CONVECÇÃO INTERNA - professor.unisinos.brprofessor.unisinos.br/jcopetti/transcal_ppg/conveccao_interna.pdf · Taxa de calor, q Exemplo 8.1 –Çengel e 8.3 ... A taxa de energia

CONVECÇÃO INTERNA

Escoamentos Internos

GeometriasTubos circulares (líquidos) – suportam ∆p

Canais anulares

Canais de seção transversal não-circular (ar) baixo ∆p

Canais entre placas paralelas

Escoamentos confinados por superfícies em

que as camadas-limite não podem se

desenvolver livremente

Geometria conveniente para o aquecimento e

o resfriamento de fluidos usados em

processos químicos, no controle ambiental e

em tecnologia de conversão de energia

VELOCIDADE MÉDIA

trA trtrm dA)r(uAum

tr

trm

A

dA)r(uu trA

er

0rdr)r(u

r

2u

2e

m

-Usada para encontrar a velocidade média, um, conhecendo o perfil de

velocidade, u(r), em uma posição axial x

- um é constante para escoamento incompressível quando área da

seção transversal do tubo, Atr, é constante: um ≈ u∞

um

umax

u=0

idealizada

real

TEMPERATURA MÉDIA

trA trpmp dA)r(u)r(TcTcmq

er

0rdr)r(u)r(T

ru

2T

2em

m

p2

em

pm

c)r(u

rdr2)r(u)r(TcT trA

trA trtrm dA)r(uAum

- Tm do fluido muda durante o aquecimento ou resfriamento

real

idealizada

Laminar

Turbulento

Escoamento Interno: considerações fluidodinâmicas

- Região de entrada

- Região plenamente

desenvolvida

Região de entrada hidrodinâmica

Região de escoamento plenamente

desenvolvido

Perfil em desenvolvimento Perfil desenvolvidoCamada limiteRegião sem efeitos viscosos

(núcleo)

um um um um um

Número de Reynolds:Parâmetro de similaridade fluidodinâmica

velocidade média na seção transversal

Para tubos circulares

DuRe m

Número de Reynolds:

Para tubos não circulares

hmDu

Re

P

Ac4Dh

Diâmetro hidráulico

Perfil desenvolvido

Regime de escoamento e comprimento de entrada hidrodinâmico

Regime Laminar Regime Turbulento

10000Re

Região de entrada hidrodinâmica

Região de plenamente desenvolvida

hidrodinamicamente

Camada limite de

velocidade

Desenvolvimento do

perfil

Região de escoamento

irrotacional (núcleo)

um umumumum

Xcd,v

Camada limite: região do escoamento onde os efeitos da força de

cisalhamento viscoso, causados pela viscosidade do fluido, são sentidos

Comprimentos de entrada hidrodinâmico

Em muitos casos o escoamento torna-se turbulento para

Re > 4000

Ao projetar redes de tubulações e determinar potência de

bombeamento é considerada esta condição.

Transição:

o escoamento alterna entre laminar e turbulento

aleatoriamente

A transição do laminar para o turbulento depende do grau de

perturbação do escoamento pela rugosidade superficial,

vibrações do tubo, flutuações do escoamento.

Escoamento Interno: considerações térmicas

-Laminar

-Turbulento

-Região desenvolvida

termicamente

-Região de entrada

-Fluxo de calor prescrito

-Temperatura prescrita

Camada limite

térmica

Perfil de temperatura

Região termicamente

desenvolvidaRegião de entrada térmica

Xcd,t

Regime Laminar Regime Turbulento

Condições na superfície

q” constante Ts constante

Temperatura do fluido, Tm

Temperatura da parede,Ts

qs

qs

Tm

Ts

Comprimentos de entrada térmico

T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts

Ts constanteq” constante

q”Ts

TsTm

q”

Tm

Lei de resfriamento de Newton

)TT(hq ms

Tm aumenta se Ts>Tm

Tm diminui se Ts<Tm

Escoamento plenamente desenvolvido

Condições fluidodinâmicas

Perfil de velocidades é constante

Condições térmicas

Perfil de temperatura varia com x (energia continua a ser adicionada

ou removida do fluido na região termicamente desenvolvida e, portanto, a temperatura

do fluido deve mudar para que a energia se conserve)

Ts constante no sentido do escoamento

Tm varia, pois se constante dTm/dx=0 e NÃO há TC

Definindo uma forma adimensional de

temperatura:

0))x(T)x(T(

))x,r(T)x(T(

x ms

s

)TT(

)TT(

ms

s

Assim a forma relativa do perfil adimensional permanece

inalterada na região plenamente desenvolvida:

Esta condição é atingida em um tubo no qual há

q”=constante ou Ts=constante

)x(fTT

r/T

)TT(

)TT(

r ms

err

errms

s

Na parede

Independe de x

=T

r

No escoamento termicamente desenvolvido: o coeficiente local h e o

coeficiente de atrito f (que está relacionado com a tensão de viscosa na

parede) são constantes, independentes de x

rerms

r

Tk)TT(hq

)TT(

)r/T(kh

ms

rer

Região de

entradaRegião

desenvolvidaNa entrada do tubo onde a espessura da c.l. é menor:

h e são altos p e q” são altos

Na região plenamente desenvolvida os valores decrescem

O efeito da região de entrada é sempre aumentar f e h

para o tubo inteiro, significativo para tubos curtos e

desprezível para os longos

h/k não varia com x

Região

desenvolvida

C.L. Térmica

C.L. Velocidade

Análise térmica geral

is

is – ie)

iei entalpia

)TT(cmA"qq ent,msai,mps

)TT(h"q ms

Na região desenvolvida Ts aumenta, Tm aumenta, h é constante

então Ts-Tm= T=constante

)Pdx("qdTcm mp

p

ms

p

m

cm

P)TT(hcte

cm

P"q

dx

dT

Para fluxo térmico constante

Tm,ent Tm,sai

q” constante

Gradiente de temperatura

No escoamento completamente desenvolvido em um tubo submetido a

um q” constante na superfície, o dT/dx (gradiente de temperatura)

independe de x e, portanto, a forma do perfil de temperatura não se

altera ao longo do tubo

p

m

cm

P"q

dx

dT

Integrando desde x=0, tem-se que:

xcm

P"qT)x(T

pent,mm

Para q” constante

Exemplo 8.2

Tm varia linearmente com x

h

"qTT ms )TT(h"q ms

Para temperatura de superfície constante

Do balanço:

Pdx)TT(hdTcm

dA"qdTcm

msmp

smp

)TmTs(ddTm

TmTsT

Pdx)TmTs(h)TmTs(dcm p

Se

dxcm

hP

T

)T(d

p

x

0p

hdxcm

P

T

TdT

Te

pcm

xhP

e,TmTs

)x(,TmTsln

pcm

xhPexp)e,TmTs(Ts)x(Tm

(Ts - Tm) diminui exponencialmente na

direção do escoamento

Ts

Te

Tm,s

Tm,e

Definindo o coeficiente convectivo médio: x

0hdx

x

1h

Tm,e Tm,s

(1)

(2)

Limite: independente de

aumentar L (ou As) a TC

não aumenta

Indica oportunidades de troca,

conforme aumenta L (ou As)

Tm,eTm,s

Tm,s (ºC)NUT=hAs/mcp

NUT número de unidades de transferência = número adimensional que

relaciona a condutância térmica do processo com a capacidade térmica do

fluido em escoamento

É um parâmetro que transmite a relação benefício/custo da transferência de

calor por convecção

)NUTexp(cm

Ahexp

TT

s,TmT

p

s

e,ms

s

p

s

cm

AhNUT

Taxa de calor, q

Exemplo 8.1 – Çengel e 8.3 - Incropera

Da Eq. (1)

(3)

Substituindo na Eq. (3)

onde

Te

Tln(

TeTTml

mls TAhq ou (4) (5)

mlT Diferença de temperatura

média logarítmica

1. Quando um fluido escoa externamente ao tubo:

- Em vez de Ts, tem-se T∞ e U (coeficiente global de transferência de

calor) no lugar do h

sai,m

ent,m

sai,ment,mml

TT

TTln

)TT()TT(UATUAq

2. Para trocadores de calor com dois fluidos trocando calor:

Fluido quente (Tm,e e Tm,s) transferindo calor ao fluido frio (tm,e e tm,s)

s,ms,m

e,me,m

s,ms,me,me,mml

tT

tTln

)tT()tT(UATUAq

Regime laminar

Solução para: Escoamento permanente de um fluido incompressível com

propriedades constantes na região plenamente desenvolvida

Dividindo todos os termos por 2drdx, multiplicando

por (-1) e aplicando limite quando dx e dr tendem a

zero, tem-se:

- equação do movimento obtida aplicando um balanço de forças em um volume

diferencial perfil de velocidades fator de atrito

0τAτApApAdrrrrrdxxoxo

rdrπ2Ao

rdxπ2Ar

drrrdxxx )τrdxπ2()τrdxπ2()rdrPπ2()rdrPπ2(

0dr

)τr(d

dx

dpr

Integrando 2 vezes:

simetria

não deslizamento

Regime laminar: velocidade média

u(r)rdr

- Na superfície r=R, u=0

- umax é na linha de centro r=0 e

umax=2um

Regime laminar:

Perda de pressão e fator de atrito

Perda de pressão determina a potência da bomba ou do ventilador

2/u

D)dx/dp(f

2

m

Fator de atrito de Darcy (ou de

Moody)

Coeficiente de atrito ou fator de atrito

de Fanning

2/u

dr/du

2/uC

2

m

2

m

sf

4/fCf

2/u

D)dx/dp(f

2

m

DuRe m

D

Reum

2

m

R

8udx/dp

Re

64f

D2

uf)dx/dp(

2

mIntegrando )xx(

D2

ufp 12

2

m

/mppW Potência de

bombeamento

dx

dp

μ8

Ru

2

m

• Laminar plenamente

desenvolvido

• Circular

Regime Laminar:

Perfil de temperatura, temperatura média e número de

Nusselt

Substituindo a , dividindo por (2rdrdx), aplicando

limite e introduzindo a equação da condução:

r

Tr

rr

α

x

Tu

m

0qqTcmTcm drrrdxxpxp

A taxa de energia líquida transferida para o volume de controle por fluxo

de massa é igual a taxa líquida do calor conduzido na direção radial

31

Para a condição de fluxo de calor constante e

plenamente desenvolvido:

R

02

m

rdr)x,r(T)r(uRu

2)x(Tm

Combinando a lei de resfriamento de Newton: q”=h(Ts-Tm)

D

k

11

48h Ou 36,4

k

hDNu

Temperatura de superfície constante

Suposição de condução axial desprezível e substituindo o perfil de

velocidades e o gradiente axial de temperaturas, na equação da

energia.

Regime laminar - Região de entrada

Perfil de velocidade desenvolvido e

Perfil de temperatura em

desenvolvimento (xh < L e xt > L)

Re05,0D

xh

Nº de Nusselt local, NuD

para Ts constante e q” constante

Quando a diferença entre as temperaturas da superfície e do fluido

é grande, pode ser necessário considerar a variação na viscosidade

com a temperatura

b) Região de entrada em desenvolvimento

14,0

s

3/1

L

DPrRe86,1Nu

Válida para:

Ts constante

0,48 < Pr < 16.700

0,0044 < (/s) < 9,75

Nº de Nusselt médio, Nu

condição de temperatura de superfície constante (Hausen)

3/2Pr]Re)L/D[(04,01

PrRe)L/D(065,066,3Nu

35

Escoamento laminar com desenvolvimento simultâneo das

camadas limite (comprimento de entrada combinado, xh e xt > L)

Escoamentos turbulentos em tubos

• Dificuldade de lidar teoricamente com o escoamento.

• Maior parte das correlações para os coeficientes de atrito e

transferência de calor é baseada em estudos experimentais.

H3/2

f jPrSt2/C

4

fC

PrRe

NuSt

f

Usando a analogia de

Colburn

O número de

Stanton St

e

5/1Re184,0f

2)64,1ln(Re)79,0(f

ou

3/15/4 PrRe023,0Nu

)1(Pr)8/f(7,1207,1

PrRe)8/f(Nu

3/25,0

Petukov propôs uma correlação que reduz o erro a 10%, função do f:

0,5 ≤ Pr ≤ 2000

104 < Re < 5 x 106

Gnielinski (1976) modificou a correlação na forma:

Propriedades avaliadas na temperatura média da mistura: 2

TTT

sai,ment,m

Rugosidade na superfície influi o coeficiente convectivo

Para regime turbulento o fator de atrito depende da rugosidade

relativa, /D, e de Re

Para tubos novos:

fRe

51,2

7,3

D/log2

f

1

Ou aproximadamente

por:

Re

9,6

7,3

)D/(log8,1

f

1 11,1

Diagrama de Moody para fator de atrito em

função do Re

f/D

Re=(uDh)/

liso

laminar

transição

Região de entrada

Outras geometrias

Canais anulares

44

2. Seja um tubo metálico de parede delgada, comprimento L=1m e diâmetro interno D=3

mm. Água entra no tubo a uma vazão mássica de 0,015kg/s e Tm,e = 97ºC.

(a) Qual a temperatura de saída da água (Tm,s) se a superfície do tubo é mantida a 27 ºC?

(b) Se uma camada com 0,5 mm de um isolante térmico com k=0,05 W/mK for aplicada

sobre o tubo e a sua superfície externa for mantida em 27 ºC, qual será a temperatura de

saída da água?

(c) Qual o coeficiente global de transferência de calor associado ao diâmetro interno?

1. O processo de esterilização de um produto farmacêutico é feito fazendo o produto passar

com velocidade de 0,2 m/s através de um tubo de aço inoxidável de 12,7 mm de diâmetro,

onde será aquecido de 25 a 75ºC. Um fluxo de calor uniforme é mantido por uma

resistência elétrica enrolada em torno da superfície externa do tubo. O tubo tem 10 m de

comprimento.

a) Qual a vazão mássica do produto? R: 0,0253 kg/s

b) Qual será o fluxo de calor necessário? R: 12682 W/m²

c) Se o fluido entra no tubo com um perfil de velocidade plenamente desenvolvido e um

perfil de temperatura uniforme, qual é a temperatura da superfície na saída do tubo e a uma

distância de 0,5 m da entrada?

R: Ts,s=151,96°C, Ts,x=0,5=51,46ºC (Tm(0,5)=27,5ºC)

Dados: As propriedades do produto são =1000 kg/m³, cp=4000 J/kgK, =2x10-3 kg/sm,

k=0,48 W/mK e Pr = 10