PRÁCTICA 2: CONVERSIÓN DE COORDENADAS Y TRANSFORMACIÓN ENTRE SISTEMAS DE REFERENCIA GEODÉSICOS a).- determinar los 7 parámetros de transformación de un único conjunto de vértices con sus coordenadas dadas en dos sistemas geodésicos de referencia, utilizando el modelo de Bursa-Wolf. Para ello se calcularán los 7 parámetros de transformación para pasar del sistema ETRS89 al sistema ED50, con las coordenadas de los vértices de la red REGENTE de la hojas de MTN 1/50.000 número 911, 912, 913, 932, 934, 953, 954 y 955. Obtener la mejor transformación o conjunto de parámetros en función de los datos dados. Transformación Bursa-Wolf La representación gráfica de la transformación Bursa-Wolf es la siguiente: La forma matricial es la siguiente:
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PRÁCTICA 2: CONVERSIÓN DE COORDENADAS Y TRANSFORMACIÓN ENTRE SISTEMAS DE REFERENCIA GEODÉSICOSa).- determinar los 7 parámetros de transformación de un único conjunto de vértices con sus coordenadas dadas en dos sistemas geodésicos de referencia, utilizando el modelo de Bursa-Wolf.Para ello se calcularán los 7 parámetros de transformación para pasar del sistema ETRS89 al sistema ED50, con las coordenadas de los vértices de la red REGENTE de la hojas de MTN 1/50.000 número 911, 912, 913, 932, 934, 953, 954 y 955. Obtener la mejor transformación o conjunto de parámetros en función de los datos dados.
Transformación Bursa-Wolf
La representación gráfica de la transformación Bursa-Wolf es la siguiente:
La forma matricial es la siguiente:
Donde:- XW, YW y ZW son las coordenadas del sistema del que se sale (ETRS89). - XL , YL y ZL son las coordenadas del sistema al que se llega (ED50).- X0, Y0 y Z0 son los parámetros de traslación.- RX, RY y RZ son los parámetros de rotación.- dL es el factor de escala
A L
X
Paso de geodésicas a cartesianas
En primer lugar habrá que calcular las coordenadas cartesianas de los vértices dados, utilizando las siguientes expresiones:
Donde N es el radio de curvatura de la normal, el cuál se calcula con la siguiente expresión:
Siendo los parámetros de los elipsoides asociados al Sistema de Referencia Local ED50 (Internacional de Hayford) y ETRS89 (GRS80) los siguientes:
Ya con las coordenadas en ambos sistemas procedemos al ajuste por mínimos cuadrados. En el proceso omitimos las coordenadas del punto 9, ya que vamos a calcular los parámetros con los demás puntos para aplicárselos a éste.
Desviación típica: siendo m-n=24-7=17 (grados de libertad)
Varianza: Desv. Típica 0,063
Varianza 0,004
Las desviaciones estándar de los parámetros calculados
Matriz varianza-covarianza: Las desviaciones estándar de los parámetros se obtienen calculando las raíces cuadradas de los valores de la diagonal principal de la matriz varianza-covarianza.
Una vez obtenido el conjunto de 7 parámetros, transformar con ellos las coordenadas ETRS89 del vértice REGENTE de la hoja del MTN 1/50.000 número 933 al sistema ED50 y comparar las coordenadas transformadas con las oficiales en el sistema ED50, explicar las diferencias encontradas.
Las coordenadas cartesianas del vértice calculadas anteriormente en los dos sistemas son a partir de las coordenadas geodésicas dadas como dato son:
Aplicando los parámetros de la transformación calculados con los otros ocho vértices las coordenadas cartesianas en el sistema ED50 son:
ED50Número Vértice X (m) Y (m) Z (m)
9 93345 - Loma Larga 5036560,751 -119329,806 3899491,722
Y los diferenciales entre las coordenadas dato y las calculadas:
ΔX (m) ΔY (m) ΔZ (m)0,058 -0,054 -0,072
Como se puede observar todos los diferenciales son del orden de los seis centímetros, como cabía esperar observando el valor de la desviación típica de la transformación calculada.
b).- Determinar también los 7 parámetros de transformación del mismo conjunto de vértices del apartado anterior utilizando el modelo de Badekas-Molodensky.
Obtener la mejor transformación o conjunto de parámetros en función de los datos dados.El proceso a seguir es similar al apartado anterior y se parte de los mismos datos.
Transformación Badekas-Molodensky
La representación gráfica de la transformación Badekas-Molodensky es la siguiente:
La forma matricial es la siguiente:
Donde:- XW, YW y ZW son las coordenadas del sistema del que se sale (ETRS89). - XL , YL y ZL son las coordenadas del sistema al que se llega (ED50).- XM,YM y ZM es el centroide del sistema de partida (ETRS-89).- X0, Y0 y Z0 son los parámetros de traslación.- RX, RY y RZ son los parámetros de rotación.- dL es el factor de escala
Cálculo de las coordenadas del centroide
Las coordenadas del centroide se calculan promediando los valores de los puntos que vamos a utilizar para calcular nuestra transformación:
Ya con las coordenadas en ambos sistemas procedemos al ajuste por mínimos cuadrados. En el proceso omitimos las coordenadas del punto 9, ya que vamos a calcular los parámetros con los demás puntos para aplicárselos a éste.
Desviación típica: siendo m-n=24-7=17 (grados de libertad)
Varianza: Desv. Típica 0,063
Varianza 0,004
Las desviaciones estándar de los parámetros calculados
Matriz varianza-covarianza: Las desviaciones estándar de los parámetros se obtienen calculando las raíces cuadradas de los valores de la diagonal principal de la matriz varianza-covarianza.
Una vez obtenido el conjunto de 7 parámetros, transformar con ellos las coordenadas ETRS89 del vértice REGENTE de la hoja del MTN 1/50.000 número 933 al sistema ED50 con el modelo de Badekas-Molodensky ajustado. Comparar las coordenadas transformadas con las oficiales en el sistema ED50 y también con las coordenadas ED50 transformadas con el modelo Bursa-Wolf del apartado anterior. Explicar las diferencias encontradas.
Las coordenadas cartesianas del vértice calculadas anteriormente en los dos sistemas son a partir de las coordenadas geodésicas dadas como dato son:
Aplicando los parámetros de la transformación calculados con los otros ocho vértices las coordenadas cartesianas en el sistema ED50 son:
ED50Número Vértice X (m) Y (m) Z (m)
9 93345 - Loma Larga 5036560,751 -119329,806 3899491,722
Y los diferenciales entre las coordenadas dato y las calculadas:
ΔX (m) ΔY (m) ΔZ (m)0,058 -0,054 -0,072
Como se puede observar todos los diferenciales son del orden de los seis centímetros, como cabía esperar observando el valor de la desviación típica de la transformación calculada.
Al comparar las coordenadas obtenidas a partir de los diferentes modelos de transformación se observa que las diferencias entre ellas son nulas
c).- Convertir las coordenadas cartesianas en el sistema ETRS89 a coordenadas geodésicas de los vértices utilizados en los apartados a) y b) garantizando 0.001 metros en altitudes y 0.00001 segundos en coordenadas latitud y longitud.
Para el paso de cartesianas a geodésicas necesitamos las siguientes fórmulas:
Así como la fórmula para el cálculo del radio de curvatura de la normal:
Para garantizar las unidades pedidas habrá que entrar en un cálculo iterativo utilizando las fórmulas nombradas.
Se toma h = 0, ya que su magnitud es muy pequeña con respecto al radio de la tierra, y las coordenadas cartesianas como valores iniciales.
Se toma como valores definitivos de λ, los obtenidos en ese cálculo, ya que no se puede seguir iterando, por lo que realmente no se puede garantizar las unidades pedidas.
Así se continua iterando hasta que estás diferencias sean menores que 0,001 metros en las altitudes y menores que 0,00001 segundos sexagesimales para las latitudes. Se garantiza las unidades pedidas al llegar a la tercera iteración, siendo los valores definitivos los siguientes: