23/09/2014 1 CONTROLE 1 23/09/2014 CONTROLE 1. 1. DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES 2. 2. CONTROLADORES ELETRÔNICOS CONTROLADORES ELETRÔNICOS 3. 3. PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM 4 PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM 2 23/09/2014 4. 4. PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM 5. 5. EQUAÇÃO TEMPORAL EQUAÇÃO TEMPORAL 6. 6. ESTABILIDADE ESTABILIDADE 7. 7. CONTROLE DISCRETO CONTROLE DISCRETO DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES 1 DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES 3 23/09/2014 DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES 1 Referência bibliográfica 23/09/2014 4 DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES 1 • Comparar o valor real na saída com o valor desejado. • O valor desejado é o valor de referência. • Este valor também é chamado de Setpoint. Controle • O desvio é a diferença entre o valor real e o desejado. • O sinal de controle reduz o desvio a um valor aceitável. • A ação de controle proporciona a redução do desvio. 23/09/2014 5 DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES 1 • Ótimo: Uso de índice de desempenho, minimização de erros. • Robusto: Compensador cujos pólos se ajustam aos distúrbios. • Adaptativo: O sistema se acomoda mediante uma Tipos de controle • Adaptativo: O sistema se acomoda mediante uma alteração no sistema. • De estrutura variável: Mudança do ponto de operação. • Inteligente ou de aprendizado: Inteligência artificial, lógica nebulosa, redes neurais, sistemas especialistas. 23/09/2014 6
30
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Controle [Modo de Compatibilidade] - ufsj.edu.br · Sistema de controle Sinal de Erro Sensor 23/09/2014 10 1 DEFINIÇÕES Amplifi cador Referência Saída + Planta – Sistema de
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Transcript
23/09/2014
1
CONTROLE
123/09/2014
CONTROLE
1.1. DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES2.2. CONTROLADORES ELETRÔNICOSCONTROLADORES ELETRÔNICOS3.3. PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM44 PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM
223/09/2014
4.4. PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM5.5. EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL6.6. ESTABILIDADEESTABILIDADE7.7. CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕESDEFINIÇÕESDEFINIÇÕES
323/09/2014
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Referência bibliográfica
23/09/2014 4
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Comparar o valor real na saída com o valor desejado.
• O valor desejado é o valor de referência.
• Este valor também é chamado de Setpoint.
Controle
• O desvio é a diferença entre o valor real e o desejado.
• O sinal de controle reduz o desvio a um valor aceitável.
• A ação de controle proporciona a redução do desvio.
23/09/2014 5
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Ótimo: Uso de índice de desempenho, minimização deerros.
• Robusto: Compensador cujos pólos se ajustam aosdistúrbios.
• Adaptativo: O sistema se acomoda mediante uma
Tipos de controle
• Adaptativo: O sistema se acomoda mediante umaalteração no sistema.
• De estrutura variável: Mudança do ponto de operação.
• Inteligente ou de aprendizado: Inteligência artificial,lógica nebulosa, redes neurais, sistemas especialistas.
23/09/2014 6
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2
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Duas posições, booleano, liga-desliga.
• Proporcional (P).
• Integral (I).
Tipos de controle
• Proporcional e integral (PI).
• Proporcional e derivativo (PD).
• Proporcional, integral e derivativo (PID).
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Amplificador
+–
Referência
Controlador automático
Sinal de Erro
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Controlador Automático
Referência SaídaAtuador
Processo a
controlar
Sistema de controle
Sinal de Erro
Sensor
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Amplificador
Referência SaídaAtuador
Processo a
controlar+
–
Sistema de controle
Sinal de ErroSensor
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Amplificador
Referência SaídaPlanta+
–
Sistema de controle
Sinal de ErroSensor
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Amplificador
ReferênciaPara o atuador+
–
Sistema de controle
Sensor Da planta
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3
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• O controlador automático detecta o erro e o amplifica a umnível útil para o atuador.
• O atuador é um dispositivo de potência que produz um
Sistema de controle
sinal para agir no processo, em função do sinal de controle.
• O sensor converte a saída em um sinal que pode ser comparado com a entrada.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Controle on-off.
• Controle de duas posições.
• Simples e barato.
• Não requer o uso de PWM.
• O mais usado em sistemas industriais e domésticos.
Controle liga-desliga
• O atuador é operação nas situações limite.
• Controladores proporcionais com ganho muito altopodem ser considerados controladores liga-desliga.
• No caso de motor elétrico, os dois estados podemser ligado/desligado ou horário/anti-horário.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Geladeira.
• A ideia é manter a temperatura interna baixa econstante.
• Se for preciso esfriar, o compressor é ligado.
• Se não for preciso esfriar, o compressor é desligado.
Controle liga-desliga – Exemplo 1
Se não for preciso esfriar, o compressor é desligado.
• Como o isolamento térmico não é prefeito, há umaquecimento natural interno, provocando a ligaçãodo compressor.
• Como a potência do compressor é grande, oresfriamento atinge o nível máximo, provocando odesligamento do compressor.
• Há uma oscilação em baixa frequência.23/09/2014 15
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Iluminação pública.
• A ideia é manter a rua sempre iluminada.
• Se anoitecer, a lâmpada é ligada.
• Se amanhecer, a lâmpada é desligada.
Controle liga-desliga – Exemplo 2
, p g
• É preciso que haja uma histerese para diminuir asensibilidade do chaveamento, evitando, assim,que outras fontes de luz ou bloqueadores de luzvenham a efetuar um chaveamento.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Quanto maior for a rapidez da resposta dosistema, maior é a frequência de oscilação.
• Quanto menor for a histerese, maior é afrequência de oscilação
Controle liga-desliga – Oscilação
frequência de oscilação.
• Em sistema de controle liga-desliga, ochaveamento pode provocar estresse mecânicoe desgaste dos elementos de chaveamento.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• u(t): Saída do controlador
• e(t): Erro (entrada do controlador)
• U1: Valor máximo
• U : Valor mínimo
Controle liga-desliga
• U2: Valor mínimo
• U1>U2
• Opção 1: U2=0
• Opção 2: U2=–U1
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4
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Controle liga-desliga
Erro positivoe
u
Açã
o po
sitiv
a
Erro negativoe
Açã
o n
eg
ativ
a
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
U
• e(t)>0 u(t)=U1
• e(t)<0 u(t)=U2
Controle liga-desliga
e+
–
uU1
U2
• A saída u(t) oscila entre U1 e U2.
• Se não houver perdas, a frequência de oscilação é infinita.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Referência SaídaPlanta+
–
Controle liga-desliga
U1
U2
Sinal de ErroSensor
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Caracteriza uma histerese.
• Atraso na mudança da saída u(t) em função da mudança na entrada e(t).
• Pode ter origem não intencional devido a perdas internas.
• Pode ter origem intencional para evitar operação excessiva
Intervalo diferencial
• Pode ter origem intencional para evitar operação excessiva.
• Quanto menor for a frequência, menor é o desgaste.
e+
–
uU1
U2
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Intervalo diferencial
e
u
u
• Se e(t) > E1 então u(t) = U1.
• Se e(t) < E2 então u(t) = U2.
• Se e(t) > E2 e u(t) = U1 então u(t) = U1.
• Se e(t) < E1 e u(t) = U2 então u(t) = U2.
U1
U2
E1E2
u
Banda morta
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Erro positivo
Intervalo diferencial
Banda morta
Erro negativoErro negativo
Ação positiva
Erro positivo
Ação negativa
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23/09/2014
5
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Temporal
• Posicional
• Outros
Tipos de intervalo diferencial
U1
U2 t1 t2
U1
U2 x1 x2
Temporal Posicional
23/09/2014 25
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Exemplos de intervalo diferencial
• Quanto maior o intervalo diferencial, menor é a frequência.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• u(t): Saída do controlador
• e(t): Erro (entrada do controlador)
• Kp: Constante de proporcionalidade
• Kp: Ganho proporcional
Trata se de um amplificador
Controle proporcional
• Trata-se de um amplificador.
u(t)= Kpe(t)
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Depois do controle liga-desliga, é o mais simples.
• A ação é proporcional ao erro.
• Muito erro, pouca ação.
• Pouco erro, pouca ação.
Controle proporcional
• Sem erro, sem ação.
• Quanto maior for Kp, mais rápida é a ação.
• Quanto maior for Kp, maior é a oscilação.
• Para Kp muito alto, o sistema pode nunca estabilizar.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
s
sps
UK
EKU
pKTF ..
Controle proporcional
t
tpt
uK
eKu
sp E
K
Kp
E(s)+
–
U(s)
tp e
K
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Kp
Referência SaídaPlanta+
–
Controle proporcional
E(s) U(s)
Sinal de ErroSensor
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23/09/2014
6
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
dteKu
eKdt
u
tit
tit
s
KTF i..
Controle integral
s
E
UK
dte
uK
dteKu
s
si
t
ti
tit
Ki/s
E(s)+
–
U(s)
23/09/2014 31
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• É um controlador proporcional e integral ao mesmo tempo.
• O resultado é a soma dos efeitos proporcional e integral.
eKu alproporcion
Controle proporcional e integral
dteKeKu
uuu
dteKu
eKu
titpt
ttt
tit
tpt
integralalproporcion
integral
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
ti
ptpt
titpt
dteT
KeKu
dteKeKu
Controle proporcional e integral
i
pi
i
pi
K
KT
T
KK
• Kp: Ganho proporcional
• Ki: Ganho integral
• Ti: Tempo integral
• 1/Ti: Taxa de restabelecimento
23/09/2014 33
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
dteT
eKu
dteT
KeKu
ti
tpt
ti
ptpt
1
sT
KTFi
p
11..
Controle proporcional e integral
sTK
E
U
sTEKU
sE
TEKU
ip
s
s
isps
si
sps
11
11
11E(s)
+–
U(s)
sT
Ki
p
11
23/09/2014 34
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• É um controlador proporcional e derivativo ao mesmo tempo.
• O resultado é a soma dos efeitos proporcional e derivativo.
tpt eKu alproporcion
Controle proporcional e derivativo
tdtpt
ttt
tdt
edt
dKeKu
uuu
edt
dKu
derivativoalproporcion
derivativo
23/09/2014 35
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
tdptpt
tdtpt
edt
dTKeKu
edt
dKeKu
Controle proporcional e derivativo
p
dd
dpd
K
KT
TKK
• Kp: Ganho proporcional
• Kd: Ganho derivativo
• Td: Tempo derivativo23/09/2014 36
23/09/2014
7
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
edt
dTeKu
edt
dTKeKu
tdtpt
tdptpt
sTKTF dp 1..
Controle proporcional e derivativo
sTK
E
U
sTEKU
sETEKU
dt
dps
s
dsps
sdsps
1
1
E(s)+
–
U(s) sTK dp 1
23/09/2014 37
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• É um controlador proporcional, integral e derivativo ao mesmo tempo.
• Possui as vantagens dos três tipos de controladores.
tpt eKu
alproporcion
Controle proporcional, integral e derivativo
tdtitpt
tttt
tdt
tit
edt
dKdteKeKu
uuuu
edt
dKu
dteKu
derivativointegralalproporcion
derivativo
integral
23/09/2014 38
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
tdpti
ptpt
tdtitpt
edt
dTKdte
T
KeKu
edt
dKdteKeKu
Controle proporcional, integral e derivativo
p
dd
i
pidpd
i
pi K
KT
K
KTTKK
T
KK
• Kp: Ganho proporcional
• Ki: Ganho integral
• Ti: Tempo integral
• Kd: Ganho derivativo
• Td: Tempo derivativo23/09/2014 39
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
edt
dTdte
TeKu
edt
dTKdte
T
KeKu
tdti
tpt
tdpti
ptpt
1
sT
sTKTF d
ip
11..
Controle proporcional, integral e derivativo
sTsT
KE
U
sTsT
EKU
sETs
ET
EKU
di
ps
s
di
sps
sdsi
sps
11
11
11
E(s)+
–
U(s)
sT
sTK d
ip
11
23/09/2014 40
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
sTsTsTKTF
sTsT
KTF
idi
di
p
1
11..
E(s)+
U(s)
sT
sTsTTK idi
p
12
Controle proporcional, integral e derivativo
sT
sTsTTKTF
sTKTF
i
idip
ip
1..
..
2
– sTi
23/09/2014 41
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
TKTF
s
KTF
KTF
ppi
ii
pp
11..
..
..
• Kp: Ganho proporcional
• Ki: Ganho integral
T T i t l
Controle proporcional, integral e derivativo
sTsT
KTF
sTKTF
sT
di
ppid
dppd
ippi
11..
1..
• Ti: Tempo integral
• Kd: Ganho derivativo
• Td: Tempo derivativo
p
dd
i
pidpd
i
pi K
KT
K
KTTKK
T
KK
23/09/2014 42
23/09/2014
8
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
CONTROLADORESCONTROLADORESELETRÔNICOSELETRÔNICOS
4323/09/2014
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
K: Ganho diferencial
v0=K(v2–v1)
AMP-OP
v1
v2
v0
–
+
23/09/2014 44
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
Realimentação Negativa
Feed Back
IF RF
R1IIN IB
p.217
Amplificador inversor
vOUT
vIN –
+
vA
23/09/2014 45
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
F
AOUTFAOUTRF
F
RFF
AININAINR
RIN
FINB
BFIN
R
VVIVVV
R
VI
R
VVIVVV
R
VI
AIII
III
11
1
1
00
1
..R
RTF F
IN
OUTV
R
TFV
VA ..
Amplificador inversor
OUTF
IN
F
OUTINA
F
OUTAAIN
F
AOUTAIN
VR
RV
R
V
R
VVV
R
VV
R
VV
AR
VV
R
VV
1
1
1
1
0
0
• Amplificador inversor
• RF=R1 AV=-1IN
FOUT V
R
RV
1
IN
INF
V
VR
R
TF
1..
23/09/2014 46
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
Realimentação Negativa
Feed Back
IF RF
R1I1 IB
Amplificador não-inversor
Negativa
VOUTVIN
I1 IB
–
+IIN
v1
v2
23/09/2014 47
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
AIII
III
VV
VV
VVKV
FINB
BFIN
R
IN
OUT
: tensãodeDivisor
00
11
2
12
INF
IN
OUTV
VRR
TF
TFV
VA
1
1
..
1
1
01
1
RR
RVV
K
K
FOUTIN
Amplificador não-inversor
KRR
RVV
K
V
RR
RVV
RR
RVV
K
V
RR
RVVKV
RR
RVV
FOUTIN
OUT
FOUTIN
FOUTIN
OUT
FOUTINOUT
FOUTR
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
INF
OUT VR
RV
1
1
INVTF 1..
1
1..R
RTF F
• Amplificador não inversor
• RF=0 AV=1
• RF=R1 AV=2
1
1
1
R
RRVV F
INOUT
F
23/09/2014 48
23/09/2014
9
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
IF ZF
Z1
VIIN IB
Amplificador inversor com impedâncias
VOUT
VIN –
+
vA
23/09/2014 49
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
F
AOUTFAOUTZF
F
ZFF
AININAINZ
ZIN
FINB
BFIN
Z
VVIVVV
R
VI
Z
VVIVVV
Z
VI
AIII
III
11
1
1
00
IN
OUTV
Z
TFV
VA ..
1
..Z
ZTF F
Amplificador inversor com impedâncias
OUTF
IN
F
OUTINA
F
OUTAAIN
F
AOUTAIN
VZ
ZV
Z
V
Z
VV
Z
VV
Z
VV
AZ
VV
Z
VV
1
1
1
1
0
0
IN
INF
V
VZ
Z
TF
1..
• Amplificador inversor
• ZF=Z1 AV=-1IN
FOUT V
Z
ZV
1
23/09/2014 50
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
0
00
1
11
11
1
111
VVdt
dC
R
VV
R
VV
AVVdt
dC
R
VV
R
VV
AIIII
IIII
VVdt
dCIVVV
R
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AOUTAIN
CFRFRB
BCFRFR
AOUTFCAOUTC
F
AOUTRF
F
RFRFAOUTRF
AINR
RRAINR
IFC
R
Exemplo 1 – Parte 1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
sCRR
R
V
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sCR
R
V
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R
V
VsCR
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FFFSOUT
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F
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A
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1
1..
1
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–
+
vA
23/09/2014 51
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
1
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..
11
sCZ
RZ
ZZZ
RZ
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11
1
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..
1..
..
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F
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Exemplo 1 – Parte 2
IFC
R
1
11
1//
sCR
RZ
sCR
Z
sCRZ
sC
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FF
FF
F
FFF
F11
..RsCRR
TFFF
1
1..
1
sCRR
RTF
FF
F
VOUT
IFR1
VIN
IIN IB
–
+
vA
23/09/2014 52
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
IF R
C
VIIN IB
Amplificador diferenciador ou derivador
VOUT
VIN –
+
23/09/2014 53
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
R
VVIVVV
R
VI
VVdt
dCIVVV
dt
dVCI
AIII
III
AOUTFAOUTR
RF
AININAINCC
IN
FINB
BFIN 00
CR
dt
dVV IN
OUT 1
Amplificador diferenciador ou derivador
dtVCRV
dtCR
VV
R
V
dt
dVCV
R
VVVV
dt
dC
AR
VVVV
dt
dC
OUTIN
OUTIN
OUTINA
AOUTAIN
AOUTAIN
0
0
Amplificador inversor derivador
dt
dV
CRV IN
OUT
123/09/2014 54
23/09/2014
10
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
IF C
R
VIIN IB
Amplificador integrador
VOUT
VIN –
+
23/09/2014 55
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
ddVR
VVIVVV
R
VI
AIII
III
AININAINR
RIN
FINB
BFIN
00
CR
dtVV INOUT 1
Amplificador integrador
dt
dVCRV
dt
dVC
R
VV
VVdt
dC
R
VV
AVVdt
dC
R
VV
VVdt
dCIVVV
dt
dVCI
OUTIN
OUTINA
AOUTAIN
AOUTAIN
AOUTFAOUTCC
F
0
0
Amplificador inversor integrador
dtVCR
V INOUT
123/09/2014 56
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM
5723/09/2014
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
j
• Pólo:Valor de s que faz F(s) tender a infinito.
• Zero:Valor de s que faz F(s) igualar a zero.
Definição
• Pólo:
• Zero:
A localização dos pólos de uma função de transferência no plano-s afeta diretamente a resposta transiente do sistema.23/09/2014 58
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
sR s
1degrau j
0
10 s
s
Excitação degrau unitário
F.T.C (S)R(S)
• Pólo de entrada: s=0
• Zero de entrada: s=
0
01
ss
s
Pólo de entrada
23/09/2014 59
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
s
AR s
j
00 s
s
A
Excitação degrau
F.T.C (S)R(S)
• Pólo de entrada: s=0
• Zero de entrada: s=
0
0 ss
As
Pólo de entrada
23/09/2014 60
23/09/2014
11
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
sTF
j
0Bss
00
Resposta de 1ª ordem com zero na origem
F.T.C (S)R(S)
real:
..
BBs
TF
0-B
• Pólo:s=-B
• Zero:s=0
BsBs
s
sBs
00
23/09/2014 61
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
AsTF
j
ABAsAs
0
Resposta de 1ª ordem com zero fora da origem
F.T.C (S)R(S)
reais:,
..
BABs
TF
-A-B
• Pólo:s=-B
• Zero:s=-A
BsBs
As
AsBs
0
23/09/2014 62
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
j
AB 0Bs
AsTF
..
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
F.T.C (S)R(S)
-A-B
• Pólo de entrada: s=0
• Zero de entrada: s=• Pólo da F.T: s=-B
• Zero da F.T: s=-A
0
Bss
AsC s
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 63
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
Bss
AsBABsBAC
Bss
AsBBC
Bss
AsC
s
s
s
5
25352
5
255
5
2
:Exemplo
ss
ssC
ss
sC
ss
sC
s
s
s
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
Bs
BAB
s
BAC
Bss
sBAB
Bss
BsBAC
Bss
sBABBsBAC
Bss
sBABBBAsBAC
Bss
BBAsBABsBAC
Bss
s
s
s
s
s
5
5352
5
53
5
552
5
53552
5
5355252
5
5525352
5
ssC
ss
s
ss
sC
ss
ssC
ss
ssC
ss
ssC
ss
s
s
s
s
s
23/09/2014 64
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
B
ABB
ABB
A
s
s
sss
s
C
sC
CCC
BssC
natural
forçado
naturalforçado
F.T.C (S)R(S)
Bss
AsC s
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
Bs
BAB
s
BAC
sBs
AsC
s
s
1
5
5352
1
5
2
:Exemplo
ssC
ss
sC
s
s
B
BS
S
s
s
As
Bs
AsBs
0
23/09/2014 65
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
21
1
sC
Bs
As
sC s
BABs
BAC
CCC
Bs
BAB
s
BAC
s
sss
s
forçado
naturalforçado
53
52
5
5352
:Exemplo
forçado
naturalforçado
sC
CCC
ssC
s
sss
s
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
F.T.C (S)R(S)
5
21
s
s
sC s
Bs
BABC s
natural
5
53natural
sC s
tB
t
ttt
tBt
t
eB
AB
B
AC
CCC
eB
ABC
B
AC
naturalforçado
natural
forçado
t
t
ttt
tBt
t
eC
CCC
eC
C
5
naturalforçado
natural
forçado
5
3
5
2
5
35
2
:Exemplo
23/09/2014 66
23/09/2014
12
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
j
-B
s s
AF
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
• O pólo em –B gera uma resposta do tipo e–Bt.
• O pólo na F.T. gera a resposta natural.
• O pólo na função de entrada gera a resposta forçada.
t
t eAf
23/09/2014 67
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
j
-B
j
0
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
tempode Constante:
1
B
eAf
Bs
AF
tBt
s
Afs
AF
t
s
0
23/09/2014 68
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
• Todo pólo sobre o eixo real gera uma resposta do tipo et.
• é a localização do pólo sobre o eixo real.
• é negativo.
• Os pólos e zeros geram as amplitudes para as duas respostas.
Localização
Quanto mais à esquerda, no eixo real negativo, estiver o pólo, mais rápido o decaimento da resposta temporal.
23/09/2014 69
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM
7023/09/2014
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
reais:,,
..2
CBACsBs
ATF
2
4
0
2
2
CBBs
CsBs
Resposta de 2ª ordem
F.T.C (S)R(S)
,,
2
4
2
4
2
2
2
1
CBBs
CBBs
21
..ssss
ATF
• Pólo:s=s1
• Pólo:s=s223/09/2014 71
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
21 sssss
AC s
Resp. de 2ª ordem com excitação degrau unit.
F.T.C (S)R(S)
sssss
AC
ssss
ATF
s
1
..
21
21
• Pólo de entrada: s=0
• Pólo da F.T.: s=s1
• Pólo da F.T.: s=s2
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 72
23/09/2014
13
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
21
..ssss
ATF
• s1 real
• s2 real
• s1 s1
j
0
Resposta de 2ª ordem super amortecida
Overdamped
F.T.C (S)R(S)
21 sssss
AC s
s1 s2 0
natural2natural1forçado
23
natural2
12
natural1
10
1forçado
tttt
tst
tst
tt
cccc
eKc
eKc
KeKc
tsts
t eKeKKc 23
121
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 73
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
0 9
99
9..
2
2
C
ssTF
2
459
2
459
2
36819
2
9499
0
1
2
2
s
s
s
s
CsBs
Exemplo
F.T.C (S)R(S)
s1 s2 0 992 sss
C s
1459,1
8541,72
459
2
1
2
s
s
s
tt
t eKeKKc 8541,73
1459,121
• Pólo de entrada: s=0
• Pólo da F.T.: s=–7,8541
• Pólo da F.T.: s=–1,1459
8541,71459,1
9
8541,71459,1
9..
sssC
ssTF
s
23/09/2014 74
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• A resposta é a soma de duas exponenciais.
• As raízes são o inverso da constante de tempo dasexponenciais.
• Como as raízes são negativas, as exponenciais são de queda.
Análise
• A exponencial de queda mais rápida é a de maior constante detempo.
• A exponencial mais rápida é a mais distante da posição zero.
• Pode-se desprezar a exponencial mais rápida.
23/09/2014 75
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
ts
t
tst
eKc
eKc
2
3natural2
12
natural1
j21 ss Pode-se desprezar s1.
Análise
s1 s2 0
Le
nta
Rá
pid
a
1
t [s]0
23/09/2014 76
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
s1
0 21
..ssss
ATF
• s1 complexo
• s2 complexo
• s1 e s1: conjugadosUnderdamped
Resposta de 2ª ordem sub-amortecida
F.T.C (S)R(S)
s2
0
1
natural2natural1forçado
natural2
natural1
1forçado
KC
CCCC
C
C
KC
t
tttt
t
t
t
21 sssss
AC s
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 77
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
9
92
9..
2
2
C
ssTF
81
2
822
2
322
2
3642
2
9422
0
2
2
s
s
s
s
CsBs
j
s1
0j8
Exemplo
F.T.C (S)R(S)
922 sssC s
81
81
81
81
2
1
js
js
js
s
s2
0j
–j8
-1
• Pólo de entrada: s=0
• Pólo da F.T.: s=1–j8
• Pólo da F.T.: s=1+j8
8181
9
8181
9..
jsjssC
jsjsTF
s 1Kc t
23/09/2014 78
23/09/2014
14
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
s1
0 21
..ssss
ATF
• s1 imaginário
• s2 imaginário
• s1 e s1: conjugadosUndamped
Resposta de 2ª ordem não amortecida
F.T.C (S)R(S)
s2
0
21 sssss
AC s
1
natural2natural1forçado
natural2
natural1
1forçado
KC
CCCC
C
C
KC
t
tttt
t
t
t
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 79
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
99
9..
2
sTF
j
s1
0j33
3
9
9
09
2
1
2
2
js
js
s
s
s
Exemplo
F.T.C (S)R(S)
9
92
ss
C s
s2
0j
–j3
• Pólo de entrada: s=0
• Pólo da F.T.: s=–j3• Pólo da F.T.: s=+j3
33
9
33
9..
jsjssC
jsjsTF
s
1Kc t
23/09/2014 80
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
0 21
..ssss
ATF
• s1 real
• s2 real
• s1 = s1
Critically damped
Resposta de 2ª ordem criticamente amortecida
F.T.C (S)R(S)
0
s1,s2 21 sssss
AC s
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 81
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
996
9..
2
ssTF
j
006
2
36366
2
9466
0
2
2
s
s
s
CsBs
Exemplo
F.T.C (S)R(S)
96
92
sss
C s 0
–3
• Pólo de entrada: s=0
• Pólo da F.T.: s=3
• Pólo da F.T.: s=3
2
2
3
9
3
9..
ssC
sTF
s 1Kc t
32
62
2,1
2,1
s
s
s
23/09/2014 82
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• A parcela real provoca a atenuação.
• A parcela imaginária provoca a oscilação.
Criticamente Amortecido
Sem oscilação
Super Amortecido
Sem oscilação
j j
Pólo da função de transferência
Não Amortecido
Sem atenuação
Sub Amortecido
Com atenuação e oscilação
j
j
23/09/2014 83
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• Pólos à esquerda: Atenuação positiva.
• Pólos ao centro: Sem atenuação.
• Pólos à direita: Atenuação negativa (crescimento)
• Pólos à esquerda: Parcela real negativa.
Pól t P l l l
Pólo da função de transferência
• Pólos ao centro: Parcela real nula.
• Pólos à direita: Parcela real posivia.
A atenuação tem sinal contrário ao da parcela real do pólo.
js23/09/2014 84
23/09/2014
15
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
Atenuação positiva Atenuação negativa
Pólo da função de transferência
Atenuação positiva Atenuação negativa
• Pólos de primeira ordem localizam-se no eixo horizontal.
• Pólos de segunda ordem ocorrem em números conjugados.
• A localização dos pólos é simétrica.
23/09/2014 85
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• : Freqüência amortecida
• n: Freqüência natural não amortecida
Análise transitória no domínio da frequência
• : Constante de decaimento exponencial (atenuação)
• : Coeficiente de amortecimento
23/09/2014 86
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• =0: =0 n
Função de transferência
F.T.C (S)R(S)
: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
22
2
22
2
2..
2..
n
n
nn
n
ssTF
ssTF
js
• =1: =n
n
n
4.19
23/09/2014 87
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
22
2
22
2
2..
2..
n
n
nn
n
ssTF
ssTF
R S
1degrau ss RTFC ..
C
Rss
C
nS
Sn
nS
1
2
2
22
2
22
2
Função de transferência
F.T.C (S)R(S)
22
2
22
2
2
2
n
ns
nn
ns
sssC
sssC
s sss n2 22
4.20
23/09/2014 88
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
22
2
2 nn
ns sss
C
=0: Sem amortecimento2nC
Função de transferência
=1: Criticamente amortecido
22n
ns ss
C
22
ss
C ns 4.23
23/09/2014 89
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
22
:pólosouRaízes
02
:ticaCaracterís Equação
nss
:pólosouRaízes
02
:ticaCaracterís Equação22 nn ss
22
2
22
2
2..
2..
n
n
nn
n
ssTF
ssTF
Função de transferência
22
22
22
22
2
22
2
442
12
1422
:pólosou Raízes
n
n
n
n
s
s
s
s
1
2
122
2
442
12
1422
:pólosou Raízes
2
2
222
22
nn
nn
nnn
nnn
s
s
s
s
23/09/2014 90
23/09/2014
16
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
2 n
p.122
Amortecimento: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
12 nnsSe 1, usar esta fórmula.
2
2
2
2
2
1
11
11
1
1
n
n
n
n
n
jj
j
j
j
j
js
21 nn jsSe 1, usar esta fórmula.
n
n
23/09/2014 91
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
21
22
21
1
1
ss
s
s
nn
nn
j
s1 s2 0
Amortecimento
22
21
1
1
nn
nn
js
js
j
s1
s2
0
23/09/2014 92
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
21 n
js
n
: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimentop.123
Amortecimento
21 nn js
=0 0 n
0<<1 0<<n 0<<n
=1 n 0
>1 >n sem
23/09/2014 93
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
2
2
1
1
n
nn
js
js
n
n
nAmortecimento
• controla a taxa de crescimento ou decaimento da resposta ao degrau unitário.• controla o “amortecimento” do sistema• é chamado de fator de amortecimento ou constante de amortecimento.
2
2
1:1
1:1
nn
nn
js
s
• >1: Super amortecido.
• <1: Outros.
23/09/2014 94
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
21 nn js
oscilação:1
ntoamortecime:2
n
n
j
Amortecimento
01;0:amortecido sub
01:oamportecid tecriticamen
0:oamportecid não
2
2
nn
n
n
j
j
SimSim:oamportecid sub
Sim:oamportecid tecriticamen
Sim:oamportecid não
OscilaçãontoAmortecime
23/09/2014 95
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
101sub
01
1
:amortecido
não
21
2
2
2
1
nn
n
n
js
j
j
s
s
Amortecimento
11
1
:amortecido
sobre
1:amortecido
tecriticamen
101:amortecido
22
21
2
1
22
nn
nn
n
n
nn
s
s
s
sjs
23/09/2014 96
23/09/2014
17
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
j
12 nn
n
Criticamente AmortecidoSuper Amortecido
ntoamortecime de eCoeficient:
amortecida não natural Frequência:
n
11
Pólos de 2ª ordem
j
j
nj
nj
21 nj
21 njn
12
nn
nn
Não AmortecidoSub Amortecido010
23/09/2014 97
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• >0: Pólos no lado esquerdo do plano s.
• <0: Pólos no lado direito do plano s.
Pólos de 2ª ordem
:Coeficiente de amortecimento
• >0:Amortecimento positivo
• =0:Sem amortecimento (constante)
• <0:Amortecimento negativo (crescimento)
23/09/2014 98
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• A atenuação no lado esquerdo do planos leva o sistema à estabilidade.
• Quanto mais distante do eixo vertical,no lado esquerdo mais rapidamente o
Atenuação
no lado esquerdo, mais rapidamente osistema atinge o equilíbrio.
• A atenuação negativa no lado direito doplano s leva o sistema à instabilidade.
23/09/2014 99
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
..1
.
2..
22
2
TF
TFG
ssTF
s
n
n
G(S)+
C (S)R(S)
s
s
G
GTF
1..Função de transferência
F.T.C (S)R(S)
(S)–
ssG
ssss
ssG
ss
ssG
ns
n
nn
n
n
s
n
n
n
n
s
2
22
2
21
2
2
2
22
222
22
2
22
2
22
2
n
ns
ns
ssG
ssG
2
22
2
Fig. 4.9
23/09/2014 100
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
2Pól
0:Pólo
:ordem segunda de Zero
2
2
s
s
ssG n
s n
ns
s
s
ssG
2Pól
0:Pólo
:ordem segunda de Zero
2
2
Pólos de 2ª ordem
• =0; =0
• Não há amortecimento nem atenuação, a resposta transitória é constante.
2:Pólo s ns 2:Pólo
23/09/2014 101
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
22
2 1
:pólosou Raízes
n
nn
s
s
n
n
nPólos de 2ª ordem
simaginária Raízes0
0
complexas Raízes01
iguais reais Raízes01
distintas reais Raízes01
:quadrada raiz da Conteúdo
22
2
22
2
22
2
n
n
n
simaginária Raízes0
0
complexas Raízes0
10
iguais reais Raízes1
distintas reais Raízes1
:quadrada raiz da Conteúdo
n
n
n
23/09/2014 102
23/09/2014
18
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• =0: Sem amortecimento
• 0<<1: Sub amortecido
• =1: Criticamente amortecido
Amortecimento
• >1: Sobre amortecido
• =0: =n sem amortecimento
• 0<<1: real oscilação
• =1: =0 sem oscilação
• >1: imaginário sem oscilação
23/09/2014 103
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
22
2
2
2
1
1
1
n
n
n
10
0
n
Frequência: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
2
22 1
n
10
• =n: =0 sem amortecimento
• m>>0 0<<1 oscilação
• =0: =1 sem oscilação
• =j|d| >1 sem oscilação2
2
1n
23/09/2014 104
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
nn
n
n
2
2
2
1
1
22
Frequência: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
n
nn
n
nn
22
2
22
22 n
22
n
n
2n
23/09/2014 105
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• =0: =0: d= sem amortecimento
n
n
nFrequência
=0: =0: d=n sem amortecimento
• 0<<n 0<<1: dreal oscilação
• =n =1: d=0 sem oscilação
• >n >1: dimaginário sem oscilação
• Sub amortecido: Pólos de malha fechada complexos
• Criticamente amortecido: Pólos de malha fechada reais iguais
• Sobre amortecido: Pólos de malha fechada negativos distintos23/09/2014 106
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
222
22
2
2
1
1
n
n
n
nn
n
n
s
js
js
j
Frequência: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
n
n
j
ok
1
1
1
22
2222
22222
22
22
nn
nn
nnn
nnn
23/09/2014 107
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
j
cosn
Frequência
n
cos
cos
cos
n
n
n
23/09/2014 108
23/09/2014
19
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
1n
2n
321nnn
Efeito anelar
n
3n
A região formada pelas circunferências possuem o mesmo n.
23/09/2014 109
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
1n2
n3
321
321
321
nnn
321
Efeito radial
n
321 n
321
23/09/2014 110
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
321
321
321
nnnj
1
2
3
321
Efeito angular
1
2
3
• =90: Sem amortecimento
• 0<<90 : Sub amortecido
• =0: Criticamente amortecido
• =0: Sobre amortecido
321nnn
321
As funções temporais têm o mesmo
sobresinal (overshoot).
23/09/2014 111
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
321
321
321
nnn
j
1
2
3
Efeito vertical
33
22
11 nnn
321
As funções temporais têm a mesma
envoltória (envelope).
1
2
3
23/09/2014 112
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
321
321
321
321
321
nnn
j
123
Efeito horizontal
321
As funções temporais têm a mesma frequência.
123
23/09/2014 113
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• Alguns pólos possuem efeito dominante na resposta transiente do sistema, denominados pólos dominantes.
• Pólos no semiplano esquerdo próximos ao eixo imaginário possuem pequeno decaimento e atuam de forma mais lenta e duradoura, por isso são dominantes
Pólos dominantes
dominantes.• Pólos no semiplano esquerdo distantes do eixo
imaginário possuem grande decaimento e atuam de forma mais rápida e passageira, por isso são insignificantes.
• A dominância de um pólo depende, apenas, de sua parte real.
23/09/2014 114
23/09/2014
20
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• Um pólo é insignificante quanto sua parte real é de 5 a 10 vezes a parte real dos pólos dominantes.
Pólos dominantes
• Pólos insignificantes podem ser eliminados.• Pode-se considerar, apenas, os pólos dominantes.
23/09/2014 115
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL
11623/09/2014
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
2nC
C(t)
F.T.C (S)R(S)
: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
ttec
te
c
tt
n
t
t
n
n
sin1
cos1
arccos1sin1
1
2
2
2
22 2 nn
ns sss
C
4.21
23/09/2014 117
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
ttec t
tn
sin
1cos1
2
C(t): Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
G(S)+–
E(S)R(S) C(S)
1degrau0
t
ttt
sss
c
cre
CRE
p.123
ttee t
tn
sin
1cos
2p.123
23/09/2014 118
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
çãoEstabiliza101
inicial Instante001110
sin1
cos12
tt
tt
cct
cct
ttec n
Situações
abrupto ntoAmortecime101
ntoamortecime sem Oscilaçãocos10
sin1
cos12
tt
t
tt
cc
tc
ttec n
çãoEstabiliza101 tt cct
t = 0, = indeterminado23/09/2014 119
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
2
2
101
1arctansin
11
d
t
t
n
t
te
c
110
11
:Envoltória
2
t
t
t
ec
n
Componente Amortecida não Oscilatória
Envoltória
2
2
11
1
11
101
tmáxt
médt
tmínt
tt
n
n
ec
c
ec
cct
A
A
A
A
:Geral
:2 Envoltória
:1 Envoltória
sin
A
A
A
AB
B:Geral
B:2 Envoltória
B:1 Envoltória
sin
11
102
t
t
ct
ct
23/09/2014 120
23/09/2014
21
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
0
10
:1 Parte00
eeet
eeet
e
nn
nn
n
t
t
t
1
t [s]0
n Partes 1 e 2
01
0
1
1
1
10
1 :2 Parte
22
22
2
t
t
t
n
n
n
et
et
e
t [s]0
21
1
23/09/2014 121
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
10 11
1:
1
1 1
1 1:0
1 1:3 Parte
2
22
2
t
t
t
n
n
n
et
et
en
21
11
2
Parte 3
1 2
110
110
10
10
1
1 1
2
2
2
2
11
1 1
21
1 1
11
1
2
2
2
t [s]
1
0
21
11
23/09/2014 122
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5C(t)
23/09/2014 123
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
sTF
ssTF
n
nn
n
..
0
2..
22
2
22
2
c(t)2
1
=0: Sem amortecimento
ssC
s
n
nS
n
122
2
tc
ttec
t
tt
n
cos1
0
sin1
cos12
dt
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 124
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
2..
1
2..
22
2
22
2
nn
n
nn
n
ssTF
ssTF
1c(t)
=1: Criticamente amortecido
1
00
11
1
..
2
2
2
2
t
t
nt
t
n
nS
n
n
ct
ct
tec
ssC
sTF
n
t [s]0
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
4.24
4.23
23/09/2014 125
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
1
11
11..
..
22
2
22
2
21
2
sssC
ssTF
ssssTF
nnnn
nS
nnnn
n
n
1
t [s]
c(t)
0
>1: Sobreamortecido
1121121
11
22
1
22
1 22
j
e
j
ec
ss
tjtj
t
nnnn
nnnn
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
22
21
1
1
nn
nn
js
jsp.124
n
ts
n
ts
ts
e
s
ec
22
2
12
1
12121
2
2
1
1
2 121
s
e
s
ec
tstsn
t
4.26
22
21
1
1
js
js
n
n
23/09/2014 126
23/09/2014
22
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
• A resposta é a soma de duas exponenciais.
• Pode-se desprezar a exponencial mais rápida.
• Pode-se desprezar s1.
j
2
2
1
1
2 121
s
e
s
ec
tstsn
t
>1: Sobreamortecido
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
21
22
21
1
1
ss
js
js
nn
nn
s1 s2 0
21
sss
sC
ss
sTF
S
1
..
2
2
2
2
23/09/2014 127
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
11
1
1..
2
2
2
nnS
nn
nn
C
sTF
1
t [s]
c(t)
0
>1: Sobreamortecido
1
00
1
1
1
2
2
t
t
t
t
nn
S
ct
ct
ec
ss
n
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
p.125
23/09/2014 128
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5Casos
23/09/2014 129
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
sos
Ca
s
23/09/2014 130
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5Casos
23/09/2014 131
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
Criticamente AmortecidoNão Amortecido
=0=1 Estável
Oscilatório
Estável
Casos
Super AmortecidoSub Amortecido
0<<1 >1
Estável Estável
23/09/2014 132
23/09/2014
23
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
0>>-1
Oscilatório Instável
Duas raízes complexas
Casos
0<-1
Instável
Duas raízes reais
23/09/2014 133
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
j
23
j
3
Casos
12
12
3
1
2
1
2
3
j
123
123
23/09/2014 134
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
ESTABILIDADEESTABILIDADE
13523/09/2014
ESTABILIDADEESTABILIDADE
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• Se todos os pólos de malha fechada estão no lado esquerdo do plano s, então o sistema é estável.
• Se o sistema é estável, então o módulo dos resíduos determina a importância do pólo.
Pólos e zeros
• Se há um zero de malha fechada perto de um pólo, isto reduz sua importância.
• Pólos e zeros próximos anulam-se mutuamente.
• Os termos com resíduos pequenos podem ser desprezados.
23/09/2014 136
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• A resposta de um sistema estável é formada pelasoma de exponenciais e senóides amortecidas.
• Os termos exponenciais e senoidais amortecidostendem a zero quando o tempo tende ao infinito
Pólos e zeros
tendem a zero quando o tempo tende ao infinito.
• O tipo de resposta é determinado pelos pólos demalha fechada.
• A forma é determinada pelos pólos e pelos zeros.
23/09/2014 137
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• A dominância do pólo em malha fechada é determinadapela parte real do pólo em malha fechada e pelo resíduo.
• A magnitude do resíduo depende dos pólos e dos zerosem malha fechada
Pólos e zeros
em malha fechada.
• A estabilidade pode ser determinada pela localizaçãodos pólos em malha fechada.
• A estabilidade não depende do sinal de entrada.
23/09/2014 138
23/09/2014
24
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• Os pólos do sinal de entrada não afetam a estabilidade.
• Pólos de malha fechada no eixo vertical implicam emoscilação não amortecida.
• O ruído pode fazer a oscilação crescer.
• Para que haja estabilidade, não devem existir pólos de
Pólos e zeros
q j , pmalha fechada sobre o eixo vertical.
• Não basta que haja estabilidade.
• É desejável, também, uma resposta rápida e bemamortecida.
• É necessário ajustar os parâmetros do sistema para oarranjo da localização dos pólos.
23/09/2014 139
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• Permite que se saiba se há raízes instáveis sem a necessidade da resolução da equação.
• Os fatores lineares resultam em raízes reais.
• Os fatores quadráticos resultam em raízes complexas.
Critério de estabilidade de Routh
p.193
csbs 2
quadráticofator
as linearfator
23/09/2014 140
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• Os fatores lineares resultam em raízes negativas se esomente se a é positivos.
• Os fatores quadráticos resultam em raízes complexascom parte real negativa se e somente se b e c sãoambos positivos.
Critério de estabilidade de Routh
• Para que todas as raízes tenham a parte real positiva, épreciso que a, b e c sejam positivos em todos os fatores.
• O produto de quaisquer fatores lineares e/ou quadráticosque contenham, apenas, coeficientes positivos, resultaem um polinômio com coeficientes apenas positivos.
23/09/2014 141
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
nnnn
mmmm
s
s
s
ss asasasa
bsbsbsb
A
B
R
CFTF
11
10
11
10..
p.193
:ticaCaracterís Equação
Equação característica
011
00
nnnn asasasa
• Todos os coeficientes devem ser positivos.
• Nenhum coeficiente pode ser nulo.
23/09/2014 142
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
p.194
44321
34321
27531
16420
dddd
ccccs
bbbbs
aaaas
aaaas
n
n
n
n
n
Arranjo dos coeficientes
10
11
212
43214
gs
fs
ees
ddddsn
23/09/2014 143
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
p.194
2
43214
43213
43212
75311
6420
ees
dddds
ccccs
bbbbs
aaaas
aaaas
n
n
n
n
n
Arranjo dos coeficientes
10
11
21
gs
fs
ees
1
41513
1
41713
1
70613
1
31312
1
31512
1
50412
1
21211
1
21311
1
30211
c
cbbcd
b
baabc
a
aaaab
c
cbbcd
b
baabc
a
aaaab
c
cbbcd
b
baabc
a
aaaab
23/09/2014 144
23/09/2014
25
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• Todos pólos estão no lado esquerdo do plano s.
• Todos termos da primeira coluna do arranjo são positivos.
16420 aaaas
n
n j
Condição de estabilidade
10
11
212
43214
43213
43212
75311
gs
fs
ees
dddds
ccccs
bbbbs
aaaas
n
n
n
n
j
23/09/2014 145
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• A quantidade de pólos à direita do eixo vertical é dadapela quantidade de mudanças de sinal dos coeficientesda primeira coluna do arranjo.
• Se todos são positivos, não há nenhuma mudança desinal, não há pólos no lado direito.
O l t d i i l ã ã l t
Condição de estabilidade
• Os valores exatos da primeira coluna não são relevantes.
10
11
12
14
13
12
11
0
gs
fs
es
ds
cs
bs
as
as
n
n
n
n
n
23/09/2014 146
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• O critério de Routh não sugere comomelhorar a estabilidade nem comoestabilizar um sistema instável
Condição de estabilidade
estabilizar um sistema instável.
• Porém, pode-se verificar o efeito davariação de parâmetros.
23/09/2014 147
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
G(S)+–
C (S)R(S)
G
GTF
s
s
1..
KG
Exemplo – Parte 1
Kssss
KTF
ssss
Kssssssss
K
TF
ssssK
ssssK
TF
21..
21
2121
..
211
21..
2
2
2
2
2
2 212
ssss
KG s
0233
0222
02
021
E.C.
234
23234
23
2
Kssss
Kssssss
Kssss
Kssss
p.197
23/09/2014 148
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
0233 234 Kssss
4 31 K4
2
3
3
1
4
3
2
1
0
Ka
a
a
a
aExemplo – Parte 2
210
211
212
3
4
023
31
dds
ccs
bbs
s
Ks
210
211
212
5313
4204
dds
ccs
bbs
aaas
aaas05 a
23/09/2014 149
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
0
2
3
3
1
4
3
2
1
0
a
Ka
a
a
a
a
1
50412
1
30211
a
aaaab
a
aaaab
3
0133
2133
2
1
Kb
b
Kb
b
2
1 3
7
Exemplo – Parte 3
10
791372
3
4
2
023
31
ds
Ks
Ks
s
Ks
05 a
10
11
372
3
4
023
31
ds
cs
Ks
s
Ks
Kb
b
a
Ka
a
a
a
a
2
37
1
5
4
3
2
1
0
0
2
3
3
1
1
21311 b
baabc
37
37
1
32 Kc
Kc 79
1 223/09/2014 150
23/09/2014
26
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
0791372
3
4
2
023
31
d
Ks
Ks
s
Ks
1
21211 c
cbbcd
K
KKd
79
37
79
1 2
02
Exemplo – Parte 4
10 ds Kd 1
Ks
Ks
Ks
s
Ks
0791372
3
4
2
023
31
23/09/2014 151
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
Todos os coeficientes da primeira coluna devem ser positivos.
• A vantagem do uso do computador usado comocontrolador em comparação ao controlador analógico éque, como o computador, uma variação na lei de controlepode ser obtida por mudança no software, enquanto noanalógico é necessário mudança no hardware.
23/09/2014 159
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
A/D Controle D/A Atuador Processo+–
SaídaEntradaComputador
Digital
Sinal de erro
Controle digital
Clock
Medição
A/De(t) e*(t)
analógico digital
Sinal de erro
23/09/2014 160
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
x(t) x(t) x(t)
Amostra e retenção (S/H)
t t t
Seguradorx(t) x*(t) xh(t)
amostrador
23/09/2014 161
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Amostrador
• Uma chave fecha para fazer a leitura da informação.
• O período de amostragem é T.
• A duração da amostragem é muito pequena.
O t d t i l tí t d l
Amostra e retenção (S/H)
• O amostrador converte o sinal contínuo em um trem de pulso.
• Entre os instantes da amostragem, a entrada do amostradornão é lida.
• Entre os instantes da amostragem, não há sinal na saída doamostrador.
dtIC
V CC
123/09/2014 162
23/09/2014
28
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Segurador ou Retentor
• O tem de pulso é convertido em sinal contínuo.
• Segurador de ordem zero: A saída é constante entreduas amostras.
Amostra e retenção (S/H)
• O segurador é um filtro passa-baixas.
• O capacitor atua como memória para fazer a retenção.
• O segurador integra o sinal Y*(t).
• A integral do impulso é uma constante.
dtIC
V CC
123/09/2014 163
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Saída do amostradorx*(t)
Amostra e retenção (S/H)
s
eGTF
sT
s
1..
Segurador de ordem zero
Antes do S/H Depois do S/Hx(t) xh(t)
23/09/2014 164
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Quantização Codificação Sinal Digital
Sinal Analógico
x(t) x*(t)
Conversor A/D
Digitalg
23/09/2014 165
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
tTTrem de pulso unitário
x(t) x*(t)
amostrador
ttTt xx *23/09/2014 166
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
• O amostrador é um modulador.
• A entrada Y(t) é o sinal modulador.
• O trem de pulsos unitário é a portadora.
T(t)
Modulador
Moduladorx(t) x*(t)
amostrador
T(t)
ktT Tkt
T de inteiro Múltiplo:
em unitário Impulso:
Tk
TkTkt
23/09/2014 167
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Moduladorx(t) x*(t)
T(t)
Modulador
tkt
ttTt
xTktx
xx
*
*
k tt Tktxx *
23/09/2014 168
23/09/2014
29
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
T(t)
x(t)
Sinal amostrado
x(t)
x*(t)
23/09/2014 169
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
A análise de sistemas de tempo discreto pode ser feita por:
• Transformada Z
• Espaço de Estados
• Transformada de Laplace: Tempo contínuo
Métodos
• Transformada de Laplace: Tempo contínuo
• Transformada Z: Tempo discreto
23/09/2014 170
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
0*
* de T.L. :*
*
k
sTkTks
ts
k Tkt
exX
xX
Tktxx
Transformada Z
sz
sT
XX
ez
*
0k
kTkz zxX
ksTk
ksTsTk
ze
ee
X(z): Transformada z de x*(t)
X(z): Z[x*(t)]23/09/2014 171
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
• Na transformada Z, considera-se o valorapenas nos instantes de amostragem, porisso a transformada da função original e dafunção amostrada fornece o mesmo resultado