Top Banner
49

Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

Mar 14, 2022

Download

Documents

dariahiddleston
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

����������� ����� ���� ��� �������� �� ��� ����� �������� ���

���� ������

������ ������ ��� ������ ����

��������� �� ��� ��� �� ������ ������� ���

�������

�� ���� �� �� ���� ��� ������� �� ��� ���� ��������� �� �� ��� � �������� ��� ��

���� ��� � � ���� � �� ������� �������������� ������ ���� �� � �� ��� ! ���� ��

"�#$�� ������ %�# ��������� &'() �� ����� � ������� ���� !���� ��! ����� � ���* ��! �����

��� �� ������� � ���� ���� ��� �� ���� ��� ! �� � ���! ������ ��������+ ������������*

�� � ������ �� � ������������ �� �!��� �� !������� ��� �� ��� � �� �� , �� �������

��������������- ���� ��� �� ���� ��� ! �. �� � �� ��� � � ������/� ��� �� ��! �����

� ���� �� ���� �� �� ���������� ���� � � � �� �� ��� ! ���� �� �� � ������ ���� ��

!����� 0 ��* � ������ � � � �!����� �� ��������� ��� �� ���� ��� ! � �� �� ��� ����

������������. ����� � ����!� / �� � � �� �� �� ��� ����+ � ���� ���� �� �������� �!����� ��

��������� �� &'() ��� �� !���� � �!��� �� �� �� &'1)* ���� ��� � � �!����� �� ���������.

�� ������ ��������+ ������������ �� � !�� � �� ������������ � ��� � ��� �� ���� �� ��

���� ��� �� �!���� � ������������* ��! ����� #� ��! ��� ���� ���� �� � ���� ��� ��

���� ��� ! ���� ���� � � �!����� �� ��������� ��� ���� �� �� !����� 0 �� ��� ��

��� ��� ��! ������� �� ��� ���/� !� ���� ������ ����+ ��� � �� � �� � �� �� ��%� ��

���! �� /������� ����������*

��� ������ ���� ��� ! . �� ��� ���� ��������. �!����� �� ���������

������ ��������� �� ����� �� ����������� ������� �������� ������� ������� ������ ������ !���� �����"�������� �� ����� ������� # ��� ����� � $������� $������ ������� %�������� �������&'��(��

����� ��� �) ������ ���������� � *��+� ,����� ��� -��������� �. ��/��� ,��� ������ ��"���#��+����� �� ����� �������� ������� # ��� ����� � ����� �) ������� +���� ��� ������+� �� ����� ��� ,����� �� �) ������� �� 0�������� �) ����� 1����� ���(���23 �� ��� .� ������ �) �������������� ���������� �� �������4� 5 ����������� ���������� �������� ������ � ������ # ��6����� 7/��$%��(�����/� �� $�% ����� �����&��8(&�

'

Page 2: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

� �����������

�� ��� ���� � �� ��!!�� �� %��� ! ������� �� ����� �� ���������� %�� � �� �� ��� �� �

/� �� ��������� ��� � ��������2��

���

������

���3 4 �'*'�

�� � � �� �� � ���� �� �� ���� ������ �����/� �. ����� �� �� �������� ������ ��� %�#

�������� �� �� ��� ��� �����. ��� � �� �� ������� ��! �����* 5!��� ��! ���� ! �����

�� �/���� �� ��! ����� �������� �� �� ������� �'*'�. �� �����/� ����� �� �� ���� ��

��������� ���� ��� ��� � �������� /� � ��! !������� ! ����2

��

��6

�����

������

���3 4 �'*1�

�� � �� ��! � ������� �� �� � ���� �� �� ���� ��� ��� � �������� �'*1� / ��! � �!���

����� ��� ���� �� !����� 0 ���. �� ��! ����� �������� �� �� �� ��� ���� ������� �'*'�

�� �/���� �*

�� !��� ������� �� ��! ������� ��!������� �� �������� �'*'� ��� �'*1� �� �� ��

�� ����+ ��� � ����� �� �/������ ��� ��!�� ���/� %���* 5����� � ����+ ��� . ��

�������� �����/� �. ���� �� � �����. �� ���� . ��� � ������. ���� / �������������* 7���

��������� ��! ����� ! ����� ���� ������ � � � �������� ������������ � �� �� ����+ ��� *

8� ��!���������� %��� ����!��� �$9�. �� � �� � � ��� ! ����� �� ��!���� �� � ���

���� � � � �������� ������������ � �� ����+ ��� � �� ��� � ������������� �* $�� #�!�� .

������ �� ��������� ��������� &':. ';) ��� �������� ��!�� �� &'4. ':. <1) � �� �� ����+ � ����

�� �!��� �� !��� ��!!���� �� � � ������ � �� ������ ������������� �* �� � ! �����

��� ���� ������� � ��� �� ��!���� �������� ������������* =�� � �. /��� ! ����� ���

�� �� ����������� �* 5����� �� ��������� ��������� ����� ������ � ������ �� �� ���������

�� �� ��. ����� ��� � � �� �� / ��>��� � ��� �� � �� ���/� !�* 5������� �� ��!�� ��

��� ���� � �� ����� ��������� ��!�������� ��?9� ���� ���. ����� !�+ � �� ! ���� � ��

������� �� �� ��!������� �� ��� ������ %��� ��������� ������ ����+ ��� �* =�� � �. ��

����������� �� �?9 ��!�� �� ���� � � � ��� �� �������� �� ���� ��� � � �� �!���� #�� !�

1

Page 3: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

&'@)* 7�� �� �. ��! ����� %�# � ���� ��!�� �� �� � �� �!����. !�+��� ���� �� �� �������

�� ��� ���� � !�� ������*

�� �� ������� �������������� ����� ��� ! ��� �������� � /� =��� � � ��* &'')*

8��� �� �� ����� � ����� �# � �� ���� �� �����#�!�� �� ������� %�# �. �� �� � �� ��� �� ��

����� �� ������� �!���� �� �� ���� �!��� � � ��� �������� �* �� �!����� �� �� � �� ���� ��

! ���� � /� �� ���������* �� ��� ��� ! ��� �� ���� ��� �� / ��� � �� ��!����. ������!��

���� ��� � ������� ��� � �� ��/��� � �� ����+ ��� � ���� �� � �� �� ������� �� �����������

� �� ����+ ��� �* =�� � �. �� � �� ����� � � ��� ����/��+� ���� ��� / �!���� �* ��

�� !��� � � ���� �� �� ��� ���� ������������ �� ���� �� ��! ����� %�# �� ��� �!���� �� �

�� �� ���� ���� �� ����� � �� � ���/����� ������. ������� ������� �� ���� �� �� �������

�� ��� ���� �*

���� ��� ! �� �� #� ����� �� �� ��� ��� ! &'A. '()* 8��� �� �� ����� ���� ��

�� ���� ��� ����!�� �� ���� �� ��! � �� �. �� ���� ��� ! �� � ��� �������� �� �����

������� � ���� # ��!/������� �� �����#�!�� �� %�# �* �� �������� ��� / �!���� �

�� �� ����!�� ��� � �� �!���� � ����� ���� �� �� ������� �������������� ���� ��� � ��

������������� � �� !������� �* �� ���� ��� ! �� &'A) ��� � � ��� � ����� � � �� �� ���

�������� ����� ����! ��� ! �* B� �� �������� �� &'A). �� ��� ��� � ��� ��� ! ���

/ ���� �� � �� �� ��6 '��� ��� � ���� ��� ! * B�� � �� �� �������� ���� �� � ��

��� ��� ! &1@. <4) ��� � � � �!����� �� ���������. �� ���� ��� ! �� &'() ��� ���� �

�� ����!�� �1� � '��� ��� � �������� �� � ���� ����� �� ��� ��� � ��� ��� ! . ����

����� + ���� �� �� ������� �������������� ���� ��� � �� ����+ ��� �*

���� ��� ! ��� / � #� ���� �� ����� � �� !��� �� ��* �� #�!�� � ������ ��

����!���� � ����� �� � �� ���� ��!���� � �� �� ���� � ����/����� &1)C ����+ ���� # ��� �

������ ��� ����� � � ������ &D. A. 1'. 11. <D)C !��� �����������!��� &'D)C E��� ��� ������

�����/����� &<A)C ��� ���� # �������� ���� �� &@)* 5������� �� ���� ��� ! �� ����������

������ � ��� ��������� ������������� �. �� �� ���� ����� � �� �� ����!�� ���/� %�� /� F���

�* �� &<()* 5� �� ��! ��! . ���� ��� ! ��� / � ������������ � � ��� � ��� �� � ��

<

Page 4: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

������������* ���� ��� � � &<<) � � ��� � �� ����!�� ���� ��� ! �� ����� �� � ���

������� ���/� !�C G����00��� &14) �� � ��/��� �� ��!���� ��� ���� ��� ! �� ��!����

�� ����+���/�� �� ��� �������* $�� ������ &:) ��� =� ��� ��� &'<) ��������� � ����

��� ! � �� ���������� � ! �� �* � /������ ��� ��� &1:) ��������� � ���� ��� ���������

�� ��/��!��� ��� ���� �* B������ ��� ��� &') � � ��� � � �� ���� ��� � !����������� ��

� ����� ���� ��� ! �* ���� ��� / ��! � � �� ������� ���� ��� � ��� ! ��� ���������

������������� �*

���� ��� ! ��!/�� � ���� ���� � ��� � �?9 ��� ��G� E��� H���� ��! ����� ��0�

���� &1D. 1@. () �� ��� � �� ���� � �������� ��� ���� ��� ���/� !�* $�� #�!�� . �� ���

���� ������� ������ �� � ���� � �������� �� ����+� �� ��� ����� ��� � ������ � ����+

���������� # ��� ������� &<D)* 8� ��� ���� ������ �� � ���� � �������� �� �� �������

������������� ��� � ������ 7��� � % ����� &<A. 1()* =�� � �. ��� �� ��� ���� ���/� !�. �� �

��� / � � ���/� ! ��� �� � ���� �� ���� ��� ! � �� � ��� �� !����� 0 ��* 8� !���

����������. �� � �� ���� ��� ! ��!/�� � ���� � E��� H���� ��! ����� ��0����� ��

�� � �� � ��� �� �� ��� ���� . �� � ���� ����� � �� ����� �� �� ���������� ���� � � � ��

�� ��� ! . ��� �/�� �� !����� 0 ��. �������� �� %�� �����/� � �� ��� ����� ������

������ ���� ����� � �� ������* 5������� �� � ��� / � � � /�� �� �� �!������� �� �������

�� � ���� �� !����� 0 ��. �� �� ��! ����� ���� ���� ����� / �� �� ���������� ���� � � �

������. �� �� �������� �� !��� ���� �� �� �� ��! ����� � ���� ��� � ��� !����� 0 �� ���

� �� ��� ���� �����������* I����� / &;) � �� � � � ��� ! ����� ��������� �� ������������.

�!������ � ������ �!���� ��� ��� ���� ������ �� � ��� �� �� ��� ���� �� �� �� � �� ��

���� �� �� ��� * �� ������� � ���� �� ���� � ��� ! ����� ��� � �� �� � ��� � ���� �� �

��������* 8� ����. �� �!������ � ������ �!������� ! ���� �������� � �� ���������� �� ����

� �! �� �!���� ��� �� ��� ! * �� !���� � ������� ������ � � ������� � �!. ��� ��

�� ���� ������� � �! ���� �!���� � �� ���� �� �� ���� ��� �� �� ���� ��� ! * � ���

��� 7������� &1;) � ���� � � �!���� ��!�� � �� � ��������� �� %�#* 5������� �� �������

��� ��� ������� �� ���� ��� �� ���� �� �� �� �� ��� ���� ��� �� �� ��� ! . �� �� �� ��

:

Page 5: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

��!�� � �������� �!���� � �� ���� �� �� ���� ��� �� �� �� ��� ���� �*

������� � ���� !���� � �� � �� ��! ����� � ���. � ��� �/� �� � ���� �� �!����� ��

��������� ������ �� ���� ��� ! ���� ����� �� �!������� ��� �� �� ��! ����� ��������

� �� �� ��� ����+�* �� ���� ��� ! ���� �� �������� �!����� �� ��������� ������ �

/� J���� ��� ��� &'() � ����� �� � ������ ����������� � �� � �� ��� ����+ ��� * ���� ������

����������� �������� � �� �� �!���� � ����. ������� �� � ���� �� ���� �� �� ����������

���� � � � ���� � ���� �� �� ���� �� !����� 0 ��. � � ������ �� ����������� �� �!��� ��

!������� �, �� �������- ��������������� ��� ��� / ������ �/� �� � �� �� ���� � ��� %��

�������� �* B�� � �� #� ���� ��! ����� � ���. � ������ � !���� � �!����� �� ���������

� �� �� ����+ � ���� ��� �� ���� ��� � ���� ��� ! * ���� ���� !���� � �!����� ��

���������. �� ������ ��������+ ����������� �� ��!���� � �� �� ���� � ��� � ��� �� � ��������

�� �!���� � � �� ����+�* �� ���� ��� ! ���� ���� !���� � �!����� �� ��������� ���

���� �� �� !����� 0 �� ��� �� ��� ��� ��! ������� �� ��� ���/� !� ���� ������ ����+

��� � �� � �� � �� �� ��%� �� ���! �� /������� ����������*

���� ��� � �� ������0 � �� �������* 8� �� � ���� � �����. � /�� %� �� ��� � �� ! ����

����� �� �� ���� ��� ! * �� � �� ��� ��! ����� #� ��! ��� �� �� ����� � ����� ��

� � �� �� ������ ��������+ ����������� ��� �� � ������ �!��� �� �!����� �� ���������. ��

� ���� ��� �� ���� �� �� ���� ���* 5 !���� � �!����� �� ��������� �� �������� �* ��

! ����� � ��� ��� ��!������� ��� �� ���� �� �� ���� ��� �� ����� �� � ����� :* 8� � �����

;. � ������� �� �������� �� �� ���� ��� ! ���� �� !���� � �!����� �� ���������*

�� ���� � ����� �������� ���������� � !��+�*

��� ������� �� � � ���� �� ���

8� ���� � �����. � ��� � /�� � �� ��� � �� �� ���� �� � �� ���� ��� ! ���������

�� ��! ����� %�# �. �!����� �� ���������. %�# ��������� ��� �� ����� ��0����� �� �� ��!

� ������� *

;

Page 6: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

��� ������� �� �� �� ��� ���� �����

� ������ � �� ��������� �� ��! ������� ��� �/���� ������ ������� �� �� #�!�� 2

�� 6 ���� 3 4 �1*'�

�� ��!���������� ��!��� &�� ��) �� ����� � �� � ������! ! �� ��� ��!�������. ���� �

�������� ! �� ��0 �� 3 ���� � ��* �� ������� � ������� ����� �� �� ����� � 3 �� ��

�����#�!�� � ���� �� ���� ��� ! ����� ��� �� ��������� ���!

���� 3 �'

��& K��� �

� K��� �

) �1*1�

�� � K��� �

�� �� ��! ����� %�# �� ��� �

* ���� ��! ����� %�# �� � ���� # ��!/������� ��

��� ����� ��� � %�# � �������� � ���� ��� ��/�� ����� ���� �� !��+ � /� ��. �� ��� ��

�� $���� 1*'2

K������ 3 �K��������� 6 �

K��������� 6 �

K��������� �1*<�

�� � K���������.

K��������� ���

K��������� �� �� ��� �����/� ����� ��� � %�# � ���� �������� ��

�� ��/�� ����� ��������� �� ����� � ����� ��� �� ��������� ���!2

K��������� 3

'

<�������

D

(������ 6

''

(���� �1*:�

K��������� 3 �

'

(������ 6

;

(���� 6

'

<������ �1*;�

K��������� 3

'

<���� 6

;

(�������

'

(������� �1*(�

�� ���� �����#�!����� �� � ���� � �� ���� �� ��� ���� ��� �2 �'� �� �!���� � �����.

�� �����#�!�� � �� �������� ���� ����!�� ��� � �� ��������C �1� � �� ������������� �. �� + ��

�� �� ������� �������������� ���� ��� �� ��� ��� ! �*

�� ���� ���� ��� �� ��� �� / ������ �* �� ����!�� ��� � ����� ��� �� ��! ����� %�#

��� / ��������� � �� �� �� ���� ��������� �� �� ������ � � 1. � � '. �. � 6 ' ��� � 6 12

K� Æ

��� 3'

<4��� �

'<

(4��� 6

:D

(4� 6

@

14��� �

'

14��� �1*D�

(

Page 7: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

j-2

j-1

j

j+1

j+2

S0

S1

S2

j+1/2

$���� 1*'2 ��� ��/�� �����

�!������ �� ��� �����#�!������ �1*<� ��� �1*D�. �� ��� �/���� �� ����!�� ��� �� � �����2

� 3 4�'. � 3 4�(. ��� � 3 4�<* �� � ���� ���� ��� ��� / ���� � � /� �� ������������

�� ������ �� � �����* �� ������ �� � ����� ������ ���� ���� �� �� ��� �� � ����� �� �!����

� ����� �� !������� ����!�� ��� � �� ��������*

��� �������� ������� �� ���������� �������

�� ����!�� � ����� �!���� �� ��� ! ���� ����!�� �������� �� �� �!���� � ����* =��

� �. �� � ��� ��� ������ �� ����+ �� ��� � ������������� � ������� �����������* �� + �

�� ���� ��� �� �� ��� ��� ! � �� ������������� �. �� ��� ! ������ �� ������� � !��

�� ������/����� ���! ��� �� ���� ���� �������� � �������������* ���� ���� ��� ��� / �!��

! �� � /� �� ������������ �� �� ������ �� � ����� ������� �� �!����� �� ���������* "��

� ��* &'A) � �� � �� ������ �� � ����� ��2

� 3������� ��

�� 3 �

��6 ���� � 3 4 ' 1 �1*A�

�� � ��������� � 3 1. � �� � �!��� ������� ��!/ � �� ����� �� � ��!������ / ��!��� 0 ��

��� �� ��+ � �� � 3 '4�� �� ��� �� ��! ����� � ��� � ����! � �� ���� ��� �. ��� ��� �� ��

�!����� �� ���������. ����� �� � �� � �� "�� �* �� &'A) �� �������

��� 3������

������

&� 6 � 6 �� � �)�

� � ��1*@�

D

Page 8: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

��� �� ���� ��� ! ���� �� � ���! �� ��� ��� � ��� ��� ! * �� �!���� ��������.

J���� ��� ��� &'() � ���� � � �!����� �� ��������� �� ���������2

��� 3������

� ����

��� �

������

��������

���

��

�� �1*'4�

$�� �� � 3 < ��� ����� ��� � ���� ���� �� � ���! ����� ��� � ��� ��� ! �. �� #������

���!��� ��� �� �!����� �� ���������� ��

��� 3'<

'1���� � 1��� 6 ��

� 6'

:���� � :��� 6 <��

� �1*''�

��� 3'<

'1���� � 1� 6 ����

� 6'

:���� � ����

� �1*'1�

��� 3'<

'1�� � 1��� 6 ����

� 6'

:�<� � :��� 6 ����

� �1*'<�

�� ���� ��� � ���� ��� ! ���� �� �!���� ��������� �1*''��1*'<� ��� / ��! � ��

������� ���� ��� ��/�������� ��� ��� / � �� � �� ��! ���� ������������*

= ����� � ��* &'1) ����� � ���� �� ������ �� � ����� ���� �� �!����� �� ���������

�1*''��1*'<� !�� ��� �������� �� � ����� �!���� #�� !�* �� � �������� � � !��� �

��������2

��� � 3 � � 6 � ��

� � < � 6 ��

� ��� 6 �'� 1 ��

�1*':�

�� � � &4 ') ��� � 3 4 ' 1* ���� �������� �� !������������ ���� ����� ���� � ���� ����

��� ���4� 3 4. ���'� 3 '. ��� Æ

�� 3 � . ��

�� Æ

�� 3 4. ��� ���� � Æ

�� 3 4* �� !��� � � ����� ��

��� � /�2

�� 3 ��� �� �1*';�

�� � � �� ��!��� � /� �� �������� �1*A� ��� �1*''��1*'<�* ���� !��� � ����

��� ! ��� �!���� �������� �� �!���� #�� !�* 5� ���������� �������� �� ���� ��������

� � ��� !��� � �� �� �� !������� �� �� ����! � � � ��� � �� �� ��� / ��+ � ���� ��

!����� 0 ��* � � � � �� &'1) ��� !�� � �����*

8� �� ���������. � � ��� �� �������� ����; ��� ! ���� �� �!����� �� ���������

�1*''��1*'<� �� J� ���� ��� �� ���� ��� ! ���� �1*''��1*'<�. �1*':� ��� �1*';� ��

�� !��� � ����*

A

Page 9: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

��� ��� ���������

�� ������ �� �� %�# ��������� �� �� �������� �� ���� �� ���������* 8� � � ���. �� %�#

��� / ����� ���� ��� �����2

��� 3 ���� 6 ���� �1*'(�

�� � � �

��� 4 ��� � �

��� 4* �� ��!�� �� ��� ��!!���� �� � %�# ��������� �� �� "�#

$�� ������ %�# ���������

���� 3'

1����� ��� �1*'D�

�� � � 3 !�# � �����*

��� ���� ������������

5�� � �� ������� � ������� �� ����� ��0 � ���� �� ���� ��� ! . � �/���� � � � �� ��������

�� � ����� ��������2

��

��3 ���� �1*'A�

�� �� ����� ���� �� � �� � �� � �� �1*1�* ���� � � �� �������� �� � ����� �������� ��� /

����� ��0 � /� �� ����� ��� � �?9 E��� H���� ! ���� &1D) �� �������2

���� 3 �� 6������� �1*'@�

���� 3<

:�� 6

'

:���� 6

'

:��������� �1*14�

���� 3'

<�� 6

1

<���� 6

1

<��������� �1*1'�

�� /� ����� � E��� H���� ! ����* 5�� �� ��! ����� � ����� �� ���� ��� � �� �/���� � /�

�� ���� ��� � ���� ��� ! ���� "�#$�� ������ %�# ��������� ��� �� ����� ��� � �?9

E��� H���� ! ���� �1*'@��1*1'�*

� ����� ���� �������� ������ ��� ��������� ��� ����

�������� ��������

8� ���� � �����. � � ����! ��! ����� #� ��! ��� �� ���� !�������� ����� �� ��������+

����������� ����� �� � ������/� ��� �� ������ �� �� ��! ����� � ���� �� � ��� ���� �� !�

@

Page 10: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

���� 0 ��* �� � ���������� / �� � �� �!����� �� ��������� ��� �� ��������+ �����������

�� #���� � ��� � � � �!����� �� ��������� �� ������ �*

��� ������� ����� �� ��� �� ������ �������! �� ��� ����

�����

�� � !�� ��� ���������� ����� ����"

��� ���� #�!�� �� � �� ��! ������� ���������� ����+ �� �� �� ��! ������� ��� � ���

�����2

�� 6 � ���� 3 4 �<*'�

�� � � 3 �� �� ��� . � ��� 3 ��� ���6� ���6���� * = � � �� �� � �����. � �� �� � ������.

� �� �� ����� � ���. � �� �� �� ���� ����� �� � ��� � �� �� ����� � ��� /� � 3 ���

6 �����.

�� ����� �� �� ���� � �� � 3 '�:*

�� ��!���������� ��!��� �� � � &�' ')* 8� �� ����� � �� :44 ������!�� ���� � ! ��

������* �� ������� ��������� �� �� %�� 7��� ��!/ � �� �� � �� �� �� ����+ �� �� 3 1�4*

�� ����+ �� ����� � �� � 3 4* �� ������� ��������� �� ��� � /� �� E��+�� =�������

� ������ &1<) �� �������2

��� 4� 3

��� �� � � 4C�� �� � � 4�

�<*1�

�� � �� ��

����

� 3

��

����

''

�� ��

����

� 3

��

������

�������

���������

����

��

������

� �����

� �������������

���������������

����

���

�� 3

�� ��

��������

6 �����

��

� �� 3

�� ��

��������

6 �����

��

� �

�� ������� ��������� �� ���� �� #��� �������� �� �� �� ��� �� ��! ������� ��� � ��������*

= �� . �� �������� ������ + � �� ��! ���� ��� � � 4* =�� � �. / ���� �� �� "�#

$�� ������ %�# ���������. �� ������� ��������� �� ��� � �������� �� �� ����; ��� ! * ��

��! ����� �������� ���� ������� ���������� ������ ������ �� ����+* $���� <*' �� �� ��! �����

'4

Page 11: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

X

Den

sity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

$���� <*'2 9 ����� ������/����� ������ � �� ��� ����+ �� �� 3 1*

� ����� ������/����� ����� �� ��!���������� ��!���* � ��� � �� ���� ���� �� � ���� ��

�� ������� ��������������2 �� ����� �/� ������������ ��� / �/� �� �* �� ��! ����� ����+

����� �� ���� ����� ��� �� !������ �� �� � �* 8� $���� <*1 � ���� �� �������� �� ��

�� ��� � ���� ���� �� � �� � ��2

���� 3�����

����

��<*<�

�� � �� �� �� ����� � ���� � �� � ��

�� 3��

��

3����� � �����

�<*:�

��� � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������*

$��! $���� <*1. � �/� �� ���� �� �� ��� � ���� �� � ��� ���� �� �� !����� 0 ��

/�� ����� ������ '4����* �� � ������ �� %�� �����/� � ����� � �� ����� ��� � � �����

��! . �� ���� �� ����� �� �� �� ��� � ���� ��� � �� � ��� � ������ '4���� �� � ���� ��

�� !��� ���� ��* ���� �� / ���� �� ��� �� ���� � �� �� ��0 �� �� �� ��� � ����

�� � � �!�� �� � �� ���� �� ��!��������. ��� !��� � �� �� #� �� �� ��������� � ������

��!������� �� �� %�� �����/� � ��� � !��� ��! �� �� �� !�+ ���� � � �!�������*

$���� <*< �������� ��� 0��! � ���� � �� �� � ����� ������/����� � �� �� ����+* $����

<*< ��� �� � 0��! � ���� ����� �! �� �� ����+ ��� $���� <*< � � �� � 0��! � ����

''

Page 12: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

Time

log(

Res

A)

30 60 90 120-2.2

-2.1

-2.0

-1.9

-1.8

-1.7

A C B

One Period

$���� <*12 �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� �� ��! ������� �� ��� ����+ ���� 3 1*

������� �! �� �� ����+* � ��� � �� ���� ���� �� � �� �������� ������������ �� �� � � �

������ '4�� ������� �! �� �� ����+ ��� * ���� �� �� � �� +���� ��������+ �����������

���� ��� ��� ������� �! �� !��� ������ !����� �� �� ��� ��! ����� ����+�* 8� � !� ����

���� ��������+ ����������� �� �� ������� ��� �� ������ �� ����+ ��������� ��� ! � �� ���� ��

�� �� �� �� ��� ���� �*

�� � �� � ��� �� � ���������� / �� � �� ��������+ ����������� ��� �� ���� �� ��

���� ��� ����� ��� / � � �� � /� �� ��������� �� �� ����� � ���� �� �� � ����� �� �# �

������ � �� �� ����+* $���� <*: �� �� �������� �� �� � ����� �� �� ������ � 3 �4�41 ���

� 3 4�4'* �� ����� � 3 4�4' �� �� ����� ���� ����� �� �� ����� �� �� �� �� ����� ����+

�������� � 3 4* � ��� �/� �� ���� �� � ����� �� �� ����� � 3 4�4' �������� � �� � ����

�� �� ��� ����� �� �� ��� � /� � ��� � �� �� ��� ��� �� � ���� � � D4* 8� ��!�������.

�� � ����� �� �� ����� �! ����� � 3 �4�41 �� �� ������� � �������� ������ '4��* $����

<*; �� �� �������� �� �� ����� � ���� �� �� ����� � 3 4�4'* 8� �� � �� ��!���� �� ��

�������� �� �� � ����� �� $���� <*: � �* �� ����� � ���� ���� �������� � �� ���� �� �� ���

����� �� �� ��� � /� � ��� � �� �� ��� ��� ���� �� ��! � ���� � � D4* $���� <*( �� ��

�������� �� �� � ����� ��� �� ����� � ���� �� � � ���� �� ��� !�� ������ ������/�� �

������� �! �� �� ����+* � ������� ���! �� � ���� � ���� �� � �� � ������ ��������+

'1

Page 13: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

X

Den

sity

-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01

1.000

1.001

1.002

1.003

X

Den

sity

0.05 0.10 0.15

2.665

2.666

2.667

2.668

��� ����� �! �� �� ����+ �/� ������� �! �� �� ����+

$���� <*<2 ���! � � ����� ������/����� � �� �� ����+ �� �� 3 1*

�����������* 8� / ���� �� �� ����+ � ���� ��� �������� � ������� �! �� �� �!���� � ����*

�� � ����� ��� ����� � ���� �� ��� �# � ����� ������� �! �� �� ����+ �������� �� ����

�� �� ��� ����� �� �� ��� � /� � ��� � �� �� ��� ��� * �� �!������ �� �� �����������

/ ��! � �!��� � �� �� ����� �� ����� � ������� �! �� �� ����+. �� ��!�/�� �� �� ��

����������� �� �� ��� ! *

��� � ���+ ����� �� �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� $���� <*1* �� � �� �

���� ��� ���! ����� ! �� ����� "* �� � ���� �� ���� � � D4 ����� �� �� ��! �� ����

�� �� �� ��� � ��� ��� �� �������� �� �� � ����� ��� �� ����� � ���� �� �# � ������

������� �! �� �� ����+* ��� ������������. �� ��������+ ����������� �� � ������/� ��� ��

�� ��� � ���� �� ���� �� � � ����� �� ���� � � � ���� �� �� ����� ���� �� !����� 0 ��*

�� �# !� ���������� �������$�� �����%

�� � ���� #�!�� �� � ��� ��! ������� �� ������� ���� #* � �� ���� #�!�� �� � � ��

�� ���� �� �� ���� ��� �� ����; �� �� ��� �!���� %���* �� ������� ���� �� �� ���� #

����! � �� �� �� ��! �� ���� �� &1A. <D)2

���� ����� � ������2 ����� 3 ������������.

������ � ������2 �� 3 4.

'<

Page 14: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

Time

Den

sity

10 20 30 40 50 60 701.0000106

1.0000107

1.0000108

1.0000109

1.0000110

TimeD

ensi

ty

30 60 90 1202.6505

2.6510

2.6515

2.6520

��� � 3 �4�41 �/� � 3 4�4'

$���� <*:2 �� �������� �� �� � ����� �� ��� !������ � ������

Time

Res

idue

30 60 90 120

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

$���� <*;2 �� �������� �� ����� � ���� �� �� ����� � 3 4�4'

':

Page 15: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

Time

Den

sity

0 10 20 30 40 50 60 702.6660

2.6662

2.6664

2.6666

2.6668

2.6670

2.6672

Time

Res

idue

0 10 20 30 40 50 60 70

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

��� � 3 4�4<

Time

Den

sity

0 10 20 30 40 50 60 70

2.6662

2.6664

2.6666

2.6668

2.6670

2.6672

Time

Res

idue

0 10 20 30 40 50 60 70

-0.05

0.00

0.05

�/� � 3 4�4;

Time

Den

sity

0 10 20 30 40 50 60 70

2.6664

2.6666

2.6668

2.6670

Time

Res

idue

0 10 20 30 40 50 60 70

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

��� � 3 4�4A

$���� <*(2 �� �������� �� �� � ����� �� ��� ��� �� ����� � ���� �������*

';

Page 16: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

�� ���� 2 ���� 3 ��&'� ���

���

������ )

���� .

� �����2 ���� 3 &'� ����

����

���� )�

���

�� � � 3���� ���� 6 �# � #���. ���� �� ������� ���� # � �� � ��� #�� 3 �4�4 4�4�* �� ��

�� ��� ���� �� �� ���� # ��+ � �� �� 3 4�1;. � 3 '�: �� �� ����� �� �� ���� � ���* 8� ��

��� � ���� ���� ���� # �� �� #��� �������� �� ��� ��! ������� �� ��� ��� � ��������* = ��

�� ���� � �� �� ����� ������ ��� / �# � �� �� #��� ��������. ��� � �� ��� � � �� ���

�� ���� �� ��! ����� /������� ���������* �� ��!���������� ��!��� �� �: � � � : ���

�: � # � :* � ��+ � :44 � :44 ������ ���� � ! �� ��� � ����! �� ��!������� �����

� 3 ;4*

$���� <*D �� �� �������� �� �� �� ��� � ���� * 8� ���� �� � �� �/��� '4���* 5�������

�� �� ��� � ���� �� � ��� ���� � ��� ���� �� !����� 0 ��. �� �� �!��� ����� ��� ���

��������� ������ * $���� <*A �������� �� � ����� �������� ����� � ��� �� ��� ��� �!��� �

������ ��� � ���� �������* 8� ��� / � � ���� �� ��� �!��� � ��� � ����� �������� �� � ��

�!���� � �� �� /�������* $���� <*@ �� �� ������/����� �� �� � ����� �� �� ����0�����

��� # 3 4 ��� ��� ��!������� ���� �� #��� ��������*

�� �/�� ��� #�!�� � ���� �� ���� �� � ���� ��� �� �� ��� � ���� �� ���� �� �

� ����� �� ���� � � � ���� �� �� ����� ���� �� !����� 0 �� �� �� ������ ��������+ �����������

������� �! �� �� ����+* 8� � ��� � !�� �� � ��� ���� ��������+ �����������. � ��� �

����� �� �!���� �� ���� �� �� ���� ��� ������� �� ��� ���� �*

��� ��� ����������� "������ ��� ���������� ������� �� ���

���������� ��� ��� ���#

�� � �� � � ��� �����/� ! ����� �� � !�� �� ��������+ �����������* I����� / &;) � �� �

�� �� ������������. ������� ��� ���� ��� �!������ � ������ �!������� �� �� � �� �� ���

� �� �� �� �� ��� ���� �* �� ������� � ���� �� ���� � ��� ! ����� ��� � �� �� � ��� �

���� �� � ��������* 8� ����. �� �!������ � ������ �!������� ! ���� �������� � �� ����������

�� ���� � �! �� �!���� ��� �� ��� ! * �� !���� � ������� ������ � � ������� � �!.

��� �� �� ���� ������� � �! ���� �! ��� �� ��������+ �����������* �� ������� ��� ���� �����

'(

Page 17: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

X

Log(

Res

A)

0 10 20 30 40 50-11

-10.5

-10

-9.5

-9

$���� <*D2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� �� ������� ���� #*

X

Y

-4 -2 0 2 4

-2

0

2

$���� <*A2 9 ����� �������� ����� � ��� � ���! 4*@ �� '*4 ���� <4 � � ��� ��� ��� �!��� ������� ��� � ���� ������� �� �� �� ������� ���� #*

'D

Page 18: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

X

Den

sity

-4 -2 0 2 40.90

0.95

1.00

1.05WENO5Exact

$���� <*@2 9 ����� ������/����� ��� ��!������� ���� �� #��� ��������*

��� ���� ��� � ��� �� ���� �� �� ��� ��������+ ������������* � ��� ��� 7������� &1;) �

� ��� � �� ��� � ��� ��� ��� � ���� ��� ! �* �� � �������� � � �!���� ���� ��� �

��!�� � ��� �� � ������������ �� �� ��! ����� %�#* $�� �� �� ��! ������� ��� . �� ����

����+ ����������� �� � ��� � ������������ ��� �� ���� �� �� ���� ��� ������� �� ��� ���� �

�� ������������ �!���� � ��������� �� ��� ��! ����� � ��� ����� �� ��� � ���� ��� ! *

=�� � �. ��� �� ��� ��! ������� ��� . �� � ���� ����� � !� �� ���� �� � � ����� �� ����

� � �*

8� �� � �����/� �� #� �� ���� �� ������ �� � ����� ��� �!����� �� ��������� ���� ����

�� ���������� ��� �� �� � �������� � �� �� ����+ � ����* 8� ����� ��� ���� �� � ��� �

��� �� � ���������� �� �� ��������+ ����������� �� � �� �� �� �� ���� �� �� ���� ���* ��

�������� �!����� �� ��������� �� J���� ��� ��� &'() ��� / #���� � �� ������� �� �!����

� �����

��� 3'

:�1 ����

1

< �������� 6

'<

'1� ������� 6$����� �<*;�

��� 3'

:�1 ��� 6

1

< �������� 6

'<

'1� ������� 6$����� �<*(�

��� 3'

:�1 ����

1

< �������� 6

'<

'1� ������� 6$����� �<*D�

�� � �� ��� ����� %� ��� %�* %� 3��1 ���� �

� �������� �� �� ���� � �! �� �� ��������

�<*;�. �<*(� ��� �<*D� ����� ������ � �� ���� ��� ����� ��� � � ������� �* %� 3����� �������

'A

Page 19: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

�� �� � ���� � �! �� �� �������� �<*;�. �<*(� ��� �<*D� ����� ������ � �� � ���� ��� �

� ������� * � ����� ������� ��! ����� #� ��! ��� ���� �������� �� � ���� � �! %�

����� ������������ �!���� �� ���� �� �� ���� ��� ������� �� ��� ���� �* � ����� ���

�� ��������� � ������� � ������� ��� ���� / ������* $�� � �� � �������� ���� �� ������������

����� ��� �� !���� � �� ����� �� $���� <*'4. �� ������/����� �� �� ��! ����� ���� ��� � ���

� ���� ��� � � ������� � �� ����� �� $���� <*''* � �� �� ����+. �� ���� ��� � � ������� ��

���� � ���� 0 ��* 8� ��+ � ��� !�#�!�! ���� �� �� � �� � �� �� ����+. ����� �� !��+ � /�

& � �� $���� <*''* = �� . �� ���� �� �� ���� ��� � � ������� � !� �� / � ���� ����� ��

�� �!����� �� ���������* =�� � �. �� � ���� ��� � � ������� �� �������� 0 �� �� �� � �� �

�� �� ����+. ����� �� ����� �� ����� & �� $���� <*''* L���� �� � ���� ��� � � ������� ��

� ���� �� �� �!����� �� ��������� � !� �� ����� �� ���� � �� �� �!����� �� ���������

��� �� ��� � ���/����� ������ �� �� � �� � �� �� ����+. ��� ���� �� � ��� � �� � �� �����

�� �� �!����� �� ��������� �� �� ����+ �� ���� �� ��� � ���/����� ������*

$���� <*'1 �� �� ������/����� �� �� �!����� �� ��������� �8��. %� 3������:���6<��

��� %� 3�������� � 1��� 6 ��

� ������ �� ��! ����� ����+ ����� �� $���� <*'* � ���

� ����� ���� %� �� � ��� � ! �� / � ���� ��!��� �� �� �� �!����� �� ��������� ���

� !� �� � �� � �� �������� / �� � �� �!����� �� ���������� �� �� ����+ � �� � ��� ���

� ���/���*

��� $ ��� ���������� �������

B�� � �� �� ��! ����� ��� �� ��� � ������� �������� �� �� �� ����� ��/� �����. � ���� ��

�� ��������� !���� � �!����� �� ��������� ��� �� ���� ��� � ���� ��� ! � �� � �� ���

����+ � ����*

��� 3 :

� ����

��� �

��

�������

��

��

���'

<

� ����

��� �

���

��������

���

��

�� �<*A�

�� #������ ���!��� ��� ���� !���� � �!����� �� ��������� �� 2

��� 3 ���� � :��� 6 <��� �<*@�

'@

Page 20: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

X

f

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

1.0

1.5

2.0

2.5

$���� <*'42 9�����/����� �� � �� �*

X

Der

ivat

ive

-0.0 -0.0 -0.0 0.0 0.0 0.0 0.0-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5f’f’’

A

B

C

D

E

C’

D’

$���� <*''2 9 ������� � �� � �� � ��������*

14

Page 21: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

X

Sm

ooth

Indi

cato

r

-0.01 0.00 0.01 0.02 0.03

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2 ISP1P2

$���� <*'12 9�����/����� �� �� �!���� ���������. %� ��� %�*

��� 3 ���� � ����� �<*'4�

��� 3 �<� � :��� 6 ����� �<*''�

�� � #������ ���!��� ���� ���� ���� �� !���� � �!����� �� ���������� �� ���� ����� *

�������� �!�������� ��� � � ����������� �� ������

������ �� ���� �� ���� "� � � ��" ����� ����

�������

��� ��� ���������� ����� �%������ ���� ����� ���#

5� �� #�!�� . � � �� �� ��! ���/� ! �� ������� �<*'� ���� �� ��! ������� ���������

�<*1�* $���� :*' �� �� �������� �� �� �� ��� � ���� �/���� � /� �� ���� ��� � ����

��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*@��<*''� ��� ��� ��!������� ���� J� ����

&'(). !��� � ���� &'1) ��� ��� � ���� &1;)* 8� �� �/����� ���� �� ���� ��� !

���� �� � � �!����� �� ��������� ���� �� � �� !����� 0 �� � �� ����+��* �� ���� �� ��

�/����� �� �� !��� � ���� ��� ! �� ��!���� �� ���� �� �� ����������� ���� ��� ! *

B��� ���� �� �� �/��� '4���* �� ��� � ���� ��� ! �� !��� / �� � ��� ��� ���� ��

�� '4���*

�� � ����� �� �� � �� ���� ��� ! � ���! �� ��!�� � ���� �� �� � ����� �� ��

1'

Page 22: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

Time

Log(

Res

A)

0 30 60 90 120-20

-15

-10

-5

0

This paperJS WENOMapped WENOPower WENO

$���� :*'2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� ��� ��!������� �!��� ������� ������� ! � ��� �� �� ��! ������� �� ��� ����+ �� �� 3 1*

���� ��!���������� ��!��� ��� ��� / ����������� � ��������* �� � ��� � ���� ���� ��

0��! � ���� � �� �� ����+ ��� � ��!������� �� $���� :*1* �� � ����� �/���� � /� ��

���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� ������ � � �� � �� �� ����+ ������� ��

��������+ �����������* �� � �������� �� �� ��� � ���� ��� ! �� ��!���� �� ���� �� ��

���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ���������* �� � �� � ����� �� ������ ��������+

������������ �� �� J� ���� ��� �� !��� � ����*

��� ��� ���������� ����� �%������ ���� � �"��%�� ���#

5� � ��� ��! ������� #�!�� . � ��!���� �� �/���� ����+ ����� ��� �� ���� �� '<;Æ

���� �� ������� � ��� �����* �� %�� 7��� ��!/ � �� �� � �� �� ����+ �� �� 3 1* ��

��!���������� ��!��� �� 4 � � � : ��� 4 � # � 1* �� ������� �/���� ����+ ���� � ��

����� �< 4�* �� ��!��� �� ����� � ���� 144 � '44 ������ ���� � ������ ���� �� 3 �#*

= �� . �� � �� ����+ ���� � �� ��� � ��� ��� � /������� �. � ������ /������� ���������

����� �� ����+ ��� ����� ��� / �!�� ! �� � ��� ��!������ � /������� ���������� ��� /

����� �* � � ��/ ��� �� ��� �� ����� ��!������ � /������� ���������� �� ��� � �� � !��

����� � �����/� ����� � ����� �� ���� �� �� �� �� � ���� * 9����� �� ��������� ���

��! ������� ��! ����� ��!�������. � �� � 3 ; ��� / �� ��� �� ��� #� ��! ���� �� �1*A�

11

Page 23: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

X

Den

sity

-0.04 -0.02

0.9995

1.0000

1.0005

1.0010

1.0015

1.0020This paperJS WENOMapped WENOPower WENO

X

Den

sity

0.05 0.1 0.15

2.6660

2.6665

2.6670

2.6675

This paperJS WENOMapped WENOPower WENO

��� ����� �! �� �� ����+ �/� ������� �! �� �� ����+

$���� :*12 ���! � � ����� ������/����� ����� �! ��� ������� �! �� � �� 3 1 ����+*

�� ��!��� �� ������ �� � ����� ���� �� � � �!����� �� ���������* ��� ��!������� ��

� ����! � ����� � 3 ;44*

$���� :*< �������� �� � ����� �������� ��� ������� ���� ��� ! �* �� !���!�! ���

!�#�!�! ���� � �� �� �������� �� / ���� �� ���� � �� �� ��! ����� � ���� �� ���� ��

�������� ������ ��� �����!����� ��������� ��! ����� ���� * � ����. �� ��! ����� � �����

�� ���� ���/�� � � � �� ������������ �������� ��� ��� ���� ��� ! �* � �/� �� ���� ��

��! ����� ����+ �/���� � ���! �� � � �!����� �� ��������� + �� ��� �������� ��������

�������� ������� �� ����� �<.4��. /�� �� �������� �� �� ��! ����� ����+ �� ����� � �� ��

��!������� �� �� J� ����. !��� � ���� ��� ��� � ���� ��� ! �* ���� ����� ���� ��

/ ���� � ��� �� � � � ������ /������� ��������� ����� �� ����+ ��� �����. ����� ������

�# �� ����+ ��������* 5�� ������ ��! ����� � ����/����� !�� ����� �� ����+*

$���� :*: �������� �� 0��! � � ����� ������/����� � �� �� ����+ �� �� ����0����� ���

# 3 ' ��� ��� ���� ��� ! �* � ��� �/� �� ������ ��������+ ������������ ������� �! ��

�� ����+ ��� ��� ! �����* �!������ �!��� ��� ���� � �����. �� �� ���! ���� ���� ��

� � �!����� �� ��������� ��� �� �!��� �� ��������+ �����������* 5!��� �� ��� � ���

���� ��� ! �. �� J� ���� ��� � � � � ����������� >��� ��� � �� ����+. /�� �� �����

������ / ��! � � �+ � ����+�� �� �� �������� � ����� � ������� �!* �� !��� � ����

1<

Page 24: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

1 2 3 4[0.9999,1.72] 30 contours

1 2 3 4[0.9999,1.72] 30 contours

��� ���� ��� � �/� J� ����

1 2 3 4[0.9999,1.72] 30 contours

1 2 3 4[0.9999,1.72] 30 contours

��� 7��� � ���� ��� G�� � ����

$���� :*<2 9 ����� �������� �� �� :;Æ �/���� ����+ �� �� 3 1*

��� ! ������ � ���� � ��� ������������ ����� �������� ����� � ������� �!* �� � �� �

������ ����������� �� �� ��� � ���� ��� ! . ���������� ���� �� ��!�� � !���� ��� !����

� �� �� ��� ��� ������ ��� !������! ������� ���/� !�* ���� ������ � � ����/����� !����

/ � ������/� ��� �� ��! ����� ����+ �� !�� �������� ������������ ����� �� � ��� � ��

����� /����! ���� �* $���� :*; �� �� �������� �� �� �� ��� � ���� * ������ �� �� ���

� ���� �� �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� �� � ��� ���� ���� �� ��

!����� 0 �� ��+ ���� �� �� �� ��! ������� ��� . �� � ��� � � ���� ��� � � � / ��� '4���

����� �� ������������ ��� ��� ��������� ������ * ��!���� �� �� ���!�� ����+ ��� . �� �� ���

� ���� �� �� J� ���� ��� !��� � ���� ��� ! � � ��� � ���� �� � � ����� �� ���� ����

������ '4��* �� �� ��� � ���� �� �� ��� � ���� ��� ! � ��� � �� � ��! ���� �!��� �

���� ������ '4��. ����� �� ����� ��� �/�� !����� 0 ��*

1:

Page 25: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

X

Den

sity

1.5 2 2.5 3

0.99

1.00

1.01

1.02

This PaperJS WENOMapped WENOPower WENO

X

Den

sity

2 2.5 3 3.5 4

1.71

1.712

1.714

1.716

1.718

1.72This PaperJS WENOMapped WENOPower WENO

��� ����� �! �� �� ����+ �/� ������� �! �� �� ����+

$���� :*:2 9 ����� ������/����� �� :;Æ �/���� ����+ �� �� 3 1 ��� ������� ���� ��� ! �*

Time

Log(

Res

A)

0 100 200 300 400 500-15

-10

-5

0

This paperJS WENOMapped WENOPower WENO

$���� :*;2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� ��� �� :;Æ �/���� ����+*

1;

Page 26: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

��� &����� ���# ��������

�� � ����� ����+ � % ����� �� � ������� ��� ��! ������� �� ��� %��* �� %�� ��������

�� ��� !�������� ����� �� $���� :*(* �� �!������� ����+ �� ��� �� � % �� � ����+ ��

� ����� �� ��!��� ���� ��� ����� �. �� ��� ���* �� ���� �������� �������� �����/� �

�� ��. �� ��� �� � �� ���� ��* �� � ��� / ��!��� � /� �� E��+�� =������� � ������

&1<)* 8� ��� ��� . �� %�� 7��� ��!/ � �� � ���� � �� 1�@* �� �!������� ���� �� ' 3 1@Æ*

8� ���� #�!�� . �� �!������� ����+ ��� �� � % �� � ����+ ���� ������� �� ��� �

/�������* �� /������� ���� �� ��!��� � /� �� �� ��! ������� ������� ������ ! ����

�� �������* ������ ( � ) � 4. ( ( ( 6 ) * 4 �� �� ���� �� ����� � �� �� J���/��� ��

�� /�������* �� �� �� ��!��� � �������� ��� �� �� �� #��� �������� �� �� /�������*

�� J���/���. /�� � �� ��. ��� / ���������0 � �� ! 3 �M���. �� � � ��� ��� �������

�� ����� ��� � �� �� �� ����� � �� ���� �� ��� M �� � �������� !����# �� �� ����� �* ��

������� ������ �������� ���� � �� +� 3 ����� ��� +� 3 �����* 8� �� �� ����� �� ���� �

�� ���� �� 0 ��. �� ������� ������ ���� �� �� /������� �� ���� �� �� ��!��� � ���� *

��� ���� . �� �� ���� �� �� #��� ��������* �� ���� ���� � �� � �� �� ��� � /�������

�� �� 3 � �(�� (�� (

�� (

��

� * = � . �� ��� �������� � �� � �� �� ��!��� �� �� �� � ����

�� ���� � /� �� ��/�������*

�� ��!���������� ��!��� �� 4 � � � :. 4 � # � ' ����� �� ����� � �� 144 � ;4

������ ���� � �����* $���� :*D �������� �� � ����� ��������* 5����. �� !���!�! ���

�� !�#�!�! ���� � �� �� �������� �� / ���� �� ���� � �� �� ��! ����� � ���� �� ����

�� �������� ������ ��� �����!����� �/��� �� ��! ����� �������� ��������� ��! ����� ���� *

�� ��! ����� ������������ �� �� J� ���� ��� !��� � ���� �� !�� � � � ���� ����

�� �� ���� ���� �� � � �!����� �� ��������� ��� ��� � ����* $���� :*A �������� ��

�������� �� �� �� ��� � ���� * 8� ��� / �/� �� � ���� �� �� ��� � ���� �� �� ����

���� �� � � �!����� �� ��������� � ��� � ���� �� � �!��� �� ���� ������ '4����. ������ � /�

���� �� �� ��� � ���� ��� ! ����� � ��� � ���� �� � ���� ������ '4����* �� �� ���

� ���� �� �� J� ���� ��� !��� � ���� ����� �� ���� ���� �� � � ����� �� ���� � ����

1(

Page 27: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

I II III

x

yS1

S2

$���� :*(2 ��� !���� ������! �� �� � ����� ����+ � % �����*

[0.999,2.7] 30 contours [0.999,2.7] 30 contours

��� ���� ��� � �/� J� ����

[0.999,2.7] 30 contours [0.999,2.7] 30 contours

��� 7��� � ���� ��� G�� � ����

$���� :*D2 9 ����� �������� ��� �� � ����� ����+ � % ����� ���! �� � �� ���� ��� ! �*�� 3 1�@. ' 3 1@Æ*

������ '4����* $�� ���� #�!�� . ��� �� �� ���� ��� ! � ��� ���� � � �!��� �� ���

� ���� ���� �� !����� 0 ��* �!������ ���� �� �� ����� #�!�� . � ����� ���� ��

���� ���� �� �� �� �� �� �� /������� ��������� ���� � ���� �� !������! ������� �����

�� �� ���/� ! ����� �� �� ����� #�!�� �� ���� ��� ��! ������� ���� �� �/���� ����+

/�� �� ��� � ��!�� � ������ /������� ��������� ����� �� ��� ����� �� �� ����+�* � ���

��� / � ���� ����� �� ������ � ��! ����� /������� ��������� ��� ���� #�!�� �� ���� ��

�� ��� � ���� ��� �� ���� �� � �!��� � ���� *

1D

Page 28: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

Time

Log(

Res

A)

0 50 100 150 200 250-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0This paperJS WENOMapped WENOPower WENO

$���� :*A2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� � ����� ����+ � % �����*

��� $ ��������� ��� ��� ������ ���� ����

�� ��� ������ %�� ���� � ������� ������ �� � �� � ������� � �� ��� �� !��� �� ����� ����� �

&'(. <:. <')* ���� %�� �������� ��!�� # �������� � ��������� /�� ����+�. ��� ������� ��� �

��� ���� ��� �* �� � ������ �� � �� �� �����/����� �� �� ���� ��� �. �� %�� �� � � ��� �

��! ����� �� ��� ���� �� �� ��! ������ � 3 '1 �� � �� �� ��� �! 7��� ��!/ � �� <

&<:. <')* � ��!���� ���� #�!�� �� � �� �� ���� ��� �� ���� �� �� ������� �� ��� ���� �

��� �� ���� ��� ! �* �� ������� ���������. �� ��!���������� ��!��� ��� /�������

���������� �� �� ��! �� ���� �� &'()* �� ���� �� ������! ���� N� 3 N# 3 ��* $����

:*@ �������� �� �������� �� �� �� ��� � ���� � ��� �� ��� ��� � �� ���� ��� ! �* $��

���� ��� . �� �� ��� � ���� � ��� � �� ������ '4��� ��� �� J� ���� ��� !��� � ����

��� ! �* �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*A� � ��� � �� � �!��� �

���� ������ '4����*

$���� :*'4 �� �� ��! �������� �� %�� � �� ��� � /� �� � ����� �������� �� �������

��! � � 3 :. '1. ;4 ��� ';4* �� ���� �� �� ������� ��! � 3 : �� ���� ��� � �� �� �����

����� � &'(. <:. <')* $��! ��! � 3 : �� ';4. �� � % �� � ����+ ��� ���� � ������� ��

���%�� /������� � 3 <* ���� !���� / �� �� �� � ����� ���� �� �� ��� � ���� �� ��

���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*A� ��� ��� ���� �� �� !����� 0 ��*

1A

Page 29: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

Time

Log(

Res

A)

0 50 100 150-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0This PaperJS WENOMWENO

$���� :*@2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� ��� ������ %�� ���� � ������� �������� �*

$���� :*'' ����� �� ��!������� / �� � �� %�� � ��� �� �� ��� ������� ��! � � 3 '1

��� ';4* � �/� �� ���� �� � �� ����� � ������ �� � �� ��� ��� ��� ���� ��� ! � / �� �

�� � ��� ��! �. ����� ������� � ���� �� �� ��� ���� ��� ��� / � ����� � ��� � �� � 3 '1*

$���� :*'1 ����� �� ��!������� �� �� %�� � ��� �� �� ��! � � 3 ;4 ��� ';4* � �/� ��

���� �� � ����� �������� ��� � /� �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ���������

�<*A� �� #����� �� ��! �� �� � ��� ��! �. ��� � � �� � �� ����� ������ �� � �� � �� ��

� ���� ��� � �� � % �� � ����+ ��� � ��� �� J� ���� ��� !��� � ���� ��� ! �* ����

������� � ���� �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� ��� / �� � ���� �� ��

���� ��� ������� �� ��� ���� � ���� �� ��� � ��� ���� ��� ! �*

��' $ ��������� ��� ��� �( ���� ���� � ��# ����

8� ���� � �����. � �� �� ���� ��� ! � ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*@��<*''�.

�� J� ���� ��� �� !��� � ���� ��� ! � �� ��!���� �� ��� ������ %�� ���� � 19

���� ���� �� ';Æ �����+ ���� * �� �� ��� �! 7��� ��!/ � �� �� 3 <�4* �� ���

!�� � ���! � �� ������ �� ���� * �� ������� ��������� �� � 3 ����

. � 3 '. � 3 ������ ���

( 3 ������. ���� � 3 ';Æ / ��� �� �����+ ���� * �� ��!���������� ��!��� �� 4 � � � 14.

�'4 � # � '4 ����� �� ����� � �� � :44 � :44 ����* �� ���� �� ����� � �� ' � � � 1*

1@

Page 30: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

��� �3:

$���� :*'42 $��� ���� � ������� ������ �� �. <4 ������ ���� � �������� ��� � ����� ���!4�1;(A �� (�(4D ���� �� ���� N� 3 N# 3 �

�* ���2 ���� ��� �C 7���� 2 J� ����C B����!2

7��� � ����*

<4

Page 31: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

�/� �3'1

$���� :*'42 ������� �*�

<'

Page 32: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

��� �3;4

$���� :*'42 ������� �*�

<1

Page 33: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

��� �3';4

$���� :*'42 ������� �*�

<<

Page 34: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

��� ���� ��� �

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

�/� J�����

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

��� 7����

$���� :*''2 $��� ��!������� / �� � ��� ������� ��! �2 ����� ��� �2 � 3 '1. 9��� � ��� �2� 3 ';4* <4 ������ ���� � �������� ��� � ����� ���! 4�1;(A �� (�(4D*

<:

Page 35: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

��� ���� ��� �

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

�/� J� ����

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

��� 7��� � ����

$���� :*'12 $��� ��!������� / �� � ��� ������� ��! �2 ����� ��� �2 � 3 ;4. 9��� � ��� �2� 3 ';4* <4 ������ ���� � �������� ��� � ����� ���! 4�1;(A �� (�(4D*

<;

Page 36: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

�� ���� �� ���� ����� � #��� ������� � �� �� ���� * �� ���� /������� ��������� �� �� �

�� �� ���� * �� �������� ���� �� �� ��� /������� � �� ��!��� � /� �� ������� ������

! ���� �������� � �� �� � ����� :*<*

$���� :*'< �� �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� ��� ��� � �� ���� ��� ! �*

�� ���� �� �� ��!���� �� ���� �� �� �� ����� #�!�� �* ��� �� �� ��� ��� ! � ���

� ��� � � ���� � �� !����� 0 ��. �������� �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� ��

��������� �<*@��<*''� � ��� � �� � �!��� � ���� ������ '4����. ��!������ �� �� J� ����

��� !��� � ���� ��� ! �. ����� � ��� �� � ���� ������ '4���* $���� :*': ��������

�� �� ���� �������� �� � 3 ';4 �/���� � /� �� ��� ��� ! �. �� � �' ��� �1 � �� � ��

�� ��� ����+ ��� � ��� �' ��� �1 � �� � �� �� ��� ��� ������� ��� �* �� � ������

�� /������� �� � �� ��� ���! �� ���� . ��� �� ��� � ��������� �� ����+ ��� � ��� ��

��� ������� ��� � ����� ���� ������� �� /������� �* �� ��� � �' ��� �1 ���� ������� ��

/������� �����#�!�� �� �� � 3 14. ��� �� ��� � �' ��� �1 ���� ������� �� /�������

�����#�!�� �� �� # 3 '4* ���� !���� / �� �� �� � ����� ���� �� �� ��� � ���� �� ��

���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*@��<*''� ��� ��� ���� �� �� !�����

0 ��* � ���� �/� �� ���� �� � �� � ������ ����������� � �� �� ����+ ��� �1 ��� �� J�

���� ��� ! ��� � !�� ���������� ����������� �� �� ��! �������� ��� �� !��� � ����

��� ! * �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� � !� �� � ����! / �� � ��

���� #�!�� �� ��������� �� ����+ ��� � ������� ������������*

# $������� �����

� ��� � !������� � �� �� �� ����� � ������ ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*@�

�<*''� �� !�� �����/� �� �� �� ��� ����+ � ���� ���� �� �������� J� �!����� �� ���������

�1*''��1*'<� �� �� !��� � �!����� �� ��������� �1*';�* =�� � �. � ��� �� ������� ����

�� �������� �� �!���� � �����* 8� �� �������� ���� ��� � &'(). �� ���������� ��� ����

���� ��� � �������� �� ������� �* �� �������� J� ���� ��� ! �� ���� ��� � ������� ��

�!���� � ����� /�� !�� ��� �������� � �� ��! ��� � �� �!���� #�� !� &'1). ���� ��

<(

Page 37: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

Time

Log(

Res

A)

0 50 100 150-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0This PaperJS WENOMapped WENO

$���� :*'<2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� ��� ������ %�� ���� � ���� ���� �������+ ���� ';Æ*

0 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

0

1

2

3

4

S1

S2

R1

R2

[0.02, 0.23] 30 Levels

0 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

0

1

2

3

4

S1

S2

R1

R2

[0.02, 0.23] 30 Levels

0 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

0

1

2

3

4

S1

S2R1

R2

[0.02, 0.23] 30 Levels

$���� :*':2 $��� ���� � ���� . <4 ������ ���� � �������� ��� �� ���� ���! 4�41 �� 4�1< ����� ���� �� :44� :44 ������* " ��2 ���� ��� �C 7���� 2 J� ����C E����2 7��� � ����*

<D

Page 38: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

���� ��� ! /�� � �� �� !��� � �!����� �� ��������� &'1) ������ / ���� ��� � �������

�� ��� �!���� � �����* 8� � � � �� ���� �������� �������� ��� �� � � �!����� �� ���������

������ � �� ���� ��� �. � ��� ���� �� ��� ! �� ���� ��� � ������� �� �!����. !������

� �����. /�� !�� ��� �������� � �� ��! ��� � �� �!���� #�� !�* 8� ��� � �����. �� ������

/ ��� ��!������ �� �� �������� J� ���� ��� ! ��� ��� �� ���� �� �� !���� � ����

��� ! �� &'1)* 5 ���� ����� �� !���� / �� �� �� � � �!����� �� ��������� ���� � ��

�� ��� ����+�. �� ���� � /� ��! +��� �� ����+ � � �����. *�* ���� ������� � �� &<) �� ��

&<;). ��� �� �� �� !��� � �!����� �� ��������� &'1) �� �� � *

� ��� ����� ��� � � �� �� �� ��! ����� #� ��! ��� �� � !������� ���� ��������

���� * 8� �� ��������� #�!�� �. � ��� ��>��� � �� ��! �� � �� �� 3 ���

� �� ���� ��!

����� ��0����� ���� ���� ��� ��!���� *

�%�$�� &� � "�� �� ������ ���/� !*

� ���� ���� �� ��������� ��� �� ������ �������2

�� 6 �� 3 4 � ' � � � ' �;*'�

��� 4� 3 ����� ����,��)

���� ��� �� � �� ������� ����������2 ����� 3 ����-��. ����� 3 ����-�� ��������

� ��� ����� 3

����-��*

8� ��/� ;*' �� �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� �� ��� � ��� ��

���� ��� ! � ���� �� � � �!����� �� ���������. �� J� �!����� �� ��������� ��� ��

!��� � ���� ��� �� ���� ������� ��������� �� � 3 '* ���� �� �� ��� � �� ��� ��� �� �

�� � �� ����� �� � �� �!��� �� � ���� ��� ! �* $���� ��� � �������� �� ���� � � �� ���

��� �* �� !������� � �� �� ����� ��� �� ��! ! �� ��0 �� ���� / �� � J� �!����

��������� ��� �� � � �!���� ���������* �� !��� � ���� ��� ! ��� � �!��� � �����

��� �� ��! ! �� ��0 *

$�� �� � ���� ������� ���������. �� � �� &'1). �� � �� ��� �������� ������ �� � � 3 4

/�� ��� 3 4* ��/� ;*1 �������� �� ����� ��� ��� �� �� �������� �� � 3 1 ��� �� ����

<A

Page 39: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

��/� ;*'2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� �� �� 6 �� 3 4 ���� ����� 3����-��* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��* � 3 '*

7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � '4 '�A<�� 1 <�<:�� 1

14 (�AD�� : :�D: '�;'�� < :�:D:4 1�1D�� ; :�@1 :�D<�� ; :�@@A4 D�14�� D :�@A '�:4�� ( ;�4A'(4 1�1(�� A ;�44 <�@:�� A ;�';<14 D�4;�� '4 ;�44 '�'@�� @ ;�4;

J� ���� '4 '�D1�� 1 1�@A�� 114 D�D;�� : :�:A '�:@�� < :�<<:4 1�<:�� ; ;�4; :�D4�� ; :�@AA4 D�1<�� D ;�4' '�;1�� ( :�@('(4 1�1(�� A ;�44 :�;<�� A ;�4(<14 D�4(�� '4 ;�44 '�<@�� @ ;�41

7��� � ���� '4 ;�<D�� < D�1D�� <14 '�<4�� : ;�<D '�@(�� : ;�1':4 <�@@�� ( ;�4< (�1:�� ( :�@DA4 '�1;�� D ;�44 '�@(�� D :�@@'(4 <�@4�� @ ;�44 (�'<�� @ ;�44<14 '�11�� '4 ;�44 '�@'�� '4 ;�44

<@

Page 40: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

��/� ;*12 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� �� �� 6 �� 3 4 ���� ����� 3����-�� ����-��.-�* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��* � 3 1*

7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � '4 D�:@�� 1 '�(D�� '

14 ;�@D�� < <�(; '�A1�� 1 <�14:4 :�(A�� : <�(D '�A1�� < <�<1A4 1�<4�� ; :�<; '�;:�� : <�;('(4 '�4;�� ( :�:; '�1@�� ; <�;@<14 <�A;�� A :�DD D�@1�� D :�41(:4 A�A(�� '4 ;�:: 1�'<�� A ;�1''1A4 '�(<�� '' ;�D( 1�4@�� '4 (�(D

J� ���� '4 (�'@�� 1 '�<@�� '14 :�@@�� < <�(< '�1D�� 1 <�:;:4 <�(D�� : <�DD '�4@�� < <�;:A4 '�D<�� ; :�:' A�A<�� ; <�(<'(4 D�DD�� D :�:D A�4A�� ( <�:;<14 <�D:�� A :�<A D�:(�� D <�::(:4 '�1A�� @ :�AD <�@(�� A :�1<'1A4 1�::�� '' ;�D' (�4'�� '4 (�4:

7��� � ���� '4 <�AD�� 1 A�A<�� 114 '�AA�� < :�<D ;�4:�� < :�'<:4 D�1D�� ; :�(@ 1�1'�� : :�;'A4 1�:4�� ( :�@1 (�D@�� ( ;�41'(4 D�('�� A :�@A 1�':�� D :�@@<14 1�<@�� @ :�@@ (�D'�� @ ;�44(:4 D�:D�� '' ;�44 1�''�� '4 :�@@'1A4 1�D<�� '1 :�DD A�AD�� '1 :�;D

��� ! � ���� �� � � �!����� �� ���������. �� J� �!����� �� ��������� ��� �� !��� �

�!����� �� ���������* 8� � !� ���� �� ���� ��� ! � ���� �� � � �!����� �� ���������

��� �� J� �!����� �� ��������� / ��� ��!������ ��� ���� #�!�� . �������� ���� ����� ��� �

�������� ��� ��������� � ������ ���� ��� � �������� ���� ! �� � �� ! ��* �� !������� �

�� �� ����� ��� �� ��! ! �� ��0 �� ���� ��!����/� ��� �� � ��� ���� ��� ! �* ��

�� ��� � ����. �� ���� ��� ! ���� �� !��� � �!����� �� ��������� &'1) ���� � � ����

��� � �������� !��� ���� � ��� ���� ��� ����� ���� �!��� � !������� � ��� �� ��! ! ��

��0 ��!������ ���� �� ��� � ��� ���� ��� ! �*

:4

Page 41: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

��/� ;*<2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� �� �� 6 �� 3 4 ���� ����� 3����-��* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��* � 3 '4*

7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � '4 <�;;�� ' :�:<�� '

14 1�4;�� ' 4�D@ :�1(�� ' 4�4;:4 '�DD�� ' 4�1' 1�('�� ' 4�D'A4 D�AA�� 1 '�'D '�(;�� ' 4�(('(4 '�(D�� 1 1�1< @�1@�� 1 4�A<<14 ;�((�� ( ''�;< <�4D�� ; ''�;((:4 '�1(�� D ;�:A ;�@;�� D ;�(@'1A4 1�:'�� @ ;�D' D�(1�� @ (�1@

J� ���� '4 <�;;�� ' :�::�� '14 '�;<�� ' '�1' <�<4�� ' 4�:<:4 1�AA�� 1 1�:' (�((�� 1 1�<'A4 1�:;�� < <�;; :�(D�� < <�A<'(4 '�AD�� : <�D' A�'(�� : 1�;1<14 (�<:�� ( :�A@ <�A4�� ; :�:<(:4 '�;A�� D ;�<< @�;4�� D ;�<1'1A4 <�(@�� @ ;�:1 '�(:�� A ;�A(

7��� � ���� '4 <�;A�� ' :�:@�� '14 @�4D�� 1 '�@A 1�4'�� ' '�'(:4 '�'<�� 1 <�44 1�1@�� 1 <�':A4 ;�A'�� : :�1@ '�D(�� < <�D4'(4 :�1(�� ; <�DD 1�@;�� : 1�;A<14 1�(;�� ( :�44 <�A;�� ; 1�@:(:4 1�A1�� A (�;( <�:@�� D (�DA'1A4 ;�4'�� '4 ;�A' @�@1�� '4 A�:(

�� ����� ��� �� � !�� � !������ � �� ��� / ���� �� ��� � ���� � ��� � �������� �����

���� �

3 ��

3 ���

3 4 �� � 3 4* ��/� ;*< �������� �� ��! ����� � ����� �� � 3 '4* �

�/� �� ���� ��� ��� ���� ��� ! � � ��� ���� ��� � �������� !��� ��� � ������ �� ! ��

� �� ! �� ���� ���� �� �� �� ����� ��� ������� ����������* �� ���� ��� ! � ���� ��

� � �!����� �� ��������� ��� ��� � ��� � � ���� ��� � �������� �� � �� ���� �� � �� ����

A4 ������* �� ���� ��� ! ���� �� J� �!����� �� ��������� / ��� � � ����� / �� �. ���

�� ���� ��� ! ���� �� !��� � �!����� �� ��������� ����� � ����!� �� / �� �!���

�� ��� ���� ��� ! � ��� ���� ��� *

:'

Page 42: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

�%�$�� &�#� ��� ��! ������� ���� � ���+ � ��������*

5� � � ���� #�!�� . � � �� �� �������� �� �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� ��

��������� �� ��!���� ��� ��! ������� ���� ��� ���� ����+ � �������* �� ���� ����+ �

������� �� ��� � /�

�� 6 � ���� 6/���� 3 ������� 6/������ �;*1�

�� � �� #��� ���!� �� �� �������� %�# � � ��� ���/���. ��� �� ������� %�# � ������

��� /����� ��� / ����� ��. *�* &<D)* �� ��!���������� ��!��� �� 4 � � � 1-

��� 4 � # � 1-* �� � �� �������� �� ��� � /�2 � 3 '�4. � 3 '� 6 4�' ����� 6 # 6 ��.

( 3 '� 4�' �����6 #6 ��. � 3 ����

. � 3 ���

6 ������6 (��. �� 3 4�<. ��� � 3 '�:* 8� �� ��

, #��� ��������- �� ������� �;*1� �� � � ��� � �����/� ����� � �!* �� ������� � �!�

������� ��� /������ �� ����� ��0 � /� � ����� �� � �� ���!���� �� ��!����/�

��� �� �� ��������* � � � � �� &<D) ��� !�� � ����� �� ���� � �� ��� *

8� ��/� � ;*:. ;*;. ;*( ��� ;*D � ���� �� �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� ��

�������� �� � 3 '�4 ��� �� � �����. � ������ ���� ��!��� ���� ��� � ��� � �� ���� ��* �

�/� �� ���� �� ���� ��� ! � ���� �� � � �!����� �� ��������� ��� �� J� �!����� ��

��������� / ��� ��!������ ��� ���� #�!�� . /��� ���� ���� ���� ��� � �������� ���� ��!��

��/� ���� !������� ��� �� ��! ! �� ��0 * 5����. �� !��� � ���� ��� ! / ��� �

/ �� �*

% &�������� �������

�� ���� �� �� ������� �� ��� ���� ��������� �� �� ��� � �������� ��� �� ���� ��� �

���� ��� ! ���� "�#$�� ������ %�# ��������� �� ����� � ������� ��! ����� #� ��! ���

��� � ������� ��������* �� ��! ����� #� ��! ��� ���� ���� �� � �� ������ ��������+

����������� ����� � ����� �� �� � ���� ������� �� � � ����� �� ���� ���� ���� �� �� � ������

���� �� !����� 0 ��*

�� � �� � ��� �� � ���������� �!��� �� �!����� �� ���������. ��������+ ����������� ���

�� � ���� * �� �������� �!����� �� ��������� ������ � /� J���� ��� ��� &'() ������ �

:1

Page 43: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

��/� ;*:2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� ��� � ����� �� �� ��� ��! ������� ���� ����+ � �������* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��*� 3 '*

7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � 14 <�A<�� ( (�<@�� (

:4 '�<4�� D :�AA 1�1<�� D :�A:A4 :�<D�� @ :�@4 D�:1�� @ :�@''(4 '�:1�� '4 :�@: 1�::�� '4 :�@<<14 :�<'�� '1 ;�4: D�D(�� '1 :�@D

J� ���� 14 1�1D�� ( (�D;�� (:4 '�'<�� D :�<< 1�1:�� D :�@'A4 :�4;�� @ :�A4 D�1@�� @ :�@:'(4 '�<D�� '4 :�AA 1�<(�� '4 :�@;<14 :�:;�� '1 :�@; D�D4�� '1 :�@:

7��� � ���� 14 :�:A�� D '�(4�� (:4 1�41�� A :�:D <�@'�� A ;�<;A4 (�:1�� '4 :�@A '�1;�� @ :�@D'(4 1�4'�� '' ;�44 <�@1�� '' :�@@<14 (�<'�� '< :�@@ '�1:�� '1 :�@@

��/� ;*;2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� ��� �� �� ������ �� �� �����! ������� ���� ����+ � �������* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��*� 3 '*

7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � 14 @�;D�� ; '�;;�� :

:4 <�4:�� ( :�@A :�AA�� ( :�@AA4 @�'D�� A ;�4; '�:A�� D ;�4:'(4 1�(@�� @ ;�4@ :�<A�� @ ;�4A<14 D�1@�� '' ;�14 '�14�� '4 ;�'@

J� ���� 14 @�'<�� ; '�:@�� ::4 <�4@�� ( :�A@ ;�4(�� ( :�AAA4 @�;4�� A ;�41 '�;:�� D ;�4:'(4 1�A:�� @ ;�4( :�('�� @ ;�4(<14 A�1<�� '' ;�'' '�<;�� '4 ;�'4

7��� � ���� 14 '�A1�� ; <�4A�� ;:4 :�@;�� D ;�14 D�AA�� D ;�1@A4 '�;:�� A ;�44 1�:(�� A ;�44'(4 :�A<�� '4 ;�44 D�D4�� '4 ;�44<14 '�;'�� '' ;�44 1�:'�� '' ;�44

:<

Page 44: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

��/� ;*(2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� ��� �� #� ������ �� �� �����! ������� ���� ����+ � �������* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��*� 3 '*

7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � 14 A�1;�� ; '�<;�� :

:4 1�;A�� ( ;�44 :�1;�� ( :�@@A4 D�(A�� A ;�4D '�1(�� D ;�4A'(4 1�14�� @ ;�'1 <�('�� @ ;�'1<14 ;�DA�� '' ;�1; @�;:�� '' ;�1:

J� ���� 14 A�'(�� ; '�:4�� ::4 1�(:�� ( :�@; :�;4�� ( :�@(A4 A�4;�� A ;�4: '�<<�� D ;�4A'(4 1�<D�� @ ;�4@ <�A@�� @ ;�'4<14 (�D'�� '' ;�': '�'4�� '4 ;�':

7��� � ���� 14 '�D<�� ; <�1(�� ;:4 :�1;�� D ;�<; (�A'�� D ;�;AA4 '�<<�� A ;�44 1�'1�� A ;�44'(4 :�';�� '4 ;�44 (�(:�� '4 ;�44<14 '�<4�� '' ;�44 1�4A�� '' ;�44

��/� ;*D2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� ��� �� � ��� �� �� �����! ������� ���� ����+ � �������* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��*� 3 '*

7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � 14 D�<A�� ; '�<4�� :

:4 1�;<�� ( :�AD :�'<�� ( :�@AA4 A�'D�� A :�@; '�:'�� D :�AA'(4 1�(:�� @ :�@; :�(<�� @ :�@<<14 A�<@�� '' :�@A '�:4�� '4 ;�4:

J� ���� 14 (�@D�� ; '�(1�� ::4 1�;:�� ( :�DA <�D(�� ( ;�:<A4 A�''�� A :�@D '�<<�� D :�A1'(4 1�;A�� @ :�@D :�:(�� @ :�@4<14 A�<;�� '' :�@; '�:;�� '4 :�@:

7��� � ���� 14 '�A(�� ; (�;'�� ;:4 <�A;�� D ;�;@ (�<;�� D (�(AA4 '�11�� A :�@A 1�4<�� A :�@D'(4 <�A<�� '4 :�@@ (�<@�� '4 :�@@<14 '�14�� '' ;�44 1�44�� '' ;�44

::

Page 45: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

������/������ ���! �� � ���� ��� � � ������� �� �� ��! ����� ��������. ����� !�� � �� �

�� ����� �� �� �!����� �� ��������� �� �� ����+ �� ���� �� ��� � ���/���* ���� !���� /

� ������/� ��� �� ������ ��������+ �����������*

5 � � �!����� �� ��������� �� ������ � �� ����� � � !�� �� ��%� �� �� �� � ����

��� � � ������� * ���� � � �!����� �� ��������� � !� �� / !�� �����/� ��� �� �� ���

����+ � ����* ���� ���� � � �!����� �� ���������. �� ��������+ ����������� �� � !�� � ��

�� ���� � ��� �* �� � ���� ��� � ��� ���� �� !����� 0 �� ��� �� ��� ��� ��! �������

���/� !� �� � �� � �� �� ��%� �� ���! �� /������� ����������*

�� ���� �� �� ���� ��� � !� ���� �� / ��%� �� � /� �� /������� ���������* ���� ��

� ��!������ � ���� ��� � ��� ��� / � �/� �� �� ����� �����/� /������� ���������� �� �

�� ����+ ���� � ������� �� /������� �� ��� � �� � ��� �� ���� � ���� �� !�����

0 ��* ���� ���� �� � �� ��� ����� �����*

'���������

&') B������. 9* �* ��� ���. *�* �1444�. 7����������� �� � ����� � ���� � �� �������

�������������� ��� ! � ���� ���� ������� ���� ��� � �� ��������* J* �!���* G���* '(4.

:4;:;1*

&1) 9 �0����. "*. ? ���. 7* ��� "��������. G* �'@@A�. 9���!���� � ����� �� � �� ���� ��

!���� � �� �� ���� � ����/������2 ��! ����� ��!��������* 5�����* 5��������* <<4.

"'<"'(*

&<) 9�����. $*. $ �����. ?*. ������. $*. � / �. *. 9������. 9*. I��� �� �. * ��� G������.

�* �'@@@�. "��� ��� ��!������� �� �� ����+O���/�� �� ��� �������* J* �!���* G���*

';1. ;'D;:@*

&:) $�� ������. �* �'@@A�. � ���� � �� ������� �������������� ��� ! � ��� �� ��� ���������

�� ! �� ���� � �� ���������� � �����* J* �!���* G���* '::. '@:1'1*

:;

Page 46: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

&;) I����� /. �* �'@@A�. ��� �� �� �� �� ������� �� � ���� � ��� ��� ! �. ���! ��

� ����� E��� H���� ! ����� ��� � !���� � ���>���� ����� �� ! ����* G�*9* �� ���.

9������� �� 5���� � 7��� !�����. B���� L��� �����*

&() I����� /. �*. ���. *�* ��� ���!��. �* �144'�. ������ ���/����� �� � ����� ���� ��� �

��! ����� ��0����� ! �����. �857 E �� � :<. A@''1*

&D) I�����. $* ��� G���00���. �* �1444�. ����+ ��� �� �!�� ����!�� � ��� ��� ��������2

�������� ��� ��! ����� ��!�������� �� ����� � � ������* G���* $�����. '1. 14;1'@*

&A) I�����. $* ��� G���00���. �* �1444�. ����+��� ���� # ��� ��������2 ����+ ��� ���� #

� ���!������. ��� ����� ����������* �� �� �* �!���* $���� 9��* '<. :1':;(*

&@) I�����. $* ��� G���00���. �* �144'�. ��!�������� ��� �������� �� �� �������� ���� �� ��

��!�� ���/� ���� # �����2 $� �������� ��� ����+ ����� � ��������* G���* $����� '<.

'<:<'<((*

&'4) =��� �. 5* �'@A<�. =��� � �������� ��� ! � ��� ��� �/���� ���� ������� ����* J* �!���*

G���* :@. <;D<@<*

&'') =��� �. 5* ��������. B* ��� �. �* ��� ��+��������. �* �'@AD�. L�����!�� ���� ��� �

�� ������� �������������� ��� ! �. 888* J* �!���* G���* D'. 1<'<4<*

&'1) = ����+. 5*H*. 5���!. �* 9* ��� G�� ��. J*7* �144;�. 7��� � � ���� � �� �������

�������������� ��� ! �2 ���� ���� ����!�� ��� � � �� �������� ������* J* �!���* G���*

14D. ;:1;(D*

&'<) =�. * ��� ���. *�* �'@@@�. � ���� � �� ������� �������������� ��� ! � �� �����

����� ! �� �. J* �!���* G���* ';4. @D'1D*

&':) J�! ���. 5* �'@@<�. 5�������� �� �����. ������ /������. ��!�� �� ��� �� �� �� ��

�������� ��� !�������� ���� �� �� �� ��������� ��� ��� ������ %���* 5855 G�� �

@<<<;@*

:(

Page 47: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

&';) J�! ���. 5* �144'�. 5 � ��� ���� �� ��!���������� ��������!� ��� � ������!�� ����

���� ��� � ����* G���� �� �� 5 ������ ��� �� �. <D. '@D1:<*

&'() J����. I*�* ��� ���. *�* �'@@(�. ��� �� �!�� ! ������� �� � ���� � ��� ��� ! �*

J* �!���* G���* '1(. 14111A*

&'D) J����. I*�* ��� ��. ** �'@@@�. 5 ������� � ���� ���� �� � �� ��� ! ��� ��

�������� �� �� �� !��� �����������!���* J* �!���* G���* ';4. ;(';@:*

&'A) "��. P*9*. ��� �. �* ��� ���. �* �'@@:�. � ���� � �� ������� �������������� ��� ! �.

J* �!���* G���* '';. 1441'1*

&'@) ��� �. �* ��� ��+��������. * �'@A:�. =��� � �������� ��� ! � ��� �� ������ ���

������. �857 J* ��! �* 5���* 1'. @;;@A:*

&14) G���00���. �* �1441�. ��� ������ ��/��� ��!�������� ��� ! � ��� ����+���/�� ��

��� �������* J* �!���* G���* 'DA. A'''D*

&1') G���00���. �*. I�����. $* ��� 9Q5��� �. 5* �144'�. 8�� ������� �� � ����+ ��� ����

��� ����� ��������� ������ �2 ����+ ����!��� ��� ����� ����������* G���* $����� '<.

<:(4<:A'*

&11) E����. 5*. ��������. I* ��� 9����. E* �144<�. ����+���� # ��� �������� �� ���� 7���

��!/ ��* J* ���* �!���* '@. <:D<D'*

&1<) ����. 7*5* �'@@<�. �!�� ���/� $���� $���. G� ���� =���*

&1:) � /������. H* ��� ���. *�* �144<�. 7���� ��!��� ���� ���� �� � �� ! ����

���� ��� ��������� �� ��/��!��� ��� ���� �. J* ���* �!���* '@. :4;:<A*

&1;) � ���. �* ��� 7�������. 5* �144:�. G�� � ���! �����2 � ������� � ������� � ���� �

��� � ��� ! ����* J* �!���* G���* '@:. (<1(;A*

:D

Page 48: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

&1() ���. J*. �����. F*�* ��� ���. *�* �144<�. E �������� �� ���� ��� � ���� ��� ! �

��� ��!������ � %�� �������� �* J* �!���* G���* 'A(. (@4(@(*

&1D) ���. *�* �'@AA�. �����?��������9�!�������� ��! ����� ��0������* �857 J* ���* ����*

�!���* @. '4D<'4A:*

&1A) ���. *�* �'@@A�. ��� ������� �������������� ��� � ���� � �� ������� ��������������

��� ! � ��� ��� �/���� ���� ������� ����. �� �������� ������� ����������� ��

�������� ��������� ���������. B* ��+/���. * J������. *�* ��� ��� �* ���!��

�������2 5* R���� �����. " ���� ��� � �� 7��� !�����. ����! '(@D. ������ �. <1;

:<1*

&1@) ���. *�* ��� ��� �. �* �'@AA�. ��� �� �!�� ! ������� �� �� ������� ��������������

����+ ��������� ��� ! �* J* �!���* G���* DD. :<@:D'*

&<4) ���. *�* ��� ��� �. �* �'@A@�. ��� �� �!�� ! ������� �� �� ������� ��� �����������

����+ ��������� ��� ! � 88* J* �!���* G���* A<. <1DA*

&<') ?�� " �. B* �'@D@�. ������� �� ����!�� ���� ������ �� � �� ��� ! * ?* 5 � ����

��� � � �� � �� I������Q� ! ����* J* �!���* G���* <1. '4''<(*

&<1) ? �+���+�������. ?* �'@@;�. ��� �� �� �� �� ��� ���� ��������� �� �� ��� � ���

����� �� ���������� � ����� ���� ��!�� ��* J* �!���* G���* ''A. '14'<4*

&<<) ����. �*J* ��� � �. E*$* �144'�. ����!�0 � � ���� � �� ������� ��������������

��� ! � ��� ��� �� ��� � ���� �������������* J* �!���* G���* 'D:. <A':4:*

&<:) ��������. G* ��� �� ��� G* �'@A:�. �� ��! ����� ��!������� �� �����! ������� %���

%�� ���� ������ ����+�* J* �!���* G���* ;:. '';'D<*

&<;) P�. �* ��� ���. *�* �144;�. 5����� ���� %�# ���� ������ ��� ���� ��� � ���� ���

� � �� ���� ��� ! �. J* �!���* G���* 14;. :;A:A;*

:A

Page 49: Convergence towards Steady State Solutions of the Euler Equations

&<() F���. F*. F���. �*. � �. F* ��� =��. * �'@@A� 8!������ � ���� � ��� ��� ! � ���

�� ��� ��! ������� ����!�� ���/� ���� ����+ � ��������* J* �!���* G���* ':(.

:(::AD*

&<D) �����. �*. �����. F*�* ��� ���. *�* �144;�. 7�������� ��� ������� �� � ����+ ���

��� � ������ ���� #* G���* $���� 'D. ''('4'*

&<A) �����. F*�*. ���. J*. ���. *�* ��� ����. F* �144<�. ��! ����� ��������� ��� � ��

������ �� ������� � � ���� � �� ������� �������������� ��� ! � ��� ��!�� ���/� %���

���� ���� E ������ ��!/ ��. G���* E �* � (A. 4:(D4@*

:@