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ESTAD^STICA ESPAOLANm. 99, 1983, pgs. 33 a 59
Aspectos tericos y una aplicacin prctica delanlisis factorial de
correspondencias
por M. ^UCIA NAVARRO GOMEZFacultad de Ciencias Econmicas
Universidad de Mlaga
RESUMEN
EI anlisis de correspondencias, desarrollado por Benzecri ', se
encua-
dra en el marco de la estadstica descriptiva multidimensional.
lnspirado,
como el anlisis de componentes principales, en los principios
del anlisis
factorial cldsico, fundado por Spearman y Thurstone, tiene por
objeto
extraer los principales factores de un gran conjunto de datos de
difcil
percepcin inmediata, evitando, al mismo tiempo, la forrnulacin
de cual-
quier modelo causal que condicionara la interpretaci n de los
resultados,
EI anlisis de correspondencias se distingue, sin embargo, del
mtodo
de las componentes principales, dado que la conversin .ie los
datos brutos
en frecuencias relativas permite tratar en general informaciones
de natura-
leza cualitativa, al mismo tiempo que datos cuantitativos
expresados en
unidades de medida diferentes. De manera m^is precisa, el
anlisis de
correspondencias resume la informacin contenida en una tabla de
contin-
gencia referida a dos conjuntos de grandes dimensiones, teniendo
en cuenta
el carcter probabilstico de los datos para remediar su
heterogeneidad.
' Benzecri, J. P., y otros: L'rlnulyse ^ies cionnes. Dunod.
Pars, 1973. Tomo 2: L'unulyse cies
correspondences.
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^-:s^rAnisT^r,A ES!^At)l.A
Despus de trans#ormar los elementos de la tabla, el anlisis de
corres-
pc^ndencias permite dar una visin fcilmente perceptible de dos
nubes de
puntos, al proyectar stos sobre un subespacio de pocas
dimensiones (ge-
neralmenie dos), cie forma que se conserve una parte importante
de la
informacin iniciatmente canstituida. Se trata entances de dar un
signifi-
cado coherente a los ejes sobre tos cuales se han proyectado !os
puntos,
apoyndose para ello en ciertas ayudas de interpretacin que
proporciona
el mtodo.
E1 objeto de este artcuto es presentar los fundamentos tericos
ciel
anlisis de correspondencias y dar un ejemplo de aplicacin que
haga
referencia a las interacciones que se ejercen entre los sistemas
educativos y
econtmicos de un cierio nmero de pase^ de la OCD E, en 1970
2.
Pulahras clc^^^e: Aniisis factoriai de correspondencias,
aplicacin del m-
tocio al estudio de interacciones, sistema educativo-econmico
cie los
pases de la OCDE.
1. METODO DEL ANALISIS FACTORiAL DE CORRESPONDENCIAS
.l. LOS PR[NCIPIOS DEL ANL[SIS
Sea X la matriz de datos compuesta de n fiias (representativas
def conjunto 1 de las
observaciones} y rn columnas (relativas al conjunto J de las
variables). Para poner un
ejemplo, consideremos la poblacin de n municipios de una regin,
relacionada con sus
m mejores categor^as profesionales. En el espacio de las
categoras profesionales (1RM)
tendremos n puntos-municipios, cada uno de ellos con m
componentes. As, en [a
matriz X, el eiemento x;^ representa el nmero de individuos que
habitan en el munici-
pio i, que pertenecen a la categoa profesional j.
A nosotros no nos interesan los efectivos brutos, sino los
efectivos relativos de las
categoras con relacin a la poblacin, ya que es evidente que en
los pequeos munici-
pios las componentes sern pequeas y no podrn compararse con las
de la.s gr~andes
ciudades. El inters se centra as en definir las propQrciones de
cada una de las
categoras profesionales en cada municipio, con el fin de
resaltar su estructura sociopro-
fesional y poder realizar comparaciones entre ellos.
2 Esta aplicacin est basada en un trabajo del autor titulado.
L'Pnvirnnnement con^rn^que de
!'education dan.r quelques ^ays de l' U^DE, c^le 1965 a 1976,
real izado a pet ic in de la OCDE.
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ASF'l^CTOti T^^:ORICY)s Y I^NA AF'I.ICAC'fON F'RAC:. D^1.
ANAL_ISIS t-AC'TC)RIAL f3^: CURRESNON.
Sean
xi,f - Xijj^l
el efectivo de poblacicn de la ciudad i,
n
x, j = ^ xij
el efectivo de la categoa j para todos los municipios,
m
X ^ ^ - L L -xi^j=1 i^ ^
el efectivo total de la poblacin considerada.
De estas frmulas podemos deducir las frecuencias relativas
siguientes, que son
estimaciones de probabilidades
X ij^ ij -
X
la probabilidad asociada al trmino x^,
ij
la probabilidad marginal que indica la importancia del municipio
^ en ia regin,
n
^ ^ ,, ` , ,^ iji= I
la probabilidad marginal que indica la imp^ortancia de la
categora j en la regin.
Podemc)s entonces construir, en el espacio IRm, la nuhe de n
puntos L; definidas asi
L ^ ^i 1 ^^i2 .. pimi , , .,
^i. ^^i. pi.
-
F.tiTAi)IS T!('A ^:SI'AA^()I.A
c^ lu que e^ I^^ mism^.^
'^0 1 "xt2,
_X^. Xi.
'^ int
.^ ; .
Los n puntos tienen ^n coordenadas y estn ponderados por la
probabil idad p; .
Matemticamente, para cada punto L, tenemos la relacin
que es la ecuacin de un hiperplano de (m - 1) dimensiones, sobre
ei que estn
situados todos los puntos L^ ;.
E1 c^bjetivu del an^^lisis es proyectar la nube de puntos sobre
un plano de pocas
dimensiones, de manera que la nube proyectada deforme lo menos
posible la realidad.
^J dicho de o.tro rnodo, que la proyeccin refleje lo ms
fielmente posible las proximida-
cies entre los n individuos, en relacin con las m variables,
EI anlisis factorial de correspondencias traduce similitudes de
comportamientos
entre dos individuos i e i` del conjunto [, cuando las
proyecciones de esos dos puntos
estn prximas en el subespacio vectorial, lo que se mide mediante
la distancia si-
guiente `^
c^` { L; , L^ ) = ^ ^^ ^i^ ^ pi.^- i l
^ Lo mismo puede hacerse para el conjunto J, obtenindose una
nube de m puntus C^
p U ^ ^iC^ _ , ,^,j !^. ^ i^ , j
ponderados por ^.^, en el espacio de n dimensiones IR". Tambin
aqu se cumple la relacin
i=
[1]
`' La proximidad de dos puntos significa que la estructura de
las filas que ellos representan son
parecidas. En nuestru ejemplo se tratara de 1a estructura
socioprofesional de dos municipios. La
distancia que las repre^enta ser tanto ms pequea cuanto las
componentes de L; y L.^, estn
m^s prximds para tudos lus valores de j.
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As!'EC'TC)s TE.()RICUS Y t IVA AF}i_.ICACI ^ 2^
donde
^x ij ^
^i.
^ ^ ^i.
i ^^ p ,i.
1 1 1D= dia,g ^,..., ^ ,....,. np ^ ^
; En efecto, se han estimado n- t parmetros ^i a partir de las
observaciones, y el n-simo se
deduce de los otros, pues
De igual forma se han estimado (m - 1) parmetros ^ ^, puesto
yue
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3K t^.s tAU^sTi(.^A E^^'AN(.)l_A
La di^tanciu efegida e^ a^ una t^orm^^ cuadr^ticd ^uya matriz
aycx:iadd es U, que
ptxlemuti h^^cer unit^ria par normali^.acic^^n cie Ic^^, eje^
^iel esp^^cio vectoriaf, facilitanclo
atii Ic.^s c^lculu^ ufteric^re^. H n etite ca^c^, la^ i
ct^ordenacid^ del inciiviciuo i^e cfet^inenahura pt^r
^ !'; t j^, 2 ^ ^^I_; = , . . . . ,
p. 2pi. ^ 2^p. p.^ir2pr ,
Fstas nuevas cuordendcids conciucen el prcablema a de un anlisis
simple 6.
^La nube de n puntos L; e^;t dhor^ en el hiperplano de
ecuacin
1.?. BS{,11,'EDA DE LOS ElES FACT4RIALES
^1'royectemos ahc^ra la nube de los n puntos transtormadoS L;
ortogonalmente sobre
un eje yue pa^e pur el arigen, de furma que las distancias entre
las proyecciunes cie los
puntos, meciic^as sc^bre t^5ta recta, respeten lo ms posibfe la5
distaneias entre los puntos
en el espaciu 1Rm.
Sea el vectur unitario, de direccin_arbitraria, que determina el
eje F ' . Proyec-
temuti ^c^bre l ci^s puntc^^ cualesyuiera. L; y L;^ . L^t
magnituct de esta proyecc:in vale
pur definic icn ^` :
.. .. .. ..!, !; = tr' ( L; - 1_; 1^ ^ `
Cuantc^ m^^yur sea Id longitud l; !;, tantu mt^ti cunturtne
estar con la ciistanc ia L; L;^
que representa. 1'ur tantu, ^i ^e yuiere que f^^ cietormacin de
la nube sea minima en la
pruyeceicin, habr que maximiz^ir la5 longituces de las
proyecciones, para tuda.^ las
parejas { i, f' ) cie ubservaciones. Es ciec ir, habr yue
encuntrar u tal que `'
^ ^fi Se ubscrvar yue la distancia entre los puntos L; y L; es
idntica a la yue existe entre los
puntos L_; y 1_;.
' Hay n eje^, puestu yrie irabajamos en el e^+paciv IRm . _
^ I^or ^iet'inicicn, la rnagnitucf del 4egmentu t^;, proyeccin
de) vectur (L; - L;,) s^^bre ^u, es el^ `prucluctv escal^ir ^iel
vectc^r ( L; -- L;, ) por e! vec:tur t^
^^ ^ ^ ^ ^1; I;^ = L; L, , tT -- t^ ^ i L_; _._ 1.; ,)
`' Segn el tec^rema ^c Pitt;uras, e! euadra^u cie la ciistancia
al urigen de un punto cie la nube seeiescumponP en el cua^iraciu
cie su pruyeccin subre t^^,, y en el cuacira^iu de su distancia
(urt^^gunal) u E^ . E'ur lu yue cia igudl hacer mnirrta la
diytanci^a al eje o mxima la proyecc in subre
zi.
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ASPECTOS TEORICOS Y UNA APL1CACtON PRAC. DEL ANALISiS FACTORIAL
DE CORRESPON. 39
^ ^ 1; ; . 2 =, ,
..r^ ^ tr' ^ L; -
^ ;^
sea mximo, bajo la restriccin 10
rr "rr = 1
Z ^- ^
Pero L ^ u' ( L; - L;^ ) _ ^ ^ rr' ( L; - L;, > ( L; - L;, )'
u = u' ^ ^ ( L; -- L;. ) ( L^ - L;, )' u;;^^ ;, ^ ,
La expresin entre corchetes representa una determinada matriz W,
por lo que
maximizar ^ ^ l^^ es lo mismo que maximizar cr'Wcr, bajo la
restriccin u'u = 1.^ ,
La matriz simtrica W, de orden (m, m), es la matriz de
variancias y covariancias1
cie la nube de puntos L;, cuyo trmino
r^ - --
p uz^ )_
indica la variancia que caracteriza la dispersin de la nube
sobre un eje cualquiera j",
n
^, _ p ^ ^ v _ p 1/2 ^ ^ik _ p U2.^ ^ r U2 k
r= t ^^.^ ^ !^ r f P. k ^ r.
representa la covariancia.
E1 trminu w jk puede ponerse tambin en la forma siguiente:
^ _,,`, _^ h;j- p^: p ^ P;k p^ ^^ k_
jk l^' ^ph p f )1!2 ^p^ p k)V2
Si hacemos
"' Puesto que u es unitario.
pii - p^,p :i
^
P;.
(Pr p^)u2
" Se llama variabilidad tc^tal de la nube de puntos L; , sobre
las m ejes factoriales, a
j=
K^y
es decir, a la traLa de la matriz W.
-
4a
para J = ^ , . , . . t ; ./
E tiTAUIS^T K^A ^ 5NA1'^()l..,A
E:ste trminu es el elementu genricu de una matriz R de orden (n.
rr ), tal que
= R' R [ 3)
^Aparece as que la variabilicfad de la nube de puntos L; , dada
por 1a traza de la
matriz W'^, no es mds que 1a diferencia entre las frecuencias
observadas n^ y las
probabilictades ^ ; .^,^ ; esta canticad se distribuye como una
^2 con (n -- l)( n - l)grados de libertad, bajo la hiptesis de
independencia de las ^las y columnas de la tabla
de contingencia, tal y como vimos anteriormente.
Nuestrca prablema es ahora encontrar el vector unitario rr que
maximice rl`Wr^, o,
segn [ 3^ , rr' R' Rer , bajo la condic in c^' u= 1, esta
maximizac in va a determinar un
primer vector propio, asuciado a un primer valor propia de la
matriz W".
Utilizando el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, la
t'uncin a maximizar se
escribe
c^ = u` W t - r. ^( rl' rl -- 1)
Derivando cun respecto a ri e igualandu a cero, queda
W rl = ^. ,tl
Aparece entonces tl como un vector propio de la matriz W.
Adems
rr' Wti = rl'^. ^rl = r^ rrr'rl = r.,
Asi, cuando !a torma cuadrtica ' Wrl es mxima, tiene por valor
r^, , que es un
valor propio de la matriz W, relativa al vector caracterstico
rr. Cuandu existen varios
valures propios, como r ' Wt debe ser mximo, r. ^ tiene que ser
el mayor valor propiude W.
E1 vector r^ determina e1 primer eje tactorial F , que
correspunde al primer t^actor,^
subre e I c u a1 se proyec ta n 1 os pu ntus L; .Se trata ahora
de ajustar la nube por un plano, con este fin deberemos determinar
un
segundo eje f^,., ortogonal con F y definido por un vectur
unitario ^' '`'. El problema es,
pues, maximizar ^' W ^ bajo las restricciunes
!1' 1' _ ^ y 1'' 1' = (^
'^ Ver nota 11 de la pgina precedente.
" Los valores prapius de la matri2 W son icinticos a los de R'
R.
'a La artogonalidad de los ejes implica que ir' r = 0. Como el
vectur ^ es unitario, satis#^ace pordet^inicin ta condicin ^^`^^ =
l.
-
ASf'E:CT()S TE()RfC()s Y UNA AI'LIC'AC'I()N NRAC. L7Fl,
ANAI_IS15 F AC'.iUFtIAI. DF-: C()RRE-:tiF^()N.
For un proceso anlogo al evcxado precedentemente, se demuestra
que ^^ es el
vector propio relativo al valor propio ^.^ de la rnatriz W. La
trma cuadrtica ^^' W^^
toma el valor mximo i.^ para ese vector; 'r_i es, por
consecuencia, el seguncio mayor
valor propio de W.
La demostracin se generaliza buseando los dems vectores
caracteristicos de la
matriz W, que definen los ejes factoriales sucesivos. La
determinacin de estos ejes
implica la diagonalizacin de la matriz simtrica W.
Sea n la matriz de los valores propios de W, tal que
W ! A' n A
co n n - d iag (%^ , , ^. 2 , . . . , 1. ^, ) y 'r. ^ > ^. 2
> . . . > i^. ,^ .
Segn las reglas elementales del clculo matricial, tenemos
traza W = traza ^ =j= 1
Como los valores numricos de ^^ son decrecientes, la suma de los
primeros valores
propios representan una fraccin importante de la traza; asi, en
la prctica, basta con
elegir los primeros de estos valores para obtener una
representacin satisfactoria de ld
informacin original.
E1 poder explicativo de un eje factorial viene dado por fa
relacin entre el valor pro-
pio correspondiente al factor propio que determina el eje y la
suma de todos los valores
propios. As, por ejemplo, para el primer eje factoral Fu ser
r^ ^
tr W
Los ejes factoriales tienen as la propiedad de extraer
progresivamente la mayor
inforrnacin posible relativa a las proximidades enire los
puntos.
Una vez obtenidos los ejes factoriales, se deducen de ellas las
coordenadas de los n
puntos L; . Si, por ejernplo, se irata del eje F^, , estas
coordenadas son iguales a
^ 1,^; - L^ F
,^/ ^.
1donde _ es un factor de dilatacin.
3 r^
-
az F:sTADi:^Ti('.4 #^til'AN()t..A
Es importante sealar que el a^nlisis cie currespc^ndencias se
efecta en el centro de
gravedad de la nube de puntus; por esta razn, cunviene
prescindir c1e1 primer eje
t^actorial, puesi^^ que pur definicin, ste une el urgen con el
centro de gravedad de la
nuhe ' ^.
Yur c^lculos sirntricos es posible trabajar en el espacio 1R" y
estudiar, en este caso,
las proxitnidades de 1s m puntos. Existen relaociones entre los
f^actores de !R" y fRm. En
efecto, Ids coordenadas de los puntos sobre un eje factorial de
IR^ son proporcionales a
las componentes de los factores en 1R" , que ccarresp^onden a
los mismos valores propios.
E,^ pusible as representar sc^ bre e{ mismo grfico, en el plano
de los dus primeros ejesf`actoriales (correspondientes a valores
cie t. ^ i), las proximitiades entre los elementc^s
del conjuntu I y los de! conjunto J. Esta simultaneidaci oe
representacin es la que sugiere
el signiticado de los ejes factoriales. Yard facilitar esta
tared .^e recurre a ciertas ayuda.s de
interpretacin que pruporciona al anlisis.
1.^. LAS AYUDAS DE 1NTERPRETAC1t5N
Es cc^mn consicierar tres ayudas para la interpretacin:
las contribuciones a la formac i+^n del factor;
Las proyecciones sobre e1 factor;
las correlaciones con los factores.
a} Lus c^^r^rttrrhr^cic^nes u la .Jc^rmaci^^rr r^Pl fac^tc^r 16
(C:'TR)
Son las que indican la parte que tuma cada variable en la
variancia explicada par un
t'dc tor .
En todu anlisis es necesario extraer del eonjunto de fas
cuntribuciones a la formacin
cie un eje, aquellas que presentan Ic^s valores ms elevados. Una
clasificacin de las
diterentes contribuciones en urden decreciente permitir^ despus
elegir lds variables ms
pertinentes
b a Lus prcr_yYC-ci^^nes sohre P^ ^jctc^r ( i F}
Es importante examinar tas cc^ordenadas de lcas punt:^s sobre el
eje factorial, buscando
las c^pc^4ciones. Si este contraste existe, l va a#'acilitar
muchu la interpretacin del
14 EI valor prapio crrespondienteal primer eje tctorial es igual
a l; los utros valures propios
son naturalmente inferiores a l.`6 En !d literatura estadstica
se encuentra tambin !a expresin de contribuciones absalutas
para designar estas ayudas de interpretacin.
-
ASr'FCTOS T^:(^Rr(Y)4 Y l NA AF'[.ICAC'ION r'RA('. UEI.
ANAI^fSlS r.aC`^^OftlAt. I)F ('f)RRESI^)N. 43
factor, puesto que entonces puede definirse el factor p+^^r la
opoticic^n de dos caracteres.
Sin embargo, hay que ser prudentes en el an^ili^is de las
prc^yecc^ones, pues ^i bien, para
una variable dada, a un valor mayor de su ccx)rdenada, rnayor es
su contribucin a la
formacin del factor, eso no impide que pueda suceder que cie dos
variables sea aquella
cuya coordenada es ms pequea la que tenga una contribucin
mayor.
c) Las correlucir^rres con los factvres "(COR}
Este tercer tipo de ayuda a la interpretacin traduce la relacin
existente entre la
variable y el tactor, indicando la contribucin de ste en la
inercia del punto.
Si se busca determinar un sentido de causalidad en esta relacin,
hahr que comparar
la serie de las correlaciones con la de las contribuciones. Pero
como una fuerte
contribucin no implica una correlacin elevada, esto hace que la
utilizacin de las
correlaciones sea delicada y se hace necesario el anlisis de
todos los elementos
(contribuciones, proyecciones y correlaciones) para poder dar
una interpretacin correcta
y precisa a los factores.
2. APL1CACtON PRACTICA
Vamos a utilizar el anlisis factorial de correspondencias para
examinar las interac-
ciones ejercidas entre los sistemas educativos y econmicos, en
el ao 1970, de los pa-
ses siguientes: Canad, Finlandia, Francia, Alemana, Suecia y
Estados Unidos.
2.1. LAS VARIABLES ELEGIDAS
C.os datos de referencia han sido extrados de los Annua^res
Statistiques de 1'Enseig-
nement, de las Statistiques de la Population Active, y ue las
Comptes Nationaux des
Pays de i'OCDE, publicados regularmente por esta
Organizacin.
A partir de estas informaciones de base hemos elaborado !os
siguientes indicadores
A) Variahles del sistema educati^?o 19, se^n ni ^e! de enseanza
2O
a) Las tusus hrr^tus dP esct^^uri
-
44 ESTA[^I^TICA ESf'AfVt)t_A
b) L^^s ^ust^^.t l?cihlicr^s c1E^ ^ufrccucrc.in r^r^r ulurrtncr
fen abreviatura R).
Vienen expretiaclc^rs por la relacin entre los gastos pblicos
asignados a cada nivel de
enseanza y el nmero de alumnos inscritos en el mismo. Solamente
se consideran los
gastos corriente5 o de funcionamiento, y, para que sean
comparables en lo^ diferentes
pa:^es, han sido convertidos en moneda constante, primero, y,
despus, expresados en
dlares USA a prec io y tasa de cambio de 1975 21.
B> Varial^les dPl sisternu ^cclncimicn, seki^n ni^^eles de
ensFun?a
a) Lus rPlucic^nPS de dependenriu dp lc! pr^hlucicn pscolE^r a
lu poblucic^n uctit^u (en
abreviatura U>.
lndican la importancia del nmero de alumnos, en un nivel dado ce
educacin, en
relacin al conjunto de la poblacin activa de cada pds, puesto
que es eila en realidad
quien soporta directamente los costes de enseanza.
b) Lu purte clel PIB usixnudu u Ins ni^^l^s d^ edr.ccacr`n {en
abreviatura P).
Este porcentaje, establecido como la relacin entre los gastos
pblicos asignados a la
enseanza y et P!B del pas, mide el esfuerzo nacional realizado
por la eclucacin.
c) Las tusus de paro pvr ^rupos de edud {en abreviatura T).
Tres tasas de paro han sido construidas: la de la poblacin de
quince a diecinueve
aas (comparada a la tasa de escolarizacin de la enseanza
prirnaria-media 22), la de la
poblacin de veinte a veinticuatro aos (para la superior) y la de
quince a veinticuatro
aos (para la enseanza total).Estas tasas se han definido como el
cociente entre el nmero de parados de un
grupo de edad dado y la poblacin activa total.
d) El PIB pc.rr personu (en abreviatura R^ ).
lgual que para los gastos pblicos de educacin, expresado tambin
en dlares USA a
precio y tasa de cambio de 1975.
2.2 OPERACIONES PREVIAS AL AN^1LIStS DE CO RRESPC^NDENClAS
Como ya se indic, el anlisis de carrespondencias necesita la
transformacin de la
tabla de datos iniciales en una tabia de contingencia que hay
que construir. Esta
21 Por razones prcticas, los datos monetarios han sido
expresados en dlares USA de 197S.22 La tasa de quince a diecinueve
aos deberia confrontarse, tericamente, a la tasa de escola-
rizacin de la enseanza media, pero como la educacin primaria es
obligatoria, no hay inconve-niente en compararla con la tasa de
escolarizacin en la enseanza primaria-media.
-
A^t'EC"i^OS "TEORIC'C)S Y IaNA AN1_ICACION NRAC'. DEI.
ANAI..ISIS F-At"i'ORIAI_ DE: C't)RR^SF^)l^^ 4S
subseccin tiene por objeto el detallar su elabc^racin y el
precisar las nomenclaturasutilizadas en los an^lisis.
2.2.1 Lcr cvnstrriccic^n c1c^ !us tublus cle cc^nttnKE^nciu
El anlisis de correspondencias exige que todos los datos
iratados posean las
cualidades de homogeneidad y de exhaustividad; o, dicho de atro
modo, que toda.s las
magnitudes deben ser cantidades de la misma naturaleza, y que
los conjuntos puestos
en correspondencia deben representar el inventario completo de
toda el domi nio en
estudio.
As, para respetar el principio de homogeneidad, las variables
originales han sido
transformadas en variables ficticias. Para poner un ejemplo,
consideremos el caso del
PIB por persona, ste vara para e1 conjunto de pases considerados
de 1.314 a 7.K24
dlares USA 2^, en el ao 1970.
Teniendo en cuenta la dispersin de este indicador, se han
construido tres variables
ficticias para cada pas:
-- una para el caso en el que el PI B por persona del pas es
pequeo {i nferior a
4.000 dlares USA);
- otra, cuando el PIB por persona es mediano (comprendido entre
4.000 y 6.000
dlares USA);
- una ltima, cuando el PIB por persona es elevado (superior a
6.000 dlares
USA).
De esta manera, como todas las variables se han descompuesto en
tres variables
ficticias, la tabla inicial de 10 filas (que representan los
pases o los individuos) y 16
columnas (que representan los indicadores de los sistemas
educativos y econmicos) se
ha reemplazado por una matriz de contingencia de 10 filas y 48
columnas.
Los intervalos utilizados para efectuar esta transformacin de
los datos se han
basado generalmente en que las observaciones se distribuyeran
equiproporcionalmente
alrededor de la media de cada variable. Adems, estos intervalos
nunca van a estar
vacos.
A pesar de todas estas precauciones, tal clasificacin de los
datos comporta siempre
a priori cierta parte de arbitrariedad; por eso, a fin de
verificar su pertinencia, los
mismos anlisis de correspondencias se han efectuado utilizando
variables ficticias para
cuatro modalidades y no slo para tres 24.
2^ Se trata de dlares USA a precio y tasa de cambio de
1975,24
La de^nicin exacta de la construccin de las variables en 3 y 4
modalidades se da en elAnexo I11.
-
4fi F^TADISTiC'A FSF'A!V()[_,A
2.2.? Lus uhr^ ^iclturus irtili; udu^
Los paises o inciividuos se representan en los planos
factoriales, segn las siguientes
abreviaturas:
Canadd = C AN A
Finlandia = FINL
Fra.neia = FRAN
Alemania = GERM
J ap+c^n = J A PA
Holanda -- NETH
- Portugal = PQRT
Espaa = SPAI
Suecia = SWED
Estados Unidos = UNST
En cuanto a las variables se represenian por las abreviaturas ya
mencionadas en la
seccin anterior 2^ completadas por tres ndices: i, j, k, que
indican, respectivamente, el
nivel de enseanza (o la clase de edad a que se re#iere ese
nivel), ef valor que toma la
variable eonsiderada y el ao de observacin del fenmeno.
EI ndice i es igual a l cuar^do se trata de la enseanza
primaria-media (o de la clase
de edad de quince a diecinueve aos), a 2 si se trata de la
enseanza superior (o de la
ctase de edad de veinte a veinticuatro aos) y a 3 en el caso del
conjunto de todos los
niveles (o cuando se trata de la c.lase de edad de quince a
veinticuatro aos) 26.
En el caso de la descomposicin en tres modalidades, el ndice j
toma los valores 1,
2 y 3, que corresponden, respectivamente, a un valor pequeo de
la variable conside-
rada, a un valor medio y a un valor grande de la variable
2'.
EI ndice k, que representa el ao de observacin, vale 0 en
nuestro caso, ya que
corresponde al ao 19^0, que es el ao para el que vamos a
realizar el an^.lisis.
25 Recordemo ^^ae S designa las tasas brutas de escolarizacin, D
las relaciones de dependen-cia a la poblaci. ,tiva, R!os gastos
pblicos educativos por alumno, P la parte del PIB asignadaa!a
enseanza, T las tasas de paro por grupos de edad y R, el PI B por
persona.
^b En el caso de los gastos pblicos por alumno (R), el ndice i
vara de 2 a 4 segn se trate de
la enseanza primaria-mPd^a (2), de la enseanza superior (3) o
del total de los niveles de educa-
cin (4 .Z' En el caso de la descomposicin en cuatro intervalos,
j toma los valores l, 2, 3 y 4; el valor
de cada variable as construida crece con el valor del ndice
j.
-
ASI'ECTO^i T'EORICi)S Y I^NA At'L.ICACK)P^! NRAC. DEt. ANAt_ISI^
F,ACT`ORIAI. Dt=: C()RRESI-'()N. a7
Con esta notacin tenemos, por ejemplo, que la variahle 5,,,,
designa, para el a^
1970, una tasa bruta de escolarizacin en la enseanza superior
cie un valor medic^ `x.
As, iodas las variables construidas son localizables con e^te
cdigu de tres ind ices,
excepto el P1B por persona, que se designa por Ft,,^k ^y.
2.3 LS RESULTADOS DE LOS ANLISlS
EI comportamiento diferenciado de los pases en materia de
enseanza pblica es
aprehendido, de forma transversal, rnediante la aplicacicn del
anlisis de corresponden-
cias para este ao.
Se examina as la matriz de datos definida en 1y70, para extraer
de ella la situacin
de los sistemas educativos de los pases, en relacin a la
amplitud de su desarrollo
econmico.
EI grfico 1 reproduce el primer plano factorial del anlisis que
relaciona los l0
pases considerados y las 33 variables educativas y ecnomicas
relativas a los niveles de
enseanza de primaria-media y superior 30. La tabla l muestra las
ayudas de interpreta-
cin referentes a las observaciones y variables que tiguran en
este primer plana facto-
rial.
E1 eje horizontal de! grfico 1 corresponde al primer factor ( F,
) y ex pl ica el 35 por
100 de la variacin de la nube de puntos; el eje vertical
corresponde al segunda factor
( Fz) y explica el 23 por 100 del fenmeno 31. Los puntos del
gr^co son el resultado de
tomar las coordenadas cie las 33 variables y de los l0 pases
sobre ei primero y segundo
factores .
Con el tin de dar un significado lo ms coherente posible de los
factores, hemos
seleccionado las proyecc:ones de los puntos (observaciones y
variables) ms significati-
vas sobre el plano factorial. Esta eleccin se ha efectado a
partir de las ayudas de
interpretacin (tabla 1) en funcin de varios criterios:
2" En el Anexo [ 1[, el lector podr verificar que, para ia
descomposic in en 3 inte rvalos, esta
tasa est comprendida entre 10 y 23 por 100.24 E1 ndice ^, que
representa habitualmente el nivel de enseanza, toma el valor 1 en
el caso
del PIB por pers^na R,,ya que esta variable es naturalmente
independiente del nivel educativc).
^0 Estas 33 variables corresponden a fa descomposicin de las
variables iniciales en tres inter-
valos.;' El primer plano factorial toma as e^ cuenta el SK por
100 de la variancia cie fa nube de
puntos (cf, tabla 1 >.
-
ESTADtSTiCA E5PAIVOLA
^ ^o -
-
ASNFC.'"TOS ^TEORIC't)S Y t!NA AI'I.ICACION F'R,4C. DE[.
A^NAI_ISIS t-AC'Tl)RIAI- [)h: C(>RFtF.S[^)N 49
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-
ASF'HC:'1'OS TEORlt'OS Y ll NA ANLICAC ION NRAC. DE l. ANAI_ISI^
t AC:`T'ORIAI_ I)t^: C'(}RR^SI-'ON. St
-- Por una parte, pard pc)ner de relieve las oposicianes sobre
el factc^r en estudio,
hemos retenidu los puntos de cc^c^rdenadas extremas, positi^^as
o negativas.
-- Por otra parte, hemos seleccionado entre estos puntos
aquellos que presentan
una gran contribucin absoluta (CTR) 32; sin omitir las
contribuciones relativas
(COR), para as ver si el eje en cuestin explica una parte
importante de una
variable o de una observacin, o si esta variable u observacin es
mejor expli-
cada por otro factor.
a) Br^syueciu clel sikn,^icuclu c1P! primPr fuct^r
Entre las variables que tienen contribuciones ahsolutas y
relativas elevddas, se nota
una oposicin clara entre las que representan, en arnbos niveles
educativos, pegueos y
grandes valores de las tasas brutas de escolariz.acin, de las
relaciones de dependencia
de la poblacin escolar a la activa, de las tasas de paro por
edad, de los gastos
educativos por alumno 33 y del P1B por persona.
Por otra parte, el grfico 1 muesira un movimiento casi unitorme
de las variables
que va del tercer cuadrante al segundo y despus al cuarto; la
que traduce las valores
peyueos, medianos y grandes tamados sucesivamente pur ellas. Sin
embargo, ciertas
variables evolucionan de forma algo diferente, como por ejemplo,
la parte del PIB
dedicada a las gastos pblicos de educacin de ambos niveles
educativos, o los gastos
pblicos de enseanza por alumnos del nivel superior. Estas
variables explicarn el
segundo factor.
A partir cie estas indicaciones, hemos padido interpretar el
primer factor como el eje
de clesc^rrollc^ ciP I^^s sistemus educuti ws , entendiendo este
desarrollo en un se ntidopuramente cuantitativo (constatacto a
partir de variables tales cumu las tasas brutas de
escalarizacin o los gastos de enseanza por alumno), puesto q^e
no dispanern^s de
indicadores que hagan referencia a la calidad de los servicios
educativc^s. Sobre este eje
se encuentran agrupados, a la izquierda, los valures dbiles de
las variables cie enseanza
y, a medida que se va a la derecha, hallamas los fuertes.
Esta interpretacin se confirma por las proyecciune4 de las
observacianes, ya yue se
distingue igualmente una neta oposicin entre, a la iZquierda,
los pases cuyos sistemas
educativos estn poco desarrollados, como Portugal y Espaa, y a
la derecha, aquellos
;2 Es decir, los que explican bien et eje.33 para el nivel de
enseanza superior, la oposicin de esta variable se da entre
valor^es peyueos y
medianos.
-
5? i:ti^r,A[.^ISTi('A ^SI',4[VOl_.A
cuyc^s tiistemas de en3eanza e^;t^iln muy detiarrc^llacic^s,
cumo Estadus Unicios y C^i-
nadd ;^ .
h) Bt,syttE^clct cfE^! si^,^nrtlcctcfca cl^^l st^^^^tnrltt
,juctctr
Mediante similares razonamientos, 1^emos deducido la
interpretacin del segundo
factur camo el representante del es^tter
-
ASI'ECTOs T'F:ORIC^)S Y lll^fA Ak'LICACI{)N F'RAC. t^F.l.
ANAI_1SIS F-At`TnRIAI_ C^E C"ORRF.SI^C)N. 5^
s puede interpretarse la proximidad entre dos puntos de una
mismd nube. Por ejemplo,
el hecho de que Canad est cerca de Estados [Jnidos indica que
ambos pases tienen
comportamientos similares y que sus sistemas educdtivos y
econmicos estn r^elativa-
mente prximos; lo mismo puede decirse de ^=rancia y f=inlandia.
[^e igual forma, la
proximidad de dos variables indica que todos los pases tienen un
comportamient^
similar respecto a ellas. Los puntos situados cerca del centro
de gravedaci corresponden
al perfii medio.
Las indicaciones anteriores nos permiten formar una tipologa de
paises en tres
grandes categorias:
En el extremo izquierdo del grfico se encuentran agrupados los
pases cuyos
sistemas educativos estn poco desarrollados y en los cuales, la
relacin entre los
est^uerzos realizados en favor de la enseanza primaria-media y
la enseanza
superior, es relativamente dbil respecto a la media de los
pases. Este primer
grupo est constituido por Espaa, Portugal, Japn y Alemania.
En el extremo derec ho del grtico se encuentran Canad, Estados
Unidos y
Suecia, que presentan e sistema eciucativo (sobre todo en el
nivel de enseanza
superior) ms desarrollado de todos y que realizan, al mismo
tiempo, un esfuerzo
relativamente dbil por la enseanza primaria-media comparado con
el que dedi-
can a la superior.
Enire ambos grupos de la tipologia se hallan: Finlandia, Frdncia
y Holanda.
Estos pases se enc uentran en una situacin intermedia de
desarrcallo de sus
sistemas educativos, y realizan un esfuerzo importante por la
educacin
primaria-media comparado con el que dedican a la superior
;`^.
CNCLU510N ES
EI anlisis de correspondencias efectuado ha permitido aportar
una nueva visin del
movimiento de diferenciacin de los pases en cuanto a su sistema
de cnseanza,
poniendo, asimismo, de manifiesto las interacciones existentes
entre sus sistemas edu-
cativo y econmico.
Aunc^ue la interpretacin de los factores no ha resultndo ser una
tarea fcil, comu
poda preverse, el significado que hemos encontrado para los dos
primeros ejes factoria-les son:
;^ Estas afirmaciones quedarn cuntirmadas ms adelanie, cuando se
estudien separadamente
los dos niveles educativos.
-
E^TADfS^fICA ES}'A{)!_A
EI estado de desarrollc^ del sistema educativa (ciesarr^llo
considerado slo en
trminos cuantitativos>.
2. El esfuerzo realizddo pur la enseanza primaria-media, en
cc7mparacicin al dedi-
cdcio a la educacin superior.
Una constataci+n impcartante, referente a este segundo factor,
es que el esfuerzo que
ios paises realizan por ia educacin no es uniforme, segn el
nivel de enseanza; sino
que, por el contrario, un pequeo esfuerzo por la educacicn
primaria-media va gene-
ralmente asociado a un esfuerzo importante en el nivel de
enseanza superior. Esta
caracterstica, que es de hecho el origen de los sistemas
educativos desequilibrados, nos
hizo matizar la interpretacin ciel segundo eje factorial en la
forma que hemos indicacio
m^^ arriba.
En funcin de estos dos factores principales hemos podido
establecer una tipologa
de paises, formdda por ires grandes grupos; cada uno de ellos
compuesto por pases
que se caracterizan por estructuras similares de sus sistemas
educativcs y de sus
diversos determinantes.
-
A^I'ECTO5 TEt)KICY^S Y UNA ANLICAClt)N 1'RAC. UE1. ANAI_1SIS t
ACTORiAI, C)F^ (:'ORRES!'ON. SS
ANEXC) I
Tabla 1
EVOLUCION DE LAS VARIABLES QUE RELAClONAN EL SISTEMA EDUCAT1ti'O
Y EC_ECONOMICO POR NIVEL DE ENSEANZA Y POR PAISES (19701
Vuria/esPares Cana- Finlan- F`ran- Alema- Ja- Ncrlan- Portu-
Espa- Sue- Estados
dci dia cia nia ^n da ga! a c a Unidos
ENSEANZA PRl M.-MEDlA PUBLICA
Tasa bruta de escolariza-cin ................... 0,991 0,915
0,769 0,746 O,K7S 0,88^ O,03 0,49C 0,929 0,974
Relacin de dependencia ala poblacin activa ...,.. O,3 l(i,405
0,359 0,319 0,330 O,S 19 0,344 0,266 0,30fi O,S07
Gastos pblicos Ror alumno{en dlare s U SA 1975 ).. 1. 243 1.017
1.020 798 b47 1.1 S 3 71 190 1.95 2 l. 334
Porceniaje del Pl B asignadoa la enseanza .......... 5,18 4,1 K
2,82 1,80 2.80 4,O1 U,74 0,84 3,72 4,27
Tasa de paro de l5 a l9 a^s 13,9 4,2 S,7 0,3 2,0 3,4 3,2 3,3 4,3
14,5
hNSEIVANZA SUPER[ORPUBLICA
Tasa bruta de escolarizacicn U,246 0,16l^ 0,1^2 0,131 0,036 O,
IS3 0,0S5 U,114 0,235 0,319Relac in de dependenc ia a
la poblacin activa ... ... O,U56 0,034 U,U3b 0,019 0,007 0,037
0,014 0,022 0,039 O,U67Gastos pblcos por alumno
{en dlares U SA 1975) .. 4.374 1.103 1.460 3.512 4.837 4.141 333
701 3.699 3.758Porcentaje del Pl B asignado
a la enseanza .......... 1,62 0,38 0,41 0,-18 4,48 1,04 0, l4
0,2 0,89 1,60Tasa de paro de 20 a 24 aos 7,5 2,3 3,0 0,4 2,0 2,^
1,3 1,4 2,2 7,0
ENSEANZA PUBLICATO TA L
Tasa bruta de escolarizacin 0,719 0,577 0,625 0,507 O,SOS O,b89
0,346 U,355 O,08 0,675Relacin de dependencia a
la poblacin activa ...... 0,727 0,453 0,492 0,35 l 0,34b 0,676
0,358 0,316 0,377 0,610Gastos pblicos por alumno
(Pn dlares USA 19?S) .. 1.465 1.012 9SS 1.024 760 1.302 144 224
2.530 1.527Porcentaje del PI B asignado
a la enseanza .......... 7,03 4,64 3,63 2,54 3,45 S,9U 1,25 1,17
5,93 5,87Tasa de paro de 1 S a 24 aos 0,0 3,1 3,1 0,4 2,0 2,9 2,2
^,4 2,9 9,9Pl B por persona (en dlares
USA 1975) . ............ 6.028 4.709 5.474 b.257 3.799 5.440
1.314 2.333 7.8^4 6.644
-
^b ESTADISZ'ICa ^s^ar^ot_a
ANEXC) !t
Tabla 1
PURCENTAJES QL.1E REPRESENTAN l_A ENSEANZA PUBLICA EN LA
ENSEAN"1_ATTAL FOR NiVEI. EDUCAT1Vt^ Y P'OR PAIS (1970)
Pafsts
Ausirdlia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Austria ..
. ... . . . . . . .. . . . . . . . . . .Blgica . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .Canad ........................Dinamarca
.....................Finlandia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .Francia ........................Alemania . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .Grecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .lslandia ........................Irlanda
........................Italia ... .. . .. . . .. .... . . . . . .
. . . .Japn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.Luxemburgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Holanda . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .Nueva Zxlanda . . . . . . . . .
. . . . . . . .Noruega .......................Portugal . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .Espaa
........................Suecia .........................Suiza
..........................Turqua .......................Inglaterra
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Estados Unidos ...... ..
.... ....Yugoslavia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
^ de la Enseanza^b de la Enseanza
% de !u EnseanzaFrirn.-Med. pblca en pb/ica en la
Superior plrca tne! tota! de ta Ens. Ensean^a t^tot
el total de la`Prirtt . - Alyd ia ^^rEnaeanza Superr
77,9 7b,9 98,492,5 84,9 9b,45,7 43,3 40,797,6 97.7 100,0.... .
.
...
. . ..... , .
82,4 83,9 96,59,7 96,6 96,18,7 Sfi,9 92,8...
96,5...
96,3...
93,990,5 KO, 99,992,0 8l ,S 23,2. . , . . . . . .
100,0 100,0 100,088,7 83,4 100,099,3 97,0 90,586,7 K6,0 93,960,4
59,0 79,7100,0 100,0 100,0,..98,9
...,..
...
..., . . 94,r^ . . .89,4 R5,9 73,2
100,0 100,0
-
Atil'ECT^()S TEC)RIC()5 Y UNA Al^L_ICAC!()ltit NRAC. D^.L
ANA(..ISIS t-AC^t()RIA1. UE C()RRESf'()N. 57
ANEXO I1 i
Tabla 1
TRANSr~ORMACION DE LAS VARIABLES DE BASE EN 3 Y 4 1NTERVALOS
Vuric^6les
Pases 3 intervalos 4 intervulos
Enseanza prirn.-med. pblicu
Tasa bruta de esco-larizacin , . . . . . . . < C,700
Relacin de depen-dencia a la pobla-cn activa . . . . . . .<
0,350
Gastos pblicos poralumno {en dlaresU SA de 1975 }....<
700
Pc^rcentaje del PI Basignado a la ense-anza . . . . . . . . . .
. .< 2,70
Tasa de paro de 1 Sa 19 aos . . . . . . . . < 4,0
Ensecrnza superinrpblicu
Tasa bruta de esco-larizacin . . . . . . . . < 0,100
Relacin de depen-denc ia a la pobla-cin activa . . . . . . .
< 0,020
^iastos phlicos poralumno (en dlaresU SA de 1975 )....< 1.
500
Porcentaje del P1 Basignado a la ense-anza . . . . . . . . . . .
< 0,4
Tasa de paro de 20a 24 aos . . . . . . . . < 2,9
EnseUnzu phlicatotal
Tasa bruta de esc^^-larizac in . . . . . . . . { 0,450
Relacin de depen-denc ia a la pobia-cin activa . . . . . . .
< 0,400
Gastos pblicos poralumno^ (en dla-res U SA de 1975) < 800
Porcentaje del PIBasignado a la ense-anza . . . . . . . . . . .
. < 3,0
Tasa de paro de 15a 24 aos . . . . . . . . < 3,0
P1B p. pers. (en d-lares U SA de 1975 )< 4.000
/! /!I I !/ I!1 1 V
0,700-0,900 > 0,900 0.700 0,700-0,800 0,^00-0,900 >
0,900
0,350-0,450 > 0,450 < 0, 30^Q 0, 300-0, 40!0 0, 400-O,S00
> 0,500
^00-1. 2011 > 1. 200 < 700 700- l.000 1. 000-1. 300 >
1. 300
2,70-4,0 > 4,0 2,0 2,0-3,0 3,0-4,0 > 4,0
4,0-10,0 > i0,0 4,0 4,0-7,0 7,0- i 3,5 > 13,5
0,100-0,230 > 0,230 < O,OKO U,080-0,160 0,160-0,230 >
0,230
0,020-0,040 > 0,040 < 0,020 0,020-U,OSS 0,035-0,045 >
0,045
1. 500-4. 000 > 4.000 1.000 1.000-2.500 2.5(10-4.000 >
4.000
0,4-1,0 > 1,0 0,3 0,3-0,5 O,S-1,0 > l ,0
2,0-5,8 > 5,8 2,7 2,7-4,0 4,0-5,9 > S ,9
0,450-0,650 > O,b50 < 0,450 0,450-0,574 0,574-0,660 >
0,660
0,400-0,600 > O,UO 0,375 0,37S-U,S00 0,500-0,650 >
0,650
^00-1.300 > 1. 300 < H00 800-1.200 1. 200-1.500 > 1.
S00
3,0-5,0 > S,0 3,0 3,0-4,0 4,0-5,5 > 5,5
3,0-b,S > b,5 2,5 2,5--^,0 4,0-9,1 > 9,1
4.000-6.000 > 6.000 2. S00 2.500-5 . 0(XJ S .000-.500 > 6.
500
-
SK ^s^'ADISTICA ESPA()l..A
Bl^8L.1C)GRAF[A
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VOLLE, M.: Analyse des donnes^. ^cc^nnrrricu, 1978.
SU MMARY
The analysis of correspondence, develuped by Benzecri, comes
within
the frame of descriptive multidimentional statistics. Based,
like the analy-
sis of principal companents, on the principles of classic
factorial analysis
founded by Spearman and Thurstone, it has as its airn the
extraction of the
main factors from a large group of data which are difticult to
perceive imme-
diatety and at the same time avoiding the formulation af any
causal model
which would condition the interpretation of the results.
Hawever, the analysis of correspandence is distinct from the
method of
principa! components due to the fact that the conversion fo
brute data into
relative frequencies permits af the treatment in general of
information of a
qualitative nature at the same time quantitative expressed in
units of diffe-
rent sizes. ln a more precise way, the analysis of co:
respondence sums up
the information contained in a table of cantingencies referring
to two groups
of large sizes and taking into account the probabilistic
character of the data
to rernedy their l^eterogenity.
After transforming the elements c^f the table, the analysis of
correspon-
dence gives a perfectly clear vision of two clusters af points
when this is
projected on to a sub-space of small dimensions ( usually two)
in such way as
to maintain an important part of the information it initially
constituted. So,
it deals with giving a coherent meaning ta the axles on which
the points have
been projected and taking advantage uf the certain help in
interpretation
which the method provides.
-
AS^^ECTOS T^;nRICOS Y UNA AF'LICACInN F'RAC. UEl_ ANAL_tSIS
FACTORIAI_ DE CORRESF'ON_ 4y
The aim of this article is to present the theoreticat principles
of the
analysis of correspondence and give an example of its
application whieh
makes reference to the interactian which takes place between the
education
and econ^mic systems af a certain number the O ECD's countries
in 1970.
Key words: Factorial analysis of correspandence. Application of
the method
to inte^actian studies. Edu:ation-economic systems in the O
ECD'scountries.
AMS, 1970. Subject classi^cation: b2 H 2S.