Copy of Compresia Fractala - Dorinel ENACHE -TCSI

7/31/2019 Copy of Compresia Fractala - Dorinel ENACHE -TCSI

1/15

Universitatea Politehnica" BucuretiFacultatea de tiine Aplicate

Dorinel ENACHETCSI An I

Prezentare Fractali

1. IntroducereCe este un fractal? Benoit B. Mandelbrot a inventat termenul in 1975.

Acest cuvnt deriv din fractuscare n limba latin inseamn fracturat(derivat, la rindul su, din verbul frangere - a frnge, a rupe). El vreas sugereze o multime care este mult mai "neregulat" dect multimileconsiderate in geometria clasic; cu ct aceasta este mrit, tot maimulte neregularitti devin vizibilel. De asemenea am putea afirma c :fractalii sunt forme geometrice (corpuri naturale), care pot fi imprtie in

bucti, fiecare dintre ele fiind o copie la scar redus a intregului.Fractali pot fi considerati : norii, muntii, copacii, malurile etc.

De exemplu, o linie de coast neregulat (cum ar fi, de exemplu,


2/15

coasta estic a Angliei) arat destul de neted dac o privim dinavion, de la o inltime mare, dar, pe msur ce ne apropiem, tot mai multeneregularitti devin vizibile. Aceste neregularitti creeaz probleme iin calcularea lungimei liniei de coast sau a frontierei a dou trivecine.

Propriti

prtile sale componenete au aceeai form sau structur cu intregul,dei sunt privite la o scar diferit i sunt putin deformate.

forma sa este neregulat, intrerupt sau fragmentat.

prtile sale componente sunt distincte i foarte variate.

2. Dimensiunea FractalObiectele geometrice au o dimensiune topologic; de exemplu, liniile au

dimensiunea 1; suprafetele plane au dimensiunea 2 (ptrate, cercurietc.); spatiul dimensiunea 3. S-au construit figuri care nu se puteaucarcateriza prin nici una din dimensiunile cunoscute. Unei linii curbe ceunete dou puncte nu i se poate determina lungimea, iar dac se fceaudetalieri succesive asupra fiecrui punct de pe dreapt, lungimea liniei

cretea (conturul unui munte se detaliaz cu ct distanta de la care esteprivit e mai mic).

n 1919, matematicianul Hausdorff a introdus o nou dimensiune:dimensiunea fractal sau dimensiunea Hausdorff. Aceast dimensiunemsoar numrul de mulimi de diametre mai mici necesare pentru aacoperi o figur. Dc acest numr este intreg atunci dimensiunea estetopologic, altfel dimensiuna este fractal. De exemplu :

Un segment de lungime l poate fi imprtit n n segmente mai mici,fiecare de lungime l/n;

Un ptrat de latura 1 poate fi imprtit n n2 ptrate cu latura del/n;

Un cub de latura l poate fi imprtit n n3 cuburi cu latura de l/n.

Un obiect ce are dimensiunea D, compus din elemente asemenea cu el, poatefi imprtit in nD elemente de n ori mai mici.

)log(

)log(lim

n

nenteNumarCompoD

n=

Este interesant de remarcat c acest raport nu depinde de bazalogaritmului. Astfel, dimensiunea fractal poate fi calculat far a ni seimpune vreo condiie asupra bazei logaritmului.

___________________________________________________

1 Wikipedia, the free encyclopedia - http://en.wikipedia.org

3. Exemple de fractali2:

Curba Koch(1904) - curba cu distana infinit intre oricare dou punctede arie O. Se pornete cu un segment unitate (iniiatorul) care semparte n 3 segmente congruente i se inlocuiete segmentul din mijloccu cele dou laturi ale unui triunghi echilateral, avndu-l cabaz i situat deasupra lui (generatorul).

2
http://en.wikipedia.org/http://en.wikipedia.org/


3/15

n continuare se repet aceeai procedur cu fiecare din cele 4 segmenteobinute; construcia are un caracter recursiv. Curba poligonalobinut in fiecare stadiu este, dup Mandelbrot, o structurprefractal. Curba lui Koch este figura obinut la limit.

Dimenisunea fractal va fi : .....2618,13log

4log==D

Triunghiul Sierpinsky - Se pornete cu un triunghi echilateral care semparte prin mijloacele laturilor sale in 4 triunghiuri congruente i seelimin triunghiul din mijloc. Cu fiecare din triunghiurile rmase seprocedeaz analog.

Mulimea rmas se numete sita lui Sierpinski.

Dimenisunea fractal va fi : ...585,12log

3log==D

___________________________________________________

2 K. Falconer "Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applications", Chichester, Wiley, 1990.

Covorul lui Sierpinsky - Se pomete cu un ptrat care se imparte in 3 2

ptrate congruente i se elimin ptratul din mijloc. Cu fiecare dinptratele rmase se procedeaz la fel.

3


4/15

Dimenisunea fractal va fi: ...893,13log

8log==D

Aceste structuri se pot dovedi foarte interesante pentru a modelaunele probleme de transport medii poroase i permit calcule analiticeexacte pentru diverse proprieti fizice (conductan, vibraii, electrozifractali etc.). Mulimile fractale modeleaz o intreag varietate defenomene tiinifice, de la cele moleculare la cele astronomice: micareabrownian a particulelor, turbulena n fluide, creterea plantelor,studiul rocilor, materiale compozite, polimeri i geluri, peisaje,muni, linii de coast geografice, distribuia galaxiilor n univers ichiar fluctuaiile de preuri pe pieele de schimb.Astfel, ceea ce a prut la inceput un concept de matematic pur a gsitnumeroase tiine. Dac aceste aplicaii vor continua s se diversifice is se adnceasc, s-ar putea ca studiul fractalilor s devin o parteobligatorie a cursurilor universitare. Geometria fractal este

completarea care lipsea geometriei euclidiene i simetriei cristaline (saucvasicristaline).

4. Fractali Naturali

De la distributia galaxiilor in univers pn la structura organismelor vii,natura prezint aspecte fractale. Complexitatea copacilor, norilor,rurilor, muntilor, poate fi evaluat cantitativ calculnd dimensiuneafractala a conturului acestora.3

4


5/15

De peste 20 de ani se stie c distribuia galaxiilor relativapropiate (pn la 50 de milioane de ani-lumina) este fractal, dedimensiune 1,23.

Dintre toate stiinele, medicina utilizeaz cel mai multgeometria fractal. Aproape toate organele corpului uman au caracterfractal si buna lor funcionare este strns legat de dimensiunea lor.

Rurile si fluviile au aspect fractal si dimensiunea lor msoaracomplexitatea bazinului hidrografic. Se stie c Amazonul are dimensiunea1.85, iar Nilul numai 1.4

___________________________________________________

3B.Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", W. H. Freeman, San Francisco, 1982 (rev. ed. of "Fractals", 1977).

5. Aplicaii

Compresia fractal

5


6/15

Oamenii de tiin au gsit un model matematic capabil s generezepeisaje artificiale i care totui arat destul de realist i copaciicare rsreau din sol. i matematicienii au avut la dispoziie o lumenou de entiti geometrice.Nu a trecut mult timp inainte camatematicienii s se intrebe dac exist o unitate in cadrul acesteidiversiti. Aceast unitate exist, dup cum a demonstrat John

Hutchinson in 1981, iar aceast ramur a matematicii este cunoscut inprezent drept Teoria Funciilor Iterative4.Mai trziu in aceeai decad (anii .80), Michael Barnsley, un cercettor

de seam de la Georgia Tech, scria cartea bine cunoscut Fractale pestetot. (Fractals Everywhere). Cartea prezint teoria matematic. a Sistemuluide Funcii Iterate (IFS) i demonstreaz un rezultat cunoscut drept TeoremaCollage. Aceast teorem exprim modul in care trebuie s arate un Sistemde Funcii Iterate pentru ca acesta din urm s reprezinte o imagine.

Acest rezultat matematic prezenta o posibilitate intrigant. Dac, indirecia inainte, matematica fractal se dovedete capabil pentrugenerarea unor imagini apropiate de imaginile naturale, atunci se puneintrebarea dac, in direcie opus, nu ar putea servi pentru compresiaimaginilor? Problema invers se refer la urmtorul lucru: Plecind de la o

imagine dat se poate ajunge la un Sistem de Funcii Iterate care s poatgenera sau mcar s se poat apropia ct mai mult posibil de imagineaoriginal? Aceast problem rmne nerezolvat. in martie 1988, dupafirmaiile lui Barnsley, el ajunsese la o schem modificat pentrureprezentarea imaginilor, numit Sistem de Funcii Iterate Partiionate(Partitioned Iterated Function System (PIFS)). Barnsley a aplicataceast schem i i-a fost acordat un al doilea patent pentru unalgoritm care poate converti automat o imagine intr-un Sistem de FunciiIterate Partiionate,compresnd imaginea in timpul procesului.

Pentru a capta diversitatea imaginilor reale sunt folositeSisteme de Funcii Iterate Partiionate(PIFS, Partitioned IFS).intr-un PIFS transformrile nu se refer la intreaga imagineinfiat prin prile ei; este vorba de transformarea prilor mai mari

din imagine in prti mai mici. 0 imagine poate varia din punct de vederecalitativ de la o zon la alta (de exemplu nori apoi cer apoi iar nori). UnPIFS stabilete o legtur Intre acele zone ale imaginii iniiale care suntin aparen similare. Folosind notaia lui Jacquin, zonele mari aleimaginii sunt numite blocuri domeniu, iar zonele mici sunt numite blocuriscop. Este necesar ca fiecare pixel din imaginea original s aparin celpuin unui bloc scop. Configuraia blocurilor scop este numitpartiionarea imaginii.

Deoarece acest sistem de redare este inc, reductibil, cnd va fi supusiteraiilor va converge rapid ctre imaginea convertit. Construirea unuiPIFS se rezum la imperecherea fiecrui bloc scop cu blocul domeniu cu carese aseamn cel mai mult prin aplicarea unor transformri ce urmeaz a fideterminate. Dac este realizat bine, codarea PIFS a unei imagini va fimult mai mic dect imaginea original i va fi foarte asemntoare cuaceasta.

De aceea o imagine compresat folosind compresia fractal reprezint ocodare care descrie:

1. Partiionarea reelei (blocurile scop).2. Transformrile atomice (una pentru fiecare bloc scop).

___________________________________________________

4 Biblioteca virtuala de Inteligenta artificiala - http://eureka.cs.tuiasi.ro

Independena de scal i mrirea rezoluiei

Cnd este capturat o imagine folosind un sistem de achiziie cum arfi o camer digital sau un scanner, aceasta (imaginea) este obinut lao anumit scal determinat de rezoluia de capturare a acelui

6
http://eureka.cs.tuiasi.ro/http://eureka.cs.tuiasi.ro/


7/15

dispozitiv. Dac sunt folosite aplicaii software pentru a face un zoom inasupra imaginii, de la un anumit punct nu se mai pot percepe anumitedetalii, ci doar pixeli mai mari. 0 imagine fractal este diferit.Deoarece transformrile atomice sunt reductibile spaial, sunt createdetalii la rezoluii din ce in ce mai mici cu fiecare iteraie. La limit,detalii similare sunt create la toate nivelele de rezoluie pn la nivelul

infinitezimal. Deoarece nu exist nivele care s nu respecte aceastregul, imaginile fractale sunt considerate a fi independente descal.Ceea ce inseamn acest lucru in practic este faptul c, pe msurce se face zoom in pe o imagine fractal, aceasta va arta aa cum artrebui i nu cu efectul de trepte a replicrii pixelilor.

Dar exist o problem. Detaliul nu a fost reinut, ci generat. Cupuin noroc, va arta cum ar trebui, dar nu trebuie s ne bazm pe asta.Dac vom face zoom pe faa unei persoane nu vom scoate in eviden porii.

n mod obiectiv, ceea ce ofer compresia fractal a imaginiieste o form avansat de interpolare.Aceast proprietate estefolositoare i atractiv. Folositoare, de exemplu unui grafician sau pentrutiprirea folosind echipamente cu rezoluie mare. Dar nu furnizeaz ratede compresie fantastic de mari.

Problema vitezei

Esena procesului de compresie const in imperecherea fiecrui blocscop cu un bloc domeniu astfel inct diferena dintre cele dou, msuratin numrul de transformri atomice, s fie minim.Acest lucru implic multecutri. De fapt, nu exist nici o condiie conform creia blocurile artrebui s fie ptratice sau mcar dreptunghiulare. Aceasta este doar oimpunere pentru a menine problema maleabil. in general, metoda pentrugsirea unui PIFS bun pentru orice imagine dat implic 5 etape principale:

1. Partiionarea imaginii in blocuri scop.2. Formarea setului de blocuri domeniu.

3. Alegerea tipurilor de transformri ce vor fi luate in consideraie.4. Selectarea unei distane metrice intre blocuri.5. Specificarea unei metode pentru imperecherea blocurilor scop cublocurile domeniu.

Importana impririi pe categorii poate fi observat dac se face uncalcul a dimensiunii domeniului total. S presupunem c imaginea estepartiionat n blocuri scop de dimensiune 4x4. 0 imagine de dimensiune256x256 conine n total (256-8+1)^2 = 62.001 blocuri domeniu diferite dedimensiune 8x8. Incluznd i cele 8 simetrii izometrice totalul cretela 496.008. Sunt (256-4+1)^2 = 64.009 blocuri scop de dimensiune 4x4,ceea ce presupune testarea a 31.748.976.072 imperecheri posibile. Chiar

i pe o main putemic o cutare complet este extreme de lent.Mrirea vitezei de cutare reprezint provocarea principal in ceea ceprivete compresia fractal a imaginilor.

Compresia fractal vs. JPEG din punct de vedere calitativ

Avnd n vedere aceste msurtori controversate, din rezultateletestelor tragem urmtoarele concluzii: pentru rate de compresie mici este

7


8/15

mai recomandat utilizarea metodei JPEG, dar pentru rate de compresiemari, compresia fractal este ce1 mai bine de utilizat. Punctul dereferin n luarea unei decizii este rata de compresie 40:1. La rate decompresie sub 40:1, folosind metoda JPEG o imagine ii va pstra calitileinitiale, pe cnd peste aceast valoare o imagine va avea multe probleme,i probabil va fi inutilizabil.

Similariti in imagini

Deosebirile fa de similaritile din fractali sunt c imagineanu este format din copii ale aceleiai imagini ca intreg(printransformarea afin corespunztoare), ci va fi format din copiitransformate ale unor pri constituente ale imaginii. Aceste pritransformate nu pot fi puse impreun pentru a constitui exact imagineainiial i din aceast cauz ca trebui s acceptam un anumit grad deeroare n reprezentarea imaginii ca un set de transformri. Acest lucruinseamn c imaginea pe care o vom codifica prin setul de transformri nuva fi o copie exacta a imaginii originale, ci o aproximare a ei.

Codificarea Imaginilor

Presupunem c avem o imagine dat f, pe care dorim s o

codificm. Aceasta inseamn trebuie sa gsim o colecie de funcii

nwww ,...,2,1 , cu iUwW= ,i Wf = . Acestea sunt necesare deoarece dorim ca

f s fie un punct fix pe W. Ecuaia punctului fix

( ) ( ) ( ) ( )fwfwfwfWf n== ..21 ne sugereaz cum se realizeaz acest

lucru. Dup ce am partiionat f aplicnd transformrile iw , trebuie sa

obinem din nou f. n general, nu putem realiza acest lucru, deoarece

imaginile nu sunt compuse din pri care pot fi transformate i apoi fixate

perfect in a1t loc al imaginii. Sperm s gsim o alt imagine Wf =' cu

)( ff ,' foarte mic. Cutm transformarea Wa crui punct fix Wf =' este

asemntor cu f. n acest caz avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )fwfwfwfWfWff n== ..'' 21 .Astfel, este suficient s aproximm pri ale imaginii cu pri

transformate. Vom face acest lucru minimiznd urmtoarele cantiti:

( ) ( ) )( fwIRf ii , , cu Ni ,,1= .

Acest lucru inseamn c gsim bucileiD i funciile iw astfel

inct atunci cnd aplicm o funcie wi prii de imagine de peste iD , vom

obine ceva foarte apropiat prii de imagine de pesteiR . Gsirea prilor

iR i a iD -urilor corespunztoare este fundalul problemei.

Un exemplu ilustrativ simplu

Urmtorul exemplu ne sugereaz cum ar putea fi realizat acest lucru.Presupunem ca lucrm cu o imagine de dimensiune 256 x 256 pixeli n carefiecare dintre pixeli poate avea una dintre cele 256 nuane de gri (de

8


9/15

la alb la negru). Fie102421 ,...,, RRR subptratele disjuncte de dimensiune 8 x

8 ale imaginii i fie D mulimea tuturor ptratelor de dimensiune 16 x 16ce pot fi i nedisjuncte ale imaginii.

Mulimea D conine 241*241 = 58081 ptrate. Pentru fiecare iR

cutm prin toat mulimea D pentru a gsi o submulime DDi

ce

minimizeaz ecuaia de mai sus, adic vom cuta partea de imagine ce se

aseamn cel mai mult cu imaginea de pesteiR . Se spune c acest

domeniu acoper scopul. Sunt 8 modaliti de a mapa un ptrat pestealtul (ptratul poate fi rotit de 4 ori ntr-o direcie i de 4 ori inalta i att), acest lucru insemnnd compararea a 8*58081 = 464648 ptratecu fiecare dintre cele 1024 ptrate scop. De asemenea, un ptrat din D are

de 4 ori mai muli pixeli dect un ptratiR deci va trebui sau s

procedm aleator (alegnd unul dintre fiecare 2 x 2 subptrate ale lui

iD ) sau s interpolm ptratele de dimensiune 2 x 2 corespunztoare

fiecrui pixel diniR cnd minimizm ecuaia respectiv.

5

Minimizarea ecuaiei semnific dou lucruri: primul l reprezint gsireaunei valori potrivite pentru

iD (adic partea imaginii care se aseamn

cel mai mult cu imagine de deasupra luiiR ); in al doilea rnd semnific

gasirea unui contrast i a unei luminozitiio pentru iw pentru fiecare

DDi .

Imaginea original, prima, a doua i a zecea iteraie a transformarilor decodificare.___________________________________________________

5 C. E. Krohn "Fractal measurements", J. Geophys. (1988).

Metode de Partiionare a Imaginilor

Partiionarea Quadtree

9


10/15

n aceast metod, o imagine n form de ptrat este imprit inpatru ptrate identice ca dimensiune, dac poriunea respectiv de imaginenu e reprezent destul de bine intr-un anumit domeniu (conine preadetalii).

Acest proces de partiionare se repet recursiv incepnd iniial cutoat imaginea i continund pn cnd ptatele astfel obinute sunt destul

de mici pentru a acoperi imaginea cu o anumit toleran rms . Ptrelelemici pot reprezenta mai bine dect ptratele mari o imagine, pentru cpixelii invecinai dintr-o imagine tind sa fie asemntori.

a)imagine Alb-Negru si partiionarea QadTree (b)

Imaginea este de 256x256, comprimat cu metoda quadtree, rata de

compresie 28.95:1, cu o eroare rms tolerat de 8.5

Partiionarea HV

10


11/15

ntr-o partiionare HV, o imagine dreptunghiular este recursivimprit fie orizontal, fie vertical pentru a forma dou noidreptunghiuri. Partiionarea se face recursiv pn cnd se obinetolerana dorit.

Metoda HV ncearc s creeze dreptunghiuri similare la scri iferite.

Aceast schem este mult mai flexibil, deoarece modul departiionare este variabil. Urmtoarea etap este de a face partiionareaavnd n vedere c figurile astfel obinute s fie alctuite din structurirelativ similare. De exemplu, vom incerca sa aranjm partiionareaastfel inct marginile imaginii s tind s fie in diagonala formelorastfel obinute. Dup aceasta, este posibil ca partiiile mai mari s leacopere pe cele mici, cu o toleran destul de bun. Figura de mai suseste elocvent in acest caz. In cadrul (a), este prezent o parte dinimagine. in partea (b), prima partiionare genereaz doudreptunghiuri, marginea figurii trecnd aproximativ prin diagonaladreptunghiului R1 , iar R2 neavnd nici o margine. in figura (c),observm ca dup urmtoarele trei partiionri a lui R1 in patru

dreptunghiuri, avem dou dreptunghiuri care sunt relativ identice dinpunctul de vedere al structurii (amndou posed o margine care coincide cudiagonala) i dou care pot fi reprezentate de ctre R2 (deoarece nu aunici o margine). In figura urmtoare, avem prezentat oraul San-Francisco, imagine codat folosind schema prezentat mai sus.

Partiia Triunghiular.

11

Prima partiie, a doua, a treia i a patra partiie


12/15

O alt metod folosit pentru a partiiona o imagine estepartiionarea imaginii respective folosind triunghiuri. ntr-o schemade partiionare triunghiular, o imagine dreptunghiular esteimprit n dou triunghiuri, cele dou triunghiuri avnd calatur comun diagonala dreptunghiului. Fiecare triunghi astfel

obinut, este partiionat recursiv n alte patru triunghiuri, prinsegmente obinute prin unirea a trei puncte ce se afl pe cele trei laturiale triunghiului. Aceast metod are cteva avantaje, n comparaie cumetoda HV. Este foarte flexibil, astfel inct triunghiurile pot fi alesen funcie de similaritatea dintre ele. Liniile astfel obinute nu suntnumai orizontale sau verticale, i acest fapt reprezint un mareavantaj n codarea imaginii. Totodat, triunghiurile astfel obinutepot avea orice orientare, i deci scpm de restricia de la metoda HV derotaie cu 90 grade, care era fix. n figura de mai jos, avem prezentatecele trei moduri de partiionare, folosind o imagine cu Lena ca exemplu.

Model de partiionare QuadTree (5008 ptrate), HV (2910 dreptunghiun), Ttriunghiular (2954 triunghiun)

Metod hibrida de compresie fractal i cuantizare vectorial.

12


13/15

Este utilizat cutarea regiunilor similare cu dimensiuni diferite.

Este foarte asemnatoare cu metoda QuadTree cu diferenta c n loc s se

efectueze transformarea afin se efectueaz cuantizarea vectorial peblocuri. n urma testelor s-au constatat urmtoarele avantaje comparativ cumetoda QuadTree:

Creterea vitezei de compresie;

Cresterea vitezei de decompresie;

Cresterea calitii imaginilor comprimate;

Creterea ratei de compresie.

Viteza de compresie crete cu pn la

2 ori comparativ cu metoda QuadTree.

Raportul Semnal-Zgomot Maxim

(Peak Signal-Noise Ratio PSNR) estesuperioar ( calitate superioar a imaginii)

metodei QuadTree.

Imagine original 320x320 TrueColor ( 24 biti /pixel - 307 Kb)

13


14/15

Imagine original (307 Kb) JPEG (compresie 40x ) (7,67 Kb)

Imagine original (307 Kb) FIF6 (compresie 100x) (3.08 Kb)

Comparaie intre compresie JPEG si FIF la acelasi factor de compresie;

JPEG (100x) ) (3,06 Kb) FIF6 (compresie 100x) (3.08 Kb)

___________________________________________________

6

FIF Fractal Image FormatConcluzii

14


15/15

Cea mai important trstur a compresiei de imagini cu fractalieste faptul c pstreaz o calitate foarte bun a imaginii incondiiile scalrii la dimensiuni foarte mari. Acest tip de compresiede imagini poate fi aplicat n domeniul medical, acolo unde mediciidoresc s observe detaliile imaginii la diferite scri. De asemenea ndomeniile militar i al sistemelor de securitate aceast trstur este

deosebit de util.Imaginile cu fractali au un timp de decompresie foarte mic, astfel inctsistemele multimedia, video-on-demand i tele-browsing pot progresadatorit faptului c n cadrul acestor sisteme imaginea este comprimat osingur dat i decomprimat de foarte multe ori.

Imaginile comprimate cu fractali au o rat de compresie foartebun, avnd o dimensiune comparabil cu cele comprimate cu JPEG, de multeori chiar mai mic.

Bibliografie

- Wikipedia, the free encyclopedia - http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_compression

- B. Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", W. H. Freeman, San Francisco, 1982 (rev. ed.of "Fractals", 1977).

- C. E. Krohn "Fractal measurements", J. Geophys. (1988)

- B. Mandelbrot - Obiectele fractale, Editura Nemira, 1998

- http://courses.engr.illinois.edu/ece547/notes/compression.pdf

- The hybrid method of a fractal image compression and vector quantization http://www.graphicon.ru/1998/Image_&_Data_Compression/Vatolin_p.pdf

- A.E. Jacquin , Image coding based on a fractal theory of iteratedcontractive i mage transformations IEEE Trans. Image Processing 1(1992) 18 30. Jacquin, image transformations 18-

- Y. Fisher, Fractal image compression , SigGraph 92. compression,

- A.E. Jacquin , Fractal image coding A review Proceedings of theIEEE 81,10 (1993) 1451 1465. Jacquin, coding 1451-

- M. Gharavi Alkhansari , T. Huang, Fractal based techniques for ageneralised image coding method Proc. IEEE ICIP 94, Austin, Texas,Nov 1994. Gharavi-Alkhansari, method ICIP-

- M. Barnsley , L. Hurd , Fractal Image Compression AK Peters. 1993Barnsley, Hurd, Compression

- S. Lepsoy , Block based attractor coding: Potential and comparisonto vector quantization Conference on Signals, systems andComputers, pp. 1504 1508, 1993 Lepsoy, Block-quantization 1504-

- T.Murakami K/ Asai , E/Yamazaki. Vector quantiser of videosignals , Electronics Letters 7 (1982) 1005 1006 Asai, signals,1005-

- R. Hamzaoui , M.Muller, D. Saupe VQ enhanced fractal imagecompression IEEE ICIP96 Hamzaoui, VQ-compression

15
http://courses.engr.illinois.edu/ece547/notes/compression.pdfhttp://www.graphicon.ru/1998/Image_&_Data_Compression/Vatolin_p.pdfhttp://courses.engr.illinois.edu/ece547/notes/compression.pdfhttp://www.graphicon.ru/1998/Image_&_Data_Compression/Vatolin_p.pdf

Copy of Compresia Fractala - Dorinel ENACHE -TCSI

Documents