Engº Marcelo Cuadrado Marin Engº Mounir Khalil El Debs CONTRIBUIÇÃO PARA A AVALIAÇÃO DA REDUÇÃO DA RIGIDEZ DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE CONCRETO PRÉ-MOLDADO DE EDIFÍCIOS DE MÚLTIPLOS PAVIMENTOS PARA ANÁLISE DA ESTABILIDADE GLOBAL.
Engº Marcelo Cuadrado Marin Engº Mounir Khalil El Debs
CONTRIBUIÇÃO PARA A AVALIAÇÃO DA REDUÇÃO DA RIGIDEZ DE
ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE CONCRETO PRÉ-MOLDADO DE EDIFÍCIOS
DE MÚLTIPLOS PAVIMENTOS PARA ANÁLISE DA ESTABILIDADE GLOBAL.
CONTRIBUIÇÃO PARA A AVALIAÇÃO DA REDUÇÃO DA RIGIDEZ DE
ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE CONCRETO PRÉ-MOLDADO DE
EDIFÍCIOS DE MÚLTIPLOS PAVIMENTOS PARA ANÁLISE DA
ESTABILIDADE GLOBAL
Parte I –Mounir Khalil El Debs – Professor da EESC - USP
1. Sistemas estruturais de edifícios múltiplos pavimentos
2. Ligações semi-rígidas
3. Desenvolvimento de ligação semi-rígida
Parte II – Marcelo Cuadrado Marin – Gerente de Engenharia - Leonardi
4. Consideração da não-linearidade física
5. Simulação numérica
6. Considerações finais e conclusões
1. Sistemas estruturais de edifícios múltiplos pavimentos
a) Pilares engastados na base e vigas articuladas
b) Pilares e vigas formando pórticos
c) Com o emprego de paredes de contraventamento
ou núcleos
a ) pilares engastados na fundação e
vigas articuladas nos pilares vigas engastadas nos pilares
b ) pilares engastados na fundação e
formando " T "
c ) com elemento de viga e pilar
a) Pilares engastados na base e vigas articuladas
1. Sistemas estruturais de edifícios múltiplos pavimentos
a ) pilares engastados na fundação e
vigas articuladas nos pilares vigas engastadas nos pilares
b ) pilares engastados na fundação e
formando " T "
c ) com elemento de viga e pilar
1. Sistemas estruturais de edifícios múltiplos pavimentos
b) pilares e vigas formando pórticos
d ) com elementos em forma de " H "
o segmento central da viga
b ) análogo ao caso _ sem
e ) com elementos em forma de " T "
aa ) com elementos verticais engastados na
fundação e traves articuladas
c ) com elementos em forma de " U "
d ) com elementos em forma de " H "
o segmento central da viga
b ) análogo ao caso _ sem
e ) com elementos em forma de " T "
aa ) com elementos verticais engastados na
fundação e traves articuladas
c ) com elementos em forma de " U "
1. Sistemas estruturais de edifícios múltiplos pavimentos
b) pilares e vigas formando pórticos
c) com paredes de contraventamento ou núcleos
b) pilares e vigas formando pórticos
a) pilares engastados na base
SISTEMA ESTRUTURAL
COMPORTAMENTO EM RELAÇÃO
ÀS AÇÕES QUE PRODUZEM TOMBAMENTO
AÇÃO LATERALAÇÃO LATERAL
NÚCLEO DE
CONTRAVENTAMENTO
laje comportando-se
como diafragma
Transferência dos esforços no plano da laje
para o núcleo de contraventamento
1. Sistemas estruturais de edifícios múltiplos pavimentos
c) com o emprego de paredes de contraventamento
ou núcleos
Sugestão: usar valores de vigas
Coeficientes de redução de rigidez
para análise da estabilidade global
c) com paredes de contraventamento ou núcleos
b) pilares e vigas formando pórticos
a) pilares engastados na base
SISTEMA ESTRUTURAL
COMPORTAMENTO EM RELAÇÃO
ÀS AÇÕES QUE PRODUZEM TOMBAMENTO
c) com paredes de contraventamento ou núcleos
b) pilares e vigas formando pórticos
a) pilares engastados na base
SISTEMA ESTRUTURAL
COMPORTAMENTO EM RELAÇÃO
ÀS AÇÕES QUE PRODUZEM TOMBAMENTO
1. Sistemas estruturais de edifícios múltiplos pavimentos
a) pilares engastados na base e vigas
articuladas
b) pilares e vigas formando pórticos
Sugestão: usar valores de pilares de
estruturas de concreto moldado no local
2. Ligações semi-rígidas
M
ligação rígida
ligação semi- rígida
ligação com fracarigidez inicial
O
M
articulação0
à força normal
b ) deformabilidade
MM
M
ligaçãoindeformável deformável
ligação
N N N
a
a) deformabilidade ao
momento fletor
M
O
m
D = 1/ tgm m
n
N
a
D = 1/ tgn n
mK = tg m K = tgn n
deslocamento
elasto - linear simétrico elasto - plástico assimétrico
solicitação
deslocamento
elasto - plástico simétrico
deslocamento
solicitação solicitação
2. Ligações semi-rígidas
Rigidez da ligação
3. Desenvolvimento de ligação semi-rígida
Proposta:
Alterações: a) substituição da almofada de neoprene por almofada de
argamassa e b) preencher o espaço entre a viga e o pilar com graute
Programa experimental com dois protótipos
3. Desenvolvimento de ligação semi-rígida
3. Desenvolvimento de ligação semi-rígida
Construção dos modelos
3. Desenvolvimento de ligação semi-rígida
3. Desenvolvimento de ligação semi-rígida
M
pk
k
M py
Myn
n
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12
rotation x 103
Be
nd
ing
mo
me
nt (k
N.m
)
Prototype #1
Prototype #2
3. Desenvolvimento de ligação semi-rígida
M
pk
k
M py
Myn
n
cu
y
R
cn
x cu
Veh zn
Rg
sR
d 'e
e
M
C
x /2cu
colu
mn
fac
e
kg
sk
y /2cn
eh
cry
x /2cu
cuk
M
VCR
3. Desenvolvimento de ligação semi-rígida
nydsyn zfAM
2' cn
een
ydhz
wcgd
yds
cn
bf
fAy
22 )2/()'( cncrgecresn yykdyhkk
y
sss
w
Ak
s
yd
s
s
efse
wy
E
f
E
sw
ww
4.
)1(8
)1(.2
1
max
2
,
1
1
gj
wcng
D
byk
Modelo de projeto: momento negativo
M
pk
k
M py
Myn
n
3. Desenvolvimento de ligação semi-rígida
Modelo de projeto: momento positivo
Ftd
pz
Fsd
cR
ycp
M
/2e
V
C
e
colu
mn
fac
e
ck =
e/2
ksdtdk
VMCR
00
psdyp zFM
max,
2
2ccdyddsd
ffcF
2
cp
ep
yhz
2
2
cp
csdp
yhkk
vy
sd
sd
a
Fk
2
cp
ep
yhz
Variante com chumbador inclinado
Concreto moldado
no local
Consolo
Pilar Chumbadores
Viga
Armadura
saliente
Painel
pre-moldado
Armadura de
continuidade
Chapa metalica
Porcas e
arruelas
3. Desenvolvimento de ligação semi-rígida
Rigidezes e momentos de plastificação com chumbadores verticais
e inclinados em relação ao momento positivo
Momento positivo
inclinados verticais
K (MNm/rad) 28,4 8,7
My (kNm) 99,1 39,2
Quando comparada à ligação similar, porém com os chumbadores
verticais a ligação estudada apresenta um acréscimo superior a 2,5
vezes nos momentos de plastificação e de 3 vezes na rigidez a
momento fletor positivo.
3. Desenvolvimento de ligação semi-rígida
4. Consideração da Não-linearidade física
Consideração simplificada: redução da rigidez bruta
.
cciIEEI sec
(EI)sec rigidez secante;
α coeficiente redutor de rigidez;
Ic momento de inércia da seção bruta de concreto;
Eci módulo de elasticidade tangente inicial.
Não-linearidade física
Coeficientes redutores segundo a literatura (códigos, normas e comitês
de associações)
a) NBR 6118:2007
d
ssgc IEIEEI
1
2,0sec
Lajes: cciIEEI 3,0sec
Vigas: cciIEEI 4,0sec
cciIEEI 5,0sec
para A’s ≠ As
para A’s = As
Pilares: cciIEEI 8,0sec
As área da seção transversal da armadura longitudinal de tração;
A’s área da seção transversal da armadura longitudinal de
compressão.
b) ACI 318-11: Building Code Requirements for Structural Concrete and
Commentary
d
ssgc IEIEEI
1
2,0sec
Lajes: gcIEEI 25,0sec
Vigas: gcIEEI 35,0sec
Pilares: gcIEEI 7,0sec
Ec módulo de elasticidade do concreto;
f´c resistência a compressão específica do concreto;
Ig momento de inércia da seção de concreto sem a consideração da
armadura.
b) ACI 318-11
Elementos submetidos a compressão
Elementos submetidos a flexão
d
ssgc IEIEEI
1
2,0sec
ggU
U
U
g
totsII
P
P
hP
M
A
AI 875,05,012580,0
0
,
ggw
tração IId
bI 5,02,02,12510,0
As,tot Área total de aço longitudinal da seção;
Ag Área da seção de concreto;
Mu Momento obtido na combinação de ações;
Pu Força normal obtida na combinação de ações;
P0 Força máxima centrada admissível no pilar.
bd
Astração
b) ACI 318-11
d
ssgc IEIEEI
1
2,0sec
Es módulo de elasticidade do aço;
Is momento de inércia da armadura em relação ao centro de gravidade da seção;
d
coeficiente referente à fluência do concreto e expressa a relação entre a ação
permanente e total. d = 0 na condição sem fluência.
d
ssgc IEIEEI
1
2,0sec
Procedimento de amplificação de momentos.
Análise local em estruturas indeslocáveis.
Elevada carga axial, pequena excentricidade e elevada
esbeltez.(carga crítica de flambagem)
d
gcIEEI
1
4,0sec Forma simplificada
c) fib (2002): Design examples for the 1996 FIP recommendations
‘Practical design of structural concrete’, Bulletin fib, Lausanne, v.16
d
ssgc IEIEEI
1
2,0sec
fcd resistência à compressão de projeto do concreto (MPa)
l índice de esbeltez;
coeficiente de fluência.
ssgce IEIEEI sec
25,0)200/1(8,01 l φφ
)2200/(6,0
0 )85,0(08,0 l efv cde
cdc
d
fA
Nv
85,00
cdc
ydtots
fA
fA ,
φ
d) NBR 9062:1985
Obs: A NBR 9062:2006 não faz menção ao coeficiente redutor para
obtenção da rigidez secante em pilares
d
ssgc IEIEEI
1
2,0sec
152,0
bd
A tots,
e) PCI (1988): Recommended practice for the design of prestressed
concrete columns and walls
d
ssgc IEIEEI
1
2,0sec
d
mgcIEEI
l
1
/sec
7066,15,2 0 P
P
7066,15,2 0 P
P
0,3lm
05,0/
27
rkL
P carga axial no pilar em uma análise de primeira ordem;
k coeficiente do comprimento efetivo do pilar considerando as condições de
contorno;
L comprimento do pilar;
r raio de giração da seção.
Coeficientes redutores segundo a literatura aplicados a pilares
Fatores considerados nas recomendações apresentadas
VALOR FORÇA
NORMAL FLUÊNCIA ARMADURA ESBELTEZ
NBR 6118:2007 FIXO NÃO NÃO NÃO NÃO
ACI 318-11 * VARIÁVEL SIM SIM SIM NÃO
fib (2002) VARIÁVEL SIM SIM SIM SIM
NBR 9062:1985 VARIÁVEL NÃO NÃO SIM NÃO
PCI (1988) VARIÁVEL SIM SIM NÃO SIM
* Considerando todas as expressões apresentadas
Não-linearidade física
Considerações segundo o diagrama M x N x 1/r
Aspectos influentes:
Taxa de armadura
Arranjo da armadura
Nível de esforços solicitantes
Resistência do concreto
Fluência
Tipo de armadura empregada (passiva; ativa)
Não-linearidade física
Análise segundo o diagrama M x N x 1/r
a) Conceituação
b) Formulação e implantação
c) Particularidades
I. Efeito da força normal
II. Efeito da fluência
III. Efeito da protensão
Análise segundo o diagrama M x N x 1/r
a) Conceituação:
(0,85fcd; Nd)
(1,1fcd; Nd/f3)
M
1/r
(EI)sec
Mrd/ f3
Mrd
Análise segundo o diagrama M x N x 1/r
b) Formulação e implantação:
Processo iterativo de obtenção de linha neutra adimensional
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
n Rd
x
Limite inferiorLimite superiorForça normal adimensional fixa 2ª iteração3ª iteração4ª iteração
Processo
iterativo (h/r)i
xi
xs
xi
RdRd
xixsRdfixox
nn
nn
12
1 ))((MRd,i
M
1/r
(1/r)i-4
MRd,i-4
(1/r)i
MRd,i
nRd1
nRd2
nfixo= nrd Não
Sim
Processo
incremental (h/r)i+ Mrd,i+1
Análise segundo o diagrama M x N x 1/r
c) Particularidades
I. Efeito da força normal
Diagrama M x N x 1/r
0,0
100,0
200,0
300,0
400,0
500,0
600,0
700,0
800,0
900,0
0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02 2,0E-02 2,5E-02
1/r(m-1
)
M(k
N.m
)
n0,1
n0,3
n0,4
n0,5
n0,7
n0,9
(σcd = 0,85.fcd; fck=35MPa)
50
50
6 Ø 25mm
5
5 8 8 8 8 8 5
Análise segundo o diagrama M x N x 1/r
c) Particularidades
II. Efeito da fluência
c
c (1+ ) ccu (1+ ) cu
Curva de tensão no concreto Curva de tensão no concreto afetada pela fluência
Diagrama M x N x 1/r
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
800,00
900,00
0,0E+0
0
5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02 2,0E-02 2,5E-02 3,0E-02 3,5E-02
1/r(m)
M(k
N.m
)
0
1
2
3
(σcd = 0,85.fcd; fck=35MPa, n=0,5)
Análise segundo o diagrama M x N x 1/r
c) Particularidades
III. Efeito da protensão
Diagrama M x N x 1/r
0,0
100,0
200,0
300,0
400,0
500,0
600,0
700,0
800,0
900,0
0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02 2,0E-02 2,5E-02
1/r(m-1
)
M(k
N.m
)
9 CABOS7 CABOS5 CABOS3 CABOS
5. Simulação numérica
Sistema estrutural adotado:
Pórticos com ligação viga-pilar semi-rígida e pilares engastados na
fundação. A ligação viga x pilar adotada apresenta chumbadores retos e
capa de concreto moldada in loco com armadura passante através dos
pilares centrais. Nos pilares de extremidade, a armadura de continuidade é
ancorada em luvas metálicas.
Nas direções em que não for constituído pórtico pela combinação pilar-viga,
a estabilidade deverá ser assegurada pela rigidez dos pilares. Os esforços
horizontais provenientes da ação do vento são transferidos para os demais
componentes pela laje, que se comporta como diafragma.
Simulação numérica Caracterização da estrutura estudada,variáveis e parâmetros analisados:
a) Número de pavimentos
b) Materiais empregados
c) Seção transversal e armadura longitudinal dos pilares segundo modulação
d) Ações permanentes
e) Ações variáveis de utilização
f) Ação do vento
g) Combinações de ações
PC
PL
PL
PC: Pilar Central
PL: Pilar Lateral
M : Modulação
Planta Tipo
M M M M
4M
M
M
2M
Simulação numérica
a) Número de pavimentos : 4, 5 e 6 pavimentos (distância entre pavimentos: 4 m)
b) Materiais empregados Pilares e vigas com armadura passiva fck = 35 MPa;
Vigas com armadura ativa fck = 40 MPa;
Capa de concreto moldada no local fck = 20 MPa;
Aço CA-50.
c) Seção transversal e armadura longitudinal dos pilares
Seções dos pilares segundo geometria da estrutura
Seção (cm x cm) As,tot (cm2) M (m) Nº de pavimentos
40x40 50,4 [16 Ф 20 mm] 7,5 e 10 4
50x50 75,6 [24 Ф 20 mm] 7,5 5 e 6
60x60 120,0 [24 Ф 25 mm] 10 5 e 6
Simulação numérica
d) Ações permanentes
Peso próprio da laje alveolar
(2,2 kN/m² : módulo de 7,5 m; altura de 15 cm)
(2,6 kN/m² : módulo de 10,0 m altura de 20 cm)
Peso próprio da capa: 1,5 kN/m² (espessura média de 6cm)
Peso próprio de revestimento: 0,5 kN/m²
Alvenaria no perímetro da estrutura : 10 kN/m
e) Ações variáveis de utilização
3 e 5 kN/m²
Simulação numérica
f) Ação do vento
V0 = 45m/s; Classe B; Categoria IV.
g) Combinações de ações
G:ação permanente direta; W: ação do vento; Q: ação variável de utilização
Combinações de ações (ELU)
Combinação Expressão Característica
1ª Ação do vento principal;
Elevada concentração de pessoas
2ª
Sem ação variável de utilização;
importância na avaliação de momentos
positivos nas ligações viga-pilar
3ª Ação do vento secundária
).7,0(4,1.1, QWGF gd
WGF gd .4,1.2,
).6,0(4,1.3, QWGF gd
Simulação numérica
Coeficientes redutores segundo o diagrama M x N x 1/r
Força normal adimensional (M=7,5m; P50x50;Q= 3kN/m²)
PAVIMENTO nd,1 nd,2 nd,3
PC PL PC PL PC PL
6 0,086 0,051 0,053 0,035 0,097 0,057
5 0,171 0,119 0,106 0,086 0,194 0,130
4 0,257 0,187 0,158 0,137 0,291 0,204
3 0,342 0,254 0,211 0,189 0,388 0,277
2 0,428 0,322 0,264 0,240 0,485 0,350
1 0,514 0,390 0,317 0,292 0,582 0,424
Coeficientes redutores de rigidez
,1 ,2 ,3
PC PL PC PL PC PL
0,366 0,343 0,345 0,333 0,375 0,347
0,430 0,397 0,384 0,366 0,446 0,404
0,493 0,441 0,422 0,409 0,501 0,453
0,514 0,492 0,459 0,443 0,527 0,498
0,539 0,509 0,495 0,483 0,566 0,516
0,583 0,528 0,507 0,501 0,625 0,538
Força normal adimensional:
.
: Força normal adimensional
cdc
id
fA
Nid
.
,,
n
,1: Coeficiente redutor de rigidez dos pilares segundo a 1ª combinação de ações do ELU;
,2: Coeficiente redutor de rigidez dos pilares segundo a 2ª combinação de ações do ELU;
,3: Coeficiente redutor de rigidez dos pilares segundo a 3ª combinação de ações do ELU;
Coeficientes redutores segundo a literatura
Coeficientes redutores para análise de pilares
n l M x N x 1/r NBR
6118:2007
ACI
318-11
fib
(2002)
NBR
9062:1985 0,58 27,71 0,625 0,800 0,700 0,429 0,758
0,58 63,74 0,625 0,800 0,700 0,498 0,758
0,03 27,71 0,333 0,500 0,350 0,280 0,758
0,03 63,74 0,333 0,500 0,350 0,283 0,758
Consideração da não-linearidade física em pilares
Diagrama M x N x 1/r (1ª Combinação)
0,0
100,0
200,0
300,0
400,0
500,0
600,0
700,0
800,0
900,0
1000,0
0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02 2,0E-02 2,5E-02 3,0E-02
1/r(m-1
)
M(k
N.m
)
PC1 - Trecho do pilar central no 1º pavimento
PC2 - Trecho do pilar central no 2º pavimento
PC3 - Trecho do pilar central no 3º pavimento
PC4 - Trecho do pilar central no 4º pavimento
PC5 - Trecho do pilar central no 5º pavimento
PC6 - Trecho do pilar central no 6º pavimento
(P50x50, M=7,5 m, Q= 3kN/m², σcd = 1,1fcd, Nd)
Consideração da não-linearidade física em pilares
Coeficientes redutores de rigidez x força normal adimensional
x n(Módulo de 7,5m - P50 x 50)
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80
n
1ª Comb. (PC) 3kN/m2 - 7,5m
1ª Comb.(PL) 3kN/m2 -7,5m
2ª Comb.(PC) 7,5m
2ª Comb. (PL) 7,5m
3ª Comb (PC) 3kN/m2 - 7,5m
3ª Comb. (PL) 3kN/m2 - 7,5m
1ª Comb. (PC) 5kN/m2 - 7,5m
1ª Comb (PL) 5kN/m2 - 7,5m
3ª Comb (PC) 5kN/m2 7,5m
3ª Comb. (PL) 5kN/m2 - 7,5m
Consideração da não-linearidade física em pilares
x n (Módulo de 7,5m - P50 x 50)
y = 0,747x + 0,3039
R2 = 0,9966
y = 0,4622x + 0,3575
R2 = 0,9649
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80
n
Funções de redução de rigidez segundo subdomínios
Função redução de rigidez() Subdomínio(n)
EIIE ss/)(10,175,0 n 25,00 n
75,025,0 nEIIE ss/)(32,146,0 n
Consideração da não-linearidade física em pilares
x n (módulo de 7,5m/10m - P40 x 40)
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30
n
1ª Comb. (PC) 3kN/m2 - 7,5m
1ª Comb.(PL) 3kN/m2 -7,5m
2ª Comb.(PC) 7,5m
2ª Comb. (PL) 7,5m
1ª Comb (PC) 5kN/m2 - 7,5m
1ª Comb. (PL) 5kN/m2 - 7,5m
1ª Comb. (PC) 3kN/m2 10m
1ª Comb (PL) 3kN/m2 10m
2ª Comb.(PC) 10m
2ª Comb. (PL) 10m
1ª Comb (PC) 5kN/m2 10m
1ª Comb. (PL) 5kN/m2 10m
Consideração da não-linearidade física em pilares
x n (módulo de 7,5m/10m - P40 x 40)
y = 0,6734x + 0,3069
R2 = 0,9878
y = 0,4843x + 0,3288
R2 = 0,9677
y = -0,2322x + 0,9538
R2 = 0,7963
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30
n
Consideração da não-linearidade física em pilares
Funções de redução de rigidez segundo subdomínios de força normal adimensional
Seções (cm) Função redução de rigidez()
40 x 40
50 x 50 ________________
60 x 60 _______________
Valor Médio
0,67𝜈 + 1,15(𝐸𝑠𝐼𝑠)/𝐸𝐼 0,48𝜈 + 1,20(𝐸𝑠𝐼𝑠)/𝐸𝐼 −0,24𝜈 + 3,50(𝐸𝑠𝐼𝑠)/𝐸𝐼 0,75𝜈 + 1,10(𝐸𝑠𝐼𝑠)/𝐸𝐼 0,46𝜈 + 1,32(𝐸𝑠𝐼𝑠)/𝐸𝐼
0,73𝜈 + 1,12(𝐸𝑠𝐼𝑠)/𝐸𝐼 0,44𝜈 + 1,29(𝐸𝑠𝐼𝑠)/𝐸𝐼 0,72𝜈 + 1,12(𝐸𝑠𝐼𝑠)/𝐸𝐼 0,46𝜈 + 1,27(𝐸𝑠𝐼𝑠)/𝐸𝐼 −0,24𝜈 + 3,50(𝐸𝑠𝐼𝑠)/𝐸𝐼
0 ≤ 𝜈 ≤ 0,25 0,25 < 𝜈 ≤ 0,85 0,85 < 𝜈 ≤ 1,20
Consideração da não-linearidade física em pilares
Distribuição dos coeficientes redutores de rigidez dos pilares
Modulação (m) Seção (cm) N º Pavimentos Q(kN/m2)
7,5 50 x 50 6 3 0,35 - 0,60
7,5 50 x 50 6 5 0,35 - 0,70
10,0 60 x 60 6 3 0,40 - 0,70
10,0 60 x 60 6 5 0,40 - 0,77
7,5 40 x 40 4 3;5 0,35 - 0,65
10,0 40 x 40 4 3;5 0,40 - 0,76
Consideração da não-linearidade física em vigas:
a) Armadura passiva:
70
15
5
30
4.5
4.5
90
5 Ø 20mm
2 Ø 25mm 3 Ø 12,5mm
4.55 Ø 16mm
3 Ø 12,5mm
Medidas em cm
Viga em concretopré-moldado
Laje Alveolar
Capa em concreto moldado in loco
Modulação de 7,5m
Consideração da não-linearidade física em vigas:
a) Armadura passiva:
Diagrama M x N x 1/r (Viga central armada - seção composta)
-800,0
-600,0
-400,0
-200,0
0,0
200,0
400,0
600,0
800,0
1000,0
-2,0E-02 -1,5E-02 -1,0E-02 -5,0E-03 0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02 2,0E-02
1/r(m-1
)
M(k
N.m
) 0
2
Coeficientes redutores de rigidez para a viga com armadura
passiva sob efeito de fluência na estrutura com modulação de 7,5m
Fluência () 0 1 2 3
Mpos ( 0,467 0,340 0,267 0,220
Mneg () 0,310 0,249 0,209 0,180
Consideração da não-linearidade física em vigas:
b) Armadura ativa
7
01
55
30
5
4.5
90
5 cabos
2 Ø 25mm 3 Ø 12,5mm
5
3 Ø 16mm
3 Ø 12,5mm
Medidas em cm
Viga em concretopré-moldado
Laje Alveolar
Capa em concreto moldado in loco
4 cabos
Modulação de 7,5m
Consideração da não-linearidade física em vigas:
b) Armadura ativa
Diagrama M x N x 1/r (VR 30x90 -9 cabos)
-1000,0
-800,0
-600,0
-400,0
-200,0
0,0
200,0
400,0
600,0
800,0
1000,0
1200,0
-3,0E-02 -2,5E-02 -2,0E-02 -1,5E-02 -1,0E-02 -5,0E-03 0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02 2,0E-02 2,5E-02
1/r(m-1
)
M(k
N.m
) 0
2
Coeficientes redutores de rigidez para a viga com armadura ativa
sob efeito de fluência na estrutura com modulação de 7,5m
Fluência () 0 1 2 3
Mpos ( 0,570 0,402 0,311 0,253
Mneg () 0,211 0,150 0,116 0,095
Estabilidade global: Análise de viabilidade dos modelos frente a
não-linearidade geométrica(NLG)
ANSYS:
BEAM 188: Vigas e pilares
Relação constitutiva segundo o diagrama M x N x 1/r
Discretização por trecho de pilar em 8 elementos finitos
Discretização das vigas em 16 elementos finitos
COMBIN 39: Ligações
Relação M x θ com comportamento não-linear assimétrico
NLG → Newton Raphson → critério de parada → 0,5% (deslocamentos)
Carregamento → 10 passos
Estabilidade global: Consideração das fases construtivas
Estrutura com ligação viga-pilar articulada:
Seção da viga não composta
Estrutura com ligação viga-pilar semi-rígida:
Seção da viga composta
Estabilidade global: Consideração da ligação viga-pilar semi-rígida
(modelo elasto-plástico assimétrico)
Estabilidade Global: Configuração dos esforços
1ª Combinação de ações (M=7,5m, Q=3 kN/m²)
-309,21
-193,25
+38,71
Estabilidade Global: Distribuição de esforços segundo análise NLG
Distribuição dos momentos fletores na estrutura (kN.m)
(Ligação viga-pilar semi-rígida: modelo assimétrico sem cosiderar plastificação)
(Ligação pilar-fundação semi-rígida considerando deformação axial das estacas)
Z =1,173 Ma Mb Mc Mpos Mneg,central Mneg,lateral MV
M1ªOrdem 170,71 188,42 187,62 63,04 352,61 281,81 342,23
MT(ANSYS) 214,30 234,85 232,15 82,71 415,96 334,06 342,41
MT(0,95.Z) 193,13 212,30 210,71 73,61 386,85 310,03 342,35
MT(Z) 204,58 224,57 222,52 79,05 404,42 324,53 343,16
P- 222,34 243,77 240,97 88,42 434,74 349,45 342,58
10,96 10,62 10,18 12,36 7,52 7,75 0,02
4,75 4,58 4,33 4,63 2,85 2,94 -0,22
-3,61 -3,66 -3,66 -6,46 -4,32 -4,40 -0,05
.[%]
).95,0(
)(
ZT
T
M
ANSYSM
.[%]
)(
)(
ZT
T
M
ANSYSM
.[%]
)-P(
)(
T
T
M
ANSYSM
Ma: momento na base do pilar lateral esq.; Mb: momento na base do pilar central; Mc: momento na base do pilar
lateral dir.; Mpos: maior momento positivo na ligação; Mneg,central : maior momento negativo na ligação junto ao pilar
central; Mneg,lateral : maior momento negativo na ligação junto ao pilar lateral; Mv: maior momento positivo na viga.
Estabilidade Global:
Evolução dos deslocamentos
Coeficiente z:
Modelos com ligação viga-pilar de comportamento elasto-plástico
assimétrico e ligação pilar-fundação rígida:
Nas estruturas avaliadas (4, 5 e 6 pav.) com modulações(7,5 m x 7,5 m/
10 m x 10 m) e ações variáveis de (3 - 5 kN/m2 ) o coeficiente z apresentou
variação de 1,05 a 1,20.
Evolução dos Deslocamentos(P-)
0
4
8
12
16
20
24
0,0E+00 2,0E-02 4,0E-02 6,0E-02 8,0E-02 1,0E-01 1,2E-01 1,4E-01
Deslocamentos(m)
Alt
ura
do
Ed
ifíc
io(m
) 1ª ordem
1ª iteração
2ª iteração
3ª iteração
4ª iteração
6. Considerações finais e conclusões
Com base no estudo desenvolvido, podem ser alinhadas as conclusões
apresentadas a seguir, válidas para as seções transversais, arranjos, taxas
de armadura, e materiais empregados no presente estudo:
a) A formulação e os indicadores prescritos nas normas nacionais a respeito
da consideração simplificada da NLF são menos abrangentes que as
formulações apresentadas em referências internacionais.
b) Os coeficientes redutores obtidos segundo o diagrama M x N x 1/r
divergem das indicações normativas para consideração simplificada de
NLF, principalmente sob efeito da fluência, força normal e armadura ativa.
Os coeficientes redutores sofrem influência do nível de esforço normal,
consequentemente variam de acordo com a combinação de ações utilizada.
Considerações finais e conclusões
c) A taxa de crescimento da rigidez sofre uma variação quando o valor da
força normal se aproxima de 0,25.
d) Segundo os estudos realizados, o aumento do nível de esforço normal
incrementa a rigidez das seções, no entanto, a partir de um certo nível de
esforço normal existe uma diminuição da rigidez da seção. No exemplo
numérico avaliado, obteve-se o valor de força normal adimensional de
aproximadamente 0,9, onde ocorreu uma inversão da tendência de
incremento da rigidez.
Considerações finais e conclusões
Já as seguintes conclusões são limitadas aos arranjos estruturais, ações e,
principalmente, ao tipo de ligação utilizada que viabilizou o sistema
estrutural estudado e servem de base de comparação com os coeficientes
de rigidez da NBR 6118:
a) Os coeficientes redutores de rigidez obtidos para os pilares dos arranjos
analisados apresentaram valores em média de 0,5 a 0,6.
b) A variação dos valores encontrados para os coeficientes redutores de
rigidez nas vigas em concreto armado submetidos aos efeitos da fluência
pelo coeficiente linear de 0 a 3 foi de 0,45 a 0,2 para momento positivo e de
0,3 a 0,2 para momento negativo. Nos elementos com armadura ativa os
coeficientes redutores obtidos pertencem ao intervalo de 0,55 a 0,25 no
combate ao momento positivo e ao momento negativo os valores
encontrados pertencem ao intervalo de 0,25 a 0,1.
Considerações finais e conclusões
A Importância do conhecimento da rigidez de elementos e ligações
reside na correta distribuição de esforços na estrutura.
A avaliação dos efeitos não lineares geométricos(estabilidade global)
também dependem do conhecimento da rigidez de elementos e
ligações.
Estruturas com múltiplos pavimentos de maior altura podem ser
exploradas pela utilização de sistemas de contraventamento e utilização
de emendas de pilares.
O comportamento de emenda de pilares poderia ser investigado quanto
a rigidez, resistência e processo de execução.
Com este estudo pretende-se promover a utilização mais representativa
de parâmetros de projeto, limitados aos casos analisados. Naturalmente,
são necessários mais estudos sobre o assunto que contemplem a
amplitude das variáveis envolvidas.
Agradecimentos