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N° d’ordre 97 ISAL 0126 Année 1997
THESE
présentée devant
L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR
Formation doctorale : Automatique IndustrielleEcole Doctorale
des Sciences pour l’Ingénieur de Lyon :
Electronique, Electrotechnique, Automatique (EEA)INSA - ECL -
UCBL - U. Chambery - U. St Etienne
par
Wilfrid FAVRE
Ingénieur de l’INSA de Lyon
Contribution à la représentation bond graph des
systèmesmécaniques multicorps
TOME 1
Soutenue le 18 décembre 1997 devant la Commission d'Examen
Jury :
Mme G. Dauphin-Tanguy Présidente Professeur à l’Ecole Centrale
de LilleM. D. Le Houédec Rapporteur Professeur à l’Ecole Centrale
de Nantes
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M. M. Lebrun Rapporteur Maître de Conférences, docteur d’étatM.
P. Breedveld Rapporteur Associate Professor à l’université de
Twente (NL)M. M. Fayet Examinateur Professeur à l’INSA de LyonM. L.
Jezequel Examinateur Professeur à l’Ecole Centrale de LyonM. S.
Scavarda Directeur Professeur à l’INSA de Lyon
Cette thèse a été préparée au laboratoire d’Automatique
Industrielle de l’INSA de Lyon
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Avant propos 7
Avant propos
Au cours de la r�edaction de ce m�emoire, nous avons aussi
souhait�e produire unsupport pour quiconque d�esire s'int�eresser
�a l'utilisation du langage bond graph
dans le domaine de la m�ecanique multicorps.
Un chapitre introductif retrace de fa�con non exhaustive un
historique (( m�ecaniqueet bond graph )).
Le second chapitre pr�esente deux proc�edures de construction du
bond graph dessyst�emes m�ecaniques multicorps existantes.
Le troisi�eme chapitre propose une proc�edure syst�ematique de
construction dubond graph adoptant une approche intuitivement
m�ecanicienne.
Le quatri�eme chapitre s'int�eresse �a la repr�esentation bond
graph du contactponctuel entre deux solides. Il illustre aussi deux
attitudes pouvant être adopt�eesvis{�a{vis du langage bond graph
:
{ la premi�ere, celle d'un traducteur de mod�eles physiques dans
le formalisme bondgraph,
{ la seconde, celle d'un utilisateur manipulant des
repr�esentations d�ej�a existantesdans une biblioth�eque.
Le cinqui�eme chapitre pr�esente di��erents concepts de
m�ecanique analytique �atravers le bond graph, et ce en vue de la
simulation. Il propose la r�esolution pratiqued'un probl�eme mis en
�evidence dans le chapitre pr�ec�edent.
La conclusion de ce rapport propose une synth�ese des chapitres
de ce m�emoire, lesapports pour le bond graph et pour la
m�ecanique, et bien sûr, quelques perspectivesde recherche.
Nous esp�erons vivement que les m�ecaniciens et les bond
graphistes sereconnâ�tront �a travers ce travail. Dans ce sens,
nous justi�ons la pr�esence desdeux premi�eres annexes. Les
malentendus �etant souvent une question de di��erencede langage,
l'annexe A appr�ehende le concept multiport d'�energie et ainsi,
lelangage bond graph, �a travers un exemple m�ecanique en utilisant
une terminologiem�ecanicienne. Il est alors un tremplin vers une
pr�esentation pluridisciplinaire dulangage bond graph e�ectu�ee
dans l'annexe B.
Par ailleurs, l'annexe G constitue un catalogue d'exemples de
repr�esentationsbond graph de syst�emes m�ecaniques multicorps. Ces
exemples illustrent tous,di��erents r�esultats d�evelopp�es dans le
m�emoire.
Comme avertissement, nous souhaiterions dissiper certains
malentendusconcernant l'image du langage bond graph. Le bond graph
est avant tout unoutil de mod�elisation d'un syst�eme, et non la
mod�elisation d'un syst�eme. Dans la
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8 Avant propos
tour de Babel des disciplines scienti�ques (et même
�economiques), le bond graphtente simplement d'�etablir un pont
entre ces disciplines. Les critiques de certainsrestent arbitraires
((( What's wrong with bond graphs )) [MAN97]) 1. Nous r�epondons�a
ces critiques que :
{ le bond graph d'un sous{syst�eme ne s'invente pas tant que les
ph�enom�enesphysiques pr�esents dans le sous{syst�eme ne sont pas
clairement identi��es,
{ l'outil bond graph est une alternative et non un substitut
d'autres techniques.
N�eanmoins, le langage bond graph poss�ede des vertus qui
n'apparaissent pas deprime abord. Il permet d'une part,
d'appr�ehender divers domaines par le biais desanalogies [HEZ85],
et d'autre part, d'acc�eder �a une compr�ehension physique
profondedu comportement des syst�emes 2.
Ce rapport est le r�esultat d'un travail e�ectu�e durant trois
ann�ees et ne constitueen cela qu'une humble contribution. Nous
esp�erons cependant qu'il atteindra lesobjectifs enonc�es
pr�ec�edemment dans nos souhaits.
1: Breedveld [BRE91a] tente �a ce propos de r�epondre aux
opinions subjectives et souventfausses sur le langage bond
graph.Par ailleurs, le bond graphiste sait se remettre en question
quand l'outil pr�esente des lacunes
[LOR85].2:
(( It is important to note that if you work in a single energy
domain, such as rigid{bodymechanics or electronic circuits, then
you very likely learned to use modeling and simulation toolsthat
were optimized for that domain. Employing a more general systems
symbolism like bond graphwill not necessarily increase your
e�ciency in domain{speci�c modeling and design, but it mayincrease
your insight into system behavior. )) [ROS93]
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Remerciements 9
Remerciements
Je tiens tout d'abord �a remercier les groupes (( The{The )), ((
The Charlatans )),(( House of Love )), (( Blur )), (( That Petrol
Emotion )), : : : etc, sans oublier biensûr (( The Smiths )). Par
leur univers musical, ils ont contribu�e �a ma
(profonde)inspiration pour la r�edaction de ce m�emoire.
En outre, je souhaite remercier chaleureusement les footballeurs
du Paris StGermain Football Club qui nous ont fait vivre ces
derni�eres ann�ees, des saisonseurop�eennes inoubliables. J'en
pro�te pour adresser un clin d'oeil aux anciensv�et�erans de l'AS
Dardilly avec qui j'ai pris plaisir �a (( taquiner le ballon
)).
La recherche e�ectu�ee au cours d'une th�ese prend place dans un
certain cadre detravail et ce cadre conditionne l'�epanouissement
du chercheur. Le mien a �et�e celuidu laboratoire d'Automatique
Industrielle de l'insa de Lyon et les ann�ees pass�eesdans ce
laboratoire resteront �a jamais tr�es positives dans ma m�emoire.
J'en tienspour responsables tous les membres du laboratoire qui
ont, �a un moment ou �a unautre, contribu�e �a cet �epanouissement.
Pour cette raison, je souhaite leur exprimertoute ma
reconnaissance, en particulier �a Mlle Monique Sanchez, secr�etaire
dulaboratoire, le personnel permanent et mes coll�egues
chercheurs.
Je ne peux oublier dans mes remerciements toutes les personnes
de l'�equiped'enseignement de m�ecanique g�en�erale du d�epartement
G�enie M�ecaniqueConstruction de l'insa de Lyon. Je pense plus
particuli�erement �a mon tuteur demonitorat M. G�erard Siarras,
professeur agr�eg�e, et MM. Lionel Maiffredy, mâ�trede
conf�erences, et Philippe Lonjou, professeur agr�eg�e, qui par leur
disponibilit�e,m'ont �et�e d'une aide pr�ecieuse lors de la
pr�eparation de mes s�eances de travauxdirig�es dispens�ees aux
�el�eves ing�enieurs de deuxi�eme et troisi�eme ann�ees de l'insade
Lyon. J'associe �a ces remerciements F�elix Pfister, docteur de
l'insa de Lyon,pour les discussions passionn�ees que nous avons
eues.
J'adresse un grand merci �a M. �Eric Bideaux, mâ�tre de
conf�erences au laboratoired'Automatique Industrielle, avec qui ((
j'ai bien voulu )) partager un bureau, unearmoire et un
t�el�ephone. Malgr�e son goût (( exag�er�e )) pour le water{polo
et sonaversion (( injusti��ee )) pour le football, sachez que sa
contribution, par nos discussionsscienti�ques et ses remarques
parfois piquantes mais n�eanmoins toujours pertinentes,a fait pour
beaucoup dans la pr�esentation de ce m�emoire.
Il est des rencontres tr�es enrichissantes. Pour ma part, j'ai
eu la chance deconnâ�tre des personnes qui m'ont beaucoup apport�e
dans mes propres r�eexions.Je voudrais leur exprimer ici toute ma
gratitude. La premi�ere personne est M.Ashraf Zeid, lecturer aux
universit�es du Michigan et de Oakland aux �Etats{Unis,qui grâce
�a notre rencontre et nos �echanges e{mail m'a permis de pr�eciser
certainspoints de ma recherche. La seconde personne est M. Peter
Breedveld, associateprofessor �a l'universit�e de Twente au
Pays{Bas, dont l'enseignement et les discoursd'une grande justesse
et clart�e, m'ont toujours �eclair�e. La troisi�eme personne
est
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10 Remerciements
M. Michel Fayet, Professeur �a l'insa de Lyon, qui par sa
personnalit�e a provoqu�echez moi un engouement pour la discipline
de la m�ecanique. En�n, j'associe �a cesremerciements les personnes
de la soci�et�e imagine �a Roanne, en particulier MM.Michel Lebrun,
Marc Alirand et Claude Richards qui m'ont fait pro�ter de
leurexp�erience en mod�elisation et simulation.
J'exprime par ailleurs toute ma reconnaissance envers les
membres de mon juryde th�ese qui m'ont accord�e de leur temps et
m'ont fait l'honneur de juger les travauxpr�esent�es dans ce
m�emoire. Je pense notamment �a Mme Genevi�eve
Dauphin-Tanguyprofesseur �a l'�Ecole Centrale de Lille, pr�esidente
du jury ; M. Donatien Le Hou�edec,professeur �a l'�Ecole Centrale
de Nantes, M. Michel Lebrun, Mâ�tre de Conf�erences�a
l'Universit�e Claude Bernard de Lyon, et M. Peter Breedveld,
associatesprofessor �a l'Universit�e de Twente (Pays-Bas),
rapporteurs de ce m�emoire ; M.Michel Fayet, professeur �a l'insa
de Lyon, et M. Louis Jezequel professeur �al'�Ecole Centrale de
Lyon, examinateurs.
En�n, je tiens �a remercier tout sp�ecialement M. Serge
Scavarda, professeurau laboratoire d'Automatique Industrielle,
directeur de cette th�ese, et initiateur dulangage bond graph en
France. Il m'a non seulement ouvert sans aucune r�eserve�a ses
connaissances en automatique et en bond graph, mais aussi
communiqu�e sapassion pour la recherche. Ce fut pour moi un tr�es
grand honneur d'être l'un de seschercheurs.
-
�A chacun des �ev�enements de ma vie, je ne manque pas d'avoir
unepens�ee pour les personnes qui m'ont donn�e l'initiative, la
libert�e et
l'enthousiasme de faire ce que je fais : mes parents, : : :
�A Jo et Henry qui en m'accueillant dans leur Chapelle, ont
contribu�e�a la r�ealisation de ce m�emoire, : : :
�A Cathy et �a Anton l'enfant que nous portons : : :
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12
-
Table des mati�eres 13
Table des mati�eres
Avant propos 7
Remerciements 9
Table des mati�eres 13
Nomenclature g�en�erale 17
1 Introduction. M�ecanique : : : et bond graph 23
1.1 Au commencement : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 23
1.2 Notations et pr�esentations . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 25
1.3 Les proc�edures de repr�esentation . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 26
1.3.1 Approche analytique{graphique . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 27
1.3.2 Approche graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 27
1.3.3 Autres travaux sur la repr�esentation . . . . . . . . . .
. . . . . 28
1.4 Concepts de la m�ecanique �a travers le bond graph . . . . .
. . . . . . 29
1.4.1 �Equations de Lagrange, �equations d'Euler,
multiplicateurs deLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 29
1.4.2 Transformation des �el�ements inertiels d�ependants . . .
. . . . . 30
1.4.3 Autres concepts mis en �evidence �a travers le bond graph
. . . . 31
1.5 Mise en forme du mod�ele math�ematique pour la simulation .
. . . . . 32
1.6 : : : contribution de ce m�emoire . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 33
2 Repr�esentation bond graph des syst�emes m�ecaniques
multicorps 37
2.1 Proc�edure de Karnopp et Rosenberg . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 39
2.1.1 Exemple d'un syst�eme bielle{manivelle . . . . . . . . . .
. . . . 40
2.1.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 43
2.2 Notation multibond graph et grandeurs de la m�ecanique . . .
. . . . . 43
2.2.1 Notations multibond graph . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 43
2.2.2 Les grandeurs de la m�ecanique en bond graph . . . . . . .
. . . 49
2.3 Proc�edure syst�ematique au niveau graphique : Tiernego et
Bos . . . . 53
2.3.1 Multibond graph du solide en mouvement dans l'espace . . .
. 53
2.3.2 Multibond graphs des liaisons usuelles . . . . . . . . . .
. . . . 60
2.3.3 Proc�edure de construction . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 66
2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 67
-
14 Table des mati�eres
3 Repr�esentation bond graph privil�egi�ee des syst�emes
m�ecaniques
multicorps 69
3.1 Exemple introductif : Pendule d'Euler . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 70
3.2 Mise en place de la repr�esentation multibond graph
privil�egi�ee . . . . 71
3.2.1 Repr�esentation multibond graph privil�egi�ee du solide
enmouvement dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.2.2 Word bond graphs des syst�emes m�ecaniques
multicorpsposs�edant des boucles cin�ematiques . . . . . . . . . .
. . . . . . 75
3.2.3 Liaisons usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 78
3.2.4 Proc�edure de construction . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 78
3.2.5 Exemple de la machine �a former . . . . . . . . . . . . .
. . . . 80
3.3 Choix du rep�ere privil�egi�e . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 83
3.3.1 Vers une syst�ematisation du choix du rep�ere privil�egi�e
. . . . . 83
3.3.2 Vers la recherche d'un meilleur compromis dans le choix
desrep�eres privil�egi�es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 85
3.3.3 Proc�edure simpli��ee pour le choix des rep�eres
privil�egi�es . . . . 92
3.3.4 Application �a la machine �a former . . . . . . . . . . .
. . . . . 92
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 93
4 Repr�esentation bond graph de la liaison de contact ponctuel
97
4.1 Contact ponctuel entre deux solides �a pro�l param�etr�e
quelconque dansun mouvement plan . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 98
4.1.1 Description de la liaison . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 99
4.1.2 Ph�enom�enes de contrainte au contact . . . . . . . . . .
. . . . 101
4.1.3 Repr�esentation bond graph de la liaison . . . . . . . . .
. . . . 103
4.1.4 Introduction structurelle des ph�enom�enes de dissipation
aucontact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 107
4.1.5 Validation de la repr�esentation �a travers les �equations
deLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 108
4.1.6 Exemple du syst�eme came{galet suiveur . . . . . . . . . .
. . . 114
4.2 Contact ponctuel entre deux surfaces param�etr�ees
quelconques dansun mouvement tridimensionnel . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 121
4.2.1 Description de la liaison . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 121
4.2.2 Ph�enom�enes de contrainte au contact . . . . . . . . . .
. . . . 122
4.2.3 Repr�esentation bond graph de la liaison . . . . . . . . .
. . . . 124
4.2.4 Introduction structurelle des ph�enom�enes de dissipation
aucontact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 125
4.3 Caract�eristiques des �el�ements IR au contact . . . . . . .
. . . . . . . . 126
4.3.1 Ph�enom�enes de dissipation de type visqueux . . . . . . .
. . . 126
4.3.2 Mod�ele issu des lois de Coulomb . . . . . . . . . . . . .
. . . . 129
4.3.3 Autres types de mod�ele de ph�enom�ene de dissipation au
contact135
4.4 Cas de simpli�cation du bond graph de la liaison de contact
ponctuel 136
4.4.1 Simpli�cation due �a la forme du solide en contact . . . .
. . . . 136
4.4.2 Simpli�cation due aux hypoth�eses faites sur le contact .
. . . . 139
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 141
-
Table des mati�eres 15
5 M�ecanique analytique et bond graph 143
5.1 Variables et param�etres dans la mod�elisation des syst�emes
m�ecaniquesmulticorps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1465.1.1 Coordonn�ees g�en�eralis�ees,
�equations de liaison et degr�e de libert�e1475.1.2 �Equations de
liaison et degr�e de libert�e �a travers le bond graph 1505.1.3
Types de variable �a travers le bond graph . . . . . . . . . . . .
1545.1.4 Rotation �nie du solide . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 155
5.2 Formes des �equations dynamiques �a travers le bond graph .
. . . . . . 1605.2.1 Les �equations de Newton{Euler . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1615.2.2 �Equations de Lagrange . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1675.2.3 �Equations d'Euler{Lagrange |
prise en compte des quasi{
vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1755.2.4 �Equations de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1835.2.5 Conclusion sur les formes d'�equations
dynamiques . . . . . . . 188
5.3 Reformulation du mod�ele math�ematique . . . . . . . . . . .
. . . . . . 1885.3.1 �El�ements II d�ependants ramen�es �a travers
un transformateur . 1895.3.2 M�ethode de stabilisation de Baumgarte
. . . . . . . . . . . . . 1935.3.3 M�ethodes des perturbations
singuli�eres | M�ethodes des
p�enalisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1965.4 Conclusion sur la m�ecanique analytique �a travers le
bond graph . . . . 205
6 Conclusion. Bond graph : : : et m�ecanique 207
Bibliographie 213
Nomenclature d�etaill�ee 225
Annexes 233
A Introduction au langage bond graph 233
B Bases du langage bond graph 243
C Sur la vraie nature des sources de pesanteur en bond graph
253
D Transformation des �el�ements II et IM IG IY �a travers un
transformateurmodul�e - Application au solide en mouvement �a point
�xe 257
E Justi�cation de la forme de la condition cin�ematique de
contactponctuel 263
F Utilisation des contraintes globales de causalit�e pour
l'a�ectationcausale du bond graph 265
G Exemples de repr�esentations bond graph de syst�emes
m�ecaniquesmulticorps 269
G.1 Robot 2R1T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 271G.1.1 Description du syst�eme . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 271G.1.2 Construction du bond graph . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 273
-
16 Table des mati�eres
G.2 Pendule d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 281G.2.1 Application de la proc�edure de Tiernego
et Bos . . . . . . . . . 281G.2.2 Application de la proc�edure de
repr�esentation privil�egi�ee . . . . 288
G.3 Machine �a former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 291G.3.1 Repr�esentation bond graph privil�egi�ee
de la machine �a former . 292G.3.2 Repr�esentation bond graph
obtenue par la proc�edure de
Tiernego et Bos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 298G.3.3 Repr�esentation bond graph obtenue par la proc�edure
de
Karnopp et Rosenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 300G.3.4 Conclusion sur les repr�esentations bond graph de la
machine �a
former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 302G.4 Robot Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 305
G.4.1 Param�etrage et rep�erage solide par solide . . . . . . .
. . . . . 306G.4.2 Repr�esentation privil�egi�ee du robot Delta . .
. . . . . . . . . . 310G.4.3 Repr�esentation issue de la proc�edure
de Tiernego et Bos . . . . 325G.4.4 Bilan compar�e des
transformateurs pr�esents dans les
repr�esentations bond graph du robot delta . . . . . . . . . . .
. 332G.5 Came{galet suiveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 333
G.5.1 Repr�esentation bond graph . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 333G.5.2 �Etude graphique de la repr�esentation bond graph
du syst�eme
came{galet suiveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 336G.5.3 Mod�ele d'�etat du syst�eme came{galet suiveur issu de
sa
repr�esentation bond graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 342G.6 Volant gyroscopique roulant sans glisser sur une table .
. . . . . . . . 347
-
Nomenclature g�en�erale 17
Nomenclature g�en�erale
Nous pr�esentons ici les notations communes �a tout le m�emoire.
Une liste d�etaill�eedes notations chapitre par chapitre et des
d�e�nitions est disponible au d�ebut des
annexes. Par convention dans cette nomenclature, a, b et c
repr�esentent des grandeursou objets math�ematiques
quelconques.
t Le temps.g Acc�el�eration de pesanteur.R Corps des r�eels.C
Corps des complexes.
h;i;j;k;l;m;n;r;s;t Ces indices joueront souvent le rôle
d'indice muet.
Styles de caract�ere
italique Grandeurs variables.roman Grandeurs constantes.
Accents
_a D�eriv�ee premi�ere de a par rapport au temps.a D�eriv�ee
seconde de a par rapport au temps.~a Grandeur �a caract�ere virtuel
(puissance, vitesse).â Grandeur exprim�ee en termes de
quasi{vitesses (co{�energie
cin�etique).aT Vecteur colonne transpos�e ou matrice
transpos�ee.a�1 Matrice inverse.a� Co{�energie.
Op�erateurs et fonctions
da Accroissement in�nit�esimal de a dans le temps.�a Variation
de a.dadt D�eriv�ee de a par rapport au temps.@a@b D�eriv�ee
partielle premi�ere de a par rapport �a b.@2a@b2
D�eriv�ee partielle seconde de a par rapport �a b.Radt
Int�egration de la variable a par rapport au temps.
a ^ b Produit vectoriel de a par b.(~a;~b;~c) Produit mixte des
trois vecteurs ~a, ~b et ~c.~a � ~b Produit scalaire entre les
vecteurs ~a et ~b.
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18 Nomenclature g�en�erale
k~ak Norme du vecteur ~a.a�b Produit des matrices a et b.
X�b�
Op�erateur lin�eaire associ�e au produit vectoriel : ~a^~b �
X[b] � a (cf.page 55).P
h
Sommation sur l'indice h.
NPh=1
Sommation entre les bornes 1 et N .PSi2�
Sommation sur les solides Si d'un syst�eme multicorps.
a(b) a fonction de b.jaj Valeur absolue de a.cos Fonction
cosinus.sin Fonction sinus.tan Fonction tangente.cot Fonction
cotangente.
Min() Fonction minimum.Max() Fonction maximum.sgn() Fonction
signe.
Vecteurs et matrices
~a Vecteur de l'espace vectoriel R3 utilis�e essentiellement
pour lesgrandeurs vectorielles de la m�ecanique.
a Vecteur colonne de dimension quelconque.�a�Ri
Grandeur vectorielle projet�ee dans le rep�ere Ri.�a�
Grandeur matricielle.
Caract�eristique du solide
Si Solide i.� Symbole indiquant un syst�eme de solides.Ri
Rep�ere (Oi,~xi,~yi,~zi) orthonorm�e attach�e au solide Si, o�u Oi
est
l'origine, (~xi,~yi,~zi) la base vectorielle. Un indice (( 0 ))
caract�eriserale solide r�ef�erentiel absolu (cet indice sera
g�en�eralement omis pourle point origine du r�ef�erentiel
absolu).
Gi Centre d'inertie du solide Si.mi Masse du solide Si.IGi
Tenseur d'inertie du solide Si calcul�e en son centre
d'inertie.
IOi Tenseur d'inertie du solide Si calcul�e au point Oi.Ji
Moment d'inertie du solide Si par rapport �a un axe.
x, y, z Coordonn�ees cart�esiennes (une lettre en indice
indiqueg�en�eralement le point rep�er�e).
� Position angulaire (un indice indique g�en�eralement le
solideparam�etr�e).
Notations m�ecanique et bond graph
diadt D�eriv�ee de a par rapport au temps dans le rep�ere
Ri.
-
Nomenclature g�en�erale 19
M,M1,M2 Points de l'espace a�ne associ�e �a R3.
Mj Point �xe par rapport au solide Si et �gurant une liaison
impliquantSi.
Mk Point non �xe par rapport au solide Si et �gurant une
liaisonimpliquant Si.
�!MN Vecteur associ�e au bipoint (MN).MNh Vecteur
�!MN projet�e dans le rep�ere Rh.
~F Vecteur d'action m�ecanique.~Fext=Si Vecteur d'action
m�ecanique ext�erieure appliqu�ee au solide Si.~Fext=� Vecteur
d'action m�ecanique ext�erieure appliqu�ee au syst�eme de
solides �.~Fj=i Vecteur de l'action m�ecanique du solide Sj sur
le solide Si.
F hj=i Vecteur~Fj=i projet�e dans le rep�ere Rh.
~Pi Vecteur poids du solide Si.Phi Vecteur
~Pi projet�e dans le rep�ere Rh.
~M Vecteur moment d'action m�ecanique.~Mext=Si(M) Vecteur moment
au point M de l'action m�ecanique ext�erieure
appliqu�ee au solide Si.~Mext=�(M) Vecteur moment au point M de
l'action m�ecanique ext�erieure
appliqu�ee au syst�eme de solides �.~Mj=i(M) Vecteur moment au
point M de l'action m�ecanique du solide Sj sur
le solide Si.Mhj=i(M) Vecteur
~Mj=i(M) projet�e dans le rep�ere Rh.
~MPi(M) Vecteur moment au point M du poids du solide Si.
~V Vecteur vitesse.~V i(M) Vecteur vitesse du point M dans son
mouvement par rapport au
rep�ere Ri.V h;i(M) Vecteur ~V i(M) projet�e dans le rep�ere
Rh.V ha;i(M) Composante du vecteur ~V i(M) sur l'axe ~ah.~V ij (M)
Vecteur vitesse d'entrâ�nement (ou vitesse du point co�ncidant)
du
point M dans le mouvement du rep�ere Rj par rapport au
rep�ereRi. Si M est un point de contact, ce vecteur correspond �a
la vitessede glissement.
V h;ij (M) Vecteur~V ij (M) projet�e dans le rep�ere Rh.
~J i(M) Vecteur acc�el�eration du point M dans son mouvement par
rapportau rep�ere Ri.
~ Vecteur vitesse de rotation instantan�ee.~ij Vecteur vitesse
de rotation instantan�ee du rep�ere Rj par rapport
au rep�ere Ri.
-
20 Nomenclature g�en�erale
h;ij Vecteur~ij projet�e dans le rep�ere Rh.
ha;ij Composante du vecteur~ij sur l'axe ~ah.
~� Vecteur quantit�e de mouvement ou somme cin�etique.
~� Vecteur moment cin�etique.~�i(M) Vecteur moment cin�etique au
point M dans le mouvement par
rapport au rep�ere Ri.
~� Vecteur quantit�e d'acc�el�eration ou somme dynamique.~�i
Vecteur quantit�e d'acc�el�eration ou somme dynamique dans le
mouvement par rapport au rep�ere Ri.~�i� Vecteur quantit�e
d'acc�el�eration ou somme dynamique du syst�eme
de solides � dans son mouvement par rapport au rep�ere Ri.~�iSj
Vecteur quantit�e d'acc�el�eration ou somme dynamique du solide
Sj
dans son mouvement par rapport au rep�ere Ri.�h;iSj Vecteur
~�iSj projet�e dans le rep�ere Rh.
~� Vecteur moment dynamique.~�i(M) Vecteur moment dynamique au
point M dans le mouvement par
rapport au rep�ere Ri.~�i�(M) Vecteur moment dynamique au point
M du syst�eme de solides �
dans son mouvement par rapport au rep�ere Ri.~�iSj(M) Vecteur
moment dynamique au point M du solide Sj dans son
mouvement par rapport au rep�ere Ri.�h;iSj(M) Vecteur ~�iSj(M)
projet�e dans le rep�ere Rh.hAji
iMatrice de changement de base du rep�ere Ri au rep�ere Rj .
P Puissance.
fTg Torseur.fTact.g Torseur des actions m�ecaniques.fText=�g
Torseur des actions m�ecaniques ext�erieures appliqu�ees au
syst�eme
de solides �.fTcin�em.g Torseur cin�ematique.fTcin�et.g Torseur
cin�etique.fTdyn.g Torseur dynamique.fT 0dyn:g� Torseur dynamique
du syst�eme de solides � dans son mouvement
par rapport au rep�ere R0.
L Lagrangien.H Hamiltonien.T �Energie cin�etique.U �Energie
potentielle.ql le coordonn�ee g�en�eralis�ee.
-
Nomenclature g�en�erale 21
pl le impulsion g�en�eralis�ee.�k ke contrainte cin�ematique
entre les coordonn�ees g�en�eralis�ees.�k Multiplicateur de
Lagrange associ�e �a la ke contrainte cin�ematique.Ql Force
g�en�eralis�ee relative �a la coordonn�ee g�en�eralis�ee ql.
L(a) �Equation de Lagrange en terme de a.
e Variable d'e�ort.f Variable de ux.p Variable de moment
g�en�eralis�e.q Variable de d�eplacement g�en�eralis�e.
+ Lien bond graph.I,C �El�ements de stockage d'�energie de type
inertiel, de type capacitif.II, IC �El�ements de stockage
d'�energie multiport de type inertiel, de type
capacitif.II IC �El�ement de stockage d'�energie multiport �a
deux champs, l'un
inertiel, l'autre capacitif.~I; ~II �El�ement inertiel virtuel,
�el�ement inertiel multiport virtuel.
(M)R �El�ement de dissipation d'�energie (modul�e).(IM)IR
�El�ement de dissipation d'�energie multiport (modul�e).
(M)Se,(M)Sf Source d'e�ort (modul�ee), source de ux
(modul�ee).(IM) ISe,(IM) ISf Source d'e�ort multiport (modul�ee),
source de ux multiport
(modul�ee).(M)TF Transformateur (modul�e).(IM) ITIF
Transformateur multiport (modul�e).(M)GY Gyrateur (modul�e).(IM) IG
IY Gyrateur multiport (modul�e).
0,1 Jonction 0, jonction 1.0; 1 Jonction tableau 0, jonction
tableau 1.
0n; 1n Jonction tableau 0 de dimension n, jonction tableau 1 de
dimensionn.h
IGi
ii
Matrice caract�eristique de l'�el�ement II de la dynamique de
rotation
du multibond graph du solide Si (calcul�ee en Gi et dans le
rep�ereRi).h
IOi
ii
Matrice caract�eristique de l'�el�ement II de la dynamique de
rotation
du multibond graph du solide Si (calcul�ee en Oi et dans le
rep�ereRi).�
EJSGi�i
Matrice caract�eristique de l'�el�ement IM IG IY de la dynamique
derotation du multibond graph du solide Si (calcul�ee en Gi et
dansle rep�ere Ri).
-
22 Nomenclature g�en�erale
�EJSOi
�i
Matrice caract�eristique de l'�el�ement IM IG IY de la dynamique
derotation du multibond graph du solide Si (calcul�ee en Oi et
dansle rep�ere Ri).�
mi�
Matrice diagonale caract�eristique de l'�el�ement II de la
dynamiquede translation du multibond graph du solide Si.
-
Introduction
M�ecanique : : : et bond graph
(( On trouve encore dans les m�emoires classiques, o�u la
profondeur dela pens�ee et la justesse du raisonnement se
manifestent sous une forme
remarquablement lucide et �el�egante, le secret d'exposer les
d�ecouvertes etles conceptions scienti�ques d'une fa�con claire et
pr�ecise, comme l'ont
demand�e �a plusieurs reprises les savants les plus illustres de
notretemps. ))
Maurice Solovine, 1955
La mod�elisation s'implique dans une d�emarche d'�etude de
syst�eme pour obtenirdes informations qualitatives et quantitatives
sur son comportement et ses
performances, ceci en toute abstraction du syst�eme r�eel.
�Etablir un mod�ele de connaissances apparâ�t comme la
caricaturisation dusyst�eme [BOR92a] ou la projection du syst�eme
dans l'esprit du mod�elisateur [BRE96]. Lamod�elisation rend alors
compte de cette projection de fa�con cod�ee et compr�ehensible�a
travers un formalisme. Elle passe par une description (( litt�erale
)) ou par les motsdu syst�eme puis une repr�esentation sous la
forme d'un dessin, d'un sch�ema ou d'ungraphe r�epondant �a des
r�egles d�e�nies au pr�ealable. Le bond graph est l'une de
cesrepr�esentations graphiques poss�edant en outre ses propres
proc�edures d'exploitationanalytique et structurelle. Il intervient
donc dans la mod�elisation comme un outil derepr�esentation 1.
1.1 Au commencement : : :
Un des premiers livres faisant r�ef�erence sur la pr�esentation
du langage bondgraph est sans aucun doute celui de Karnopp et
Rosenberg en 1968 [KAR68].
Il est pr�efac�e par l'inventeur de ce langage, H. M. Paynter
qui en 1959 a ressentila n�ecessit�e de repr�esenter les concepts
de port d'�energie, de lien de puissance etd'�el�ement multiport
mieux que pouvait le faire le sch�ema bloc ou les graphes de
1: Cependant, des travaux r�ecents montrent qu'il peut être
adapt�e �a une d�emarche de conception(notamment de m�ecanisme)
[BID94], de dimensionnement [FOT97] ou de synth�ese
d'imp�edance[RED93a], [RED93b].
-
24 Introduction. M�ecanique : : : et bond graph
uence ((( signal ow graph ))) 2. Le formalisme est alors publi�e
pour la premi�ere foisen 1961 [PAY61]. Deux autres �editions du
livre de Karnopp et Rosenberg ont parudepuis [KAR75] et
[KAR90].
L'utilisation du langage bond graph couvre tous les domaines de
la physiquepuisqu'il repose sur les variables fondamentales
communes �a chaque discipline,l'�energie et la puissance.
L'�economie ou la �nance peut aussi être appr�ehend�ee�a travers
ce langage. Le bond graph propose une repr�esentation uniformis�ee
dessyst�emes pluridisciplinaires qui sont omnipr�esents dans
l'ing�enierie d'aujourd'hui.
La m�ecanique (et toutes ses branches : m�ecanique des corps
ind�eformables,m�ecanique des milieux continus, m�ecanique des
uides, : : : ) se trouve impliqu�ee d�esle d�epart dans les
repr�esentations bond graph au même titre que d'autres domainesde
la physique [KAR68]. Ainsi, des syst�emes monodimensionnels (masses
et ressorts entranslation, en rotation, r�educteurs, : : : )
servent tout d'abord �a pr�esenter di��erents�el�ements bond graph
�a travers les ph�enom�enes �energ�etiques attach�es �a la
dynamiquede ces syst�emes. Ensuite, le solide en mouvement dans
l'espace est trait�e sur la basedu bond graph associ�e aux
�equations de Newton{Euler puis l'interconnection deplusieurs
solides est mise en place [KAR68].
Une attention particuli�ere est port�ee en 1969 par Karnopp
[KAR69] sur lestransformations conservatrices en puissance (((
power conserving transformations ))).Ces transformations expriment
des relations entre les termes cin�ematiques faisantintervenir en
l'occurrence les vitesses g�en�eralis�ees. Karnopp explique que
cesrelations ne peuvent s'�ecrire que par n�ecessit�e de la
conservation de puissance, et dece fait, sont jumel�ees �a des
relations duales liant les forces g�en�eralis�ees. Ce point
estessentiel a�n de comprendre les premi�eres proc�edures
�enonc�ees pour la constructiondu bond graph des syst�emes
m�ecaniques multicorps. En e�et, ces proc�edures sontbas�ees
d'abord sur l'�ecriture de relations cin�ematiques puis sur l'ajout
d'�el�ements�energ�etiques (cf. section 2.1). Karnopp en �enonce la
premi�ere version [KAR69], repriseensuite par Rosenberg [ROS72], et
�nalement dans leurs ouvrages communs [KAR75],[KAR90].
Karnopp par ailleurs, met en �evidence ce qui distingue le
domaine de la m�ecaniquedu domaine de l'�electrique par exemple.
Les transformations conservatrices enpuissance �evoqu�ees
pr�ec�edemment sont �etablies pour la m�ecanique plus facilementen
termes de vitesse et celles en termes d'e�ort ne peuvent se faire
sans l'utilisationdes variables de d�eplacement ou de position
[KAR69], [KAR77] 3.
En�n, signalons quelques exemples d'application m�ecanique
trait�es avec l'outil
2:(( Following Peirce, then, we adopted the convention of
graphing each multiport as a nodal
element, representing a particular constraint among the power
bonds. But for circuits, then, thiswould require that we represent
the two Kirchhoff laws, themselves, as manifest multiportnodes!
)).
3: Ce constat est �a nuancer si un domaine tridimensionnel
�electrique ou magn�etique est envisag�epar exemple.
-
Introduction. M�ecanique : : : et bond graph 25
bond graph. Outre l'ouvrage de Karnopp et al. [KAR90] proposant
de nombreuxexemples, nous trouvons �a travers les r�ef�erences
cit�ees dans ce chapitre plusieursapplications illustrant les
travaux pr�esent�es.
Karnopp [KAR76] illustre la repr�esentation correspondant aux
�equations d'Eulerpar des exemples simples de v�ehicules et
d'a�eronefs. Pacejka et Tol [PAC82]d�eveloppent le mod�ele deux
roues d'un v�ehicule, le mod�ele d'un train avant, eten�n, celui
d'un camion. Ils prennent aussi en compte des mod�eles simpli��es
de ladynamique du pneumatique.
Bos quant �a lui d�eveloppe la repr�esentation compl�ete d'une
motocyclette [BOS86],[BOS87].
Dans le domaine ferroviaire, Zeng et Dai [ZEN93] pr�esentent le
bond graphd'un pont bas�e sur le mod�ele Bernoulli{Euler d'une
poutre et l'utilisation dela d�ecomposition modale de cette
derni�ere. Ils d�eveloppent la repr�esentation bondgraph du
v�ehicule ferroviaire sur ce pont comme exemple complet
d'application.
Parmi les exemples industriels peuvent être cit�ees une
plateforme trois axes[TIE79], une machine de d�ecoupe de tissu
[ALL81], ou encore une pince �a souder�electro{pneumatique
[DET91].
Nous pr�esentons ce chapitre bibliographique en cinq th�emes qui
nous ont paru sed�egager des r�ef�erences cit�ees. Concernant la
m�ecanique, seront vues tour �a tour :
{ les di��erentes notations et pr�esentations du bond graph,
{ les proc�edures de construction du bond graph,
{ les formulations de la m�ecanique �a travers le bond
graph,
{ la mise en forme des mod�eles math�ematiques issus du bond
graph en vue de lasimulation,
Nous terminons ce chapitre en pr�ecisant la contribution de ce
m�emoire.
La bibliographie pr�esent�ee n'est bien �evidemment pas
exhaustive et de nombreusesautres r�ef�erences sont disponibles
chez Breedveld et al. [BRE91b]. Ils donnent enl'occurrence une
bonne id�ee de l'�eventail des domaines d'application o�u le
langagebond graph peut être utilis�e. En�n, les moyens de
communication informatiquepermettent maintenant de disposer d'une
large bibliographie bond graph sur le r�eseauinformatique
international www (World Wide Web) [CEL97].
1.2 Notations et pr�esentations
La symbolique du langage bond graph est bas�ee initialement sur
la repr�esentationde syst�emes monodimensionnels. Cependant, une
notation condens�ee est
devenue tr�es rapidement n�ecessaire lorsqu'il s'est agi de
traiter des domaines �a
-
26 Introduction. M�ecanique : : : et bond graph
plusieurs dimensions comme celui de la m�ecanique [ALL79],
[ALL81]. L'ajout d'une oudeux dimensions dans un domaine double ou
triple approximativement le nombre deliens et d'�el�ements dans la
repr�esentation. Une notation condens�ee permet donc dela rendre
plus synth�etique.
Les premiers travaux dans ce sens ont �et�e e�ectu�es par Sen
[SEN74] puis parBonderson [BON75] sur une application �a
param�etres r�epartis. Breedveld [BRE82],[BRE85a] a ensuite
compl�etement formalis�e la notation appel�ee alors multibondgraph.
Elle restera le standard pour la plupart des travaux relatifs aux
syst�emesmultidimensionnels.
Cependant, plusieurs auteurs ont travaill�e sur d'autres
notations ou pr�esentationsdu bond graph. Ainsi, Beauwin et Lorenz
[BEA88b] ont mis en �evidence, en adaptantla notation multibond
graph, l'aspect torsorielle en m�ecanique.
Du point de vue de la symbolique, les premiers auteurs ont
pr�esent�e une notationbond graph qu'ils quali�ent de vectorielle
[SEN74], [BON75]. Chez Ingrim et Masada[ING91b], [ING91a], cette
derni�ere est appel�ee bond graph �etendu ((( extended bondgraph
))). En g�en�eralisant le concept de vecteur �a des ordres
sup�erieurs, Fahrentholdet Wargo [FAH94] pr�esentent une notation
tensorielle pour le bond graph en vue del'appliquer �a des
syst�emes �a param�etres r�epartis.
En outre, un caract�ere intrins�eque a �et�e introduit dans la
notation parFahrenthold et Wargo [FAH91] pour des grandeurs
vectorielles d'une part, etpar Bidard [BID94] pour les grandeurs
torsorielles d'autre part. Ces notationspermettent �a ces auteurs
de travailler sur les syst�emes m�ecaniques
multicorpsind�ependamment de toute base de projection.
Il reste que l'un des principaux objectifs du bond graph est son
exploitationanalytique et en cela, la notation multibond graph est
selon nous la mieux formalis�eeet la mieux adapt�ee compar�ee aux
notations vectorielles et torsorielles
intrins�equespr�ec�edentes.
Signalons en�n une pr�esentation classique du bond graph avec un
e�et 3Dgrâce aux moyens informatiques. Granda et Reus [GRA95]
montrent �a travers lelogiciel camp{g (Computer{Aided Modeling
Program) les avantages que peut avoircette pr�esentation
tridimensionnelle du bond graph pour les syst�emes
m�ecaniquesmulticorps mais aussi ceux �a param�etres r�epartis o�u
la m�ethode des �el�ements �nispar exemple est appliqu�ee.
1.3 Les proc�edures de repr�esentation
Le b�en�e�ce du langage bond graph dans le domaine de la
m�ecanique multicorpsimplique l'utilisation de proc�edures de
construction e�caces. Elles se jugent �a
leur rapidit�e de prise en main, leur aspect syst�ematique et
leur capacit�e �a ne pasd�enaturer la discipline.
-
Introduction. M�ecanique : : : et bond graph 27
De nombreux auteurs ont propos�e une proc�edure de construction
du bond graphpour les syst�emes m�ecaniques multicorps. Nous
d�egageons dans la bibliographiedeux approches. La premi�ere
concerne une cat�egorie de proc�edures n�ecessitant
und�eveloppement analytique pr�ealable �a la construction. La
seconde approche permetde mettre en place directement la
repr�esentation bond graph sans phase analytique.
1.3.1 Approche analytique{graphique
Les initiateurs de cette approche sont Karnopp et Rosenberg
[KAR69], [ROS72],[KAR90]. Ils basent la construction sur
l'�ecriture des relations cin�ematiques, lad�eduction de la
structure de jonction et l'ajout du reste des �el�ements bond
graphidenti��es au travers des ph�enom�enes pr�esents dans le
syst�eme.
Avec la même approche, Allen et Dubowsky [ALL77] s'emploient �a
tirer de lacin�ematique compl�ete d'un syst�eme m�ecanique
multicorps, une structure de jonction((( mechanism ))) o�u
apparaissent distinctement les vitesses g�en�eralis�ees
d�ependanteset ind�ependantes. Cet �el�ement statique multiport
rend compte des mobilit�es d'unm�ecanisme, boucl�e ou non
cin�ematiquement, grâce �a l'a�ectation de la causalit�e.Cette
approche a �et�e reprise d'un point de vue alg�ebro{torsoriel par
Bidard [BID94].Ils ajoutent ensuite dans l'environnement de la
structure, les �el�ements de stockaged'�energie et de dissipation
via des transformations de variables. La mise en place dubond graph
se fait ici de fa�con analogue �a la proc�edure de Karnopp et
Rosenberg �apartir des relations cin�ematiques du syst�eme �ecrites
au pr�ealable.
Brown [BRO81] quant �a lui base la construction du bond graph
sur le conceptde mod�elisation par les m�ethodes �energ�etiques �a
opposer aux m�ethodes directess'appuyant sur les principes de
conservation. Il reformule les �equations de Lagrangeet construit
une repr�esentation bond graph, d'une part �a partir des termes
d'�energieservant �a d�eterminer le lagrangien, et d'autre part, �a
partir des transformations decoordonn�ee, pour les syst�emes
holonomes [BRO72b] et les syst�emes non holonomes[BRO76].
Cependant, pratiquement toute la partie analytique est �ecrite du
point devue cin�ematique et dynamique avant même la mise en place
du bond graph.
En�n, signalons une tentative de mise en place d'une proc�edure
qui n'a delagrangien que le nom [ZHA85]. Elle consiste en fait �a
�ecrire les relations cin�ematiquesentre di��erents vecteurs cl�es
rappelant la proc�edure de Karnopp et Rosenberg. Und�eveloppement
analytique est donc aussi n�ecessaire mais le cas de d�ependance
entreles variables g�en�eralis�ees n'est pas trait�e.
1.3.2 Approche graphique
La seconde cat�egorie de proc�edures connait ses pr�emices en
1979 [TIE79].Elle repose sur la mise en place d'une repr�esentation
g�en�erique associ�ee auxd�eveloppements analytiques �evoqu�es
pr�ec�edemment. Une s�erie de travaux de mêmesauteurs conduit �a
une formalisation de la repr�esentation du solide en mouvementdans
l'espace [TIE81], [TIE82] pour aboutir �a une proc�edure s'appuyant
sur la notation
-
28 Introduction. M�ecanique : : : et bond graph
multibond graph [TIE85], [BOS85b], [BOS86]. La structure de
jonction associ�ee est �etablie�a partir de la cin�ematique du
solide puis les �el�ements correspondant �a la dynamiqueviennent
s'ajouter automatiquement. La repr�esentation obtenue est
g�en�erique etpeut être reprise pour tout nouveau solide sans
avoir �a d�evelopper de nouveau ni sacin�ematique ni sa dynamique.
C'est en cela une proc�edure que nous quali�ons desyst�ematique �a
un niveau graphique, �a opposer �a celle de Karnopp et
Rosenberg[KAR90] et celle d'Allen et Dubowsky [ALL77]. Grâce �a
cette repr�esentation, leconcept de word bond graph est
avantageusement utilis�e pour pr�esenter de fa�consynth�etique la
mise en liaison de deux solides (couples cin�ematiques inf�erieurs)
etdonc un syst�eme multicorps.
Toujours parmi les proc�edures de la seconde cat�egorie, Kawase
et al. [KAW84]proposent une construction du bond graph du solide en
mouvement similaire �acelle de Tiernego et Bos en syst�ematisant
les relations entr�ee{sortie en e�ort{
ux des transformations non �energ�etiques. Ils d�eveloppent
alors les �equations dela dynamique sous la forme hamiltonienne
pour chacun des solides sans pour celaconstruire le bond graph
entier associ�e. Par ailleurs, ils n'�evoquent pas le probl�eme
desbouclages cin�ematiques. Plus tard, Kawase et al. [KAW91]
pr�esentent la constructionsyst�ematique du bond graph d'un
syst�eme m�ecanique multicorps en regroupantles transformations
impliqu�ees dans les liaisons et la cin�ematique du solide.
Ilsconnectent alors la repr�esentation bond graph correspondant �a
l'application au solidedes lois fondamentales de la dynamique. Ils
d�eveloppent un algorithme qui r�eduitsymboliquement la taille des
�equations syst�ematiquement obtenues du bond graph[OUT85] en
tirant de la structure de jonction un tableau d'incidence
[KAW91].
1.3.3 Autres travaux sur la repr�esentation
Felez et al. [FEL90] pr�esentent un logiciel de simulation
dynamique bas�e surle bond graph mais avec une entr�ee composant et
particularis�e aux syst�emesm�ecaniques multicorps. Le logiciel se
distingue par l'utilisation explicite etsyst�ematique d'�el�ements
pour le traitement algorithmique des multiplicateursde Lagrange �a
l'instar de Bos [BOS86] ou encore Van Dijk [VAN94]. Quant au
solideen mouvement dans l'espace, ils reprennent la repr�esentation
classique de Tiernegoet Bos, et donnent aussi un catalogue de
repr�esentations des liaisons usuelles avecl'introduction des
�el�ements repr�esentant les multiplicateurs.
Par ailleurs, Zeid et al. [ZEI92] mettent en place une
repr�esentation bond graphdu solide en mouvement dans l'espace
analogue �a celle de Tiernego et Bos mais o�uils consid�erent
syst�ematiquement l'origine du rep�ere li�e au solide au centre
d'inertie.Ils donnent un catalogue de liaisons usuelles en
introduisant des non lin�earit�es tellesque des jeux. Pour
expliciter ces derni�eres, ils reprennent les contraintes de
base[NIK88] exprimant la co�ncidence de deux points, une distance
constante ou encorel'orthogonalit�e entre deux directions [ZEI95b],
[ZEI95c].
En�n, nous signalons le travail de Bidard [BID91], [BID94] qui
pr�esente deuxproc�edures de construction syst�ematique de la
repr�esentation bond graph d'unm�ecanisme. La premi�ere consiste �a
e�ectuer sur chacun des solides composant le
-
Introduction. M�ecanique : : : et bond graph 29
m�ecanisme [BOS86], un bilan des torseurs des actions de
liaison. La seconde proc�edurese concentre sur les boucles
cin�ematiques [ALL79] et le bilan des torseurs cin�ematiquesqui
leur sont attach�es. Ces deux proc�edures correspondent d'un point
de vue global�a l'application des lois de Kirchhoff sur un
m�ecanisme.
1.4 Concepts de la m�ecanique �a travers le bond graph
En tant qu'outil de mod�elisation, le bond graph permet, �a
partir de larepr�esentation graphique, la g�en�eration des
�equations dynamiques d'un syst�eme.
La proc�edure classique d'exploitation du bond graph conduit �a
une repr�esentationd'�etat, forme applicable �a tous les domaines
de la physique.
Cependant, les formulations de la m�ecanique ne sont pas
absentes dans larepr�esentation bond graph et plusieurs auteurs
mettent en �evidence les concepts lesplus classiques de ce
domaine.
1.4.1 �Equations de Lagrange, �equations d'Euler,
multiplicateurs deLagrange
D�es 1969, Karnopp [KAR69] parle de la possibilit�e d'�ecrire
les �equations deLagrange et en 1977 [KAR77], il propose une
proc�edure pour leur obtention ainsique le choix des vitesses
g�en�eralis�ees �a partir du bond graph. Il s'appuie notammentsur
la d�etermination, �a travers les �el�ements du bond graph, de
l'�energie potentielleet de la co{�energie cin�etique constituant
le lagrangien du syst�eme. Cependant, cedernier est construit avant
l'�ecriture des �equations, d�eduites alors non directementdu bond
graph. Il est possible de voir l'importance des �el�ements de
gyration d'�energie(appel�es gyrateurs -GY- dans la terminologie
bond graph) dans la d�etermination dela co{�energie cin�etique.
Cependant, cette d�etermination est limit�ee aux
gyrateursposs�edant des modules constants uniquement. Van Dijk
[VAN94] l�eve cette restrictiondans la proc�edure lcap d'a�ectation
de causalit�e en �ecrivant les �equations deLagrange sans avoir �a
d�eterminer le lagrangien et directement �a partir du
bondgraph.
Dans le même temps, Karnopp [KAR76], [KAR78] pr�esente de
fa�con g�en�erale,le bond graph correspondant aux �equations
d'Euler issues de la d�erivation dumoment cin�etique dans un
rep�ere mobile (en l'occurrence dans le cas d'un v�ehiculeen
mouvement). Elles donnent lieu aux structures de jonction d'Euler
(cf. section2.3.1) compos�ees d'un anneau de gyrateurs modul�es
((M)GY) et sont d�esormaisclassiques dans la repr�esentation bond
graph des syst�emes m�ecaniques.
Tiernego et Bos travaillent eux sur l'obtention des �equations
dynamiquesr�egissant l'�evolution des syst�emes m�ecaniques
multicorps �a partir du bond graph[TIE85], [BOS85b]. Dans sa th�ese
[BOS86], Bos donne une repr�esentation qui renforce lapr�esence des
multiplicateurs de Lagrange dans le bond graph et fournit une aide
�ala mise en place algorithmique des �equations de cette
m�ethode.
-
30 Introduction. M�ecanique : : : et bond graph
1.4.2 Transformation des �el�ements inertiels d�ependants
Une di�cult�e sous{jacente �a la r�esolution des �equations
issues du bond graphpour les syst�emes m�ecaniques, est
g�en�eralement la pr�esence de nombreuses inertiesd�ependantes (le
mod�ele de simulation revêt alors un caract�ere
alg�ebro{di��erentiel).Pour rem�edier �a ce probl�eme, plusieurs
travaux ont vis�e �a transformer le bondgraph et �a rendre ainsi
ind�ependants, les �el�ements inertiels correspondants.
Karnopp�evoque d�ej�a en 1969 [KAR69] la transformation de stockage
d'�energie �a travers lestransformateurs (�el�ement TF en bond
graph). Il e�ectue cette transformation pourl'�el�ement inertiel
(�el�ement I en bond graph) en 1971, dans le cas simple d'une
masseponctuelle en mouvement plan [KAR71]. Il met en �evidence que
l'�el�ement transform�en'est pas un vrai �el�ement inertiel.
Allen et Dubowsky [ALL77] mentionnent le r�esultat de la
transformationd'un �el�ement inertiel (�el�ement I) multiport �a
travers un transformateur modul�e(�el�ement MTF) comme
correspondant �a la mise en �evidence des termes de Coriolislorsque
les quantit�es d'acc�el�eration sont calcul�ees par rapport �a un
r�ef�erentielnon galil�een. Allen [ALL79] introduit alors
l'�el�ement inertiel virtuel accompagn�en�ecessairement d'un
�el�ement repr�esentant les e�ets gyroscopiques
(gyristor).L'objectif de ces transformations est toujours de
ramener les inerties d�ependantessur celles ind�ependantes en vue
de la simulation.
Breedveld [BRE80] corrige Allen [ALL79] sur la propri�et�e de
sym�etrie de la matricecaract�eristique li�ee aux ph�enom�enes
gyroscopiques sur le bond graph. Il donne lessch�emas de calcul
associ�es d'une part �a la forme lagrangienne, et d'autre part, �a
laforme hamiltonienne des �equations de mouvement. Cette derni�ere
a �et�e pr�esent�eeauparavant par Sen [SEN74].
L'op�eration visant �a transformer les �el�ements inertiels dans
le bond graphrevient r�eguli�erement dans di��erents travaux. Dans
ce cadre, Felez et al. [FEL95]appliquent la m�ethode des
transformations de vitesse et expriment la dynamique dusyst�eme sur
un ensemble de coordonn�ees relatives. Ils proposent alors une
proc�eduresyst�ematique qui, �a partir d'un bond graph initial
obtenu de fa�con classique,transforme les �el�ements inertiels a�n
de les rendre ind�ependants [ALL79].
En 1992, Karnopp [KAR92] traite le probl�eme des d�ependances
entre les �el�ementsinertiels dans le cas de contraintes holonomes.
Il montre que la formulation en termesde coordonn�ee ind�ependante
et sous la forme hamiltonienne correspond �a un champcouplant des
aspects inertiel et potentiel (�el�ement IC) dans la
repr�esentation bondgraph.
Breedveld et Hogan [BRE94] reprennent eux la transformation des
inerties etcouplages gyroscopiques associ�es �a la vitesse de
rotation instantan�ee �a travers untransformateur modul�e (MTF).
Ils pr�esentent le r�esultat de cette manipulation entermes de bond
graph avec notamment des �el�ements de stockage couplant
aspectsinertiel et potentiel (�el�ement IC multiport non modul�e).
Cette repr�esentation estplus juste que celle d'une inertie
virtuelle issue de la transformation d'un �el�ement
-
Introduction. M�ecanique : : : et bond graph 31
inertiel (I) multiport [ALL79], [BOS86] �a travers un
transformateur modul�e (MTF).En�n, Breedveld et Hogan montrent par
le jeu des sch�emas de calcul (causalit�ebond graph), di��erentes
formes d'�equation telles que celles reposant sur le lagrangienet
l'hamiltonien. Ils montrent aussi la possibilit�e de construire une
repr�esentationbond graph o�u les e�ets gyrationnels ne sont pas
n�ecessairement repr�esent�es par des�el�ements gyrateurs modul�es
(MGY) [KAR71].
Les bond graphs pr�esent�es par Breedveld et Hogan correspondant
�a uneformulation hamiltonienne sont d�ej�a pr�esent�es par Brown
[BRO91], mais uniquementdans une version exclusivement inertielle
(I multiport), ou potentielle (C multiportaccompagn�e d'un
�el�ement de gyration d'�energie �a module unitaire ou
gyrateursymplectique -SGY-).
1.4.3 Autres concepts mis en �evidence �a travers le bond
graph
De mani�ere g�en�erale,Brown [BRO81] pr�ecise des concepts de
m�ecanique analytique(vraies et quasi{coordonn�ees, coordonn�ees et
vitesses g�en�eralis�ees, contraintesholonomes et non holonomes, :
: : ) et les clari�e par rapport au bond graphlagrangien qu'il a
pr�esent�e dans ses pr�ec�edents articles [BRO72b], [BRO76].
Breedveld [BRE85b] pr�esente �a travers les concepts physiques
g�en�eraux surl'�energie et la puissance, la notion de multiport et
la notation multibond graph quiapparaissent en particulier dans le
domaine de la m�ecanique multicorps. Il discutedes propri�et�es des
di��erents �el�ements multiport d�e�nis (r�eciprocit�e de
Maxwell,forme d'Onsager ou de Casimir [KAR90]), �a travers la
continuit�e de puissance, laconservation d'�energie et la cr�eation
d'entropie.
Bidard [BID92] d�eveloppe des contraintes non locales
d'a�ectation de la causalit�e(cycle et co{cycle) correspondant au
respect des invariants de Kirchhoff d'unm�ecanisme. Ces contraintes
sont d�ej�a �evoqu�ees par Hogan et Fasse [HOG88] commer�epondant
aux principes de conservation dans les structures des
syst�emes.
Brix et Allirand [BRI94] manipulent les contraintes pr�esentes
dans les syst�emesmulticorps de fa�con g�en�erale et en donnent une
traduction bond graph �a apparenter�a la m�ethode de projection
[GAR94]. Ils retrouvent en l'occurrence les r�esultats dela
transformation d'un �el�ement inertiel (I) �a travers un
transformateur. Brix etAllirand proposent par ailleurs une
repr�esentation bond graph prenant en comptela m�ethode de
stabilisation de Baumgarte [BAU84]. Nous verrons dans le chapitre
5(section 5.3.2) une mani�ere plus juste de la repr�esenter.
Sur la base de la construction syst�ematique de Tiernego et Bos,
Matthijsseet Breedveld [MAT88] d�eveloppent une m�ethodologie pour
d�eterminer les mod�elesdirect et inverse pour les syst�emes
m�ecaniques. Elle consiste en deux �etapes : (1)imposer les e�orts
en entr�ee et d�eduire du bond graph les �equations constituant
alorsle mod�ele direct ; (2) imposer les vitesses en sortie
correspondant aux trajectoiresd�esir�ees et d�eterminer avec le
bond graph a�ect�e d'une nouvelle causalit�e, les e�orts�a
transmettre en entr�ee. Ces deux phases et leur sch�ema de calcul
associ�e ont �et�e
-
32 Introduction. M�ecanique : : : et bond graph
r�eunis en un seul bond graph [FOT97] avec l'utilisation du
concept de bicausalit�e[GAW95], [GAW96].
En�n, Bidard [BID91], [BID94] travaille sur l'exploitation de la
structure de jonctionassoci�ee �a la cin�ematique d'un m�ecanisme
pour en d�eduire les propri�et�es topologiquestelles que la
d�etermination des mobilit�es et des singularit�es
cin�ematiques.
1.5 Mise en forme du mod�ele math�ematique pour la
simulation
Les probl�emes attach�es aux mod�eles de simulation des
syst�emes m�ecaniquesmulticorps se r�ev�elent pour la plupart dans
la repr�esentation bond graph de
ces syst�emes. Une des raisons est li�ee en l'occurrence aux
d�ependances d'�el�ementsinertiels dont il a �et�e question dans la
section pr�ec�edente.
Bos [BOS85a] �evoque dans le cadre des syst�emes m�ecaniques
multicorps, les�equations implicites issues du bond graph et dues
aux d�ependances entre les�el�ements inertiels. Il propose des
m�ethodes num�eriques implicites pour la r�esolutiondu syst�eme
alg�ebro{di��erentiel correspondant. En 1988 [BOS88], le même
auteurpropose un algorithme de simulation pour r�esoudre les
syst�emes alg�ebro{di��erentielsissus d'une repr�esentation bond
graph g�en�erale [BOS86]. Il montre que ces derniersont un index au
plus �egal �a un. Ceci n'est en fait pas toujours le cas lorsque
desboucles alg�ebriques existent dans le syst�eme [VAN94].
Dans la perspective d'une simulation e�cace, Van Dijk �etudie
dans sa th�ese[VAN94] les cons�equences de di��erentes proc�edures
d'a�ectation de causalit�e sur lebond graph. Ces derni�eres sont
notamment modi��ees puis compar�ees en termesde performance des
sch�emas de calcul qui en r�esultent. Le concept cl�e sont
leschemin causaux d'ordre z�ero rang�es en cinq classes distinctes
selon leur topologie.L'occurrence de ces derniers sur le bond graph
causal aboutit �a di��erents typesde syst�eme d'�equations
alg�ebro{di��erentielles �a index plus ou moins �elev�e. Suivantles
proc�edures modi��ees d'a�ectation de causalit�e utilis�ees,
l'auteur donne led�eveloppement des �equations du mod�ele de
simulation et r�epertorie leur formesuivant le type de chemin
causal d'ordre z�ero apparaissant dans le bond graph[VAN93]. La
d�e�nition d'espace de semi{�etat est donn�ee comme correspondant
�a lapartie alg�ebrique du syst�eme d'�equations
alg�ebro{di��erentielles.
Dans le but de rendre la simulation e�cace, l'ajout
d'�el�ements, et non plusla transformation graphique du bond graph,
a constitu�e un axe de recherche.Cette technique permet d'obtenir
un syst�eme d'�equations di��erentielles proche d'unsyst�eme
ordinaire et donc de diminuer son index.
Dans ce sens, Karnopp [KAR78] introduit des compliances entre
les �el�ementsinertiels d�ependants et ind�ependants dans la
repr�esentation bond graph. Il initialiseainsi les bases des
m�ethodes consistant �a ajouter des �el�ements pour r�eduire
l'indexdu mod�ele de simulation. Appliqu�e en 1979 aux syst�emes
plans [KAR79], le but est
-
Introduction. M�ecanique : : : et bond graph 33
alors de relâcher les contraintes dues �a la structure
cin�ematique du syst�eme. Lesd�ependances inertielles sont ainsi
�elimin�ees mais, en contre partie, le d�ecouplageentrâ�ne
l'introduction de grandes raideurs pour rester proche du
comportement r�eel.Ceci a pour cons�equence d'allonger les temps de
simulation.
Granda [GRA84] e�ectue une synth�ese de cas donnant lieu �a des
probl�emes auniveau de la simulation (�el�ement de stockage
d�ependant et boucle alg�ebrique). Sonarticle illustre les
attitudes pouvant être adopt�ees pour r�esoudre ces di�cult�es,�a
savoir au stade du mod�ele physique (ajout ou retrait d'�el�ement),
du mod�elemath�ematique (r�esolution symbolique d'�equations
implicites), et du mod�elenum�erique (utilisation d'algorithme
appropri�e). Il est pr�ecurseur en cela du travaile�ectu�e par Van
Dijk dans sa th�ese [VAN94] en indiquant �a travers des
exemplessimples comment se d�etectent les probl�emes sur le bond
graph et �a quoi cela aboutitdu point du vue des �equations. En�n,
le cas d'�el�ements compliants ajout�es pr�e�gure,au même titre
que ce qu'ont propos�e Karnopp [KAR78] et Karnopp et
Margolis[KAR79], les travaux de Zeid et Overholt [ZEI95b],
[ZEI95c].
Zeid [ZEI88] donne un tableau r�ecapitulatif des di��erentes
structures �a introduiredans le bond graph pour �eliminer les
d�ependances sur des �el�ements de stockage. Ilpoursuit [ZEI89a] le
travail amorc�e par Karnopp etMargolis [KAR79] en reprenant
lesdi��erentes approches pour �eliminer les d�ependances [GRA84] et
trouve une justi�cationphysique dans la m�ethode des
multiplicateurs de Lagrange et celle utilisant lesperturbations
singuli�eres [ZEI89b]. Ces techniques sont utilis�ees aussi pour
mod�eliserdes non lin�earit�es telles que des jeux dans les
liaisons. Les �el�ements ajout�es sont desraideurs et des
dissipations. Ils permettent de relâcher les contraintes et
favorisentainsi la simulation. Cependant, une attention
particuli�ere est n�ecessaire sur le choixdes param�etres
introduits en vue d'une simulation r�ealiste du syst�eme [ZEI92].
Dansla continuit�e de ces travaux, Zeid et Overholt [ZEI95a]
reprennent la formulationdes perturbations singuli�eres hors
contexte bond graph mais toujours dans le cadrede la mod�elisation
de non lin�earit�es telles que des jeux dans les liaisons. Le
syst�emed'�equations di��erentielles alors obtenu est explicite et
ordinaire. Ils montrent que lemod�ele math�ematique ainsi formul�e
tend vers la solution non perturb�ee [BOR92b].Les auteurs
pr�esentent des simulations o�u sont compar�ees plusieurs valeurs
desraideurs et dissipations introduites. Ils appliquent cette
technique la même ann�ee �ala repr�esentation bond graph [ZEI95c],
[ZEI95b].
En�n, signalons Sueur et Dauphin{Tanguy qui, au contraire de
Zeid et al.augmentant le syst�eme (cf. section 5.3.3), le
simpli�ent et corrigent la partie lente �atravers la m�ethode des
perturbations singuli�eres [SUE92].
1.6 : : : contribution de ce m�emoire
Outre la synth�ese bibliographique du premier chapitre, notre
m�emoire comportequatre autres chapitres.
-
34 Introduction. M�ecanique : : : et bond graph
Le second est consacr�e �a une pr�esentation des approches de la
construction dubond graph d'un syst�eme m�ecanique multicorps. Les
deux approches dont il a �et�equestion dans la section 1.3 sont
reprises �a travers deux proc�edures qui nous semblentles plus
repr�esentatives. La premi�ere est celle de Karnopp et Rosenberg.
Elle estintroduite �a travers un exemple tir�e de leur ouvrage
[KAR90]. La transition sur laseconde proc�edure est e�ectu�ee �a
travers la pr�esentation de la notation multibondgraph,
caract�eristique des domaines multidimensionnels. En�n, la
proc�edure deTiernego et Bos est pr�esent�ee, syst�ematisant au
niveau graphique, la constructiondu bond graph d'un syst�eme
m�ecanique multicorps. Les composants solide enmouvement dans
l'espace et liaisons usuelles sont g�en�er�es pour la biblioth�eque
derepr�esentations bond graphs.
Le troisi�eme chapitre constitue notre contribution �a la
repr�esentation dubond graph d'un syst�eme m�ecanique multicorps.
Dans le cadre des proc�edures deconstruction de la deuxi�eme
approche (syst�ematique �a un niveau graphique), nousproposons une
repr�esentation bond graph (( privil�egi�ee )) des syst�emes
m�ecaniquesmulticorps. Proche de la proc�edure pr�ec�edente, elle
s'en d�emarque n�eanmoins par lefait qu'elle consid�ere d'abord le
syst�eme dans sa globalit�e plutôt que localement solidepar
solide. Elle permet d'appr�ehender au mieux les bouclages
cin�ematiques et depro�ter aussi des particularit�es du
param�etrage. Le r�esultat est donc une proc�eduresyst�ematisant la
construction du bond graph et fournissant aussi une
repr�esentationproche, du point de vue de la simplicit�e, de celle
issue de la proc�edure de Karnoppet Rosenberg. Cette proc�edure est
bas�ee sur le choix de rep�eres privil�egi�es pourtout ou une
partie du syst�eme permettant de consid�erer la projection des
grandeursvectorielles de certaines structures de jonction dans un
seul et même rep�ere. Lad�etection de ces rep�eres privil�egi�es
est syst�ematis�ee et une �ebauche d'optimisationest e�ectu�ee.
Le quatri�eme chapitre, constituant �egalement une contribution
originale, proposela repr�esentation bond graph de la liaison de
contact ponctuel entre des solides�a surface param�etr�ee
quelconque. Cette repr�esentation permet d'augmenter
labiblioth�eque de composants �evoqu�ee pr�ec�edemment avec une
liaison appartenantaux couples cin�ematiques sup�erieurs. Les
ph�enom�enes de dissipation sont localis�essur la structure de
jonction alors �etablie et des mod�eles les caract�erisant
(typevisqueux, lois de Coulomb, : : : ) sont propos�es. Nous
mettons en �evidence, �a traversun exemple de came{galet suiveur,
les di�cult�es d'exploitation num�erique du mod�elemath�ematique
issu de la repr�esentation pr�ec�edente.
Le dernier chapitre fait �etat de di��erents concepts de la
m�ecanique analytique�a travers la repr�esentation bond graph des
syst�emes multicorps. En l'occurrence,sont examin�es les variables
et param�etres dans le mod�ele, la forme des �equationsdynamiques,
et le remaniement de ces derni�eres en vue de la simulation.
Notreapport se situe dans la synth�ese de l'existant, la pr�ecision
de certains points etl'introduction de concepts de la m�ecanique
non encore pris en compte dans larepr�esentation bond graph. Dans
ce contexte, une solution est adopt�ee pour r�esoudrele syst�eme
d'�equations issu du bond graph du contact ponctuel du chapitre
pr�ec�edent.
-
Introduction. M�ecanique : : : et bond graph 35
Le cadre de travail de ce m�emoire est celui des syst�emes
m�ecaniques multicorps.Nous les d�e�nissons comme des collections
de solides interconnect�es par des liaisonscin�ematiques autorisant
seulement un certain nombre de mouvements relatifs entreces
solides. Nous nous attachons donc dans la mod�elisation des
syst�emes physiquespluridisciplinaires, �a la repr�esentation bond
graph de ces parties m�ecaniquesmulticorps uniquement.
Nous supposons :
{ l'existence d'un r�ef�erentiel absolu constitu�e d'un rep�ere
galil�een et d'un syst�emechronom�etrique ind�ependant permettant
la mesure de dur�ee et de simultan�eit�ed'�ev�enements,
{ que la masse des syst�emes envisag�es r�epond aux lois
d'invariabilit�e, de positivit�eet d'addivit�e [MOR71a].
Ceci constitue les hypoth�eses de la m�ecanique classique non
relativiste.
En outre, nous consid�erons :
{ des corps ind�eformables �evoluant dans un espace homog�ene
euclidien dedimension trois,
{ chaque rep�ere constitu�e d'un point origine et d'une base
vectorielle orthonorm�eedirecte,
{ la g�eom�etrie des masses, le param�etrage et le rep�erage
connus pour chaquesolide.
En�n, nous utiliserons souvent la projection d'un vecteur dans
un rep�ere pourd�esigner (par abus de langage) la projection de ce
vecteur sur une base associ�ee �a cerep�ere.
-
36 Introduction. M�ecanique : : : et bond graph
-
Chapitre 2
Repr�esentation bond graph des
syst�emes m�ecaniques multicorps
(( [...], de tous les ph�enom�enes, les ph�enom�enes du
mouvement�etaient ceux qui se pr�etaient le mieux �a une �etude
quantitative, �a des
mesures et �a des observations pr�ecises : la M�ecanique devait
donc être lapremi�ere science exp�erimentale et quantitative que
fonderaient les
hommes, mais jamais ils ne l'eussent fond�ee, s'ils n'avaient
emprunt�e,pr�ealablement �a leur connaissance g�en�erale du monde
ext�erieur le
principe vulgaire de causalit�e, lequel n'apparaissait pas de
prime aborddans l'ensemble des ph�enom�enes du mouvement. ))
Paul Painlev�e, 1905
La repr�esentation des syst�emes m�ecaniques et notamment celle
des syst�emesmulticorps par un bond graph, n�ecessite une attention
particuli�ere pour plusieurs
raisons :
{ La construction du bond graph dans ce cas revêt
g�en�eralement un caract�eredual 1 vis{�a{vis des autres domaines
(cf. annexe B) du fait de la mise en �evidenceinitiale des
variables de vitesse plutôt que celles d'e�ort 2 ;
{ le caract�ere g�en�eralement multibond graph de la
repr�esentation est li�e �a l'aspecttridimensionnel de la
m�ecanique 3 ;
{ bien souvent, le graphe �nal est rendu complexe par la
pr�esence de bouclescin�ematiques, de cycles causaux et de
nombreuses d�ependances entre les�el�ements de stockage
inertiels.
1: N�eanmoins, Bidard [BID94] montre la possibilit�e de
construire le bond graph d'un syst�emem�ecanique sur la base des
torseurs d'actions statiques, c'est{�a{dire des termes d'e�ort dans
laterminologie bond graph.
2: Il n'est en g�en�eral pas possible de d�evelopper une
formulation en termes d'e�ort et de momentsans avoir recours aux
variables de d�eplacement [KAR69].
3: �A ce propos, la m�ecanique tridimensionnelle peut être
per�cue comme la juxta-position de sixdomaines m�ecaniques
monodimensionnels, trois de translation (suivant trois axes de
projection),trois de rotation (�egalement suivant trois axes de
projection).
-
38 Chapitre 2. Repr�esentation bond graph des syst�emes
m�ecaniques multicorps
Nous avons vu l'implication, d�es le d�epart, de la m�ecanique
�a travers larepr�esentation bond graph. Or, deux grandes approches
se r�ev�elent dans lalitt�erature pour la construction du bond
graph des syst�emes multicorps. L'uneest bas�ee sur une �ecriture
analytique a priori (Karnopp et Rosenberg, Allen,Brown). L'autre
fournit de fa�con syst�ematique la repr�esentation bond graph
sansphase analytique (Tiernego et Bos, Kawase, Zeid). Nous avons
choisi de pr�esenterdeux proc�edures qui nous parâ�ssent
originales et repr�esentatives de ces approches. Lapremi�ere est
celle de Karnopp et Rosenberg, et la seconde, celle de Tiernego et
Bos.
Ainsi, une premi�ere section pr�esente tout d'abord un exemple
simple trait�e parla proc�edure de Karnopp et Rosenberg. La section
suivante d�e�nit la notationmultibond graph et la place des
di��erentes grandeurs utilis�ees en m�ecanique dans lemultibond
graph. La derni�ere section pr�esente la proc�edure propos�ee par
Tiernegoet Bos. Dans cette proc�edure, l'aspect syst�ematique au
niveau graphique de laconstruction conduit naturellement au concept
de biblioth�eque 4, o�u les word bondgraphs 5 du solide et des
liaisons usuelles sont r�epertori�es.
Si ce chapitre est une synth�ese de deux m�ethodes de
construction du bond graphdes syst�emes m�ecaniques multicorps, il
n'a pas pour objet de reprendre les basesde cet outil en d�etail.
Le lecteur trouvera dans l'annexe B les bases de l'outil bondgraph
ind�ependamment du domaine physique consid�er�e.
N�eanmoins, nous rappelons bri�evement les concepts essentiels
du langage.Une repr�esentation bond graph est constitu�ee d'un
enchâ�nement (arborescent oupr�esentant des bouclages) altern�e de
liens bond graph (( + )) et �el�ements bondgraph fI, C, (M)R,
(M)Se, (M)Sf, 0, 1, (M)TF, (M)GYg 6. �A chaque lien bondgraph
correspondent deux variables, une d'e�ort et une de ux (terme de
vitesseen m�ecanique). Le produit de ces variables d�e�nit la
puissance attach�ee �a ce lien.La connexion des liens et des
�el�ements bond graph indique alors l'articulationdes �echanges
d'�energie entre les di��erentes parties d'un syst�eme ainsi
qu'avec sonenvironnement. Chaque �el�ement est associ�e �a un
ph�enom�ene :
{ l'�el�ement I (+I) est associ�e au ph�enom�ene de stockage
d'�energie de type inertiel(li�e au mouvement d'une masse ou d'une
inertie par exemple),
{ l'�el�ement C (+C) est associ�e au ph�enom�ene de stockage
d'�energie de typecapacitif (li�e �a un ressort comprim�e ou
�etir�e par exemple),
4: Ce concept est de plus en plus pr�esent dans l'ing�enierie
d'aujourd'hui, notamment �a traversles logiciels de simulation tels
que AMEsim [AME96], ACSL-Graphic Modeller [ACS95],
TwenteSim[TWE96], Dymola [ELM78], Simulink [SIM93], ou le projet
Olmeco [OLM91],... (Les r�ef�erencesaux logiciels AMEsim,
ACSL-Graphic Modeller, TwenteSim et Simulink sont donn�ees en �n
debibliographie) Notons que le concept de biblioth�eque est d�ej�a
implicitement pr�esent dans le bondgraph �a travers les �el�ements
repr�esentants les ph�enom�enes �energ�etiques.
5: Le word bond graph [KAR90] est une repr�esentation
synth�etique bond graph o�u les words(sous forme de blocs sans le
d�etail des liens et �el�ements bond graph) repr�esentent des
sous{syst�emesidenti��es du syst�eme entier.
6: La lettre (( M )) (pour Modulation) pr�ec�edent
�eventuellement certains �el�ements indique que lesrelations
analytiques caract�erisant ces �el�ements ne sont pas
constantes.
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Chapitre 2. Repr�esentation bond graph des syst�emes m�ecaniques
multicorps 39
{ l'�el�ement R (+R) est associ�e au ph�enom�ene de dissipation
d'�energie (li�e aufrottement par exemple),
{ la source d'e�ort (resp. de ux) (Se + -resp. Sf +-) est
associ�ee �a un e�ort(resp. un ux) impos�e au syst�eme (li�ee �a un
couple moteur -resp. une vitessede rotation- impos�e par un
actionneur sur un arbre par exemple),
{ la jonction 0 (resp. 1) (+�
0 + -resp. +�
1 +-) est associ�ee �a un bilan depuissance nul et �a e�ort
(resp. ux) commun (li�ee �a une contrainte cin�ematique-resp. �a
l'application de la loi fondamentale de la dynamique- par
exemple),
{ le transformateur (+TF+) est associ�e �a une transduction
d'�energie couplantles e�orts entre eux dans un certain rapport et
les ux entre eux dans le rapportinverse (li�e �a un r�educteur par
exemple),
{ le gyrateur (+GY+) est associ�e �a une transduction d'�energie
couplant dansle même rapport et de fa�con crois�ee les e�orts et
les ux (li�e aux termesgyroscopiques dans les �equations d'Euler
par exemple).
�A chacun de ces �el�ements est associ�ee une relation
caract�eristique ou constitutive.La connaissance du bond graph et
des relations constitutives des di��erents �el�ementspermet
�nalement de mettre en place les �equations dynamiques qui
r�egissentl'�evolution d'un syst�eme.
Le t�etra�edre de Paynter [KAR90] r�esume le type de relation
constitutiveimpliquant les �el�ements fI,C,Rg (�gure 2.1).
e e�ort
f ux
momentg�en�eralis�e
p
qd�eplacementg�en�eralis�e
I
R
C
Rdt
Rdt
Fig. 2.1 { T�etra�edre de Paynter
2.1 Proc�edure de Karnopp et Rosenberg
Pour pr�esenter la proc�edure initialement formalis�ee par
Karnopp et Rosenberg[KAR69], [ROS72], [KAR90], le bond graph de
l'exemple d'un syst�eme bielle{
manivelle est construit. Il illustre en plus le cas o�u il
existe une �equation de liaisonentre les param�etres de
mouvement.
-
40 Chapitre 2. Repr�esentation bond graph des syst�emes
m�ecaniques multicorps
La proc�edure de construction du bond graph propos�ee parKarnopp
et Rosenberg([KAR90] - p. 335) peut être formul�ee ainsi :
Proc�edure 2.1 (Karnopp et Rosenberg)
1. Identi�er les vecteurs cl�es qk, q
I, q
Crespectivement li�es aux coordonn�ees
g�en�eralis�ees 7, aux stockages d'�energie de type inertiel
(positions des masseset des inerties en mouvement) et aux stockages
d'�energie de type potentiel(allongement des ressorts �etir�es ou
comprim�es).
2. �Ecrire les transformations g�eom�etriques liant les vecteurs
qId'une part,
qC
d'autre part, au vecteur des coordonn�ees g�en�eralis�ees qk.
D�eriver ces
transformations par rapport au temps pour obtenir les relations
cin�ematiquescorrespondantes.
3. Associer une jonction 1 �a chaque composante des vecteurs
cin�ematiques _qk, _q
Iet _q
C.
4. Construire la structure de jonction compos�ee de
transformateurs, modul�es ounon, et de jonctions 0, rendant compte
des relations cin�ematiques �ecrites �al'�etape 2.
5. Ajouter les �el�ements I, C, R et les sources correspondant
aux ph�enom�enes prisen compte dans les hypoth�eses de
mod�elisation du syst�eme. L'introduction denouvelles relations
cin�ematiques peuvent s'av�erer n�ecessaires pour l'ajout desR et
des sources.
6. R�eduire �eventuellement le bond graph grâce �a des r�egles
de simpli�cation tellesque la substitution d'un MTF de module 1 par
un lien, la substitution par unlien unique de deux liens orient�es
dans le même sens et s�epar�es uniquementpar une jonction, ou la
fusion de deux jonctions de même nature et s�epar�eespar un lien
unique.
2.1.1 Exemple d'un syst�eme bielle{manivelle
Ce syst�eme (�gure 2.2), suppos�e plan, est constitu�e de deux
solides. Le premier,la manivelle, est en liaison roto�de (pivot)
par rapport au bâti autour du point O.Le second solide, la bielle,
est en liaison roto�de avec le premier. Son extr�emit�e
estastreinte �a rester sur l'axe (O,~x0) et est li�ee �a un ressort
sans masse (raideur k)lui{même �x�e au bâti. J1 est le moment
d'inertie de la manivelle par rapport �a l'axe(O,~z0) ; le point G
est le centre d'inertie de la bielle ; m2 et J2 sont
respectivementla masse de la bielle et son moment d'inertie par
rapport �a l'axe (G,~z0). Les autresparam�etres sont indiqu�es sur
la �gure 2.2. L'action de pesanteur est n�eglig�ee etaucune
dissipation n'est prise en compte.
7: Nous reviendrons plus pr�ecis�ement sur les coordonn�ees
g�en�eralis�ees dans le chapitre 5 (cf.d�e�nition 5.1 page
147).
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Chapitre 2. Repr�esentation bond graph des syst�emes m�ecaniques
multicorps 41
~y0
~x0O
l1l2
�2�1
LxC
G
Fig. 2.2 { Sch�ema physique d'un syst�eme bielle{manivelle
La repr�esentation bond graph est �etablie en reprenant les
�etapes de la proc�edurede Karnopp et Rosenberg. Les vecteurs cl�es
sont les suivants 8 :
q0k=
��1�2
�qI=
2664�1xGyG�2
3775 qC = �xC� (2.1)
Le choix e�ectu�e pour les coordonn�ees g�en�eralis�ees
n�ecessite la prise encompte d'une �equation de liaison entre
celles{ci pour la structure de jonction.Les transformations
g�eom�etriques entre les di��erents vecteurs s'�ecrivent :
qI=
2664�1xGyG�2
3775 =2664
�1l1 cos �1 +
l22 cos �2
l1 sin �1 +l22 sin �2
�2
3775 qC = �xC� = �L� l1 cos �1 � l2 cos �2�(2.2)
�A ces relations s'ajoute donc l'�equation de liaison indiquant
que l'extr�emit�e de labielle est contrainte �a rester sur l'axe
(O,~x0) :
l1 sin �1 + l2 sin �2 = 0 (2.3)
8: L'accent ((0)) sur le premier vecteur indique que les
coordonn�ees g�en�eralis�ees le composant nesont pas ind�ependantes
ou encore qu'elles sont en surnombre.
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42 Chapitre 2. Repr�esentation bond graph des syst�emes
m�ecaniques multicorps
Les relations cin�ematiques correspondantes sont :
vI = _qI =
2664!1_xG_yG!2
3775 =2664
_�1�l1 sin �1 _�1 � l22 sin �2 _�2l1 cos �1 _�1 +
l22 cos �2
_�2_�2
3775 (2.4)_qC=�_xC�=�l1 sin �1 _�1 + l2 sin �2 _�2
�(2.5)
0 = l1 cos �1 _�1 + l2 cos �2 _�2 (2.6)
La repr�esentation bond graph est donn�ee �gure 2.3 9. Elle est
compos�ee d'une part,de la structure de jonction issue des
relations cin�ematiques pr�ec�edentes, et d'autrepart, des
�el�ements I et C associ�es aux stockages d'�energie. Sur ce bond
graph, lacolonne de jonctions 1 situ�ees �a droite correspond au
vecteur vI, celle du milieu, auvecteur _q0
ket la jonction 1 situ�ee �a gauche correspond �a _q
C. Les quatre transformateurs
de droite sont associ�es aux relations cin�ematiques 2.4. Les
deux transformateursadjacents �a la jonction 0 de gauche
correspondent �a la relation cin�ematique 2.5. En�n,les deux
transformateurs situ�es entre les jonctions 1 li�ees au vecteur
_q0
ksont associ�es
�a la relation 2.6. Les �el�ements I ont �et�e connect�es aux
jonctions 1 correspondant auvecteur vI. L'�el�ement C a �et�e
connect�e �a la jonction 1 associ�ee �a _qC.
1
1
1
1
1
1
1 0
0
0
01k :C
_xC
l1 sin �1MTF
�l1 sin �1MTF
l1 cos �1MTF
� l22 sin �2MTF
l22 cos �2
MTF
!1
I:m2
I:m2_�1 _xGl1 cos �1:MTF
l2 cos �2:MTF
_yG_�2
MTFl2 sin �2 !2
I:J1
I:J2
Fig. 2.3 { Bond graph du syst�eme bielle{manivelle
9: Pour ne pas alourdir les �gures, nous ne ferons
g�en�eralement pas �gurer les sch�emas d'int�egrationde certaines
variables pour venir moduler certains �el�ements dans les
repr�esentations bond graph etmultibond graph.
-
Chapitre 2. Repr�esentation bond graph des syst�emes m�ecaniques
multicorps 43
2.1.2 Remarques
{ La repr�esentation bond graph des syst�emes m�ecaniques
multicorps estcaract�eris�ee par la pr�esence g�en�eralement de
transformateurs modul�es par lescoordonn�ees g�en�eralis�ees,
{ la proc�edure de Karnopp et Rosenberg met en �evidence une
approche(( intuitivement m�ecanicienne )) �a travers le choix des
vecteurs cl�es decoordonn�ees g�en�eralis�ees,
{ il est n�ecessaire de distinguer les coordonn�ees
g�en�eralis�ees des variables d'�etat�energ�etiques qui sont, de
fa�con pr�ecise sur le bond graph, les d�eplacementsg�en�eralis�es
des �el�ements C et les moments g�en�eralis�es des �el�ements I
10,
{ la construction de la repr�esentation bond graph consiste
�nalement enl'�etablissement d'une structure de jonction li�ee �a
la cin�ematique du syst�eme eten l'ajout d'�el�ements I, C, R et de
sources li�es �a la dynamique du syst�eme,
{ la complexit�e graphique grandissante avec le nombre de
solides dans le syst�emeam�ene �a consid�erer une notation plus
compacte au travers du multibond graph,
{ au niveau graphique, le côt�e non syst�ematique de la
construction du bondgraph, dû �a l'�ecriture a priori des
relations cin�ematiques, conduit naturellement�a s'int�eresser �a
la proc�edure de Tiernego et Bos permettant d'e�ectuer
unerepr�esentation sans �ecriture analytique au pr�ealable.
2.2 Notation multibond graph et grandeurs de la
m�ecanique
Cette section introduit la notation multibond graph utilis�ee
dans les domainesmultidimensionnels, et en particulier en
m�ecanique tridimensionnelle o�u les
grandeurs peuvent être identi��ees �a des vecteurs voire �a des
torseurs. Bonderson[BON75] a propos�e la notation multibond graph
et Breedveld [BRE82], [BRE85a] l'acompl�etement formalis�ee. Nous
pr�esentons d'une part, cette notation multibondgraph, et d'autre
part, les grandeurs de la m�ecanique dans le formalisme bond
graph.
2.2.1 Notations multibond graph
Le lien bond graph (�gure 2.4) est muni des deux variables
scalaires de puissance,l'e�ort e et le ux f dont le produit d�e�nit
la puissance elle{même. Les variablesmoment g�en�eralis�e p et
d�eplacement g�en�eralis�e q, int�egrales des variables
respectivese�ort et ux sont associ�ees �a certains �el�ements (cf.
annexe B).
10: Nous reviendrons plus en d�etail sur ce point dans le
chapitre 5.