control engineering1

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자동제어

영남대학교 기계공학부정 병 묵

제어기 플랜트

감지기

기준입력

명령

+

-

오차 제어입력 출력

2

목 차1 Introduction 2 System representation 3 Mathematical modeling of physical systems

4 Stability of linear control systems

5 Time domain analysis

6 Root - locus

3

1.1 Basic concepts of system1 System An Assemblage, Arrangement, Set, or Collection of ' Thing' so combined by nature or ma

n so as to form an Integral and complex whole. 2 Modeling 실제 물리계 (Physical system) 와 수학적 기법 ( 이론 ) 사이의 bridge 작업으로서 , 즉

실제 물리계의 제반 특성을 수학적으로 표현하기 위한 기법이며 , 시스템이론 , 제어이론 적용의 출발점 .

3 Control theory 주어진 시스템의 에너지 변화 , 흐름 , 정보의 변화 등을 목적하는 형태로 조절하기

위한 수학적 기법으로 제어계 자체도 시스템의 일부임 . ** 관련 ( 적용 ) 대상 분야 : 인간과 관련된 모든 분야로서 , 전력계통 , 전기전자 장치 기계적 각종설비 , 화학처리 공정 , 경제 분야 , 경영학 , 사회현상의 분석 , 조정 , 교통제어 , 품질관리 , robotics, 생태계의 제현상 해석 , 핵공학 관련분야 , 의공학분야 등에서 제어공학이 기본적인 분석 , 통제 도구 .

4 System 의 일반적 표현방법 ( 용도가 다름 ) 1. Mathematical model : Differential equation, Transfer function, State-space modeling

등2. Block diagram : Graph 표현으로 시각적 구성 파악이 용이 .3. Signal flow graph: Graph 표현으로 시각적 구성 파악이 용이 .

1. Introduction

4

5 수학적 기법에 따른 system 분류

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1.2 Basic types of control systems1 Basic types of control systems 1. Man-made Control systems

2. Natural, including biological Control systems.3. Both.

2 control system 의 기본 구성요소 1. 제어목적 (control objectives: Inputs).

2. 제어대상과 구성 (plants and configurations).3. 제어결과 (results or controlled outputs).

3 구성형태 또는 Control action 에 따른 분류 1) Open loop C.S.: 제어동작은 출력의 형태에 무관히 수행 . * 제어기 자체의 calibration

으로 제어목적 달성 .* Low cost, Simple structure, but Less Accuracy.

2) Closed loop C.S.(feedback C.S.): 출력상태를 감시하여 제어를 수행 ① Increased Accuracy : 과도 및 정상상태 오차감소 , 성능지수 향상 .② Reduced Parameter Sensitivity : 특성의 안정화 .③ Increased Bandwidth : 속응성④ Reduced Effects of Nonlinearity and distortion and disturbance ⑤ Tendency toward Instability or oscillation⑥ Feedback 에 필요한 부가 장치로 시스템의 구성이 복잡해 진다 .

6

4 Feedback control system 의 구성과 기호

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- 시스템은 구성에 따라 크게 open-loop system 과 closed-loop system 으로 구분할 수 있다 . ① Open-Loop system : 피드백이 없는 시스템 , 출력은 입력과 시스템의 특성에 의해서만

결정된다 .

output : Y(s)=G(s)U(s) ② Closed-loop system : 출력의 상태에 따라 입력이 조절되는 시스템

[Canonical feedback system] R(s) : 기준입력 (reference input), 입력 (input), 또는 command.Y(s) : 출력 (output), 제어된 입력 (controlled Output), 또는 응답 (response)B(s) : 궤환 신호 (feedback signal)E(s) : 오차신호 (error signal) 또는 actuating signal

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1.3 Digital control

1 Digital control 의 유형 (computer 의 역할에 따른 분류 ) 1. Direct digital control(DDC) : 종래의 analog controller 를 digital computer 로

대치하여 control law(controller 의 기능 ) 에 해당되는 제어 2. Supervisory computer control : plant 의 output(controlled variables) 를 측정하여 com

puter 에서 상태를 감시하며 이에 따라 analog controller 의 set point(REF. input 또는 command) 를 조절함으로써 최적의 제어효과를 달성한다 . 따라서 이 방식에서 제어기는 종래의 방법과 같은 analog controller 가 그대로 사용되고 digital computer는 외부에 추가된다 .

2 Digital control 의 장점 1.Versatility : Digital controller 에서는 입력 프로그램만 수정 , 보완하면 다양한

제어기법을 적용할 수 있다 . (analog controller 의 경우에서는 제어방식을 바꾸기 위해서는 전체 장치의 구성을 바꾸어야 함 )

2. High cost performance : 고도의 제어기법을 프로그램만으로 실현할 수 있으므로 동일한 성능 의 analog 장치를 갖추는 경우보다 비용이 절약되며 , 보수 , 관리가 용이하다 .

3. Drift, Sensitivity Reliability 특성향상 : digital 소자 또는 설비들은 외부잡음 , 온도 , 습도 등 주위환경에 의한 영향이 거의 없으므로 calibration 이 필요 없으며 오차 발생원이 감소된다 .

4. 몇 번이라도 프로그램만의 수정으로 시뮬레이션을 할 수 있으므로 현장에 적용하기 전에 충분히 성능을 검토 할 수 있어 실제로 현장에 도입된 후 있을 수 있는 제어의 실패를 미리 막을 수 있다 .

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대상시스템 이해

모델유도

제어기 설계

모델 검토

성능분석 모의실험

성능 검토

성능 검토

제어기 구현

실제적용 시험

마침

시작

아니오

예

아니오

아니오

예

예

모델링과정

설계및모의실험과정

구현과정

문제설정

제어기 설계과정

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¹Ì¹æÇØ º¯È¯ÇØ

라플라스 변환

라플라스 역변환

대수연산

직접해법

쉬움

쉬움

쉬움

어려움

2. Laplace Transform and Block Diagram

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2.1 Basic concepts & classifications

시스템의 기본 개념 - 시스템의 정의

: 각각 고유 기능을 갖는 요소들이 모여 일관성 있는 하나의 기능을 갖는 집합체 .

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2.2 Laplace Transform

1 Laplace transform f(t)를 t>0 에서 정의되는 변수 t 의 실수 함수라고 할 때 ,

여기서 , , , 와 는 실수 .

2 Inverse Laplace transform F(s)를 t>0에서 정의되는 f(t) 의 Laplace transform 이라고 할 때

여기서 , 이 복소 적분은 복잡하기 때문에 실제로는 뒤에서 설명하는 바와 같이 부분분수로 전개하여 Table 을 이용하는 간편한 방법 등이 주로 이용된다

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시간 함수 (f(t)) Laplace 변환시간 함수 (f(t)) Laplace 변환 1

Laplace 변환표

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1 Linearity

증명

Laplace 변환의 성질

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2 미분에 대한 정리

여기서 , 는 f(t) 의 초기치 증명

예제

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3 최종치 정리 (final value theorem)

주 ) sF(s) 가 s평면 우반부에서 pole 을 갖지 않고 , f(t) 의 극한값이 존재할 때에만 성립 증명

예제

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4 Complex translation

예제

18

예제

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라플라스 역변환

유리함수 의 Laplace 역변환은 다음과 같은 부분분수 전개법을 사용한 후 , 각 항에 대한 역변환의 합으로부터 구하면 편리하다 . 응용 예에서 일반적으로 는 다음과 같은 형식의 유리함수이다 .

1. 서로 다른 실근 (distinct roots) 을 가진 경우

여기서 , 각 는 다음과 같이 구한다 .

예제

20

2. 공액 복소근을 포함한 경우

여기서 등은 앞에서 기술한 방법으로 구하고 , C, D 는 다음과 같은 복소수의 방정식을 세워 구한다

그리고 , 아래와 같이하여 , distinct roots 를 갖는 형태로 정리 할 수도 있다 .

예제

21

3. 다중근을 가진 경우

여기서 등은 실수 단근인 경우이므로 으로 구하고 , 은 다음과 같이 구한다 .

예제

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2.3 Block Diagram

기본 구성요소

블럭 (block) 은 입력신호에 대한 조작 (operation) 을 나타내며 , summing point 는 인가된 여러 신호의 합을 출력으로 하는 요소이다 . 또 , takeoff point 는 하나의 신호를 뒤에 연결된 여러 입력 측에 분배하는 역할을 한다 .

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기본 구성요소1. 기본구성 블럭선도의 기본적인 구성으로는 직렬 , 병렬 , 궤환 루프 구성이 있으며 각각 아래 그림에서 오른쪽 에 표현한 것처럼 단일블럭으로 간략화하여 대치할 수 있으며 , 복잡한 블록선도를 간략화 하거나 전달함수를 구할 때 자주 사용된다 . - 직렬연결 (Cascade connection)

- 병렬연결 (Parallel connection)

- 궤한 루프 (Feedback loop) 의 제거

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2. 기타 블럭선도의 부분적인 간략화 방법 위의 기본구성 외에 다음과 같은 변형방법도 알아두면 도움되는 경우가 많다 .

- 결합점 (Summing point) 의 재배치

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- 결합점 (Summing point) 의 재배치

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2.4 Signal Flow Graph

Basic concepts

신호흐름도는 신호의 입 ·출력관계를 cause & effect 의 원리에 따라 대수적으로 나타낸 흐름도로서 절점 (node) 과 가지 (branch) 로 구성되며 , 아래그림과 같이 각 node 는 변수를 나타내고 branch 는 전달되는 변수의 이득 (gain) 을 나타낸다

[xi=aijxj 를 나타낸 node 와 branch] 신호흐름도에서 사용되는 용어를 아래의 그림을 예로 들어 설명하였다 .

1. 출력노드 (output node, sink) 들어오는 방향의 branch 만 연결되어 있는 node 예 ] 위의 그림에서 x4

2. 이득 (gain, transmission function, transfer function, mapping) branch 로 연결되어 있는 변수간의 비율 예 ] x1 과 x2 를 연결하는 branch 의 이득은 a21 이며 , x2 = a21x1+( 다른 입력에 의한 항들 ) 의 관계를 나타냄 . ( 주의 : x2/x1 = a21 이라는 것은 아님 )

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3. 경로 (path) 지정된 방향으로 연결된 branch 의 집합으로 어떤 한 변수에서 출발하여 , 지정된 어떤 변수에 이르는 경로를 이룬다 . 단 , 경로가 되기 위한 조건으로 , 경로를 따라 신호가 전달될 때 어떤 경우에도 같은 node 를 두번지나서는 안된다 . 예 ] x1 에서 x3 로가는 path 는 다음과 같이 두 개의 경로가 있다 .

4. 전방향 경로 (forward path) 입력 node 에서 출력 node 에 전 방향으로 도달하는 path 예 ] x1 ->x4 의 forward path 는 아래와 같이 2개의 경로가 있다 .

5. 궤환경로 (feedback path) 입출력 node 간을 역방향으로 되돌아 진행하는 path. 예 ] x3 ->x2 의 feedback path 는 a23

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6. loop, self loop 경로 중에서 출발 노드와 도착 노드가 동일한 경로를 루프 (loop) 라고 하고 , 그 경로내부에 다른 node 가 없으면 ( 또는 한 개의 branch 로 구성된 loop 라고 하여도 같은 의미 ) self-loop 라고 함 .

예 ]

7. 경로이득 (path gain) 정해진 path 를 이루는 각 branch gain 의 곱 ..

예 ] path : 에 대한 path gain 은 a21a42

( 주의 : 이 예에서 path gain 이 a21a42 라고 해서 x4/x1=a21a42 라는 뜻은 아님 )

8. Loop gain 지정된 loop 을 형성하는 각 branch gain 의 곱 (loop 의 path gain)

예 ] loop: loop gain 은 a23a32

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Signal flow graph algebra1. Addition rule 어떤 node 로 표시된 변수의 값은 그 node 에 들어오는 모든 신호의 합이다 .

2. Transmission rule 어떤 node 로 표시되는 변수는 그 node 에서 나가는 방향의 branch 로 연결된 모든 node 로 전송된다 .

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Signal flow graph algebra3. Multiplication rule 직렬 연결된 n-1개의 branch 는 , branch 이득을 모두 곱한 이득을 가지는 한개의 branch 로 간략화 하여 나타낼 수 있다 .

4. Input-output gain rule(Mason's gain rule, overall gain) 신호흐름도로 표현된 시스템의지정된 입 ·출력 node 간의 전달함수 U(s)/Y(s) 는

여기서 , 1) N: 입력 node 에서 출력 node 에 이르는 forward path 의 수 2) : i번째 forward path 의 path gain. 3) : signal flow graph determinant 또는 characteristic function. 다음과 같다 .

여기서 , * Li 는 single loop gain. * LiLj 는 nontouching 인 두 개의 single loop 에 대한 loop gain 의 곱 . * LiLjLk 는 nontouching 인 세 개의 single loop 에 대한 loop gain 의 곱 . * Nontouching loops : 서로 공유하는 node 가 없는 loop 의 조합 ( 다음 절의 예제를 참고하 기 바람 - 그림에서 L1 과 L2,L3 서로 nontouching 이지만 L4 는 어느 것과도 touching 되어 있음 )

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4) : i-번째 forward path 에 nontouching 인 (node 를 공유하지 않는 ) loop 에 대한 .즉 , i-번째 경로의 모든 branch 를 제거한 신호흐름도에서 구한 이며 , 다음과 같이 표현할 수도 있음 .

Gain rule 을 적용하여 전달함수를 구하는 예

- N : 위의 신호흐름도에서 forward path 수는 하나이므로 , N=1.

- T1 : forward path gain ->

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- :1) single loop gains:

2) two-nontouching loop gains:

3) three-nontouching loop gain

4) four-nontouching loop 없음 .5) 따라서

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- : path-1 의 branch 를 모두 제거한 신호흐름선도 (아래 그림 ) 에서 L3 만 loop 가 되고 나 머지는 loop 가 구성되지 않음

1) single loop gains:

2) two-nontouching loop : 없음

3) - Overall Gain (transfer function) :

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3. Mathematical Model of Physical

System

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3.1 Translational Motion

1. 질량 (mass) : 병진운동의 운동에너지를 저장하는 요소 . 가속도에 비례하는 힘이 저장되며 , 비례상수 M 을 질량이라고 부름

2. 스프링 (spring) : 위치에너지를 저장하는 요소 . 변위에 비례하는 힘이 저장되며 비례상수 K를 spring constant 라고 부름

3. 댐퍼 또는 마찰 (damper, friction) : 운동에너지를 마찰에 의해 열로 소비하는 요소 마찰에는 점성 마찰 , 정적마찰 , 쿨롱마찰이 있으며 실제로는 이 세가지 모두 나타나지만 일반적으로 소비 되는 에너지가 속도에 비례하는 점성마찰만을 고려함 .

4. 적용법칙 : 인가된 ( 또는 나타난 ) 모든 힘의 총 합은 영이다

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Translational System VS Electric System

전기회로와 병진운동의 운동방정식 형태를 비교해 보면 ,

: Mass

: Spring : Friction

따라서 아래와 같이 힘을 전압으로 , 이동거리를 전하로 대응시키면 전기회로와 기계계통이 동 일한 방정식으로 나타난다

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모형화의 예 ( 질량 , 댐퍼 , 스프링으로 구성된 계통 )

1 운동방정식

2 대응되는 전기회로 [Loop 회로 ] [Node 회로 ]

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3 전달함수 (transfer function)

증명 미분방정식의 라플라스 변환으로부터

4 state diagram 운동방정식으로부터 다음과 같이 쓸수있다 .

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5 상태방정식 (state equation) state diagram 에서 라 하면 상태방정식은 다음과 같다 .

위의 두 식을 행열식으로 나타내면 다음과 같다 .

6 상태방정식의 해 state diagram 에서 f 와 각 초기치를 입력으로 보고 와 를 출력으로 하여 gain rule 을 적용하면 다음과 같다 .

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여기서 , 이라 하면 ,

를 단위계단함수 , 즉 이라 하면 , 라플라스 역변환으로부터 다음과 같이

의 해를 구할 수 있다 .

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4. System Stability

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4.1 Basic concepts 1 안정성 (stability : 시스템 equilibrium point 의 시간에 대한 수렴특성 ) 1) 입력없이 초기치만으로 구동된 시스템의 출력이 시간이 지남에 따라 0으로 수렴하면

Asymptotically stable 2) 모든 초기치가 0일때 유한입력에 대한 출력의 크기가 항상 유한하면

BIBO(Bounded input bounded output) stable 수렴특성에 따른 분류 1) Asymptotic stability : equilibrium point 가 0으로 수렴 .

2) Marginal stability : equilibrium point 가 0이외의 일정한 값으로 수렴하거나 일정 범위내에서 변화3) Instability (Unstable): equilibrium point 가 무한대로 발산 Zero-state stability, zero-input stability

1) zero-state stability : 모든 초기치가 0일때 유한입력에 대해 출력이 항상 유한한 안정도2) zero-input stability : 입력이 0일때 유한한 초기조건에 대해 출력이 0으로 수렴하는 안정도

2 선형 시불변 시스템이 안정하기 위한 필요충분 조건 시스템 전달함수의 모든 극점의 실수부가 음의 값일 것 .

3 안정성 판별방법

Absolute stability

특성 방정식의 근을 모두 구하는 대신 다음 조건에 따라 쉽게 우반부에 있는 특성근의 수를 알 수 있음 .

Routh-hurwitz criterion

Relative stability

절대 안정한 상태에서 각 근들간에 real part 와 damping ratio 에 따라 얼마나 안정한 지를 알 수 있음시간영역 : Maximum overshoot 와 damping ratio•주파수영역 : Peak resonance 에 관계

Root rocusNyquist criterionBode plot

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4.2 Criterion of stability 1 상태방정식에서의 stability 조건

초기치 입력을 0 (asymptotic stability) 이라 두면 위 식은 다음과 같다 .

한편 ,

이라 두면 ,

Asymptotic stability 이므로 ,

따라서 이다 A 의 eigen value 인 는 s-평면의 좌반부에 위치

,        

44

2 Routh-Hurwitz criterion

1) 모든 근이 좌반 평면에 존재하기 위한 필요 조건 다항식의 모든 계수들이 같은 부호를 가져야 함 . 모든 계수가 0이 아니어야 함 .

2) 모든 근이 좌반 평면에 존재하기 위한 조건 Routh table 1열에 있는 모든 요소의 부호가 동일할 것 (1열에 있는 요소의 부호가 변하는 횟수만큼의 특성근이 우반부에 존재 )

예제 1. Routh table 을 쓰면 ,

table 의 첫 번째 열의 부호가 모두 동일하므로 모든 근이 좌반평면에 존재한다 .

따라서 이 시스템은 stable 하다 . 예제 2.

Routh table 을 쓰면 ,

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부호가 두 번 바뀐다 .

따라서 이 시스템은 unstable 하다 .

한편 , 위 다항식을 인수 분해 해보면 ,

3개의 근 중에 2개의 근이 우반평면에 존재한다 .

예외적인 경우 Case 1. 첫 번째 열 원소가 0이 되는 경우 - 법 : 0을 으로 대치하여 Routh table 을 작성한 후 에 대한 부호변화로부터

판정

여기서 s2 행의 0 대신 무한소의 (+) 의 으로 대치하면

에서 부호변화가 두 번 있으므로 불안정

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대치하여 Routh table 을 작성

에서 를 로 대치하면

다시 쓰면

즉 본래 특성 방정식 대신 위와같이 계수의 순서를 뒤집은 다항식에 대해 Routh table

을 작성하여 판정

Case 2. 한 행의 원소 모두 0이 되는 경우

- 보조 방정식을 사용

0 이된 윗줄의 계수를 사용하여 보조방정식 를 구성한 후 , 로부터 구해

진 계수로 각 해당위치의 0을 대치하여 계속함 .

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4. 3 Routh table method

Routh table 작성방법 에 대한 Routh table 의 작성순서는 다음

과 같다 .(먼저 , 모든 계수의 부호가 같고 0인 것이 없음을 확인 .) 1) 왼쪽 가장자리에 특성방정식의 차수에 따라 s5...s0까지 세로로 배열

2) 특성방정식의 계수 a1,a2...a5 를 표의 위 두줄과 같이 교대로 배치 3) 아래 오른쪽의 화살표 버튼을 누를 때 나타나는 순서대로 표의 내부를 채워서 완성 .

S5 a5 a3 a1

S4 a4 a2 a0

S3

S2

S1

S0

a5 a3

a4 a2

a4

A=

Aa5 a1

a4 a0a4

B=

B 0a5 0

a4 0a4

0=

0

0

a4 a2

A BAC=

C D a4 a0

A 0AD=

E

A B

C DC

E=

00

A 0

C 0C

F=G

C E

D 0D

G=