PROIECT Corpul cuaternionilor1.1. IntroducereNoiunea de corpa
aprut n urmancercrilor de abstractizarei Corpul
cuaternionilorMASTERAND:NEDELCU COSTINAFACULTATEADE STIINTE,
MATEMATICA-DIDACTICA,AN IIUNIVERSITATEA DUNAREA DE
JOS,GALATI2011-2012de extinderela alte mulimiaregulilor de calcul
cu numere raionale. Spre deosebire de inelul ntregilor Z, inelul
numerelor raionale Q are proprietatea, eseniala in definirea
noiunii de corp, c oriceelement diferit de0esteinversabil. Astfel,
dacntr-uninel avemoadunare, o nmulire i o scdere, care deriv din
adunare, ntr-un corp avem n plus o mparire prin elemente nenule
care deriv din nmulire.1.2. Definiie i exemple remarcabile:Definiia
1: Un triplet ( K ; + ; ) se numete corp dac sunt satisfcute
urmtoarele proprietai:a) ( K ; + ; ) este inel;b) 0 1 (inelul K are
cel puin dou elemente );c) Orice element din K \ {0} este
inversabil.Defini ia 2 : Corpul ( K ; + ; ) se numete corp
comutativ (cmp) dac, n plus, operaia este comutativ.Exemple: 1)
Inelele comutative ( K ; + ; ) , undeK= Q, R sau C , sunt corpuri
comutative deoarece U(K) = K*.2) Un exemplu de corp necomutativ
este corpul cuaternionilor, H . 1.3. Corpul
cuaternionilorCuaternionii formeaza o algebra integra normata peste
corpul numerelor reale, dedimensiune 4 ceea ce a condus la
utilizarea lor in modelarea structurii 4-dimensionale spatiu-timp
in care traim. La scurt timp dupa descoperirea lor au fost folositi
in analiza vectoriala ceea ce a dus, asa cum spera Hamilton, la
utilizarea lor in fizica. Multe dintre ecuatiile fizicii matematice
au fost rescrisefolosindcuaternionii.
Incomunicaresevorprezentaexempledeastfel deecuatii rescrise cu
ajutorul cuaternionilor.Fie inelul 2(C) al matricelor ptratice de
ordin 2 peste corpul C i H2(C), unde H = ;'
,_
C ,.Avem c H este un subinel al lui 2(C) .ntr-adevr, innd seama
c suma, respectiv produsul conjugailor a dou numere complexe este
conjugatul sumei respectiv produsului numerelor, avemi.H
,_
,_
+
,_
,_
i ii.H
,_
+ +
,_
+ +
,_
,_
oricare ar fiH
,_
,_
,. AadarH,mpreuncu operaiile obinuite de adunare i nmulire a
matricelor,este la rndul su un inel.Matricea
,_
1 00 1 este elementul unitate a lui H.Mai mult, H este corp.
ntr-adevr, dac h =
,_
,_
0 00 0 , atunci numrul real 2 2 este nenul. Inversul lui h
este
,_
1h.Deci H este un corp numit corpul cuaternionilor, elementele
sale fiind numite cuaternioni. Definim funciaH R : , prin
,_
aaa00) ( , care este un morfism de corpuri, deci
injectiv.Aceasta ne permite s identificm numrul real a cu
cuaternionul
,_
aa00.Notm
,_
iii00,
,_
0 11 0j,
,_
00iik, a cror nmulire este definit prin tabla i j ki - 1 k - jj
- k - 1 ik j - i - 1Se observ c H este un corp necomutativ. Dac i a
a1 0 + i i b b1 0 + sunt numere complexe, putem scrie
,_
=
,_
+ + +i a a i b bi b b i a a1 0 1 01 0 1 0=+
,_
,_
+
,_
iiaaaa0000001100
,_
,_
+
,_
,_
+00000 11 0001100iibbbb= k b j b i a a1 0 1 0+ + +.Deci orice
cuaternion h H poate fi scris, n mod unic, sub forma h = dk cj bi a
+ + +, unde a, b, c, dsunt numere reale.Este important s observm c
o ecuaie cu coeficieni n corpul necomutativ Hpoate s aiba mai multe
rdcini dect gradul su. De exemplu, i, j, k sunt rdcini ale ecuaiei0
12 + x , acest lucru nefiind posibil n cazul corpurilor comutative.
1.4. AplicatiiProblema 1: Fie Q(i) = { x + yix, y Q, i2 = - 1}. S
se arate c(Q(i), + ; ), unde + i sunt adunarea respectiv nmulirea
numerelor complexe , este corp comutativ. Soluie: Dacz1 = x1 + y1i
,z2 = x2 + y2i Q(i), atunci :z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i
Q(i),z1z2 = ( x1 x2 - y1y2 ) + ( x1 y2 + y1x2 )i Q(i),de unde
rezult c+isunt legi de compoziie pe Q(i). Adunarea i nmulirea sunt
comutative i asociative, iar nmulirea este distributiv fa de
adunare deoarece aceste proprieti sunt valabile pe C. 0 = 0 +
0iQ(i) i 1 = 1 + 0iQ(i) sunt elemente neutre fa de adunare
respectiv nmulire. Observndi coricezQ(i)areopusul z, deducemc(Q(i);
+; )esteinel comutativ cu 0 1.Rmne s artm c pentru orice z Q(i), z
= x + yi , z 0, existz Q(i) astfel nct z z = 1. ntr-adevr ,z= z1 =
yi x +1 = 2 2x yyi x+ = 2 2x yx+ - 2 2x yy+i Q(i)i satisfacezz=
1.Problema 2:(i).Sa se arate ca multimea matricelor de forma cu
a,b,c,dIR formeaza un subcorp K al lui M4(IR) izomorf cu
corpulcuaternionilor . (ii). Determinati centrul lui H.Soluie: (i).
FieM=cu= a+ib si= c+di. Se observa ca asocierea: M defineste un
morfism de inele de la corpul cuaternionilor in M4(IR).
Observam:AAt= = == ( )I4 det (AAt)= ( )det I4 det A detAt= ( ), det
A=det At det A= ,pentru A O4det A 0 A inversabila
Observatie:Consideram K multimea expresiilor de forma a+ib+cj+dk ,
a,b,c,dIR.Definind pentru doaua elemente din K suma pe componenete
si produsul polinomial vom avea (K, +, ) corp izomorf cu corpul H
al cuaternionilor.Fie=+ i+ j+ ksi= + i+ j+ kcu operatiile:= ( )+(
)i +( )j +( )k H= ( ) + ( + - )i + +( - + + )j + ( + - + )k H(ii).
Fie x= a+ib+cj+dk un cuaternion cu centrulin H. Din conditia de
comutarex y=yx ai-b-ck+dj=ai-b+ck-dj c=d=0.Din conditia de
comutarex j=jx b=0.In concluzie, centrul lui H este IR.
Bibliografie:1.Probleme de algebra Dumitru Busneag, Florentina
Chirtes, Dana Piciu, Editura Universitaria, Craiova,20022.Teoria
grupurilor - D. Buneag, Ed. Universitaria, Craiova,19943. Corpuri -
Corneliu Mnescu-Avram, art.publicat in Revista Virtual Info
MateTehnic, Anul I Nr. 3-4/20114. Algebra Liniara, Geometrie
Analitica si Elemente de Geometrie Diferentiala Vladimir Balan,
Bucuresti, 2011