CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS - Prof. Juan Rodriguez · sistemas no lineales, y simulación por computador ya que nos proporciona sólo el ... procesos químicos. La transformada

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICERRECTORADO BARQUISIMETO

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS

Prof: Ing. (MSc).

Juan Enrique Rodríguez C.

Octubre, 2013

1

Índice

Linealización de sistemas no lineales

Transformada de Laplace

Solución de ecuaciones diferenciales por la transformada de Laplace

2

3




Con el fin de encontrar el comportamiento dinámico de un proceso químico, tenemos que integrar

las ecuaciones de estado que se utilizan para modelar el proceso, pero la mayoría de los sistemas

de procesamiento que estaremos interesados, se modelan por ecuaciones diferenciales no lineales,

y es bien sabido que no hay teoría matemática general para la solución analítica de este tipo de

ecuaciones.

Sólo para ecuaciones diferenciales lineales que son de forma cerrada, hay solución analítica

disponibles. Cuando nos enfrentamos con el análisis dinámico de los sistemas no lineales, hay

varias cosas que podemos hacer, como por ejemplo:

1. Simular el sistema no lineal en un equipo analógico o digital y calcular su solución

numéricamente, o

2. Transformar el sistema no lineal en uno lineal a través de una transformación apropiada de sus

variables, o

3. Desarrollar un modelo lineal que se aproxima al comportamiento dinámico de un sistema no

lineal en la cercanía del funcionamiento especificado ciertas condiciones.

4


Linealización de Sistemas con una variable

Linealización: es el proceso por el cual los sistemas no lineales son aproximados a los lineales.

Es ampliamente utilizado en el estudio de la dinámica del proceso y el diseño de sistemas de

control para las siguientes razones:

1. Podemos tener las soluciones analíticas para sistemas lineales de forma cerrada. Así podemos

tener una imagen general y completa de un proceso y su comportamiento independiente de los

valores particulares de los parámetros y las variables de entrada. Esto no es posible para los

sistemas no lineales, y simulación por computador ya que nos proporciona sólo el

comportamiento de los sistemas a valores especificados de entradas y sus parámetros.

2. Todos los avances significativos hacia el diseño efectivo sistemas de control se han limitado a

procesos lineales.

Considere la siguiente ecuación diferencial de un

proceso modelado dado:

o

xo

o xx*dx

dfxfxf

quedaría nos

Taylor, de serie la deexpansión la Utilizando

dt

dxxf

5


6

Linealización de Sistemas con una variable

Variable de desviación: se define como la diferencia entre el valor de la

variable o señal y su valor en el punto de operación.

0xtxtx'

Donde:

x’(t): es la variable de desviación

x(t): es la variable absoluta correspondiente

x0: es el valor de x en el punto de operación (valor base)

Entonces, podemos escribir

(t)x'*dx

dfxfxf xx*

dx

dfxfxf

xo

oo

xo

o


7

Ejemplo: Linealizar la ecuación de Arrhenius para la dependencia de las tasas de reacción

química de la temperatura. Donde: ko, E y R son constantes.

*TR

E

o e*kTk

Aplicando la ecuación de linealización, se tiene

T'*

T*R

E*e*k'k

T'*T*R

E*e*ke*k-e*k

TT*T*R

E*e*ke*kTk

queda nos do,Sustituyen

T*R

E*e*ke*k

dT

dk

Ahora

TT*e*kdT

dke*kTk

2

0

*TR

E

o

2

0

*TR

E

o

*TR

E

o*TR

E

o

02

0

*TR

E

o

*TR

E

o

2

0

*TR

E

o

*TR

E

o

0

*TR

E

o

*TR

E

o

0

00

00

00

00

o

xo

o xx*dx

dfxfxf

Donde:

T’=( T – T0 )

k’=( K(T)- K(T0) )


8

Para mostrar que las únicas variables en la ecuación lineal son k y T, consideremos el siguiente

problema numérico:

ko = 8x109 s-1

E = 22000 cal/mol

T0 = 373 K (100ºC)

R = 1,987 cal/mol.K

T'*8,175.10(T)k'

T'*8,175.1010.0273,1e*k

373KT*.Ks8,175.10s1,0273.10Tk

queda nos do,Sustituyen

.Ks8,175.10373K*cal/mol.K 1,987

cal/mol 22000*e*01.8e*k

dT

dk

Ahora

10.0273,1e*10.8T'k

5

513*TR

E

o

11513

115

2

373*cal/mol.K 1,987

cal/mol 22000

9*TsR

E

o

13373K*cal/mol.K 1,987

cal/mol 22000

9

s

s


9

Linealización de Sistemas con dos o más variables

Consideremos las siguientes funciones

2122

2111 x,xf

dt

dx , x,xf

dt

dx

2,02

x2,0x1,0;2

21,01

x2,0x1,0;1

22,01,02

2

2,02

x2,0x1,0;2

11,01

x2,0x1,0;1

12,01,01

1

xx*x

fxx*

x

f x;xf

dt

dx

xx*x

fxx*

x

f x;xf

dt

dx

quedaría nos Taylor, de serie la deexpansión la Utilizando

Estas dos últimas ecuaciones son las ecuaciones diferenciales lineales y constituyen la

linealización, o el modelo aproximado del sistema no lineal inicial descrito.

Definición de las variables de desviación por:

2,022

1,011

xtxt'x

xtxt'x


10

Ejemplo: Las ecuaciones del modelo para un CSTR se dan en las ecuaciones siguientes.

Supongamos que el volumen V permanece constante. Por lo tanto linealice las ecuaciones, sólo si

es necesario linealizarla.

cA*TR

E

or

ii

A*TR

E

oAAiiA

TT*V*Cp*ρ

At*UC*e*k*

Cp*ρ

ΔHT)(T*

V

F

dt

dT

y

C*e*kCC*V

F

dt

dC

Este modelo es no lineal debido a la presencia del término e-E/RT *CA, mientras los otros términos

son lineales. Por lo tanto se linealizará los términos no lineales en torno a un cierto punto

(CA,0;T0).

A,0A

*TR

E

0A,0

*TR

E

2

0

A,0

*TR

E

A,0A

C ;T

A

A*TR

E

0

C ;T

A*TR

E

A,0

*TR

E

A*TR

E

CC*e*C*e**

C*e

CC*C

C*e

TT*T

C*e

C*eC*e

000

A,00A,00

0

TTTR

E


11

Sustituyendo la aproximación anterior en las ecuaciones iniciales, tenemos el siguiente modelo

linealizado para un CSTR no isotérmico:

cA,0A

*TR

E

0A,0

*TR

E

2

0

A,0

*TR

E

or

ii

A,0A

*TR

E

0A,0

*TR

E

2

0

A,0

*TR

E

oAAiiA

TT*V*Cp*ρ

At*UCC*e*C*e*

*C*e*k*

Cp*ρ

ΔHT)(T*

V

F

dt

dT

y

CC*e*C*e**

C*e*kCC*V

F

dt

dC

000

000

TTTR

E

TTTR

E

Supongamos que T0 y CA,0 son las condiciones en estado estacionario para el CSTR y las

condiciones de entrada son CAi,0 ; Ti,0 y Tc,0

c,00A,0

*TR

E

or

0i,0i

A,0

*TR

E

oA,0Ai,0i

TT*V*Cp*ρ

At*UC*e*k*

Cp*ρ

ΔH)T(T*

V

F0

y

C*e*kCC*V

F0

0

0


12

c,0c0A,0A

*TR

E

0A,0

*TR

E

2

0

or

0i,0ii

A,0A

*TR

E

o0A,0

*TR

E

2

0

o0,Ai,0AiiA

TTT*V*Cp*ρ

At*UCC*e*C*e*

**k*

Cp*ρ

ΔH)T(T*

V

F

dt

dT

y

CC*e**C*e**

*kCC*V

F

dt

dC

00

00

TTTTR

ETT

kTTTR

ECC AA

Reemplazando, queda de la forma:

Definiendo las siguientes variables de desviación:

C,0CCi,0ii0Ai,0AiAiA,0AA TT'T ; TT'T ; TTT' ; CC'C ; CC'C

'

C

'

A

*TR

E

A,0

*TR

E

2

0

or'

ii

'

A

*TR

E

oA,0

*TR

E

2

0

o'

A

'

Aii

'

A

TT'*V*Cp*ρ

At*UC*eT'*C*e*

T*R

E*k*

Cp*ρ

ΔH)T'(T*

V

F

dt

dT'

y

C*e*kT'*C*e*T*R

E*kCC*

V

F

dt

dC

00

00

Finalmente, las ecuaciones en términos de las variables de desviación:

13




14

El uso de transformadas de Laplace ofrece una manera muy sencilla y un método elegante de

resolución de ecuaciones diferenciales lineales o ya linealizado en la modelización matemática de

procesos químicos.

La transformada de Laplace también permiten:

• Simple desarrollo de los modelos de entrada-salida, que son muy útiles para fines de control.

• Análisis cualitativo sencillo de cómo reaccionan los procesos químicos a diversas influencias

externas.

Definición de la transformada de Laplace

Considere la función f(t). La transformada de Laplace f(s) de la función f (t) se define como:

0

stdte*tfsFtfl

En el análisis de los sistemas de control se aplican señales a la entrada del sistema (por ejemplo,

perturbaciones, cambios en el punto de control, etc) para estudiar su respuesta. A pesar de que en

la práctica, generalmente, es difícil o incluso imposible lograr algunos tipos de señales. En la

ejecución de la transformada de Laplace se utilizan mayoritariamente las siguientes funciones:

a) Una función de escalón unitario

b) Un pulso

c) Una función de impulso unitario

d) Una onda senoidal


15

a) Una función de escalón unitario: Este es un cambio súbito de magnitud unitaria en un

tiempo igual a cero; dicha función se representa algebraicamente mediante la expresión:

0 t1

0 t0tu

s

110

s

1e*

s

1dtedte*tutu

0

st

0

st

0

st

l

Cuya transformada de Laplace es:

b) Un pulso: Se representa algebraicamente mediante la expresión:

Tt0 H

t0, t0tf

T

sTsTT

0

stT

0

st

0

st e1*s

H1e*

s

He*

s

Hdte*Hdte*tftf

l

Cuya transformada de Laplace es:


16

c) Una función de impulso unitario: Este es un pulso ideal de amplitud infinita y duración

cero, cuya área es la unidad; dicha función se representa algebraicamente mediante la expresión:

tflimtδ0T

1t l

Cuya transformada de Laplace da como resultado:

d) Una función senoidal: Se representa en forma de exponencial mediante la expresión:

2i

eewtsen

iwtiwt

220

st

ws

wdte*wtsenwtsen

l

Cuya transformada de Laplace da como resultado:


17

Propiedades de la transformada de Laplace

Linealidad: Esta propiedad, establece que la transformada de Laplace es lineal, es decir

sF*ktf*ktf*k ll

Puesto que es lineal, la propiedad distributiva también es válida:

sGsF tgtf tgtf lll

F(t) F(s) = l[f(s)]

δ(t) 1

u(t) 1/s

t 1/s2

tn n!/sn+1

e-at 1/(s+a)

t*e-at 1/(s+a)2

tn*e-at n!/(s+a)n+1

sen(wt) w/(s2+w2)

cos(wt) s/(s2+w2)

e-at*sen(wt) w/[(s2+a2)+w2]

e-at*cos(wt) (s+a)/[(s2+a2)+w2]

Tabla de algunas funciones comunes en la transformada de Laplace:


18

Teorema de la diferenciación real: Establece la relación de la transformada de Laplace de

una función con la de su derivada. Su expresión matemática es:

0fsF*s

dt

tdf

l

En general:

0

dt

fd0

dt

fd*s...0

dt

df*s0f*ssF*s

dt

tfd1n

1n

2n

2n12-n1-nn

n

n

l

Teorema de la integración real: Establece la relación de la transformada de Laplace de una

función con la de su integral. Su expresión matemática es:

sF1

tft

0 sdtl

Funciones trasladadas

Considere la función f(t) que se muestra en la figura (a)


19

Si esta función es retrasada por to, segundo, tomamos la función que se muestra en la Figura (b),

Y si se avanza por to, segundo, entonces tenemos la curva de la Figura (c)

Teorema de la traslación real: La función trasladada es la función original con retardo en el

tiempo. El teorema se expresa mediante la siguiente fórmula:

sF*ettf 0st

0

l


20

Teorema del valor final: Este teorema permite el cálculo del valor final o de estado estacionario

de una función a partir de su transformada. También es útil para verificar la validez de la

transformada que se obtiene. sF*slimtflim

0st

Teorema del valor inicial: Este teorema permite el cálculo del valor inicial o de estado

estacionario de una función a partir de su transformada. También es útil para verificar la validez

de la transformada que se obtiene.

sF*slimtflims0t

Ejemplo 1: Obtenga la transformada de Laplace de la siguiente función:

τ

t

etutc

Aplicando la propiedad de linealidad

τ: es una constante

1τss

1

1τs

τ

s

1

1/τs

1

s

1eltuletusC τ

t

τ

t

l

21


Ejemplo 2: El balance de energía para un calentador de un tanque agitado descrito previamente

es: Asumiendo que Fi = F, es decir, que el nivel de líquido se mantiene sin cambios:

stt

iit

stt

iit

T*Cp*ρ*V

A*UT*

V

FT*

Cp*ρ*V

A*U

V

Fi

dt

dT

V entre terminoslos todosdividimos si

T*Cp*ρ

A*UT*FT*

Cp*ρ

A*UFi

dt

dTV

Se puede expresar en términos de variables de desviación, de la forma:

)(compruebe T'*Cp*ρ*V

A*U'T*

V

FT'*

Cp*ρ*V

A*U

V

Fi

dt

dT'st

ti

it

Donde:

T’=T - T0 ; T’i=Ti – Ti,0 ; T’st=Tst – Tst,0

entonces

Cp*ρ*V

A*Uc ;

V

Fb ;

Cp*ρ*V

A*U

V

Fia :Sea tit

22

sti T'*c'T*bT'*adt

dT'


Aplicando la transformada de Laplace a cada término, se tiene:

sT'*csT'*bsT'*a0T'-(s)T'*s

realción diferencia la de teoremaelPor

T'*c'T*bT'*adt

dT'

sti

sti

llll

Supongamos que el calentador está inicialmente en el estado de equilibrio [es decir, T’(0) = T’st

=0 ºF]. En t = 0, la temperatura de la corriente de entrada incrementa por un paso de 10 ºF de su

valor en estado estable y se mantiene en este nuevo nivel. Así T’i(t)=10 ºF para t>0. La temp. del

líquido en el tanque comenzará a aumentar y queremos saber cómo cambia con el tiempo.

as

1

s

1*

a

b*10

as

1*

s

10*bsT'

siT'*bas*sT'

sT'*bsT'*a(s)T'*s

sT'*csT'*bsT'*a0T'-(s)T'*s

i

sti

0 0

escalón

Solución de ecuaciones mediante el uso de la Transformada de Laplace

23

Solución de ecuaciones diferenciales mediante el uso de la transformada de Laplace

Considere la siguiente ecuación diferencial de segundo orden, que se define como:

tbxtya

dt

tdya

dt

tyda 012

2

2

Los coeficientes a0, a1, a2 y b son constantes.

x(t): se conoce como función de forzamiento o variable de entrada.

y(t): se conoce como función de salida o variable dependiente.

t: se conoce como variable independiente.

Paso 1: Transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica con la variable s.

sX*btbx

sY*atya

0ysY*s*adt

tdya

0dt

dy0y*ssY*s*a

dt

tyda

Donde

tbxtyadt

tdya

dt

tyda

00

11

2

22

2

2

012

2

2

l

l

l

l

ll

24


sbX0dt

dya0yasasYasasa 21201

2

2

Paso 2: Sustituyendo cada término y asociándolos a cada variable en función se S.

Paso 3: Se emplea la ecuación algebraica que se resuelve para la variable de salida Y(s) en

términos de la variable de entrada y de las condiciones iniciales:

01

2

2

212

asasa

0dt

dya0yasasbX

sY

Paso 4: Inversión de la ecuación resultante para obtener la variable de salida en función del

tiempo y(t):

01

2

2

21211-

asasa

0dt

dya0yasasbX

sYty ll

En el paso de inversión se establece la relación entre la transformada de Laplace, Y(s) y su

inversa, y(t). El paso final de la inversión es expresarla la ecuación en fracciones parciales. Ahora

en forma general, para una ecuación diferencial lineal ordinaria de orden n, tenemos:

25


txb...

dt

txdb

dt

txdbtya...

dt

tyda

dt

tyda 0

1m

1m

1m

m

m

m01n

1n

1nn

n

n

En condiciones iniciales cero:

00dt

xd0;...;0

dt

dx 0;0x

00dt

yd0;...;0

dt

dy 0;0y

1n

1n

1n

1n

Sustituyendo cada condición inicial, nos queda que:

sXsP

sQsY ; sX

a...sasa

b...sbsbsY

0

1n

1n

n

n

0

1m

1m

m

m

En el caso de condiciones iniciales iguales a cero, es el más común en el diseño de sistemas de

control, ya que las señales se definen generalmente como desviaciones respecto a un estado

inicial estacionario.

Si las variables X(s) y Y(s) de la ecuación anterior son las respectivas transformadas de las

señales de entrada y salida de un proceso, instrumento o sistema de control, el término entre

corchete representa por definición, la FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA del proceso.

26


Ejemplo: A partir de la función de transferencia del ejemplo anterior, invierta la transformada de

Laplace, y déjelo expresado en función de la variable natural (t).

at1 e1*a

b*10tT'sT'

Por tabla

as

1

s

1*

a

b*10sT'

l

Cuando Y (s) se da como el cociente de dos polinomios, su expansión en una serie de fracciones

se rige por la forma y las raíces del polinomio del denominador, P(s). En general, lo haremos

distinguir dos casos:

1. Polinomio P(s) tiene n distinta (todas diferente) raíces, reales o complejos, o

2. Polinomio P(s) tiene raíces múltiples.

Raíces reales distintas del polinomio P(s):

Encuentre la transformada inversa de Laplace de cada fracción parcial. La función x(t) está dada

por:

2s -1;s 1;s

raices las y tieneorden tercer de es sP polinomio del raices Las

sP

sQ

2s2ss

6sssX

321

23

2

27


2ttt

1111

2

2

1

2

1

2

321

321

2

e*3

4e*

3

2e*3tX

Por tabla

2s

34

1s

32

1s

3sX

Laplace de inversa mada transforAplicando

2s

34

1s

32

1s

3sX

tantoloPor

3

4

1s*1s

6ss ;

3

2

6

4

2s*1s

6ss ; 3

2

6

2s*1s

6ss

C doDeterminan C doDeterminan C doDeterminan

2s

C

1s

C

1s

C

2s*1s*1s

6sssX

llll

sss


Raíces múltiples del polinomio P(s):

La expansión en fracciones parciales y el cálculo de los coeficientes cambian cuando el

polinomio P(s) tiene múltiples raíces iguales.

2ttt

1

2

111

2

22

3

21s1s1

2

21s

2

11

2

21

1

32

2

1

2

ee*tetX

Por tabla

2s

1

1s

1

1s

1sX

Laplace de inversa mada transforAplicando

2s

1

1s

1

1s

1sX

tantoloPor

12s*2s*1s

1lim

C doDeterminan

12

1lim

2s

1

ds

dlim1s*

2s*1s

1

ds

dlim

C doDeterminan

; 12

1lim1s*

2s*1s

1lim

C doDeterminan

2s

C

1s

C

1s

C

2s*1s

1sX

llll

s

s

s

s

ss

s

28

29


Ejemplo 1: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de

Laplace, y luego reinvierta el Laplaceano para obtener en función de la variable natural (t).

2

t

111

2

10

21

21

e*20tu*5

21s

1*20

s

5tysY

inversa mada transforla Ahora,

21s

20

s

5

21s

2*105

12s

10

s

5

12s*s

5sY

Entonces

105

512s

5

C doDeterminan C doDeterminan

-1/2s 0,sson polinomio del raices las como C, escoeficient los Buscando

12s

C

s

C

12s*s

5sY

s

512s*

s

5sYsY*s*2

s

1*5sYsY*s2

Laplace de ada transformla aplicando ,tu*5tydt

tdy2

lll

s

s

sY

ss

30


Ejemplo 2: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de

Laplace, y luego reinvierta el Laplaceano para obtener en función de la variable natural (t).

Entonces

9

1

s

1lim

s

1

ds

dlim3s*

3s*

1

ds

dlim

C doDeterminan

3

11lim3s*

3s*

1lim

C doDeterminan

9

1*

3s*

1lim

C doDeterminan

-3s 0,sson polinomio del raices las como C, escoeficient los Buscando

3s

C

3s

C

s

C

3s*s

1

96ss*s

1sY

s

196ss*sY

s

1sY*9sY*s*6sY*s

Laplace de ada transformla aplicando ,tuty*9dt

tdy*6

dt

tyd

23s3s

2

23

3

3

2

23

2

20

1

3

2

21

22

22

2

2

s

ss

ss

s

ss

s

31


3t3t1

2

111

22

e*9

1e*t*

3

1tu*

9

1

3s

1*

9

1

3s

1*

3

1

s

1

9

1tysY

inversa mada transforla Ahora,

3

1*

9

1

3

1*

3

11*

9

1

3s*s

1sY

llll

sss

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