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M
a1
a2
1
a2
1
0
1
0
0
:= T Co M⋅( )1−
:= kc1 submatrix aa a−( )T
0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=
Co
0
0
1
0
1
2
1
2
4
= M
0
2−
1
2−
1
0
1
0
0
= T
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
kc kc1:= kc1 34 45 16( )=
Verificación
A1 A b kc⋅−:= b1 b:= c1 c d kc⋅−:= d1 d:= ==> sistema resultante
eigenvals A1( )2− i+
2− i−
10−
= c s identity 3( )⋅ A−( )1−
⋅ b⋅ simplify3 4 s⋅+ s
2+
s3
2 s2
⋅− 16+
→ c1 s identity 3( )⋅ A1−( ) 1−⋅ b1⋅ simplify
3 4 s⋅+ s2
+
s3
14 s2
⋅+ 45 s⋅+ 50+
→
Controlador de Estados SISO
Problema Ilustrar en sistemas SISO el uso de controladores de estado.
Caso 1 Primero se estudia el diseño a partir de un sistema dado en su F. de T..
162
34
)(
)()(
23
2
LA+−
++==
ss
ss
su
sysh El polinomio característico: pa s( ) s
32 s
2⋅− 16+:= a pa s( ) coeffs s,
16
0
2−
1
→:=
Una realización es la FCC A
0
0
a0
−
1
0
a1
−
0
1
a2
−
:= b
0
0
1
:= c 3 4 1( ):= d 0:= eigenvals A( )
2−
2 2i+
2 2i−
=
El polinomio característico deseado es
pd s( ) s 2− j+( )−[ ] s 2− j−( )−[ ]⋅ s 10−( )−[ ]⋅:= aa pd s( ) coeffs s,
50
45
14
1
→:=
El controlador
Co augment b A b⋅, A2b⋅,( ):=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 1 de 29 Control Multivariable - 543 760
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f 0:=A
0
0
k
n−km
La
⋅
0
0
k−
0
1−
n2Jm⋅
1
Jl
0
0
km
Jm n⋅
0
0
Ra−
La
:=
b
0
0
0
1
La
:= e
0
1−
Jl
0
0
:= c 0 1 0 0( ):= d 0:= eigenvals A( )
3.721− 103−
× 171.317i+
3.721− 103−
× 171.317i−
2.474−
21.519−
=
Co augment b A b⋅, A2b⋅, A
3b⋅,( ):=
pa s( ) s identity 4( )⋅ A−:= pd s( ) s 2+ j 2⋅+( ) s 2+ j 2⋅−( )⋅ s 25+( ) s 25+( )⋅:= a pa s( )float 10,
coeffs s,
1562500.000
704166.6667
29402.77778
24.0
1
→:=
aa pd s( ) coeffs s,
5000
2900
833
54
1
→:= M
a1
a2
a3
1
a2
a3
1
0
a3
1
0
0
1
0
0
0
:= T Co M⋅( )1−
:= kc1 submatrix aa a−( )T
0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=
kc kc1:= kc 274.27− 273.672 30.364− 1.5( )=
eigenvals A b kc⋅−( )
2− 2i+
2− 2i−
25− 0.011i+
25− 0.011i−
= Los valores propios de la representación resultante.
Caso 2 Ahora se considera tener la representación en
variables de estado del motor con eje flexible.
ω1 0:= ω2 0:= k 500:=
km 0.05:= tl 4:= n 12:=
Jl 0.02:= La 50 103−
⋅:= Ra 1.2:=
Jm 8 104−
⋅:= tdu 3:= tdl 8:= p t( ) tl 1 0.001Φ t tdl−( )−( )⋅:=
x0 ωr= x1 ωl= x2 tr= x3 ia=
Los valores propios de la representación original.
Capítulo IV - Controladores y Observadores 2 de 29 Control Multivariable - 543 760
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0 5 103.988
3.994
4
4.006
4.012p
0 5 10100
0
100
200ia
0 5 1010
0
10
20tr
0 5 100
2000
4000wl
0 5 100
2000
4000wr
0 5 10103.5
103
102.5uex
Za rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=
CI
314.159
314.159
4
6.667
=CI A b kc⋅−( ) 1−b− uex 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=D t x,( ) A
x0
x1
x2
x3
⋅ b uex t( ) kc
x0
x1
x2
x3
⋅−
⋅+ e p t( )⋅+:=
uex t( ) uex0 1 .0031− Φ t tdu−( )−( )⋅:=
uex0 Ini4
:=m 0 nf..:=nf 500:=tf 12:=
Simulación.
Ini
314.159
314.159
4
6.667
102.854−
=Ini augment augment A b kc⋅− b,( )( )T augment c d kc⋅− d,( )( )T,
T
1−
augment e− p 0( )⋅( )T
30002 π⋅
60⋅,
T
⋅:=
Condiciones iniciales y entrada externa para tener 3000 rpm en la velocidad de carga como CI en la salida,
considerando la perturbación p = 4, para t = 0.
Capítulo IV - Controladores y Observadores 3 de 29 Control Multivariable - 543 760
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rank Co1( ) 2=
Co2 augment B1⟨ ⟩
A B1⟨ ⟩⋅, A
2B
1⟨ ⟩⋅,( ):= rank Co2( ) 2=
Diseño del
ControladorQ augment B
0⟨ ⟩A B
0⟨ ⟩⋅, B1⟨ ⟩,( ):= rank Q( ) 3= Diseño del controlador.
Kc1
0
0
0
1−
0
0
Q
1−⋅:= Kc1
0
1−
0
0
0
0
=
Nuevas raíces debido a Kc1.
pa s( ) s identity 3( )⋅ A B Kc1⋅−( )−:= pa s( ) s3
4 s2
⋅+ 7 s⋅+ 4+→
+C∫∫∫∫+
A
B
D
xx& yu
+
Kc1
v
planta
-+
Mc
uex
-a pa s( ) coeffs s,
4
7
4
1
→:=
polyroots a( )
1.5− 1.323i−
1.5− 1.323i+
1−
= M
a1
a2
1
a2
1
0
1
0
0
:= M
7
4
1
4
1
0
1
0
0
=
Controlador de Estados MIMO
Problema Ilustrar en sistemas MIMO el uso de controladores de estado. Raíces deseadas.
Parámetros
A
1
2
4
1
0
2
2−
2−
5−
:= B
0
1
0
0
0
1
:= C1
1−
0
0
0
1
:= pd s( ) s 2+ 2 j⋅+( ) s 2+ 2 j⋅−( )⋅ s 10+( )⋅:= aa pd s( ) coeffs s,
80
48
14
1
→:=
pa s( ) s identity 3( )⋅ A−:= pa s( ) s3
4 s2
⋅+ 5 s⋅+ 2+→ a pa s( ) coeffs s,
2
5
4
1
→:= polyroots a( )
2−
1−
1−
=
Raíces del sistema.
Co augment B A B⋅, A2B⋅,( ):= rank Co( ) 3= Sistema Controlable pero por
ambas entradas.
Co1 augment B0⟨ ⟩
A B0⟨ ⟩⋅, A
2B
0⟨ ⟩⋅,( ):=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 4 de 29 Control Multivariable - 543 760
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+C∫∫∫∫+
A
B
D
xx& yu
+
Kc1
v
planta
-+
Mc
uex
-
Valores propios originales.eigenvals A( )
1−
2−
1−
=
eigenvals A B Kc⋅−( )2− 2i+
2− 2i−
10−
=Nuevos valores propios producto
del controlador resultante.
Kc
49−
1−
10
0
25
0
=Kc Mc Kc1+:=
Mc
49−
0
10
0
25
0
=Mc augment mc1T
0 0 0( )T,
T
:=
mc1 49− 10 25( )=mc1 submatrix aa a−( )T
0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=
aa0 v0
:=aa1 v1
:=aa2 v2
:=aa3 v3
:=
Polinomio deseado.v
80
48
14
1
:=s3
14 s2
⋅+ 48 s⋅+ 80+
T
2−
3
2−
0
0
1
1
1−
1−
=T Co M⋅( )1−
:=
Co
0
1
0
1
0
2
3−
2−
5−
=Co augment B0⟨ ⟩
A B Kc1⋅−( ) B 0⟨ ⟩⋅, A B Kc1⋅−( )2 B0⟨ ⟩⋅,
:=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 5 de 29 Control Multivariable - 543 760
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Simulación
sin y con
controlador
nf 500:= n 0 nf..:= tf 8:=uex t( )
0
1− Φ t 1−( )⋅
:=
D t x,( ) A
x0
x1
x2
⋅ B uex t( )⋅+:= CI A1−
B− uex 0( )⋅( )⋅:= Za rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=
D t x,( ) A B Kc⋅−( )
x0
x1
x2
⋅ B uex t( )⋅+:= CI A B Kc⋅−( ) 1−B− uex 0( )⋅( )⋅:= Za2 rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=
0 50
1
x1
0 50
1
x2
0 51
0
1
x3
0 52
0
uex1
0 52
0
uex2
Capítulo IV - Controladores y Observadores 6 de 29 Control Multivariable - 543 760
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f 0:= d 0:= c 0 1 0 0( ):=A
0
0
k
n−km
La
⋅
0
0
k−
0
1−
n2Jm⋅
1
Jl
0
0
km
Jm n⋅
0
0
Ra−
La
:=
b
0
0
0
1
La
:= e
0
1−
Jl
0
0
:=
Los valores propios de la representación original.
eigenvals A( )T
3.721− 103−
× 171.317i+ 3.721− 103−
× 171.317i− 2.474− 21.519−( )=
Ap augment augment A submatrix 0 identity 4( )⋅ 0, 3, 0, 0,( ),( )T
augment c 0 identity 1( )⋅,( )T,( )T:=
bp augment bT
0 identity 1( )T⋅,( )T:= cp augment c 0 identity 1( )⋅,( ):= ep augment e
T0,( )T:= dp 0:= fp 0:=
Los valores propios de la representación con un integrador. eigenvals Ap( )T 0 3.721− 103−
× 171.317i+ 3.721− 103−
× 171.317i− 2.474− 21.519−( )=
Diseño del
Controlador
de Estados
Co augment bp Ap bp⋅, Ap2bp⋅, Ap
3bp⋅, Ap
4bp⋅,
:= Co 7.359 10
20×= rank Co( ) 5=
pa s( ) s identity 5( )⋅ Ap−:= pd s( ) s 2+ j 2⋅+( ) s 2+ j 2⋅−( )⋅ s 25+( )3
:=
Controlador de Estados con Integradores
Problema Ilustrar el uso de integradores en conjunto con
un controlador de estados como alternativa de
compensación de perturbaciones.
Parámetros Ahora se considera tener la representación en
variables de estado del motor con eje flexible.
ω1 0:= ω2 0:= k 500:= Jl 2 102−
⋅:= La 50 103−
⋅:= Ra 1.2:=
km 0.05:= tl 4:= n 12:= Jm 8 104−
⋅:= tdu 3:= tdl 8:= p t( ) tl 1 0.01Φ t tdl−( )−( )⋅:=
x0 ωr= x1 ωl= x2 tr= x3 ia=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 7 de 29 Control Multivariable - 543 760
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0 5 102900
2950
3000
3050z1
0 5 10100
0
100
200ia
0 5 1010
0
10
20tr
0 5 103.95
3.97
3.98
4
4.01p
0 5 100
2000
4000wl
0 5 100
2000
4000wr
0 5 100
2000
4000yd
Za rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=D t x,( ) Ap bp kc⋅−( ) x0
x1
x2
x3
x4( )T⋅ 0 0 0 0 1( )
Tyd t( )⋅− ep p t( )⋅+:=
CI Ap bp kc⋅−( ) 1−0 0 0 0 1( )
Tyd 0( )⋅ ep p 0( )⋅−
⋅:=m 0 nf..:=nf 500:=tf 12:=Simulación
yd t( ) 30002 π⋅
60⋅ 1600
2 π⋅
60⋅ Φ t 3−( )⋅−:=
Referencia y condiciones iniciales para tener 3000 rpm en la velocidad de carga como
CI, considerando la perturbación p = 4, para t = 0.
Los valores propios de la representación resultante.eigenvals Ap bp kc⋅−( )T 25.175− 24.912− 0.154i+ 24.912− 0.154i− 2− 2i+ 2− 2i−( )=
kc 261.31− 260.74 44.048− 2.75 0.048( )=kc kc1:=
kc1 submatrix aa a−( )T
0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=T Co M⋅( )1−
:=
M
a1
a2
a3
a4
1
a2
a3
a4
1
0
a3
a4
1
0
0
a4
1
0
0
0
1
0
0
0
0
:=aa pd s( ) coeffs s,
125000
77500
23725
2183
79
1
→:=a pa s( )float 10,
coeffs s,
0
1562500.000
704166.6667
29402.77778
24.0
1
→:=+C∫∫∫∫+
A
B
D
xx& yu
+
Kc
uex
planta
-
∫∫∫∫+
zz&yd
-
[x T z T]
T
Capítulo IV - Controladores y Observadores 8 de 29 Control Multivariable - 543 760
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H s( )
1
s2
0
0
1
s
=
+ C ∫∫∫∫ +
A
B
D
x x& y u
+
F
uex
planta
- G
planta desacoplada
H s( ) C D F_⋅−( ) s identity 3( )⋅ A− B F_⋅+( )1−
⋅ B⋅ G_⋅= factor H s( )
1
s2
0
0
1
s
=→Verificación
F_1
3
1−
1
0
3−
=G_1
0
2
1
=C_5−
3
3−
1
6
3−
=B_1
0
2−
1
=
F_ B_1−C_⋅:=G_ B_
1−:=C_ augment C
T( ) 0⟨ ⟩T
Av1
⋅
T
CT( ) 1⟨ ⟩T
Av2
⋅
T
,
T
:=
B_ augment CT( ) 0⟨ ⟩T
Av1 1−
⋅ B⋅
T
CT( ) 1⟨ ⟩T
Av2 1−
⋅ B⋅
T
,
T
:=
v2 1:===>CT( ) 1⟨ ⟩T
A0
⋅ B⋅ 0 1( )=
v1 2:===>CT( ) 0⟨ ⟩T
A1
⋅ B⋅ 1 2−( )=CT( ) 0⟨ ⟩T
A0
⋅ B⋅ 0 0( )=Diseño del
Desacoplador
D0
0
0
0
:=C1
1−
0
0
0
1
:=B
0
1
0
0
0
1
:=A
1
2
4
1
0
2
2−
2−
5−
:=Parámetros
Ejemplo numérico.Sistema
Ilustrar la utilización del controlador de estados para el desacoplo de sistemas MIMO.Problema
Desacoplador de Estados
Capítulo IV - Controladores y Observadores 9 de 29 Control Multivariable - 543 760
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x3 ωm1=
x4 ωm2= x5 tm1= x6 tm2=
e
0
0
1−
Jo
0
0
0
0
:=B
1
La1
0
0
0
0
0
0
0
1
La2
0
0
0
0
0
:=A
Ra1−
La1
0
0
km1
Jm1
0
0
0
0
Ra2−
La2
0
0
km2
Jm2
0
0
0
0
0
0
0
n− k1⋅
n− k2⋅
km1−
La1
0
0
0
0
k1
0
0
km2−
La2
0
0
0
0
k2
0
0
n
Jo
1−
Jm1
0
0
0
0
0
n
Jo
0
1−
Jm2
0
0
:=
C0
1
0
1−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
:= D0
0
0
0
:=
Diseño del
DesacopladorCT( ) 0⟨ ⟩T
A0
⋅ B⋅ 0 0( )= CT( ) 0⟨ ⟩T
A1
⋅ B⋅ 0 0( )= CT( ) 0⟨ ⟩T
A2
⋅ B⋅ 0 0( )= CT( ) 0⟨ ⟩T
A3
⋅ B⋅ 1.286 104
× 1.286 104
×( )= ==> v1 4:=
CT( ) 1⟨ ⟩T
A0
⋅ B⋅ 20 20−( )= ==> v2 1:=
+ va1 -
ia1 ωm1, θ1, Jm1, tm1
ωo, θo, Jo, to
n : 1 1/k1
+ va2 -
ia2 ωm2, θ2, Jm2, tm2
n : 1
1/k2
Desacoplador de Estados
Problema Ilustrar la utilización del controlador de
estados para el desacoplo de sistemas
MIMO.
Sistema Doble Motor de c.c. con ejes flexibles.
Parámetros k1 75000:= k2 75000:= km1 6:=
La1 50 103−
⋅:= La2 50 103−
⋅:= Ra1 0.2:=
km2 6:= Jm1 1:= Jm2 1:=
Ra2 0.2:= Jo 10000:= n1
0.07:=
x0 ia1= x1 ia2= x2 ωo=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 10 de 29 Control Multivariable - 543 760
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h22 s( )1
s:=
h11 s( )1
s4
:=
H s( )
h11 s( )
0
0
h22 s( )
=Coeficientes
de H(s)
0.01 0.1 1 10600
400
200
0
200
Magnitud, h22
35.964−23.796
0.01 0.1 1 10600
400
200
0
200
Magnitud, h21
0.01 0.1 1 10600
400
200
0
200
Magnitud, h12
0.01 0.1 1 10600
400
200
0
200
Magnitud, h11 143.854−
95.826
h22_mod n( ) 20 log C D F_⋅−( ) w n( ) j⋅ identity 7( )⋅ A− B F_⋅+( )1−
⋅ B⋅ G_⋅ 1 1,
⋅:=
h21_mod n( ) 20 log C D F_⋅−( ) w n( ) j⋅ identity 7( )⋅ A− B F_⋅+( )1−
⋅ B⋅ G_⋅ 1 0,
⋅:=
h12_mod n( ) 20 log C D F_⋅−( ) w n( ) j⋅ identity 7( )⋅ A− B F_⋅+( )1−
⋅ B⋅ G_⋅ 0 1,
⋅:=
h11_mod n( ) 20 log C D F_⋅−( ) w n( ) j⋅ identity 7( )⋅ A− B F_⋅+( )1−
⋅ B⋅ G_⋅ 0 0,
⋅:=
Bode de los
Coeficientes
de H(s)
w m( ) 2 π⋅ frec m( )⋅:=frec m( ) fmin 10m ratio⋅
⋅:=ratio logfmax
fmin
1
mmax
⋅:=
fmax 101
:=fmin 102−
:=m 0 mmax..:=mmax 250:=H s( ) C D F_⋅−( ) s identity 7( )⋅ A− B F_⋅+( )1−
⋅ B⋅ G_⋅=Verificación
F_ B_1−C_⋅:=G_ B_
1−:=C_ augment C
T( ) 0⟨ ⟩T
Av1
⋅
T
CT( ) 1⟨ ⟩T
Av2
⋅
T
,
T
:=B_ augment CT( ) 0⟨ ⟩T
Av1 1−
⋅ B⋅
T
CT( ) 1⟨ ⟩T
Av2 1−
⋅ B⋅
T
,
T
:=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 11 de 29 Control Multivariable - 543 760
Page 12
© UdeC - DIE
Co augment b_ A_ b_⋅, A_2b_⋅,( ):= M
a1
a2
1
a2
1
0
1
0
0
:= T Co M⋅( )1−
:= kc1 submatrix aa a−( )T
0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:= kc kc1:= ko kcT:=
Co
1
0
0
1−
1−
2
9−
7
10−
= M
31
8
1
8
1
0
1
0
0
= T
0
0
1
0.5
1.5−
3.5
0.25
0.25−
1.75−
= kc1 1 8 1−( )= kc 1 8 1−( )= ko
1
8
1−
=
Verificación de los valores propios del observador. Simulación del sistema y observador de orden completo.
u t( ) 1 Φ t 3−( )+:= tf 6:= nf 200:= m 0 nf..:=
eigenvals A ko c⋅−( )2− 2i+
2− 2i−
5−
=
D t x,( ) augment A
x0
x1
x2
⋅ b u t( )⋅+
T
A
x3
x4
x5
⋅ ko c⋅
x0
x1
x2
x3
x4
x5
−
⋅+ b u t( )⋅+
T
,
T
:=
Observador de Estados SISO
Problema Ilustrar en sistemas SISO el uso de observadores de estado.
Caso 1 Primero se estudia el diseño a partir del modelo en variables de estado
A
1−
2
4−
1−
2−
2
2
2−
5−
:= b
1
2−
0
:= c 1 0 0( ):= d 0:= Se redefine el sistema a analizar como:
A_ AT:= b_ c
T:=
Se obtiene el polinomio actual:
pa s( ) s identity 3( )⋅ A_−:= a pa s( ) coeffs s,
40
31
8
1
→:= eigenvals A_( )
2.906− 3.137i+
2.906− 3.137i−
2.188−
= pa s( ) 8 s2
⋅ 31 s⋅+ s3
+ 40+→
El polinomio característico deseado es
pd s( ) s 2− 2j+( )−[ ] s 2− 2j−( )−[ ]⋅ s 5−( )−[ ]:= aa pd s( ) coeffs s,
40
28
9
1
→:=
El observador
Capítulo IV - Controladores y Observadores 12 de 29 Control Multivariable - 543 760
Page 13
© UdeC - DIEZa rkfixed 0.5− 0 0 0 0 0( )T
0, tf, nf, D,
:=
0 2 4 61
0
1x1
0 2 4 6
1
0
x2
0 2 4 61
0.5
0
0.5x3
0 2 4 61
0
1x1 aprox
0 2 4 6
1
0
x2 aprox
0 2 4 61
0.5
0
0.5x3 aprox
0 2 4 60.5
0
0.5x1 - x1 aprox
0
0 2 4 60.2
0
0.2
0.4
0.6x2 - x2 aprox
0
0 2 4 60
1
2
3u
Capítulo IV - Controladores y Observadores 13 de 29 Control Multivariable - 543 760
Page 14
© UdeC - DIE
b
0
0
0
1
La
:= e
0
1−
Jl
0
0
:= c 0 1 0 0( ):= d 0:=
Los valores propios
de la representación
original.A_ A
T:= b_ cT:= eigenvals A_( )
3.721− 103−
× 171.317i+
3.721− 103−
× 171.317i−
21.519−
2.474−
= Co augment b_ A_ b_⋅, A_2b_⋅, A_
3b_⋅,( ):=
pa s( ) s identity 4( )⋅ A_−:= pd s( ) s 100+ j 100⋅+( ) s 100+ j 100⋅−( )⋅ s 10+( )2
:=
a pa s( )float 10,
coeffs s,
1562500.000
704166.6667
29402.77778
24.0
1
→:= aa pd s( ) coeffs s,
2000000
420000
24100
220
1
→:= M
a1
a2
a3
1
a2
a3
1
0
a3
1
0
0
1
0
0
0
:=
Los valores propios del observador de
orden completo.
T Co M⋅( )1−
:= kc1 submatrix aa a−( )T
0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=
kc kc1:= kc 36.278− 196 200.136− 18.532( )= ko kcT:= ko
36.278−
196
200.136−
18.532
= eigenvals A ko c⋅−( )
100− 100i+
100− 100i−
10− 1.056i 103−
×+
10− 1.056i 103−
×−
=
Caso 2 Ahora se considera tener la representación en
variables de estado del motor con eje flexible.
ω1 0:= ω2 0:= k 500:= Jl 0.02:= La 50 103−
⋅:= Ra 1.2:=
km 0.05:= tl 4:= n 12:= Jm 8 104−
⋅:= tdu 2:= tdl 5:=
x0 ωr= x1 ωl= x2 tr= x3 ia=
f 0:=p t( ) tl 1 1Φ t tdl−( )−( )⋅:=
A
0
0
k
n−km
La
⋅
0
0
k−
0
1−
n2Jm⋅
1
Jl
0
0
km
Jm n⋅
0
0
Ra−
La
:=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 14 de 29 Control Multivariable - 543 760
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© UdeC - DIE
0 2 4 60
2000
4000wl aprox
0 2 4 60
2000
4000wr aprox
0 2 4 60
5
p
0 2 4 6100
50
0
50ia
0 2 4 65
0
5
10tr
0 2 4 60
2000
4000wl
0 2 4 60
2000
4000wr
0 2 4 60
200
u
Za rkfixed augment CIT
0 0 0 0( ), T
0, tf, nf, D,
:=D t x,( ) augment A
x0
x1
x2
x3
⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+
T
A
x4
x5
x6
x7
⋅ ko c⋅
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
−
⋅+ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+
T
,
T
:=
m 0 nf..:=nf 500:=tf 6:=
Simulación.
CI A1−
b− u 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=u t( ) u0 11
2Φ t tdu−( )⋅−
⋅:=u0 30002 π⋅
60⋅ n⋅ km⋅:=
Condiciones iniciales y entrada externa para tener 3000 rpm en la velocidad de carga como CI en la salida,
considerando la perturbación p = 4, para t = 0.
Capítulo IV - Controladores y Observadores 15 de 29 Control Multivariable - 543 760
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© UdeC - DIE
ko ko1 ko2( ):= Se escoge ko para tener el observador
con un polo en -2:
Auu ko Amu⋅− 2−= Verificación de los valores propios del
observador.u t( ) 1 Φ t 3−( )+:= Simulación.
tf 6:= mf 200:= m 0 mf..:= a1 Auu ko Amu⋅−:= a2 Auu ko⋅ Aum+ ko Amm⋅− ko Amu⋅ ko⋅−:=
D t x,( ) stack A
x0
x1
x2
⋅ b u t( )⋅+
a1 x3
⋅ a2
x0
x1
⋅+ bu ko bm⋅−( ) u t( )⋅+
,
:= Za rkfixed 0.5− 0 0 0( )T
0, tf, mf, D,
:= x3_aprox m( ) Za
m 4,ko
Zam 1,
Zam 2,
⋅+:=
0 2 4 61
0
1x1
0 2 4 61
0.5
0
0.5x2
0 2 4 61
0
1x3
0 2 4 60
0.2
0.4
0.6fi
0 2 4 61
0
1x3, x3 aprox
0 2 4 60
1
2
3u
Observador de Estados SISO de Orden Reducido
Problema Ilustrar en sistemas SISO el uso de observadores de estado. Se considera x1 y x2 disponibles; por lo tanto:
Caso 1 Primero se estudia el diseño a partir del modelo en variables de estado Auu 5−:= Amu
2
2−
:= Aum 4− 2( ):=
A
1−
2
4−
1−
2−
2
2
2−
5−
:= b
1
2−
0
:= c 1 0 0( ):= d 0:= Amm
1−
2
1−
2−
:= bm
1
2−
:= bu 0:=
ko ko1 ko2( ):= ko2 Auu ko Amu⋅− 5− 2 ko1⋅− 2 ko2⋅+→ El valor propio del observador.
ko2 0:= ko1 1.5−:=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 16 de 29 Control Multivariable - 543 760
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© UdeC - DIE
Se considera x1, x2 y x4 disponibles; por lo tanto, se re-ordena la representación del sistema. Es decir,
se permuta x3 por x4.
f 0:=
b
0
0
1
La
0
:= e
0
1−
Jl
0
0
:= c 0 1 0 0( ):= d 0:= Auu 0:= Amu
1−
n2Jm⋅
1
Jl
0
:=
A
0
0
n−km
La
⋅
k
0
0
0
k−
km
Jm n⋅
0
Ra−
La
0
1−
n2Jm⋅
1
Jl
0
0
:=
Aum k k− 0( ):= Amm
0
0
n−km
La
⋅
0
0
0
km
Jm n⋅
0
Ra−
La
:=
ko ko1_ ko2_ ko3_( ):= ko3_Auu ko Amu⋅− float 5, 8.6806 ko1_⋅ 50.000 ko2_⋅−→ El valor propio
del observador.
ko1_ 0:= ko2_ 0.04:= ko3_ 0:= ko ko1_ ko2_ ko3_( ):= Se escoge ko para tener el
observador con un polo en -2: bm
0
0
1
La
:= bu 0:= em
0
1−
Jl
0
:= eu 0:=
Auu ko Amu⋅− 2−= Verificación del valor propio
del observador.
Caso 2 Ahora se considera tener la representación en
variables de estado del motor con eje flexible.
ω1 0:= ω2 0:= k 500:= Jl 0.02:= La 50 103−
⋅:= Ra 1.2:=
km 0.05:= tl 4:= n 12:= Jm 8 104−
⋅:= tdu 2:= tdl 5:=
x0 ωr= x1 ωl= x2 tr= x3 ia=
p t( ) tl 1 1Φ t tdl−( )−( )⋅:=f 0:=
A
0
0
k
n−km
La
⋅
0
0
k−
0
1−
n2Jm⋅
1
Jl
0
0
km
Jm n⋅
0
0
Ra−
La
:=
b
0
0
0
1
La
:= e
0
1−
Jl
0
0
:= c 0 1 0 0( ):= d 0:=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 17 de 29 Control Multivariable - 543 760
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© UdeC - DIE
0 2 4 6
0
10tr y tr aprox
0 2 4 620
10
0fi
0 2 4 60
5
p
0 2 4 6
0
10tr
0 2 4 6100
50
0
50ia
0 2 4 60
2000
4000wl
0 2 4 60
2000
4000wr
0 2 4 60
200
u
x4_aprox m( ) Zam 5,
ko Zam 1,
Zam 2,
Zam 3,
T⋅+:=Za rkfixed augment CI
T0,( )T 0, tf, mf, D,
:=
D t x,( ) stack A
x0
x1
x2
x3
⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+
a1 x4
⋅ a2
x0
x1
x2
⋅+ bu ko bm⋅−( ) u t( )⋅+ eu ko em⋅−( ) p t( )⋅+
,
:=
a2 500 500.08− 0( )=bu ko bm⋅− 0=
a2 Auu ko⋅ Aum+ ko Amm⋅− ko Amu⋅ ko⋅−:=a1 Auu ko Amu⋅−:=m 0 mf..:=mf 500:=tf 6:=
Simulación.
CI A1−
b− u 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=u t( ) u0 11
2Φ t tdu−( )⋅−
⋅:=u0 30002 π⋅
60⋅ n⋅ km⋅:=
Condiciones iniciales y entrada externa para tener 3000 rpm en la velocidad de carga como CI en la salida,
considerando la perturbación p = 4, para t = 0.
Simulación.
Capítulo IV - Controladores y Observadores 18 de 29 Control Multivariable - 543 760
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© UdeC - DIE
rank Co( ) 3= Sistema observable pero por
ambas salidas.
Co1 augment B_0⟨ ⟩
A_ B_0⟨ ⟩⋅, A_
2B_
0⟨ ⟩⋅,( ):= rank Co1( ) 2=
Co2 augment B_1⟨ ⟩
A_ B_1⟨ ⟩⋅, A_
2B_
1⟨ ⟩⋅,( ):= rank Co2( ) 2=
Diseño del
ControladorQ augment B_
0⟨ ⟩A_ B_
0⟨ ⟩⋅, B_1⟨ ⟩,( ):= rank Q( ) 3= Diseño del observador.
+C∫∫∫∫+
A
B
D
xx& yu
planta
+C∫∫∫∫+
A
B
Dx&
observador
x y
x
Ko+-
y
y
Kc1
0
0
0
1−
0
0
Q
1−⋅:= Kc1
0
1−
0
0
0
0
=
Nuevas raíces debido a Kc1.
pa s( ) s identity 3( )⋅ A_ B_ Kc1⋅−( )−:= pa s( ) s3
4 s2
⋅+ 7 s⋅+ 4+→
a pa s( ) coeffs s,
4
7
4
1
→:= polyroots a( )
1.5− 1.323i−
1.5− 1.323i+
1−
=
Observador de Estados MIMO
Problema Ilustrar en sistemas MIMO el uso de observadores de orden completo.
Parámetros
s 2+ 2 j⋅+( ) s 2+ 2 j⋅−( )⋅ s 10+( )⋅ s3
14 s2
⋅+ 48 s⋅+ 80+ Raíces deseadas.A
1
1
2−
2
0
2−
4
2
5−
:= B
1
0
0
1−
0
1
:= C0
0
1
0
0
1
:=
A_ AT:= B_ C
T:= Sistema re-definido como problema
de diseño del controlador de estado
de orden completo.pa s( ) s identity 3( )⋅ A_−:=
a pa s( ) coeffs s,
2
5
4
1
→:= polyroots a( )
2−
1−
1−
= Raíces del sistema.
Co augment B_ A_ B_⋅, A_2B_⋅,( ):=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 19 de 29 Control Multivariable - 543 760
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© UdeC - DIE
0 5 102
0
u2
0 5 101
0.5
0
0.5x3 - x3 aprox.
0 5 100.5
0
0.5x2 - x2 aprox.
0 5 101
0
1
2x1 - x1 aprox.
Za rkfixed 1.5 0 0 0 0 0( )T
0, tf, nf, D,
:=
D t x,( ) augment A
x0
x1
x2
⋅ B u t( )⋅+
T
A
x3
x4
x5
⋅ Ko C⋅
x0
x1
x2
x3
x4
x5
−
⋅+ B u t( )⋅+
T
,
T
:=
u t( )0
1− Φ t 4−( )⋅
:=tf 10:=n 0 nf..:=nf 500:=Simulación
sin y con
controlador
Valores propios del observador.
eigenvals A Ko C⋅−( )2− 2i+
2− 2i−
10−
=Ko
49−
10
25
1−
0
0
=Mc
49−
0
10
0
25
0
=mc1 49− 10 25( )=
Ko KcT:=Kc Mc Kc1+:=Mc augment mc1
T0 0 0( )
T,
T
:=mc1 submatrix aa a−( )T
0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=
Polinomio deseado.aa pd s( ) coeffs s,
80
48
14
1
→:=pd s( ) s 2− 2 j⋅+( )−[ ] s 2− 2 j⋅−( )−[ ]⋅ s 10−( )−[ ]⋅:=
T
2−
3
2−
0
0
1
1
1−
1−
=Co
0
1
0
1
0
2
3−
2−
5−
=M
7
4
1
4
1
0
1
0
0
=T Co M⋅( )1−
:=Co augment B_0⟨ ⟩
A_ B_ Kc1⋅−( ) B_ 0⟨ ⟩⋅, A_ B_ Kc1⋅−( )2 B_0⟨ ⟩⋅,
:=M
a1
a2
1
a2
1
0
1
0
0
:=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 20 de 29 Control Multivariable - 543 760
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© UdeC - DIE
ko ko1 ko2( ):= Auu ko Amu⋅− 1.5→
Se escoge ko para tener el observador con un polo en -2:
ko1 0:= ko2 1:= ko ko1 ko2( ):= u t( ) Φ t 3−( ) 0( )T:=
Simulación tf 6:= mf 200:= m 0 mf..:= a1 Auu ko Amu⋅−:= a2 Auu ko⋅ Aum+ ko Amm⋅− ko Amu⋅ ko⋅−:=
D t z,( ) stack A
z0
z1
z2
⋅ B u t( )⋅+
a1 z3
⋅ a2
z0
z1
⋅+ bu ko Bm⋅−( ) u t( )⋅+
,
:=Za rkfixed 0 0 5 0( )
T0, tf, mf, D,
:= z3_aprox m( ) Za
m 4,ko
Zam 1,
Zam 2,
⋅+:=
0 2 4 60
0.5
1
1.5x1
0 2 4 60
2
4
6x2
0 2 4 60
1
2
3x3
0 2 4 60
0.2
0.4
0.6fi
0 2 4 60
2
4
6x2, x2 aprox
0 2 4 60
1
2u
Observador de Estados MIMO de Orden Reducido
Problema Ilustrar en sistemas MIMO el uso de observadores de estado.Se considera y1 e y2 disponibles, entonces debe identificarse sólo x2;
por lo tanto, se re-define el sistema:Sistema Primero se estudia el diseño a partir del modelo en variables de estado
A
1
2
4
1
0
2
2−
2−
5−
:= B
0
1
0
0
0
1
:= C1
1−
0
0
0
1
:= D0
0
0
0
:= A
1
4
2
2−
5−
2−
1
2
0
:= B
0
0
1
0
1
0
:= C1
1−
0
1
0
0
:= D0
0
0
0
:=
Diseño
Auu 0:= Amu
1
2
:= Aum 2 2−( ):= Amm
1
4
2−
5−
:= Bm
0
0
0
1
:= bu 1 0( ):= El valor propio del observador.
Capítulo IV - Controladores y Observadores 21 de 29 Control Multivariable - 543 760
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0 2 4 65
0
5
10z3 ó x2
0 2 4 65
0
5z2 ó x3
0 2 4 65
0
5z1 ó x1
Za rkfixed 0 2− 0( )T
0, tf, mf, D,
:=D t z,( ) A
z0
z1
z2
⋅ B uex t( ) Kc
z0
z1
z2
⋅−
⋅+:=
m 0 mf..:=mf 200:=tf 6:=uex t( ) 80 Φ t 3−( )⋅ 0( )T:=Simulación
Kc
49−
1−
25
0
10
0
:=Kc
49−
1−
10
0
25
0
:=
El controlador original y el modificado de acuerdo a la nueva definición de varaibles de estado son:
D0
0
0
0
:=C1
1−
0
1
0
0
:=B
0
0
1
0
1
0
:=A
1
4
2
2−
5−
2−
1
2
0
:=
Dado que el observador necesita reordenar las variables de estado, se redefine el sistema:Caso 1
D0
0
0
0
:=C1
1−
0
0
0
1
:=B
0
1
0
0
0
1
:=A
1
2
4
1
0
2
2−
2−
5−
:=
Primero se estudia el diseño a partir del modelo en variables de estadoSistema
Ilustrar el uso de observadores de estado en la implementación de un controlador de estados.Problema
Controlador basado en un Observador de Estados
Capítulo IV - Controladores y Observadores 22 de 29 Control Multivariable - 543 760
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tf 6:= mf 200:= m 0 mf..:= a1 Auu ko Amu⋅−:= a2 Auu ko⋅ Aum+ ko Amm⋅− ko Amu⋅ ko⋅−:=
D t z,( ) augment A
z0
z1
z2
⋅ B uex t( ) Kc
z0
z1
z3
z1
+
⋅−
⋅+
T
a1 z3
⋅ a2
z0
z1
⋅+ a3 uex t( ) Kc
z0
z1
z3
z1
+
⋅−
⋅+
,
T
:=
bu ko Bm⋅− 1 1−( )=Zb rkfixed 0 2− 0 0( )
T0, tf, mf, D,
:= z3_aprox m( ) Zb
m 4,ko
Zbm 1,
Zbm 2,
⋅+:=
0 2 4 61
0
1
2z1 ó x1
0 2 4 65
0
5z2 ó x3
0 2 4 65
0
5
10z3 ó x2
0 2 4 61
0
1
2y1
0 2 4 61
0
1
2y1
0 2 4 62
0
2
4y2
0 2 4 60
50
100uex1
Caso 2 Se utiliza un observador para identificar z3 (ó x2) y utilizarlo en el controlador de estados.
Auu 0:= Amu
1
2
:= Aum 2 2−( ):= Amm
1
4
2−
5−
:= Bm
0
0
0
1
:= bu 1 0( ):=
ko1 0:= ko2 1:= ko ko1 ko2( ):= Se escoge ko para tener el observador
con un polo en -2:
Simulación uex t( ) 80 Φ t 3−( )⋅ 0( )T:= a3 bu ko Bm⋅−:=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 23 de 29 Control Multivariable - 543 760
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0 2 4 62
0
2
4y2
0 2 4 60
50
100uex1
0 2 4 65
0
5
10fi
0 2 4 65
0
5
10z3, z3 aprox ó x2, x2 aprox
Comparación Las líneas rojas son el sistema con controlador de estado asumiendo todas las variables de estado
disponibles. Las líneas azules son el sistema con controlador de estados asumiendo sólo las salidas y1 e
y2 disponibles (z1 y z2 disponibles ó x1 y x3 disponibles).
0 2 4 61
0
1
2z1 ó x1
0 2 4 65
0
5z2 ó x3
0 2 4 65
0
5
10z3 ó x2
0 2 4 61
0
1
2y1
0 2 4 62
0
2
4y2
0 2 4 60
50
100uex1
Capítulo IV - Controladores y Observadores 24 de 29 Control Multivariable - 543 760
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f 0:=
c 0 1 0 0( ):= d 0:=
Caso 1 Se identificará la perturbación y todas las variables de estado.
Sistema extendido.
Ap augment augment A e,( )T
0 0 0 0 0( )T,( )T:= bp augment b
T0,( )T:= cp augment c 0,( ):= A_ Ap
T:= b_ cpT:=
Sistema re-definido para utilizar el
algoritmo de diseño de
controladores de estado.
Co augment b_ A_ b_⋅, A_2b_⋅, A_
3b_⋅, A_
4b_⋅,( ):=
pa s( ) s identity 5( )⋅ A_−:= pd s( ) s 100+ j 100⋅+( ) s 100+ j 100⋅−( )⋅ s 10+( )3
:=
a pa s( )coeffs s,
float 10,
0
1562500.000
704166.6667
29402.77778
24.0
1.
→:= aa pd s( ) coeffs s,
20000000
6200000
661000
26300
230
1
→:= M
a1
a2
a3
a4
1
a2
a3
a4
1
0
a3
a4
1
0
0
a4
1
0
0
0
1
0
0
0
0
:=
T Co M⋅( )1−
:= kc1 submatrix aa a−( )T
0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=
kc kc1:= kc 30.281− 206 164.776− 7.812 3.84−( )= ko kcT:=
Observador de Perturbaciones
Problema Ahora se considera tener la representación en
variables de estado del motor con eje flexible y se
desea identificar el torque de carga p = tl.
ω1 0:= ω2 0:= k 500:= Jl 0.02:= La 50 103−
⋅:= Ra 1.2:=
km 0.05:= tl 4:= n 12:= Jm 8 104−
⋅:= tdu 2:= tdl 5:=
x0 ωr= x1 ωl= x2 tr= x3 ia=
p t( ) tl 1t tdl−( ).5
Φ t tdl−( )−t 5.5−( )
.5Φ t 5.5−( )+
⋅:=
A
0
0
k
n−km
La
⋅
0
0
k−
0
1−
n2Jm⋅
1
Jl
0
0
km
Jm n⋅
0
0
Ra−
La
:=
b
0
0
0
1
La
:= e
0
1−
Jl
0
0
:=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 25 de 29 Control Multivariable - 543 760
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0 55
0
5
p - p aprox.
0 5100
50
0
50ia - ia aprox.
0 55
0
5
10tr - tr aprox.
0 50
2000
4000wl - wl aprox.
0 50
2000
4000wr - wr aprox.
0 50
200
u
rad_rpm60
2 π⋅:=
Za rkfixed augment CIT
0 0 0 0 0( ), T
0, tf, nf, D,
:=
D t x,( ) augment A
x0
x1
x2
x3
⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+
T
Ap
x4
x5
x6
x7
x8
⋅ ko c⋅
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
−
⋅+ bp u t( )⋅+
T
,
T
:=
Simulación.
t 0tf
nf
, tf..:=m 0 nf..:=nf 500:=tf 8:=CI A1−
b− u 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=u t( ) u0 11
2Φ t tdu−( )⋅−
⋅:=u0 30002 π⋅
60⋅ n⋅ km⋅:=
Condiciones iniciales y entrada externa para tener 3000 rpm en la velocidad de carga como CI en la salida,
considerando la perturbación p = 4, para t = 0.
Los valores propios del observador de
orden completo.eigenvals Ap ko cp⋅−( )T 100− 100i+ 100− 100i− 10.09− 9.955− 0.078i+ 9.955− 0.078i−( )=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 26 de 29 Control Multivariable - 543 760
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CI A1−
b− u 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=
tf 8:= mf 500:= m 0 mf..:= a1 Auu ko Amu⋅−:= a2 Auu ko⋅ Aum+ ko Amm⋅− ko Amu⋅ ko⋅−:=
ko 0 0.2− 0 0( )=
D t z,( ) stack A
z0
z1
z2
z3
⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+
a1 z4
⋅ a2
z0
z1
z2
z3
⋅+ bu ko bm⋅−( ) u t( )⋅+
,
:= a2 0 2 10 0( )=
a1 10−=
Za rkfixed augment CIT
0,( )T 0, tf, mf, D,
:= z5_aprox m( ) Za
m 5,ko Za
m 1,Za
m 2,Za
m 3,Za
m 4,
T⋅+:=
0 50
200
u
0 50
2000
4000wr
0 50
2000
4000wl
0 55
0
5
10tr
0 5100
50
0
50ia
0 55
0
5
p, p aprox
Caso 2 Se identificará sólo la perturbación y se asume las variables de estado disponibles.
Auu 0:= Amu e:= Aum 0 0 0 0( ):= Amm A:= bm b:= bu 0:=u0 3000
2 π⋅
60⋅ n⋅ km⋅:=
ko ko1 ko2 ko3 ko4( ):= ko4 Auu ko Amu⋅− float 5, 50.000→ El valor propio del observador.
u t( ) u0 11
2Φ t tdu−( )⋅−
⋅:=ko1 0:= ko2 0.2−:= ko3 0:= ko4 0:= ko ko1 ko2 ko3 ko4( ):= Se escoge ko para tener el
observador con un polo en -10:
Capítulo IV - Controladores y Observadores 27 de 29 Control Multivariable - 543 760
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v
100
20
1
=polyroots v( )10−
10−
=v
434.0277778 ko11⋅ ko22⋅ 434.0277778 ko12⋅ ko21⋅−
50.00000000− ko22⋅ 8.680555556 ko11⋅− 50.00000000 ko12⋅+
1
:=
ko23 0:=ko13 0:=ko2150− 100⋅
434.027778 20⋅:=ko12
20
50:=ko11 0:=ko22 0:=
Los coficientes de Ko se ajustan manualmente hasta conseguir dos valores propios en -10. Para esto el
polinomio característico del observador debe tener coeficientes 1, 20 y 100.
s identity 2( )⋅ M−coeffs s,
float 10,
434.0277778 ko11⋅ ko22⋅ 434.0277778 ko12⋅ ko21⋅−
50.00000000− ko22⋅ 8.680555556 ko11⋅− 50.00000000 ko12⋅+
1.
→
Se define la matriz de ganancias del observador
y los valores propios de éste.M Auu Ko Amu⋅−:= KoKo
ko11
ko21
ko12
ko22
ko13
ko23
:=ko23
bu
0
0
:=
Caso 3 Se identificará el torque de carga y el torque interno. Se asume las velocidades y corriente disponibles.
f 0:=
b
0
0
1
La
0
:= e
0
1−
Jl
0
0
:= c 0 1 0 0( ):= d 0:=
A
0
0
n−km
La
⋅
k
0
0
0
k−
km
Jm n⋅
0
Ra−
La
0
1−
n2Jm⋅
1
Jl
0
0
:=
Se utiliza el modelo en que la última variable de estado es el torque
interno para poder utilizar el procedimiento de diseño del observador
de orden reducido.
Se extiende el modelo para
incluir la perturbación.Ap augment augment A e,( )
T0 0 0 0 0( )
T,( )T:= bp augment bT
0,( )T:=
Auu
0
0
0
0
:= Amu
1−
n2Jm⋅
1
Jl
0
0
1−
Jl
0
:= Aum
k
0
k−
0
0
0
:= Amm
0
0
n−km
La
⋅
0
0
0
km
Jm n⋅
0
Ra−
La
:= bm
0
0
1
La
:=
Capítulo IV - Controladores y Observadores 28 de 29 Control Multivariable - 543 760
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0 55
0
5
p, p aprox.
0 5100
50
0
50ia
0 55
0
5
10tr, tr aprox.
0 50
2000
4000wl
0 50
2000
4000wr
0 50
200
u
zobs m( )
Zam 5,
Zam 6,
Ko
Zam 1,
Zam 2,
Zam 3,
⋅+:=
Za rkfixed augment CIT
0 0( ), T
0, tf, mf, D,
:=D t z,( ) augment A
z0
z1
z2
z3
⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+
T
a1
z4
z5
⋅ a2
z0
z1
z2
⋅+ bu Ko bm⋅−( ) u t( )⋅+
T
,
T
:=
a2 Auu Ko⋅ Aum+ Ko Amm⋅− Ko Amu⋅ Ko⋅−:=a1 Auu Ko Amu⋅−:=m 0 mf..:=mf 500:=tf 8:=
CI A1−
b− u 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=u t( ) u0 11
2Φ t tdu−( )⋅−
⋅:=u0 30002 π⋅
60⋅ n⋅ km⋅:=
Ko
0
0.576−
0.4
0
0
0
=Ko
ko11
ko21
ko12
ko22
ko13
ko23
:=Simulación.
Capítulo IV - Controladores y Observadores 29 de 29 Control Multivariable - 543 760