convez

Appunti dalle Lezioni di

Fisica Tecnica

Fisica Tecnica Ambientale

Fondamenti diTrasmissione del Calore

Parte II - Convezione

Prof. F. Marcotullio

A.A. 2006-2007

Indice

Testi consigliati iii

1 La Convezione 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Il numero di Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Metodi di determinazione di h e di Nu . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Concetto di strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Strato limite idrodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Strato limite termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Equazioni dello strato limite laminare . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.1 Equazione di continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.2 Seconda legge del moto di Newton . . . . . . . . . . . . . 101.5.3 Equazione di conservazione dellenergia . . . . . . . . . . 12

1.6 Equazioni in convezione forzata e moto laminare su lastra piana 151.7 Equazioni in convezione naturale e moto laminare su lastra piana 161.8 Parametri adimensionali nella convezione forzata . . . . . . . . . 181.9 Parametri adimensionali nella convezione naturale . . . . . . . . 201.10 Significato fisico dei parametri adimensionali . . . . . . . . . . . 22

2 Equazioni di pratico utilizzo 262.1 Equazioni in convezione forzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1 Lastra piana e flusso laminare . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Lastra piana e flusso turbolento . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.3 Lastra piana e flusso combinato laminare e turbolento . . 292.1.4 Flusso normale a tubi circolari . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.5 Flusso normale a tubi non circolari . . . . . . . . . . . . . 322.1.6 Flusso normale a banchi di tubi circolari . . . . . . . . . . 322.1.7 Flusso interno a tubi circolari . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Equazioni in convezione naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.1 Lastra piana verticale isoterma . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.2 Lastra piana verticale con flusso imposto . . . . . . . . . 362.2.3 Intercapedini chiuse verticali . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.4 Superfici alettate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Equazioni in convezione mista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

i

INDICE ii

A Formule di analisi vettoriale 42A.1 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.2 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.3 Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.4 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.5 Derivata materiale o sostanziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

B Richiami di fluidodinamica 45B.1 La viscosit dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45B.2 Moto laminare e moto turbolento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

C Propriet dellacqua satura 50

D Propriet dellaria secca 51

Testi consigliati

La presente dispensa didattica vuole rappresentare una selezione di argomenti diFisica Tecnica trattati con omogeneit di linguaggio e di simbologia. La speranza quella di fornire al lettore una conoscenza di base che consenta di arontarecon maggiore padronanza i doverosi approfondimenti sui testi consigliatiSaranno graditi suggerimenti nonch la segnalazione di errori ed inesattezze.

Testi consigliati in lingua italiana:

1. Kreith F., Principi di Trasmissione del calore, Liguori, Napoli 1975

2. Guglielmini G., Pisoni C., Elementi di Trasmissione del Calore, Masson,Milano 1996

3. Bonacina C., Cavallini A., Mattarolo L., Trasmissione del Calore, Cleup,Padova 1989

Testi consigliati in lingua inglese:

1. zisik M.N., Heat Transfer - A Basic Approach, McGraw-Hill, New York1985

2. Chapman A.J., Heat Transfer - Fourth Edition, Mcmillan, New York 1987

3. Lienhard J.H. IV, Lienhard J.H. V, A Heat Transfer Textbook, 3rd edition,20011

1 Il testo pu essere scaricato gratuitamente in formato PDF dal sitohttp://web.mit.edu/lienhard/www/ahtt.html

iii

Capitolo 1

La Convezione

1.1 IntroduzioneConsideriamo il caso tipico illustrato in Fig.1.1 in cui la superficie di un corposolido a contatto con un fluido in moto relativo rispetto alla prima. Se la

Solido

w

w

T (P,t)

q(P,t)

T(P,t)

Flui

doS

n

Figura 1.1: Schema tipico dello scambio termico per convezione

temperatura Ts della superficie del solido, che in generale funzione del puntoe del tempo, risulta diversa da quella T del fluido, del calore fluisce dal so-lido al fluido o viceversa e la modalit secondo cui avviene lo scambio dettaconvezione.In tali circostanze il flusso termico q

Wm2viene legato alla dierenza di

temperatura che lo ha causato per il tramite della legge di Newton:

q = h (Ts T) (1.1)

nella quale hWm2K

rappresenta il coeciente di convezione e T una tempe-

ratura caratteristica del fluido.

1

CAPITOLO 1. LA CONVEZIONE 2

Sebbene gi ricordato a suo tempo, si ribadisce qui che il legame espressodalla (1.1) convenzionale e come tale costituisce solo una equazione di de-finizione del coeciente di convezione h; questo dipende, infatti, da numerosifattori e la sua individuazione costituisce il problema dello scambio termico perconvezione il quale si presenta, in generale, matematicamente molto complesso.Per meglio chiarire si riconsideri la situazione di Fig.1.1. Se, come usual-

mente ipotizzabile, la rugosit della superficie fa s che un sottile stato di fluidoa diretto contatto della superficie solida sia in quiete, possibile esprimere ilmodulo del flusso termico convettivo q(P, t) presente nella (1.1) attraverso lalegge di Fourier:

q = Tn

S

(1.2)

dove n rappresenta la normale esterna ad S nel punto considerato e rispettoalla quale misurato il gradiente termico; con si indicata la conducibilittermica interna del fluido. Uguagliando le (1.1; 1.2), si ricava che:

h = Tn

S

(Ts T)(1.3)

da cui si vede che la valutazione di h possibile a patto che sia nota la distri-buzione della temperatura nel fluido in moto.

1.2 Il numero di Nusselt

T

(a) (b)

T1 1

w

w = 0w

2

c

k

2T

q

l l

q

T

Figura 1.2: Flusso termico per convezione pura (a) e conduzione pura (b)

La forma adimensionale della (1.3) si ottiene modificandola prima come:

h=

Tn

S

(Ts T)

ed osservando poi che il primo membro dellequazione cos ottenuta ha le dimen-sioni dellinverso di una lunghezza. Indicando con l una lunghezza caratteristica


Figura 1.3: Wilhelm Nusselt, Germania (1882 - 1957)

del sistema, si pu scrivere:

hl=

Tn

S

(Ts T) /l(1.4)

nella quale ambo i membri sono adimensionali. Il raggruppamento hl che com-pare nella (1.4) ricorda nella forma il numero di Biot visto nello studio dellaconduzione. Da questo si dierenzia per il solo fatto che la conducibilit termicache vi compare si riferisce al fluido per cui, anche allo scopo di evitare confu-sioni, il suddetto raggruppamento adimensionale viene denominato numero diNusselt e indicato con Nu:

Nu =hl

(1.5)

Moltiplicando e dividendo per una dierenza di temperatura di riferimento Tsi ha:

Nu =hTT/l

Il numero di Nusselt pu essere visto, pertanto, come una misura quantitativadel rapporto tra due flussi termici (Fig.1.2) :

il primo, pari a hT , quello che attraversa lo strato fluido di spessore lper convezione pura (Fig.1.2,a);

il secondo, pari a T/l, quello che attraversa lo strato fluido perconduzione pura (Fig.1.2,b).

Ora, se come aermato a suo tempo, la convezione rappresenta uno scambiotermico conduttivo potenziato dal moto del fluido, il numero di Nusselt costitui-sce la misura quantitativa di questo potenziamento. Bassi valori del numero diNusselt (quelli dellordine di grandezza dellunit) sono perci tipici di situazioniin cui i moti convettivi sono praticamente inesistenti e lo scambio termico av-viene, in eetti, per conduzione pura. Elevati valori del numero di Nusselt (102

o anche 103) sono, al contrario, indicativi di uno scambio convettivo ecace.


1.3 Metodi di determinazione di h e di NuAllo scopo di determinare la distribuzione di temperatura allinterno del fluido inmoto come richiede le (1.3, 1.4), necessario risolvere un problema di meccanicadei fluidi nella regione a ridosso della superficie solida. Nel caso pi generale ladescrizione dei moti convettivi richiede la conoscenza di sei funzioni, del puntoe del tempo, costituite dalle tre componenti della velocit (wx, wy, wz), dallapressione p, dalla densit e della temperatura T . Sei equazioni dierenzialisono richieste per determinare queste sei funzioni. Cinque di queste sei equazionisono derivate da leggi fisiche fondamentali la cui validit prescinde dalla naturadel fluido considerato. Tali leggi sono rappresentate:

1. dal principio di conservazione della massa;

2. dalla seconda legge del moto di Newton;

3. dal principio di conservazione dellenergia ovvero dal primo principio dellatermodinamica.

Esse possono venire applicate indierentemente:

al fluido presente allinterno del cosiddetto volume di controllo ossia ad unaentit geometrica scelta arbitrariamente e fissa nello spazio. Attraversola frontiera del volume di controllo detta superficie di controllo pu fluiremassa, quantit di moto ed energia (punto di vista Euleriano);

ad una porzione di materia di identit fissa e definita (sistema) in motonel fluido. Essa presenta massa costante e pu interagire con ci che lacirconda (punto di vista Lagrangiano).

Lequazione mancante in genere costituita dallequazione di stato del fluidoovvero dallequazione della trasformazione che il fluido subisce nel corso delfenomeno1.Nel caso generale richiesta la soluzione simultanea di queste sei equazioni

associate con le opportune condizioni al contorno ed iniziale che identificanoil particolare problema trattato. Una volta che la temperatura T (P, t) statadeterminata, la valutazione di h si ottiene applicado la (1.3).Si comprende sin da ora che la soluzione analitica del problema termico

convettivo posto nella sua generalit presenta dicolt non superabili ancheper sistemi relativamente semplici e di limitato interesse applicativo.Una semplificazione pu essere introdotta ricorrendo allausilio della teoria

dello strato limite di Prandtl. Se il moto laminare (vedi Appendice B.2)tale approccio porta alla scrittura delle cosiddette equazioni dello strato limitelaminare le quali possono essere risolte, sia pure con una certa dicolt, persistemi geometricamente semplici (deflusso su lastra piana o allinterno di tubicircolari) e fluido incomprimibile2. Se il moto turbolento (vedi Appendice B.2)il problema si complica sensibilmente. Infatti, in questo caso le traiettorie delleparticelle sono del tutto casuali e le grandezze cinematiche assumono i caratteri

1Si parla in questo caso di equazione ausiliaria in quanto, a dierenza delle altre, caratteristica del fluido considerato.

2 Si veda allo scopo, tra i testi consigliati, ad esempio Guglielmini G., Pisoni C. oppurezisik M.N.


delle variabili aleatorie. Ci nonostante, se lattenzione viene rivolta ai valorimedi temporali delle grandezze cercate e non a quelli istantanei, possibilesviluppare le cosiddette equazioni dello strato limite turbolento la cui soluzione stata tentata, ancora, per casi geometricamente semplici.Per casi geometricamente complessi e moto turbolento (quelli che ricorrono

nelle applicazioni dellingegneria) lapproccio generale resta quello sperimentale.In questa ipotesi corre lobbligo di razionalizzare lattivit di laboratorio limi-tando la misura ai soli parametri che influenzano in modo significativo il feno-meno studiato. E questo un passo molto delicato che pu influenzare non pocola mole di dati sperimentali da determinare, ordinare e interpretare. Stabilirequali siano e, soprattutto, quanti siano questi parametri richiede una profon-da conoscenza del fenomeno che pu essere guadagnata dalla formulazione dimodelli matematici adeguati. E questultima la strada seguita in queste pagi-ne. Dopo aver illustrato il concetto di strato limite e le relative peculiarit (1.4), si determineranno le equazioni dello strato limite laminare per geometriebidimensionali e fluido incomprimibile ( 1.5). Successivamente dette equazionivengono specializzate per lo studio della convezione forzata e naturale ( 1.6 e1.7).Ladimensionalizzazione di tali ultime equazioni evidenzia, come mostrato

pi volte nello studio della conduzione, che lo scambio termico convettivo puessere formulato attraverso parametri adimensionali il cui numero risulta net-tamente inferiore3 a quello delle variabili indipendenti dimensionali con note-vole vantaggio sulla interpretazione, rappresentazione e lutilizzo delle misuresperimentali.Questo approccio allo studio della convezione, che prevede la combinazione di

metodi analitici ed indagine sperimentale, si concretizza in equazioni semplici astruttura monomia le quali sono idonee a rispondere alle esigenze dellingegneria.Alcuni esempi di tali equazioni sono riportate nel Capitolo 2 al solo scopo dimostrarne la struttura e le modalit di utilizzo.

1.4 Concetto di strato limite

1.4.1 Strato limite idrodinamico

A solo titolo di esempio si faccia riferimento al caso semplice illustrato in Fig.1.5dove una lastra molto sottile investita da una corrente fluida isoterma (T =T) in moto laminare con velocit uniforme wx(x, y) = u.Allorch la corrente incontra la lastra lassetto delle velocit allinterno della

massa fluida si modifica (vedi Fig.1.5). In particolare si osserva che:

wx = wy = 0 per y = 0wx = u; wy = 0 per y

(1.6)

con wx e wy le componenti della velocit w nella direzione x e y rispettivamente.Ne deriva la nascita di gradienti di velocit (in precedenza assenti) che sonomassimi per y = 0 (dove le particelle sono ferme) e si attenuano rapidamenteal crescere di y sebbene in misura diversa con x. Alla nascita dei gradienti di

3 Il numero n eettivo dei parametri adimensionali dato dal numero N delle variabiliindipendenti che influenzano il fenomeno diminuito dal numerom delle grandezze fondamentalinecessarie a descrivere le prime (Teorema di Buckingham).


Figura 1.4: Ludwig Prandtl, Germania (1875 - 1953)

velocit consegue quella degli sforzi viscosi proporzionali ai primi per il tramitedella viscosit dinamica (vedi Appendice B.1).Sono pertanto riconoscibili nel dominio fluido due regioni:

la prima, quella pi lontana dalla superficie solida, nella quale la correntefluida conserva, a tutti gli eetti pratici, le caratteristiche cimematiche edinamiche originarie;

la seconda, quella pi prossima alla superficie, nella quale i gradienti di ve-locit sono intensi e gli sforzi viscosi non possono, perci, essere trascurati.Tale regione denominata strato limite idrodinamico4 .

Lo strato limite idrodinamico ha uno spessore. Lo spessore dello strato limiteidrodinamico H(x) definito convenzionalmente come il luogo dei punti incui la velocit raggiunge il 99% della velocit della corrente indisturbata u,ossia wxu = 0.99. Sebbene lo spessore dello strato limite idrodinamico dipendadalle caratteristiche del fluido, dalla forma della superficie e dallo stato di motonella corrente, esso si presenta usualmente molto piccolo se confrontato con ledimensioni del corpo immerso nel fluido.Al crescere di x cresce il numero di Reynold locale Rex = xu per cui se la

dimensione della lastra l (quella nella direzione del moto della corrente fluida) tale che l > xc con:

xc = Recu

2 105 u

ha inizio una fase di transizione al termine della quale il moto turbolento(vedi Fig.1.6). Lo strato limite turbolento caratterizzato da un profilo divelocit che assume un andamento approssimativamente lineare a ridosso dellalastra. Ci giustificato dalla permanenza, a causa degli elevati sforzi viscosi,di un sottile strato di fluido in moto laminare (substrato laminare) che avvolgela superficie solida. Al di fuori del substrato laminare il profilo della velocit

4Detto anche strato limite di velocit.


u

u

s

s

x

T

T - T

w

T

(x)(x)

y

HT

x

Figura 1.5: Lastra piana investita da una corrente in moto laminare

Regione laminare

Sottostrato laminare

Transizione Regione turbolenta

Figura 1.6: Transizione tra regime laminare e turbolento. Sottostrato laminare.

presenta un andamento relativamente piatto se confrontato con quello tipico(approssimativamente parabolico) della regione laminare.

1.4.2 Strato limite termico

Se la temperatura Ts della superficie solida esposta al fluido, che possiamosupporre per semplicit uniforme, diversa da T, allora la distribuzione dellatemperatura nel fluido, inizialmente uniforme per ipotesi, si modificher nelrispetto delle seguenti condizioni al contorno (vedi Fig.1.5):

T = Ts per y = 0T = T per y

(1.7)

Ne consegue la comparsa di gradienti di temperatura che si presentano pimarcati in corrispondenza della superficie solida e si attenuano con la distanzay sebbene in misura diversa con x (vedi Fig.1.5). In analogia a quanto visto per


il campo delle velocit, ragionevole pensare di dividere il dominio del fluido indue regioni:

la prima, quella pi lontana dalla parete, nella quale i gradienti di tem-peratura sono, a tutti gli eetti pratici, inesistenti e la temperatura puessere ritenuta uniforme e pari a quella della corrente indisturbata T;

la seconda, quella pi prossima alla parete solida, nella quale sono presentigradienti di temperatura significativi; tale regione viene denominata stratolimite termico.

Anche lo strato limite termico ha uno spessore. Lo spessore dello stratolimite termico T (x) definito convenzionalmente come il luogo dei punti in cuila dierenza di temperatura T Ts ha raggiunto il 99% della dierenza TTs( TTsTTs = 0.99). Esso dipende dalle propriet del fluido e dal regime di moto.Nonostante le forti analogie tra il concetto di strato limite idrodinamico e

termico, vale la pena di osservare che mentre il primo sempre presente, ilsecondo nasce solo se T 6= Ts. Inoltre, sebbene siano in generale diversi, lospessore dello strato limite termico ed idrodinamico presentano lo stesso ordinedi grandezza:

O(H) = O(T )

1.5 Equazioni dello strato limite laminareNel seguito vengono ricavate le equazioni dierenziali dello strato limite lami-nare. Si assumeranno lecite le seguenti ipotesi:

a. processo stazionario;

b. moto bidimensionale (wz = 0);

c. fluido incomprimibile ( = cost);

d. propriet termofisiche del fuido costanti5.

In tali condizioni le funzioni incognite si riducono a quattro (wx, wy, p, T ) ed pertanto suciente considerare le quattro equazioni dierenziali che esprimonoil principio di conservazione della massa, la seconda legge del moto di Newtone il principio di conservazione dellenergia.

1.5.1 Equazione di continuit

Lequazione di continuit esprime il principio di conservazione della massa. Essaviene qui ottenuta operando un bilancio di massa su un volume di controlloinfinitesimo dV = dx dy 1 fisso nello spazio costruito nellintorno di un puntoP qualunque allinterno dello strato limite idrodinamico (vedi Fig.1.7). Per lastazionariet (ipotesi a.) il principio di conservazione della massa del volume dicontrollo dV richiede che:

la massa entrantenellunit di tempo

in dV

=

alla massa uscentenellunit di tempo

da dV

(1.8)

5 Il fluido perci newtoniano.


Figura 1.7: Volume di controllo allinterno dello strato limite di velocit

Lo schema di Fig.1.7 mostra che per flusso bi-dimensionale (ipotesi b.) si hache:

la massa entrantenellunit di tempo

in dV= (wx)x dy 1 + (wy)y dx 1

e:

la massa uscentenellunit di tempo

da dV=

(wx)x +

wxx

dxdy 1 +

(wy)y +

wyy

dydx 1

Sostituendo le equazioni precedenti nella (1.8) e semplificando si ottiene che:

(wx)x

+ (wy)y

= 0

Tenuto conto dellipotesi c. (fluido incomprimibile) si ha infine:

wxx

+wyy

= 0 (1.9)

la quale pu essere impiegata senza errori apprezzabili anche nel caso di correntigassose purch la pressione subisca modeste variazioni6.La (1.9) mostra che allinterno dello strato limite idrodinamico la wxx e la

wyy sono dello stesso ordine di grandezza:

Owxx

= O

wyy

Ancora allinterno dello strato limite idrodinamico, vale la relazione:

O (y) = O (H)

6 Si pensi, ad esempio, a tutte quelle applicazioni in cui il il moto del fluido avviene conbasse perdite di carico.


Inoltre per quanto gi ricordato si pu assumere che:

O (H) O(x)

essendo O(x) = O(l) con l una dimensione caratteristica della superficie solida.Ne consegue che O (wy) = O

wx Hx

e quindi:

O (wy) O (wx) (1.10)

1.5.2 Seconda legge del moto di Newton

Si consideri un sistema di volume dV e massa costante dm = dV in moto con ilfluido allinterno dello strato limite idrodinamico. La legge del moto di Newtonapplicata al sistema suddetto si scrive:

[Massa accelerazione] = [Risultante delle forze applicate]

ossia:

dVDwDt

= dF (1.11)

dove con DwDt si indicata la derivata materiale di w7.

La dF rappresenta la risultante di due distinti sistemi di forze:

le forze di volume (quelle che nascono allorch lelemento di volume vienea trovarsi in un campo di forze come quello gravitazionale, magnetico,elettrico, . . .) di risultante dFv;

le forze di contatto o di superficie (quelle che agiscono direttamente sullasuperficie del sistema) di risultante dFs.

Ricordando la (1.10) appare lecito assumere che, allinterno dello strato li-mite, la velocit w coincida a tutti gli eetti pratici con la wx. Ne conse-gue immediatamente che allequazione vettoriale (1.11) si pu sostituire la solascalare:

dVDwxDt

= dFx = dFx,v + dFx,s (1.12)

con ovvio significato dei simboli.Lasciando da parte le forze di volume su cui si ritorner pi avanti, la Fig.1.8

mostra che la risultante dFx,s delle forze di superficie agenti sul sistema nelladirezione x vale:

dFx,s = (p)xdy 1 ()ydx 1 +(p)x +

px

dxdy 1 +

()y +

y

dydx 1

Semplificando si ha:

dFx,s =y px

dV

7Data un funzione f(x, y, z, t) si definisce derivata sostanziale o materiale di f la DfDt =ft +wx

fx +wy

fy +wz

fz . Sul significato della derivata materiale si veda lappendice A.7.


Figura 1.8: Forze di superficie agenti nella direzione x ed y su un sistemainfinitesimo di volume dV = dx dy 1 in moto allinterno dello strato limite

Ricordando che = wxy si ottiene:

Fx,s =

2wxy2

px

dV

nella quale si tenuto conto dellipotesi d. (propriet termofisiche del fuidocostanti).Sostituendo nella (1.12) si ha:

DwxDt

= Fx,v + 2wxy2

px

(1.13)

Considerando le ipotesi a. e b.8 e riordinando, si ha infine:

wx

wxx

+ wywxy

= Fx,v +

2wxy2

px

(1.14)

I termini che compaiono nella (1.14) rappresentano forze per unit di volumeNm3agenti nella direzione x. Pi esattamente:

i termini presenti a primo membro sono forze dinerzia; i termini a secondo membro costituiscono, nellordine, forze di volume,forze viscose e forze di pressione.

utile per gli sviluppi futuri rimarcare che9:

Opy

O

px

8Fenomeno stazionario e bidimensionale.9 Infatti un sistema di forze analogo a quello agente nella direzione x agisce ovviamente

anche nella direzione y. In conseguenza della (1.10), tuttavia, le componenti del primo sonomolto pi grandi delle corrispondenti componenti del secondo.


la quale equivale ad assumere che:

p = p(x)

1.5.3 Equazione di conservazione dellenergia

Figura 1.9: Potenza termica scambiato da un sistema infinitesimo di volumedV = dx dy 1 in moto allinterno dello strato limite

Consideriamo ancora il sistema infinitesimo di massa costante in moto conil fluido allinterno dello strato limite termico. Per il primo principio dellatermodinamica si pu scrivere il bilancio energetico seguente:

lenergia termicanetta entrantein dV nel

tempo unitario

+

il lavoro nettofatto su dV dalleforze esterne

nel tempo unitario

=

Aumentodellenergia

totale di dV neltempo unitario

In simboli:

Q+ L = dVDeDt

nella quale con e si indicata lenergia totale riferita allunit di massa del siste-

maJkg

. Poich lenergia termica viene scambiata localmente per conduzione,

lo schema di Fig.1.9 mostra che:

Q =qxdy 1 + qydx 1+

qx +

qxx dx

dy 1

qy +

qyy dy

dx 1

Semplificando si ottiene che:

Q = qxx

+qyy

dV


Ricordando lequazione di Fourier e supponendo la conducibilit termica delfluido indipendente da T (ipotesi d.), si ha:

Q = 2Tx2

+2Ty2

dV

Poich anche per lo strato limite termico si pu ipotizzare che:

O(y) O(x)

si pu aermare che:2Tx2

2Ty2

per cui:

Q = 2Ty2

dV (1.15)

Per il calcolo del lavoro fatto sul sistema nellunit di tempo dalle forze di volume

Figura 1.10: Lavoro delle forze di superficie sullelemento di volume dV in motoallinterno dello strato limite.

suciente considerare che:

LV =Fv w

dV ' Fx,v wxdV

in virt della (1.10).Il lavoro fatto sul sistema dalle forze di superficie nellunit di tempo dato

dalla somma di quello dovuto alla pressioneLp

e quello dovuto agli sforzi

viscosiL

. La Fig.1.10 evidenzia che il primo dato dalla:

Lp = (p wx)

x+ (p wy)

y

dV


Se si sviluppano le derivate si ricava facilmente che10:

Lp ' wx pxIl secondo, conseguente al solo11 sforzo viscoso agente nella direzione x, vale:

L =h (wx)y + (wx)y+dy

idx 1

Sviluppando in serie di Taylor, riordinando e ipotizzando costante la viscositdinamica si ottiene infine:

L =y

wxy

wx

dV =

"wxy

2+ wx

2wxy2

#dV

La DeDt si pu ricavare facilmente se si tiene conto che lenergia pu essere ac-cumulata nel sistema sotto forma di energia interna ed energia cinetica12. Siha:

DeDt

=DDt

u+

1

2w2=

DDt

u+

1

2

w2x + w

2y

DDt

u+

1

2w2x

Tenuto conto che il fluido considerato incomprimibile e ricordando lipotesi d.(propriet del fluido costanti) si ha che:

DuDt

= cvDTDt

Inoltre, poich DDt12w

2x

= wx DwxDt si ottiene che:

DeDt

=

cvDTDt

+ wxDwxDt

Lequazione di conservazione dellenergia (??) diventa, pertanto:

cvDTDt

+ wxDwxDt

=

2Ty2

+ Fx,V wx +

+wxy

2+ wx

2wxy2

(1.16)

Ulteriori semplificazioni sono possibili. Allo scopo si consideri la (1.13) molti-plicata per wx:

wxDwxDt

=

Fx,V +

2wxy2

wx

10 Infatti si ottiene p(wxx +wyy )wx

px wy

py . Ma

wxx +

wyy = 0 per la (1.9) e

wxpx wy py per quanto fin qui detto.

11E semplice verificare infatti che:

O (w)x = Ow2xH

; O (w)y = O

#w2yx

$

da cui consegue che (w)x (w)y .12Lenergia potenziale inclusa nel lavoro compiuto dalle forze di massa.


Sottraendo la precedente dalla (1.16) si ha:

cvDTDt

= 2Ty2

+ wxy

2Sviluppando, considerando le ipotesi a. e b.13 e riordinando, si ha infine:

wxTx

+ wyTy

= 2Ty2

+cv

wxy

2(1.17)

in cui e = rappresentano la diusivit termica e la viscosit cinematicarispettivamente.Vale la pena di notare che la (1.17) pu essere applicata anche nel caso di

correnti gassose in tutti quei casi in cui la pressione subisca piccole variazioni.

1.6 Equazioni in convezione forzata e moto la-minare su lastra piana

In generale, la soluzione di un problema di convezione forzata bi-dimensionalestazionaria e moto laminare richiede la determinazione di quattro funzioni in-cognite: wx(x, y), wy(x, y), p(x) e T (x, y).Allo scopo possono essere impiegate le equazioni dello strato limite laminare

ricavate nel precedente paragrafo. In particolare , la (1.9), la (1.14) nella qualesono state trascurate le forze di volume14 e dalla (1.17):

wxx

+wyy

= 0 (1.18a)

wxwxx

+ wywxy

= 2wxy2

1px

(1.18b)

wxTx

+ wyTy

= 2Ty2

+cv

wxy

2(1.18c)

Lequazione mancante pu essere ricavata considerando che la (1.18b) per y H fornisce15:

uux

= 1px

(1.19)

la quale mostra che il gradiente di pressione presente nella (1.14) legato allavelocit, nota, u(x) della corrente indisturbata.Alle equazioni dierenziali precedenti vanno aggiunte le condizioni al con-

torno proprie del particolare problema trattato. Nel caso semplice di deflussolaminare su lastra piana le condizioni al contorno cinematiche e termiche sonoespresse dalle:

wx = wy = 0 per y = 0wx = u; wy = 0 per y

T = Ts per y = 0T = T per y

13Fenomeno stazionario e bidimensionale.14Questa una ipotesi generalmente lecita in convezione forzata.15Quando y H wx u(x) e wy 0.


Come si vede, se le propriet del fluido possono essere assunte costanti comeespresso dallipotesi d., la temperatura non compare n nellequazione di conti-nuit n in quella del moto per cui il problema della determinazione della velocitsi presenta disaccoppiato da quello della determinazione della temperatura.Inoltre, se si tiene conto che O(wx) = u e O(y) = H la (1.18b) permette

di ricavare che:

O

u2x

= O

u2H

da cui:

O (H) = Or

xu

Si pu aermare, pertanto, che lo spessore dello strato limite laminare cresce conla distanza dal bordo di attacco (x) e diminuisce con la velocit della corrente. Aparit di queste, lo spessore dello strato limite idrodinamico tanto pi grandequanto pi grande la viscosit cinematica del fluido.In termini adimensionali, si ricava altres che:

OHx

= O

r

ux

= O

1Rex

in cui si indicato con Rex il numero di Reynold locale.

1.7 Equazioni in convezione naturale e moto la-minare su lastra piana

Poich in convezione naturale la massa fluida al di fuori dello strato limiteidrodinamico in quiete (u = 0), dalla (1.19) discende che

dpdx = 0. Varian-

do opportunamente il sistema di riferimento (vedi Fig.1.11), le equazioni chegovernano la convezione naturale bidimensionale stazionaria e moto laminaresono rappresentate dalla (1.9), dalla (1.14) e dalla (1.17) nella quale, a causadelle basse velocit, si trascurato il termine che tiene conto degli eetti didissipazione viscosa:

wxx

+wyy

= 0

wxwxx

+ wywxy

= Fx,v + 2wxy2

wxTx

+ wyTy

= 2Ty2

Come mostra la Fig.1.11, si supporr che le forze di volume agenti sullunit divolume del sistema nella direzione x siano costituite dalla risultante della forzadi gravit (g) e della forza di galleggiamento di Archimede (g)16 . Si ha:

Fx,v = g ( ) (1.20)

Ora, poich le variazioni di densit sono conseguenza della distribuzione (in-cognita) della temperatura allinterno della massa fluida, Fx,v una funzione

16Ricordiamo che un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso lalto parial peso del volume di liquido spostato (legge di Archimede).


di T . Tale legame pu essere espresso facilmente attraverso la conoscenza delcosiddetto coeciente di dilatazione cubica definito come:

= 1

T

p

da cui si ricava che17:d= dT

Siccome le variazioni di densit conseguenti dalle variazioni della temperatura

y

H

x

(x)

S

x

V = 1T

T

T

g

g

T T

TT 10 nel qual casovalgono le (1.35, 1.36). Al contrario, valori del medesimo parametro tali cheGrRe2 < 0.1 caratterizzano situazioni in cui la convezione forzata a prevaleree quindi valgono le (1.40, 1.41). Valori tali che 0.1 < GrRe2 < 10 vedono laconvezione naturale e forzata giocare un medesimo ruolo sul fenomeno convettivoglobale. Come valutare il numero di Nusselt in questa circostanza verr vistonel seguito ( 2.3).

1.10 Significato fisico dei parametri adimensio-nali

I legami funzionali espressi dalle (1.35, 1.36) per convezione forzata e gli analoghi(1.40, 1.41) validi per convezione naturale costituiscono la base per lanalisi ela correlazione dei dati sperimentali e, bench ricavati per flusso laminare, essiconservano la loro validit anche in flusso turbolento sebbene la struttura dellegame funzionale sia ovviamente diversa per i due casi.Inoltre, i medesimi legami funzionali presentano alcuni vantaggi che riassu-

miamo:

1. Le equazioni (1.35, 1.36) e (1.40, 1.41) hanno una validit che prescindedal sistema di unit di misura purch coerente20 .

2. Se la soluzione del problema termico convettivo viene eettuata per viasperimentale risulta certamente pi comodo ed economico ricercare il le-game funzionale tra i quattro raggruppamenti adimensionali presenti nelle(1.35, 1.36) e (1.40, 1.41) piuttosto che tra la conduttanza convettiva uni-taria h e u, l, , , g, T , cp, , e . Inoltre pi semplice ed economicola successiva analisi e rappresentazione dei risultati su grafici o tabellein tutti quei casi in cui impossibile esprimere in una forma analiticasemplice ed accurata il legame funzionale cercato.

3. La possibilit di estendere i risultati sperimentali anche a situazioni non di-rettamente sperimentate. Il risultato di una determinazione sperimentaleconsiste nella misurazione dei valori assunti dalle n grandezze che parteci-pano al fenomeno in quella particolare situazione e, successivamente, allacostruzione di m raggruppamenti adimensionali. Ora si comprende beneche il risultato oerto da questo singolo punto sperimentale possa fornireinformazioni su tutti quei casi non direttamente sperimentati i quali, seb-bene caratterizzati da una npla di valori diversi singolarmente da quellisperimentali, sono per tali da ricostruire, di quelli, i medesimim valori deiraggruppamenti adimensionali. Ci viene ecacemente evidenziato dallaFig.1.13 la quale riporta numerosi risultati sperimentali di flusso normalea tubi circolari graficati in funzione di parametri adimensionali. Come sivede esistono situazioni in cui due risultati che si riferiscono a fluidi diver-si e a sperimentatori diversi (e quindi a valori dierenti dei singoli valori

20Un sistema di unit di misura si dice coerente quando il prodotto o il quoziente di piunit di tale sistema forniscono una nuova unit il cui valore sempre unitario


delle variabili dimensionali) forniscono risultati del tutto sovrapponibili seriferiti a parametri adimensionali.

2

mw

0.4

0.25

2 3 4 5

10

110

10

10

(Nu

/Pr

)/(

/

)

Re10 10 10

Water, paraffintransformer oil

AirAirWaterWater

Nitrogen

Water, ethylene glycol

Figura 1.13: Numero di Nusselt medio per flusso su tubi circolari (da M. Necatizisik: Heat Transfer - A Basic Approach)

In analogia a quanto fatto a suo tempo per il numero di Nusselt, opportu-no a questo punto tentare di assegnare un significato fisico ai raggruppamentiadimensionali Re, Gr, Ec e Pr.

Numero di Reynolds

Il numero di Reynolds esprime il rapporto:

Re =Forze dinerziaForze viscose

=u2lul2=ul

come mostrato chiaramente dalla (1.28). Ci significa che bassi valori di Recaratterizzano situazioni in cui sono preponderanti le forze viscose mentre, alcontrario, sono preponderanti le forze dinerzia allorch si in presenza di elevativalori di Re. Proprio per tale significato il numero di Reynolds viene impiega-to come parametro per individuare i campi di esistenza del moto laminare edel moto turbolento. Bassi valori del numero di Reynolds sono associati al mo-to laminare nel quale piccoli disturbi presenti nel fluido vengono prontamentesmorzati dai preponderanti eetti viscosi. Allaumentare del numero di Rey-nolds le forze dinerzia diventano dominanti e anche piccoli disturbi presentinel fluido vengono amplificati provocando la transizione dal moto laminare almoto turbolento. Il valore di Re a cui si presenta la transizione dipende dallecaratteristiche del sistema. Per i casi che qui pi ci interessano, quali il motodel fluido su piastra piana o allinterno di tubi circolari, il numero di Reynoldscritico assume valori dellordine di 5 105 e 2000 4000 rispettivamente.


Numero di Prandtl

Il numero di Prandtl presenta una particolarit rispetto a tutti gli altri: infattilunico che composto da sole caratteristiche fisiche del fluido. Per poter risalireal suo significato fisico conveniente riconsiderare le equazioni del moto e diconservazione dellenergia che riportiamo per comodit:

wxwxx

+ wywxy

= 2wxy2

wxTx

+ wyTy

= 2Ty2

Come si vede le due equazioni scritte in questa forma sono analoghe e mostra-no che la viscosit cinematica gioca, nellequazione che governa il moto delfluido, lo stesso ruolo della diusivit termica nellequazione che esprime laconservazione dellenergia. Sulla base di quanto detto, il numero di Prandtl puessere visto come il rapporto tra la grandezza responsabile della trasmissionedella quantit di moto (la viscosit cinematica detta per tale motivo anchediusivit della quantit di moto) e che, come tale, determina lassetto del cam-po di velocit e della diusivit termica che, invece, responsabile dellassettodel campo termico:

Pr =diusivit della quantit di moto

diusivit termica=

E semplice comprendere, pertanto, che al numero di Prandtl legato lo spessorerelativo dello strato limite termico e idrodinamico per cui tali spessori sono similise Pr ' 1 (gas) mentre gli stessi spessori si presentano fortemente dierenziatinei casi in cui Pr 1 (olii in generale) ovvero Pr 1.

Numero di Eckert

Il numero di Eckert pu essere visto come il rapporto tra due dierenze ditemperatura:

Ec =Di. di temp. dovuta alla dissipazione viscosa

Di. di temperatura di riferimento=u2/cpT

Infatti, mentre la dierenza di temperatura che compare al denominatore (T =TST) quella alla base dello scambio termico convettivo (equazione di New-ton per la convezione), la dierenza di temperatura al numeratore quella chesubirebbe lunit di massa di fluido se la relativa energia cinetica (proporzionaleal quadrato della velocit) venisse interamente dissipata, in modo adiabatico,per eetto viscoso. Ci vuol dire che bassi valori del numero di Eckert ca-ratterizzano situazioni in cui la potenza termica generata per eetto viscoso trascurabile rispetto a quella coinvolta nello scambio termico convettivo. Il nu-mero di Eckert pu quindi costituire un criterio quantitativo per decidere se nelbilancio espresso dallequazione dellenergia possano essere trascurati o meno glieetti della dissipazione viscosa associati al moto del fluido. A conferma di que-sta interpretazione osserviamo che Ec compare solo nellequazione dellenergiae moltiplica proprio il termine che tiene conto del lavoro fatto, nel moto, daglisforzi viscosi.


Per meglio chiarire si riconsideri la (1.30) che riportiamo per comodit:

w+

T+

+ w+

T+

=

1

RePr2T+

2+EcRe

w+

!2

Poich O(T+) = O(w+ ) = 1, i termini a secondo membro sono confrontabili seO

1RePr

= O

EcRe

ovvero se O

1Pr

= O (Ec).

Possono darsi diverse circostanze:

il fluido in moto un gas. In questa ipotesi Pr ' 1 e gli eetti viscosinon possono essere trascurati se O

u2

cpT

= 1. Essendo 103 lordine di

grandezza di cp la condizione precedente si presenta solo se il moto del gas supersonico e la dierenza di temperatura T molto piccola (10 C omeno);

il fluido un liquido. Per i liquidi il numero di Prandtl fortementevariabile in relazione alla struttura molecolare. Per liquidi a strutturamolecolare semplice (lacqua ad esempio) O(Pr) = 10mentre per liquidi astruttura molecolare complessa (oli lubrificanti) O(Pr) = 105. Nel caso diliquidi a struttura molecolare semplice lipotesi di trascurare il termine didissipazione viscosa deve essere attentamente verificata. Nel caso di liquidia struttura molecolare complessa trascuarare il termine di dissipazioneviscosa non mai possibile.

Numero di Grashof

Il numero di Grashof pu essere interpretato partendo dal significato fisico delraggruppamento adimensionale gT lu2 che compare nella (1.37b):

gT lu2

=Forze di galleggiamento

Forze dinerzia

e ricordando la scelta fatta nel definire la velocit di riferimento u. In quellaoccasione si scelse di porre Re = 1 con la conseguenza che u = l e, in questascala, le forze dinerzia uguagliano le forze viscose. Con tali posizioni lequazioneprecedente fornisce:

gT l32

= Gr =Forze di galleggiamento

Forze viscose

E evidente lanalogia tra il numero di Reynolds ed il numero di Grashof ilquale gioca, nella convezione naturale lo stesso ruolo del primo nella convezioneforzata. Cos nella convezione naturale il valore del numero di Grashof ilcriterio quantitativo che consente di individuare i limiti di esistenza del regimelaminare e di quello turbolento.

Capitolo 2

Equazioni di pratico utilizzo

Se si dispone di un congruo numero di determinazioni sperimentali per un certosistema di interesse, possibile sfruttare la dipendenza funzionale espressa dallerelazioni precedenti per tentare di individuarne la struttura mediante tecnichenote di analisi (metodo dei minimi quadrati ad esempio) e/o di interpolarligraficamente. Sia nelluno che nellaltro caso, comunque, possibile risalire alvalore del numero di Nusselt (e quindi alla conduttanza convettiva unitaria) nelparticolare caso che interessa analizzare.Nel seguito sono riportati alcuni esempi di relazioni di natura empirica nelle

quali il legame funzionale di tipo monomio. Sebbene ciascuna di esse siasempre accompagnata da una descrizione dettagliata del significato dei simbolie dei limiti di utilizzo, bene premettere qui alcune avvertenze di caratteregenerale. E necessario tenere presente, infatti, che le predette equazioni dilavoro sono ottenute attraverso tecniche di regressione di dati sperimentali; nederiva che i risultati che la formula fornisce sono inevitabilmente aetti da tuttauna serie di incertezze per cui un errore nella predizione del numero di Nusseltdellordine del 10% piuttosto comune sebbene errori ben pi elevati possonopresentarsi in casi complessi.

2.1 Equazioni in convezione forzataPer evidenti ragioni di brevit si riportano nel seguito solo alcuni esempi dicorrelazioni di natura empirica o semempirica che consentono la valutazionedel numero di Nusselt locale o mediato per alcuni sistemi di pratico interesseapplicativo. In tutti i casi considerati viene assunto che le propriet termofisichedel fluido siano costanti anche se la forte dipendenza di talune di queste dallatemperatura (meno spesso dalla pressione) si ripercuote significativamente suirisultati se non si fissa in maniera inequivocabile quale sia la temperatura a cuile predette grandezze debbano riferirsi.Nel caso di flusso esterno tale temperatura detta temperatura del film ed

pari a:

Tm =Ts + T

2

ossia la media tra la temperatura caratteristica del fluido T e quella dellasuperficie solida Ts.

26

CAPITOLO 2. EQUAZIONI DI PRATICO UTILIZZO 27

Diverso il caso di flusso interno per il quale detta temperatura data dalla:

Tm =Ts + Tb2

in cui Tb la cosiddetta temperatura di massa del fluido o, anche, temperaturadi completo mescolamento. Essa rappresenta la temperatura a cui si porterebbela massa di fluido che nellunit di tempo attraversa una data sezione se venissemescolata adiabaticamente. Nel caso di una sezione circolare di raggio re lamassa 2

R re0wrdr la cui entalpia pari a 2

R re0cpTwrdr. Se la stessa massa

venisse mescolata adiabaticamente (conservando cio il suo contenuto entalpico)essa si porterebbe ad una temperatura Tb che si ricava dalluguaglianza:

2Tb

Z re0

cpwrdr = 2Z re0

cpTwrdr

da cui:

Tb =

R re0cpwTrdrR re

0cpwrdr

2.1.1 Lastra piana e flusso laminare

Nel caso di deflusso laminare su lastra piana e per il quale possono essere tra-scurati gli eetti viscosi (Ec = 0), Il numero di Nusselt locale Nux pu esseredeterminato per il tramite delle:

Nux = 0.564 (RexPr)1/2 (2.1)

Pr 0

Nux = 0.332Re1/2x Pr1/3 (2.2)

0.6 Pr 10

Nux = 0.339Re1/2x Pr

1/3 (2.3)

Pr

purch il numero di Reynolds locale Rex =ux sia inferiore a 2 105 e quindi

in una regione della lastra per la quale x < xc con:

xc = 2 105 u (2.4)

Nelle applicazioni si usa spesso fare riferimento al valore mediato del numero diNusselt sullintera lastra. Allo scopo utile considerare il caso in cui sia:

h(x) = kxm

In tale ipotesi il valore mediato tra x = 0 e x = L di h(x) :

h =1

L

Z L0

kxmdx =1

m+ 1kL

xm+1

L0=

kLm

m+ 1


e in definitiva:h =

1

m+ 1[h(x)]x=L (2.5)

Consegue anche che:

Nu =1

m+ 1[Nux]x=L (2.6)

Ci premesso, si osserva che dalle (2.1,2.2,2.3) si ha h(x) x1/2 per cui1:

Nu =1

1 12[Nux]x=L = 2 [Nux]x=L

e quindi dalle medesime equazioni si ricavano le seguenti:

Nu = 1.128 (ReLPr)1/2 (2.7)

Pr 0

Nu = 0.664Re1/2L Pr1/3 (2.8)

0.6 Pr 10

Nu = 0.678Re1/2L Pr1/3 (2.9)

Pr

dove ReL =uL .

Esempio 2.1 Calcolare il flusso termico sottratto ad una sottile lastra quadrataisoterma (T = 93.0 C) di 0.91 m di lato immersa in una corrente daria inmoto laminare (T = 65.0 C; u = 6.1 ms ) e disposta parallelamente allacorrente stessa.

Soluzione La temperatura media pari a T = (65+93)/2 = 79 C. A questatemperatura valgono per laria i seguenti dati:

Pr = 0.71; = 21 106m2

s; = 0.03

WmK

La distanza critica dal bordo dattacco a cui avviene la transizione da motolaminare a moto turbolento vale:

xc =Rec u

=5 105 21 106

6.1= 1.72 m

per cui il moto laminare su tutta la lastra. Applicando la (2.8) si ha:

Nu = 0.664

ul

1/2Pr1/3 =

= 0.664

6.1 0.9121 106

1/20.711/3 ' 305

Il flusso termico scambiato vale:

Q = 2 0.912 0.03 3050.91

(93 65) ' 466 W1 infatti la x compare sia in Nux = hx che in Rex =

ux


2.1.2 Lastra piana e flusso turbolento

Se il numero di Reynolds supera il limite di esistenza del flusso laminare (peruna lastra piana la transizione avviene per 2 105 < Rex < 5 105) allora siavr una regione tale che 0 x xc in cui il flusso laminare ed una regionecaratterizzata da xc x L in cui il flusso turbolento. In questultima ilnumero di Nusselt locale pu essere calcolato mediante le:

Nux = 0.0296Re0.8x Pr1/3 (2.10)

2 105 < Rex 107

Nux = 0.185Rex(log10Rex)2.584Pr1/3 (2.11)

Rex > 107

valide entrambe per 0.6 Pr 60 e per grandezze fisiche del fluido riferite allatemperatura Tm.

2.1.3 Lastra piana e flusso combinato laminare e turbo-lento

Pi complessa la valutazione del numero di Nusselt medio Nu il quale, arigore, deve essere calcolato tenendo in conto la regione laminare e quella tur-bolenta. Calcoli in tal senso hanno portato a concludere che la valutazione diNu sullintera lastra si pu ottenere con buona approssimazione mediante la:

Nu = 0.036Pr0.43Re0.8L 17400

+ 297Pr1/3 (2.12)

ReL > 2 105; 0.7 < Pr < 380Qualora non fosse possibile trascurare leetto della viscosit, pu impiegarsi la:

Nu = 0.036Pr0.43Re0.8L 9200

T=TT=Ts

0.25(2.13)

con i medesimi limiti di utilizzazione gi visti. Nella precedente il terminemoltiplicativo introdotto tiene conto della variabilit della viscosit con la tem-peratura.

Esempio 2.2 Una corrente daria lambisce una lastra piana di forma rettan-golare 1m 1.5 m mantenuta alla temperatura costante e uniforme di 255C.Se la temperatura dellaria 35C e si muove alla velocit di 40m/s, deter-minare (a) il coeciente medio di scambio nella regione a regime laminare(Re < 2 105); (b) il coeciente medio di scambio sullintera lunghezza dellalastra; (c) la potenza scambiata tra laria e lintera lastra.

Soluzione La temperatura media : (255 + 35) /2 = 145 C. A questa tem-peratura le propriet dellaria sono:

= 0.844 kg/m3

= 23.64 106 Pa scp = 1017

Jkg K

= 34.27 103 WmK


(a) Dai dati precedenti si ricava che:

Pr =cp=1017 23.64 10634.27 103 ' 0.7

xc = 2 105 23.64 106

40 0.844 ' 0.14 m

Il valore medio Nu pu essere determinato per mezzo della (2.8):

NuL = 0.664 2 1051/2 0.71/3 ' 263.7

da cui:

hL = NuLxc= 263.7

34.27 1030.14

' 64.5 Wm2K

che vale per 0 x xc.(b) Per il calcolo di h sullintera lastra necessario calcolare il relativo Nu.Allo scopo pu essere impiegata la (2.12).Si calcola prima

ReL =uL

=40 0.844 1.523.64 106 ' 21.4 10

5

Quindi:

Nu = 0.036 0.70.43h21.4 1050.8 17400i+ 297 0.71/3 = 3310

da cui:

h = NuL= 3310

34.27 1031.5

' 75.6 Wm2K

La conduttanza convettiva media cos ricavata consente di valutare la potenzatotale scambiata tra la lastra e laria:

Q = Ah (Ts Taria) = 1.5 1.0 75.6 220 ' 24950 W

2.1.4 Flusso normale a tubi circolari

In numerose applicazioni dellingegneria necessario valutare la potenza scam-biata per convezione tra un tubo (circolare o non circolare) ed un fluido che loinveste in direzione normale al suo asse.Il valore di Nu nel caso generale in cui non sia trascurabile leetto della

viscosit pu essere calcolato mediante la correlazione empirica:

Nu =hD=0.4Re1/2 + 0.06Re2/3

Pr0.4

T=TT=Ts

0.25(2.14)

valida per:

40 Re 105

0.67 < Pr < 300

0.25

0.2 (con Pe si indicato il numero di Pclet) si pu impiegare la relazioneseguente:

Nu = 0.30.62Re1/2Pr1/3h1 + (0.4/Pr)2/3

i1/4"1 +

Re

282000

5/8#4/5(2.15)

Per Pe < 0.2 stata proposta la:

Nu =0.8237 lnPe1/2

1(2.16)

Le correlazioni (2.14-2.16) consentono una stima di Nu con un errore, rispettoal valore sperimentale, inferiore al 25%.In generale per le applicazioni dellingegneria non richiesta la conoscenza

del valore del numero di Nusselt locale. Il problema, tuttavia, stato aronta-to ed i risultati, relativamente ad una corrente daria, sono compendiati nellaFig.?? la quale riporta il valore di h per diversi valori del numero di ReynoldsRe = uD in funzione dellangolo misurato dal punto di stagnazione.

Esempio 2.3 Aria atmosferica alla temperatura di 250 K e una velocit u =30 ms fluisce perpendicolarmente allasse di un cilindro circolare di diametroD = 2.5 cm. La superficie del cilindro mantenuta alla temperatura costanteTc = 350 K. Calcolare: (a) il coeciente medio di scambio h e (b) la potenzascambiata dallunit di lunghezza del cilindro.

Soluzione La temperatura media pari a 300 K. Per lapplicazione della(2.14) necessario disporre dei seguenti dati per laria alla temperatura di 300K:

(350 K) = 20.9 106 Pa s(250 K) = 16.2 106 Pa s

Pr(300 K) = 0.71

(300 K) = 16.1 106 m2/s(300 K) = 26.4 103 W/mK

Si ottiene allora che:

Re(300 K) =uD

=30 0.02516.1 106 = 46584

T=TT=TS

=16.2 10620.9 106 = 0.77

ed infine:

Nu =0.4 465840.5 + 0.06 465842/3

0.710.4 0.770.25 ' 134


Dal risultato precedente si ricava:

h =NuD

=134 26.4 103

0.025' 141 W

m2Ked il flusso termico scambiato per unit di lunghezza:

Q = 141 (3.14 0.025 1) 100 = 1110 W = 1.1 kWNotiamo che trascurare leetto della temperatura sulla viscosit produce unerrore di appena il 6% (Nu = 143)

2.1.5 Flusso normale a tubi non circolari

Pur se relativamente ad una corrente gassosa, il valore medio del numero diNusselt stato ricavato sperimentalmente anche per tubi di sezione non circo-lare.I risultati sono compendiati nella:

Nu =hDe

= c

uDe

n(2.17)

valida nei limiti e per le situazioni riassunte nella Fig.2.1.

Geometria Re n c

Du

u

u

D

D

D

D

D

e

e

e

e

e

e

5.000-100.000

2.500-7.500

0.588

0.624

0.675

0.699

0.638

0.782

0.222

0.261

0.092

0.160

0.144

0.035

5.000-100.000

5.000-100.000

2.500-8.000

5.500-19.500

19.500-100.000

u

u

u

Figura 2.1: Costanti dellEq.2.17Re = uDe

2.1.6 Flusso normale a banchi di tubi circolari

Un ulteriore problema che presenta numerose applicazioni ingegneristiche (pro-getto di scambiatori di calore ovvero apparecchiature industriali di scambio ter-mico o di trattamento dellaria) quello della valutazione della potenza scam-biata tra una corrente fluida e un banco di tubi. Sebbene per la sua importanza


viene qui citata, la relativa trattazione si presenta piuttosto lunga per lampiacasistica ed esula dai nostri scopi.

2.1.7 Flusso interno a tubi circolari

H

H

z0

u

LL

T

T

D

Figura 2.2: Regione di ingresso termica ed idrodinamica

Le considerazioni fatte a suo tempo per una lastra piana possono essere ri-petute per la regione di imbocco di una corrente in un condotto come mostratoin Fig.2.2. Per fissare le idee si consideri una corrente fluida isoterma in motolaminare con velocit uniforme u la quale, in z = 0, imbocca in un tubo chesupporremo per semplicit circolare di diametro D. Le particelle a contatto conla parete assumeranno velocit nulla e, in conseguenza degli eetti viscosi, talerallentamento si propagher nella corrente a profondit via via crescenti con z.Anche in questo caso possibile dividere, convenzionalmente, la massa fluidain moto in una regione a ridosso della parete cilindrica in cui si concentranoi gradienti di velocit (strato limite idrodinamico di spessore H) dalla parterestante pi prossima allasse del condotto in cui il moto si conserva a velocituniforme. Poich in questo caso lo spessore dello strato limite in generaledello stesso ordine di grandezza del diametro del condotto, necessario tene-re in conto che il profilo delle velocit subisce modificazioni in accordo con ilprincipio di conservazione della massa per cui nel caso generale wz = wz(r, z)come semplice verificare osservando la Fig.2.2. La medesima figura evidenziala cosiddetta regione di ingresso idrodinamica che costituisce la porzione di tubodi lunghezza pari a LH (lunghezza dingresso idrodinamica) caratterizzata dalfatto che H < D/2. La regione per la quale z > LH detta regione idrodina-micamente sviluppata in quanto il profilo delle velocit ha assunto un assettoindipendente da z:

wz = wz(r) (2.18)

ed il relativo valore medio:w =

4mD2

(2.19)

con m la portata massica costante. Per tale motivo w viene impiegata peradimensionalizzare il campo di velocit nella regione idrodinamicamente svilup-pata.


Nella medesima regione, lo stato di moto si manterr laminare se il numerodi Raynold:

ReD =D wz

si mantenuto inferiore a 2300. Se, al contrario, si raggiungono valori diReD > 4000 allora il regime di moto nella regione idrodinamicamente sviluppata certamente turbolento2.Ancora a ReD viene legata la lunghezza della regione idrodinamica LH . Nel

caso di moto laminare si ha:

LHD

= 0.0575ReD

Pi semplicemente si pu impiegare la:

LHD

' 60

Non esistono relazioni capaci di una valutazione sucientemente precisa di LHper regione di ingresso idrodinamica turbolenta; per una stima di massima sipu ricorrere alla:

LHD

' 25 50Se la parete solida presenta una temperatura diversa da quella del fluido siosserva la nascita di gradienti termici concentrati in una regione di fluido aridosso della parete solida (strato limite termico di spessore T ) che cresce conz fino a raggiungere lasse del tubo. La regione in cui T < D/2 detta regionedi ingresso termica e la lunghezza LT di tale regione, misurata dalla sezione diimbocco, detta lunghezza dingresso termica. La regione per la quale z > LTviene detta regione termicamente sviluppata.Nelle applicazioni, fatta eccezione di casi particolari in cui la lunghezza del

tubo sia molto limitata, si ha interesse al calcolo del numero di Nusselt medionella regione termicamente sviluppata. Nel seguito sono riportate le equazionidi pi frequente utilizzo nel caso di moto laminare e turbolento rispettivamente.

Moto laminare

Nel caso di moto laminare allinterno di un tubo circolare con temperatura allaparete costante e per lunghezza del tubo molto elevata, il numero di Nusseltmedio pu essere ricavato molto semplicemente dalla:

NuD =hD= 3.66

Per tubi di lunghezza tale che leetto della lunghezza di ingresso idrodinamicanon pu essere trascurata il calcolo del numero di Nusselt medio pu esserevalutato mediante lequazione seguente dovuta a Sieder e Tate:

NuD = 1.86

DL

ReDPr

1/3bs

0.142 I valori critici del numero di Reynold per flusso allinterno di un tubo circolare sono

compresi tra 2300 e 4000.


valida per 0.48 < Pr < 16700(D/L)ReDPr > 10

con le propriet del fluido valutate alla temperatura di miscelazione adiabaticacon leccezione di s la quale deve essere valutata alla temperatura della paretedel tubo.

Moto turbolento

Il calcolo del numero di Nusselt medio per moto turbolento allinterno di tubilisci sucientemente lunghi da poter trascurare gli eetti della regione di ingres-so termica ed idrodinamica pu essere valutato mediante lequazione seguentedovuta a Colburn:

NuD =hD= 0.023Re0.8Pr1/3

nella quale Re = wD/ con w la velocit media calcolata mediante la (2.19).Lequazione precedente applicabile per:

0.7 < Pr < 160 Re > 10000LD > 60 tubi lisci

Solo poco diversa dallequazione precedente la:

NuD =hD= 0.023Re0.8Prn

dove n = 0.4 per Ts > Tb (riscaldamento del fluido) e n = 0.3 per Ts < Tb(rareddamento del fluido). Il campo di applicazione lo stesso dellequazionedi Colburn.Per situazioni caratterizzate da variazioni significative delle propriet ter-

mofisiche del fluido, raccomandata lequazione di Sieder e Tate seguente:

NuD = 0.027Re0.8Pr1/3bs

0.14applicabile per:

0.7 < Pr < 16700 Re > 10000LD > 60 tubi lisci

con le propriet del fluido valutate alla temperatura di miscelazione adiabaticacon leccezione di s la quale deve essere valutata alla temperatura della paretedel tubo.Analoghe correlazioni sono disponibili anche per tubi o condotti non circolari.

2.2 Equazioni in convezione naturaleLanalisi di un sistema sede di un scambio termico in convezione naturale molto complesso ed i dati sperimentali necessari per la costruzione di correlazioniempiriche adabili per lo studio di situazioni di pratico interesse sono spessonon disponibili.


Tipo di flusso Intervallo di GrL Pr c nLaminare 104 109 0.59 14Turbolento 109 1013 0.10 13

Tabella 2.1: Costanti c e esponente n presenti nellequazione (2.20)

Esistono in letteratura, comunque, correlazioni ormai accettate per lastrapiana verticale, orizzontale o inclinata. In questi ultimi due casi viene contem-plato sia il caso di flusso termico convettivo verso lalto o verso il basso. In tuttii casi sono stati studiati, poi, due condizioni al contorno. La prima prevedeassegnata la temperatura (uniforme) della superficie della lastra nel qual caso ricercato il valore del numero di Nusselt medio. La seconda, invece, prevedeassegnato il flusso termico nel qual caso si ricerca il valore della temperaturasuperficiale della lastra.Numerose altre situazione di interesse sono anche state studiate (convezione

naturale su cilindri in posizione verticale o orizzontale, su sfere, in cavit) ei risultati, in forma di correlazioni empiriche, sono riportate nella letteraturaspecializzata.Nel seguito, per brevit, viene fatto riferimento al solo caso della lastra piana

e dellintercapedine verticale.

2.2.1 Lastra piana verticale isoterma

Consideriamo una lastra piana verticale la quale sia mantenuta alla temperaturacostante Ts. Il numero di Nusselt medio Nu pu essere determinato per iltramite della relazione molto semplice seguente:

Nu = cp (GrL Pr)n = cpRanL (2.20)in cui L indica laltezza della lastra e RaL = GrL Pr il numero di Rayleigh.Il numero di Grashof GrL definito come:

GrL =g (Ts T)L3

2

I valori di cp ed n raccomandati per regime laminare (Gr < 109) e turbolento(Gr > 109) sono riportati nella tabella (2.1) la quale mostra che per moto inregime turbolento h indipendente dalla lunghezza della lastra.Pi recente della (2.20) la correlazione:

Nu1/2

= 0.825 +0.387 Ra1/6Lh

1 + (0.492/Pr)9/16i8/27

la quale ha il vantaggio di fornire risultati adabili sia per regime laminare cheturbolento nellintervallo 101 < RaL < 1012. Le propriet fisiche sono valutatealla temperatura media del film.

2.2.2 Lastra piana verticale con flusso imposto

La convezione naturale su lastra piana verticale con flusso termico superficialeimposto stata sucientemente studiata.


Le correlazioni seguenti che forniscono il numero di Nusselt locale per regimelaminare e turbolento sono empiriche e basate su dati sperimentali riferiti adaria ed acqua:

Nux = 0.60 (GrxPr)1/5 (2.21)105 < GrxPr < 10

11 (moto laminare)

Nux = 0.568 (GrxPr)0.22 (2.22)2 1013 < GrxPr < 1016 (moto turbolento)

Nelle precedenti il numero di Grashof modificato Gr definito come:

Grx = GrxNux =g (Ts T)x3

2hxx

=g qx x4

2

dove si indicato con qx = hx (Ts T) il flusso, noto, scambiato alla parete.Per il calcolo del numero di Nusselt medio, necessario stabilire la dipen-

denza hx = hx(x). Dalle equazioni precedenti si ricava che:

Nux = hxx (Grx)0.2 laminare

Nux = hxx (Grx)0.22 turbolento

o anche, rispettivamente:

hx 1xx40.2 x0.2 laminare

hx 1xx40.22 x0.12 turbolento

Ricordando la (2.6) si ricava dalle (2.21-2.22) che:

Nu =1

1 0.2 [Nux]x=L = 1.25 [Nux]x=L

Nu =1

1 0.12 [Nux]x=L = 1.136 [Nux]x=L

le quali presentano, ovviamente, gli stessi limiti di validit delle equazioni dacui derivano.Notiamo che con condizioni al contorno di flusso termico imposto le tem-

perature della lastra sono incognite e quindi incognita la temperatura mediaTsT

2 alla quale valutare le caratteristiche fisiche. E perci necessario ipotiz-zare un valore medio di tentativo e eettuare i calcoli. Se i risultati ottenuti sonomolto diversi dallipotesi iniziale e tali quindi da rendere poco attendibili i risul-tati ottenuti necessario ripetere i calcoli con i nuovi valori della temperaturamedia.Concludiamo ricordando che stime attendibili collocano la transizione dal

regime laminare a turbolento per il caso di convezione naturale che stiamo trat-tando tra 3 1012 < GrxPr < 4 1013 e 2 1013 < GrxPr < 1014. Da ciappare evidente che il regime completamente turbolento inizia per certo perGrxPr = 10

14, ma pu anche presentarsi per valori pi bassi fino a 2 1013.


2.2.3 Intercapedini chiuse verticali

Si tratta di uno spazio confinato tra due superfici contrapposte mantenute adierente temperatura. La superficie laterale (tratteggiata in Fig.2.3) suppostaadiabatica. Tale configurazione di sicuro interesse per lo studio dello scambiotermico in numerose situazioni pratiche. Si pensi ad esempio alle intercapedinipresenti allinterno delle pareti perimetrali degli edifici o, pi recentemente alleintercapedini realizzate tra due lastre di vetro a costituire i cosiddetti vetridoppi. Situazioni di interesse sono rappresentate anche da configurazioni incui la struttura di Fig.2.3 non verticale, ma inclinata rispetto allorizzontedi un certo angolo. Si pensi ad esempio allo spazio racchiuso tra la superficieassorbente di un pannello solare e la copertura in vetro o in plastica che lasovrasta. In questa sede si considerer, per brevit, il solo caso verticale.

T

L B

HT1 2

Figura 2.3: Schema di una intercapedine verticale.

Allo scopo introduciamo il cosiddetto rapporto di forma definito come:

Ar =HL

Il flusso convettivo unitario dato dalla:

q = h (T1 T2)

mentre il numero di Nusselt e di Rayleigh:

Nu =hL

RaL =g (T1 T2)L3

2Pr

Le propriet del fluido sono valutate alla temperatura media:

T =T1 + T22


S

H

L

t

Figura 2.4: Nomenclatura per una superficie alettata verticale

Per lastre verticali si ha che il numero di Nusselt valido rappresentato dalmaggiore tra i tre seguenti:

Nu1 = 0.0605Ra1/3L

Nu2 =

1 +

0.104Ra

0.293L

1 +6310RaL

1.36

3

1/3

Nu3 = 0.242RaLAr

0.272purch:

5 < Ar < 110

100 < RaL < 2 107

2.2.4 Superfici alettate

Si visto a suo tempo che lecienza di una superficie alettata influenzatafortemente dal valore della conduttanza termica convettiva h che si stabilisceallinterfaccia solido-fluido. Tale valore dipende, a sua volta, dalla natura delfluido (gas o liquido) e dallecacia dei moti convettivi (convezione forzata onaturale).Nel caso delle superfici alettate lecacia dei moti convettivi dipende forte-

mente dalla spaziatura tra le alette la quale influenza la resistenza al moto delfluido. Infatti se la tendenza quella di diminuire la spaziatura delle alette neltentativo di incrementare la superficie di scambio, ci produce una diminuzionedella dimensione degli spazi in cui avviene il moto del fluido e quindi una dimi-nuzione della velocit a causa delle accresciute perdite di carico. Ne consegue


una diminuzione della conduttanza convettiva la quale si presenta pi marcatanella convezione naturale che nella convezione forzata per ovvi motivi.In tutti quei casi in cui la convezione naturale la modalit preferita di

scambio termico (assenza di parti in movimento e quindi assenza di rumore,vibrazioni, consumo e necessit di manutenzione) si pone il problema di de-terminare quale sia la spaziatura ottimale Sott che presenta il massimo dellasuperficie di scambio ed il massimo valore di h.Con esplicito riferimento ad alette verticali di Figura 2.4, la spaziatura

ottimale pu essere determinata mediante la:

Sott = 2.714L

Ra1/4

nella quale L rappresenta la lunghezza dellaletta e costituisce, inoltre, la lun-ghezza caratteristica per la valutazione del numero di Rayleigh. La precedente valida se le alette possono essere considerate isoterme e la distanza tra le singolealette (S) grande rispetto allo spessore (t).Per superficie alettata che presenta una spaziatura ottimale il valore di h

pu essere assunta pari a:

h = 1.31fSott

con f la conducibilit termica del fluido.

2.3 Equazioni in convezione mistaSi gi accennato al fatto che possono darsi circostanze in cui la convezio-ne forzata e naturale partecipano al processo di scambio termico in misuraparagonabile Ci si verifica quando il rapporto GrRe2 compreso tra 0.1 e 10.

a b

c

Figura 2.5: Combinazione di convezione naturale e di convezione forzata.

La convezione naturale pu favorire o ostacolare la convezione forzata a


seconda della direzione relativa del moto indotto dallesterno rispetto a quelloindotto dalle forze di galleggiamento (vedi Figura 2.5).Si ha moto convettivo agevolato quanto il moto indotto dalle forze di gal-

leggiamento e quello indotto dallesterno presentano la stessa direzione e verso(Figura 2.5.a). In questo caso i due campi di velocit si compongono in modocostruttivo e lo scambio termico convettivo viene incrementato.Si ha moto convettivo contrastato quando il moto indotto dalle forze di gal-

leggiamento e quello indotto dallesterno presentano la stessa direzioni ma versocontrario (Figura 2.5.b). In questo caso i due campi di velocit si compongonoin modo distruttivo e lo scambio termico convettivo risulta penalizzato.Esistono casi in cui il moto convettivo naturale e quello forzato presentano

direzioni ortogonali. In questi lo scambio termico viene favorito comunque dalrimescolamento del fluido (Figura 2.5.c).Per una valutazione quantitativa dello scambio termico in condizioni di con-

vezione forzata e naturale si procede combinando in modo opportuno i contributidella convezione naturale e forzata calcolati separatamente.Lesperienza mostra che i dati sperimentali sono ben riprodotti dalla rela-

zione seguente:Nun+f =

Numn Numf

1/mdove si indicato con Nun e Nuf i numeri di Nusselt calcolati con le relazionivalide rispettivamente per sola convezione naturale e sola convezione forzata. Ilsegno positivo si impiega per moto convettivo agevolato mentre quello negativoper moto convettivo contrastato. Lesponente m varia tra 3 e 4 a seconda dellageometria. In genere si pu assumere m = 3 per superfici verticali mentre valorimaggiori di 3 sono indicati per superfici orizzontali.

Appendice A

Formule di analisi vettoriale

A.1 Prodotto scalareDati i due vettori

A (x, y, z, t) =

i Ax +

j Ay +

k Az e

B (x, y, z, t) =

i B1 +

j B2+k B3 si definisce prodotto scalare AB dei due vettori la funzione scalare:

A B = AxB1 +AyB2 +AzB3 (A.1)

A.2 GradienteSia U(x, y, z, t) una funzione scalare. Si definisce gradiente di U il vettore:

U =ix+jy+kz

U =

iUx

+jUy

+kUz

(A.2)

A.3 Divergenza

Sia dato il vettoreA (x, y, z, t). Si definisce divergenza di

A la funzione scalare:

A =ix+jy+kz

i Ax +

j Ay +

k Az

=

=Axx

+Ayy

+Azz

(A.3)

A.4 LaplacianoData la funzione scalare U(x, y, z), il laplaciano di U dato dallespressione:

2U = U =

=

ix+jy+kz

iUx

+jUy

+kUz

=

=2Ux2

+2Uy2

+2Uz2

(A.4)

42

APPENDICE A. FORMULE DI ANALISI VETTORIALE 43

Allo stesso modo il laplaciano di un vettoreA (x, y, z) dato dalla:

2A = 2Ax2

+2A

y2+2Az2

(A.5)

A.5 Derivata materiale o sostanzialeConsideriamo un fluido in moto con velocit w = w [x(t), y(t), z(t), t] ed un osser-vatore solidale con una particella di fluido che misura una qualsiasi grandezza opropriet del fluido stesso che indichiamo genericamente conG [x(t), y(t), z(t), t].Supporremo per il momento che G rappresenti una grandezza scalare. Vogliamovalutare la velocit di variazione di G cos come viene misurata dallosservatore.La variazione dG subita da G in un certo intervallo di tempo dt data dalla:

dG =Gt

dt+

Gx

dx+

Gy

dy +

Gz

dz

Dividendo per lintervallo di tempo dt in cui tale variazione avvenuta si ha laquantit cercata:

dGdt=

Gt

+

Gx

xt

+

Gy

yt

+

Gz

zt

ovvero, essendo come noto:

xt= wx;

yt= wy;

zt= wz

si ottiene:

dGdt=

Gt

+ wx

Gx

+ wy

Gy

+ wz

Gz

(A.6)

o in notazione vettoriale:

dGdt=

Gt

+ w

G (A.7)Dalla (A.7) osserviamo che la velocit di variazione di G somma di duecontributi:

il primo, espresso dalla derivata parziale Gt , denominato derivatalocale. Esso indipendente dal moto del fluido e discende dalla ipotizzatadipendenza di G dal tempo ovvero dal fatto che il processo studiato nonstazionario. La

Gt

coincide con la velocit di variazione di G misurata

da un osservatore fisso nello spazio.

il secondo, espresso dal prodotto scalare w G, denominato derivata

convettiva. Esso discende dal fatto che una propriet del fluido associataad una particella pu variare a causa del moto della particella stessa chesi porta, nellintervallo di tempo dt, da un punto ad un altro dello spazioin cui presente un gradiente di G.

APPENDICE A. FORMULE DI ANALISI VETTORIALE 44

Lespressione a secondo membro delle (A.6,A.7) viene denominata deriva-ta materiale o sostanziale ed indicata con DDt . Analogamente, la derivatasostanziale di una grandezza vettoriale G vale:

DGDt

=

Gt

!+ wx

Gx

!+ wy

Gy

!+ wz

Gz

!(A.8)

ovvero:

DGDt

=

Gt

!+ (w ) G (A.9)

Appendice B

Richiami di fluidodinamica

B.1 La viscosit dinamica

LR

R

r

i

ew=w(r)

e

i

w = w(R )

w = w(R ) = 0

Figura B.1: Gradiente di velocit in una intercapedine

La Figura B.1 mostra una intercapedine cilindrica di raggi Ri e Re e spessoreL = Re Ri realizzata tra due cilindri coassiali. Un fluido posto nellinterca-pedine e i due cilindri sono posti in moto relativo. Supponiamo, per semplicit,che il cilindro esterno ruoti intorno al suo asse con velocit angolare e costantementre quello interno sia mantenuto fermo. Lesperienza mostra che:

a. il fluido aderisce alle superfici solide per cui le particelle a ridosso della su-perficie del cilindro interno (r = Ri) sono ferme mentre quelle aderential cilindro esterno (r = Re) sono in moto con velocit we = eRe (m/s).Ne consegue linstaurarsi, nel fluido presente nellintercapedine, di un gra-diente di velocit wr

1s

in direzione radiale e, quindi, di un trasferimento

di quantit di moto tra strati contigui di fluido in direzione radiale e nelverso crescente di r.

b. per mantenere fermo il cilindro interno necessaria lapplicazione di unaforza tangenziale esterna la quale si oppone a quella di trascinamento

45

APPENDICE B. RICHIAMI DI FLUIDODINAMICA 46

indotta dal fluido in moto. Questultima, se riferita allunita di area, detta sforzo di attrito viscoso e indicata con . Lesperienza evidenziache proporzionale al gradiente di velocit locale per il tramite di unagrandezza caratteristica del fluido che detta viscosit dinamica ()1:

r=Ri = wr

r=Ri

(B.1)

Figura B.2: Distribuzione della velocit in un fluido viscoso tra due piastre.

Un analogo eetto di trascinamento presente allinterno del fluido in motoda parte delle particelle pi veloci verso quelle pi lente per cui si pu scrivere,in generale, che:

= wr

(B.2)

che nota come legge della viscosit di Newton.Se la viscosit dinamica presente nella (B.2) indipendente dal gradiente

di velocit wr , allora lineare il legame tra lo stato di tensione e quello del-la deformazione. I fluidi che seguono questo comportamento sono detti fluidinewtoniani.Al contrario, se la viscosit dipende in una qualche misura dal gradiente di

velocit, allora il legame tra lo sforzo tangenziale e wr non pi lineare ed ifluidi che seguono questo comportamento sono genericamente detti fluidi nonnewtoniani2 . Nel seguito si far costante riferimento ai soli fluidi newtoniani.La viscosit dinamica ha le dimensioni:

[] =Forza LunghezzaArea Velocit

=

ForzaArea

Tempo

e si misura, nelle unit del sistema internazionale, in Pas (ovvero Kgms )3. Essadipende fortemente dalla temperatura, molto meno dalla pressione. In partico-lare, la viscosit diminuisce con la temperatura nei liquidi mentre, al contrario,

1Ci allo scopo di distinguerla dalla viscosit cinematica . La viscosit cinematica legataalla viscosit dinamica per il tramite della densit :

=

2Allinterno di questa classe una ulteriore distinzione viene fatta in relazione alla legge chelega la viscosit al gradiente di velocit.

3Lunit di misura della viscosit cinematica nel S.I. m2/s.


50.00 150.00 250.00 350.000.00 100.00 200.00 300.00 400.00

Temperatura (C)

50.00

150.00

250.00

350.00

0.00

100.00

200.00

300.00

400.00

Visc

osit

(Pa

s)

1.00

3.00

5.00

0.00

2.00

4.00

6.0050.00 150.00 250.00 350.00

0.00 100.00 200.00 300.00 400.00

Acqua

Alcol butilico

Aria

Vapor d'acqua

Figura B.3: Dipendenza della viscosit dalla temperatura

Liquidi 105 Gas 105(Pas) (Pas)

Acqua (21C) 97.8 Aria (38C) 1.910Freon 12 (0C) 29.8 Vapor dacqua (100C) 1.290Olio leggero (27C) 4140 Os. di carbonio (93C) 2.067Glicerina (21C) 148 Anid. Carbonica (38C) 1.562

Tabella B.1: Viscosit dinamica di alcuni fluidi newtoniani.

aumenta con la temperatura nei gas (vedi Fig.B.3). Nella Tab.B.1 sono riportatii valori della viscosit dinamica di alcuni fluidi newtoniani.Per concludere riconsideriamo la (B.2). Dalla Fig.B.2.b si vede che in un

intervallo di tempo dt lelemento fluido dxdy subisce una deformazione angolarela cui entit misurata dalla rotazione d del segmento verticale OA che vale:

d =AA0O A

=

wxy dy

dt

dy=wxy

dt

La velocit con cui tale deformazione avviene data dalla:

ddt= =

wxy

Sostituendo nella (B.2) si ha: = (B.3)

Lequazione pone in evidenza la dierenza di comportamento, nei riguardi delladeformazione, tra i solidi elastici ed i fluidi. Infatti i primi orono una re-sistenza alla deformazione che proporzionale alla deformazione stessa (leggedi Hooke). I secondi (equazione B.3) orono una resistenza alla deformazioneche proporzionale alla velocit di deformazione per il tramite della viscositdinamica.


B.2 Moto laminare e moto turbolentoLapparato sperimentale mostrato in Figura B.4, dovuto a Reynolds, consentedi realizzare un flusso di acqua attraverso un piccolo tubo trasparente a sezionecircolare di diametro D. La portata di eusso del fluido regolabile attraver-so una valvola posta allestremit del tubo stesso. Dellinchiostro colorato, didensit pari a quella dellacqua, viene iniettato in corrispondenza dellasse dellasezione di ingresso del condotto.

Valvola

Valvola

Valvola

Acqua

Acqua

Acqua

Inchiostro

Inchiostro

Inchiostro

D

D

D

w = w (r)

Moto laminare

Moto turbolento

Transizione

w = w (r)

Figura B.4: Esperienza di Reynold. Moto laminare, transizione e mototurbolento

Lesperienza mostra che, se la velocit della corrente mantenuta entro certilimiti, le particelle di inchiostro si muovono attraverso il condotto lasciandouna traccia ben definita in forma di un filo sottile disposto secondo lasse deltubo. Ci indicativo di un moto che si sviluppa secondo traiettorie rettilineee parallele con velocit uguali in corrispondenza di superfici cilindriche coassiali(moto laminare).Lesperienza di Reynolds mostra che, aprendo gradualmente la valvola, si

raggiunge un regime di moto che evidenzia la comparsa di instabilit delle tra-iettorie. Il filo di inchiostro colorato, infatti, inizia a mescolarsi con lacquacosicch la sua traccia, in origine ben definit, comincia a sfilacciarsi. Ci de-nuncia linizio di un processo di transizione da uno stato di moto laminareverso uno stato di moto instabile che, in genere, persiste per un certo intervallodi velocit.Lapertura ulteriore della valvola determina la completa dispersione della

traccia dellinchiostro che tende a colorare uniformemente lacqua. Ci indicedi un moto (moto turbolento) caratterizzato da traiettorie del tutto casuali che,a dierenza di quanto accadeva nel moto laminare, si intersecano. Ne consegueche le particelle fluide si trasferiscono rapidamente da un punto allaltro dellacorrente incrementando nettamente il trasferimento di quantit di moto. Laconseguenza una maggiore uniformit della velocit in seno alla corrente.Se lesperienza di Reynolds viene ripetuta cambiando le caratteristiche della


superficie o il diametro del tubo o il fluido, cambiano i campi di esistenza, intermini di velocit di deflusso, del regime laminare, della zona di transizione e delregime turbolento. Reynolds ha determinato, attraverso numerosi ed accuratiesperimenti, che il regime di moto pu essere legato al valore assunto dal Numerodi Reynolds, un raggruppamento adimensionale, espresso come:

Re =wl=wl

dove = , che prende il nome di viscosit cinematica, ha le dimensioni dihLunghezza2

Tem p o

ie si misura in m

2

s . La velocit w rappresenta quella caratteristica

della corrente e l una lunghezza scelta allo scopo di caratterizzare il sistema.Lesperienza mostra che bassi valori del numero di Reynolds caratterizzano

stati di moto laminare. Al contrario, elevati valori del numero di Reynoldscaratterizzano stati di moto turbolento. Nel caso di flusso interno ad un tubo,come accade per lesperienza di Reynolds, la lunghezza caratteristica assuntapari al diametro della sezione retta per cui:

Re =wD

=wD

Lesperienza mostra che nelle medesime condizioni si ha:

Re < 2300 moto laminare2300 < Re < 4000 transizione

Re > 4000 moto turbolento

Per deflusso su lastra piana rettangolare (LH) posta orizzontalmente pras-si assumere come lunghezza caratteristica la distanza x dal bordo di attaccomisurata nella direzione della corrente. Il numero di Reynolds assume la forma:

Re =wx

=wx

ed i campi di esistenza per moto laminare e turbolento sono:

Re < 2 105 moto laminare2 105 < Re < 5 105 transizione

Re > 5 105 moto turbolento

Appendice C

Propriet termofisichedellacqua satura

Temperatura Calore Densit Viscosit Condicibilit NumeroSpecifico Dinamica Termica di Prandtl

C kJkgKkgm3

kgms

WmK

T cp 103 Pr0 4.218 999.8 1.791 0.5619 13.455 4.203 1000 1.520 0.5723 11.1610 4.193 999.8 1.308 0.5820 9.4215 4.187 999.2 1.139 0.5911 8.0720 4.182 998.3 1.003 0.5996 6.9925 4.180 997.1 0.8908 0.6076 6.1330 4.180 995.7 0.7978 0.6150 5.4235 4.179 994.1 0.7196 0.6221 4.8340 4.179 992.3 0.6531 0.6286 4.3445 4.182 990.2 0.5962 0.6347 3.9350 4.182 998.0 0.5471 0.6405 3.5755 4.184 985.7 0.5043 0.6458 3.2760 4.186 983.1 0.4668 0.6507 3.0065 4.187 980.5 0.4338 0.6553 2.7770 4.191 977.7 0.4044 0.6594 2.5775 4.191 974.7 0.3783 0.6633 2.3980 4.195 971.6 0.3550 0.6668 2.2385 4.201 968.4 0.3339 0.6699 2.0990 4.203 965.1 0.3150 0.6727 1.9795 4.210 961.7 0.2978 0.6753 1.86100 4.215 958.1 0.2822 0.6775 1.76

50

Appendice D

Propriet termofisichedellaria secca


K kJkgKkgm3

kgms

WmK

T cp 105 Pr100 1.030 3. 593 0.71 0.0092 0.795110 1.024 3.251 0.77 0.0102 0.786120 1.020 2.970 0.84 0.0111 0.778130 1.016 2.734 0.91 0.0120 0.770140 1.014 2.534 0.97 0.0129 0.762150 1.011 2.362 1.03 0.0139 0.755160 1.010 2.213 1.09 0.0147 0.749170 1.009 2.081 1.15 0.0156 0.743180 1.009 1.964 1.21 0.0166 0.739190 1.008 1.860 1.27 0.0174 0.736200 1.008 1.765 1.33 0.0183 0.734210 1.007 1.681 1.39 0.0191 0.732220 1.006 1.605 1.44 0.0199 0.730230 1.006 1.535 1.5 0.0207 0.728240 1.005 1.471 1.55 0.0215 0.726250 1.005 1.412 1.6 0.0222 0.725260 1.005 1.358 1.65 0.0230 0.723270 1.004 1.307 1.70 0.0237 0.722280 1.004 1.261 1.75 0.0245 0.721290 1.005 1.217 1.80 0.0252 0.720300 1.005 1.177 1.85 0.0259 0.719

51

APPENDICE D. PROPRIET DELLARIA SECCA 52


K kJkgKkgm3

kgms

WmK

T cp 105 Pr310 1.005 1.139 1.90 0.0265 0.719320 1.006 1.103 1.94 0.0272 0.719330 1.006 1.070 1.99 0.0279 0.719340 1.007 1.038 2.04 0.0285 0.719350 1.008 1.008 2.08 0.0292 0.719360 1.009 0.980 2.12 0.0298 0.719370 1.010 0.954 2.17 0.0304 0.719380 1.011 0.929 2.21 0.0311 0.719390 1.012 0.905 2.25 0.0317 0.719400 1.013 0.882 2.29 0.0323 0.719410 1.015 0.861 2.34 0.0330 0.719420 1.016 0.840 2.38 0.0336 0.719430 1.018 0.821 2.42 0.0342 0.718440 1.019 0.802 2.46 0.0348 0.718450 1.021 0.784 2.50 0.0355 0.718460 1.022 0.767 2.53 0.0361 0.718470 1.024 0.751 2.57 0.0367 0.718480 1.026 0.735 2.61 0.0373 0.718490 1.028 0.720 2.65 0.0379 0.718500 1.030 0.706 2.69 0.0385 0.718520 1.034 0.679 2.76 0.0398 0.718540 1.038 0.654 2.83 0.0410 0.718560 1.042 0.631 2.91 0.0422 0.718580 1.047 0.609 2.98 0.0434 0.718

convez

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