Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1 1 1 Corrente e Densidade de corrente elétrica. Começamos agora a estudar o movimento de cargas elétricas. Exemplo de corrente elétrica: as pequenas correntes nervosas que regulam nossas atividades musculares, correntes nas casas, como a que passa pelo bulbo de uma lâmpada, em um tubo evacuado de TV, fluem elétrons. Partículas carregadas de ambos os sinais fluem nos gases ionizados de lâmpadas fluorescentes, nas baterias de rádios transistores e nas baterias de automóveis. Correntes elétricas atravessam as baterias de calculadoras e em chips de aparelhos elétricos (Microcomputadores, forno de microondas, etc.). Em escalas globais, partículas carregadas são presas nos cinturões de radiação de Van Allen existentes na atmosfera entre os pólos norte e sul. Em termos do sistema planetário, enormes correntes de prótons, elétrons e íons voam na direção oposta do Sol, conhecido como vento solar. Em escala galáctica, raios cósmicos, que são prótons altamente energéticos, fluem através da Via-Láctea. Como a corrente consiste num movimento de cargas, nem todo movimento de carga constitui uma corrente elétrica. Referimos a uma corrente elétrica passando através de uma superfície, quando cargas fluem através dessa superfície. Exemplifiquemos dois exemplos: 1) Os elétrons de condução de um fio de cobre isolado estão em movimento randômico a uma velocidade da ordem de 10 6 m s . Se passarmos um hipotético plano através do fio, os elétrons de condução passam através dele em ambas as direções, a razão de alguns bilhões por segundo. Então não há um transporte de carga e conseqüentemente não há corrente. Porém se conectar as extremidades do fio em uma bateria, o movimento das cargas se dará em uma direção, havendo assim corrente elétrica. 2) O fluxo de água através de uma mangueira de jardim representam a direção do fluxo das cargas positivas, (os prótons na molécula de água) a razão de alguns milhões de Coulomb por segundo. Não há transporte de cargas, pois há um movimento paralelo de cargas elétricas negativas (elétrons na molécula de água) de exata quantidade na mesma direção. Definição de Corrente Elétrica: Imagine um fio condutor isolado, em forma de curva, como ilustrado abaixo. Não há campo elétrico aplicado ao fio, conseqüentemente não há força elétrica atuando nos elétrons de condução. Se inserimos uma bateria, conectada às extremidades do fio, estabelecemos um campo elétrico no interior do fio, exercendo força sobre os elétrons de condução, estabelecendo assim uma corrente elétrica. Figura 1 – Sentido convencional da corrente elétrica num circuito elétrico. O sentido real é o oposto, o do movimento dos elétrons. i q t i dq dt ; Sobre condições de regime estacionário, a corrente elétrica é a mesma em um fio condutor, analisando diferentes seções transversais do fio. Isto garante que a carga é conservada . A unidade do SI para corrente elétrica é o Coulomb por segundo ou Ampére (A): 1 1 1 A C s A direção da corrente elétrica: Na figura acima demos a direção da corrente elétrica como sendo o movimento de cargas positivas, repelidas pelo terminal positivo da bateria elétrica e atraídas pelo seu terminal negativo. Este é o sentido convencional histórico; o sentido real é o do movimento das partículas negativas (elétrons), que é contrário ao sentido convencional. Densidade de corrente elétrica – J Na teoria de campos, estamos interessados em eventos que ocorrem em um ponto e não em uma região extensa. Então, devemos conceituar a densidade de corrente J , medida em ampéres por metro quadrado (A/m 2 ). O incremento de corrente ΔI que atravessa uma superfície incremental ΔS, normal à densidade de corrente é: S J I N S J I S S d J I A densidade de corrente pode ser comparada à velocidade de uma densidade de carga volumétrica: t x S t V t Q I v v v x I Sv Como v x representa a componente da velocidade v, teremos:
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Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1
1
1
Corrente e Densidade de corrente
elétrica.
Começamos agora a estudar o movimento de
cargas elétricas. Exemplo de corrente elétrica: as pequenas
correntes nervosas que regulam nossas atividades
musculares, correntes nas casas, como a que passa pelo
bulbo de uma lâmpada, em um tubo evacuado de TV,
fluem elétrons. Partículas carregadas de ambos os sinais
fluem nos gases ionizados de lâmpadas fluorescentes, nas
baterias de rádios transistores e nas baterias de automóveis.
Correntes elétricas atravessam as baterias de calculadoras e
em chips de aparelhos elétricos (Microcomputadores, forno
de microondas, etc.).
Em escalas globais, partículas carregadas são
presas nos cinturões de radiação de Van Allen existentes na
atmosfera entre os pólos norte e sul. Em termos do sistema
planetário, enormes correntes de prótons, elétrons e íons
voam na direção oposta do Sol, conhecido como vento
solar. Em escala galáctica, raios cósmicos, que são prótons
altamente energéticos, fluem através da Via-Láctea.
Como a corrente consiste num movimento de
cargas, nem todo movimento de carga constitui uma
corrente elétrica. Referimos a uma corrente elétrica
passando através de uma superfície, quando cargas fluem
através dessa superfície. Exemplifiquemos dois exemplos:
1) Os elétrons de condução de um fio de cobre
isolado estão em movimento randômico a uma velocidade
da ordem de 106 ms
. Se passarmos um hipotético plano
através do fio, os elétrons de condução passam através dele
em ambas as direções, a razão de alguns bilhões por
segundo. Então não há um transporte de carga e
conseqüentemente não há corrente. Porém se conectar as
extremidades do fio em uma bateria, o movimento das
cargas se dará em uma direção, havendo assim corrente
elétrica.
2) O fluxo de água através de uma mangueira de
jardim representam a direção do fluxo das cargas positivas,
(os prótons na molécula de água) a razão de alguns milhões
de Coulomb por segundo. Não há transporte de cargas, pois
há um movimento paralelo de cargas elétricas negativas
(elétrons na molécula de água) de exata quantidade na
mesma direção.
Definição de Corrente Elétrica:
Imagine um fio condutor isolado, em forma de
curva, como ilustrado abaixo. Não há campo elétrico
aplicado ao fio, conseqüentemente não há força elétrica
atuando nos elétrons de condução. Se inserimos uma
bateria, conectada às extremidades do fio, estabelecemos
um campo elétrico no interior do fio, exercendo força sobre
os elétrons de condução, estabelecendo assim uma corrente
elétrica.
Figura 1 – Sentido convencional da corrente elétrica
num circuito elétrico. O sentido real é o oposto, o do movimento dos elétrons.
iq
ti
dq
dt;
Sobre condições de regime estacionário, a
corrente elétrica é a mesma em um fio condutor,
analisando diferentes seções transversais do fio. Isto
garante que a carga é conservada. A unidade do SI
para corrente elétrica é o Coulomb por segundo ou
Ampére (A):
1 11
A Cs
A direção da corrente elétrica: Na figura
acima demos a direção da corrente elétrica como
sendo o movimento de cargas positivas, repelidas
pelo terminal positivo da bateria elétrica e atraídas
pelo seu terminal negativo. Este é o sentido
convencional histórico; o sentido real é o do
movimento das partículas negativas (elétrons), que é
contrário ao sentido convencional.
Densidade de corrente elétrica – J
Na teoria de campos, estamos interessados
em eventos que ocorrem em um ponto e não em uma
região extensa. Então, devemos conceituar a
densidade de corrente J , medida em ampéres por
metro quadrado (A/m2).
O incremento de corrente ΔI que atravessa
uma superfície incremental ΔS, normal à densidade
de corrente é:
SJI N
SJI
S
SdJI
A densidade de corrente pode ser comparada
à velocidade de uma densidade de carga volumétrica:
t
xS
t
V
t
QI v
v
v xI S v
Como vx representa a componente da
velocidade v, teremos:
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 2
2
2
xvx vJ
Generalizando, teremos:
vJ v
Observe que a carga em movimento constitui a
corrente, que também chamamos de J como densidade de
corrente de convecção.
Figura 2 – Ilustração do movimento dos portadores de carga positivo (sentido convencional (a)) e sentido real (b). Observe que J e E
possuem o mesmo sentido.
Assim, algumas vezes estamos interessados na
corrente i de um determinado condutor. Outras vezes
necessitamos determinar o movimento localizado de cargas
em algum ponto do condutor. Uma carga positiva
movimenta-se na direção do campo elétrico em um dado
ponto do condutor, originando um fluxo. Para descrever
esse fluxo, introduzimos o conceito de densidade de
corrente J, um vetor que possui o mesmo sentido do campo
elétrico.
+-
+
i
vd
E
J
vd
Vemos que as cargas positivas possuem
velocidade na direção do campo elétrico e as cargas
negativas no sentido oposto. Se possuirmos uma corrente
elétrica distribuída uniformemente sobre a seção
transversal de um fio condutor, a densidade de corrente J é
uma constante para todos os pontos deste fio condutor e
vale:
J iA
Aqui, A é a área da seção reta do condutor. A
unidade SI da densidade de corrente J é o ampére por
metro quadrado: Am2 . Para qualquer superfície, a
densidade de corrente se relaciona com a corrente
através da equação:
i J dA .
Aqui o elemento de área dA é perpendicular
ao elemento de superfície de área dA.
Cálculo da velocidade: Os elétrons de
condução em um condutor de cobre possuem um
movimento randômico com velocidade da ordem de
106 ms
. A direção do fluxo ou a velocidade da
correnteza (drift speed) dos elétrons de condução é
muito menor. A velocidade de correnteza da corrente
em um fio de casa, por exemplo, é caracterizada por
uma velocidade da ordem de 10 3 ms . Estimaremos a
velocidade de correnteza de um fio com cargas
móveis. Na figura anterior denotamos esta velocidade
por vd. Assumimos por convenção que o movimento
das cargas é o movimento das cargas (portadores)
positivas. O número de portadores em um
comprimento L de um fio é n A L, onde n é o número
de portadores por unidade de volume e A área da
seção transversal do fio. A carga é dada por: q nAL e( )
Esta carga passa pelo volume V em um
intervalo de tempo dado por:
t Lvd
Substituindo na definição de corrente
elétrica, teremos:
i nAevq
tnALe
dLvd
Resolvendo para vd e usando a definição de
densidade de corrente J teremos:
vdi
nAeJne
Estendendo para a forma vetorial, teremos: J ne vd( )
O produto ne possui unidade no SI de
coulomb por metro cúbico Cm3 . Observe que os
vetores J e v possuem a mesma direção.
Exemplo - O fim de um fio de alumínio com
diâmetro de 2,5 mm está conectado a um fio de cobre
cujo diâmetro é de 1,8 mm. O fio formado carrega
uma corrente estacionária de 1,3 A. Qual a densidade
de corrente em cada fio?
Para isso calculemos a área da seção
transversal dos fios de alumínio e cobre e apliquemos
a definição da densidade de corrente:
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3
3
A d mAl14
2 14
3 2 6 22 5 10 4 9110( , . ) , .
J Ali
AA
mA
cmAl
1 3
4 9110
56 2 22 6 10 26
,
, ., .
A d mCu14
2 14
3 2 6 21 8 10 2 54 10( , . ) , .
JCui
AA
mA
cmCu
1 3
2 54 10
56 2 25 1 10 51
,
, ., .
Exemplo No exemplo anterior, qual a velocidade
de correnteza dos elétrons de condução no fio de cobre?
O número de elétrons por unidade de volume n é o
mesmo que o número de átomo por unidade de volume e é
encontrado por:
nN M
atomos matomos mol
massa mmassa molA
( )//
//
3 3
. Aqui, é
a densidade do cobre e NA o número de avogadro. M é a
massa molar do cobre.
nN
M
moleletrons
mA
kg
m
kgmol
( , . )( , . )
., .
6 02 10 9 010
64 10
2823 1 3
3
3 38 47 10
vdi
nAeJne
ms
cmh
5110
8 4710 1 610
55
28 193 8 10 14
, .
( , . )( , . ), .
Você pode perguntar: "Os elétrons se movem tão
vagarosamente, como a luz se acende logo que
imediatamente que acionamos o interruptor?". Esta
confusão é de não distinguirmos a velocidade da correnteza
dos elétrons e a velocidade a qual muda a configuração do
campo elétrico no fio. Esta velocidade é próxima a da luz.
Similarmente, quando você abre a torneira em uma
mangueira de jardim, se esta contiver água, imediatamente
sairá água na outra extremidade, devido à pressão, porém a
velocidade da correnteza é pequena.
Continuidade de corrente
É importante relacionar o conceito de corrente
com a conservação da carga e a equação da continuidade.
O princípio da conservação da carga informa que as cargas
não podem ser criadas nem destruídas, embora quantidades
iguais de cargas positivas e negativas possam ser
simultaneamente criadas (por separação), perdidas ou
destruídas (pela recombinação).
A equação da continuidade segue este princípio
quando consideramos qualquer região limitada por uma
superfície fechada. A corrente através dessa superfície
fechada é:
S
SdJI
Este fluxo para fora das cargas positivas e
negativas pode ser equilibrado pela diminuição das cargas
positivas (ou talvez, um aumento das cargas negativas)
dentro da superfície fechada. Se a carga dentro da
superfície fechada é representada por Qi, então a taxa
de decaimento é dQi/dt e o princípio da conservação
de cargas requer que:
dt
dQSdJI i
S
O sinal negativo indica que a corrente está
fluindo para fora. Aplicando o Teorema de Gauss:
dVJSdJVS
Como:
dVt
dVtt
Q
v
v
v
vi
Comparando as relações, teremos:
dVt
dVJV
v
V
Então:
tJ v
Recordando a interpretação física da
divergência, esta equação indica que a corrente, ou
variação de carga com o tempo, que diverge de um
pequeno volume por unidade de volume, é igual à
taxa de diminuição de carga por unidade de volume
em cada ponto.
Condutores
Os físicos hoje descrevem o comportamento
dos elétrons ao redor do núcleo atômico positivo em
termos da energia total do elétron em relação ao nível
zero de referência para um elétron a uma distância
infinita do núcleo. A energia total é dada pela soma
das energias cinética e potencial, e como energia deve
ser dada ao elétron para que este se afaste do núcleo,
a energia de cada elétron no átomo é uma quantidade
negativa. Embora este modelo possua algumas
limitações, é conveniente associarmos estes valores
de energia com as órbitas ao redor do núcleo; as
energias mais negativas correspondem às órbitas de
menor raio. De acordo com a teoria quântica, somente
certos níveis discretos de energia, ou estados de
energia, são permitidos em um dado átomo, e um
elétron deve, portanto, absorver ou emitir quantidades
discretas de energia, ou quanta, ao passar de um nível
a outro. Um átomo normal na temperatura de zero
absoluto possui um elétron ocupando cada um dos
níveis de energia mais baixos, começando a partir do
núcleo e continuando até que o suprimento de
elétrons se esgote.
Em um sólido cristalino, como um metal ou
um diamante, os átomos estão dispostos muito mais
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próximos, muito mais elétrons estão presentes e muito mais
níveis de energia permissíveis estão disponíveis por causa
das forças de interação entre os átomos. Verificamos que
os níveis de energia que podem ser atribuídos aos elétrons
são agrupados em largas faixas, ou bandas, cada banda
composta de inúmeros níveis discretos extremamente
próximos.
Na temperatura de zero absoluto, o sólido normal
também possui cada nível ocupado, começando com o
menor e continuando até que todos os elétrons estejam
situados. Os elétrons com os maiores (menos negativos)
níveis de energia, os elétrons de valência, estão situados na
banda de valência. Se forem permitidos maiores níveis de
energia na banda de valência, ou se a banda de valência se
une suavemente com a banda de condução, então uma
energia cinética adicional pode ser dada aos elétrons de
valência por um campo externo, resultando em um fluxo de
elétrons. O sólido é chamado um condutor metálico. A
banda de valência preenchida e a banda de condução não
preenchida para um condutor a O K estão esboçadas na
figura 3 (a).
Se, contudo, o elétron com o maior nível de
energia ocupar o nível do topo da banda de valência e
existir uma banda proibida (gap) entre a banda de valência
e a banda de condução, então o elétron não pode receber
energia adicional em pequenas quantidades e o material é
um isolante. Esta estrutura de bandas está indicada na
figura 3 (b). Note que, se uma quantidade de energia
relativamente grande puder ser transferida para o elétron,
ele pode ser suficientemente excitado para saltar a banda
proibida até a próxima banda onde a condução pode
facilmente ocorrer. Aqui o isolante é rompido.
Ocorre uma condição intermediária quando
somente uma pequena região proibida separa as duas
bandas, como ilustrado na figura 3 (c). Pequenas
quantidades de energia na forma de calor, luz ou um campo
elétrico podem aumentar a energia dos elétrons do topo da
banda preenchida e fornecer a base para condução. Estes
materiais são isolantes que dispõem de muitas propriedades
dos condutores e são chamados semicondutores.
Figura 3 – Ilustração das bandas de energia em três diferentes
materiais a oK. (a) O condutor não possui banda proibida entre as bandas
de valência e de condução. (b) O isolante possui uma grande banda
proibida. (c) o semicondutor possui uma pequena banda proibida.
Considerando um condutor, os elétrons livres
se movem pela atuação de um campo elétrico E,
Assim, um elétron de carga –e experimentará uma
força dada por:
F e E
No espaço livre, o elétron aceleraria e
continuamente aumentaria sua velocidade (e energia);
no material cristalino, o progresso do elétron é
impedido pelas colisões contínuas com a rede de
estruturas cristalinas termicamente excitadas e uma
velocidade média constante é logo atingida. Esta
velocidade v, é denominada velocidade de deriva (do
inglês, drift) e é linearmente relacionada com a
intensidade de campo elétrico pela mobilidade do
elétron em um dado material. Designamos mobilidade
pelo símbolo , tal que:
d ev E
onde e é a mobilidade de um elétron e positiva por
definição. Note que a velocidade do elétron está em
uma direção oposta à direção de E. A equação
anterior também mostra que a mobilidade é medida
em unidades de metros quadrados por segundo por
volt; os valores típicos são 0,0012 para o alumínio,
0,0032 para o cobre e 0,0056 para a prata.
Para estes bons condutores, uma velocidade
de deriva de poucas polegadas por segundo é
suficiente para produzir um aumento de temperatura
apreciável e pode causar o derretimento do fio se o
calor não for rapidamente removido por condução
térmica ou radiação.
Podemos obter a relação
EJ ee
onde e é a densidade de carga do elétron livre, um
valor negativo. A densidade de carga total v, é zero,
pois quantidades iguais de cargas positivas e
negativas estão presentes no material neutro. O valor
negativo de e, e o sinal de menos levam a uma
densidade de corrente J que está na mesma direção da
intensidade de campo elétrico E.
Contudo, a relação entre J e E para um condutor
metálico é também especificada pela condutividade
(sigma), onde é medido em siemens por metro
(S/m).
EJ
Um siemens (l S) é a unidade básica de
condutância no SI e é definido como um ampére por
volt. Antigamente, a unidade de condutância era
chamada mho e simbolizada por um invertido.
Assim como o siemens reverencia os irmãos
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Siemens&, a unidade inversa de resistência, que chamamos
de ohm (l Ohm é um volt por ampere), reverencia Georg
Simon Ohm, o físico alemão que primeiro descreveu a
relação tensão-corrente implícita. Chamamos esta equação
deforma pontual da lei de Ohm; em breve veremos uma
forma mais comum da lei de Ohm.
Primeiramente, contudo, é interessante observar a
condutividade de diversos condutores metálicos; os valores
típicos (em siemens por metro) são 3,82.107 para o
alumínio, 5,80.107 para o cobre e 6,17 10
7 para a prata.
Dados de outros condutores podem ser encontrados no
Apêndice C. Ao observarmos valores como estes, é apenas
natural considerarmos que estamos sendo apresentados a
valores constantes; isto é essencialmente verdade. Os
condutores metálicos obedecem à lei de Ohm muito
fielmente, e esta é uma relação linear; a condutividade é
constante sobre largas faixas de densidade de corrente e
intensidade de campo elétrico. A lei de Ohm e os
condutores metálicos são também descritos como
isotrópicos, ou tendo as mesmas propriedades em todas as
direções. Um material não isotrópico é chamado
anisotrópico. Mencionaremos tal material dentro de poucas
páginas.
Entretanto, a condutividade é uma função da temperatura.
A resistividade, que é o inverso da condutividade:
1Re esistividad
varia quase linearmente com a temperatura na região da
temperatura ambiente, e para o alumínio, o cobre e a prata
ela aumenta cerca de 0,4 por cento para um aumento de l K
na temperatura. Para diversos metais, a resistividade cai
abruptamente a zero na temperatura de poucos Kelvin; esta
propriedade é denominada supercondutividade. O cobre e a
prata não são supercondutores, embora o alumínio o seja
(para temperaturas abaixo de 1,14 K).
Se agora combinarmos (7) e (8), a condutividade
podem ser expressa em termos da densidade de carga e da
mobilidade do elétron por:
e e
Pela definição de mobilidade, é agora interessante
notar que uma temperatura mais elevada implica uma
maior vibração da rede cristalina, maior impedimento de
progresso dos elétrons para uma dada intensidade do
campo elétrico, menor velocidade de deriva, menor
mobilidade, menor condutividade, maior resistividade.
Supondo uniformidade no campo, podemos
escrever:
& Este é o nome de família de dois irmãos alemães, KarI Wilhelm e
Wemer von Siemens, famosos inventores do século XIX. Kari se tomou
cidadão britânico e foi nomeado cavaleiro, tomando-se Sir William
Siemens.
Figura 4 – Uniformidade de E e J num condutor.
ba
a
b
a
b
ab lEldEldEV
abab lEV
ElVa b
JSSdJIS
Como
l
V
S
IE
S
IJ ab
I
V
S
l ab
Chamamos de resistência R:
lR
S
R
lR
S
Propriedades dos condutores e
Condições de Fronteira
Mais uma vez, devemos temporariamente nos
afastar das condições estáticas assumidas e variar o
tempo por alguns microssegundos para vermos o que
acontece quando uma distribuição de cargas é
repentinamente desbalanceada dentro de um material
condutor. Suponhamos, para efeito de argumento, que
repentinamente apareça um número de elétrons no
interior de um condutor. Os campos elétricos
estabelecidos por estes elétrons não são anulados por
quaisquer cargas positivas, e os elétrons, portanto,
começam a acelerar para longe um do outro. Isto
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continua até que os elétrons atinjam a superfície do
condutor ou até que um número igual de elétrons seja
injetado na superfície.
Aqui o progresso dos elétrons para fora é interrompido,
já que o material que envolve o condutor é um isolante que
não possui uma banda de condução conveniente. Nenhuma
carga pode permanecer dentro do condutor. Se isto
acontecesse, o campo elétrico resultante forçaria as cargas
para a superfície.
Assim, o resultado final dentro do condutor é uma
densidade de carga zero e uma densidade superficial de
carga que permanece na superfície externa. Esta é uma das
duas características de um bom condutor.
As outras características, estabelecidas para condições
estáticas nas qual nenhuma corrente deve fluir, seguem a
partir da lei de Ohm: a intensidade de campo elétrico
dentro do condutor é igual a zero. Fisicamente, vemos que
se um campo elétrico estivesse presente os elétrons de
condução se deslocariam e produziria uma corrente,
acarretando, assim, uma condição não-estática.
Resumindo para a eletrostática, nenhuma carga e
nenhum campo elétrico podem existir em qualquer ponto
dentro de um material condutor. Entretanto, a carga pode
aparecer na superfície como uma densidade superficial de
carga. Nossa próxima investigação diz respeito aos campos
externos ao condutor.
Desejamos relacionar estes campos externos à carga na
superfície do condutor. Este problema é um problema
simples e podemos tratar de sua solução primeiro com um
pouco de matemática.
Se a intensidade do campo elétrico externo for
decomposta em duas componentes, uma tangencial e outra
normal à superfície do condutor, a componente tangencial
é zero. Se não fosse, uma força tangencial seria aplicada
aos elementos de carga da superfície, resultando no seu
deslocamento e em condições não-estáticas. Como são
consideradas condições estáticas, a intensidade de campo
elétrico e a densidade de fluxo elétrico tangenciais são
zero.
A lei de Gauss responde nossas perguntas que dizem
respeito à componente normal. O fluxo elétrico que deixa
um pequeno incremento de superfície deve ser igual à
carga contida nesta superfície incremental. O fluxo não
pode penetrar no condutor, pois o campo total ali é zero.
Ele deve deixar a superfície normalmente.
Quantitativamente, podemos dizer que a densidade de
fluxo elétrico em coulombs por metro quadrado que deixa
a superfície normalmente é igual à densidade superficial
de carga em coulombs por metro quadrado, ou:
DN = S.
Se utilizarmos alguns dos resultados
anteriormente obtidos para fazermos uma análise mais
cuidadosa (e incidentalmente introduzindo um método
geral que será usado mais tarde), podemos estabelecer a
fronteira condutor-espaço livre mostrando as componentes
tangencial e normal de D e E no lado do espaço livre da
fronteira. Ambos os campos são zero no condutor. O
campo tangencial pode ser determinado aplicando-se:
0ldE
sobre o pequeno caminho fechado
abcda. A integral deve ser dividida em quatro partes.
Desenvolvendo, chegamos as condições de
Fronteira:
Componentes tangenciais:
0tt ED
Componentes Normais:
0N N SD E
Resumindo os princípios que aplicamos aos
condutores em campos eletrostáticos:
1. A intensidade do campo elétrico estático
dentro de um condutor é zero.
2. A intensidade do campo elétrico estático
na superfície de um condutor é, em qualquer ponto,
normal à superfície.
3. A superfície de um condutor é uma
superfície eqüipotencial.
Figura 5 – Um condutor, onde o campo elétrico é nulo em seu interior,e normal em cada ponto de sua superfície.
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Materiais dielétricos
Embora tenhamos mencionado materiais isolantes
e dielétricos, ainda não fornecemos quaisquer relações
quantitativas nas quais eles estão envolvidos. Contudo, em
breve veremos que um dielétrico em um campo elétrico
pode ser visto como um arranjo de dipolos elétricos
microscópicos no espaço livre que são compostos por
cargas positivas e negativas cujos centros não são
coincidentes.
Estas não são cargas livres e não contribuem para o
processo de condução. Ao contrário, elas são ligadas por
forças atômicas e moleculares e podem apenas mudar
ligeiramente de posição em resposta aos campos externos.
Elas são chamadas cargas ligadas, em contraste com as
cargas livres que determinam condutividade. As cargas
ligadas podem ser tratadas como quaisquer outras fontes de
campo eletrostático. Se não desejarmos, portanto, não
precisamos introduzir a constante dielétrica como um novo
parâmetro ou lidar com permissividades diferentes da
permissividade do espaço livre; entretanto, a alternativa
seria considerar cada carga dentro de um pedaço de
material dielétrico. Este é um preço muito alto a ser pago
por usar nossas equações anteriores sem modificá-las, e
devemos, portanto, despender algum tempo estudando a
respeito de dielétricos de maneira qualitativa, introduzindo
a polarização P, a permissividade e a permissividade
relativa R e desenvolvendo algumas relações quantitativas
envolvendo estas novas quantidades.
A característica comum de todos os dielétricos, sejam
eles sólidos, líquidos ou gasosos, em forma cristalina ou
não, é sua capacidade de armazenar energia elétrica. Este
armazenamento faz-se por um deslocamento das posições
relativas das cargas ligadas positivas e negativas internas
contra as forças normais atômicas e moleculares.
Este deslocamento contra a força restauradora é análogo
ao levantamento de um peso ou à compressão de uma mola
e representa a energia potencial. A fonte de energia é o
campo externo, e o movimento das cargas deslocadas
resulta talvez em uma corrente transitória através da bateria
que está produzindo o campo.
O mecanismo atual de deslocamento das cargas difere
em diversos materiais dielétricos. Algumas moléculas,
denominadas moléculas polares, têm um deslocamento
permanente entre os centros de gravidade das cargas
positivas e negativas, e cada par de cargas age com um
dipolo. Normalmente, os dipolos estão orientados de
maneira aleatória no interior do material e a ação do campo
externo alinha estas moléculas, até certo ponto, na mesma
direção. Um campo suficientemente forte pode até produzir
um deslocamento adicional entre as cargas positivas e
negativas.
Uma molécula apolar não possui arranjos de dipolo
mesmo depois que o campo é aplicado. As cargas positivas
e negativas deslocam-se em direções opostas contra sua
atração mútua e produzem um dipolo alinhado com o
campo elétrico.
Figura 6 – Moléculas com um momento de dipolo permanente,
mostrando sua orientação randômica na ausência de campo elétrico
externo (a) e orientando-se na presença deste em (b).
Figura 7 – Em um átomo, os centros da densidade de carga
positiva e negativa coincidem (a). Porém na presença de um campo elétrico externo, não (b). Assim há a presença de um momento de
dipolo induzido.
Figura 8 – Em (a), num dielétrico, os círculos
representam átomos neutros. Em (b), na presença de um campo
elétrico externo E0. A orientação dos dipolos causam um campo
interno no material dielétrico E’ que no seu interior dará um campo
resultante E , soma dos vetores E0 e E’ (c).
Figura 9 – Orientação das moléculas polares (7.1) e
apolares (7,2).
(7.1) (7.2)
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 8
8
8
Definimos como momento de dipolo o valor:
dQp
Aqui, Q é a carga positiva das duas cargas ligadas
compondo o dipolo e d o vetor da carga negativa para a
carga positiva. A unidade é o Coulomb vezes o metro
(C.m).
Definimos a polarização P como sendo o
momento de dipolo por unidade de volume: vn
i
iv
pv
P1
0
1lim
A unidades da polarização P é o coulomb por
metro quadrado (C/m2).
Sendo QT a carga total envolvida por uma
superfície S, como sendo a soma das cargas ligadas (Qb) e
cargas livres Q:
QT = Qb + Q
Onde:
S
b SdPQ
; dVQV
bb
e
S
T SdEQ
0 ; dVQV
TT
Como
SdPEQQQS
bT
0
Onde dVQV
v
Definimos o vetor D, agora, quando um material
polarizável está presente, como:
PED
0
Com o auxílio do teorema da divergência,
teremos:
bP
TE
0
vD
Figura 10 – Cargas ligadas em um dielétrico, devido à
polarização deste em um campo elétrico.
Tabela I – Permissividade relativa e constante dielétrica para alguns materiais.
Material R ’’/’
água (deionizada) 1 0
água (destilada ) 80 0,04
Água (do mar) 4
Âmbar 2,7 0,002
Álcool etílico 25 0,1
Ar 1,0005
Baquelita 4,74 0,022
Borracha 2,5 – 3 0,002
NaCl 5,9 0,0001
CO2 1,001
TiO2 100 0,0015
Esteatite 5,8 0,003
Ferrita (NiZn) 12,4 0,00025
Gelo 4,2 0,05
Ge 16
Madeira (Seca) 1,5 – 4 0,01
Mica 5,4 0,0006
Náylon 3,5 0,02
Neopreno 6,6 0,011
Neve 3,3 0,5
Óxido de Alumínio 8,8 0,0006
Papel 3 0,008
Piranol 4,4 0,0005
Plexiglas 3,45 0,03
Poliestireno 2,56 0,00005
Polietileno 2,26 0,0002
Polipropileno 2,25 0,0003
Porcelana 6 0,014
Quartzo 3,8 0,00075
SiO2 3,8 0,00075
Si 11,8
Styrofoam 1,03 0,0001
Teflon 2,1 0,0003
Terra 2,8 0,05
TiBa 1200 0,013
Vidro 4-7 0,002
Pyrex 4 0,0006
Tabela II – Condutividade para uma série de condutores metálicos.
Material (S/m) Material (S/m)
Ag 6,17.107 Grafite 7.104
Cu 5,80.107 Si 2300
Au 4,10.107 Ferrita 100
Al 3,82.107 H2O (mar) 5
W 1,82.107 Calcário 10-2
Zi 1,67.107 Argila 5.10-3
Latão 1,5.107 H2O 10-3
Ni 1,45.107 H2O(dest.) 10-4
Fe 1,03.107 Terra (areia) 10-5
Bronze 1.107 Granito 10-6
Solda 0,7.107 Mármore 10-8
Aço carbono 0,6.107 Baquelita 10-9
Prata Germânica 0,3.107 Porcelana 10-10
Mn 0,227.107 Diamante 2.10-13
Constantan 0,226.107 Poliestireno 10-16
Ge 0,22.107 Quartzo 10-17
Aço sem estanho 0,11.107
Nicromo 0,1.107
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9
9
9
Em materiais isotrópicos, os vetores E e P são
sempre paralelos, independentemente da orientação do
campo. Já em materiais anisotrópicos, como cristais
simples, a natureza periódica dos materiais cristalinos
fazem com que os momentos de dipolo estejam mais
facilmente ligados ao longo do eixo do cristal e não
necessariamente na direção do campo aplicado.
Em materiais ferroelétricos, a relação entre E e P
não é linear e apresenta efeitos de histerese; isto é, a
polarização produzida por uma dada intensidade do campo
elétrico depende do passado da amostra. São exemplos
deste tipo de dielétrico o titanato de bário, usado em
capacitores de cerâmica e o sal de Rochelle.
A relação linear entre E e P é dada por:
EP e
0
Aqui, e é uma grandeza adimensional denominada
susceptibilidade elétrica do material.
Como: PED
0 , teremos:
ED e
01
Definimos outra grandeza adimensional, a
permissividade relativa ou constante dielétrica do material
como:
R = e +1
Assim:
ED R
0
Sendo a permissividade:
= R 0
Teremos:
ED
Condições de Fronteira para materiais
dielétricos perfeitos:
Observe a
Figura 11 – Ilustração da fronteira ente dois meios com constantes
dielétricas 1 2.
Meio dielétrico 1 1
DN2 ΔS
C 1 Et2
Et2 DN2
Meio dielétrico 2 2
2
Relações entre as componentes tangenciais dos
meios (1) e (2):
0C
ldE
21 tt EE
2
1
2
1
t
t
D
D
Relações entre as componentes normais dos
meios (1) e (2):
0S
SdD
SNN DD21
Como nenhuma carga livre está disponível
no interior de dielétricos perfeitos, somente cargas
ligadas:
21 NN DD
Relações entre os ângulos 1 e 2:
Pode-se mostrar que:
21 2211 coscos NN DDDD
2
1
22
11
2
1
senD
senD
D
D
t
t
221112 senDsenD
Dividindo as duas relações:
2
1
2
1
tg
tg
As magnitudes dos
campos são dadas por:
1
2
2
1
21
2
12 cos senDD
1
2
2
2
11
2
12 cossenEE
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10
10
10
André Marie AMPÉRE
Ampére, famoso físico francês, nasceu a 22 de
janeiro de 1775 e morreu a 10 de junho de 1836. Tornou-se
célebre, particularmente pelo contribuiu que deu para a
descoberta de Öersted (unidade de intensidade do campo
magnético), sobre o eletromagnetismo. Generalizando esta
descoberta reconheceu, em1820, que sem a intervenção de
magneto dois fios percorridos pela eletricidade atuam um
sobre o outro, e indicou, em 1822, o emprego da pilha para
transmissão dos despachos, descobrindo assim, o princípio
da telegrafia elétrica.
Os trabalhos desenvolvidos no campo da
matemática também lhe granjearam grande reputação. Exemplos - Hayt Exemplo 1 – Dado o vetor densidade de
corrente:
222 ˆcos4ˆ10 mAaazJ
:
(a) Determine a densidade de corrente em
P( = 3, = 300, z = 2);
(b) Determine a corrente total que flui para fora da
faixa circular = 3, 0 < < 2 , 2 < z < 2,8.
(a) 2022 ˆ30cos34ˆ2310 mAaaJ
2ˆ9ˆ180 mAaaJ
(b)
S
SdJI
S
adzdaazI ˆˆcos4ˆ10 22
Az
dzdzI 2,325722
31010
8.2
2
23
8.2
2
2
0
3
Exemplo 2 – Uma densidade de corrente
é dada em coordenadas cilíndricas por:
25,16 ˆ10 mAazJ z
na região 0 20
μm; para 20 μm, 20 mAJ
.
(a) Determine a corrente total que atravessa a
superfície z = 0,1 m na direção az.
S
SdJI
z
S
z addazI ˆˆ10 5,16
2
0
20
0
5,1610 ddzI
mAI 7,3922
1,010
20
0
25,16
(b) Se a velocidade da carga é 2.106 m/s em z
= 0,1 m, determine v nesse ponto.
vJ v
2
6
5,16
81,15102
1,010mkC
v
Jv
(c) Se a densidade volumétrica de carga em z
= 0,15 m é 2000 C/m3, determine a velocidade da
carga nesse ponto.
vJ v
sm
v
Jv 047.29
2000
15,010 5,16
Exemplo 3 – Determine a magnitude da
densidade de corrente de uma amostra de prata para a
qual = 6,17.107 S/m e μe = 0,0056m
2/V se:
(a) a velocidade de deriva é 1,5μm/s.
vJ v
107
10102,10056,0
1017,6
e
eee
2610 52,16105,110102,1 mkAJ
(b) A intensidade do campo elétrico é
1mV/m.
27,61101017,6 37
m
kAJEJ
(c) a amostra é um cubo de 2,5 mm de lado
tendo uma tensão de 0,4 mV entre as faces opostas.
287,9105,2
104,01017,6
3
37
m
MA
l
VJ
(d) A amostra é um cubo de 2,5 mm de lado
conduzindo uma corrente total de 0,5 A.
280105,2
5,023 m
kA
S
IJ
Exemplo 4 – Um condutor de cobre de
0,6 in de diâmetro e comprimento 1200 ft. Suponha
que ele conduz uma corrente total de 50 A.
(a) Determine a resistência total do condutor.
03,00254,06,0108,5
3048,012002
4
7S
lR
(b) Que densidade de corrente existe nele?
2
5
41074,2
10824,1
50m
A
S
IJ
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11
11
11
(c) Qual a diferença de tensão entre os terminais
do condutor?
VlJ
Vl
VJ 729,1
108,5
1074,23048,012007
5
(d) Quanta potência é dissipada no fio? 2RIP
Exemplo 5 – Dado o campo Potencial no espaço
livre:
VyxsensenhV 55100
E um ponto P(0,1; 0,2; 0,3), determine em P:
(a) V.
)2,0.5()1,0.5(100)3,0;2,0;1,0( sensenhV
VV 84,43)3,0;2,0;1,0(
(b) E.
VE
yx ay
Va
x
VE ˆˆ
yx ayxsenhayxsenE ˆ5cos55ˆ55cosh5100
yx ayxsenhayxsenE ˆ5cos5ˆ55cosh500
yx aaE ˆ2815,0ˆ948,0500
yx aaE ˆ8,140ˆ474
(c) |E|,
mVE 4958,14047422
(d) |s|, se é sabido que P pertence à superfície do
condutor.
2
0 38.4 mnCEDNS
Exemplo 6 – Um plano perfeitamente condutor
está localizado no espaço livre em x = 4 e uma linha de
cargas uniforme de 40 nC/m está situada ao longo da linha
x = 6, y = 3. Seja V = 0 no plano condutor. Em P(7, -1, 5),
determine:
(a) V.
(b) E.
5
L = -40nC/m
z
-1 3
y
L = 40nC/m
2
(2, 3, z)
x = 4 (V =0)
6
7 (6, 3, z)
x
P(x, y, z)
Cálculo do campo:
PP
EEEP 21
10
11
ˆ
2
aE L
P
yx ayx
ya
yx
xa ˆ
36
3ˆ
36
6ˆ
22
2
221
22
1 36 yx
yxL a
yx
ya
yx
xE ˆ
36
3ˆ
36
6
2 22
2
22
0
1
Potencial:
ldEVV
P
x
xP
4
111
ldEVV
P
x
xP
4
111
)5,1,7(
),,4(
22
0
1 36ln2
0zy
L yxVP
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12
12
12
2
0
1 34ln17ln2
yV L
P
yxL aaE ˆ
3167
31ˆ
3167
67
2)5,1,7(
22
2
22
0
1
yxL aaE ˆ
17
16ˆ
17
1
2)5,1,7(
0
1
yx aan
E ˆ17
16ˆ
17
1
2
40)5,1,7(
0
1
yx aaE ˆ17
16ˆ
17
1720)5,1,7(1
20
22
ˆ
2
aE L
P
yx ayx
ya
yx
xa ˆ
32
3ˆ
32
2ˆ
22
2
222
22
2 32 yx
2
2 2 2 2 2
0
2 3ˆ ˆ
2 2 3 2 3
Lx y
x yE a a
x y x y
Potencial:
ldEVV
P
x
xP
4
222
)5,1,7(
),,4(
22
0
22 32ln2
zyL yxVV
xP
2
0
2 34ln41ln2
0 yV L
P
2
0
2 34ln41ln2
yV L
P
2
0
2 34ln41ln2
yV L
P
PPVVVP 21
2
0
34ln17ln2
yV LP
2
0
34ln41ln2
yL
17ln41ln2 0
LPV
17
41ln
2 0
LPV
17
41ln720PV
VVP 85,633
yxL aaE ˆ
3127
31ˆ
3127
27
2)5,1,7(
2322
2
23220
2
yxL aaE ˆ
41
16ˆ
41
1
2)5,1,7(
0
2
yx aan
E ˆ41
16ˆ
41
1
2
40)5,1,7(
0
2
yx aaE ˆ41
16ˆ
41
1720)5,1,7(2
PPEEEP 21
yxP aaE ˆ17
16ˆ
17
1720
yx aa ˆ
41
16ˆ
41
1720
yxP aaE ˆ41
16
17
16720ˆ
41
1
17
1720
CN
yxP aaE ˆ67,396ˆ79,24
Exemplo 7 – Usando os valores para as
mobilidades do elétron (0,12) e da lacuna (0,025)
para o silício a 300K, e assumindo que as densidades
de carga dos elétrons e das lacunas são 0,0029 C/m3 e
-0,0029 C/m3, respectivamente, determine:
(a) A componente da condutividade devida
às lacunas.
mShhhh
51025,7025,00029,0
(b) A componente da condutividade devida
aos elétrons.
mSeeee
41048,312,00029,0
(c) a condutividade.
mSeh
445 10205,41048,31025,7
Exemplo 8 – Uma lâmina de um material
dielétrico tem uma constante dielétrica relativa de 3,8
e contém uma densidade de fluxo elétrico uniforme
de 8 nC/m2. Se o material é sem perdas, determine:
(a) E;
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 13
13
13
8,31085,8
812
0
nDDEED
R
mVE 88,237
(b) P;
PED
0
EDP
0
EP e
0
11 ReeR
EP R
0)1(
EP R 0)1(
2381085,818,3 12P
289,5m
nCP
(c) o número médio de dipolos por metro cúbico
se o momento de dipolo médio é de 10-29
C.m.
i
N
i
i pV
pV
P11
1
2910
89,511 n
VVp
P
i
3201089,51
mV
Exemplo 9– Considere a região z < 0 composta
por um material dielétrico uniforme para o qual R = 3,2,
enquanto que a região z > 0 é caracterizada por R = 2,0.
Seja:
2
1ˆ70ˆ50ˆ30 mnCaaaD zyx
e determine:
(a) DN1;
Como a componente normal no plano z = 0 é a z,
teremos:
270
1mnCDN
(b) Dt1;
Como as componentes tangenciais no plano z = 0
são as x e y, teremos:
2ˆ50ˆ30
1mnCaaD yxt
(c) D t1;
22
50301t
D
23,58
1mnCDt
(d) D1;
222
1 705030D
2
1 1,91 mnCD
(e) 1;
1
11
D
Darcsen
t
1,91
3,581 arcsen
0
1 8,39
(f) P1.
101 1EP e
111 Re ;
1
1R
101 11
EP R
1
1
1111
1DEED
1
1
01 1
1DP R
11
1
11
DPR
R
112,3
12,3DP
11 6875,0 DP
2
1ˆ1,48ˆ4,34ˆ6,20 mnCaaaP zyx
Exemplo 10 – Continue o exercício anterior,
determinando:
(a) DN2;
21 NN DD 2ˆ70
2mnCaD zN
(b) Dt2;
2
1
2
1
t
t
D
D
12
1
2tt DD
1
1
2
2 t
R
R
t DD
1
1
2
2 t
R
R
t DD
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 14
14
14
yxt aaD ˆ50ˆ302,3
22
2ˆ25,31ˆ75,18
2mnCaaD yxt
(c) D2;
222 Nt DDD
2
2ˆ70ˆ25,31ˆ75,18 mnCaaaD zyx
(d) P2;
22
2
21
DPR
R
222
12DP
2
2ˆ35ˆ63,15ˆ38,9 mnCaaaP zyx
(e) 2.
2
22arccos
D
DN
91,78
70arccos2
0
2 5,27
Componentes Eletrônicos:
Podemos classificar os componentes
eletrônicos como:
1. Componentes Passivos.
2. Componentes Ativos.
1. Componentes Eletrônicos Passivos.
Subdividem-se em:
1.1 – Lineares: Capacitores, Resistores e
Indutores
1.2 – Não Lineares: Diodos.
2. Componentes Ativos.
A tensão de saída depende da de entrada e de
parâmetros internos do componente.
Citamos os transistores e as válvulas.
Capacitores:
Podemos armazenar energia potencial de
diversas formas: comprimindo um gás, em uma
mola comprimida, etc. Podemos também armazenar
energia potencial elétrica em um campo elétrico, e
um capacitor é um dispositivo para tal fim.
O capacitor é uma bateria portátil, operando
com uma determinada energia, que leva um grande
tempo para acumular energia, porém descarrega
rapidamente.
Capacitores são muito utilizados em
eletrônica e microeletrônica, atuando como
armazenadores de energia potencial. Eles são
elementos vitais em circuitos (transmissores e
receptores de aparelhos de rádio e TV).
(a) (b)
Figura 10 – (a) Capacitores. (b) Definição de capacitor.
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 15
15
15
Capacitância:
Capacitores são encontrados em muitas formas e
tamanhos diferentes. Os mais comuns são os capacitores
de placas paralelas, consistidos de duas placas paralelas
condutoras de área A separadas por uma distância d. O
símbolo utilizado para o capacitor é baseado na
estrutura do capacitor de placas paralelas e é usado para
capacitores de quaisquer simetrias. Na região entre as
placas do capacitor, é preenchido por um dielétrico, um
material isolante como o óleo ou plástico. Quando não há
o preenchimento de material entre as placas, a
permissividade dielétrica é a mesma do vácuo:
0128 8510, . ( )SI
Em 1837 Michael Faraday descobriu que quando
um capacitor é preenchido por um dielétrico, sua
capacitância aumenta por um fator k, chamado constante
dielétrica.
Quando um capacitor é carregado, suas placas
possuem sinais +Q e -Q, respectivamente. Referimos
então a um capacitor de carga elétrica Q. Devido as placas
serem condutoras, elas são superfícies equipotenciais:
Todos pontos sobre a placa estão em um mesmo
potencial. Há uma diferença de potencial elétrico entre as
duas placas. Simbolizamos esta diferença por V.
A carga Q e a diferença de potencial V em um
capacitor são proporcionais, onde a constante de
proporcionalidade é chamada de capacitância eletrostática
C: Q C V.
A unidade SI da capacitância é o faraday (F) :
1 farad = 1 F = 1 coulomb por volt = 1 C/ V
Para se carregar um capacitor, precisamos
conectá-lo com uma bateria, conforme mostra o esquema
abaixo: Figura 11 – 11.1 - (a) Capacitor plano e efeitos de borda (b).
11.2 - (a) Capacitor plano e ligado a uma bateria. Diagrama representativo do circuito (b).
O capacitor permanece descarregado até conectá-lo
com a bateria B ligando a chave S, o que completa o
circuito. Com o passar do tempo as placas do
capacitor terão uma carga +Q e -Q, e estarão a uma
diferença de potencial V. Uma vez que esta
diferença de potencial é estabelecida entre as placas
do capacitor, a corrente cessa e o capacitor estará
completamente carregado.
Cálculos de capacitância:
a) Capacitor de placas paralelas: Figura 12 – Capacitor de Placas Paralelas (a) e linhas de força do campo elétrico (b).
A diferença de potencial entre as placas é:
LEldEV .
CQ
VE dA Q EA
Q; .
0 0
C Ad0
Se preenchido com um dielétrico de permissividade :
dAC
dA
RC 0
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b) Capacitor cilíndrico:
Figura 13 – Capacitor cilíndrico.
0
aSrE
a
b
r
rasab
rV ln
0
)ln(02arbr
LC
Preenchido com dielétrico de permissividade : :
)ln(2
arbr
LC
c) Capacitor Esférico:
Figura 14 – Capacitor esférico
2
0
2
r
rE aS
ab
abasab
rr
rrrV
0
2
ab
ba
rr
rrC 04
Com dielétrico de permissividade :
ab
ba
rr
rrC 4
Associação de capacitores:
Podemos ter em um circuito associação de
capacitores distinta, em algumas vezes pode substituir os
capacitores por um capacitor equivalente que é um
capacitor que possui a mesma capacitância que o
circuito equivalente.
1) Capacitores em paralelo:
Nesse esquema vemos um conjunto de
capacitores associados em paralelo a uma bateria.
Figura 15 – Associação de capacitores em paralelo.
C
C
C
1
2
3
V
V
V
Q1
Q2
Q3
- +
V
V
Ceq
+Q -Q
Os terminais da bateria são ligados
diretamente às placas dos três capacitores. Como a
bateria mantém a diferença de potencial V entre os
terminais, ela aplica a mesma diferença de potencial
entre os terminais dos capacitores.Vemos que:
Q C V Q C V Q C V Q Q Q Q1 1 2 2 3 3 1 2 3; ;
C C C C C C CeqQ
V eq eq jj
n
1 2 31
Ou seja, em uma associação de capacitores
em paralelo, a capacitância equivalente é a soma das
capacitâncias. A carga total é a soma das cargas e a
ddp se mantém constante.
2) Capacitores em série.
A figura abaixo mostra 3 capacitores
conectados em série a uma bateria:
Figura 16 – Associação de capacitores em série.
-Q +Q -Q +Q -Q +Q
V V V1 2 3
V
C1
C2
C3
- +
Ceq
-Q +Q
V
V
Observamos que:
V V V V V V VQ
C
Q
C
Q
C1 2 3 1 2 31 2 3
; ;
n
j
jCCCCCC
eqeq
1
111111
321
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Veja que, a carga total é a mesma em cada
capacitor e a ddp no capacitor equivalente é a soma de cada
ddp em cada capacitor de uma associação em série.
Capacitores comuns
Apresenta-se com tolerâncias de 5 % ou 10 %.
Capacitores são freqüentemente classificados de acordo
com o material usados como dielétrico. Os seguintes tipos
de dielétricos são usados:
cerâmica (valores baixos até cerca de 1 μF)
o C0G ou NP0 - tipicamente de 4,7 pF a 0,047 uF,
5 %. Alta tolerância e performance de temperatura.
Maiores e mais caros
o X7R - tipicamente de 3300 pF a 0,33 uF, 10 %.
Bom para acoplamento não-crítico, aplicações com timer.
o Z5U - tipicamente de 0,01 uF a 2,2 uF, 20 %.
Bom para aplicações em bypass ou acoplamentos. Baixo
preço e tamanho pequeno.
poliestireno (geralmente na escala de picofarads)
poliéster (de aproximadamente 1 nF até 1000000 μF)
polipropilêno (baixa perda. alta tensão, resistente a
avarias)
tântalo (compacto, dispositivo de baixa tensão, de até
100 μF aproximadamente)
eletrolítico (de alta potência, compacto mas com
muita perda, na escala de 1 μF a 1000 μF)
Propriedades importantes dos capacitores, além de sua
capacitância, são a máxima tensão de trabalho e a
quantidade de energia perdida no dielétrico. Para
capacitores de alta potência a corrente máxima e a
Resistência em Série Equivalente (ESR) são considerações
posteriores. Um ESR típico para a maioria dos capacitores
está entre 0,0001 ohm e 0,01 ohm, valores baixos
preferidos para aplicações de correntes altas.
Já que capacitores têm ESRs tão baixos, eles têm a
capacidade de entregar correntes enormes em circuitos
curtos, o que pode ser perigoso. Por segurança, todos os
capacitores grandes deveriam ser descarregados antes do
manuseio. Isso é feito colocando-se um resistor pequeno de
1 ohm a 10 ohm nos terminais, isso é, criando um circuito
entre os terminais, passando pelo resistor.
Capacitores também podem ser fabricados em aparelhos de
circuitos integrados de semicondutores, usando linhas
metálicas e isolantes num substrato. Tais capacitores são
usados para armazenar sinais analógicos em filtros
chaveados por capacitores, e para armazenar dados digitais
em memória dinâmica de acesso aleatória (DRAM).
Diferentemente de capacitores discretos, porém, na maior
parte do processo de fabricação, tolerâncias precisas não
são possíveis (15 % a 20 % é considerado bom).
Identificação do valor no capacitor cerâmico
Os capacitores cerâmicos, apresentam impressos no
próprio corpo, um conjunto de três algarismos e uma letra.
Para se obter o valor do capacitor, os dois primeiros
algarismos, representam os dois primeiros digitos do
valor do capacitor e o terceiro algarismo (algarismo
multiplicador), representa o número de zeros à direita,
a letra representa a tolerância (podendo ser
omitida)do capacitor (faixa de valores em que a
capacitância variará)para os capacitores cerâmicos até
10pF é expressa em pF os acima de 10pF é expressa
em porcentagem. O valor é expresso em pF. Por
exemplo um capacitor com 224F impresso no próprio
corpo, possuirá uma capacitância de 220000pF com
uma tolerância de +/- 1% (seu valor pode ser um
porcento a mais ou a menos desse valor).
Aplicações
Capacitores são comumente usados em fontes de
energia onde elas suavizam a saída de uma onda
retificada completa ou meia onda.
Por passarem sinais de Corrente Alternada mas
bloquearem Corrente Contínua, capacitores são
freqüentemente usados para separar circuitos
Corrente alternada de corrente continua. Este método
é conhecido como acoplamento AC.
Capacitores também são usados na correção de
fator de potência. Tais capacitores freqüentemente
vêm como três capacitores conectados como uma
carga trifásica. Geralmente, os valores desses
capacitores não são dados pela sua capacitância, mas
pela sua potência reativa em var.
História
A Jarra de Leyden, primeira forma de capacitor,
fora inventada na Universidade de Leyden, na
Holanda. Era uma jarra de vidro coberta com metal.
A cobertura interna era conectada a uma vareta que
saia da jarra e terminava numa bola de metal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Capacitor
Energia Armazenada em um campo elétrico.
Imagine um capacitor descarregado e que
devemos transferir elétrons de uma placa à outra. O
campo elétrico na região entre as placas tende a se
opor à esta transferência. Devemos realizar
trabalho para que possamos acumular carga no
capacitor. Este trabalho para carregar um capacitor
está na forma de energia potencial elétrica U no
campo entre as placas.
O trabalho requerido para deixar o capacitor
carregado a uma carga Q é dado por:
QdW V dQ dQ
C
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0
1Q
W dW q dQC
2
2
QW
C
Pode-se encontrar as seguintes relações para a
energia potencial armazenada entre as placas de um
capacitor:
U CVQ
C
2
212
2
Também podemos encontrar a densidade de
energia u entre as placas do capacitor, dada pela razão da
energia armazenada e o volume: 2
2U C VA d A d
u
Lembrando que para um capacitor de placas
paralelas, CA
d0 e o campo E é dado por: E=V/d,
teremos:
u E12 0
2 (Densidade de Energia)
Exemplo 11 - Um capacitor C1 de capacitância
3,55 mF é carregado com uma ddp de V0=6,3 V usando
uma bateria de 6,3 V. A bateria é removida e o capacitor é
conectado a um capacitor C2 descarregado de capacitância
C2 = 8,95 mF como mostra a figura abaixo. Quando a
chave S é fechada, a carga de C1 flui para C2 até que
ambos os capacitores estejam a mesma diferença de
potencial V. Qual será esta ddp?
C1
Q0
C2
S
A carga original q0 é agora parte dos 2
capacitores:
Q Q Q0 1 2 Mas q=CV. Então:
C V C V C V V V VC
C C1 0 1 2 03 55
3 55 8 951
1 2
6 3 1 79, ,,
, ,
Exemplo 12 - No exemplo anterior, qual será a
energia potencial do sistema de 2 capacitores antes e
depois da chave S fechar ?
Inicialmente o capacitor C1está carregado e possui
uma energia potencial. Sua ddp é V0= 6,3 V. A energia