Control a Vill i Dad

CAPITULO 5ºCONTROLABILIDAD Y

OBSERVABILIDAD

Ing. Diego A. Patino G. M Sc., Ph. D.

Controlabilidad y ObservabilidadEn este capítulo se introducen los conceptos de controlabilidad y observabilidad. Estos conceptos describen la interacción entre el mundo externo (entradas y salidas) y las variables internas del sistema (estados). La controlabilidad – alcanzabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento de un sistema puede ser controlado por medio de sus entradas.La observabilidad – constructibilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno del sistema puede detectarse en sus salidas.

Controlabilidad

nxpnxn BAttt

ℜ∈ℜ∈

+=

;)()()( BuAxx&

nf ℜ∈x

El sistema de n estados y p entradas:

Es ALCANZABLE si para cualquier existe un tiempo t1 y una ley de control u(t) que transfiere x(t0) = 0 a x(t1) = xf

Es CONTROLABLE si para cualquier existe una ley de control u(t) que lleva al estado inicial al estado cero en un tiempo t1 > t0

nℜ∈0x

Controlabilidad

La controlabilidad tiene que ver con la posibilidad de llevar al sistema de cualquier estado inicial a cualquier estado final en tiempo finito, no importando qué trayectoria se siga, o quéentrada se use.

Sistema No Controlable

Como la controlabilidad relaciona las entradas y los estados del sistema, la ecuación de salida es irrelevante y por lo tanto se habla de la controlabilidad del par (a,B)

Para sistemas continuos LIT los dos conceptos son equivalentes, para sistemas discretos no.

Controlabilidad

τττ detetxt

t

ttt ∫ −− +=0

0 )()()( )(0

)( Bux AA

La solución de un sistema continuo LIT:

Para alcanzabilidad con condición inicial cero y x(t1) = xf

ττ

ττ

τ

τ

dee

de

t

tv

ft

tt

f

∫

∫

−−

−

=

=

0)(

0

)(

)(

)(

Bux

Bux

AA

A

321

ControlabilidadPara controlabilidad con x(0) = x0 y x(tf) = 0

ττ det

t∫ −=−0

)()0( Bux A

∫ −+=t

tt ee0

)( )()0(0 ττ Bux AA

Existe una entrada u(t) que puede llevar al sistema a un estado final cualquiera: para sistemas continuos LIT los dos conceptos son iguales

Controlabilidad

BAte−

Teorema (Tests de Controlabilidad). La siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. El par (A,B), A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×p, es controlable/alcanzable

2. La matriz de controlabilidad,

es de rango n (rango completo ).

4. La matriz n × n

es no singular para todo t > 0.

3. Las n filas de son LI sobre R en el intervalo t [0,∞)

[ ][ ] ττφτφ dttttW Tt

tc BB ),(),(),( 0010

1

0

∫=

Controlabilidad

∫ −− +=t

t

ttt detetx0

0 )()()( )(0

)( τττ Bux AA

La solución de un sistema continuo LIT:

Dada una condición inicial x(t0) = x0 se desea alcanzar el estado cero en un tiempo t1 finito x(t1) = 0

τττ

ξ

detet

t

t

t

tt ∫ −− =−1

0

1

1

01 )()( )(

)(

0)( Bux AA

44 344 21

Prueba de 1 a 2:

El vector ξ(t) es de n dimensiones y arbitrario

Controlabilidad

∑−

=

−

−−

−=

+++=1

01

)(

1110

)(

)(...)()(

1

n

i

ii

t

nn

t

te

ttte

A

AAI

A

A

τα

ααα

τ

Empleando el teorema de Cailey – Hamilton:

Como el tiempo t1 es arbitrario :

τττβ

τβ

τβτα

τ

d

e

t

t

t

n

i

ii

n

i

ii

t

ii

)()(

)(

)()(

1

0

1

1

01

1

0

)(

1

BuAξ

AA

∫ ∑

∑

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

=−

−

=

−

=

−

Controlabilidad

[ ]

44 344 2144344211

1

0

0

1

0

1

0

)()(....)()(

)()(...)()()()(

11

0

11

11

00

1

−Γ

−−

Γ

−−

∫∫

∫

++=

+++=

n

dd

dAA

t

tn

nt

t

t

tn

n

τττβτττβ

τττβττβττβ

uBAuB

uBAuBuBξ

Los βi son escalares:

En notación matricial:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Γ

Γ

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Γ

Γ

=

−−

−−

1

0

1

0

11 .

...

...

nn

CC

44444 344444 21BABAABB n2nξ

ControlabilidadComo el vector ξ(t) es arbitrario se debe garantizar que la ecuación anterior tiene solución por lo tanto:

La matriz C debe ser de rango completo

Para sistemas multivariable B es nxp y la matriz C es de orden nxnxp, el rango debe ser n

Controlabilidad

BAte−

),0[ ∞∈∀t

Prueba de 2 a 3:

Si la matriz C es de rango completo las n filas de la matriz

son linealmente independientes sobre el conjunto de los reales

y

Por contradicción: se asume que existe un vector q no cero tal que:

TT

TtT

tsite

0Bq

0Bq A

=

=∞∈∀=−

0),0[

Controlabilidad

TnT

TT

TtT

vecesnderivando

tparae

0BAq

0ABq

0BAq A

=

−=

==−

−

−

1

1

:0)(

[ ]

[ ] nderangoel

como

n

T

TnT

<

≠

=

−

−

BAABB

q0BAABBq

1

1

....:0

....

Derivando:

Lo cual contradice la condición 2: las n filas de son Linealmente independientes

BAte−

Controlabilidad

],[0

),(

:

100

0

)(0

0

tttdt

tet

ttT

tA

T

∈∀=

==

∫ −−

−

0 asumir puede se

LIT sistema para

1tATA eBBeq

ττφ

BAte−

Prueba de 3 a 4:Si las n filas de la matriz son linealmente independientes sobre el conjunto de los reales y El determinante de la matriz W (t0, t1) ≠ 0 para todo t1 > t0

),0[ ∞∈∀t

Por contradicción se asume que det W (t0, t1) = 0. por lo tanto existe un vector q de dimensión n no nulo tal que:

Controlabilidad

La integral solo es nula cuando ζ(t) = 0 y como B y q son diferentes de cero, el vector es nulo solamente si las filas de la matriz e-AtB son Linealmente dependientes: esto contradice la condición 3, y por lo tanto:

El determinante de la matriz W (t0, t1) ≠ 0 para todo t1 > t0

0)(

],[))((

2

0

100 )()(

=

∈∀=

∫

∫ −−

dtt

tttdt T

t

t

t

tT T

T

1

1

t

t

ζ

AT

ζ

A

ζ

0qeBBeq 4342143421

Controlabilidad

[ ])()(),()( 01101 01 tetettet tttT T

xxWBu AAA −−−− −=

Prueba de 4 a 1:

Sea x(t0) = x0 una condición inicial arbitraria y sea x(t1) = xf unestado final arbitrario.

La ley de control:

Llevará al sistema desde x0 hasta x1

τττ deetxt

t

ttt ∫ −− +=1

0

101 )()0()( )()(1 Bux AA

Controlabilidad

[ ]

[ ] τ

τ

τ

τ

τ

dtetetteeee

dtetetteeetx

t

t denteIndependie

ttTtAttt

t

t

tttTttt T

})()(),({]][[)0(

)()(),()0()(

1

0

01101

1

0

01101

01101)(

01101)()(

1

∫

∫

−−−−−−

−−−−−−

−+=

−+=

44444 344444 21

xxWBBx

xxWBBx

AAAAA

AAAAA

Empleando la entrada planteada:

Sacando el término independiente:

[ ]

[ ]

)()()()()0()(

)()(),(),()0()(

11

01)(

1

01101

10)(

1

01101

01101

txtxteteeetx

tetetttteetx

ttttt

ttttt

=−+=

−+=

−−−

−−−−

xxx

xxWWx

AAAA

AAAA

44444 344444 21

Controlabilidad Ejemplo. La ecuación de estados lineal de un péndulo invertido

→

Esta matriz tiene rango 4; por lo que el sistema es controlable. Por lo tanto, si el ángulo x3= θ se desviara ligeramente de cero, existe un control u que lo retorna a cero en tiempo finito.La controlabilidad garantiza que existe una ley de control u capaz de llevar la posición del carro, x1=y y, el ángulo x3= θ, y sus derivadas a cero. Este hecho es consistente con la experiencia de balancear una escoba sobre la palma de una mano.

Controlabilidad Si bien esto es estrictamente cierto, en la práctica el control necesario puede ser imposible de implementar; por ejemplo si se exceden los límites admisibles de corriente del motor que mueve el carro.

Controlabilidad

[ ][ ] τττ deettW Tt

tc BB AA −−∫=

1

0

),( 10

[ ])()(),()( 01101 01 tetettet tttT T

xxWBu AAA −−−− −=

[ ][ ] ττφτφ dttttW Tt

tc BB ),(),(),( 1110

1

0

∫=

Hay diferencias en la notación dependiendo de los autores.

En Bay y Zak:

En Chen:

[ ])()(),(),(),()( 101101

1 ttttttttt TT xxWBu −−= − φφ

Pero los resultados son los mismos

Controlabilidad Control de Mínima Energía y Gramiano de Controlabilidad

La ley de control

tiene una propiedad interesante: es el control que gasta la mínima energía en llevar al sistema del estado x0 al estado x1 en el tiempo t1:si otra entrada de control û(t) hace la misma transferencia siempre se cumple que

Controlabilidad La mínima energía de control es mayor cuanto mayor sea la distancia entre x0 y x1, y cuanto menor el tiempo de transferencia t1 (ya que Wc(t1) es más cercano a ser singular).

Si todos los λ de A tiene parte real < 0, la solución única de:

es positiva definida .

Adicionalmente la integral Wc(t) converge para t = ∞. En ese caso se nota simplemente Wc(t) = Wc, y se llama gramiano de controlabilidad.

τdeBBeW tATAtc

T

∫∞

=0

Controlabilidad Las funciones de MATLAB Cc=ctrb(A,B) y W=gram(A,B) calculan respectivamente la matriz de controlabilidad C y el gramiano de controlabilidad Wc. Para saber si un sistema es controlable se puede verificar el rango de C o de Wc. Para calcular el control de mínima energía se necesita la matriz Wc(t1), que se puede calcular implementando

En MATLAB:O=zeros(n,n);

I=eye(n);

Wt=[I,O]*expm([A,B*Bˆ{T};O,-Aˆ{T}]*t)*[O;expm(Aˆ{T}*t)];

Controlabilidad Ejemplo: La siguiente figura ilustra una plataforma de las usadas para estudiar sistemas de suspensión para automóviles. El sistema consiste de una plataforma cuyos extremos la sustentan al piso mediante sistemas independientes de resortes y amortiguadores defricción viscosa. Asumiendo la masa de la plataforma cero, cada sistema de amortiguación en los extremos recibe la mitad de la fuerza aplicada a la plataforma. Las constantes de los resortes se asumen 1 y los coeficientes de fricción viscosa 2 y 1 respectivamente.

Sistema Plataforma

ControlabilidadSe toman los desplazamientos de la posición de equilibrio de los extremos de la plataforma como variables de estado, se tiene la ecuación de estados del sistema

Si los desplazamientos iniciales son distintos de cero, y si no hay fuerza aplicada, la plataforma va a volver a su posición de equilibrio exponencialmente (los valores propios de la matriz A del sistema son -0,5 y -1, por lo que el sistema es asintóticamente estable). En teoría el sistema tomaría un tiempo infinito en alcanzar su posición de equilibrio.Se plantea el siguiente problema: si x1(0) = 10 y x2(0) = -1, ¿existe una fuerza que lleve la plataforma a su posición de equilibrio en 2segundos?

Controlabilidad La respuesta no parece obvia pues la misma fuerza se aplica a los dos sistemas de amortiguación.

El rango de la matriz de controlabilidad

El sistema es controlable y, para cualquier x(0), existe una entrada que transfiera al sistema de x(0) a su posición de equilibrio en 2segundos. La matriz W:

Controlabilidad La fuerza

para t ∈ [0,2] lleva al estado del sistema de x(0) = [10,-1]T a [0, 0]T en 2segundos, como se ve en la siguiente figura.

Controlabilidad Teorema (Invariancia de la Controlabilidad Respecto a Cambio de Coordenadas). La controlabilidad es una propiedad invariante con respecto a transformaciones de equivalencia (cambios de coordenadas).

Dado el par (A,B) con matriz de controlabilidad

y su par equivalente

P es una matriz no singular.

Controlabilidad

La matriz de controlabilidad del par equivalente es

Como P es no singular, se obtiene que ρ(C) = ρ(Ĉ).

ControlabilidadEjemplo. Para el sistema hidráulico:

Es obvio que u(t) no puede afectar a x2(t), por lo que es intuitivamente evidente que el sistema es no controlable.

Un modelo en EE linealizado de este sistema, con parámetros unitarios es

y muestra que es no controlable (está en forma canónica modal).

ControlabilidadEjemplo. Dado el siguiente sistema hidráulico.

Puede verse que x1(t) y x3(t) no pueden ser afectadas en forma independiente por u(t).

La ecuación de estados linealizada, con parámetros unitarios, es

Controlabilidad

La matriz de controlabilidad

la cual tiene rango 2.

Por otro lado, si la entrada se aplicara en el primer tanque, como se muestra en la Figura, el sistema se vuelve controlable

Controlabilidad,

la matriz de controlabilidad con B = [1 0 0]T sería

la cual tiene rango 3.

ObservabilidadDefiniciones y Tests Fundamentales

El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad, e investiga la posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la entrada y la salida. Dado el sistema lineal invariante:

Observabilidad.

La ecuación de estado es observable si para cualquier estado inicial x(0) (desconocido), existe un tiempo finito t1 tal que el conocimiento de la entrada u y la salida y sobre el intervalo [0,t1] es suficiente para determinar en forma única el estado inicial x(0). En caso contrario el sistema es no observable.

ObservabilidadDado un estado inicial x(0) y una entrada u(t), la salida del sistema está dada por

Para estudiar observabilidad, la salida del sistema y(t) y la entrada u(t) se suponen conocidas, siendo el estado inicial x(0) la única incógnita.

Se puede definir una función g (t) como:

)0()(

)()()()(0

)(

xCetg

tDudBuCetytg

At

ttA

=

−−= ∫ − τττ

g(t) es conocida

Observabilidad

dttxCeCedttgCe

deetx

t

t

ttTttt

t

Ttt

t

t

ttt

TT

∫∫

∫

−−−

−−

=

+=

1

0

11

1

0

1

0

0

)(]][[)(

)()0()(

0)()()(

)()(

AAA

AA Bux

:integrando e g(t) icandopremultipl

τττ

A partir de g(t) se determina x(t0) y de la solución de la ecuación de estado se determina x(t) para t en el intervalo [t0,t1]:

)()],([)(][

]][[),(

010)(

)()(10

00

1

0

1

1

0

11

txettedttgCe

dtCeCettW

tAtAt

t

Ttt

t

t

ttTtto

T

T

−−−

−−

=

=

∫

∫

νA

AA

Observabilidad∫ −−−−=1

0

000 )(][]),([)( )(11000

t

t

TttAtAtA dttgCeettWetT

x

De las propiedades de la matriz de transición de estados:

00 1

1

][

)],([)],([tAtA TT

ee

tt

=

=−−

− τφτφ

Si la matriz ν-1(t0,t1) existe el estado inicial es:

∫ −−=1

0

000 )()],([)( )(11000

t

t

TttAtAtA dttgCeettWetTT

x

Observabilidad

teAC

Teorema (Tests de Observabilidad). La siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. El par (A,C), A ∈ Rn×n, C ∈ Rq×n, es observable

2. La matriz de observabilidad:

es de rango n (rango completo ).

4. La matriz n × n

es no singular para todo t1 > t0.

3. Las n columnas de son LI sobre R en el intervalo t [0,∞)

( )Tn 1−= CA..CAC O

dtCeCettWt

t

ttTtto

T

∫ −−=1

0

11 ]][[),( )()(10

AA

ObservabilidadConstructibilidad: el par (A,C) es construible si existe un t1 > t0finito tal que para una entrada u(t) arbitraria y la respuesta y(t) resultante en el intervalo [t0, t1] se puede determinar x(t1)

Para sistemas continuos LIT los dos conceptos son equivalentes.

Teorema (Dualidad entre Controlabilidad y Observabilidad). El par (A,B) es controlable si y sólo si el par (AT,BT) es observable.Se demuestra fácilmente empleando las matrices W y V.

ObservabilidadEjemplo:

Sistema No Observable

ObservabilidadObservación a Través de Diferenciación. Una forma alternativa de resolver

es a través de la diferenciación repetida de en t = 0 (que equivale a la diferenciación repetida de la entrada y la salida). Es fácil verificar que

por lo que se puede escribir

ObservabilidadSi el sistema es observable, O es de rango completo de columnas, ρ(O) = n. Entonces, existe una solución única del sistema de ecuaciones anterior, dada por

Si bien es factible implementar observación mediante este método de diferenciación, en la práctica no es recomendable, ya que la medición de y(t) va a incluir casi siempre ruido de alta frecuencia. La diferenciación de “amplifica” el ruido, aumentando los errores en el cálculo de x(0).

Por otro lado, como la integración tiene el efecto de “filtrar” ruido de alta frecuencia, es mucho mejor implementar el cálculo de x(0) a través de la fórmula

ObservabilidadGramiano de ObservabilidadSi la matriz A es negativa definida , la integral Wo(t) converge para t = ∞. En ese caso se nota simplemente Wo(t) = Wo, y se llama gramiano de observabilidad.

De los resultados anteriores se puede demostrar que si la matriz A es negativa definida, Wo es la única solución, y positiva definida, de la ecuación

Las funciones de MATLAB Ob=obsv(A,C) y Wo=gram(A’,C’)’calculan respectivamente la matriz de observabilidad O y el gramiano de observabilidad Wo. Verificando el rango de O o Wo se determina si un sistema es observable.

ObservabilidadTeorema (Invariancia de la Observabilidad Respecto a Cambio de Coordenadas). La observabilidad es una propiedad invariante con respecto a transformaciones de equivalencia (cambios de coordenadas).Ejemplo (Controlabilidad y Observabilidad de un circuito RLC). Para el circuito RLC el modelo de estado es:

El sistema es de segundo orden, n=2, con una entrada y una salida, p=1=q.

EjemploLa matriz de controlabilidad C,

El rango de C

La condición para que este determinante sea cero es

→

EjemploPor otro lado, la matriz de observabilidad O es

que es siempre de rango completo. En conclusión, el sistema es siempre observable, pero puede llegar a ser no controlable.

Analizando la función transferencia.

Ejemplo

EjemploLas raíces del polinomio característico:

Las dos raíces tienen parte real negativa: el sistema seráasintóticamente (y por ende, BIBO) estable para todo valor de R, L yC.

En particular, si R = √(L/C) (valor de R para el cual el sistema es no controlable):

es decir, dos raíces iguales.

EjemploPara este valor de R la función transferencia queda

que es ahora un sistema de primer orden. Para este particular valor de R los elementos almacenadores de energía combinan sus efectos de tal manera que el sistema se comporta, desde el punto de vista externo, como un sistema de primer orden. La pérdida de controlabilidad y la cancelación de un par polo-cero en la función transferencia para este particular valor de R no es una coincidencia; necesariamente debe haber cancelaciones en la función transferencia si el sistema es no controlable o no observable.

Sistemas VariantesDado el sistema de n estados, p entradas y q salidas

La ecuación de estados es controlable en t0 si existe un tiempo finito t1 > t0 tal que para cualquier x(t0) = x0 y cualquier x1, existe una entrada que transfiere x0 a x1 en tiempo t1. De lo contrario el sistema es no controlable en t0.

Para sistemas estacionarios, si la ecuación de estados es controlable, entonces es controlable en todo t0 y para cualquier t1 > t0. En el caso no estacionario la especificación de t0 y t1 es crucial.

Sistemas VariantesTeorema. (Controlabilidad de Sistemas No Estacionarios). El par (A(t),B(t)) es controlable en un tiempo t0 si y sólo las filas del producto matricial:

Φ(t,τ ) es la matriz de transición de estados de x’ = A(t)x.

)(),( 0 ττφ Bt

Son linealmente independientes en el intervalo [t0, t1]

Necesaria: si las filas son LI entonces la matriz de Gram:

Es no singular en el intervalo [t0, t1]

Sistemas Variantes

[ ] [ ])(),(),()( 0101

0 tttttt cTT xWBu −−= φ

Sea x(t0) = x0 una condición inicial arbitraria y sea x(t1) = 0

La ley de control:

Llevará al sistema desde x0 hasta 0 en el tiempo t1

ττττφφ dttttxt

t∫+=1

0

)()(),()0(),()( 1011 uBx

Sistemas Variantes

[ ] [ ] ττφτττφφ dttttttttxt

tc

TT∫ −−=1

0

)(),(),()()(),()0(),()( 0101

11011 xWBBx

Empleando la entrada planteada:

De las propiedades de la matriz de transición:

τττττ

ττ

dttttttttx

ttttt

t

T

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

=

∫ −1

0

)(),()](),()][(),([)0(),((

),(),(),(

0101

00011

0011

44 344 21xWBφBφxφ

φφφ

)

Sistemas Variantes

0)()(),(),()0()[,)(

1

0101

1001

=−= −

(t 1

txtttWttWtt cc xxx φ

Suficiente: por contradicción se asume que el sistema es controlable pero que la matriz W no es invertible. Por lo tanto es deficiente en rango y existe un espacio nulo no trivial tal que existe un vector z no nulo tal que:

La señal de entrada escogida lleva al sistema al estado cero en t1

0),(

0),(

10

10

=

=

zttWz

zttW

cTc

Sistemas Variantes[ ]

0)(),(:

0),(

)(),()(),(),(

0

2

0

0010

1

0

=

==

= ∫

ττφ

τφ

τττφττφ

Btz

zt

zdBtBtzzttWz

T

T

Tt

t

Tc

T

donde de

B T

Como el sistema es controlable debe existir una entrada uz(t) que lleve al sistema desde el estado x0 hasta el estado cero en t1

ττττφτφ duBtzt

zxsit

tz∫+=

=1

0

)()(),(),(0

)0(

10

Sistemas Variantes

( )

0 -

- z

==

==

=

∫

∫

=

−

−

ττττφ

τφτφφτφφ

ττττφφ

duBtzzz

tttttttpero

duBttt

t

tz

TT

t

tz

1

0

1

0

)()(),(

),(),(),(),(),(:

)()(),(),(

0

0

01101011

1011

4434421

Esto implica z = 0 lo cual contradice la suposición inicial: Wc debe ser invertible.Para aplicar este Teorema se necesita la matriz de transición de estados Φ(t,τ ), que no es fácil de evaluar.Se puede desarrollar un test de controlabilidad que no depende del conocimiento de Φ(t,τ ).

Sistemas VariantesSi A(t) y B(t) son continuamente diferenciables (n – 1) veces, se define la siguiente secuencia de matrices

De la definición se puede plantear.

)(),()(),(

)(),()(),(

)(),()(),(

00

100

000

tMtttBttt

tMtttBttt

tBtttMtt

mk

k

φφ

φφ

φφ

=∂∂

=∂∂

=

Sistemas VariantesTeorema. (Condición Suficiente para Controlabilidad de Sistemas No Estacionarios).Sean A(t) y B(t) continuamente diferenciables (n - 1) veces. Entonces el par (A(t), B(t)) es controlable en el intervalo [t0 , t1 ] si existe un τ en dicho intervalo tal que

Si el rango es menor de n nada ha sido probado.

Ejemplo. Dado el sistema

Sistemas VariantesComo A(t) y B(t) son continuamente diferenciables todas las veces que se quiera, calculamos

El determinante de la matriz

es t2 + 1, que es distinto de cero para todo t. Así el sistema es controlable en todo t.

Sistemas VariantesLa ecuación de estado

es observable en t0 si existe un tiempo finito t1 tal que para cualquier estado x(t0) = x0 el conocimiento de la entrada y la salida sobre el intervalo de tiempo [t0 , t1] es suficiente para determinar únicamente el estado inicial x0. De lo contrario el sistema es no observable en t0.

Teorema. (Observabilidad de Sistemas No Estacionarios). El par (A(t),C(t)) es observable en un tiempo t del intervalo [t0 , t1] si y sólo si existe las columnas de la matriz

),()( 10 tttC φ

Son LI

Sistemas Variantes

donde Φ(t,τ ), es la matriz de transición de estados de x´ = A(t)x, es no singular.

La matriz Gram de observabilidad:

Sistemas VariantesLa siguiente es una condición suficiente para observabilidad que prescinde del conocimiento de la matriz de transición de estados Φ(t,τ ).Teorema. (Condición Suficiente para Observabilidad de Sistemas No Estacionarios).Sean A(t) y C(t) continuamente diferenciables (n -1) veces. Entonces el par (A(t),C(t)) es observable en un tiempo t0 si existe un tiempo finito t1 > t0 tal que

donde

Sistemas VariantesLa dualidad entre controlabilidad y observabilidad que tienen los sistemas lineales estacionarios no se aplica a sistemas no estacionarios. Debe usarse la siguiente forma alterada.

Teorema. (Dualidad Controlabilidad - Observabilidad en Sistemas No Estacionarios). El par (A(t),B(t)) es controlable en t0 si y sólo si el par (-AT(t),BT(t)) es observable en t0.

Sistemas DiscretosEl sistema

con

Los conceptos y pruebas de controlabilidad y observabilidad parasistemas en tiempo discreto son análogos a los de tiempo continuo. Existen sin embargo diferencias importantes:

Controlabilidad y alcanzabilidad son conceptos diferentes

Sistemas Discretos

• Si un sistema en tiempo continuo es controlable, existe una entrada que transfiere el estado del sistema entre dos estados cualesquiera en un intervalo de tiempo finito arbitrario, no importa cuan pequeño este intervalo de tiempo sea. En el caso de tiempo discreto, este intervalo de tiempo no es arbitrario; existe un tiempo mínimo, tal que toda transferencia de estados debe necesariamente hacerse en un tiempo mayor o igual a T

• Para sistemas en tiempo continuo, si se puede llevar el estado al origen desde cualquier otro estado, siempre se puede hacer lo contrario: llevar el estado desde el origen a cualquier otro estado. En sistemas discretos esto no se cumple si la matriz A es singular.

Sistemas DiscretosControlabilidad al Origen y Alcanzabilidad

Existen en realidad tres definiciones aceptadas para controlabilidad, asociadas con la posibilidad de:

1 Transferir cualquier estado a cualquier estado

2 Tranferir cualquier estado al origen, llamada controlabilidad al origen, y

3 Tranferir el estado desde el origen a cualquier estado, llamadacontrolabilidad desde el origen, o alcanzabilidad.

Sistemas DiscretosPara sistemas lineales, estacionarios, y en tiempo continuo, las tres definiciones son equivalentes. Para sistemas lineales, estacionarios, y en tiempo discreto, si la matriz A es no singular, de nuevo, las tres definiciones son equivalentes. Sin embargo, si A es singular, el sistema puede ser no controlable según 1, pero controlable según 2.

Por ejemplo el sistema

La matriz de controlabilidad

tiene rango 1, por lo que el sistema es no controlable. Sin embargo, para cualquier x[0] = [α β]T, la entrada u[0] = 2α + β transfiere x[0] a x[1] = 0, en un paso. Caba notar que A es singular.

Sistemas Discretos

Para considerar la controlabilidad en el intervalo [j0 , j1] se toma el valor final x(j1) = 0 y se evalúan las condiciones para las cuales la ecuación :

))u(j1))u(j ... 2)-2)u(j-1)-1)u(j-

1)-1)u(j- 2)-2)u(j- ....1))u(j ))u(j

00

11

11

00

00101

1111

111111

01001

1001

()1,(1()2,(()1,((

(),(()1,(1()2,(()1,(

)1()1(),()(),(1

10

jBjjjBjjjBjjjB

jBjjjBjjjBjjjBjj

iuiBijjXjj d

j

ji

++++++

+−+=

+−+

++++++=

−−=− ∑+=

φφφ

φφφφ

φφ

Sistemas Discretos

En notación matricial:

[ ]

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

+−−−=−

)(

)2()1(

),(R

)(

)2()1(

)()1,(..)2()1,()1()(),(

0

1

1

10c

0

1

1

0011111001

ju

juju

jj

ju

juju

jBjjjBjjjBjXjj φφφ

Tiene una solución para un vector de secuencia de entrada, no necesariamente único. Rc es la matriz de controlabilidad

Sistemas Discretos

[ ]dj

ddddc

jkd

BABABjjR

Ajkjk1

101),(

)(),(−

−

=

=−= φφ

Para sistema invariante.

Si el vector

njxjj ℜ∈− )(),( 001φ

Es arbitrario la ecuación matricial anterior tiene solución única, si y solo si el rango de Rc es completo

Sistemas Discretos

njxjj ℜ∈− )(),( 001φ

)],([)],([ 1010 jjjjRc φρρ =

Pero en el caso discreto se puede tener rango de Rc < n si el vector

Está restringido a un subespacio del espacio de estado total: el sistema puede ser controlable con rango de Rc < n En este caso la controlabilidad se obtiene para:

Esto puede pasar porque una matriz Ad deficiente en rango puede resultar en un sistema que es controlable al estado cero con entrada cero. En el caso extremo Ad = 0

Bujxkx ∑+•== 0)(00)(

En el sistema continuo A = 0 significa un estado constante.

Sistemas DiscretosEn el caso discreto el número de términos en la matriz Rcdepende del número de pasos en el intervalo [j0 , j1] .

Si la matriz φ(j0 , j1) es de rango n1 para que el sistema sea controlable se requiere que el rango de Rc (j0,j1) sea también n1

Si el sistema es de una entrada (p = 1) el numero de columnas de la matriz Rc (j0,j1) es igual al número de pasos de tiempo en el intervalo j1-j0 y si este número es < n1 no hay posibilidades de controlabilidad.

Sistemas DiscretosAlcanzabilidad:

Un sistema es alcanzable si se puede llevar desde un estado inicial cero a un estado final arbitrario no cero: x(j0) = 0 y x(j1) = xf

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=

−−= ∑+=

)(

)2()1(

),

)1()1(),(

0

1

1

1

1

1

0

ju

juju

j

iUiBijxj

jif

0Ra(j

φ

Sistemas DiscretosSi xf es un vector arbitrario en Rn para que la ecuación anterior tenga solución:

njjRa =)],([ 10ρ

Un sistema discreto puede ser controlable sin ser alcanzable. Por eso la propiedad de alcanzabilidad es más deseable que la de controlabilidad.

El mismo resultado aplica para sistemas MIMO.

La restricción sobre el número de pasos requerido también aplica.

Para sistema invariante la matriz Ra es igual a la matriz Rc: la prueba es la misma pero el concepto es fundamentalmente distinto.

Sistemas DiscretosLa matriz Gram discreta de alcanzabilidad se define como:

[ ]Tj

jidc iBijiBijjjW ∑

−

=

++=1

1110

1

0

)()1,()()1,(),( φφ

El sistema discreto es alcanzable en el intervalo [j0 , j1] si ysólo si el Gram de alcanzabilidad es no singular

Sistemas DiscretosTeorema (Tests de Alcanzabilidad). La siguientes afirmaciones son equivalentes:

• El par ,es alcanzable

• La matriz de alcanzabilidad,

es de rango n (rango completo de fila).

• La matriz n × n

es no singular.

• La matriz tiene rango completo de fila para cada valor propio λ de A.

Sistemas DiscretosObservabilidad de Sistemas en Tiempo Discreto. La ecuación de estado en tiempo discreto es observable en el intervalo de tiempo [j0 j1] si cualquier estado inicial arbitrario x[j0] se puede determinar exactamente, conociendo la secuencia de salida:

y(j) para j = jo ,….., ji-1

Dos diferencias importantes respecto al caso continuo:La secuencia de salida se debe conocer en los instantes discretos jo ,….., ji-1.No es necesario incluir la secuencia de entrada: las condicionespara la existencia de la solución para el estado inicial x[j0] son las mismas para la respuesta a entrada cero que para la respuesta completa.

Sistemas Discretos

∑+=

+−−+=j

jidddd jUjDiuiBijjCjxjjjCjy

100

0

)()()1()1(),()()(),()()( φφ

)]1()1()()()1([)(),1()1()1()()()(),()()(

0000000000

0000000

+++++++=++=

jujDjujBjCjxjjjCjyjujDjxjjjCjy

dddd

dd

φφ

La solución para la salida y(j) es:

A partir de la condición inicial los primeros términos de la solución son:

El último término:

44444444444 344444444444 21cero estadoen Respuesta

)]1()1()1()1(),1()1([

)(),1()1()1(

11

1

111

00111

1

0

−−+−−−−

+−−=−

∑−

+=

jujDiuiBijjC

jxjjjCjy

dd

j

jid

d

φ

φ

Sistemas DiscretosLa respuesta en estado cero sólo depende de la secuencia de entrada

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

++

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

++=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+

)1(

)1()(

)(

),1()1(...

),1()1()(

)1(...

)1()(

1

0

0

0

011

000

0

1

0

0

jy

jyjy

jx

jjjC

jjjCjC

jy

jyjy

zs

zs

zs

d

d

d

φ

φ

Para determinar x(j0) es indiferente incluir el vector de respuestas en estado cero: no cambia la condición de rango necesaria para encontrar la matriz de coeficientes de x(j0)

Sistemas DiscretosEl vector x(j0) pertenece a Rn y se requiere una solución única de la ecuación anterior entonces la condición de observabilidad es:

njjR

jjjC

jjjCjC

o

d

d

d

==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

++),((

),1()1(...

),1()1()(

10

011

000

0

ρ

φ

φρ

4444 34444 21idadObservabil de Matriz

Para sistema con p salidas la matriz Ro es (j1pxn) y por lo tanto se necesita j1p > n: debe haber un número mínimo de muestras para completar la matriz Ro

Sistemas Discretos

43421idadObservabil de Matriz

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

=

−

−

1

0 ...

),(

ndd

dd

d

jkd

AC

ACC

R

Ajkφ

Para sistema invariante con el tiempo:

Para un sistema de una salida deben haber por lo menos n muestras de salida

Sistemas DiscretosReconstructibilidad: un sistema lineal discreto es reconstruibleen el intervalo [j0 , j1] si dada una condición inicial arbitraria x(j0) el estado final x(j1) puede ser determinado exactamente a partir de la secuencia de respuestas y(j) para j = jo ,….., ji-1

Despreciando la componente debida a la respuesta en estado cero:

)(

),1()1(...

),1()1()(

)1(...

)1()(

0

011

000

0

1

0

0

0

jx

jjjC

jjjCjC

jy

jyjy

R

d

d

d

4444 34444 21⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

++=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+

φ

φ

Para determinar x(j0) es necesario invertir Ro

Sistemas Discretos

∏−

=

=1

)(),(k

jid iAjkφ

De la definición de matriz de transición:

Se puede determinar la inversa de φ si y solo si Ad (i) es invertible para todo i:

)(),()(

),(),(

1100

10011

jxjjjx

jjjj

φ

φφ

=

=−

Sistemas Discretos

)(

),(),1()1(...

),(),1()1(),()(

)1(...

)1()(

1

10011

10000

100

1

0

0

0

jx

jjjjjC

jjjjjCjjjC

jy

jyjy

R

d

d

d

44444 344444 21⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

++=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+

φφ

φφφ

El vector de salidas se puede escribir como:

)(

),1()1(...

),1()1(),()(

)1(...

)1()(

1

),(

111

100

100

1

0

0

100

jx

jjjC

jjjCjjjC

jy

jyjy

jjR

d

d

d

4444 34444 21⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

++=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+

φ

φφ

Sistemas Discretos

njjR =)],([ 100ρ

Para encontrar una solución para x(j1) la matriz de reconstructibilidad debe ser de rango completo

Mientras que controlabilidad no implica alcanzabilidad, observabilidad si implica reconstructivilidadReconstructivilidad no implica observabilidad

existesijj

existanojjAunque

),(

),(:

01

011

φ

φ −

Sistemas Discretos

),(),(),()(),(),(

)(),()(),(

01100100

001100

11000100

jjjjRjjRjxjjjjR

jxjjRjxjjR

φφ

=

=

=

La relación entre las dos matrices R:

[ ]][][

],min[),(),(),(

00

0100

011001

RRRjjR

jjyjjRComo

nxnpxnj

ρρρφρρ

φ

≥

≤

ℜ∈ℜ∈

Sistemas Discretos

njjR =)],([ 100ρSi el sistema es OBSERVABLE:

Y por lo tanto el rango de debe ser por lo menos = n entonces:

0R

Si el sistema es observable es reconstruible.

Gram de observabilidad:

),()()(),(),( 0

1

010

1

0

jiiCiCjijjWj

ji

TTdo φφ∑

−

=

=

El sistema es observable en [j0 , j1} si el Gram es no singular

Sistemas DiscretosTeorema (Tests de Observabilidad). La siguientes afirmaciones son equivalentes:

• El par , es observable.

• La matriz de observabilidad,

es de rango n (rango completo de columnas).

• La matriz n × n

• La matriz tiene rango completo de columnas para cada valor propio λ de A.

Controlabilidad, Observabilidad y Muestreo

La mayoría de los sistemas de control se implementan en forma digital, para lo cual casi siempre se necesita disponer de un modelo en tiempo discreto del sistema. Anteriormente se trato una forma de obtener un modelo en EE discreto exacto en los instantes de muestreo.

Las propiedades de controlabilidad y observabilidad se conservarán en el modelo discretizado? Se estudiará una condición suficiente para que esto suceda.

Sea el sistema en tiempo continuo


Si la entrada es seccionalmente constante a intervalos regulares T,

entonces,

donde

Si el sistema en tiempo continuo es controlable (observable), lacontrolabilidad (observabilidad) del sistema discretizado, depende del período de muestreo T y de los valores propios λi de la matriz A.


Teorema (Muestreo no Patológico). Sea un sistema en tiempo continuo controlable (observable). El sistema discretizado con período de muestreo T es controlable (observable) si, dados dos valores propios cualesquiera λi, λj de A tales que Re[λi - λj] = 0, se satisface la condición de muestreo no patológico

El teorema da una condición suficiente para garantizar que el sistema discretizado sea controlable (observable) si el continuo lo es. Esta condición sólo afecta a valores propios complejos conjugados de A.


Si A sólo tiene valores propios reales, entonces el sistema discretizado es siempre controlable (observable) para todo T > 0 si el sistema continuo lo es.Si A tiene valores propios complejos conjugados α±jβ,

entonces si el período de muestreo T es tal que no sea múltiplo de π/β, el sistema discreto es controlable (observable) si el continuo lo es. Si T = mπ/β para algún entero m, entonces el sistema

discreto puede no ser controlable (observable).


Ejemplo. Sea el sistema de una entrada

se asume que la matriz C = [B AB . . . An-1B] es invertible (o sea, el sistema es controlable). La condición de controlabilidad para el sistema discretizado es que la matriz

sea invertible. Es claro que si existieran dos números enteros q y r tales que eqAT = erAT, entonces el sistema no podría ser invertible.


El sistema discreto

Puede comprobarse fácilmente que si T = mπ, con m = 1, 2, . . . , entonces el sistema discreto será no controlable. Si se agrega la salida

para los mismos valores de T se pierde observabilidad en el sistema discretizado.

Ejemplo. Sea el sistema

Índices de Controlabilidad y Observabilidad

Sean A ∈ Rn×n y B ∈ Rn×p tales que el par (A,B) es controlable. En consecuencia, la matriz C = [B AB . . . An-1B] tiene rango n. Claramente, “sobran” columnas en C, ya que hay np; esto se debe a que hay más de una entrada y por lo tanto B tiene p columnas.Todas las columnas de B son necesarias?, o bien, todas aportan a la controlabilidad del sistema?Esta pregunta lleva al concepto de índices de controlabilidad, que en el caso de tiempo discreto tiene una interpretación física importante.


Para introducir los índices de controlabilidad del par (A,B), se buscará una forma eficiente y natural de seleccionar n columnas linealmente independientes de la matriz C. Si B = [b1 b2 . . . bp], C se escribe como:

Se buscan columnas LI en C de izquierda a derecha. Por construcción, si durante la búsqueda Aibm resultara LD de las columnas a su izquierda, todas las columnas asociadas a bm que siguen en C (o sea, Ai+1bm, Ai+2bm, etc.) serán también LD de las columnas de C ya seleccionadas.


Sea m el número de columnas LI en C aportadas por la columna bmde B; es decir, las columnas

son LI en C y Aμm+ibm es LD para i = 0, 1, . . . Si C tiene rango n, necesariamente debe cumplirse que


Índices de Controlabilidad. Los números {μ1, μ2, . . . , μp} son los índices de controlabilidad asociados al par (A,B). El número

es el índice de controlabilidad asociado al par (A,B).

No es difícil comprobar que los índices de controlabilidad son invariantes frente a reordenamientos de las columnas de B o frente a cambios de coordenadas. Para sistemas en tiempo discreto, el índice de controlabilidad μ representa el tiempo mínimo en que se puede realizar cualquier transferencia de estados en un sistema controlable. No es posible transferir cualquier estado a otro con una secuencia de control de longitud menor a μ.


Una definición dual, los índices de observabilidad, {ν1, ν2, . . . , νq}, surge de seleccionar las columnas LI en la matriz de observabilidad O asociadas a las filas de C. Sea m el número de filas LI en Oasociadas a la fila cm de C. Se cumple que

Índices de Observabilidad. Los números {ν1, ν2, . . . , νp} son los índices de observabilidad asociados al par (A,C). El número

es el índice de observabilidad asociado al par (A,C).


Como puede esperarse, los índices de observabilidad son también invariantes respecto a reordenamientos de las filas de C y respecto a cambio de coordenadas.En sistemas discretos, el índice de observabilidad ν asociado al par (A,C) representa la longitud más corta de secuencias de entradas y salidas necesarias para determinar en forma unívoca el estado inicial del sistema.

Formas Canónicas

Existen formas particulares de las EE que presentan características útiles. Estas formas se llaman canónicas:

• Forma Canónica Modal• Forma Canónica Controlable• Forma Canónica del Controlador

Forma Canónica Modal:

La forma canónica modal es aquella en la que la matriz A del sistema esta en forma de Jordan. La matriz de cambio de base Q se forma agrupando los valores propios y valores propios generalizados del sistema.

Formas CanónicasForma Canónica Controlable:

Se presenta esta forma canónica para el caso de una sola entrada de control, es decir B ∈ Rn. Esta forma canónica se obtiene seleccionando como matriz de cambio de base C = [B, AB, . . . , An−1B], que lleva a la matriz A a una forma conveniente para el diseño del controlador

( )121

1210

ˆ1....00

ˆ;

..10..00............0..10000..10

ˆ

−−

−−

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=

nnoc

c

nn

c

C

BA

ββββ

αααα

Formas CanónicasObviamente se requiere que la matriz C sea no singular, o sea si el sistema es controlable).

Esta forma canónica tiene una relación uno a uno con el polinomio característico de A,

En MATLAB la función [Ac,Bc,Cc,Dc] = canon(A,B,C,D,’modal’) genera la forma canónica modal y canon(A,B,C,D,’companion’) la forma canónica controlable.

det(I − A) = λn +αn-1 λn−1 + αn-2λn−2 + · · · + α1λ + α0

Formas CanónicasEjemplo: Dado un sistema con matrices A y B:

La matriz C = [B, AB, A2B] con la función de MATLAB ctrb(A,B), y Rcon el polinomio característico de A, poly(A),

Δ (λ) = λ3 − 6λ2 + 8λ − 2

Formas CanónicasDe donde se obtiene:

( )1....00ˆ

..

..ˆ;

1..000..00

................010..00

ˆ

0

1

1

0

0

1

2

1

0

0

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=

−−

−

C

BA

nn

n

β

ββ

αα

αα

Forma canónica observable

Descomposiciones CanónicasSe desarrollan formas canónicas de las ecuaciones de estado que descomponen al sistema en sus partes controlables y no controlables y observables y no observables. Estas descomposiciones permiten establecer la relación entre controlabilidad y observabilidad y función transferencia. Estas descomposiciones muestran también cuándo una realización en espacio de estados es mínima.

Consideramos el sistema lineal y estacionario en ecuaciones de estado

Sea xˆ = Px, donde P es una matriz no singular, P ∈ Rn×n.

Descomposiciones Canónicas

es equivalente a la original y todas sus propiedades, incluyendoestabilidad, controlabilidad, y observabilidad, se preservan. Además, como es fácil comprobar:

El siguiente resultado muestra que si el sistema original no es completamente controlable, es posible definir un sistema de orden reducido con igual función transferencia (es decir, equivalente a estado cero) y controlable.

Entonces la ecuación de estados


Teorema (Descomposición Controlable/No-Controlable). Sea el sistema

con matriz de controlabilidad C tal que

Sea la matriz n × n de cambio de coordenadas


donde las primeras n1 columnas son n1 columnas linealmente independientes de la matriz C, y las restantes columnas se eligen arbitrariamente de forma que P sea no singular. Entonces la transformación de equivalencia xˆ = Px o x = P-1xˆ lleva la ecuación de estado original a la forma

Descomposiciones Canónicasy la ecuación de estados de orden n1

es controlable y tiene la misma función transferencia que la ecuación de estados original.

En la transformación de equivalencia xˆ = Px, el espacio de estados se descompone en dos subespacios fundamentales:• el subespacio controlable, generado por todos los vectores en xˆ de la forma , y• el subespacio no controlable, generado por todos los vectores en xˆde la forma .


Dado que la nueva realización es controlable, la entrada u puede transferir el estado xˆC desde cualquier estado inicial a cualquier otro estado.

Sin embargo, la entrada no puede controlar a xˆC- , porque u no lo afecta ni directa, ni indeirectamente a través del estado xˆC. Eliminando los estado no controlables obtenemos una ecuación controlable de dimensión menor (n1) que es equivalente a estado cero a las ecuaciones de estado originales.

La descomposición del sistema en su partes controlables y no controlables puede hacerse en MATLAB con la función ctrbf(A,B,C).


Ejemplo (Descomposición de un Sistema no Controlable). Dado el sistema de tercer orden

El rango de la matriz de controlabilidad del sistema,

El sistema no es controlable


Para la matriz de cambio de coordenadas se toman las dos primeras columnas de C, y la restante se toma linealmente independiente a estas dos,

Sea xˆ = Px , el sistema equivalente

Descomposiciones CanónicasEl sistema reducido controlable

El sistema reducido tiene la misma matriz transferencia que el original,

En forma dual obtenemos la siguiente descomposición del sistema en sus partes observables y no-observables.

Descomposiciones CanónicasTeorema (Descomposición Observable/No-Observable). Sea el sistema

con matriz de observabilidad O tal que


Sea la matriz n × n de cambio de coordenadas

donde las primeras n2 filas son n2 filas linealmente independientes de la matriz O, y las restantes filas se eligen arbitrariamente de forma que P sea no singular.

Descomposiciones CanónicasEntonces la transformación de equivalencia xˆ = Px o x = P-1xˆ lleva el sistema a la forma

donde

y la ecuación de estados de orden n2

En la transformación xˆ = Px el espacio de estados de orden n se divide en dos subespacios.

Descomposiciones CanónicasEl subespacio observable, de orden n2, consiste de todos los vectores

de la forma

el otro subespacio, de orden n - n2, es el subsepacio inobservable, que consiste de todos los vectores de la forma

El estado xˆO puede detectarse desde la salida, pero no así el xˆO¯. Eliminando los estados inobservables se obtiene un sistema de orden n2, que es equivalente a estado cero al original (tiene la misma función transferencia).

Descomposiciones CanónicasTeorema (Descomposición de Kalman). Toda ecuación en variable de estados puede llevarse, mediante una transformación de equivalencia, a la forma canónica

donde

Descomposiciones CanónicasAdemás, la ecuación de estados original es equivalente a estado cero a la ecuación controlable y observable

y tiene la matriz transferencia

Este teorema puede ilustrarse gráficamente. La ecuación original se descompone primero en sus partes controlables y no controlables.Luego se descompone cada subecuación obtenida en sus partes observables y no observables.


Sólo la parte controlable y observable del sistema estáconectada tanto a las entradas como a las salidas.Esta es la única parte del sistema que determina la matriz transferencia, lo que muestra la razón de por qué la representación en matriz transferencia (externa) no es necesariamente equivalente a la representación en espacio de estados (interna).


tomado como realización de la matriz transferencia del sistema, es una realización mínima, puesto que no puede obtenerse otra realización de orden menor con la misma matriz transferencia. Toda realización mínima es controlable y observable y del mismo orden. En MATLAB puede calcularse con la función minreal.

El sistema

Los autovalores de las submatrices AˆCO¯ , AˆCO¯, AˆC¯O¯ no aparecerán como polos de la matriz transferencia.

Descomposiciones CanónicasEjemplo.

El circuito tiene cuatro elementos almacenadores de energía, por lo que se esperaría una realización en ecuaciones de estados de orden 4.

Dado que la entrada es una fuente de corriente, respuestas debidas a condiciones iniciales en L1 o C1 no aparecerán a la salida, por lo que las variables de estado asociadas x1 y x2 serán no observables (no es posible determinar sus condiciones iniciales a partir de observación de la entrada y la salida).

Descomposiciones CanónicasDe forma similar, la variable de estado asociada a L2 será no controlable. Debido a la simetría de los resistores de 1Ω en el puente, la variable de estado asociada al capacitor C2 no será ni controlable ni observable. Por ello la tensión de salida se reduce a y=2(u/2)=u. La función transferencia del sistema es entonces una ganancia estática g(s) = 1.

El modelos de estado

Descomposiciones CanónicasPuesto que la ecuación ya se encuentra en la forma canónica

el sistema puede reducirse a la realización controlable

La salida es independiente de xC; así la ecuación puede reducirse a

que coincide con el resultado del análisis físico del circuito.

Descomposiciones CanónicasCondiciones en Ecuaciones en Forma Modal

La controlabilidad y la observabilidad son invariantes respecto a transformaciones de equivalencia. En particular, si se transforma el sistema a su forma canónica modal, o forma de Jordan las condiciones para verificar controlabilidad y observabilidad se vuelven bastante simples.

donde la matriz J está en forma de Jordan. Para simplificar la formulación del resultado, se asume que J tiene sólo dos valores propios distintos, 1 y 2, y que puede escribirse en la forma


donde las matrices J11, J12 y J13 son tres bloques de Jordan asociados al valor propio 1, y las matrices J21 y J22 son dos bloques de Jordan asociados al valor propio 2.

Notación: se denota la fila de B correspondiente a la última fila de Jijcomo buij, y la columna de C correspondiente a la primera columna de Jij como cpij.


• La ecuación de estados tratada es observable si y sólo si los tres vectores columna {cp11 , cp12 , cp13} son linealmente independientes y los dos vectores columna {cp21 , cp22} son linealmente independientes.

Si una ecuación de estados está en forma canónica modal, entonces la controlabilidad de las variables de estado asociadas a un mismo valor propio puede verificarse por separado de las demás variables de estado, asociadas a otros valores propios.

Implicaciones:

• La ecuación de estados tratada es controlable si y sólo si los tres vectores fila {bu11 , bu12 , bu13} son linealmente independientes y los dos vectores fila {bu21 , bu22} son linealmente independientes.

Teorema (Descomposición en forma modal)

Descomposiciones CanónicasLa controlabilidad de variables de estado asociadas a un mismo valor propio depende solamente de las filas de la matriz B correspondientes a las últimas filas de los bloques de Jordan asociados a ese valor.Todas las demás filas de B son irrelevantes a la controlabilidad de esos modos.

De forma similar, esta deducción se aplica a la observabilidad de los estados asociados a un mismo valor propio, con la salvedad de que son las columnas de C correspondientes a las primeras columnas de los bloques de Jordan asociados al valor propio.


Ejemplo (Descomposición en Forma Modal). Sea el sistema en forma canónica modal

Descomposiciones CanónicasLa matriz J tiene dos valores propios distintos, 1 y 2. El valor propio 1tiene tres bloques de Jordan asociados, de órdenes 2, 1, 1. Las filas de B correspondientes a las últimas filas de estos bloques son

Las tres filas son linealmente independientes.

Asociado con λ2 hay sólo un bloque de Jordan, de orden 3. La fila de B correspondiente a la última fila del bloque es

que es no nulo, y por lo tanto linealmente independiente (la única forma que un conjunto de un solo vector sea linealmente dependiente es que sea nulo). Por lo tanto el sistema es controlable.

Descomposiciones CanónicasLas condiciones de observabilidad para el sistema son que las tres columnas

sean linealmente independientes, que lo son, y que la columna

sea linealmente independiente, que no lo es. Por lo tanto el sistema (en particular el último modo 2) no es observable.

Descomposiciones CanónicasEjemplo. Las ecuaciones de estado en forma modal

Hay dos bloques de Jordan, uno de orden 3 asociado al valor propio 0, y otro de orden 1 asociado al valor propio -2. La entrada de Bcorrespondiente a la última fila del primer bloque de Jordan es 0; la ecuación de estado no es controlable. Las dos entradas de Ccorrespondientes a las primeras columnas de los dos bloques de Jordan son no nulas; el sistema es observable.

Clase_15 134Mar.2008

REFERENCIAS

1. BAY J.S. Fundamentals of Linear State Space Systems. New York: McGraw Hill International Edition. 1999.

2. CHEN Chi- Tsong. Linear Systems Theory and Design. 3rd Edition. New York: Oxford University Press. 1999.

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