne est 10. 2 La moyenne est 50.3 La moyenne est 11.
Partie B - Généralisation1 La nouvelle moyenne est multipliée par a :
Nn ax n axp p1 1# #f+ +
a Nn x n xp p1 1
## #f
=+ +
.
2 La nouvelle moyenne est augmentée de b :
Nn x b n x bp p1 1# #g+ + + +^ ^h h
Nn x n x
NNbp p1 1# #f
=+ +
+ .
3 Non, dans l’exemple du A par exemple, la moyenne devient 115,56.
Exercices d’applicationExercices d’application
Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire
On réalise un arbre avec 6 branches à partir de la racine qui représentera 6 2163 = issues.Pour la somme égale à 9 :– chacun des trois cas formés de chiff res distincts deux à deux apparaît 6 fois en parcourant l’arbre ;– chacun des deux cas où deux chiff res identiques appa-raissent apparaît 3 fois ;– le cas formé de trois chiff res identiques apparaît une fois.Dans l’arbre, les six sommes égales à 9 correspondent donc à :
3 6 2 3 1 25# #+ + = issues.
P X 9 21625
= =^ h .
Pour la somme égale à 10, il y a 3 cas avec des chiff res distincts deux à deux et trois cas avec deux chiff res égaux.Dans l’arbre, les six sommes égales à 10 correspondent donc à :
3 6 3 3 27# #+ = issues.
P X 10 21627
= =^ h .
Il est plus probable d’obtenir 10 comme somme que 9.
Répondre au hasard à un QCM1 Pour chaque réponse, la probabilité de répondre correctement est 3
1 .
2 ALEA()+1/3 donne un nombre au hasard entre 31 et
34 . La partie entière de ce nombre sera donc 0 dans deux
tiers des cas et 1 dans un tiers des cas, d’où la réponse.3 Voici un exemple obtenu par simulation :
4 Dans ce cas, la probabilité d’avoir au moins trois bonnes réponses est : , , , ,0 174 0 054 0 006 0 234+ + = .C’est Fatou qui semble avoir raison.
Harmonisation de notes1 V aX b p ax b E aX bi
ii
n2
1+ = + - +
=
^ ^^h hh!
p ax b aE X bi ii
n2
1= + - -
=
^^ h h!
a p x E X a V Xi ii
n2 2
1
2= - ==
^^ ^hh h! .
2 ,E X 4 371 =^ h ; ,V X 3 05311 =^ h .,E X 3 322 =^ h ; ,V X 3 67762 =^ h .
3 a. ,E aX b aE X b a b4 37 51 1+ = + = + =^ ^h h ;
,V aX b a V X a3 0531 112
12+ = = =^ ^h h .
Donc ,a 3 053112 = ; ,a 0 57. et ,b 2 51. .
,E cX d cE X d c d3 32 52 2+ = + = + =^ ^h h ;,V cX d c V X c3 6776 12
22
2+ = = =^ ^h h .
Donc ,c 3 677612 = ; ,c 0 52. et ,d 3 27. .
b. Nouvelle note de Samia : , , ,0 57 3 2 51 4 22# + = .Nouvelle note de Marie-Reine : , , ,0 52 4 3 27 5 35# + = .
1 Les valeurs prises par X sont : 0 ; 1 ; 2.2 Valeur de X 0 1 2
Probabilité 1811
185
182
Tableau 1 : non, car la somme des probabilités n’est pas égale à 1.Tableau 2 : oui, car la somme des probabilités est égale à 1.Tableau 3 : non, car la somme des probabilités est supé-rieure à 1.
Tableau 4 : non, car une probabilité ne peut pas être négative.
Valeur de X 550 600 750
Probabilité 32
121
127
1 La situation correspond à un tirage de trois cartons avec remise. En esquissant éventuellement un arbre, on s’aperçoit qu’on peut faire 5 5 5 125# # = mots diff é-rents.2 125
1 . 3 51 .
4 12524 , car il y a 4 3 2 24# # = branches de l’arbre
qui ne contiennent pas la lettre A.
1
N° 1 N° 2
51
1 2 3 4 5 1 2 3
2 AP 21
=^ h ; BP 21
51
101
#= =^ h ;
CP 101
61
154
= + =^ h .
3 Valeur de X 1 2 3 4 5
Probabilité 154
154
154
101
101
2 Espérance, variance, écart type
1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Faux.
1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Faux.
E X 1619
=^ h ; ,V X 4 65.^ h ; ,2 16.v .
E X 0=^ h ; V X 91200
=^ h ; ,11 54.v .
On a :, , , , ,E X x2 0 15 1 0 2 0 25 2 0 3 0 1# # #= - + - + + +^ ^ ^h h h
, ,E X x0 35 0 1= +^ h .On veut E X 1=^ h . Donc , , x0 35 0 1 1+ = .D’où : ,x 6 5= .
, ,p p p p0 69 1 0 31 02 2++ + = + - = que l’on résout avec le discriminant.
On obtient , ,p 21 2 24 0 25.=
- + .
On a , , , , ,p 1 0 1 0 25 0 4 0 2 0 05= - + + + =^ h ;donc : , , , , ,E X x0 05 0 2 0 25 0 4 0 4= - - + +^ h
, ,E x x0 05 0 35= +^ h .On résout fi nalement :
, , , ,,x x0 05 0 35 0 5 0 05
0 15 3++ = = = .
On a le système suivant : ,
, ,,
,p q
p qp q
p q0 7
0 2 5 8 1 5 60 7
5 8 4 4+
+ =
+ + + =
+ =
+ =* * .
La résolution du système (par substitution par exemple) donne ,p 0 4= et ,q 0 3= .
2E X a3 0=^ h , donc 2a 0.
,V X a a6
9 59 36
652 2=
+- =^ h .
On obtient a a a6 57 4 65 42 2 2++ - = = .Comme a est positif, on a fi nalement a 2= .
1 D’après l’énoncé P X 6 62
= =^ h
et P X P X P X P X1 2 3 4= = = = = = =^ ^ ^ ^h h h h
P X a5= = =^ h .Mais la somme des probabilités doit être égale à 1. Donc
a5 62 1+ = .
D’où : a5 64
= . D’où : a 304
152
= = .
On obtient donc la loi suivante pour X :
x 1 2 3 4 5 6
P X x=^ h 152
152
152
152
152
62
2 Par hypothèse, la probabilité de sortie du 6 est de
62
155
= . Elle est donc nettement plus élevée que celle
des autres chiff res.3 E X 4=^ h .
1 On a P X 6 21
= =^ h et on note P X p1= =^ h .
Alors p p p p p2 3 4 5 21
+ + + + =
donc p p15 21
301+= = .
On a donc la loi de X :
x 1 2 3 4 5 6
P X x=^ h 301
302
303
304
305
21
1 L’événement « gagner au moins 5 € » peut se noter P G 5H^ h :P G P G5 1 0H = - =^ ^h h
, ,P G 5 1 0 6 0 4H = - =^ h .2 P G P G100 1 500G = - =^ ^h h
, , .P G 100 1 0 025 0 975G = - =^ h
, .P G P G P G P G10 10 100 500 0 2H = = + = + = =^ ^ ^ ^h h h h
3 , , ,P G10 100 0 1 0 075 0 175G G = + =^ h .4 En comptant le prix du billet, on défi nit une nouvelle variable aléatoire H par :
Valeur de H - 15 - 10 - 5 85 485Probabilité 0,6 0,2 0,1 0,075 0,025
L’espérance de H est E H 7=^ h . En moyenne, les joueurs gagneront 7 € par loterie sur un grand nombre de lote-ries. L’organisateur va perdre de l’argent.
1 On appelle a la mise du joueur. Le gain est la variable aléatoire X qui suit la loi suivante :
x 36a - a
P X x=^ h 371
3736
E X 0=^ h .2 Il y a 36 35# cas possibles.Parmi eux, 2 35 70# = contiennent le numéro sorti. Le gain est la variable aléatoire X qui suit la loi suivante :
x 18a - a
P X x=^ h 181
1817
E X a18=^ h .
1 Valeur de X a 0 5 8
8 Probabilité 3018
306
304
302
2 E X a a3018
3036 0 2+= + = =-^ h .
La compagnie d’assurance doit prévoir de débourser ,100 000 0 00177 177# = € par an pour cet assuré. Elle
devra donc lui demander 227 € par an pour faire un bénéfi ce de 50 €.
On va appeler X le gain du client à la fi n du procès, une fois payés les frais d’avocat.• Si le client choisit le premier avocat, X suivra la loi suivante :
x 88 000 - 12 000P X x=^ h 0,75 0,25
D’où , ,E X 0 75 88 000 0 25 12 000 63 000# #= - =^ h .• Si le client choisit le deuxième avocat, X suivra la loi suivante :
x 70 000 0P X x=^ h 0,75 0,25
D’où , ,E X 0 75 70 000 0 25 0 52 500# #= - =^ h .L’espérance de gain est donc plus forte avec le deuxième avocat.
Propriétés de l’espérance et de la variance
1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai.
1 a. 2 a. 3 b. 4 c.
1 On a E X 3=^ h ; V X 912
=^ h et ,1 15.v .
2 a. On est en présence de la variable aléatoire Y X2= .
Donc E Y E X2 6= =^ ^h h et V Y V X2 9482 #= =^ ^h h .
D’où : ,2 31.v .b. On a cette fois-ci : Y X5=- .Donc E Y E X5 15=- =-^ ^h h
et V Y V X5 93002 #= - =^ ^ ^h h h .
D’où : ,5 77.v .
1 On lance trois pièces de monnaie bien équili-brées. Si l’on obtient trois fois pile on gagne 15 €, si l’on obtient une fois face on gagne 10 €, si l’on obtient une fois pile on gagne 5 €, si l’on obtient trois fois face on ne gagne rien.
2 ,E X 860 7 5= =^ h .
3 a. ,E X E X3 3 10 5+ = + =^ ^h h .b. , ,E X E X7 5 7 5 0- = - =^ ^h h .
Valeur de X x1 x2 f xn
8 Probabilité n1
n1
f n1
E X nx
nx
nx xn1 2 f= + + + =^ h .
1 V X p x E Xi ii
n2
0= -
=
^ ^^h hh!
V X p x x E X E X2i i ii
n 2 2
0= - +
=
^ ^ ^^^h h hh h! .
V X p x E X p x E X p2i ii ii
n nn2
0
2
00i i i= - +
= ==
^ ^ ^^h h hh! !!
V X p x E X E X E X2 1i
n 2 2
0i i #= - +
=
^ ^ ^ ^^h h h hh! .
2 On a donc :
V X p x E X E X E X2 1i ii
n 2
0
2 #= - +=
^ ^ ^ ^^h h h hh!
V X p x E Xi ii
n 2 2
0= -
=
^ ^^h hh! .
1 Le nombre moyen de bonnes réponses est 3,425. L’écart type est environ 2,21.2 a. Si on appelle a le nombre de bonnes réponses, le candidat a donc a8 - mauvaises réponses.Sa nouvelle note est , ,a a a8 8 1 5 2 5#- - + =^ h ;donc ,Y X2 5= .b. , ,E Y E X E X2 5 2 5= =^ ^ ^h h h
, , ,E Y 2 5 3 425 8 5625#= =^ h .
Problèmes
1 P X 1 63
21
=- = =^ h ;
P X 2 62
31
= = =^ h
(les nombres premiers impairs sont ici 3 et 5)
P X 5 61
= =^ h .
2 E X 21
32
65 1=- + + =^ h .
Ce jeu est favorable au joueur, car il gagne en moyenne 1 € sur un grand nombre de jeux.3 Si on appelle Y la nouvelle variable aléatoire incluant le montant de la mise, on aura :
E Y E X E X2 2 1= - = - =-^ ^ ^h h h .On perd en moyenne 1 € par partie.
Sur un grand nombre de parties, on perd en moyenne 1,17 € par partie.
Comme on tire simultanément les deux cartes, on ne peut pas prendre les deux mêmes ; l’ordre n’ayant pas d’importance, on considère chaque tirage une seule fois.
1♦ 1♥ 7♣ 7♠ 8♦ 8♥ 9♣ 9♠
1♦
1♥ cp
7♣
7♠ cp
8♦ c c
8♥ c c cp
9♣ c c
9♠ c c cp
Il y a donc 28 cas possibles.Les issues correspondant à la même couleur c sont au nombre de 12, celles correspondant aux paires p sont au nombre de 4.Si on appelle m la mise et X le gain, on a :
Valeur de X m2 - m5 - m-
Probabilité 2812
73
= 284
71
= 2812
73
=
Si l’organisateur gagne en moyenne au moins 1 €, c’est que la perte du joueur est supérieure ou égale à 1 €, on résout donc E X 1G -^ h .
m m m73 2 7
1 5 73 1G- + - - -^ ^h h
m m711 1 7
18+ +G H- + - .
Pour une mise supérieure ou égale à 2,58 €, l’organisa-teur aura un gain moyen d’au moins 1 €.
BB
BB
BB
BB
BB
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+2
+2
–5
–5
AA
BB
2 a. X prend les valeurs 4 et - 3.b. P X 4 3
1= =^ h ; P X 3 3
2=- =^ h .
3 E X 4 31 3 3
232
# #= - =-^ h .
1 a. x 10 - 1
8 P X x=^ h 111
1110
b. E X 0=^ h .2 a. x 10 - 1
8 P X x=^ h n 11+ n
n1+
E X n nn
nn
110
1 110
=+
-+
=+-
^ h .
b. E X n n0 10 0 10+ +H H G-^ h .
c. E X n n n21 10 2
1 1 21+ +=- - =- + =^ ^h h .
d. On calcule la limite de E X^ h lorsque n tend vers ,3+ on obtient - 1.
1 Les valeurs prises par X sont 0, 1, 2 et 3.2 et 3 On utilise ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1) pour un enfant.4 F
FG
FF
GG
FF
GG
FG
G
Valeur de X 0 1 2 3
Probabilité 81
83
83
81
1 a. x - m m2
8 P G g=^ h 0,8 0,2
, ,E G m m0 2 0 82= -^ h .b. On résout E G 0G^ h , ce qui équivaut à m 4G . La mise maximale est 4.
2 Si on appelle G le gain du joueur, on a : x 5 25
P G g=^ h nn
2+ n 22+
Pour défi nir la variable aléatoire H égale au gain du propriétaire du casino, il suffi t de poser H G=- .On a alors :
gl 5 - 25
P H g= l^ h nn
2+ n 22+
E H nn
25 50
=+-
^ h . Ce nombre tend vers 5 lorsque n
tend vers l’infi ni, on ne pourra donc pas le rendre aussi grand que l’on veut.
Résultats des simulations :
Si on appelle X et Y les variables aléatoires égales aux gains respectifs dans les deux investissements, on a :E X 50=^ h .
, ,E Y 400 0 7 700 0 3 7# #= - =^ h . Le premier investissement a une espérance de gain plus grande.
1 x 1 000 000 - 10 000
8 P X x=^ h 361
3635
E X 361000 000 350 000
36650 000 18 056.= - =^ h €.
2 Ce jeu est très avantageux pour le joueur. La probabi-lité de perdre 10 000 € est grande, ce qui peut décou-rager le joueur, mais en moyenne, sur un grand nombre de parties, on gagne beaucoup.
1 Pour le jeu n° 1, si on appelle X le gain :
x 2 000 - 8 000
P X x=^ h 109
101
E X 1800 800 1000= - =^ h €.V X 68 105#=^ h .Pour le jeu n° 2, si on appelle Y le gain :
y 0 10 000
P Y y=^ h 109
101
E X 1000=^ h €.V Y 107=^ h .2 A priori, on préférera le jeu n° 2, car on ne perd jamais d’argent, pourtant les espérances de gains sont égales.
1 On peut utiliser un tableau à double entrée ou appeler Ai l’événement : « la personne va voir le fi lm A le ième jour » avec ;i 1 2! " ,. De la même façon, on peut appeler B j l’événement : « la personne va voir le fi lm B le jème jour » avec ;j 1 2! " ,.
On a A AP 224
112
1 2+ = =^ h ;
B BP 222
111
1 2+ = =^ h ;
A B A BP P 118
1 2 2 1+ ++ =^ ^h h .
On obtient donc :x 16 20 24
P X x=^ h 112
118
111
2 ,E X 1132
11160
1124
11216 19 64.= + + =^ h €.
a. Dans les cellules M2 et M3 on a placé les mises des deux joueurs (50 dans cet exemple).
On simule ensuite la sortie du « noir » avec 1 et du « blanc » avec 0 à l’aide de la commande : ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1). On comptabilise les noirs, puis on fait apparaître le gain algébrique à l’aide de :
X prend les valeurs : - 40, -35, 15, 20. Les valeurs négatives indiquent que l’entreprise fait dans ces deux cas un bénéfi ce.On a donc :
x - 40 - 35 15 20P X x=^ h 0,588 0,396 0,012 0,004
2 ,E X 37 12=-^ h €.Ce coût moyen négatif signifi e que l’entreprise gagne en moyenne 37,12 € par carte graphique vendue.
1 xi 10 000 0
pi p p1 -
E X p10 000=^ h .2 xi 430 30
pi p p1 -
E X p p p430 30 1 400 30= + - = +^ ^h h .3 On résout p p400 30 10 000G+ .
On obtient : p 3201H .
1 On peut s’aider du schéma suivant :
1 % 2 % 2 %A B
C ,P 0 05=^ h ; D ,P 0 03=^ h ;E C , ,P P 1 0 05 0 95= = - =^ ^h h .
2 a. ,P X 2 0 02= =^ h ; ,P X 1 0 03= =^ h ; ,P X 0 0 95= =^ h .
b. , , ,E X 40 0 95 32 0 03 20 0 02# # #= + +^ h
,E X 39 36=^ h €.Pour la vente de 1 000 chemises, il peut espérer un chiff re d’aff aires de 39 360 €.
1 ,E X 3 56=^ h .,E Y 3 55=^ h .
2 ,V X 4 39.^ h , ,2 09X .v .,V Y 2 53.^ h , ,1 59Y .v .
3 Les deux tireurs ont des espérances (des moyennes) quasiment égales, mais le tireur B est plus régulier, car l’écart type est plus petit. L’entraîneur devra choisir le tireur B.
A A , ,P P1 1 0 45 0 55= - = - =^ ^h h .A B A B A BP P P P, += + -^ ^ ^ ^h h h h
A B , , , ,P 0 45 0 7 0 3 0 85, = + - =^ h .
Comme A et B sont incompatibles, on a :B A B A , , ,P P P 0 8 0 63 0 17,= - = - =^ ^ ^h h h .B B ,P P1 0 83= - =^ ^h h .
1 L P
R
P L
R P
L
P R
R L
P
L R2 L’agence peut proposer 6 circuits.
3 AP 31
=^ h ; BP 31
=^ h ; CP 21
=^ h ; DP 31
=^ h .
1 L’arbre comporte 25 branches avec 5 branches depuis la racine, avec, aux extrémités, les cinq boules, puis à chacune des extrémités, cinq nouvelles branches avec les cinq boules.On peut aussi faire un arbre 2 2# avec uniquement les événements B pour blanc et R pour rouge, avec des probabilités respectives 5
2 et 53 .
2 La probabilité cherchée est 259 .
3 La probabilité cherchée est 2 256
2512
# = .
Les savoir-faire du chapitre
1 X prend les valeurs - 10, 10 et 20.2 x - 30 10 120
P X x=^ h 21
83
81
3 ,E X 230
830
8120 3 75=- + + =^ h €.
Lorsqu’on joue un grand nombre de fois à cette loterie, on gagne en moyenne 3,75 €.4 2E X 0^ h , donc cette loterie est favorable au joueur, donc défavorable pour l’organisateur.5 On veut E X 0=^ h .Les nouvelles valeurs sont celles d’une nouvelle variable aléatoire X l et sont égales à : m30- - , m10 - et
m120 - , où m est le montant de la mise.E X E X m E X m 0= - = - =l^ ^ ^h h h .Ce qui équivaut à , ,m m3 75 0 3 75+- = = .La mise doit être de 3,75 € pour que la loterie soit équi-table.
1 La somme des probabilités vaut 1.2 ,E X 12
265
1235
310
429 7 25= + + + = =^ h .
3 ,E X E X3 3 10 25+ = + =^ ^h h .4 , , ,E X E X1 5 1 5 10 875= =^ ^h h .
Approfondissement
1 On peut faire un tableau à double entrée pour modéliser l’expérience.
Contenus Capacités attendues CommentairesModèle de la répétition d’expé-riences identiques et indépen-dantes à deux ou trois issues.
◗ Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré.
◗ Utiliser cette représentation pour déter-miner la loi d’une variable aléatoire associée à une telle situation.
Pour la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. La notion de probabilité conditionnelle est hors programme. On peut aussi traiter quelques situations autour de la loi géométrique tronquée. � On peut simuler la loi géométrique tronquée avec un algorithme.La représentation à l’aide d’un arbre est privilégiée : il s’agit ici d’installer une représentation mentale effi cace. On peut ainsi : – faciliter la découverte de la loi binomiale pour des petites valeurs de n, 4n G_ i ;
– introduire le coeffi cient binomial n
kf p comme
nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès pour n répétitions ; – établir enfi n la formule générale de la loi binomiale.Cette égalité est établie en raisonnant sur le nombre de chemins réalisant k 1+ succès pour n 1+ répétitions.On établit également la propriété de symétrie des coeffi cients binomiaux.L’utilisation des coeffi cients binomiaux dans des problèmes de dénombrement et leur écriture à l’aide des factorielles ne sont pas des attendus du programme. En pratique, on utilise une calculatrice ou un logiciel pour obtenir les valeurs des coeffi cients binomiaux, calculer directement des probabilités et représenter graphiquement la loi binomiale.La formule donnant l’espérance de la loi binomiale est conjecturée puis admise, celle de la variance est admise. � On peut simuler la loi binomiale avec un algorithme.
Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.Schéma de Bernoulli, loi binomiale (loi du nombre de succès).
◗ Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale.
Coeffi cients binomiaux, triangle de Pascal.
◗ Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale.
Démontrer que :nk
nk
nk1
11+
+=
++
d d dn n n .
◗ Représenter graphiquement la loi bino-miale.
Espérance, variance et écart type de la loi binomiale.
◗ Utiliser l’espérance d’une loi binomiale dans des contextes variés.
ÉchantillonnageUtilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d’une fréquence.
◗ Exploiter l’intervalle de fl uctuation à un seuil donné, déterminé à l’aide de la loi binomiale, pour rejeter ou non une hypo-thèse sur une proportion.
L’objectif est d’amener les élèves à expérimenter la notion de « diff érence signifi cative » par rapport à une valeur attendue et à remarquer que, pour une taille de l’échantillon importante, on conforte les résultats vus en classe de Seconde. � L’intervalle de fl uctuation peut être déterminé à l’aide d’un tableur ou d’un algorithme. Le vocabulaire des tests (test d’hypothèse, hypothèse nulle, risque de première espèce) est hors programme.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole �.
ObjectifLes activités de cette page ont été conçues pour réactiver les connaissances en probabilité, en particulier en matière d’utilisation d’arbres et de variables aléatoires.
A 1
Pile
PilePile
Croix
Pile
CroixCroix
PilePile
Croix
Pile
CroixCroix
Croix
2 a. 91 . b. 9
41 .
B 1 Test positif Test négatif Total
Malade 17 3 20
Sain 99 1 881 1 980
Total 116 1 884 2 000
2 a. M ,P 0 01=^ h et T ,P 2 000116 0 058= =^ h .
b. T M+ : « l’animal est malade et le test est positif ».
T MP 2 00017+ =^ h
,P T M 0 008 5+ =^ h .c. T M, : « l’animal est malade et le test est positif ».
T M M T M TP P P P, += + -^ ^ ^ ^h h h h
T M , , ,P 0 01 0 058 0 008 5, = + -^ h
T M ,P 0 059 5, =^ h .
C 1 T SP X P0 2 0001881+= = =^ ^h h
,P X 0 0 940 5= =^ h .TP X P100= =^ ^h h
,P X 100 0 058 0= =^ h .T MP X P1000 2 000
3+= = =^ ^h h
,P X 1000 0 0015= =^ h .2
, , ,E X 0 940 5 0 0 058 0 100 0 0015 1000# # #= + +^ h
,E X 7 3=^ h .On peut donc estimer que pour un troupeau de 2 000 têtes, on devra débourser en moyenne 7,3 €.
ObjectifLes activités sont conçues pour amener une découverte de l’uti-lisation des arbres pour les calculs de probabilités, et une décou-verte progressive de la loi binomiale et de ses propriétés.
ActivitéActivité 1 Des expériences indépendantes1 AP 9
1=^ h ; BP 9
2=^ h ; CP 9
4=^ h .
2
VV
R
V
RR
3–8
3–8
3–8
5–85–8
5–8
3 AP 6425
=^ h ; BP 6415
=^ h ; CP 649
=^ h .
Ce chapitre fait suite au chapitre 11 de probabilité. Il porte sur la répétition d’événements indépendants en général, et sur la loi binomiale en particulier. Les auteurs ont été attentifs à proposer des situations variées illustrant la puissance de la modélisation bino-miale. De nombreux cas pratiques côtoient les calculs aussi classiques qu’indispensables (boules et urnes), ainsi que quelques incursions théoriques pour les élèves les plus à l’aise.Concernant l’échantillonnage, les auteurs ont souhaité proposer une présentation détaillée de la méthode
(basée sur la confrontation entre résultat empirique et modèle théorique), en traitant au fi l des paragraphes l’exemple de la pièce de monnaie, dont il s’agit d’exa-miner le caractère équilibré. Contrairement à la situation en classe de Seconde, qui voit l’intervalle de fl uctuation
;pn
pn
1 1- +< F donné sans justifi cation, on peut
ici expliquer clairement l’origine de l’intervalle de fl uc-tuation à partir de la loi binomiale, et en déterminer les bornes.
ActivitéActivité 2 Neige ou pas ? Une nouvelle « loi »1 a.
E
SE
E
S
S
E
E
S
S
S
SE
E
1–3
1–3
2–3
2–3
1–3
2–3
…
……
……
……
…
b. P X 0 32
81164
= = =^ ch m .
P X 4 31
8114
= = =^ ch m .
2 Quatre chemins conduisent à X 1=^ h.
3 P X 1 4 31
32
81323
# #= = =^ ch m .
P X 2 6 31
32
81242 2
# #= = =^ c ch m m .
P X 3 4 31
32
8183
# #= = =^ ch m .
E X 81108
34
= =^ h .
ActivitéActivité 3 Coefficient binomial et triangle de Pascal1 Un chemin mène à X 0=^ h et X 2=^ h, deux chemins à X 1=^ h.2 Un chemin mène à X 0=^ h et X 3=^ h, trois chemins à X 1=^ h et X 2=^ h.3 Un chemin mène à X 0=^ h et X 4=^ h, quatre chemins à X 1=^ h et X 3=^ h, six chemins à X 2=^ h.
4 P X knk
p qk n k# #= = -^ fh p .
5 k
n 0 1 2 3 4 5 6
0123456
6 nk
nk
nk1
11+
+=
++
d d dn n n.
ActivitéActivité 4 Conjecturer l’espérance de la loi binomiale3 a. X suit une loi binomiale de paramètres n 50= et
,p 0 4= .b. L’espérance de X est apparemment égale à 20.c. On conjecture que E X n p#=^ h .
Exercices d’applicationExercices d’application
Utiliser un arbre pondéré pour déterminer la loi d’une variable aléatoire
2 On appelle X le nombre de points obtenus. On a représenté sur l’arbre les valeurs de X correspondant à chaque branche. X suit la loi suivante :
P X 3 61
21613
= = =^ ch m .
P X 4 3 61
62
21662
# #= = =^ ch m .
P X 5 3 61
63 3 6
261
216212 2
# # # #= = + =^ c ch m m .
P X 6 6 61
62
63
62
216443
# # #= = + =^ ch m .
P X 7 3 63
61 3 6
263
216632 2
# # # #= = + =^ c ch m m .
P X 8 3 63
62
216542
# #= = =^ ch m .
P X 9 63
216273
= = =^ ch m .
3 On a donc une espérance de :
216
3 1 4 6 5 21 6 44 7 63 8 54 9 277.E X
# # # # # # #=
+ + + + + +=a k
Reconnaître une loi binomiale
1 Les lancers sont identiques et indépendants. X représente donc le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. X suit une loi binomiale de paramètres n 20= et ,p 0 8= .On a donc pour k0 20G G :
, ,P X k k20 0 8 0 2k k20# #= = -
^ dh n .
2 On a ,E X 20 0 8 16#= =^ h .3 1P X P X P X P X5 0 1 4f= = + = + + =^ ^ ^ ^h h h h
1 ,P X 5 1 4 10 8#. -^ h .
4 , ,P X 10 0 2 1 0 1010 7#.= = -^ h .
P X P X P X P X5 5 6 10fH = = + = + + =^ ^ ^ ^h h h h
,P X 5 0 04H =^ h .
Le nombre de boules rouges suit une loi binomiale de paramètres n 6= et p 8
5= .
1 ,P X 6 85 0 059 604 64
6= = =^ ch m .
2 ,E X 6 85 3 75#= =^ h .
Loi géométrique tronquéeÉtape 1tape 1
La moyenne semble s’approcher de p1 .
Étape 2tape 2
1 a. P X p0 1 n= = -^ ^h h .b. X k=^ h correspond au fait d’arriver à l’heure les k 1- premiers jours et en retard le jour suivant, d’où le résultat.
2 E X^ h se rapproche de p1 .
Étape 3tape 3
La formule entrée en D5 permet d’affi cher 1 si le bus est à l’heure (probabilité q), 0 sinon.Le formule entrée en E4 et recopiée ensuite permet d’af-fi cher 1 si le bus est à l’heure alors qu’il était à l’heure le jour précédent, 0 sinon.La formule entrée en A5, en comptant le nombre de 1, indique donc le nombre de jours au bout desquels Maxi-milien arrivera en retard.
Expériences indépendantes et espérance1 a. , ,p 1 0 000 2 0 998 001810= - =^ h .b. X peut prendre les valeurs 8 (on teste le mélange et il est accepté) ou 88 (le mélange est contaminé, on teste toutes les bouteilles une à une).
,P X 8 0 998 0018= =^ h ., ,P X 88 1 0 998 0018 0 001998 2= = - =^ h .
,E X 8 16.^ h .c. Il y a 10 bouteilles par paquet, soit un coût moyen de 0,82 €.2 a. X peut prendre les valeurs 8 (on teste le mélange et il est accepté) ou N8 8+ (le mélange est contaminé, on teste toutes les bouteilles une à une).P X p8 1 N= = -^ ^h h .P X N p8 8 1 1 N= + = - -^ ^h h .E X p N p8 1 8 8 1 1N N# #= - + + - -^ ^ ^ ^^h h h hh .
Le coût moyen attendu est égal à NE X^ h .
b. On a programmé sur un tableur les valeurs de N, l’es-pérance et le coût moyen (voir ci-après).
Il faut faire faire des lots de 71 bouteilles, ce qui donne un coût moyen de 23 centimes d’euros, soit une division par un facteur 3,5 par rapport aux lots de 10.
Intervalle de fluctuation1 a. N et P correspondent aux paramètres de la loi bino-miale.b. La valeur fi nale de I correspond à la valeur k1 utilisée pour défi nir la borne inférieure de l’intervalle de fl uctua-tion.2 Voici la fi n du programme permettant l’affi chage des deux bornes de l’intervalle de fl uctuation.
a. Lancer une pièce et noter si on obtient pile ou face.b. Lancer 5 fois de suite la même pièce et noter le nombre de faces obtenus.
Épreuve de Bernoulli : tirer un sujet d’une enveloppe et noter s’il est à dominante histoire ou géographie.Schéma de Bernoulli : eff ectuer 10 fois de suite l’épreuve précédente en remettant à chaque fois le sujet tiré dans l’urne, et compter le nombre de sujets histoire.
1 On appelle P l’événement « le test est positif » et N l’événement « le test est négatif ».
1 La probabilité d’obtenir une voyelle sur le tirage d’une lettre est 26
6133
= .
Comme le prélèvement des lettres se fait avec remise, X suit la loi binomiale ! ;4 13
3c m.
Pour tout entier k tel que k0 4G G , on a :
P X k k4
133
1310k k4
# #= =-
^ d c ch n m m .
2 On cherche :
P X P X3 4 43 13
31310
1333 1 4
# #= + = = +^ ^ d c c ch h n m m m
,4 28 561270
28 56181
28 5611161 0 044# .= + = .
3 Loi binomiale
1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Faux. 5 Faux.
1 a. et b. 2 b. 3 a. et c.
1 a. 2 c. 3 a. 4 c.
1 , , ,P X 0 100 0 2 0 8 0 80 10 10# #= = =^ dh n
,P X 0 0 107.=^ h .
, , ,P X 5 105 0 2 0 8 0 0265 5# # .= =^ dh n .
, , ,P X 10 1010 0 2 0 8 0 210 0 10# #= = =^ dh n
,P X 10 1 024 10 7#= = -^ h .
2 P X P X P X P X3 1 0 1 2H = - = + = + =^ ^ ^ ^^h h h hh
, , , , ,1 0 8 101 0 2 0 8 10
2 0 2 0 810 9 2 8# # # #= - + +d dd n n n
,P X 3 0 322H .^ h .
1 Les naissances sont indépendantes et la probabi-lité d’avoir un garçon ne varie pas. Le nombre de garçons suit donc une loi ! ; ,3 0 51^ h.2 X suit une loi ! ; ,3 0 51^ h.3 , ,P X P X1 1 0 1 0 49 0 888 23513H = - = = - =^ ^h h .4 Il s’agit à nouveau d’un schéma de Bernoulli. Le nombre de familles ayant au moins trois garçons suit une loi ! ; p10^ h, avec ,p 0 882 351= .
,P X p p9 109 1 0 389 1# # .= = -^ d ^h n h .
1 La probabilité de sortir un double 6 sur le lancer d’un dé est égale à 36
1 .
On appelle X le nombre de « double six » obtenus à l’issue des vingt lancers des deux dés. La variable aléa-toire X suit la loi binomiale ! ;20 36
1c m.
On cherche :
,P X P X1 1 0 1 3635 0 43
20H .= - = = -^ ^ ch h m .
2 Il s’agit de calculer l’espérance :E X 20 36
194
#= =^ h .
1 X suit une loi ! ;10 31
c m. L’élève choisit à chaque
fois au hasard et il n’y a qu’une bonne réponse sur les 3.2 ,P X 2 0 2.=^ h et ,P X 6 0 05.=^ h .
3 Il a tort, d’après le graphique P X 5H^ h n’atteint pas 0,25.4
5 On a ,P X 5 0 21H .^ h .
1P X P X P X P X P X3 0 1 2 3G = = + = + = + =^ ^ ^ ^ ^h h h h h
,P X 3 0 78G .^ h .
2 ,E X 2 5=^ h . D’où ,pE X
10 0 25= =^ h .
X : nombre de candidats ayant réussi.1 , ,P X P X1 1 0 1 0 8 0 99625H .= - = = -^ ^h h .2 P X P X P X P X2 0 1 2G = = + = + =^ ^ ^ ^h h h h
,P X 2 0 098G .^ h .3 ,E X 25 0 2 5#= =^ h .
4 Échantillonnage
1 Le nombre X de boulons défectueux suit une loi ! ; ,5 000 0 01^ h. Grâce au tableur, on trouve, en repre-nant les notations du cours : k 371 = et k 642 = .D’où un intervalle , ; ,I 0 0074 0 0128= 6 @.2 ,f 5 000
60 0 0120= = .
Donc on se trouve à l’intérieur de l’intervalle de fl uctua-tion.
1 P1 : on détermine l’intervalle correspondant à une loi ! ; ,200 0 5^ h ;
, ; ,I 0 475 0 565= 6 @. Donc on ne peut pas éliminer P1.P2 : on détermine l’intervalle correspondant à une loi ! ; ,200 0 6^ h ;
, ; ,I 0 53 0 665= 6 @. Donc on ne peut pas éliminer P2.P3 : on détermine l’intervalle correspondant à une loi ! ; ,200 0 4^ h ;
, ; ,I 0 335 0 47= 6 @. Donc on peut éliminer P3.2 Il faudrait augmenter la taille de l’échantillon.
1 ,P X 6 0 9133G =^ h .2 a. On cherche le plus petit entier k1 tel que
2 ,P X k 0 0251G^ h ; on obtient k 01 = . On cherche le plus petit entier k2 tel que ,P X k 0 9752G H^ h ; on obtient k 52 = . L’intervalle de fl uctuation est :
1 a. k 51 = .b. k 162 = .2 , ; ,I 0 1 0 32= 6 @.3 On a bien ,p 0 2= . La fréquence observée est donc à la limite de l’intervalle de fl uctuation à 95 %. On peut donc avoir des doutes.
Problèmes
1 p 31
= .
2 a. p 32
2783
= =c m .
b. ,p 2719 0 70c= .
c. Elle n’est pas sûre d’avoir un billet gagnant, même si elle a plus de deux chances sur trois.
X : nombre de penalties réussis.1 ,P X 5 0 058c=^ h et ,P X 10 0 056.=^ h . L’affi rma-tion est donc vraie.2 ,P X 2 0 53H .^ h . C’est donc encore vrai.
1 a. X suit une loi ! ; ,5 0 9^ h.b. P X P X P X2 1 0 1H = - = + =^ ^ ^^h h hh
,P X 2 0 999 54H =^ h .
2 a. Y X X X10 20 5 30 100= - - = -^ h .b. Y suit donc la même loi que X, pour les valeurs asso-ciées {- 100 ; - 70 ; - 40 ; - 10 ; 20 ; 50}.c. On a donc :
,E X E X30 100 30 0 9 5 200# #= - = -^ ^h h
E X 35=^ h .
Le jeu est largement favorable au joueur, qui a intérêt à participer un grand nombre de fois.
1 a. X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2.b. X suit une loi ! ; p2^ h.c. P X p p p1 1 2 12 # #G = - + -^ ^ ^h h h.2 a. Y peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, 4.b. Y suit une loi ! ; p4^ h.c. P Y p p p2 1 4 14 3# #G = - + -^ ^ ^h h h
p p p p6 1 4 1 3# # # #+ - + -^ ^h h .3 On peut utiliser un tableur ou une calculatrice :
Le quadrimoteur est plus sûr lorsque p est petit (jusqu’à ,p 0 33. ), c’est alors le bimoteur qui devient plus sûr.
1 X suit une loi ! ;6 32
c m.
2 E X 4=^ h .3 Y X9 6= + -^ h si Y est la durée en minutes. Donc E Y E X9 6 11= + - =^ ^h h . La durée moyenne du parcours sur un grand nombre de passages se rapproche donc de 11 minutes.
1 a. P X k nk 2
1n#= =^ dh n .
b. P X k nk 2
1 1k
n
k
n
n0 0
#= = == =
^ dh n! ! .
D’où : nk 2
k
nn
0=
=
d n! .
2 Dans un arbre, il y a 2n chemins, en regroupant les chemins suivant le nombre de succès qu’ils comportent, on retrouve bien le résultat précédent.
1 a. X n=^ h.b. X n 1= -^ h (1 seul basculement vers la droite).c. Le bac numéro k (en appelant 0 le bac à l’extrême droite) correspond à X k=^ h.2 X suit une loi binomiale ! ; ,n 0 5^ h. Le nombre de billes dans la case k est donc, lorsque le nombre total de billes devient grand, proportionnel à P X k=^ h.3
1 2 63 1-8-28-56-70-56-28-8-1. On retrouve la huitième ligne étudiée à l’exercice .
1 a.
E
S
S
E
E
S
S
E
E
S
S
S
S
E
E
E
E
S
E
E
S
S
E
E
S
S
S
S
E
E
b. 4 et 4.c. 6 et 6.
2 a. 1 et 1. b. n et n.
c. Il y a autant de chemins. d. nk
nn k=
-d dn n.
2 P X k p p1 k 1 #= = - -^ ^h h .
3 P X P X n0 f= + + =^ ^h h
p pp
p1
1 11 1
1nn
#= - +- -
- -=^
^
^h
h
h .
1 E X P X n P X n0 0# #f= = + + =^ ^ ^h h h.D’où le résultat.2 a. S x xS x x x x nx1 n n2 1f- = + + + + --
^ ^h h
xx nx x
n x nx11
11 1n
nn n 1
=-- - =
-
- + + +^ h .
b. On a donc S xx
n x nx1
1 1 n n
2
1=
-
- + + +
^^
^h
h
h
S xx
n nx x1
1 1 n
2=-
- + -^
^
^h
h
h .
c. E X p S p1#= -^ ^h h
E X pp
n n p p1 1
1 1 1 1 n
2#=- -
- + - - -^
^^
^^ ^h
hh
hh h .
D’où le résultat.
1 Avec le jeu A : p 31
= .
Avec le jeu B : p 41
= .
2 Avec le jeu A : ,p 32
31 0 009
9# .= c m .
Avec le jeu B : ,p 43
41 0 019
9# .= c m .
3 Valeurs de : , ,k 1 2 3.
1 ,p 0 2 1030 21.= - .2 On trouve k 191 = et k 282 = . Donc , ; ,I 0 63 0 94= 6 @. Ici la fréquence est de ,30
29 0 97. .
On est donc en dehors de l’intervalle de fl uctuation. On peut donc soupçonner le boulanger de tricher.
1 On appelle X le nombre de fl eurs , ,P X 200 0 96 0 000 3200 .= =^ h . C’est donc le collègue
qui a raison.2 On détermine l’intervalle de fl uctuation à 95 % corres-pondant à une loi ! ; ,200 0 96^ h. On trouve k 1861 = et k 1972 = . L’affi rmation du vendeur n’est donc pas vérifi ée.
Pour la ville de Cassis : k 61 = et k 142 = .Pour la ville de Marseille : k 861 = et k 1142 = .Donc la ville de Marseille ne respecte pas la parité.
1 a. X suit une loi ! ; p50^ h.b. E X p50=^ h .2 H X X X50 2 50= - - = -^ h .On en déduit E H p100 50= -^ h .On retrouve bien sûr la valeur ,p 0 5= comme valeur limite séparant les cas où la sortie se fait en moyenne en ordonnée positive, et où elle se fait en moyenne en ordonnée négative.
10 Livre du professeur - CHAPITRE 12 Loi binomiale
2 On voit qu’au bout par exemple de 100 000 déplace-ments, l’abscisse est - 31 et l’ordonnée 27, ce qui donne l’idée que l’abscisse et l’ordonnée moyennes doivent être proches de 0. On pouvait s’y attendre, du fait que toutes les directions sont équiprobables.3
On peut cette fois conjecturer que la valeur moyenne n’est pas nulle, mais aux alentours de 8, en fait, elle se rapproche de n2
r.
4 a. n : nombre de trajectoires ; d : durée de la trajectoire en nombre de pas, Xmoy : abscisse moyenne, Ymoy : ordonnée moyenne.b.
y
1 a. On note X le nombre de déplacements vers la droite, X suit une loi ! ; ,5 0 6^ h : ,P X 3 0 3456= =^ h .b. ,P X 5 0 077 76= =^ h .2 Pour qu’il se trouve en B : ,P X 3 0 008 1= =^ h et en C :
,P X 5 0 000 01= =^ h .3 a. X suit une loi ! ; p5^ h. Le robot se trouve en B avec une probabilité P X 3=^ h et en C avec une probabilité P X 5=^ h.b. Il est d’abord plus probable que le robot soit en B, puis en A, et la bascule se fait aux alentours de 0,76.
4 On suppose que A est l’origine :
Livre du professeur - CHAPITRE 12 Loi binomiale 11
1 Pour l’intervalle classique, on trouve k 31 = et k 132 = .On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse du constructeur.2 a. Avec la nouvelle hypothèse, on obtient k 123 = . On est donc à la limite de l’intervalle de confi ance.b. On ne considère pas comme anormal les cas où il y a très peu de pannes, on veut simplement déterminer à partir de quand le nombre de pannes est « anormale-ment » élevé.
1 Aucune des affi rmations ne peut être rejetée, puisque 0,46 et 0,54 sont dans l’intervalle de fl uctuation
, ; ,0 45 0 656 @.2 Il faudrait interroger un échantillon plus élevé.
Revoir les outils de base
a.
2—62—62—6
3—63—63—6
B
RN
N
1—61—61—6
1—61—61—6
3—63—63—6
2—62—62—6
B
R
N1—61—61—6
3—63—63—6
2—62—62—6
B
R
N1—61—61—6
3—63—63—6
2—62—62—6
R
B
X = –20
X = –7
X = –9
X = –7
X = 6
X = 4
X = –9
X = 4
X = 2
b. X - 20 - 9 - 7 2 4 6
P 361
366
364
369
3612
364
c. E X 31
=-^ h . Le jeu est donc défavorable au joueur.
A , ,P 0 1 0 0013= =^ h .B , ,P 0 2 0 0083= =^ h .C , ,P 0 3 0 0093= =^ h .D , ,P 0 4 0 0163= =^ h .
1 On peut modéliser la situation par un schéma de Bernoulli en supposant que les rencontres avec les clients sont indépendantes.2 a. , ,p 0 8 0 001230 .= .b. ,P X 5 0 43G .^ h .c. ,E X 0 2 30 6#= =^ h .
1
2 a. k 181 = .b. k 222 = . D’où , ; ,I 0 36 0 44= 6 @.c. Une enquête nationale indique que 40 % des lycéens préfèrent la glace à la vanille à la glace au chocolat. On eff ectue un sondage auprès de 50 élèves du lycée, et on obtient que 25 préfèrent la vanille. On se demande si on peut faire l’hypothèse que les élèves du lycée refl ètent le comportement décrit par l’enquête nationale.La réponse est non d’après le b.
12 Livre du professeur - CHAPITRE 12 Loi binomiale
b. ,E X 21 4.^ h .On doit donc équiper environ 22 poissons pour espérer en avoir 15 eff ectivement repérés.
Approfondissement
1 a. On trouve les intervalles , ; ,0 2 0 356 @ ; , ; ,0 25 0 356 @ ; , ; ,0 25 0 46 @.
Tous ces intervalles contiennent la fréquence 0,4 corres-pondant à 8 truites sur 20.b. Cette méthode ne permet donc pas de privilégier de valeur de p.
2 a. P X p p2 208 18 12# #= = -^ d ^h n h
P X p p2 208 18 12# #= = -^ d ^h n h .
b. On pose f p p p 18 12#= -^ ^h h .f p p p p p8 1 12 17 12 8 11# #= - + -l^ ^ ^h h h
f p p p p p1 8 8 127 11#= - - +l^ ^ ^h h h.f pl^ h est du signe de p20 8- .
f est maximale pour ,p 0 4= .c. On obtient donc que le maximum est atteint pour une valeur de p égale à la fréquence observée, ce qui est bien conforme à l’intuition.