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UNIVERSIDAD DON BOSCO
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS
ESTADSTICA I
TRABAJO COOPERATIVO N1
Medidas de Tendencia Central y Medidas de Dispersin.
CATEDRTICO:
Lic. Adn Magaa.
PRESENTADO POR:
Sandra Vanessa Escobar Osorio. EO120150
Jorge Adalberto Hernndez Herrera. HH091083
Ftima Elizabeth Muoz Cantizano. MC100464
Marvin Wilfredo Serrano Pineda. SP100694
Carlos Alberto Rivera Navas. RN100510
Mircoles 20 de agosto de 2014
Ciudadela Don Bosco, Soyapango, El Salvador.
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INTRODUCCIN
Hay varias formas de dar una visin de conjunto de los datos. Una
forma es la descripcin
grfica, tambin descripciones numricas de los datos. Los nmeros
como la media o la
mediana dan, de alguna manera, el valor central o medio de los
datos, otros nmeros como
la varianza y la desviacin tpica, miden la dispersin o la
diseminacin de los datos respecto
a la media. En este documento se explican los tipos de medidas
de tendencia central y de
dispersin para distintos grupos de datos.
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MEDIDAS DE POSICIN TENDENCIA CENTRAL
MEDIA ARITMTICA
La media aritmtica, comnmente abreviada por: se obtiene al
dividir la sumatoria de
un conjunto de datos sobre el nmero total de datos. nicamente
aplicable con datos
cuantitativos.
La media para datos no agrupados
La media aritmtica para datos agrupados
Media aritmtica ponderada
Para el grupo de n nmeros 1, 2, 3 ", la media aritmtica es la
suma de los valores de los nmeros, divididos entre n".
En una tabla de distribucin de frecuencias de r clases, donde
los puntos medio son: 1, 2, 3 "; y las respectivas frecuencias son
1, 2, 3 ; la media aritmtica se obtiene as:
Si hay un grupo de observaciones como: 1, 2, 3 ; y un conjunto
de valores 1, 2, 3 ; ligados a: respectivamente, reciben el nombre
de factores de ponderacin.
EJEMPLO DE MEDIA ARITMETICA:
1. Cinco obreros trabajaron un domingo por la maana obteniendo
los siguientes
pagos en dlares ($): 4, 5, 3, 7 y 6.
Cul es el pago medio?
La media aritmtica es (Pago medio):
x = x
n
4 + 5 + 7 + 3 + 6
5
x =25
5 x = $5 Cinco Dlares.
Luego, el jefe decidi pagarles ms por la jornada en factor de
4.
Calcular la nueva media.
As: 4x4=16, 4x3=12, 4x5=20, 4x7=28, 4x6=24
x = x
n
16 +20+28+12+24
5 x =
100
5 x = $20
= 1+ 2+ 3+ +
=
= 11+ 22 + 33++
1+ 2+ 3++
= ()
= 11+ 22 + 33++
1+ 2+ 3++
= ()
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LA MEDIANA
En un grupo de nmeros ordenados de menor a mayor, la mediana es
el nmero colocado en el centro del arreglo, entonces, una mitad de
del grupo est por encima y la otra por debajo de dicho valor. Si el
nmero de observaciones es de nmero par, la mediana es la media de
los dos valores que se hallan en el centro del arreglo de nmeros
crecientes.
Mediana para grupos de datos no agrupados
Mediana para grupos de datos agrupados
Si hay una sucesin de sucesos X1, X2, X3Xn, la mediana si
calcula:
Debe hallar la clase mediana, que se define como la clase ms
baja en que la frecuencia acumulada excede N/2 (siendo N=fi ).
Donde: L = lmite inferior de la clase mediana. N = frecuencia
total o fi. fa = frecuencia absoluta acumulada hasta la clase
premediana fi = frecuencia absoluta de la clase mediana C =
amplitud de la clase mediana.
Si n es par: Si n es impar:
= + 1
2
=
2+
2+1
2
EJEMPLO DE MEDIANA:
2. Los siguientes datos expresan el Rendimiento (en Kilogramos)
de plantas de elote
atacadas por el barrenador:
6.78 9.02 8.65 8.65 6.72 5.26 10.34 3.81 6.81 7.49 4.56 7.16
8.61 3.86
HALLE LA MEDIA:
Solucin: Datos ordenados de menor a mayor:
3.81 3.86 4.56 5.26 6.72 6.78 6.81 7.16 7.49 8.61 8.65 8.65 9.02
10.34
n = 14 (# par), buscar los 2 valores al centro del conjunto de
nmeros
ordenados.
Valores centrales estn en la 7 y 8 posicin.
Calculando la media:
Me =6.81+7.16
2= 6.985 kg
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LA MODA La moda es el valor que aparece con ms frecuencia dentro
de un conjunto de datos
o nmeros.
Moda para datos agrupados
La Moda puede deducirse de una distribucin de frecuencia o de un
histograma a partir de la frmula.
Mo. = Li + [( 1 / 1+2 ) ] c Donde: Li = lmite inferior de la
clase modal (clase de mayor frecuencia absoluta (fa) 1 = diferencia
de las frecuencias absolutas de la clase modal y premodal. 2 =
diferencia de las frecuencias absolutas de la clase modal y
postmodal C = amplitud de la clase modal.
EJEMPLO DE MODA:
Las notas obtenidas por 15 estudiantes de estadstica 1 son las
siguientes:
7 ,7, 9, 10, 10, 10, 10, 5, 7, 8, 8, 9, 8, , 4, 6
Halle la moda del grupo de calificaciones:
El conjunto de datos tiene de moda el valor:
10 porque se repite 4 veces ms que cualquier otro valor.
MEDIA GEOMTRICA
Es la raz de ndice de la frecuencia total cuyo radicando es el
producto de las
potencias de cada valor de la variable elevado a sus respectivas
frecuencias
absolutas, se denota por suele utilizarse cuando los valores de
la variable siguen
una progresin geomtrica.
Se calcula mediante la siguiente frmula = (1 2 )
EJEMPLO DE MEDIA GEOMTRICA:
Ejemplo de una media geomtrica de los nmeros: 1, 2, 3, 4, 5.
N = 5, el nmero total de valores.
Calculando 1/N.
1/N = 0.2
Despus, encontrar la media geomtrica con la frmula.
((1)(2)(3)(4)(5))0.2 =
(120)0.2
La media geomtrica= 2.60517
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MEDIA ARMNICA
Se denota por , se define como el reciproco de la suma de los
valores inversos
de la variable estadstica divididos entre el nmero total de
datos.
Se Calcula con la siguiente formula:
EJEMPLO DE MEDIA ARMNICA:
Encontrar la media armnica del conjunto de datos: 1,2, 3, 4,
5.
Nmero total de valores:
N = 5
Media armnica mediante la frmula:
N/(1/a1+1/a2+1/a3+1/a4+.......+1/aN)
= 5/(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5)
= 5/(1+0.5+0.33+0.25+0.2)
= 5/2.28
La media armnica= 2.19
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MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DE DISPERSIN
VARIANZA
La varianza cuyo smbolo es 2
La varianza ayuda a calcular el promedio de la desviacin al
cuadrado a partir de la
media X.
Su frmula es:
2 =( )
2
Propiedades de la varianza:
1. La varianza es siempre una cantidad no negativa: V(X) 0,
cualquiera que sea la
distribucin ( )2
> 0.
2. La varianza de una constante es cero : V(K)=0
3. La varianza del producto de una constante por una variable es
igual al producto del
cuadrado de la constante por la varianza de la variable: V(KX)=2
()
4. La varianza de la suma o resta de una variable y una
constante es igual a la varianza de la
variable: ( ) = ()
DESVIACIN ESTANDAR
La desviacin tpica o estndar, designada por , es la ms
importante de las
medidas de dispersin. Puede definirse como la raz cuadrada de la
media
aritmtica del cuadro de las desviaciones de cada valor de la
variable con respecto
a la media.
Frmula:
= (X-)
2
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EJEMPLO DE DESVIACIN ESTNDAR Y VARIANZA
3. Considere que los siguientes datos corresponden al sueldo de
una poblacin:
$350, $400, $500, $700 y $1000
Calcular la desviacin estndar y la Varianza:
1 Calcular la media aritmtica.
2 Se aplica la respectiva frmula para calcular la varianza
3 Se calcula la desviacin estndar.
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COEFICIENTE DE VARIACIN
Siempre que sus medias sean positivas, el coeficiente de
variacin permite
comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas se
calcula para cada una
de ellas, y los valores que se obtienen se comparan entre s. La
mayor dispersin
ser del valor que tenga el coeficiente de variacin mayor.
Es la relacin entre la desviacin tpica de una muestra y su
media.
Su frmula para expresarlo en porcentajes es la siguiente:
EJEMPLO DE COEFICIENTE DE VARIACIN
En el mercado hay 15 sacos de papas y 20 de zanahorias. El peso
medio de los
sacos de papas es 58.2 kg y el de los sacos de zanahorias es de
52.4 kg.
Las desviaciones tpicas de los dos grupos son, respectivamente,
3.1 kg y 5.1 kg.
El peso de 1 saco de papas es de 70 kg y el de 1 saco de
zanahorias es 65 kg.
Cul de ellos puede, dentro del grupo de sacos de papas de su
tipo considerarse
ms pesado?
SOLUCIN:
: 1 = 70 58.2
3.1= 3.81
: 2 = 65 52.4
5.1= 2.47
El saco de papas individual es ms grueso respecto de su grupo
que el individual
de zanahorias respecto al suyo.
. . =
100
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BIBLIOGRAFA
Estadstica descriptiva e inferencial
Autor: Antonio Vargas Sabadas. - 1996 Universidad de Castilla,
Espaa.
Introduccin a la teora de probabilidades e inferencia
estadstica.
Autor: Harold J. Larson. - Editorial Limusa, 1978.
Introduccin a la Estadstica Descriptiva.
Autor: Carlota Rey Graa, Mara Ramil Daz. - Netbiblo, 2007.
SITIOS WEB:
Estadstica Descriptiva VITUTOR.
http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_17.html
Coeficiente de Variacin UMA.
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node23.htm