-
Contribution a letalonnage dune machine a mesurer de
tres haute precision : mesure de rectitude et de planeite
a un niveau dincertitudes nanometriques
Siriwan Boripatkosol
To cite this version:
Siriwan Boripatkosol. Contribution a letalonnage dune machine a
mesurer de tres hauteprecision : mesure de rectitude et de planeite
a un niveau dincertitudes nanometriques.Genie mecanique
[physics.class-ph]. Arts et Metiers ParisTech, 2010. Francais. NNT
:2010ENAM0032 .
HAL Id: pastel-00527789
https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00527789
Submitted on 20 Oct 2010
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https://hal.archives-ouvertes.frhttps://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00527789
-
N: 2009 ENAM XXXX
Arts et Mtiers ParisTech - Centre de Lille Laboratoire de
Mtrologie et de Mathmatiques Appliques
2010-ENAM-0032
cole doctorale n 432: Sciences pour lIngnieur
prsente et soutenue publiquement par
Siriwan BORIPATKOSOL
le 7 Octobre 2010
Contribution ltalonnage dune machine mesurer de trs haute
prcision :
mesure de rectitude et de planit un niveau dincertitudes
nanomtriques
Doctorat ParisTech
T H S E
pour obtenir le grade de docteur dlivr par
lcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers
Spcialit Gnie Mcanique
Directeur de thse : Olivier GIBARU
Co-encadrement de la thse : Thierry COOREVITS, Stphane LELEU
T
H
S
E
Jury
M. Rgis BIGOT, Professeur des Universits, Laboratoire LCFC, Arts
et Mtiers ParisTech Prsident
M. Maxence BIGERELLE, Professeur des Universits, Laboratoire
Roberval, UTC Compigne Rapporteur
M. Serge SAMPER, Professeur des Universits, Laboratoire SYMME,
Universit de Savoie Rapporteur
M. Thierry TISON, Professeur des Universits, Laboratoire LAMIH,
Universit de Valenciennes Examinateur
M. Olivier GIBARU, Professeur des Universits, Laboratoire L2MA,
Arts et Mtiers ParisTech Encadrant
M. Stphane LELEU, Matre de Confrences, Laboratoire L2MA, Arts et
Mtiers ParisTech Co-encadrant
M. Thierry COOREVITS, Matre de Confrences, Laboratoire LML, Arts
et Mtiers ParisTech Co-encadrant
M. Jean DAVID, Professeur ENSAM, Laboratoire L2MA, Arts et
Mtiers ParisTech Invit
M. Georges-Pierre VAILLEAU, Responsable CMI, Laboratoire
National dEssais Invit
-
A ma mre, je te ddie ce mmoire.
-
REMERCIEMENTS
Ce travail de thse a t ralis au sein du Laboratoire de Mtrologie
et de Mathmatiques
Appliques (L2MA) dirig par Monsieur Le Professeur Olivier
GIBARU. Ce laboratoire est
install au centre de Lille de lEcole Nationale Suprieure dArts
et Mtiers Ce projet a t
ralis dans le cadre de la coopration entre le L2MA et le
Laboratoire National de
Mtrologie et dEssais (LNE).
Je tiens remercier le L2MA et le centre Arts et Mtiers ParisTech
de Lille pour leur accueil
et le LNE, qui a fourni une grande partie des moyens
exprimentaux, pour son aide prcieuse.
Je souhaite exprimer toute ma reconnaissance mon universit King
Mongkuts University of
Technology North Bangkok (KMUTNB) et au Thai-French Innovation
Institute (TFII). Il y a
quatre ans, au moment de prparer ma venue en France, jai pu
compter sur toute laide de
Monsieur Preecha ONG-AREE, de Mademoiselle Sikan KULCHONCHAN et
de Monsieur
Mickael CHAUVIN. Sans eux, rien naurait t possible, quil trouve
ici lexpression de ma
gratitude et de mon respect.
Je tiens remercier Monsieur Rgis BIGOT, Professeur des
Universits au Laboratoire
Conception Fabrication Commande (LCFC) lEcole Nationale
Suprieure dArts et Mtiers,
centre de Metz, pour avoir accept de prsider mon jury de
Thse.
Monsieur Serge SAMPER, Professeur des Universits au Laboratoire
SYstmes et Matriaux
pour la MEcatronique (SYMME) luniversit de Savoie et Monsieur
Maxence
BIGERELLE, Professeur des Universits au Laboratoire Roberval
lUniversit de
Technologie de Compigne (UTC), ont accept dtre les rapporteurs
de ce mmoire de thse.
Je tiens leur exprimer ma gratitude pour la confiance quils mont
accorde et pour les
conseils et les remarques dont ils mont fait profiter.
Je remercie Monsieur Thierry TISON, Professeur des universits au
Laboratoire
dAutomatique, de Mcanique et dInformatique Industrielles et
Humaines (LAMIH)
luniversit de Valenciennes, davoir bien voulu particip mon
jury.
Jadresse mes profonds remerciements Monsieur Jean DAVID,
Professeur ENSAM au
Laboratoire L2MA et Monsieur Georges-Pierre VAILLEAU,
Responsable CMI au
Laboratoire National dEssais, pour avoir accept de participer au
jury en tant quinvits.
-
Je souhaite exprimer toute ma reconnaissance mon directeur de
thse, Olivier GIBARU,
Professeur des Universits au Laboratoire L2MA lEcole Nationale
Suprieure dArts et
Mtiers, centre de Lille. Son accueil au sein du L2MA ma permis
de raliser cette tude.
Je remercie vivement Stphane LELEU, Matre de Confrences au L2MA,
pour son soutien.
Je conserve un trs bon souvenir de nos runions de travail qui
ont constitu une source de
dinspiration et de motivation importante. Je tiens lui dire
toute ma reconnaissance pour la
part qui est la sienne dans la qualit du document final.
Je remercie chaleureusement Thierry COOREVITS, pour mavoir fait
connatre et apprcier
le mtier de Mtrologue durant ces annes. Jai apprci tout le
plaisir avec lequel il exerce ce
mtier rigoureux et sait en faire partager lintrt ses lves. Un
grand merci galement
Franoise COOREVITS qui m'a gnreusement accueilli mon arrive.
Je souhaite remercier les membres de laboratoire de Mtrologie
des Arts et Mtiers avec qui
j'ai partag d'agrables moments tout au long de ces annes. Tout
dabord, Jean-Claude
VERVISCH qui ma aid et accompagn tout au long de ma thse. Merci
de ta grande
disponibilit, de ta bonne humeur et de tes nombreux coups de
main. Un grand merci
galement Franois HENNEBELLE, Adrien VAN GORP et Juliette DELABY,
pour leur
vitalit et leur amiti. J'ai pass de trs bons et mmorables
moments en votre compagnie.
Je tiens remercier tous ceux qui m'ont soutenu et aide. Je pense
tout d'abord Sbastien
DUCOURTIEUX et Ludovic LAHOUSSE, la part exprimentale de ma thse
doit beaucoup
leur aide prcieuse. Je remercie galement Eric NYIRI, il se
souviendra surement de
linterfaage du laser. Enfin, je remercie Michel LELEU,
technicien en usinage, pour ses
comptences, pour sa gentillesse et pour toutes les modifications
du dispositif quil a bien
voulu usiner pour moi.
En Adel OLABI, jai trouv un ami toujours prt maider et changer
avec moi sur nos
vies dtudiants expatris. Jai vraiment apprci les formations
suivies en ta compagnie.
Enfin, je souhaite remercier mon pre et mes deux petits frres
pour tout lamour quils me
donnent et pour mavoir soutenu lors de ces quatre annes en
France.
-
SOMMAIRE GNRAL
INTRODUCTION
GNRAL_____________________________________________________1
Chapitre I : METHODE DE PROPAGATION ET PROFIL DUNE LIGNE
____________________6
1 Introduction et bibliographie
______________________________________________ 8
1.1 Etude de la position dun solide
_____________________________________________ 9 1.1.1 Analyse et
hypothses
___________________________________________________________ 9 1.1.2
Mcanique du corps solide en petits dplacements
___________________________________ 10 1.1.3 Modle dit cinmatique
_________________________________________________________ 13
1.2 Dfaut de forme
________________________________________________________ 13 1.2.1
Notion de dfaut de forme
_______________________________________________________ 13 1.2.2
Passage du continu au discret
____________________________________________________ 14
1.3 Dfaut de circularit
_____________________________________________________ 15 1.3.1
Dfinition normalis de la circularit
_______________________________________________ 15 1.3.2 Mthode de
mesure classique
____________________________________________________ 16 1.3.3
Permutation circulaire
__________________________________________________________ 16 1.3.4
Propagation circulaire
___________________________________________________________ 17
1.3.5 Utilisation dun talon
circulaire___________________________________________________
17
1.4 Dfaut de rectitude
______________________________________________________ 18 1.4.1
Dfinition normalise de la rectitude
_______________________________________________ 18 1.4.2
Retournement
_________________________________________________________________
19 1.4.3 Propagation
___________________________________________________________________
21
2 Unification des mthodes de sparation
____________________________________ 28
2.1 Concept de sparation
___________________________________________________ 28
2.2 De la permutation la propagation : un concept unique
________________________ 30
3 Propagation
__________________________________________________________ 32
3.1 Notations signes et units
_________________________________________________ 32 3.1.1 Signes
________________________________________________________________________
32 3.1.2 Units
________________________________________________________________________
33
3.2 Mthode globale
________________________________________________________ 33 3.2.1
Mise en quations
______________________________________________________________ 33
3.2.2 Pondration
___________________________________________________________________
35 3.2.3 Interprtation et utilisation du paramtre L
_________________________________________ 39
3.3 Mthode niveau prpondrant
________________________________________ 40
3.4 Mthode capteurs prpondrants
_____________________________________ 41 3.4.1 Calage de la
courbure globale
_____________________________________________________ 41 3.4.2
Rsultats
_____________________________________________________________________
42
4 Conclusion : Choix du calage de la courbure, du nombre de
capteurs _____________ 44
-
Chapitre II : BANC EXPERIMENTAL ET ETALONNAGE METROLOGIQUE
________________46
1 Introduction
__________________________________________________________ 48
1.1 Bref historique du systme mtrique
________________________________________ 48
1.2 Chane dtalonnage
_____________________________________________________ 49
2 Prsentation du banc
___________________________________________________ 51
2.1 Partie existante : Description gnrale du banc de mesure
______________________ 52 2.1.1 Principes de conception
_________________________________________________________ 52 2.1.2
Description technologique et mtrologique
_________________________________________ 55
2.2 Dmarche de prcautions exprimentales et modifications
______________________ 58 2.2.1 Mise en uvre les instruments
___________________________________________________ 58 2.2.2
Protocole de mesure de la rectitude
_______________________________________________ 58 2.2.3 Traitement
des rsultats : Logiciel MATHEMATICA
____________________________________ 60 2.2.4 Prcaution et tests
pour les acquisitions ____________________________________________
60 2.2.5 Rglages
______________________________________________________________________
63
2.3 Conception du banc pour la phase talonnage
_____________________________ 66 2.3.1 Laser
_________________________________________________________________________
66 2.3.2 Principe de conception
__________________________________________________________ 67 2.3.3
Prsentation du banc du mesure : Mise en uvre de linterfromtre
____________________ 68 2.3.4 Source dincertitudes
___________________________________________________________ 70
3 Etalonnage des capteurs capacitifs
________________________________________ 75
3.1 Etalonnage
_____________________________________________________________ 75
3.1.1 Capteur capacitif
_______________________________________________________________ 75
3.1.2 Dtermination de laxe dAbbe
____________________________________________________ 76 3.1.3
Protocole de mesure pour ltalonnage
_____________________________________________ 78 3.1.4 Courbe
dtalonnage
____________________________________________________________ 80
3.1.5 Effet de ltalonnage des capteurs sur le calcul dun profil
______________________________ 81
3.2 Diminution de lincohrence entre les capteurs
_______________________________ 83 3.2.1 Courbe de correction
___________________________________________________________ 84
3.2.2 Effet de la diminution de lincohrence entre les capteurs sur
le calcul dun profil __________ 85
4 Etalonnage des niveaux lectroniques
_____________________________________ 86
4.1 Niveau lectronique
_____________________________________________________ 86 4.1.1
Principe de fonctionnement et mise en service
_______________________________________ 86 4.1.2 Mthode de mesure
____________________________________________________________ 87
4.2 Prcaution
_____________________________________________________________ 87
4.2.1 Protocole de mesure pour ltalonnage
_____________________________________________ 87
4.3 Utilisation du laser
______________________________________________________ 89 4.3.1
Prsentation
__________________________________________________________________
89 4.3.2 Courbe dtalonnage
____________________________________________________________ 89
4.3.3 Incertitude sur la rfrence
______________________________________________________ 90
4.4 Utilisation de la matrice de 16 capteurs
______________________________________ 90 4.4.1 Courbe dtalonnage
____________________________________________________________ 91
4.4.2 Incertitude sur la rfrence angulaire
______________________________________________ 91
4.5 Rsultats et discussion
___________________________________________________ 92
5 Conclusion
____________________________________________________________ 93
-
Chapitre III : INCERTITUDES ET OPTIMISATION DU DEPOUILLEMENT
_________________96
1 Introduction
__________________________________________________________ 98
2 Evaluation de lincertitude de mesure par lapproche GUM ENV
13005 ___________ 99
2.1 Mesurande
____________________________________________________________
100
2.2 Concepts derreurs et dincertitude
________________________________________ 100
2.3 Bilan des causes dincertitudes :Diagramme d'Ishikawa
________________________ 100
2.4
Incertitude-type________________________________________________________
101
2.5 Modlisation du mesurage
_______________________________________________ 102 2.5.1
Propagation des incertitudes
____________________________________________________ 102 2.5.2
Incertitude-type compose u
c ___________________________________________________ 103
2.6 Evaluation de limportance des contributeurs
________________________________ 103
2.7 Incertitude largie U
____________________________________________________ 103
2.8 Expression de lincertitude (expression finale du rsultat de
mesure) _____________ 104
2.9 Supplment 1 du GUM : Mthode de Monte Carlo
____________________________ 104
2.10 Procdure de calcul des incertitudes
_______________________________________ 105
3 Evaluation des incertitudes
_____________________________________________ 106
3.1 Rappel de la dfinition du mesurande
______________________________________ 107
3.2 Bilan des causes dincertitudes
____________________________________________ 107
3.3 Thermique sur le banc
___________________________________________________ 108 3.3.1
Evaluation exprimentale des variations de temprature et des
gradients ________________ 108 3.3.2 Consquences
________________________________________________________________
110
3.4 Reproductibilit de la position de la table arotech
___________________________ 111
3.5 Incertitude sur la correction du capteur
_____________________________________ 111
3.6 Incertitudes sur la correction du niveau
_____________________________________ 113 3.6.1 Rfrence de
ltalonnage du niveau : porte-capteurs
________________________________ 113 3.6.2 Niveau lectronique
___________________________________________________________ 114
3.6.3 Bilan des incertitudes sur la correction du niveau
____________________________________ 116
4 Dtermination du paramtre L optimal
____________________________________ 116
4.1 Recherche du minimum de variabilit du profil en fonction de
L _________________ 117 4.1.1 Mthode de simulation
_________________________________________________________ 117 4.1.2
Simulation avec une multiplication des incertitudes sur les niveaux
par 10 _______________ 118 4.1.3 Intervalle paramtre L optimal,
effet sur le profil ____________________________________ 120
4.2 Mthode de lcart-type quivalent
________________________________________ 121 4.2.1 Structure du
programme de simulation
____________________________________________ 122
4.2.2 Ecart-type quivalent pour le capteur C
______________________________________ 124
4.2.3 Ecart-type quivalent pour le niveau N
_______________________________________ 125
4.2.4 Bilan paramtre L
optimal_______________________________________________________
126
4.3 Evaluation finale des incertitudes
_________________________________________ 126
5 Rflexion sur le choix du nombre de capteurs
_______________________________ 129
5.1 Dcompte des quations et des inconnues
__________________________________ 129
-
5.2 Simulation de Monte-Carlo
_______________________________________________ 131
6 Conclusion
___________________________________________________________ 132
Chapitre IV : CARTOGRAPHIE DU PLAN
________________________________________134
1 Introduction et bibliographie
__________________________________________136
2 Mthode maximale
_______________________________________________137
2.1 Procdure de mesure
___________________________________________________ 137
2.2 Dcompte des quations et des inconnues
__________________________________ 138
3 Mthode minimale utilisant les
rectitudes_____________________________139
4 Comparaison des mthodes
___________________________________________141
5 Simulation de Monte-Carlo des incertitudes sur la base de la
mthode des rectitudes
__________________________________________________________________142
6 Conclusion
_________________________________________________________144
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
______________________________________________147
RFRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
____________________________________________153
Annexe I : CHOIX DU CALAGE DE LA COURBURE
________________________________161
Annexe II : PRINCIPE DE LINTERFEROMETRIE A UNE LONGUEUR DONDE
___________165
Annexe III : CALCUL DES DEPLACEMENTS DU PORTE-CAPTEUR
____________________169
-
Introduction gnrale
1
INTRODUCTION GENERALE
Les termes de nanomatriaux et de nanotechnologies recouvrent
tout un domaine de
ralisations dont le pas est infrieur au micromtre. Ils sont
obtenus soit par des technologies
qui permettent une rduction de la taille des composants, soit
par la production de nano-
objets qui sauto-organisent [NM110].
Les travaux de recherche et de dveloppement concernent des
domaines varis :
llectronique, les tlcommunications, loptique, la mcanique, la
chimie, la biologie, la
sant, lenvironnement, les transports et les sources dnergie.
Dans le domaine de la Mtrologie, le prfixe nano peut avoir deux
acceptions, celle des
objets nanomtriques ou celle des incertitudes nanomtriques y
compris sur des macro objets.
Dans ce travail, nous sommes clairement dans cette seconde
acception.
La majorit des pays dans le monde ont des laboratoires dont les
appellations contiennent les
expressions National Measurement ou Metrology Institute , ces
laboratoires dtiennent
les rfrences primaires des Etats correspondants. La plupart des
grands laboratoires de
mtrologie dveloppent des programmes en nanomtrologie souvent sur
des nano objets.
Aux Etats Unis, le Center for Nanoscale Science and Technology
(CNST) et neuf autres
grands laboratoires du National Institute of Standards and
Technology (NIST) sont en
train de dvelopper les mesures, les normes et les technologies
pour le dveloppement de
lindustrie des produits pour un march nanotechnologie qui
pourrait dpasser 2.5 billions de
dollars dans la prochaine dcennie, soit environ 15% de la
production manufacturire
mondiale.
En Allemagne, le Physikalisch Technische Bundesanstalt (PTB)
effectue de la recherche
fondamentale et du dveloppement dans le domaine de la mtrologie
dans les domaines
concernant la dtermination des constantes fondamentales et
naturelles, la ralisation,
lentretien et la diffusion des units lgales SI, les services et
la mtrologie ainsi que du
transfert de technologie. Nous retrouverons des rfrences
bibliographiques correspondantes
des travaux du PTB ds le chapitre I.
En Grande Bretagne, lquipe Surface and Nanoanalysis au National
Physical
Laboratory (NPL) vise soutenir lindustrie de lUK en augmentant
les connaissances
concernant les microscopes champ proche.
Dautres grands ont des laboratoires importants en mtrologie,
citons le Japon, la Core du
Sud ou la Chine dans la zone Asie.
-
Introduction gnrale
2
Contexte
En France, le Laboratoire National de Mtrologie et dEssais (LNE)
au travers de sa section
dimensionnelle a initi le projet Nanomtrologie . Le premier
projet visait dvelopper
une machine innovante capable de mesurer des objets
tridimensionnels avec des incertitudes
nanomtriques. Actuellement, dautres projets sont en cours de
dveloppement comme un
microscope force atomique mtrologique ou une machine mesurer les
dfauts de forme
cylindrique prsentant des incertitudes nanomtriques.
Pour raliser ce projet une coopration scientifique forte a t
mise en place entre la section
dimensionnelle du LNE et le Laboratoire de Mathmatiques et de
Mtrologie Applique
(L2MA) dArts et Mtiers ParisTech, centre denseignement et de
recherche de Lille. Ce
travail a t ralis au L2MA.
Notre travail sinscrit en continuit du travail effectu par M.
Ludovic LAHOUSSE qui a
soutenu sa thse en 2005. Le sujet de sa thse est Contribution la
construction de
machines de grande prcision gomtrique : Le concept dinformation
dans lamlioration
des performances des machines [LAH2005-b].
Lobjectif principal de notre travail est dtudier prcisment la
topographie Z des plans qui
servent de rfrences dans la chaine mtrologique Z de la machine
table croise
[DUC2003] [LAH2005-a] [LAH2005-b] [LAH-2005-c] [LAR2007] du
LNE.
La machine (Figure 1) a t construite au LNE Trappes (Paris).
Elle a t conue partir des
travaux de M. Ludovic LAHOUSSE. Ce projet vise dvelopper la
capacit de raccorder aux
talons dimensionnels nationaux, les mesures dobjets issus des
nanotechnologies.
Figure 1 : Machine complte
Cette machine dont le domaine dexploration est un carr de 300 mm
sur une paisseur dune
cinquantaine de micromtres doit permettre datteindre des
incertitudes dune dizaine de
nanomtres sur la mesure dune longueur dun centimtre.
Lincertitude suivant Z tant
-
Introduction gnrale
3
limite deux nanomtres sur la mme distance. Ces deux incertitudes
restant limites
respectivement cinquante et dix nanomtres pour une mesure
correspondant lenvergure du
domaine de mesure.
La machine a t structure en deux sous-ensembles. Le premier est
mobile. Il se compose de
tous les lments qui servent la mise en position et au dplacement
de la palette porte
chantillon. Le second est fixe. Il constitue la partie suprieure
de la machine et matrialise
lespace fixe de rfrence. Un systme de reprage de la partie
mobile par rapport la partie
fixe a t mis en place.
Figure 2 : Ensemble de la machine
La machine prsente deux modes principaux de report de coordonnes
pour les 2 chanes
mtrologiques X, Y dune part, et Z dautre part.
La chane Z est trs sensible la flexion thermique et le respect
du principe dAbbe
ncessiterait de fixer la rfrence de planit sous la palette
porte-objet. On a choisit une
solution qui consiste reconstituer le principe dAbbe par le
moyen de 4 capteurs
implants sur le chariot mobile et se reprant un plan constituant
la rfrence de mesure Z.
Les quatre capteurs sont disposs face la surface de rfrence
constitue de 4 plateaux dont
la topographie doit tre talonne. Cest lobjet de ce travail.
Le reprage dans la direction Z est ralis au moyen de quatre
capteurs capacitifs dont
ltendue de mesure est de 100 m. Ces quatre capteurs lis au
chariot porte objet, proches
des quatre coins de la zone de mesure, sont en regard de quatre
rfrences de planit
ralises sous forme de quatre plateaux circulaires en alliage
daluminium de diamtre 440
mm et dpaisseur 70 mm. Ces plateaux sont fixs la structure de
rfrence par des liaisons
qui permettent une libre dilatation de ces rfrences sans
entraner de dformation.
Linterprtation des mesures dlivres par ces quatre capteurs
permet de reconstituer
simultanment lquivalent dune double mesure de laltitude Z en
principe dAbbe ainsi que
les valeurs des rotations autour des directions X et Y entre la
porte pice et le palpeur fix la
structure de rfrence.
Le schma de la Figure 3 reprsente une coupe de la machine
suivant la diagonale X, Y. Il
montre les pices massives concourant au reprage vertical dans
les structures fixe et mobile
ainsi que la chane mtrologique Z.
4 rfrences Z
4 interfromtre
laser
4 capteur Z
4 Ttes de
lectures
optiques
4 miroirs
4 grilles
optiques bi
dimensionnelle
4 rfrences Z
4 interfromtre
laser
4 capteur Z
4 Ttes de
lectures
optiques
4 miroirs
4 grilles
optiques bi
dimensionnelle
-
Introduction gnrale
4
Figure 3 : Chane mtrologique Z
Notre objectif est donc de dterminer une cartographie des
rfrences planes qui sont la base
du reprage en Z sur la table croise. Afin de mettre au point et
de valider la mthode
dtalonnage de la planit des rfrences sans immobiliser le reste
de la machine, un banc
ddi la mesure de planit [LAH2007] a t pralablement dvelopp et
mis en place au
L2MA. La mesure dfinitive ne pourrait probablement qutre ralise
in situ Trappes tant
les problmes thermiques et de maintien de la forme sont aigues
au niveau de qualit cherch.
La mtrologie du plan lchelle du micromtre est bien connue mais
est originale lchelle
du nanomtre dautant que les mthodes envisages sont radicalement
diffrentes des
techniques de planimtrie aboutissant des incertitudes
micromtriques.
Prsentation du document
Lensemble de cette dmarche est prsent dans ce mmoire de thse et
sarticule en quatre
chapitres.
Le chapitre I est intitul Mthode de propagation et profil dune
ligne , il prsente :
Le principe de la mesure de la rectitude par propagation
La proposition de 3 stratgies de dpouillement des donnes issues
de la propagation pour raliser la rectitude des mesures : une
stratgie dite globale qui est en fait un
calcul au sens des moindres carrs pondrs, une stratgie dite
capteurs
prpondrants et une stratgie dite niveaux prpondrants
Pour la mthode de dpouillement au sens des moindres carrs
pondrs, nous avons introduit un paramtre not L qui permet de passer
de manire continue de la solution
dite capteurs prpondrants la solution dite niveaux prpondrants .
Ce
paramtre gal au rapport entre lincertitude-type attribue aux
capteurs et celle
attribue aux niveaux devra tre dtermin
Le chapitre II est intitul Banc exprimental et talonnage
mtrologique , il prsente :
La description gnrale du banc de mesure conu pralablement ma
thse par Ludovic LAHOUSSE
La dmarche exprimentale et les modifications ralises pour
amliorer le fonctionnement du banc
La conception du dispositif supplmentaire pour la phase
talonnage des capteurs et des niveaux
-
Introduction gnrale
5
Ltalonnage des capteurs capacitifs qui est ralis en deux tapes.
La premire tape compare directement lindication de chaque capteur
un laser interfromtrique plac
en principe dAbbe. La seconde tape consiste en la diminution de
lincohrence entre
les indications des 16 capteurs.
Ltalonnage des niveaux peut tre ralis de deux manires. La
premire rfrence est un angle engendr par linclinaison du matelas
suprieur. Des capteurs capacitifs que
nous avons ajout chaque coin du matelas permettent dvaluer la
position de laxe
de rotation. Linformation sur langle est fournie par lindication
du laser laide dun
simple calcul de sinus. La seconde rfrence est toujours un angle
engendr par
linclinaison du matelas suprieur mais cet angle est calcul grce
aux informations
venant des 16 capteurs capacitifs du porte-capteurs analyses
avec un calcul de type
plan au sens des moindres carrs en 16 points
Le chapitre III est intitul Incertitude et optimisation du
dpouillement , il prsente :
La notion dincertitudes de mesures
La mthode de Monte Carlo et lapplication la mesure de la
rectitude
Lvaluation des incertitudes sur la correction du capteur et du
niveau
Deux mthodes de dtermination du paramtre L optimal
Lvaluation finale des incertitudes
Le chapitre IV est intitul Cartographie du plan , il prsente
:
Une analyse des mthodes de mesure et de dpouillement possibles
pour valuer la topographie du plan
Une mthode dite maximale en ce sens quelle utilise des mesures
croises trs redondantes et une stratgie de dpouillement de type
moindres carrs tenant
compte de lensemble des donnes. Ltude est rduite au dcompte des
quations et
des inconnues
Une mthode dite minimale en ce sens quelle propose une analyse
des rectitudes mesures dans les sens X et Y puis un recoupement des
rectitudes pour reconstituer la
topographie du plan. Cette mthode vite la rsolution dun grand
systme et elle
permet dutiliser directement les mthodes dveloppes dans ce
travail. On ralise des
simulations sur un plan carr (300*300 mm2) en utilisant les
incertitudes obtenues
dans le chapitre III
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
6
Chapitre I
METHODE DE PROPAGATION ET PROFIL DUNE LIGNE
1 Introduction et bibliographie
______________________________________________ 8
1.1 Etude de la position dun solide
_____________________________________________ 9 1.1.1 Analyse et
hypothses
___________________________________________________________ 9 1.1.2
Mcanique du corps solide en petits dplacements
___________________________________ 10 1.1.3 Modle dit cinmatique
_________________________________________________________ 13
1.2 Dfaut de forme
________________________________________________________ 13 1.2.1
Notion de dfaut de forme
_______________________________________________________ 13 1.2.2
Passage du continu au discret
____________________________________________________ 14
1.3 Dfaut de circularit
_____________________________________________________ 15 1.3.1
Dfinition normalis de la circularit
_______________________________________________ 15 1.3.2 Mthode de
mesure classique
____________________________________________________ 16 1.3.3
Permutation circulaire
__________________________________________________________ 16 1.3.4
Propagation circulaire
___________________________________________________________ 17
1.3.5 Utilisation dun talon
circulaire___________________________________________________
17
1.4 Dfaut de rectitude
______________________________________________________ 18 1.4.1
Dfinition normalise de la rectitude
_______________________________________________ 18 1.4.2
Retournement
_________________________________________________________________
19 1.4.3 Propagation
___________________________________________________________________
21
2 Unification des mthodes de sparation
____________________________________ 28
2.1 Concept de sparation
___________________________________________________ 28
2.2 De la permutation la propagation : un concept unique
________________________ 30
3 Propagation
__________________________________________________________ 32
3.1 Notations signes et units
_________________________________________________ 32 3.1.1 Signes
________________________________________________________________________
32 3.1.2 Units
________________________________________________________________________
33
3.2 Mthode globale
________________________________________________________ 33 3.2.1
Mise en quations
______________________________________________________________ 33
3.2.2 Pondration
___________________________________________________________________
35 3.2.3 Interprtation et utilisation du paramtre L
_________________________________________ 39
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
7
3.3 Mthode niveau prpondrant
________________________________________ 40
3.4 Mthode capteurs prpondrants
_____________________________________ 41 3.4.1 Calage de la
courbure globale
_____________________________________________________ 41 3.4.2
Rsultats
_____________________________________________________________________
42
4 Conclusion : Choix du calage de la courbure, du nombre de
capteurs _____________ 44
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
8
1 Introduction et bibliographie
Lobjet de ce chapitre est de mettre en place les mthodes
permettant destimer le dfaut
de forme de pice circulaire ou plane avec des incertitudes de
lordre de quelques nanomtres.
Classiquement, lvaluation dun dfaut de forme est ralise en deux
temps. Dans un premier
temps, il sagit de raliser lvaluation mtrologique de la pice.
Dans un second temps, on
analyse les carts constats sur la surface de la pice comme le
rsultat de la somme dun
dfaut de position et dun dfaut de forme selon un critre dfinir.
La norme fournit une
interprtation du dfaut de forme qui consiste choisir la position
de la zone de tolrance par
rapport la surface de manire minimiser le dfaut de forme. Lide
sous-jacente consiste
dire que puisque le choix de la position a un caractre
arbitraire, il doit tre fait de manire
maximiser la probabilit de dclarer la pice conforme. Nous nous
loignerons de cette
conception en dfinissant notre propre mesurande car nous ne
souhaitons pas faire une
dclaration de conformit mais disposer dun profil utilisable dans
le cadre de ltalonnage de
la table croise.
Pour amliorer lvaluation mtrologique de la pice, les mthodes
proposes par les
diffrents auteurs tiennent sur deux concepts de base. Le premier
concept correspond ce que
Jean David (brevet Renault Automation de 1988) appelle la
structure mtrologique dissocie
[LAH2007] qui consiste remplacer les guidages traditionnels par
une chane dinformation
utilisant des capteurs. Le second concept consiste liminer les
dfauts reproductibles de la
machine de mesure en utilisant le concept de retournement
(sparation par changement de
signe) ou le concept de permutation que lon peut tendre la
propagation comme nous le
montrerons au paragraphe 2.2.
Pour modliser les dfauts des machines de manire linaire, nous
dveloppons le concept de
torseur de petits dplacements et prsentons une tude
bibliographique de la modlisation de
la gomtrie dun axe de machine. Cette tude est utile tant pour le
traitement du dfaut de
position de la pice mesure que pour la modlisation de la gomtrie
dun axe de machine.
Dans [ROD1840], Rodrigues introduit la formule, bien connue dans
les cours de mcanique,
de la rotation dun corps solide dans lespace. La lecture du
document original nous a permis
de mettre en vidence quOlinde Rodrigues a probablement t un
prcurseur dans
lintroduction du concept de torseur de petits dplacements.
Pour mesurer la circularit ou la rectitude, les normes prvoient
des dispositifs classiques dans
les mtrologies industrielles que nous prsentons aux paragraphes
1.3 et 1.4. Le potentiel en
termes dincertitudes de ces moyens est de lordre de quelques
diximes de micromtres au
mieux. Nous prsentons les mthodes de sparation et de permutation
comme moyens de
gagner un facteur 10 20. Dans le paragraphe 2, nous tentons une
unification des diffrentes
mthodes de sparation des dfauts. Lide est de montrer la
continuit conceptuelle entre la
permutation complte que Coorevits dans [COO90] avait qualifie de
multiretournement
et la mthode de propagation que nous utilisons pour la
rectitude.
La section 3 prsente notre approche de la mthode de propagation
applique la mtrologie
de la rectitude dun plan de rfrence destin la table croise du
LNE. Cette mthode utilise
4 capteurs capacitifs et deux niveaux lectroniques. Nous
proposons une mise en quations
aboutissant une optimisation globale au sens des moindres carrs
permettant de qualifier le
dfaut de rectitude dune ligne du plan, les dfauts de rectitude
et de tangage du porte-capteur
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
9
et la position relative des capteurs capacitifs. Les quations
qui correspondent aux mesures
des capteurs capacitifs forment des carts au modle dont lunit
est drive du mtre. Par
contre, les quations provenant des mesures des niveaux
lectroniques forment des carts au
modle dont lunit est drive du radian. Lunit de la distance entre
les capteurs est le
millimtre (ici en pratique, la distance est de 20mm). La
cohrence impose que les indications
fournies par les capteurs et les indications angulaires
multiplies par cette distance soient
exprimes dans la mme unit. Les diffrents choix possibles entre
les units changent les
rsultats. Nous montrons que ces choix se comportent comme une
pondration entre les
mesures issues des deux systmes de mesure. Cest pourquoi nous
introduisons une analyse
au sens des moindres carrs pondrs en faisant apparatre un
paramtre =
, en notant
lincertitude-type sur les capteurs et lincertitude-type sur les
niveaux. Le paramtre L est inconnu ce niveau du travail. Il est li
la qualit relative des capteurs par rapport aux
niveaux. Compte-tenu du matriel que nous avons utilis, nous
avons choisi dexprimer les
indications des capteurs en nanomtres, les angles en
microradians et les distances en
millimtres. Lintrt de ce choix tant que le nanomtre correspond
10-9
mtre et que le
produit dun microradian par un millimtre correspond lui aussi
10-9
mtre. Cest ce choix
qui conduira dans la suite du travail des paramtres L
intressants compris entre un et cent
environ c'est--dire une chelle de variation facile
apprhender.
La modification du choix des units pour les indications des
capteurs et des niveaux ne
change pas le rapport physique entre les incertitudes. Le
paramtre L sera modifi par une
puissance de 10 conscutive au changement des units qui
compensent le changement des
units dans les quations. En consquence, ces modifications
nauront aucun effet sur le profil
calcul.
Le problme de lvaluation des incertitudes sera trait en dtail
selon la mthode de Monte-
Carlo au chapitre III. Cette valuation permettra celle du
paramtre L. Ce paramtre peut
varier de zro exclu plus linfini.
Lorsquil tend vers 0, cela correspond des incertitudes faibles
sur les capteurs et des
incertitudes importantes sur les niveaux. La valeur 0 ne peut
tre atteinte car le systme
nadmet pas de solution. Dans ce cas, nous modifions les quations
du systme ce qui nous
permet dintroduire une solution dite capteurs prpondrants . De
la mme manire,
quand L tend vers linfini, la matrice des covariances pondres
est galement singulire.
Nous introduisons alors une solution dite niveaux prpondrants
correspondant un
autre systme dquations rsoudre au sens des moindres carrs.
Lvolution de L gnre une famille de solutions. Lvaluation des
incertitudes effectue au
chapitre III permettra doptimiser lapport des capteurs
relativement aux niveaux de manire
minimiser lincertitude sur le mesurande.
1.1 Etude de la position dun solide
1.1.1 Analyse et hypothses
Soit une glissire sur laquelle se translate un chariot (Figure
1). Le mouvement nominal de
translation du chariot est repr par une rgle de lecture de
dplacement.
Si on suppose que :
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
10
- la rgle est parfaite (au sens du rattachement aux talons
nationaux),
- la glissire est parfaitement ralise et parfaitement
rigide,
- le chariot parfaitement rigide glisse parfaitement sur la
glissire, ...
Dans ces conditions, le chariot (donc l'ensemble des points
constituant le chariot) subit un
mouvement de translation pure de la valeur indique par la rgle
et dans la direction X.
La Figure 1 montre donc le chariot en position thorique et le
chariot en position relle
sachant que lhypothse dindformabilit ne va pas de soi. Cette
figure est classique.
Figure 1 : Schma de la glissire et de son chariot
En pratique, pour chaque valeur de X indique, le chariot prend
une position relle diffrente
de la position thorique. Ce chariot est d'ailleurs,
ventuellement, dform. Pour dcrire le
passage de la position thorique du chariot la position relle, on
va faire d'une part
l'hypothse de l'indformabilit du chariot (ou dun lment de
rfrence li au chariot) et
d'autre part, on s'appuie sur la constatation exprimentale que
les dfauts mesurer sont
faibles (de l'ordre de quelques dizaines de micromtres pour les
translations et quelques
dizaines de microradians pour les rotations). On peut alors
dcrire le passage de la position
thorique du chariot la position relle comme un petit dplacement
de corps solide soit,
mathmatiquement, un torseur de petits dplacements.
Lhypothse dindformabilit du chariot peut paratre trs
restrictive, elle mrite un
commentaire. Lide est que le chariot est en fait un gnrateur de
dplacements qui met en
position un porte outil ou un porte pice ou dune manire gnrale
un solide ; le chariot lui-
mme na donc pas besoin dtre globalement indformable, seul llment
mis en place doit
ltre.
Ce modle est trs intressant car il permet de modliser le
dplacement dun solide sous la
forme dun champ de moments dcrit par un torseur. Il permet alors
dexprimer des
dplacements combinant des translations et des rotations en
disposant des proprits de
linarit, de commutativit et dassociativit.
1.1.2 Mcanique du corps solide en petits dplacements
Dans sa publication de 1840 [ROD1840], Olinde Rodrigues fait une
tude trs complte du
mouvement de corps solide, de la composition des mouvements de
corps solides et du passage
aux petits mouvements. Les notations modernes du produit
vectoriel ou du torseur ne sont pas
utilises mais toutes les formules dveloppes sont exactes et
correspondent une conception
trs actuelle de ces problmes.
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
11
Un solide est un corps dont les diffrents points restent des
distances constantes les uns des
autres au cours du mouvement. Il peut se mouvoir librement sa
position dtermine par la
donne de six paramtres (degrs de libert) : la position dun point
(trois coordonnes) et
trois angles qui, dans le cas gnral, sont les angles dEuler
(dautres critures sont possibles,
par exemple dans la marine, les angles utiliss correspondent au
changement de cap lacet, au
tangage et au roulis).
Les dplacements, du fait des rotations forment, au sens
mathmatique du terme, un groupe
non commutatif et des relations non linaires rendent leurs
manipulations relativement
lourdes. Tout dplacement dun solide autour de deux points fixes
se rduit donc une
rotation dgale amplitude et de mme sens pour tous les points du
systme autour de laxe
form par la droite passant par les deux points fixes.
Figure 2 : Etude de rotation autour dun axe fixe
La Figure 2 reprsente la rotation dun point )(M dans lespace
autour de laxeOm , sa
trajectoire est dans le plan perpendiculaire laxe de rotation et
est porte par le cercle centr
en m et de rayon mM . Langle envoie le point M sur le point M.
Il ny a pas dhypothse de petit angle ce niveau.
Dans le plan, on peut crire les relations :
= cos + sin =
o
mM
mMi
et inj
Mm mMinmMi
sincos
Mm mMnmM
sincos
MOmO )(sin)(cos OMmOnOMmO
n
M m
M
x
y
z
o
i
k
j
n M
M
m
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
12
Donc MO OMnOMOm
sincos)cos1( (1)
Pour un angle petit, on peut crire : 1cos , sin
OMnOMMO
OMnMOMO
OMnMM
Si on ajoute une translation du point O not )(O
)()( MOMnOMM
(2)
Ordre de grandeur de lapproximation
Pour petit, on peut dvelopper les fonctions sinus et cosinus de
langle avec la thorie des
sries de Taylor comme ci-dessous.
)sin( ...!3
3
0
12
)!12()1(
n
nn
n
)cos( ...!2
12
0
2
)!2()1(
n
nn
n
Dans le passage de lquation (1) la formule du transport de
moment, le plus grand terme
nglig est :
OMOm22
22 = Mm
2
2 qui scrit en norme comme Mm
2
2
O Mm est le vecteur bras de levier donc Mm est la distance entre
le point M et
laxe de rotation.
Pour prciser les ordres de grandeur, si on fait tourner un
solide de 1 m dun angle de 100
rad qui est dj important, cela fait nm512
)10( 24
ce qui signifie que la diffrence entre la
nouvelle position thorique dun point situ un mtre de laxe de
rotation calcule par le
torseur des petits dplacements est de lordre de 5 nm ce qui est
ngligeable.
Ce qui vient dtre crit ne constitue pas une tude complte des
limites du torseur de petits
dplacements mais ce nest pas le propos de ce chapitre.
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
13
1.1.3 Modle dit cinmatique
Si on reprend le schma de la Figure 1 avec la mise en place dun
Torseur de Petits
Dplacements (TPD) pour caractriser lerreur de position du
chariot, en chaque point M, on
dfinit le moment du torseur par
OMOM )()(
Il est classique de noter :
)(xTij la translation de l'axe i dans la direction j, soit :
- )(xTxx : justesse ou erreur relative de position
- )(xTxy : rectitude horizontale
- )(xTxz : rectitude verticale
)(xij la rotation de l'axe i autour de l'axe j, soit :
- )(xxx : roulis
- )(xxy : tangage
- )(xxz : lacet
La modlisation de la gomtrie dun axe de machine que nous venons
de prsenter sera
utilise pour modliser le comportement gomtrique du solide qui
portera les capteurs lors
du processus de mesure par propagation.
1.2 Dfaut de forme
1.2.1 Notion de dfaut de forme
On peut dfinir la notion de dfaut de forme partir de la notion
de surface parallle (Figure
3-a). On note M un point courant sur la surface S . On note le
vecteur normal la surface S en M (on suppose que lexistence de
cette normale ne pose pas de problme) tel que soit norm et sortant
la matire. La surface S dite surface parallle S est dfinie par
son
point courant M tel que ndMM . Dans le cas gnral, une surface
parallle na pas la
mme nature que la surface originelle. Il existe quelques cas
particuliers (sphre, cylindre,
etc.) pour lesquels le passage de la surface S sa surface
parallle est trivial.
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
14
(a) (b)
Figure 3 : Reprsentation : (a) la notion de surface parallle (b)
la zone de tolrance
On peut maintenant dfinir une zone de tolrance autour dune
surface partir de ce concept
de surface parallle. Considrons la surface pour laquelle on
souhaite tudier le dfaut de
forme. Considrons une sphre dont le centre appartient la surface
tudier, son diamtre
est gal la tolrance. Lorsque le centre de la sphre parcourt la
surface S , on peut dfinir deux surfaces enveloppes (avec la
convention de signe de la normale sortante) gnres par la
sphre (Figure 3-b), lune, lintrieur de la matire, correspond la
surface parallle dfinie
par une distance d gale moins le rayon de la sphre, lautre
correspond la surface
parallle dfinie par une distance d gale plus le rayon de la
sphre.
Dans le cas dune ligne plane (comme le cercle), on crit les mmes
dfinitions dans le plan
contenant la ligne. On retrouve ainsi la couronne que lon
utilise pour dfinir le dfaut de
circularit.
La zone dfinie par lenveloppe des sphres est la zone de
tolrance. Dans le cas des surfaces
gauches, on place cette zone de tolrance selon les 6 degrs de
libert dun mouvement de
corps solide pour placer lensemble des points mesurs lintrieur
de la zone.
Dans le cas des surfaces dites simples comme la sphre ou le
cylindre, le principe
dindpendance qui spare lvaluation de la taille de lvaluation de
la forme conduit
utiliser un degr de libert supplmentaire qui correspond la
taille.
1.2.2 Passage du continu au discret
Une rectitude est une ligne continue nominalement rectiligne
dont on cherche valuer la
forme et, le cas chant, le dfaut de forme au sens de la norme.
La description exhaustive du
dfaut de forme ncessiterait la saisie dune densit de points
suffisante pour que
linformation contenue dans le signal chantillonn soit la mme que
dans le signal continu.
Lutilisation des mthodes dlimination derreurs par permutation ou
retournement ou les
mesure par propagation impose de placer des capteurs une
distance qui peut tre importante
cause des dimensions des capteurs. Dans notre travail, la
distance est de 20mm,
correspondant lentraxe de positionnement des capteurs dans le
porte capteur mis en uvre
[LAH2007]. Un porte capteur permettant une distance de 10mm a t
conue par Ludovic
LAHOUSSE mais na pas t utilis. De toute faon, 10mm constitue
encore un pas important
mais invitable compte-tenu de la technologie utilise. Cette
distance importante est une
limite invitable.
ndMM
M
M
d
n
SSurface
SSurface
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
15
Pour diminuer lincertitude correspondante, on pourrait envisager
une technique de mesure
complmentaire pour tudier les intervalles entre les points. Pour
ne pas avoir traiter ce
problme, nous avons adopt un mesurande adapt (voir paragraphe
1.4.2).
1.3 Dfaut de circularit
1.3.1 Dfinition normalis de la circularit
La norme [NF EN ISO 1101] "Spcification gomtrique des produits
(GPS) - Tolrancement
gomtrique - Tolrancement de forme, orientation, position et
battement", publie en janvier
2006 constitue la base du tolrancement gomtrique. Elle prcise
les notions fondamentales
lies au tolrancement par zone. Suivant la spcification indique
sur le dessin (Figure 4), la
zone de tolrance de circularit est limite par deux cercles
concentriques ayant une
diffrence de rayons gale t.
a : toute section
Figure 4 : Reprsentation de la zone de tolrance
La norme [NF E 10-103] Mthodes de mesurage dimensionnel :
Quatrime partie - Ecarts
de circularit prcise la dfinition de la circularit : Qualit de
ce qui est circulaire.
Caractrise une ligne circulaire mais ne suffit pas dfinir dans
son ensemble une surface de
rvolution. Elle donne galement la dfinition de la tolrance de
circularit : Distance
maximale admissible entre deux circonfrences concentriques entre
lesquelles tre comprise
la ligne considre.
Note : sur une mme surface de rvolution, la tolrance de
circularit ne sapplique qu la
ligne circulaire de chaque section prise sparment.
Rappel : spcification sur les dessins techniques de la tolrance
de circularit t (selon NF E
04-552)
Il existe des mthodes classiques de mesurage, dcrite dans la
norme, qui peuvent tre
enrichies de technique dlimination derreurs par permutation, ou
adapter la mesure de
grande pice en introduisant de la propagation.
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
16
1.3.2 Mthode de mesure classique
La norme [NF E 10-103] prsente les mthodes de mesurage des carts
de circularit et leur
exploitation. Nous prsentons suivant les deux mesurages qui sont
connus dans le domaine
industriel de la production pour linspection des pices et dans
la recherche les dfauts de la
machine.
Mesurage des carts de circularit par la mthode de variation de
rayon
Ces mthodes utilisent des capteurs tournants ou des plateaux
tournants (Figure 5). Aprs
avoir dgauchi la pice par rapport laxe de rotation (rfrence des
mesures), le principe
consiste dterminer les variations radiales dans une mme section
sur une rvolution
complte, et de rpter opration au nombre requis de sections.
Cette mthode peut - selon le matriel utilis - permettre des
relevs en continu. Par son
principe, elle est la meilleure approche du dfaut de circularit
couple une mthode de
calcul du dfaut de forme en tant que zone minimale.
(a) (b)
Figure 5 : Mthode de variation de rayon : (a) Capteur tournant
(b) pice tournante [NF E 10-103]
Mesurage des carts de circularit par relevs de coordonnes de
points.
Cette mthode consiste relever les coordonnes des points dune
section laide dune
machine mesurer bi - ou tri - dimensionnelle. Il est recommand
que laxe de la pice soit
perpendiculaire aux deux axes de mesure de la machine, afin
dassurer le palpage dans une
section droite de la pice.
Cette mthode, tant fonde sur un nombre de relevs de valeurs
discrtes dans une mme
section, ne donne quune estimation de lcart de circularit. Cette
estimation est dautant
plus fine que le nombre de points est adapt la nature des dfauts
et ce, dans les limites de
lincertitude de mesure des coordonnes.
1.3.3 Permutation circulaire
La technique de permutation est utilise principalement pour la
mesure de pices par relevs
de coordonnes de points prsentant un axe de symtrie : une forme
circulaire ou une roue
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
17
dente par exemple. La procdure consiste mesurer la pice N fois
en faisant tourner de N
2
tour entre chaque mesure complte de la pice.
Lorsquon ralise une mesure, on obtient N carts qui sont la somme
de trois classes
derreurs :
Les carts dus la gomtrie de la machine.
Les carts dus la diffrence entre la gomtrie thorique de la pice
et sa gomtrie relle.
Les carts lis aux dfauts de positionnement de la pice dans
lespace machine.
Aprs rotation de N
2radians, le premier point vient dans la position du second (en
espace
machine), la pice ayant repris nominalement la mme position, les
dfauts machine prendre
en compte sont identiques dune mesure complte de la pice
lautre.
Figure 6 : Mesure par permutation [COO1990]
La Figure 6 montre une illustration simple pour comprendre cette
technique.
- les points dsigns par des chiffres (1, 2, 3 ou 4) sont en
espace pice
- les points dsigns par des lettres (a, b, c, ou d) sont en
espace machine
Ainsi, si la pice tourne de N
2radians N fois, on a N
2 quations qui permettent dterminer
la gomtrie de la pice et celle de la machine en utilisant une
technique prsente dans
[COO1990].
1.3.4 Propagation circulaire
La technique de propagation circulaire consiste gnralement
disposer les capteurs fixes en
priphrie de la pice et mesurer plusieurs fois la pice aprs
lavoir tourne dun angle donn
entre chaque mesure. [WHI1976] [GAO1997-a] [GAO1997-b].
1.3.5 Utilisation dun talon circulaire
Nous sommes ici dans une autre logique, on suppose que lon
dispose dun talon de
circularit. La bibliographie sur lanalyse de mesures de formes
circulaires est relativement
aa
b
c
d
b
d
c
1
1
2
23
3
4
4
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
18
bien fournie [KNA1983-a] [KNA1983-b] [KUN1983] [PAH1995]
[HEN2007]. Les auteurs
mesurent des talons circulaires de type bagues, MCG, Ball bar,
et en dduisent les dfauts
de la machine.
1.4 Dfaut de rectitude
Comme pour la circularit, la mesure dun dfaut de rectitude peut
relever de mthodes
classiques dcrites dans les normes mais galement dautres
techniques avec ou sans
limination derreurs.
1.4.1 Dfinition normalise de la rectitude
La norme [NF EN ISO 1101] prcise les notions fondamentales lies
au tolrancement par
zone. Suivant la spcification indique sur le dessin, la zone de
tolrance peut tre limite :
- par deux droites parallles, projetes sur un plan, la tolrance
correspond alors la distance entre ces deux droites,
- par deux plans parallles, la tolrance correspond alors la
distance entre ces deux plans,
- par un cylindre, la tolrance correspond alors au diamtre de ce
cylindre.
Cette norme est base sur le concept de zone minimale [CHE1996]
[GOU1999] [ZHA1999].
La norme [NF E04-560] prcise la dfinition de la tolrance de
rectitude: Dimension
maximale admissible de la zone de tolrance dans laquelle doit se
situer la ligne considre.
La norme [NF E 10-101] Mthodes de mesurage dimensionnel :
Deuxime partie - Ecarts de
rectitude prsente les mthodes de mesurage des carts de
rectitude. Elle donne galement
des indications sur lexploitation des rsultats.
Pour le mesurage des carts de rectitude spcifis dans un plan,
elle propose deux mthodes
de mesurage.
La premire mthode dite mesurages directs : les carts sont
exprims directement en
units de longueur, par rapport la rfrence de mesurage considre
(exemples : fil tendu
(Figure 7-a), rgle, cylindre ou faisceau optique (Figure
7-b).
(a) (b)
Figure 7 : Schmatisation des mesurages directs [NF E 10-101]
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
19
La seconde mthode dite mesurages indirects : les carts sont
exprims en units de
longueur aprs transformation dune indication angulaire (exemple
: niveau lectronique
(Figure 8-a), lunette autocollimatrice, interfromtre comptage de
franges avec option angle
(Figure 8-b) en dplaant successivement lquipement de mesure dun
pas (l) le long de la
ligne ou gnratrice).
(a) (b)
Figure 8 : Schmatisation des mesurages indirects [NF E
10-101]
Ces mthodes sont galement utilises dans le domaine industriel de
la production pour
linspection des machines dusinage [SAK1987] [FAN2000] [MAG2006]
[ARD2008] par
exemple.
Dans les publications [KIY1994] [GAO1996-a], les auteurs
indiquent une mthode qui utilise
deux capteurs mais ils font lhypothse de labsence de tangage du
porte-capteur. Le principe
conduit mesurer la diffrence daltitudes entre deux points
successifs du profil (ce qui
limine leffet de la rectitude du porte capteur ce que remarque
les auteurs), en fait, il sagit
dune mthode similaire lutilisation du niveau lectronique en ce
sens que lon a une
propagation sur deux points mais sans la rfrence la verticale
terrestre ce qui nest pas
correct et conduit les auteurs faire lhypothse de labsence de
tangage du porte-capteur ce
qui na pas de porte pratique.
Le corpus normatif concernant la rectitude est peu pertinent
pour notre application (rfrence
verticale de la table croise) car :
- Le mesurande bas sur le concept de la zone minimale est adapt
un besoin de dclaration de conformit des produits [NF EN
ISO14253-1] mais il a linconvnient
de sappuyer sur les points extrmes du profil et de rduire
linformation contenue
dans le profil un chiffre unique qualifi de dfaut de rectitude
.
- Les mthodes de mesure proposes par les normes sont bien
connues, mais elles assurent des incertitudes au mieux de lordre du
micromtre.
Nous proposons une dfinition du mesurande qui concerne le profil
complet et qui vite de
sappuyer sur les points extrmes.
1.4.2 Retournement
La mthode de retournement a t dcline de diffrentes faons (Figure
9) : mthode du
retournement de langle (a), mthode du retournement du carr (b),
mthode des trois
rectitudes (c) et mthode des trois plans (d). Ces mthodes
relvent dun changement de
signe. La mthode des trois plans (et des 3 rectitudes) utilise
une surface intermdiaire mais
relve de la mme logique. Si on note M1=A+B pour exprimer quavec
les conventions de
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
20
signe, la premire mesure fournit la somme des dfauts des plans A
et B et, de la mme
manire, M2=A+C et M3=B+C alors M2-M3=A-B qui avec M1=A+B permet
de dterminer
les dfauts de A et B et constitue un retournement.
Figure 9 : Les mthodes du retournement [EVA1996] [BUR]
Ces techniques sont toutes caractrises par une manipulation
mcanique en ce qui concerne
un (mais pas tous) les degrs de libert vis--vis de la direction
sensible de lindication de
mesure. Cette opration change le signe d'une composante de
lerreur.
Pour mesurer une ligne, la mthode dite du retournement est base
sur lutilisation dun seul
capteur. Whitehouse dans [WHI1976] [CAM1995] propose deux
mesures faisant apparatre
ainsi un changement de signe ce qui permet la sparation de
lerreur de la machine de celle du
profil.
Figure 10 : Schmatisation du principe du retournement
[GIA2004]
(a) (b)
(c) (d)
Ligne dAbbe
X
Y
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
21
Cette mthode est connue depuis de nombreuses annes et fait
partie des mthodes de
comparaison une rfrence "dmatrialise" utilise par l'abb CAYERE
[CAY1953]
[CAY1956]. On trouve la description dune mthode de retournement
dans lencyclopdie de
Diderot et dAlembert au chapitre bnisterie pour vrifier la
rectitude dune rgle.
Pour traiter correctement la rectitude, il faut bien mettre en
place les conventions de signe
(Figure 10) :
- G(x) est la rectitude du guidage, G(x) est positif si le
chariot savance dans le sens de laxe Y
- R(x) est la rectitude de la rgle, R(x) est positive si la rgle
prsente une bosse (cette convention est dailleurs conforme la
normalisation qui veut quun excs de matire
soit compt positivement)
- Si la tige du comparateur rentre lintrieur du corps,
lindication du comparateur I(x) est positive
Avec ces conventions, la Figure 10-a indique une premire
indication I1(x)=G(x)+R(x) et la
Figure 10-b indique I2(x)=-G(x)+R(x), le rsultat final est
obtenu par demi-somme et demi-
diffrence.
Cette mthode ncessite des prcautions exprimentales importantes
tant dans le retournement
de la rgle quau niveau de ltat de surface de rgle, il est en
particulier impossible de mettre
en uvre correctement cette mthode avec une rgle gratte ou une
rgle en granit cause de
ltat de surface qui ncessite une qualit de repositionnement
impossible obtenir en
pratique [HEN2007]. Dans le retournement de la rgle, la Figure
10 indique en particulier la
ncessit de respecter lalignement des comparateurs entre les deux
positions, la rectitude
tant exprime sur cette ligne (Principe dAbbe).
En pratique, cest une mesure dlicate mettre en uvre si lon
souhaite tudier une rectitude
de quelques micromtres ou moins mais tout fait efficace. La mise
en uvre du
retournement qui impose, par nature, de bouger les lments valuer
rend cette mthode
difficile utiliser si on vise une incertitude de quelques
nanomtres.
1.4.3 Propagation
1.4.3.1 Dfinition du mesurande
En mtrologie, la premire tape dun calcul dincertitudes consiste
dfinir le mesurande
avec une finesse dautant plus grande que lon souhaite un niveau
faible dincertitudes.
On peut considrer une surface dune pice comme la limite entre la
matire et le milieu
environnant. Un profil de rectitude est donc la ligne continue
obtenue comme lintersection
entre cette surface et un plan. Cette dfinition nest pas
satisfaisante dans le cadre de la
mtrologie dune rectitude dun plan destin servir dtalon la table
croise. Plutt que
dnoncer les raisons pour lesquelles cette dfinition nest pas
oprante, nous allons faire des
propositions.
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
22
Il est logique de palper les points dans les mmes conditions
lors de la phase dtalonnage du
plan que lors de son utilisation, soit :
- Chaque point est atteint grce un capteur capacitif prsentant
une zone utile de 6mm de diamtre [LAH2005-b]. Un point est donc le
rsultat de l intgration de
la microgomtrie par le capteur capacitif ou plus prcisment, nous
dfinissons un
point comme la rponse de la surface au capteur capacitif et non
comme un point de la
surface physique
- Le porte capteur utilis possde un entraxe de 20 mm. La mesure
par propagation impose un pas de dcalage de 20 mm. Le profil est
donc dfini uniquement aux points
effectivement mesurs (tous les 20 mm). Le fait de dfinir le
mesurande sur les points
mesurs uniquement et non sur une ligne continue vite la question
de lapplication du
thorme dchantillonnage de Shannon. Le plan est usin avec des
dfauts locaux de
lordre du micromtre, ce qui est trs bien pour un fraisage, mais
correspond un
rapport entre le dfaut (1m) et lincertitude recherche (de lordre
de 10 nanomtres)
de lordre de 100. Lincertitude gnre par une dfinition du
mesurande sur une ligne
serait prpondrante et ne permettrait pas une analyse fine du
reste du processus.
Note : Pour aller plus loin, on ne peut quaboutir la conclusion
quil serait ncessaire
dutiliser dautres techniques de finition du plan et de raliser
une mesure locale (entre deux
points de mesure donc 20mm) de la forme pour aboutir une
caractrisation plus exhaustive
du plan. Ce point na pas t abord dans ce travail.
Il faut complter le mesurande par la dfinition des grandeurs
dinfluence : conformment,
la norme [NF EN ISO 1], la temprature de rfrence est de 20C.
Nous considrons
lhygromtrie comme sans effet .
En fait, la temprature peut avoir un effet sur les capteurs mais
pour une rectitude, cest
lexistence dun gradient de temprature, en particulier dune
diffrence de temprature entre
le dessus et le dessous du plan, qui est la source dincertitude
importante.
1.4.3.2 Principes
Le principe conduit utiliser des capteurs quidistants permettant
la mesure de diffrences
daltitude entre points voisins et dexploiter cette mesure par
une technique de sparation
derreur.
Pour supprimer l'influence du tangage du porte-capteur, un
systme quip avec trois capteurs
distant a t introduit [GAO1996-b].
Cette technique permet de saffranchir des mouvements parasites
de dplacement de la
matrice porte capteurs.
Une mthode, trs simple, dans son principe consiste prsenter en
face de la surface
mesurer un solide portant trois capteurs aligns et espacs de la
mme distance [LI1996]
[PAZ2007]. On montre que dans ces conditions, la mthode avec
trois capteurs distants peut
permettre de calculer la fois lerreur de translation (rectitude)
et l'erreur de tangage du
guidage du porte-capteurs.
Il est toutefois ncessaire de connatre la position relative des
trois capteurs, ce qui peut se
traduire par le fait de considrer une droite passant par les
deux capteurs extrmes et chiffrer
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
23
lcart entre le capteur central et cette droite. La position
relative du capteur central nest pas
ou mal connue. Ceci introduit un biais systmatique sur la
courbure globale qui est trs
sensible.
On trouve dans [GAO2002-a] linfluence de cette erreur pour un
systme avec 3 capteurs. Il y
est dfini ( 123 2 mmm eee ) comme paramtre de lerreur
dalignement des capteurs.
Thoriquement, peut tre mesur par comparaison avec une rfrence de
planit comme dans la Figure 11-a. En pratique, cependant, cette
mthode est difficile et elle apporte une
incertitude finale assez grande sur la forme du profil.
(a) (b)
Figure 11 : (a) dtermination du zro utilisant une surface de
rfrence de prcision, (b) influence de la dtermination du zro sur le
profil de la rectitude [GAO2002-a]
En effet, le calage de la position relative du capteur central
(Figure 11-a) n'est pas efficace
pour la mesure dune longue rectitude car lerreur est de type
parabolique car proportionnelle
au carr de la longueur de mesure (Figure 11-b). Cette
incertitude est alors la cause
prpondrante dincertitudes dans la mthode.
Figure 12 : Erreur sur le profil dvaluation [GAO2002-a]
La Figure 12 montre que pour mesurer une rectitude dun profil de
600 mm de long, une
erreur dajustement de ( ) de 10 nm va engendre une erreur de
flche parabolique de 4.5 m (4500 nm) pour des capteurs espacs de 10
mm. De mme, pour des capteurs espacs de
50 mm lerreur sera de 0.18 m (180 nm).. Ce rsultat montre
lextrme sensibilit de ce
paramtre. Nanmoins une incertitude de positionnement relatif des
capteurs de 10nm est
nettement plus difficile obtenir pour un pas de 50mm que pour un
pas de 10mm. Les
solutions proposes dans cette publication sont bases sur une
technique de retournement pour
dterminer cette grandeur mais cette solution nest pas adapte
notre problme.
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
24
Pour pallier ce problme, il faut ajouter une information
supplmentaire qui fournisse la
possibilit de supprimer ce biais de la courbure. Plusieurs
auteurs [YIN2005] [YIN2006]
[KUM2006] ont propos un systme au moins trois capteurs avec une
indication de langle
de tangage du porte-capteur.
Une amlioration de cette procdure peut tre trouve en multipliant
le nombre de capteurs.
Cette volution rend les mesures redondantes et autovrifiantes .
Elle ne lve cependant
pas pour autant lincertitude sur lexistence dune composante
circulaire et elle ne dispense
pas dune mesure complmentaire.
Figure 13 : Dispositif pour la propagation N capteurs avec
lunette autocollimatrice [SCH2005]
Dans [SCH2005], le Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB)
prsente la mthode
multi-distance (interfromtre) avec une lunette autocollimatrice
dite Traables Multiples
Sensor System (TMS). La Figure 13 montre une schmatisation dun
dispositif exprimental
possible. Un miroir est li au systme de capteurs distants. Une
lunette autocollimatrice est
utilise pour mesurer la position angulaire du porte-capteurs. La
lunette autocollimatrice et la
pice sont fixes la table. Lorsque le systme de capteurs distants
se dplace le long de la
pice avec le miroir, la lunette autocollimatrice mesure
l'inclinaison de la partie mobile du
porte-capteurs chaque position.
Figure 14 : Dispositif pour la propagation N capteurs avec
lunette autocollimatrice [LIU2009]
Aujourdhui, dans l'industrie des semi-conducteurs photorsistant
, il est ncessaire davoir
un dispositif qui permette de mesurer verticalement la planit
avec une rsolution
nanomtrique sans dgrader le film lors de la mesure. Liu
[LIU2009] a dvelopp un
dispositif (Figure 14). Son document dcrit une approche
utilisant un multi-cantilever ball
comme capteurs distants avec galement une lunette
autocollimatrice comme dispositif
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
25
dangle supplmentaire de mesure. En utilisant cette mthode, les
auteurs annoncent des
incertitudes de lordre de 30 nanomtres sur une longueur de 11.25
mm.
1.4.3.3 Mise en quations issue de la bibliographie
Larticle de Weingrtner [WEI2004] est probablement la premire
publication proposant une
mthode de propagation pour raliser une rectitude avec des
incertitudes nanomtriques.
Lauteur propose un systme de n capteurs quidistants et il crit
les quations
correspondantes puis ralise lensemble des simulations sur 3 et 4
capteurs.
Dune faon gnrale, on considre n capteurs reprs par lindice i
spars de d millimtres, aligns et fixs sur un solide appel le
porte-capteur. Le parcours du profil
mesurer est ralis par p positions successives du porte capteur
repres par lindice j
. La topographie de la pice est acquise avec 1 np points mesurs
quidistants.
Dans la Figure 15, la position de balayage jx est dfinie comme
la position lextrme bord
gauche du porte-capteurs. 1 isi est la position du capteur i par
rapport au premier
capteur. Les positions des n capteurs quidistants sont repres
par lindice isj dans
lespace pice pour chaque pas de mesure.
Pour chaque position du porte capteur, il existe des dfauts de
guidage du porte-capteurs :
erreur de translation (jT ) et de tangage ( jR ).
Figure 15 : Schma de principe pour N capteurs distants
Les mesures chaque position du porte-capteurs sont des
variations de distance par rapport
llment mesurer : la valeur releve par le capteur i la mej
position de balayage est
note ijm .
Les inconnues sont les points du profil (sijf ) la position
verticale de dplacement du porte
capteur (jT ) et sa rotation ( jR ) et lcart de position du
capteur i la position de balayage j
(ij ). Cette erreur ij est la somme dun cart systmatique li la
position du capteur dans le
porte capteur et dun cart alatoire que lauteur [WEI2004] choisit
de cumuler avec la
2 3 n1
d
m1jm2j
m3jmnj
Translation (T)
dplacement
Rotation (R)
Rfrence
Position j
..
..
X j
sijf
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
26
position du capteur. La mise en place du porte-capteurs est
dcrite par l'ensemble d'quations
ci-dessous.
ijijjsijij dsRTfm ni ,...,1 pj ,...,1 (3)
Dans cette quation, lauteur introduit lcart ij qui correspond a
une erreur due au fait que
les 4 capteurs ne sont pas parfaitement aligns et une erreur
provenant de lincertitude sur
lvaluation des distances par les capteurs. Nous ne partageons
pas cette approche dans la
mesure o le fait que les capteurs ne soient pas aligns nest pas
proprement parl une
incertitude. Cest la mconnaissance de lalignement exact qui est
une source dincertitude.
Mathmatiquement, si les carts ij sont nuls, la reconstruction
exacte de la topographie est
possible. Si les carts des mesures sont sans biais systmatique,
gaussiens et indpendants, un
traitement statistique par la mthode des moindres carrs permet
de connatre la valeur la plus
probable de la grandeur mesure et ainsi de fixer les limites de
l'incertitude.
La source principale dincertitude correspond lincertitude sur la
connaissance du dfaut
dalignement des capteurs. Ce dfaut sexprime en prenant deux
capteurs en rfrence. Par
consquent, les dfauts dalignement des N-2 autres capteurs sont
exprims par rapport ces
deux capteurs pris en rfrence. Un choix pratique consiste
prendre les capteurs des
extrmits. Cette incertitude provient dun talonnage imparfait
(voir chapitre II).
Pour les simulations, les auteurs ont impos un diamtre de la
pice de 300 mm. Ils sparent
les carts de position des capteurs en deux parties.
La premire partie consiste en erreurs alatoires ji ,
(distribution gaussienne de moyenne
nulle et variance2 ). La seconde partie consiste en carts de
position systmatiques simuls
par un choix arbitraire pour chaque capteurmje , j = 1,. . . , M
(distribution gaussienne de
moyenne nulle et de variance 2 ). Ces carts sont qualifis de
systmatique en ce sens quils
restent constants tout au long de la mesure. Ceci est donc trs
pnalisant dans le cadre dun
processus de propagation. Les carts de position ji , des
capteurs ont t fixs tels que
mjji e, pour tous les i, c'est dire, que lcart pour chaque
capteur reste le mme pour
toutes les positions de mesure.
La qualit de la reconstruction de la topographie est chiffre par
lcart-type normalis
N
i
i ffN 1
211
.
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
27
Tableau 1 : Liste des systmes de capteurs utiliss [WEI2004]
Le Tableau 1 fournit la liste des systmes de capteurs utiliss
pour les simulations. Divers
paires de systmes de capteurs de trois et de quatre capteurs ont
t tudies. Les
configurations prsentant de bonnes performances vis--vis de
l'erreur de propagation ont t
choisies.
La conception des systmes dpend de la largeur x choisie pour la
matrice du porte-capteur.
La valeur de x varie entre 0,6 et 15 mm. Tous les systmes de
capteurs permettent la
reconstruction de la topographie exacte dans le cas o il ny a
pas derreur soit ji , = 0.
(a) (b)
Figure 16 : Ecart-type normalis en ajoutant, (a) erreur
alatoire, (b) erreur systmatique. N est nombre de la position de
balayage. Cercle noir : le systme utilise trois capteurs
quidistants. Cercle blanc : le
systme utilise quatre capteurs quidistants [WEI2004]
Sur la Figure 16, nous remarquons que lcart-type normalis
augmente considrablement avec le systme utilisant trois capteurs
distants (cercle noir) lorsque le nombre de position de
balayage augmente. Avec les quatre capteurs distants (cercle
blanc), lcart-type normalis diminue lorsque le nombre de position
de balayage augmente. Ceci justifie lutilisation dau
moins 4 capteurs.
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
28
La Figure 16 montre galement que les carts systmatiques (au sens
ci-dessus) sont
beaucoup plus sensibles sur la qualit du profil que les carts
alatoires.
Lquation (3) est rcrite en changeant de point de vue. Si l'cart
ij est suppos
correspondre lcart de position relative des capteurs,
c'est--dire que les ij sont fixs
gaux mie pour chaque capteur et quils sont constants pour toutes
les positions de balayage
alors il vient lquation (4) ci-dessous.
miijjsijij edsRTfm ni ,...,1 pj ,...,1 (4)
En fait, les rsidus correspondent la diffrence entre les deux
membres de lquation (4).
Nous devons introduire des informations supplmentaires pour
rsoudre ce systme
dquations. Il est envisageable de chercher mesurer directement
les valeurs de mie . Ces
mesures sont trs dlicates. Les incertitudes correspondantes
seraient amplifies par la
propagation. La seule solution pratique est dajouter une mesure
dangle. Il a donc t choisi
dajouter une lunette autocollimatrice pour mesurer le tangage du
porte capteur comme dans
[ELS2006] [LIU2009].
A chaque position, lindication du mesureur dangle est notejN .
Une inconnue note 0R est
introduite. Elle correspond au calage angulaire du porte-capteur
par rapport au zro de langle
indiqu. Ainsi il vient
jj RRN 0 (5)
Les quations (5) compltent les quations (4). Elles rendent le
systme rsoluble sans biais
de courbure.
2 Unification des mthodes de sparation
La mthode de retournement consiste provoquer un changement de
signe pour sparer les
erreurs. Les mthodes de permutation ou de propagation ajoutent
alors des quations en
mlangeant les inconnues. Dans ce paragraphe, nous tentons de
raliser un passage de la
permutation complte, aussi appele multiretournement dans
[COO1990], la propagation
sur une rectitude.
2.1 Concept de sparation
En mtrologie, le concept de base consiste mettre en place une
chane dtalonnage pour
relier le mesurage que lon est en train de raliser et ltalon
primaire correspondant. Pour
toutes les grandeurs qui relvent dune convention, ce concept est
incontournable. Ainsi, le
raccordement au mtre est indispensable lors de lvaluation dune
pice dune dimension
nominale de un mtre.. Il est dailleurs intressant de noter que
la convention de 1790 aurait
pu choisir une autre dfinition du mtre ce qui ne changerait rien
notre faon de travailler.
Nous vivons une homothtie prs .
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
29
Figure 17 : passage dun rfrentiel matriel donc imparfait un
rfrentiel idal
En mtrologie dimensionnelle, ce concept de raccordement une
valeur conventionnelle
mrite dtre affin. Imaginons un repre constitu de deux rgles, on
sintresse au reprage
dun point dans le plan grce ces rgles (Figure 17). Il faut
sassurer que ces rgles sont
rectilignes, orthogonales, quelles prsentent la mme mtrique et
que la dite mtrique est
celle du mtre. Seul ce dernier point relve du raccordement.
Les mtrologues ont identifi, de longue date, trois types de
mthodes pour lvaluation des
formes et des mtriques :
- Les mthodes de permutation qui sappuient sur lhypothse de la
reproductibilit des mesures pour sparer les erreurs lies
linstrument de celles lies la pice.
Lanalyse de ces mthodes fait apparaitre des constantes qui
aboutissent lide que
lon mesure moins des positions que des carts. Lanalyse de
lhypothse de
reproductibilit aboutit lide que les dfauts de gomtrie de la
machine et/ou de la
pice doivent tre suffisamment lisses et fournir des carts
correctement valus
localement .
- Les mthodes de retournement qui consistent galement faire
lhypothse de la reproductibilit des mesurages et faire apparatre un
changement de signe qui
permettra de sparer les carts de linstrument des carts de la
machine. Il faut malgr
tout raliser le rattachement des comparateurs utiliss mais cette
mthode permet de
passer du raccordement dun comparateur sur une petite course la
connaissance de la
forme dun objet macro gomtrique.
- Les mthodes de propagation qui ont la mme nature que les
mthodes de permutation. En effet, une propagation peut tre considre
comme une permutation
incomplte.
Ces mthodes permettent sous hypothse de reproductibilit et
dtalonnage dun comparateur
faible course dtudier compltement la gomtrie dune machine un
coefficient
homothtique prs correspondant la convention du mtre.
Lvaluation des angles fournit galement des mthodes intressantes.
Langle, qui sexprime
en radian, est un rapport entre deux longueurs. Cest une
caractristique adimensionnelle qui
nest pas sensible la convention du mtre. Les mthodes pour valuer
les angles peuvent
relever de deux ides. La premire ide consiste crire langle comme
un rapport de
longueur. La seconde ide consiste crire quun tour complet sur un
cercle reprsente
radians et quil suffit de diviser le cercle.
De nombreuses techniques ont t dveloppes dans le cadre de ce que
lAbb Cayre
appelait la mtrologie intellectuelle [EVA1996-b].
-
Chapitre I
Mthode de propagation et profil dune ligne
30
2.2 De la permutation la propagation : un concept unique
Figure 18: Permutation circulaire complte
La Figure 18 correspond la permutation circulaire complte
[COO1990] dun systme 16
capteurs qui se gnralise aisment. Entre deux positions, on
ralise 1/16 de tour. Les
quations qui dcrivent la permutation prsentent :
- 16 inconnues correspondantes la gomtrie de la bague aux 16
points considrs et qui ont la nature dcarts suivant la normale,
- 16 inconnues correspondantes la position des capteurs - 32
inconnues de position du porte-capteur circulaire (2 pour chaque
position de
mesure).
On montre quune simple mthode de moyenne et de moyenne avec
permutation circulaire
des quations suffit calculer lensemble des inconnues une
constante prs. Cette constante
sinterprte dailleurs comme le rattachement au mtre. La position
relative de la bague et du
porte capteur correspondent naturellement au sens de sans autre
calcul la position
suivant le critre des moindres carrs. Cela est li la forme de la
matrice de covariance
inverser pour calculer un cercle au sens des moindres carrs
lorsque les points sont
rgulirement rpartis. Les seuls termes non nuls se trouvent sur
la premire diagonale.
Figure 19 : Permutation circulaire incomplte en position
Une premire dgradation de la procdure de mesure prcdente
consiste ne pas mesurer
toutes les positions (Figure 19). Si on note P, le nombre de
positions, on a P2162
inconnues et P16 quations. Pour pouvoir rsoudre, il faut au
m