1 João Pessoa, 2 a 5 de Setembro 2008 Controle Estatístico de Processos: a questão da autocorrelação, dos erros de mensuração e do monitoramento de mais de uma característica de qualidade Docentes: Maysa S. de Magalhães; Linda Lee Ho; Antonio Fernando B. Costa.
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1 João Pessoa, 2 a 5 de Setembro 2008
Controle Estatístico de Processos: a questão da autocorrelação, dos erros de mensuração
e do monitoramento de mais de uma característica de qualidade
Docentes: Maysa S. de Magalhães; Linda Lee Ho; Antonio Fernando B. Costa.
2 João Pessoa, 2 a 5 de Setembro 2008
PrefácioPrefácioPrefácioPrefácio
O monitoramento de um processo é feito com base nas informações de uma, ou de
mais de uma característica de qualidade, que são selecionadas de acordo com as especificações
do produto. Por exemplo, saquinhos de leite devem conter entre 985 ml e 1015 ml; um
saquinho de leite com menos de 985 ml gera multa a empresa, e com mais de 1015 ml tem risco
de estourar durante o manuseio e transporte. Neste caso, a característica de qualidade de
interesse X é a quantidade de leite dentro do saquinho e a missão do monitoramento é manter
as variações de X dentro de níveis que não comprometam as especificações. A variável X é
também chamada de variável de monitoramento. Pois bem, para obter os valores de X,
defronta-se primeiro com a questão da precisão do sistema de medição e, em seguida, com a
questão da correlação entre Xi e Xi+1, onde o sub índice (i) é o número do item, de acordo com a
seqüência de produção. As notas deste mini-curso são constituídas de cinco seções, a primeira
parte destas notas é uma revisão das propriedades dos gráficos de Shewhart; a segunda parte é
dedicada ao estudo dos gráficos de Shewhart, mais especificamente do gráfico de X , na
presença de erros de mensuração e da autocorrelação entre valores de X. A terceira e quarta
seções são dedicadas ao monitoramento de processos multivariados; são distintas uma da
outra, por tratarem de variáveis contínuas e discretas, respectivamente e por fim comentários
finais são feitas na última seção. Este mini-curso trata, portanto, de pesquisas recentes na área
de Controle Estatístico de Processos, que abordam a questão da autocorrelação dos dados, do
erro de mensuração e do monitoramento simultâneo de várias características de qualidade.
REVISÃO DAS PROPRIEDADES DOS GRÁFICOS DE SHEWHART ................ 5
1. INTRODUÇÃO .......................................................................................... 5 1.1 - ALARME FALSO NO GRÁFICO DE X .......................................................... 7 1.2 PODER DO GRÁFICO DE X .................................................................... 10 REFERÊNCIA .............................................................................................. 12
SEÇÃO DOIS ........................................................................................... 13
ERRO DE MENSURAÇÃO E DADOS AUTOCORRELACIONADOS .............. 13
2 . INTRODUÇÃO ........................................................................................ 13 2.1 ERRO DE MENSURAÇÃO ........................................................................ 13 2.2 DADOS AUTO CORRELACIONADOS ........................................................... 17 2.3. ERRO DE MENSURAÇÃO COM DADOS AUTOCORRELACIONADOS .................... 25 REFERÊNCIAS ............................................................................................ 27
3. INTRODUÇÃO ........................................................................................ 28 3.1 O VETOR DE MÉDIAS E A MATRIZ DE COVARIÂNCIAS AMOSTRAIS .................... 28 3.2 GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O MONITORAMENTO DO VETOR DE MÉDIAS ...... 31 3.3. GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O MONITORAMENTO DA MATRIZ DE
4 - INTRODUÇÃO ....................................................................................... 38 4.1 – DISTRIBUIÇÃO POISSON BIVARIADA – UMA BREVE REVISÃO ........................ 39 4.2 – GRÁFICOS DE CONTROLE PARA OBSERVAÇÕES INDIVIDUAIS DE UM PROCESSO DE
COMENTÁRIOS FINAIS ........................................................................... 57
5 João Pessoa, 2 a 5 de Setembro 2008
Seção USeção USeção USeção UM:M:M:M:
Revisão das propriedades dos gráficos de ShewhartRevisão das propriedades dos gráficos de ShewhartRevisão das propriedades dos gráficos de ShewhartRevisão das propriedades dos gráficos de Shewhart
1. Introdução
Antes de se pensar em controlar um processo é preciso primeiro estudar o
comportamento da característica de qualidade X a ser monitorada; para isto é preciso que o
sistema de medição seja confiável. Erros de mensuração bem como a correlação em série entre
valores da variável X, que compõem os subgrupos racionais, comprometem o desempenho dos
gráficos de controle. Para ilustrar o efeito do erro de mensuração e da autocorrelação das
observações no desempenho dos gráficos de controle, seja o gráfico de X . Nesta seção é feita
uma revisão das propriedades dos gráficos de X para dados independentes e sem erros de
mensuração. A próxima seção estende os resultados, incorporando os erros de mensuração e a
autocorrelação.
Quando o gráfico de X está em uso, monitorando um processo, amostras de tamanho
n são retiradas a cada h horas, e o valor calculado da estatística X para cada amostra é plotado
no gráfico de controle. Este dispositivo estatístico pode ser visto como uma seqüência de testes
de hipóteses, onde, a cada h horas, testamos sempre as mesmas hipóteses:
0H : Processo em controle
1H : Processo fora de controle
Outras maneiras de descrever as hipóteses 0H e 1H são:
0H : Processo ajustado
1H : Processo desajustado
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ou
0H : Processo centrado no valor-alvo
1H : Processo não centrado no valor-alvo
ou
0H : Processo livre de causas especiais
1H : Processo sob a influência de causas especiais
ou, ainda,
0H : 0µµ =
1H : 0µµ ≠
onde 0µ é o valor-alvo ou o valor médio em controle da variável aleatória X.
A hipótese 0H é aceita como verdadeira todas as vezes que o valor de X cair dentro
dos limites de controle. Já a hipótese 1H é aceita como verdadeira sempre que o valor de X
cair fora dos limites de controle.
Se o processo estiver em controle ( 0H verdadeira), α representa o risco
(probabilidade) de erroneamente se considerar o processo fora de controle (“alarme falso”). Se
o processo estiver fora de controle ( 1H verdadeira), β representa o risco (probabilidade) de
erroneamente se considerar o processo em controle (“não-detecção”).
A conseqüência de ordem prática associada ao erro do tipo I (alarme falso) é intervir no
processo na hora errada, quando o mesmo está isento de causas especiais (o que em si já
acarreta um custo — de interrupção do processo, de mão de obra — além de um risco de
desajustar um processo que estava ajustado); e a conseqüência de ordem prática associada ao
erro do tipo II (não detecção) é não intervir no processo na hora certa, quanto o mesmo está
sob a influência de causas especiais.
7 João Pessoa, 2 a 5 de Setembro 2008
Dado que o processo é considerado em controle (“ 0H verdadeira”) quando X cai
dentro dos limites do gráfico e fora de controle (“ 0H falsa”) quando X está fora dos limites do
gráfico, as probabilidades de alarme falso (α ) e de não-detecção ( β ) são dadas por:
]Xou Pr[ 0µµα =<>=XX
LICLSCX
] Pr[ 0µµβ ≠<<=XX
LSCXLIC
ondeX
LIC e X
LSC são respectivamente os limites inferior e superior de controle do gráfico de
controle. O poder do gráfico de controle, Pd, é definido como sendo a probabilidade de
detecção (Pd=1-β). Assume-se que as causas especiais não alteram o desvio padrão σ da
variável aleatória X.
1.1 - Alarme Falso no Gráfico de X
Quando a hipótese 0H é a hipótese verdadeira (processo isento de causas especiais) o
ideal é que todos os pontos X caiam dentro dos limites de controle do gráfico. Contudo, por
tratar-se de um teste estatístico, existe o risco αααα de um deles cair fora dos limites. Quando isto
acontece, tem-se alarme falso: um sinal indevido de que o processo está sob a influência de
alguma causa especial, portanto demandando ajustes. Devido a esse sinal, interfere-se no
processo na hora errada, ou seja, quando o mesmo se encontra no mais perfeito estado de
controle (com a distribuição da característica de qualidade X estável e ajustada no alvo,
0µµ = ). A Figura 1 retrata a ocorrência de um alarme falso. Nessa figura, a hipótese 0H é
verdadeira, pois a média X
µ da variável aleatória X é igual ao valor-alvo 0µ .
Para se calcular o risco α — probabilidade de alarme falso — é necessário conhecer a
distribuição da variável aleatória X . Na verdade, graças ao Teorema do Limite Central, para
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uma grande variedade de distribuições de X, a distribuição de X tenderá, com boa precisão, a
uma distribuição normal, mesmo para amostras pequenas. Definindo a variável aleatória Z
como:
X
XX
Zσ
µ−=
esta terá distribuição normal com média 0=Zµ e desvio padrão 1=Zσ . Quando o processo
está em controle, 0µµ =X e
X n
σσ = .
15 30 45 60 75 90 105 Minutos
)/;(~);(~X 0 nNNXX
σµσµ
LM = µ0
nLSC /30 σµ +=
Alarme falso
nLIC /30 σµ −=
Figura 1: Gráfico de X – ocorrência de um alarme falso
(Extraída da Figura 3.7 do livro de Costa, Epprecht e Carpinetti, 2005)
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Tradicionalmente, os limites de controle do gráfico de X são estabelecidos — usando
os valores em controle dos parâmetros do processo, µ0 e σ — a ± 3 desvios padrão amostrais
da linha média (LM= 0µ ), ou seja, em 0 3n
σµ ± ; ver Figura 1. Se o processo estiver em
controle, a probabilidade de um ponto X cair fora dos limites de controle assim localizados é
igual a
=<+>= ] Pr[]Pr[XX
LICXLSCXα
−<+
−>=
X
XX
X
XXLIC
ZLSC
Zσ
µσ
µPrPr
Substituindo XLSC por X
σµ 30 + , XLIC por X
σµ 30 − , e (já que está supondo o
processo em controle) Xµ por 0µ e Xσ por X n
σσ = , chega-se, após simplificações
imediatas, a
]3|Pr[| >= Zα
Para z=3, o risco α é igual a 0,0027. Então, durante o período em que o processo
permanece estável e ajustado, portanto sob controle, essa é a probabilidade de o valor de X
cair na região de ação do gráfico (acima do X
LSC ou então, abaixo do X
LIC ); ou seja, é a
probabilidade que cada amostra tem de gerar um alarme falso. A distribuição do número de
amostras, L, que antecedem um alarme falso (incluindo a amostra que gera o alarme falso)
segue uma distribuição geométrica de parâmetro p=α cuja função de probabilidade é dada por
1)1(]Pr[ −−== dppdL , d=1, 2, 3,…
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Por exemplo, na Figura 1 temos L=7. A média da distribuição geométrica é igual a 1/p,
portanto o número médio de amostras (NMA) até um alarme falso é igual a α/1 . Em outras
palavras, com limites de 3 desvios padrão, tem em média um alarme falso a cada (1/0,0027) =
370,4 pontos plotados. Caso o usuário considere esta freqüência de alarmes falsos inaceitável,
uma alternativa consiste em alargar os limites de controle, por exemplo, aumentar k de 3,00
para 3,10 (k é o fator de abertura dos limites de controle, ou seja, 0LIC kn
σµ= − e
0LSC kn
σµ= + ). Com k=3,10, o risco de alarme falso diminui para 0,0019 e o NMA aumenta
para 516,7. O risco α é função apenas do fator de abertura dos limites de controle, k.
]Pr[ kZ >=α
1.2 Poder do Gráfico de X
Quando a hipótese 1H é a hipótese verdadeira (processo sob a influência de causas
especiais), o ideal seria que o primeiro ponto plotado já caísse fora dos limites de controle
(sinalizando o estado de falta de controle). Contudo, isto nem sempre ocorre, em especial se o
deslocamento sofrido pela média do processo for pequeno. É usual expressar este
deslocamento em unidades iguais ao desvio padrão da variável X, de forma que o novo valor da
média, µ1, pode ser escrito como =1µ δσµ +0 , portanto
σµµδ 01 −= .
De um modo geral, se 5,1≥δ , então rapidamente um valor de X cairá fora dos limites
de controle. Caso contrário, existirá uma certa inércia. Por exemplo, na Figura 2, o sinal só
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ocorre quando o 5º valor de X é plotado. Nessa figura, a hipótese 1H é verdadeira porque a
média X
µ da variável X é diferente de 0µ ; na verdade, ela é igual a δσµ +0 .
A probabilidade de um valor de X cair acima do Limite Superior de Controle é dada
por:
]Pr[]Pr[ LSCZZLSCX >=> ,
onde ( )
XLSC
X
LSCZ
µσ
−= = 0 0[ ( )]
X
X
kµ σ µ δσσ
+ − += nk δ− , e a probabilidade de um valor de
X cair abaixo do Limite Inferior de Controle (LIC) é dada por:
=< ]Pr[ LICX ]Pr[ LICZZ < ,
onde ( )
XLIC
X
LICZ
µσ
−= = 0 0[ ( )]
X
X
kµ σ µ δσσ
− − += nk δ−− . Como Pr[Z>z]=Pr[Z<-z], (e
portanto Pr[Z>LSC]=Pr[Z<-LSC]), tem-se
]Pr[]Pr[ nkZnkZPd δδ −−<++−<= .
A distribuição do número de amostras, M, que antecede um alarme verdadeiro
(incluindo a amostra que gerou o sinal, ou seja, a amostra cujo valor X não pertence ao
intervalo delimitado pelos limites de controle) segue uma distribuição geométrica de parâmetro
p=(Pd), cuja função de probabilidade é dada por
1)1(]Pr[ −−== mppmM , m=1, 2, 3,…
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15 30 45 60 75 90 Minutos
nLSC /30 σµ +=
)n/;(N~);(N~XX
σδσµσµ +0X
LM = µ0
Alarme verdadeiro
δσµµ += 0
nLIC /30 σµ −=
δσ
Figura 2: Gráfico de X – ocorrência de um alarme verdadeiro
(Extraída da Figura 3.10 do livro de Costa, Epprecht e Carpinetti, 2005)
Por exemplo, na Figura 2, temos M=5. A média da distribuição geométrica de parâmetro p é
igual a 1/p, portanto o número médio de amostras (NMA) que antecedem um alarme
verdadeiro é igual a 1/(Pd).
Referência
COSTA, A.F.B.; EPPRECHT E.K.; CARPINETTI, L.C.R. Controle Estatístico de Qualidade. 2. ed. São
Paulo: Editora Atlas, 2005. 334 p.
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Seção DOISSeção DOISSeção DOISSeção DOIS
Erro de mensuração e dados autocorrelacionadosErro de mensuração e dados autocorrelacionadosErro de mensuração e dados autocorrelacionadosErro de mensuração e dados autocorrelacionados
2 . Introdução
Os gráficos de controle foram introduzidos por Shewhart que, em um primeiro
momento, supôs um sistema de medição isento de erros e uma variável de monitoramento
gerando observações independentes. Nesta seção, os efeitos do erro de mensuração e/ou da
autocorrelação no desempenho do gráfico de controle serão investigados.
2.1 Erro de Mensuração
É importante salientar que estudos de Repetibilidade e Reprodutibilidade devem
anteceder até mesmo as investigações preliminares do comportamento da variável de
monitoramento X. Nesta seção, alguns comentários sobre o efeito do erro de mensuração no
desempenho do gráfico de controle serão feitos. Para tanto, considere uma amostra de
tamanho n em que cada item é medido m vezes formando o seguinte conjunto de observações:
X1 + e11 X2 + e21 ... Xn + en1
X1 + e12 X2 + e22 ... Xn + en2
... ... ...
X1 + e1m X2 + e2m ... Xn + enm
14 João Pessoa, 2 a 5 de Setembro 2008
Devido ao erro de medição, o valor exato, iX , da característica de qualidade é
acompanhado de um erro ije . Deste modo, a característica de qualidade de um mesmo item
pode ter m diferentes valores: 1ii eX + , 2ii eX + ,.., imi eX + .
A média amostral é dada por
nm
e)X...XX(mX
m
j
n
iijn ∑∑+++
= = =1 121
Sejam σ o desvio padrão do processo e σm o desvio padrão do erro de mensuração. Se
as observações de X não forem autocorrelacionadas e os erros de mensuração ije forem
independentes de X, então:
22
( )
m
mXn
σσσ
+=
Neste caso, os limites de controle do gráfico da média são dados por
mn
kLC m /1 22
0 σσµ +±=
Para );(N~ σµX e );0(N~ me σ o poder de detecção é dado por:
( ) ( )dP k C n k C nδ δ= Φ − − + Φ − +
onde 21
2 Cm
m
)/(m
mC
m +=
+=
σσ e (.)Φ denota a função acumulada de distribuição
normal padrão.
15 João Pessoa, 2 a 5 de Setembro 2008
A constante C assume valores entre 0 e 1. Quando C =1, não se tem erro de
mensuração. O gráfico de controle perde poder de detecção à medida que C diminui. Na
Tabela 1, estão valores de C para m= 1 e 4 e 1mC
σσ
= = 0; 0,1; 0,3; 0,5 e 1,0. Quando m=1, cada
item é medido uma única vez, e quando =1C 0, não existe erro de mensuração.
Tabela 1. Valores de C
1C
C
m=1 m=4
0 1 1
0,1 0,9950 0,9988
0,3 0,9578 0,9889
0,5 0,8944 0,9701
1,0 0,7071 0,8944
O erro de mensuração pode ser minimizado pela repetição da medida de um mesmo
item (m>1). Por exemplo, quando o erro de mensuração corresponde a 30% da variabilidade
do processo ( mσσ
=0,3), tem-se para m=1 um valor de C =0,9578 e para m=4 um valor de
C =0,9889, isto é, medindo um mesmo item quatro vezes o valor de C fica mais próximo da
unidade, que é quando o erro de mensuração deixa de existir.
O gráfico da Figura 3 ilustra o efeito do erro de mensuração no desempenho do gráfico
da média. Por exemplo, quando a causa especial desloca a média de um desvio padrão, sem o
erro de mensuração o NMA= 6,3; já supondo que a variabilidade do instrumento de medida seja
da mesma ordem da variabilidade do processo ( mσσ
=1,0), o NMA aumenta assustadoramente,
NMA=17,7. Este aumento é minimizado quando o mesmo item é medido várias vezes. De
acordo com a Figura 4, se um mesmo item é medido quatro vezes (m=4), o NMA se reduz de
17,7 para 8,9.
16 João Pessoa, 2 a 5 de Setembro 2008
Nos estudos de Repetibilidade e Reprodutibilidade, um instrumento de medida é
considerado apropriado quando a sua variabilidade não exceder de 30% da variabilidade do
processo ( 1C <0,3). Nestes casos, o efeito do erro de mensuração no desempenho do gráfico é
pequeno (isto é percebido nas Figuras 3 e 4, pela proximidade das linhas correspondentes a
1C =0 e 1C =0,3).
1
10
100
0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
δδδδ
NMA
C1=0
C1=0,3
C1=1,0
Esc
ala
loga
rítm
ica
Figura 3. Efeito do erro de mensuração no NMA, m=1, n=4.
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1
10
100
0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
δδδδ
NMA
C1=0
C1=0,3
C1=1,0
Esc
ala
loga
rítm
ica
Figura 4. Efeito do erro de mensuração no NMA, m=4, n=4.
2.2 Dados Auto correlacionados
Para se utilizar um gráfico de controle convencional (de Shewhart) é necessário que as
observações da característica de qualidade de interesse sejam independentes e normalmente
distribuídas. Satisfeitas estas condições, então é possível fazer uso destes dispositivos
estatísticos para tomar decisões sobre o estado do processo: se em controle ou se fora de
controle.
Se a hipótese de normalidade for ligeira ou moderadamente violada, ainda assim os
gráficos convencionais funcionam razoavelmente bem; entretanto, quando os valores da
característica de qualidade possuem alguma interdependência, ou autocorrelação, mesmo que
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em grau relativamente pequeno, o risco α — probabilidade de uma observação cair fora dos
limites do gráfico, com o processo em controle — aumenta, e compromete a credibilidade deste
dispositivo pela ocorrência de um número elevado de alarmes falsos.
De fato, Shewhart, ao criar os gráficos de controle, estava destinando-os à indústria de
partes discretas, com quase ou nenhum grau de automação. Em tais processos, a condição de
independência das observações geralmente era satisfeita. Hoje em dia, porém, processos
contínuos e por batelada são extremamente freqüentes, principalmente (embora não
exclusivamente) na indústria química e na indústria metalúrgica. Tais processos raramente
produzem observações independentes, de modo que não podem ser monitorados pelos
gráficos de controle convencionais.
Esse problema não se restringe a processos contínuos e por batelada: processos
discretos altamente automatizados, freqüentes hoje em dia, também costumam produzir dados
autocorrelacionados. É, portanto importante antes de iniciar o monitoramento de um processo,
identificar se ele produz observações independentes ou se é autocorrelacionado, pois um
gráfico de controle inadequado, que produza alarmes falsos em excesso, acabará sendo
descartado, ou pior, mantido apenas para cumprir alguma exigência formal; os alarmes são
simplesmente ignorados pelo pessoal envolvido com o processo.
O exemplo a seguir foi extraído do livro de Costa, Epprecht e Carpinetti (2005). A coluna
“Xi” da Tabela 2 registra os valores de 150 medições sucessivas (espaçadas de 3 minutos) da
temperatura de um banho químico, cujo valor-alvo é 225°C. A primeira medida foi efetuada às
8:00h, a segunda, às 8:03h, e assim por diante. Para melhor visualização, a Figura 5 apresenta o
gráfico da temperatura do banho químico em função do tempo. As demais colunas da Tabela 2
foram construídas deslocando as observações da 1o coluna: o 1º elemento da 2ª coluna é o 2º
elemento da 1ª coluna, o 1º elemento da 3ª coluna é o 2º elemento da 2ª coluna, que por sua
vez é o 3º elemento da 1ª coluna, e assim por diante.
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Tabela 2. Série de Medidas da Temperatura de um Banho Químico.