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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Control de ejecucion de trayectorias para un robot
holonomico omnidireccional
Josue R. Rabadan Martin1
1Laboratorio de Robotica Movil y Sistemas AutomatizadosEscuela de Ingenierıa, Universidad La Salle
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Panorama
1 IntroduccionMotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
2 Solucion del ProblemaModelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
3
ResultadosSimulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Panorama
1 IntroduccionMotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
2 Solucion del ProblemaModelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
3
ResultadosSimulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Panorama
1 IntroduccionMotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
2 Solucion del ProblemaModelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
3
ResultadosSimulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia
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I d i´
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
Motivacion
Sobre los robots F-180....Robot movil autonomo.Conectado vıa inalambrica a una unidad de proceso central.Hasta el momento los grupos participantes se han enfocado enresolver el problema de comportamiento cooperativo bajo el
paradigma de multi-agentes.
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I t d i´
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
Motivacion
Sobre los robots F-180....Robot movil autonomo.Conectado vıa inalambrica a una unidad de proceso central.Hasta el momento los grupos participantes se han enfocado enresolver el problema de comportamiento cooperativo bajo el
paradigma de multi-agentes.
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Introduccion
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
Motivacion
Sobre los robots F-180....Robot movil autonomo.Conectado vıa inalambrica a una unidad de proceso central.Hasta el momento los grupos participantes se han enfocado enresolver el problema de comportamiento cooperativo bajo el
paradigma de multi-agentes.
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Introduccion
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
Motivacion
Sobre los robots F-180....Robot movil autonomo.Conectado vıa inalambrica a una unidad de proceso central.Hasta el momento los grupos participantes se han enfocado enresolver el problema de comportamiento cooperativo bajo el
paradigma de multi-agentes.
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Introduccion
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
Motivacion
En la literatura cientıfica sobre robotica movil existen algunosartıculos publicados.
“Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an omnidirectional vehicle.” [1]
“Trajectory generation for four wheeled omnidirectionalvehicles.” [2]
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IntroduccionM i i´
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
Motivacion
En la literatura cientıfica sobre robotica movil existen algunosartıculos publicados.
“Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an omnidirectional vehicle.” [1]
“Trajectory generation for four wheeled omnidirectionalvehicles.” [2]
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IntroduccionM ti i´
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Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
Motivacion
En la literatura cientıfica sobre robotica movil existen algunosartıculos publicados.
“Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an omnidirectional vehicle.” [1]
“Trajectory generation for four wheeled omnidirectionalvehicles.” [2]
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IntroduccionMotivacion
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Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
Motivacion
En estos artıculos...no se da una descripcion completa del estado del robot
se enfocan en optimizar exclusivamente el tiempo de ejecucion
La solucion que nosotros proponemos es mucho mas versatil.
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Introduccion Motivacion
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Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
Motivacion
En estos artıculos...no se da una descripcion completa del estado del robot
se enfocan en optimizar exclusivamente el tiempo de ejecucion
La solucion que nosotros proponemos es mucho mas versatil.
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IntroduccionS
Motivacion
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Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
Motivacion
En estos artıculos...no se da una descripcion completa del estado del robot
se enfocan en optimizar exclusivamente el tiempo de ejecucion
La solucion que nosotros proponemos es mucho mas versatil.
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IntroduccionS l i´ d l P bl
Motivacion
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Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
Definiciones
Region objetivo
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IntroduccionS l i´ d l P bl
Motivacion
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Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
DefinicionesPlanteamiento del problema
Definiciones
Segmento
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IntroduccionSolucion del Problema
Motivacion
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Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
DefinicionesPlanteamiento del problema
Definiciones
Trayectoria por segmentos
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IntroduccionSolucion del Problema
Motivacion
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Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
DefinicionesPlanteamiento del problema
Definiciones
Alcanzar region objetivo
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IntroduccionSolucion del Problema
MotivacionD fi i i
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Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
DefinicionesPlanteamiento del problema
Planteamiento del problema
Controlar el robot dentro de la cancha y de algun modo hacerque este siga una determinada trayectoria.
La solucion que proponemos consiste en que al robot se leespecifique una secuencia de regiones objetivo.
El robot alcanzara estas regiones en una secuenciadeterminada.
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IntroduccionSolucion del Problema
MotivacionD fi i i
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Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
DefinicionesPlanteamiento del problema
Planteamiento del problema
Controlar el robot dentro de la cancha y de algun modo hacerque este siga una determinada trayectoria.
La solucion que proponemos consiste en que al robot se leespecifique una secuencia de regiones objetivo.
El robot alcanzara estas regiones en una secuenciadeterminada.
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IntroduccionSolucion del Problema
MotivacionDefiniciones
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ResultadosConclusiones
DefinicionesPlanteamiento del problema
Planteamiento del problema
Controlar el robot dentro de la cancha y de algun modo hacerque este siga una determinada trayectoria.
La solucion que proponemos consiste en que al robot se leespecifique una secuencia de regiones objetivo.
El robot alcanzara estas regiones en una secuenciadeterminada.
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IntroduccionSolucion del Problema
MotivacionDefiniciones
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ResultadosConclusiones
DefinicionesPlanteamiento del problema
Planteamiento del problema
En cada una de las regiones objetivo se especifican ademas lavelocidad y orientacion deseadas al llegar a dicha region.Podemos decir que el algoritmo es “libre” de escoger la formacon la que cubre las distancias entre estas regiones
intermedias.
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IntroduccionSolucion del Problema
MotivacionDefiniciones
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ResultadosConclusiones
DefinicionesPlanteamiento del problema
Planteamiento del problema
En cada una de las regiones objetivo se especifican ademas lavelocidad y orientacion deseadas al llegar a dicha region.Podemos decir que el algoritmo es “libre” de escoger la formacon la que cubre las distancias entre estas regiones
intermedias.
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R l d
MotivacionDefiniciones
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ResultadosConclusiones
DefinicionesPlanteamiento del problema
Planteamiento del problema
En cada una de las regiones objetivo se especifican ademas lavelocidad y orientacion deseadas al llegar a dicha region.Podemos decir que el algoritmo es “libre” de escoger la formacon la que cubre las distancias entre estas regiones
intermedias.
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R lt d
MotivacionDefiniciones
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ResultadosConclusiones
Planteamiento del problema
Planteamiento del problema
En cada una de las regiones objetivo se especifican ademas lavelocidad y orientacion deseadas al llegar a dicha region.Podemos decir que el algoritmo es “libre” de escoger la formacon la que cubre las distancias entre estas regiones
intermedias.
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Resultados
MotivacionDefiniciones
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ResultadosConclusiones
Planteamiento del problema
Planteamiento del problema
En cada una de las regiones objetivo se especifican ademas lavelocidad y orientacion deseadas al llegar a dicha region.Podemos decir que el algoritmo es “libre” de escoger la formacon la que cubre las distancias entre estas regiones
intermedias.
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Resultados
MotivacionDefiniciones
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ResultadosConclusiones
Planteamiento del problema
Planteamiento del problema
En cada una de las regiones objetivo se especifican ademas lavelocidad y orientacion deseadas al llegar a dicha region.Podemos decir que el algoritmo es “libre” de escoger la formacon la que cubre las distancias entre estas regiones
intermedias.
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Resultados
MotivacionDefiniciones
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ResultadosConclusiones
Planteamiento del problema
Planteamiento del problema
En cada una de las regiones objetivo se especifican ademas lavelocidad y orientacion deseadas al llegar a dicha region.Podemos decir que el algoritmo es “libre” de escoger la formacon la que cubre las distancias entre estas regiones
intermedias.
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Resultados
MotivacionDefinicionesPl i d l bl
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ResultadosConclusiones
Planteamiento del problema
Planteamiento del problema
En cada una de las regiones objetivo se especifican ademas lavelocidad y orientacion deseadas al llegar a dicha region.Podemos decir que el algoritmo es “libre” de escoger la formacon la que cubre las distancias entre estas regiones
intermedias.
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Resultados
MotivacionDefinicionesPl t i t d l bl
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ConclusionesPlanteamiento del problema
Planteamiento del problema
Cada una de las regiones objetivo tiene un diametro paraindicar la importancia de la precision deseada de la trayectoriaal pasar por dicho punto.
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Resultados
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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ConclusionesPlanteamiento del problema
Planteamiento del problema
Cada una de las regiones objetivo tiene un diametro paraindicar la importancia de la precision deseada de la trayectoriaal pasar por dicho punto.
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Resultados
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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ConclusionesPlanteamiento del problema
Planteamiento del problema
Cada una de las regiones objetivo tiene un diametro paraindicar la importancia de la precision deseada de la trayectoriaal pasar por dicho punto.
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
C l i
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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ConclusionesPlanteamiento del problema
Planteamiento del problema
Cada una de las regiones objetivo tiene un diametro paraindicar la importancia de la precision deseada de la trayectoriaal pasar por dicho punto.
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Concl siones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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Conclusionesp
Planteamiento del problema
Cada una de las regiones objetivo tiene un diametro paraindicar la importancia de la precision deseada de la trayectoriaal pasar por dicho punto.
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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Conclusiones
Planteamiento del problema
Cada una de las regiones objetivo tiene un diametro paraindicar la importancia de la precision deseada de la trayectoriaal pasar por dicho punto.
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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Conclusiones
Planteamiento del problema
Cada una de las regiones objetivo tiene un diametro paraindicar la importancia de la precision deseada de la trayectoriaal pasar por dicho punto.
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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Co c us o es
Planteamiento del problema
Desarrollamos un algoritmo de control optimo por segmentosel cual esta basado en LQR (regulador cuadratico lineal, porsus siglas en ingles). Esto significa que para cada segmento dela trayectoria se resuelve un problema de control optimo LQR.
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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Planteamiento del problema
Con este fin nosotros propusimos un modelo dinamico en elespacio de estado para robots omnidireccionales.
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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Objetivos
Plantear modelo en el espacio de estado de la dinamica delrobot.
Desarrollar un controlador que permita al robot viajar de una
region inicial a una region final con velocidad y orientacionespecificadas siguiendo una trayectoria determinada.
El controlador debera tener la versatilidad para cambiar elcriterio de optimalidad de una manera eficiente y ası poderaplicar una estrategia distinta entre cada segmento.
Presentar los resultados por medio de una serie de pruebasdentro de un ambiente virtual.
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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Objetivos
Plantear modelo en el espacio de estado de la dinamica delrobot.
Desarrollar un controlador que permita al robot viajar de una
region inicial a una region final con velocidad y orientacionespecificadas siguiendo una trayectoria determinada.
El controlador debera tener la versatilidad para cambiar elcriterio de optimalidad de una manera eficiente y ası poderaplicar una estrategia distinta entre cada segmento.
Presentar los resultados por medio de una serie de pruebasdentro de un ambiente virtual.
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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Objetivos
Plantear modelo en el espacio de estado de la dinamica delrobot.
Desarrollar un controlador que permita al robot viajar de una
region inicial a una region final con velocidad y orientacionespecificadas siguiendo una trayectoria determinada.
El controlador debera tener la versatilidad para cambiar elcriterio de optimalidad de una manera eficiente y ası poderaplicar una estrategia distinta entre cada segmento.
Presentar los resultados por medio de una serie de pruebasdentro de un ambiente virtual.
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema
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Objetivos
Plantear modelo en el espacio de estado de la dinamica delrobot.
Desarrollar un controlador que permita al robot viajar de una
region inicial a una region final con velocidad y orientacionespecificadas siguiendo una trayectoria determinada.
El controlador debera tener la versatilidad para cambiar elcriterio de optimalidad de una manera eficiente y ası poderaplicar una estrategia distinta entre cada segmento.
Presentar los resultados por medio de una serie de pruebasdentro de un ambiente virtual.
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
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Dinamica de un robot movil omnidireccional
La dinamica del robot puede ser modelada de la siguiente forma
ax
ay R ω
=
1
M
− sin θ1 . . . − sin θ4
cos θ1 . . . cos θ4MR 2
I . . . MR 2
I
f 1f 2f 3f 4
(1)
Donde
(ax , ay ) = Aceleracion con la que se transladael robot
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
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Dinamica de un robot movil omnidireccional
La dinamica del robot puede ser modelada de la siguiente forma
ax
ay R ω
=
1
M
− sin θ1 . . . − sin θ4
cos θ1 . . . cos θ4MR 2
I . . . MR 2
I
f 1f 2f 3f 4
(1)
Donde
ω = Aceleracion con la que rota elrobot
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
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Dinamica de un robot movil omnidireccional
La dinamica del robot puede ser modelada de la siguiente forma
ax
ay R ω
=
1
M
− sin θ1 . . . − sin θ4
cos θ1 . . . cos θ4MR 2
I . . . MR 2
I
f 1f 2f 3f 4
(1)
Donde
θi = Posicion angular del motor i re-specto a un punto de referencia enel robot
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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
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Dinamica de un robot movil omnidireccional
La dinamica del robot puede ser modelada de la siguiente forma
ax
ay R ω
=
1
M
− sin θ1 . . . − sin θ4
cos θ1 . . . cos θ4MR 2
I . . . MR 2
I
f 1f 2f 3f 4
(1)
Donde
f i = Fuerza escalar aplicada por cadamotor i
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
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Dinamica de un robot movil omnidireccional
La dinamica del robot puede ser modelada de la siguiente forma
ax
ay R ω
=
1
M
− sin θ1 . . . − sin θ4
cos θ1 . . . cos θ4M R 2
I . . . M R 2
I
f 1f 2f 3f 4
(1)
Donde
M = Masa del robot
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
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Dinamica de un robot movil omnidireccional
La dinamica del robot puede ser modelada de la siguiente forma
ax
ay R ω
=
1
M
− sin θ1 . . . − sin θ4
cos θ1 . . . cos θ4MR 2
I . . . MR 2
I
f 1f 2f 3f 4
(1)
Donde
I = Momento de inercia del robot
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
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Dinamica de un robot movil omnidireccional
La dinamica del robot puede ser modelada de la siguiente forma
ax
ay R ω
=
1
M
− sin θ1 . . . − sin θ4
cos θ1 . . . cos θ4M R 2
I . . . M R 2
I
f 1f 2f 3f 4
(1)
Donde
R = Radio del cuerpo del robot
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
M d l Di ´ i V i bl d d
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Modelo Dinamico: Variables de estado
z ≡
x y β x y β µ1 . . . µ4T
(x , y ) = Posicion del robot respecto al la cancha
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
M d l Di ´ i V i bl d d
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Modelo Dinamico: Variables de estado
z ≡
x y β x y β µ1 . . . µ4T
β = Posicion angular del robot respecto al la cancha
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
M d l Di ´ i V i bl d t d
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Modelo Dinamico: Variables de estado
z ≡
x y β x y β µ1 . . . µ4T
(x , y ) = Vector de velocidad del robot respecto a la cancha
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
M d l Di ´ i V i bl d t d
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Modelo Dinamico: Variables de estado
z ≡
x y β x y β µ1 . . . µ4T
β = Velocidad angular del robot respecto a la cancha
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
M d l Di ´ i V i bl s d st d
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Modelo Dinamico: Variables de estado
z ≡
x y β x y β µ1 . . . µ4T
(µ1, . . . , µ4) = Posicion angular de las ruedas
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Variables de estado
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Modelo Dinamico: Variables de estado
z ≡ (x y β x y β z1
µ1 . . . µ4 z2
)T
Particion del vector de estado
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Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Variables de estado
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Modelo Dinamico: Variables de estado
z ≡ (x y β z11
x y β z12
µ1 . . . µ4 z2
)T
Particion del vector de estado
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Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Variables de control
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Modelo Dinamico: Variables de control
u ≡1
M
f 1 f 2 f 3 f 4
T f i = fuerza escalar aplicada por cada rueda i tangente al piso de la
cancha
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Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
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Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
La ecuacion del espacio de estado del robot puede ser escrita de la
siguiente manera:z1
z2
=
A11 A12
A21 A22
z1
z2
+
B 1B 2
u (2)
Donde
A11 =
03×3 I3×3
03×3 03×3
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Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
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Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
La ecuacion del espacio de estado del robot puede ser escrita de la
siguiente manera:z1
z2
=
A11 A12
A21 A22
z1
z2
+
B 1B 2
u (2)
Donde
A12 = 06×6
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Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
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Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
La ecuacion del espacio de estado del robot puede ser escrita de la
siguiente manera:z1
z2
=
A11 A12
A21 A22
z1
z2
+
B 1B 2
u (2)
Donde
B 1 =
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
− sin θ1 − sin θ2 − sin θ3 − sin θ4
cos θ1 cos θ2 cos θ3 cos θ4MR I
MR I
MR I
MR I
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Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
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Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
La ecuacion del espacio de estado del robot puede ser escrita de la
siguiente manera:z1
z2
=
A11 A12
A21 A22
z1
z2
+
B 1B 2
u (2)
Donde
B 1(β ) =
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
− sin(θ1 + β ) − sin(θ2 + β ) . . . − sin(θ4 + β )cos(θ1 + β ) cos (θ2 + β ) . . . cos(θ4 + β )
MR I
MR I
MR I
MR I
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Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
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Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
La ecuacion del espacio de estado del robot puede ser escrita de la
siguiente manera:z1
z2
=
A11 A12
A21 A22
z1
z2
+
B 1B 2
u (2)
Donde
A21(β ) =1
r
04×3 A212(β )
A212(β ) = 1r
sin(θ1 + β ) − cos(θ1 + β ) −R
sin(θ2 + β ) − cos(θ2 + β ) −R sin(θ3 + β ) − cos(θ3 + β ) −R
sin(θ4 + β ) − cos(θ4 + β ) −R
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Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
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p
La ecuacion del espacio de estado del robot puede ser escrita de la
siguiente manera:z1
z2
=
A11 A12
A21 A22
z1
z2
+
B 1B 2
u (2)
Donde
A22 = 04×4
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 11/30
Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
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p
La ecuacion del espacio de estado del robot puede ser escrita de la
siguiente manera:z1
z2
=
A11 A12
A21 A22
z1
z2
+
B 1B 2
u (2)
Donde
B 2 = 04×4
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 11/30
Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
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p
Ahora podemos expresar la ecuacion del espacio de estados de lasiguiente forma:
z1z2
= A11 06×4A21(β ) 04×4
z1z2
+ B 1(β )04×4
u (3)
Claramente este es un modelo dinamico no lineal dado que loscoeficientes de las matrices A21(β ) y B 1(β ) dependen de β , la cual
es una de las variables del espacio de estado del sistema.
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 12/30
Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado
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Ahora podemos expresar la ecuacion del espacio de estados de lasiguiente forma:
z1z2
= A11 06×4A21(β ) 04×4
z1z2
+ B 1(β )04×4
u (3)
Claramente este es un modelo dinamico no lineal dado que loscoeficientes de las matrices A21(β ) y B 1(β ) dependen de β , la cual
es una de las variables del espacio de estado del sistema.
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 12/30
Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Linealizacion del Modelo
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Para linealizar el modelo vamos a necesitar un cambio devariable.
La unica razon por la cual el modelo es no lineal es porque ladirecion del vector de fuerza resultante aplicado por las cuatro
ruedas depende de la posicion angular β .
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 13/30
Introduccion
Solucion del ProblemaResultados
Conclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Linealizacion del Modelo
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Para linealizar el modelo vamos a necesitar un cambio devariable.
La unica razon por la cual el modelo es no lineal es porque ladirecion del vector de fuerza resultante aplicado por las cuatro
ruedas depende de la posicion angular β .
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 13/30
Introduccion
Solucion del ProblemaResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Linealizacion del Modelo
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Para linealizar el modelo vamos a necesitar un cambio devariable.
La unica razon por la cual el modelo es no lineal es porque ladirecion del vector de fuerza resultante aplicado por las cuatro
ruedas depende de la posicion angular β .
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 13/30
Introduccion
Solucion del ProblemaResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Linealizacion del Modelo
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Para linealizar el modelo vamos a necesitar un cambio devariable.
La unica razon por la cual el modelo es no lineal es porque ladirecion del vector de fuerza resultante aplicado por las cuatro
ruedas depende de la posicion angular β .
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 13/30
Introduccion
Solucion del ProblemaResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Linealizacion del Modelo
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Para linealizar el modelo vamos a necesitar un cambio devariable.
La unica razon por la cual el modelo es no lineal es porque ladirecion del vector de fuerza resultante aplicado por las cuatro
ruedas depende de la posicion angular β .
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 13/30
Introduccion
Solucion del ProblemaResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Linealizacion del Modelo
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Digamos que F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 es el vector de fuerzaresultante aplicado a por las ruedas del robot cuando este estaen una posicion β .
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 14/30
Introduccion
Solucion del ProblemaResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Linealizacion del Modelo
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Digamos que F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 es el vector de fuerzaresultante aplicado a por las ruedas del robot cuando este estaen una posicion β .
Digamos que u sera nuestro vector de control el cualproducira el mismo vector de fuerza resultante F cuando el
robot este en la posicion angular β = 0.
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 14/30
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Solucion del ProblemaResultadosConclusiones
Modelo Dinamico
LinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Linealizacion del Modelo
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Digamos que F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 es el vector de fuerzaresultante aplicado a por las ruedas del robot cuando este estaen una posicion β .
Digamos que u sera nuestro vector de control el cualproducira el mismo vector de fuerza resultante F cuando el
robot este en la posicion angular β = 0.
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 14/30
Introduccion
Solucion del ProblemaResultadosConclusiones
Modelo Dinamico
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Linealizacion del Modelo
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Digamos que F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 es el vector de fuerzaresultante aplicado a por las ruedas del robot cuando este estaen una posicion β .
Digamos que u sera nuestro vector de control el cualproducira el mismo vector de fuerza resultante F cuando el
robot este en la posicion angular β = 0.
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Introduccion
Solucion del ProblemaResultadosConclusiones
Modelo Dinamico
LinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Linealizacion del Modelo
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Digamos que F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 es el vector de fuerzaresultante aplicado a por las ruedas del robot cuando este estaen una posicion β .
Digamos que u sera nuestro vector de control el cualproducira el mismo vector de fuerza resultante F cuando el
robot este en la posicion angular β = 0.Entonces los vectores de control u y u se relacionan de lasiguiente forma
sin(θ1) . . . sin(θ4)
u =
sin(θ1 + β ) . . . sin(θ4 + β )
u
cos(θ1) . . . cos(θ4)
u
=
cos(θ1 + β ) . . . cos(θ4 + β )
u1 1 1 1
u =
1 1 1 1
u
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Solucion del ProblemaResultadosConclusiones
Modelo Dinamico
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Este sistema de tres ecuaciones no esta completamentedeterminado porque u es de 4 dimensiones
Por lo tanto requerimos una cuarta ecuacion para tener unatransformacion de rango completo de u a u.
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Introduccion
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Modelo Dinamico
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Este sistema de tres ecuaciones no esta completamentedeterminado porque u es de 4 dimensiones
Por lo tanto requerimos una cuarta ecuacion para tener unatransformacion de rango completo de u a u.
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Este sistema de tres ecuaciones no esta completamentedeterminado porque u es de 4 dimensiones
Por lo tanto requerimos una cuarta ecuacion para tener unatransformacion de rango completo de u a u.
La transformacion lineal de rango completo que mapeabiyectivamente de u a u es entonces
sin(θ)cos(θ)
1 1 1 11 −1 1 −1
u =
sin(θ + β )cos(θ + β )
1 1 1 11 −1 1 −1
u
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Solucion del ProblemaResultadosConclusiones
Modelo Dinamico
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Digamos que Ω(β ) esta definido como
Ω(β ) =
sin(θ)cos(θ)
1 1 1 1
1 −1 1 −1
−1
sin(θ + β )cos(θ + β )
1 1 1 1
1 −1 1 −1
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Digamos que Ω(β ) esta definido como
Ω(β ) =
sin(θ)cos(θ)
1 1 1 1
1 −1 1 −1
−1
sin(θ + β )cos(θ + β )
1 1 1 1
1 −1 1 −1
El cambio de variable de u a u puede ahora ser expresadocomo
u
= Ω(β )uu = Ω(β )−1u
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ResultadosConclusiones
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Digamos que Ω(β ) esta definido como
Ω(β ) =
sin(θ)cos(θ)
1 1 1 1
1 −1 1 −1
−1
sin(θ + β )cos(θ + β )
1 1 1 1
1 −1 1 −1
Ω(β ) tiene la propiedad de cancelar el efecto no lineal de β enla matriz B 1(β ) ya que B 1(0) = B 1(β )Ω(β )−1
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El modelo dinamico del robot puede ser linealizado de lasiguiente forma...
z1
z2
=
A11 06×4
A21(β ) 04×4
z1
z2
+
B 1(β )04×4
u
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El modelo dinamico del robot puede ser linealizado de lasiguiente forma...
z1
z2
=
A11 06×4
A21(β ) 04×4
z1
z2
+
B 1(β )04×4
Ω(β )−1u
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El modelo dinamico del robot puede ser linealizado de lasiguiente forma...
z1
z2
=
A11 06×4
A21(β ) 04×4
z1
z2
+
B 1(β )Ω(β )−1
04×4Ω(β )−1
u
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El modelo dinamico del robot puede ser linealizado de lasiguiente forma...
z1
z2
=
A11 06×4
A21(β ) 04×4
z1
z2
+
B 1(0)04×4
u
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Modelo Linealizado
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El modelo dinamico del robot puede ser linealizado de lasiguiente forma...
z1
z2
=
A11 06×4
A21(β ) 04×4
z1
z2
+
B 1(0)04×4
u
El cual puede ser escrito como
z1 = A11z1 + B 1(0)u
z2 = A21(β )z1(4)
Donde la primer ecuacion es lineal respecto a z1 y u.
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Especificacion de la trayectoria
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La trayectoria del robot es especificada por una secuencia de“regiones objetivo”.
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La trayectoria del robot es especificada por una secuencia de“regiones objetivo”.
Cada region objetivo especifica un valor deseado para cadavariable de estado ademas de un radio para cada region.
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Especificacion de la trayectoria
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La trayectoria del robot es especificada por una secuencia de“regiones objetivo”.
Cada region objetivo especifica un valor deseado para cadavariable de estado ademas de un radio para cada region.
Tan pronto como el robot entra a la region objetivo este esforzado por el controlador para dirigirse al siguiente objetivo.
U i e sidad La Salle Jos e R Rabada Co t ol de ejec cio de t a ecto ias 18/30
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La trayectoria del robot es especificada por una secuencia de“regiones objetivo”.
Cada region objetivo especifica un valor deseado para cadavariable de estado ademas de un radio para cada region.
Tan pronto como el robot entra a la region objetivo este esforzado por el controlador para dirigirse al siguiente objetivo.
Esto da como resultado una trayectoria suave segmentada queguia al robot por todos los objetivos propuestos.
U i id d L S ll J ´ R R b d´ C t l d j i´ d t t i 18/30
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La secuencia de regiones objetivo debera ser especificada(dinamica o estrategicamente) por una capa superior de“inteligencia” la cual tomara las desiciones sobre latrayectoria.
U i id d L S ll J ´ R R b d´ C t l d j i´ d t t i 19/30
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La secuencia de regiones objetivo debera ser especificada(dinamica o estrategicamente) por una capa superior de“inteligencia” la cual tomara las desiciones sobre latrayectoria.
La ejecucion de la trayectoria de cada segmento es calculada
como un problema de control LQR independiente.
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ResultadosConclusiones
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La secuencia de regiones objetivo debera ser especificada(dinamica o estrategicamente) por una capa superior de“inteligencia” la cual tomara las desiciones sobre latrayectoria.
La ejecucion de la trayectoria de cada segmento es calculada
como un problema de control LQR independiente.
La estrategia de control para cada segmento es obtenidaencontrando la matriz de retroalimentacion K para conseguirque u = −Kz 1 minimice el ındice de desempeno J dado por
J = ∞
0(z T 1 Qz 1 + u T Ru )dt
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ResultadosConclusiones
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El ındice de desempeno J depende de las especificaciones dedos matrices definidas positivas y simetricas Q y R .
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El ındice de desempeno J depende de las especificaciones dedos matrices definidas positivas y simetricas Q y R .
Para simplificar en nuestra aproximacion Q y R son definidascomo matrices diagonales
Q = diag(w xy , w xy , w β , w v , w v , w β )R = w mI 4×4
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Especificacion del ındice de desempeno
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El ındice de desempeno J depende de las especificaciones dedos matrices definidas positivas y simetricas Q y R .
Para simplificar en nuestra aproximacion Q y R son definidascomo matrices diagonales
Q = diag(w xy , w xy , w β , w v , w v , w β )R = w mI 4×4
Donde
w xy : es el costo del peso de la XY posicion del robot
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ResultadosConclusiones
Modelo Dinamico
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Especificacion del ındice de desempeno
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El ındice de desempeno J depende de las especificaciones dedos matrices definidas positivas y simetricas Q y R .
Para simplificar en nuestra aproximacion Q y R son definidascomo matrices diagonales
Q = diag(w xy , w xy , w β , w v , w v , w β )R = w mI 4×4
Donde
w v : es el costo del peso de la XY velocidad del robot
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 20/30
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ResultadosConclusiones
Modelo Dinamico
LinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Especificacion del ındice de desempeno
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El ındice de desempeno J depende de las especificaciones dedos matrices definidas positivas y simetricas Q y R .
Para simplificar en nuestra aproximacion Q y R son definidascomo matrices diagonales
Q = diag(w xy , w xy , w β , w v , w v , w β )R = w mI 4×4
Donde
w β : es el costo del peso de la posicion angular del robot
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ResultadosConclusiones
Modelo Dinamico
LinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Especificacion del ındice de desempeno
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El ındice de desempeno J depende de las especificaciones dedos matrices definidas positivas y simetricas Q y R .
Para simplificar en nuestra aproximacion Q y R son definidascomo matrices diagonales
Q = diag(w xy , w xy , w β , w v , w v , w β )R = w mI 4×4
Donde
w m : es el costo del peso del torque de los motores
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ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Especificacion del ındice de desempeno
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Cada region objetivo especifica un conjunto de pesos para elındice de desempeno.
Esto permite aplicar una estrategia de control diferente a cadasegmento.
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ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Especificacion del ındice de desempeno
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Cada region objetivo especifica un conjunto de pesos para elındice de desempeno.
Esto permite aplicar una estrategia de control diferente a cadasegmento.
De esta forma, por ejemplo,
El robot puede ser forzado a moverse rapidamente ensegmentos donde la trayectoria no requiere tener precision.
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Especificacion del ındice de desempeno
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Cada region objetivo especifica un conjunto de pesos para elındice de desempeno.
Esto permite aplicar una estrategia de control diferente a cadasegmento.
De esta forma, por ejemplo,
Ası tambien es libre de rotar en aquellos segmentos en loscuales la orientacion no tiene importancia.
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos
Especificacion del ındice de desempeno
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Cada region objetivo especifica un conjunto de pesos para elındice de desempeno.
Esto permite aplicar una estrategia de control diferente a cadasegmento.
De esta forma, por ejemplo,
Ası tambien es libre de rotar en aquellos segmentos en loscuales la orientacion no tiene importancia.
Entonces, este puede limitar su consumo de energıa para solousarla en aquellos objetivos que realmente la requieren.
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia
Problema de prueba
Se probo nuestra estrategia de control con el siguiente
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problema:Con un robot con la siguiente distribucion de ruedas
θ1 θ2 θ3 θ4
60 135−135
−60
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia
Problema de prueba
Se probo nuestra estrategia de control con el siguiente
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problema:Los parametros del ındice de optimalidad para cada segmento
Par. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
w xy 1 5 5 5 5 1 1 1 5w v 1 1 1 1 1 1 1 0.1 0.1w β 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 1 5 5w β
1 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0.1 0.1 0.1
w m 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia
Problema de prueba
Se probo nuestra estrategia de control con el siguiente
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problema:
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia
Experimento de simulacion del modelo en 3D desarrollado
con OpenGL
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia
Comparacion por estrategia
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Se propuso una serie de tres estrategias distintasNuestro criterio fue el consumo de energia
Alto consumoMedio consumoBajo consumo
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3D
Comparacion por estrategia
Comparacion por estrategia
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Se propuso una serie de tres estrategias distintasNuestro criterio fue el consumo de energia
Alto consumoMedio consumoBajo consumo
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3D
Comparacion por estrategia
Comparacion por estrategia
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Se propuso una serie de tres estrategias distintasNuestro criterio fue el consumo de energia
Alto consumoMedio consumoBajo consumo
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3D
Comparacion por estrategia
Comparacion por estrategia
Se propuso una serie de tres estrategias distintas
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p p g
Nuestro criterio fue el consumo de energia
Alto consumoMedio consumoBajo consumo
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3D
Comparacion por estrategia
Comparacion por estrategia
Se propuso una serie de tres estrategias distintas
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Nuestro criterio fue el consumo de energia
Alto consumoMedio consumoBajo consumo
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3D
Comparacion por estrategia
Comparacion por estrategia... Resultados
Estrategia de bajo consumo
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3D
Comparacion por estrategia
Comparacion por estrategia... Resultados
Estrategia de mediano consumo
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3D
Comparacion por estrategia
Comparacion por estrategia... Resultados
C i´ d l id d
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Comparacion de velocidades
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3D
Comparacion por estrategia
Comparacion por estrategia... Resultados
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Tabla de comparacion por estrategia:
Estrategia Energıa consumida Tiempo del trayecto
Alto consumo 3250000 16.28Mediano consumo 765000 20.32
Bajo consumo 203000 30.48
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
ConclusionesTrabajo a futuro
References
Conclusiones
Hemos formulado un modelo en el espacio de estado para un
robot mo il omnidireccional de 4 r edas
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robot movil omnidireccional de 4 ruedas.este puede ser facilmente modificado para tener un robot de n
numero de ruedas con n ≥ 3.
El modelo en espacio de estado es no lineal. Sin embargo,mostramos como linealizarlo usando un cambio de variable.
Hemos introducido un algoritmo de control basado en unasecuencia de regiones objetivo.
Cada segmento en la secuencia es calculado como unproblema de control LQR independiente.
Esto permite aplicar una gran variedad de estrategiasdiferentes para cada segmento.
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
ConclusionesTrabajo a futuro
References
Conclusiones
Hemos formulado un modelo en el espacio de estado para un
robot movil omnidireccional de 4 ruedas
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robot movil omnidireccional de 4 ruedas.este puede ser facilmente modificado para tener un robot de n
numero de ruedas con n ≥ 3.
El modelo en espacio de estado es no lineal. Sin embargo,mostramos como linealizarlo usando un cambio de variable.
Hemos introducido un algoritmo de control basado en unasecuencia de regiones objetivo.
Cada segmento en la secuencia es calculado como unproblema de control LQR independiente.
Esto permite aplicar una gran variedad de estrategiasdiferentes para cada segmento.
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
ConclusionesTrabajo a futuro
References
Conclusiones
Hemos formulado un modelo en el espacio de estado para un
robot movil omnidireccional de 4 ruedas
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robot movil omnidireccional de 4 ruedas.este puede ser facilmente modificado para tener un robot de n
numero de ruedas con n ≥ 3.
El modelo en espacio de estado es no lineal. Sin embargo,mostramos como linealizarlo usando un cambio de variable.
Hemos introducido un algoritmo de control basado en unasecuencia de regiones objetivo.
Cada segmento en la secuencia es calculado como unproblema de control LQR independiente.
Esto permite aplicar una gran variedad de estrategiasdiferentes para cada segmento.
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ResultadosConclusiones
ConclusionesTrabajo a futuro
References
Conclusiones
Hemos formulado un modelo en el espacio de estado para un
robot movil omnidireccional de 4 ruedas
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robot movil omnidireccional de 4 ruedas.este puede ser facilmente modificado para tener un robot de n
numero de ruedas con n ≥ 3.
El modelo en espacio de estado es no lineal. Sin embargo,mostramos como linealizarlo usando un cambio de variable.
Hemos introducido un algoritmo de control basado en unasecuencia de regiones objetivo.
Cada segmento en la secuencia es calculado como unproblema de control LQR independiente.
Esto permite aplicar una gran variedad de estrategiasdiferentes para cada segmento.
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ResultadosConclusiones
ConclusionesTrabajo a futuro
References
Conclusiones
Hemos formulado un modelo en el espacio de estado para un
robot movil omnidireccional de 4 ruedas
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robot movil omnidireccional de 4 ruedas.este puede ser facilmente modificado para tener un robot de n
numero de ruedas con n ≥ 3.
El modelo en espacio de estado es no lineal. Sin embargo,mostramos como linealizarlo usando un cambio de variable.
Hemos introducido un algoritmo de control basado en unasecuencia de regiones objetivo.
Cada segmento en la secuencia es calculado como unproblema de control LQR independiente.
Esto permite aplicar una gran variedad de estrategiasdiferentes para cada segmento.
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
ConclusionesTrabajo a futuro
References
Trabajo a futuro
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Dentro del trabajo a futuro se requiere...
Estimar las variables de estado.El desarrollo de una version discreta en el tiempo del modelo yde la estrategia de control.El desarrollo de una capa superior de inteligencia para generardinamicamente la secuencia de objetivos.
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ResultadosConclusiones
ConclusionesTrabajo a futuro
References
Trabajo a futuro
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Dentro del trabajo a futuro se requiere...
Estimar las variables de estado.El desarrollo de una version discreta en el tiempo del modelo yde la estrategia de control.El desarrollo de una capa superior de inteligencia para generardinamicamente la secuencia de objetivos.
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
ConclusionesTrabajo a futuro
References
Trabajo a futuro
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Dentro del trabajo a futuro se requiere...
Estimar las variables de estado.El desarrollo de una version discreta en el tiempo del modelo yde la estrategia de control.El desarrollo de una capa superior de inteligencia para generardinamicamente la secuencia de objetivos.
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IntroduccionSolucion del Problema
ResultadosConclusiones
ConclusionesTrabajo a futuro
References
Bibliografia
T. Kalmar-Nagy, R. D’Andrea and P. Ganguly.Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an
Page 138
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gy, g yNear optimal dynamic trajectory generation and control of anomnidirectional vehicle.Robotics and Autonomous Systems , 46:47–64, 2004.
O. Purwin and R. D’Andrea.
Trajectory generation for four wheeled omnidirectional vehicles.American Control Conference , 4979–4984, Jun. 2005.
L. F. Lupian and J.R. Rabadan.Segment-wise optimal trajectory exectution control for four-wheeledomnidirectional mobile robots.
IEEE Latin American Robotics Symposium, 2009.
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 30/30
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IntroduccionSolucion del Problema
Resultados
Conclusiones
ConclusionesTrabajo a futuro
References
Bibliografia
T. Kalmar-Nagy, R. D’Andrea and P. Ganguly.Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an
Page 140
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L. F. Lupian and J.R. Rabadan.Segment-wise optimal trajectory exectution control for four-wheeledomnidirectional mobile robots.
IEEE Latin American Robotics Symposium, 2009.
Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 30/30