Procesamiento de SealesIngeniera ElectrnicaM.C. Carlos Alejandro de Luna Ortega 20 de Mayo de 2008
Convolucin y Sus PropiedadesComo muchas otras operaciones bsicas, la convolucin goza de algunas propiedades: Conmutativa: Asociativa: x[n]*h[n] = h[n]*x[n] x[n]*(h1[n] *h2[n]) = (x[n]*h1[n] )*h2[n]
Distributiva respecto a la suma: x[n]*(h1[n] +h2[n]) = x[n]*h1[n] +x[n]*h2[n] Elemento neutro: x[n]*[n] = x[n]
Respuesta de un sistema discreto a un Impulso unitario.Los sistemas que cumplen los requerimientos de linealidad e invarianza satisfacen una amplia gama de aplicaciones DSP. Tales sistemas se encuentran completamente caracterizados por su respuesta al impulso, denotada por h[n]. h[n] = T{[n]} Una vez que se ha determinado dicha respuesta, la salida del sistema para cualquier entrada est dada por:
y[n] = T{x[n]} =
x ( k ) h(n k )Unidad II: Seales y Sistemas Discretosk =
que es la convolucin entre la seal de entrada y la respuesta al impulso del sistema. Lo establecido anteriormente se basa en lo siguiente. Dado que cualquier secuencia se puede representar por una combinacin lineal de deltas, tenemos:
y[n] = T{
x(k ) (n k )}k =
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debido a que el sistema se asume lineal, la respuesta del sistema a una suma de entradas es igual a la suma de las respuestas de cada entrada individual. As, la respuesta total tambin puede calcularse como la suma del producto de los escalares x[k] con las respuestas al los impulso delta desplazado:
y[n] =
T{[n-k]} x[k ]k =
definiendo T{[k]}=h(k) y dado que si el sistema es invariante la respuesta a una versin desplazada de la entrada T{[n-k]} es equivalente a la salida desplazada h[n-k], podemos sustituir en la ecuacin anterior:
y[n] =
x ( k ) h(n k )k =
y por la propiedad conmutativa de la convolucin:
y[n] =
h( k ) x( n k )k =
A continuacin se encuentra la respuesta al impulso de algunos sistemas populares: Multiplicador: y[n] = a x[n] Retardador: y[n] = x[n-m]n
h[n] = a[n] h[n] = [n-m]n
Acumulador: y[n] =
x[k ]h[n] = [k] =k = k =
u[n]
Promediador: y[n] =
pL[n]
La convolucin y los sistemas. Los sistemas podemos ahora describirlos adicionalmente a T{x[n]}, por su respuesta al impulso y, en base a este concepto y sus propiedades, establecer una serie de relaciones de interconexin de sistemas.
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Unidad II: Seales y Sistemas Discretos
1 L 1 x[n k ] L k =0 1 L1 [n k ] 1/L h[n] = = L k =0
Las figuras siguientes nos indican cmo podemos combinar sistemas basados en las respuestas impulsionales.
1) Por la propiedad asociativa:
h1[n]
h2[n]
h1[n]*h2[n]
2) Por la propiedad conmutativa:
h1[n]
h2[n]
h2[n]
h1[n]
3) Por la propiedad distributiva:
h1[n] h1[n]+h2[n]
h2[n]
Las propiedades de causalidad y estabilidad, que se refieren nicamente a la relacin entre excitacin y respuesta, son expresables para un sistema L.I. en trminos de su respuesta impulsional.
Causalidad:
h[n]=0
n
