✐ ✐ “RelatividadDigital” — 2014/4/9 — 9:42 — page 1 — #1 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ 1.-Contracci´on de FitzGerald-Lorentz Part I: ¿Real o aparente? Introducci´ on Detector óptico Figura 1.1: Cada rayo refleja- do sigue una trayectoria diferente hacia el detector ´ optico. Por esa raz´ on, y para velocidades relati- vas cercanas a la velocidad de la luz, la contracci´ on de FitzGerald- Lorentz no puede verse como una simple contracci´ on en la direcci´on del movimiento relativo. 1 La visualizaci´ on de un objeto f´ ısico se construye con los rayos de luz que, reflejados por el objeto, al- canzan el correspondiente sistema de visualizaci´ on. Debido a la velocidad finita de la luz y a las dife- rentes distancias que la luz ha de recorrer desde las diferentes partes del objeto, no todos los rayos de luz reflejados por el objeto alcanzan el sistema de visualizaci´ on al mismo tiempo. En consecuencia, la contracci´on de FitzGerald-Lorentz no es percibida visualmente, o fotografiada, como tal contracci´on en la direcci´ on del movimiento relativo, sino como una especie de rotaci´ on [163], [182], [140]. Aunque la correcci´on apropiada de esos efectos revelar´a que esa contracci´on est´ a ah´ ı. 2 En este libro hemos asumido que los resultados de todas las observaciones y mediciones realizadas por un observador desde cualquier sistema de referen- cia inercial son corregidas adecuadamente por un ordenador en cuya pantalla se muestran las im´ agenes corregidas. En consecuencia, todos los objetos observados en movimiento relativo ser´an representados y considerados como realmente con- tra´ ıdos en la direcci´ on del movimiento relativo, tal como prescribe la contracci´on de FitzGerald-Lorentz. 3 En un cap´ ıtulo anterior tuvimos la oportunidad de examinar el papel del factor relativista γ = (1 - v 2 /c 2 ) −1/2 en la transformaci´on de Lorentz. Como vimos all´ ı, γ tambi´ en puede ser reinterpretado como un factor para la conversi´ on entre el lenguaje anal´ogico y el digital. La contracci´on de la longitud, la dilataci´ on del tiempo, la diferencia de fase en la sincronizaci´ on y el incremento de la masa con el 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Figura 1.1: Cada rayo refleja-do sigue una trayectoria diferentehacia el detector optico. Por esarazon, y para velocidades relati-vas cercanas a la velocidad de laluz, la contraccion de FitzGerald-Lorentz no puede verse como unasimple contraccion en la direcciondel movimiento relativo.
1 La visualizacion de un objeto fısico se construye
con los rayos de luz que, reflejados por el objeto, al-
canzan el correspondiente sistema de visualizacion.
Debido a la velocidad finita de la luz y a las dife-
rentes distancias que la luz ha de recorrer desde las
diferentes partes del objeto, no todos los rayos de
luz reflejados por el objeto alcanzan el sistema de
visualizacion al mismo tiempo. En consecuencia, la
contraccion de FitzGerald-Lorentz no es percibida
visualmente, o fotografiada, como tal contraccion
en la direccion del movimiento relativo, sino como
una especie de rotacion [163], [182], [140]. Aunque
la correccion apropiada de esos efectos revelara que
esa contraccion esta ahı.
2 En este libro hemos asumido que los resultados de todas las observaciones
y mediciones realizadas por un observador desde cualquier sistema de referen-
cia inercial son corregidas adecuadamente por un ordenador en cuya pantalla se
muestran las imagenes corregidas. En consecuencia, todos los objetos observados
en movimiento relativo seran representados y considerados como realmente con-
traıdos en la direccion del movimiento relativo, tal como prescribe la contraccion
de FitzGerald-Lorentz.
3 En un capıtulo anterior tuvimos la oportunidad de examinar el papel del factor
relativista γ = (1− v2/c2)−1/2 en la transformacion de Lorentz. Como vimos allı,
γ tambien puede ser reinterpretado como un factor para la conversion entre el
lenguaje analogico y el digital. La contraccion de la longitud, la dilatacion del
tiempo, la diferencia de fase en la sincronizacion y el incremento de la masa con el
Figura 1.3: Diagrama de espaciotiempo de una varilla metrica cuyas coordenadas espa-ciales propias son xo1 y xo2.
xo2 = γ(xv2 − vtv2) (7)
Y siendo tv1 = tv2 en el proceso de medicion realizado en RFv tendremos:1
xo2 − xo1 = γ(xv2 − xv1) (8)
O lo que es lo mismo:
xv2 − xv1 = γ−1(xo2 − xo1) (9)
¿Real o aparente?11 Acabamos de ver que la contraccion de FitzGerald-Lorentz es una consecuen-
cia inevitable de los principios de la relatividad. Ahora bien, ¿Es real2 o aparente
esa contraccion? La mayorıa de los autores de libros sobre la relatividad especial
evitan tratar con esta ’notoria controversia,’ como la llamo Max Born [36]). Sobre
esa controversia Anthony P. French escribio [71, pp. 113-114]:
Esta discusion deberıa dejar claro que la pregunta ¿tiene realmente lu-
gar la contraccion FitzGerald-Lorentz? no tiene una respuesta sencilla
e inequıvoca desde un punto de vista de la relatividad. Donde debe
ponerse toda la atencion es en definir que observaciones reales debe-
mos tomar si queremos medir la longitud de algun objeto que puede
estar en movimiento relativo respecto a nosotros. Y la prescripcion
es sencillamente medir sus dos extremos en el mismo instante, segun
nosotros ¿Que otra cosa podrıa hacerse? Ası la contraccion, cuando la
observamos, no es una propiedad de la materia sino algo inherente al
proceso de la medida.
1Para medir una varilla que se mueve se ha de medir la posicion de sus extremos en elmismo instante, en caso contrario un extremo se habrıa desplazado con respecto al otroy obtendrıamos una medida erronea de la varilla.
2Como algunos autores contemporaneos, por ejemplo [20], reclaman.
Figura 1.7: La longitud aparente de una varilla observada en movimiento relativo sepuede corregir solo si tambien se corrige la correspondiente dilatacion inercial del tiempoy el desfase en la sincronizacion de los relojes.
rald-Lorentz tendra tambien que corregir la dilatacion inercial del tiempo y el
desfase en la sincronizacion de los relojes para poder realizar el calculo correcto
de la velocidad del foton.
25 Terminemos esta seccion parafraseando el siguiente texto universitario sobre
la contraccion de FitzGerald-Lorentz ([178, p. 42]):
(Original) Tengo que advertiros sobre el lenguaje. He dicho que una
varilla de longitud Lo observada desde su sistema de referencia propio
tiene una longitud mas corta Lv cuando se observa desde otro sistema
de referencia. A menudo este resultado se enuncia como ’Una varilla de
longitud Lo cuando es observada en su sistema de referencia propio,
parece tener una longitud mas corta Lv cuando es observada desde
otro sistema de referencia’. Este enunciado es verdadero: la varilla
parece tener una longitud Lv mas corta porque tiene una longitud Lv
mas corta. El uso de la palabra ’parece’ da la falsa impresion de que
cuando la varilla es observada desde un sistema de referencia en el
cual la varilla se mueve, la varilla realmente tiene una longitud Lo y
solo parece que tiene una longitud Lv. No. Cuando se observa desde
un sistema de referencia en el cual la varilla se mueve, la varilla tienen
realmente un longitud mas corta Lv.
(Parafrasis) Tengo que advertiros sobre el lenguaje. He dicho que una
varilla recta esta doblada cuando es observada parcialmente sumergida
en agua. A menudo este resultado se enuncia como ’Una varilla recta
parcialmente sumergida en agua parece doblada’. Este enunciado es
verdadero: la varilla parece doblada porque esta doblada. El uso de
la palabra ’parece’ da la falsa impresion de que cuando la varilla es
observada parcialmente sumergida la varilla esta realmente recta y solo
parece estar doblada. No. Cuando se observa parcialmente sumergida
en agua la varilla esta realmente doblada.
Formas cambiantes26 Considerese ahora una chapa cuadrada P hecha con el acero mas resistente
cuyo lado tiene una longitud propia Lo, y supongase que esta orientada de modo
que uno de sus lados sea paralelo al eje Xo de su sistema de referencia propio
RFo. Como no podıa ser de otra forma, despues de un giro de 45◦ sobre su centro
geometrico (Figura 1.8) y en el sentido de las agujas del reloj, P continua siendo
un cuadrado en su sistema de referencia RFo.
RFo RFv
Xo
Yo Yv
Xv
v
Figura 1.8: De acuerdo con los observadores de RFv , una simple rotacion basta paracambiar la forma de una chapa metalica fabricada con el mas resistente de los aceros.
27 En otro sistema de referenciaRFv desde el cualRFo se mueve en una direccion
paralela al eje Xo, P es visto antes de la rotacion como un rectangulo cuyos lados
son Lo y γ−1Lo. Despues de la rotacion de 45◦ la forma de P es la de un rombo
cuyo lado es Lo
√
(1 + γ−2)/2.
28 Que una simple rotacion libre sea suficiente para cambiar la forma de una
placa metalica va contra varias leyes mecanicas, fisicoquımicas y cristalograficas.
Por otra parte, y de acuerdo con el Primer Principio de la relatividad, las leyes
fısicas son las mismas para todos los sistemas de referencia. Esta incongruen-
cia deberıa ser una razon suficiente para que los observadores de RFv concluyan
que sus observaciones estan distorsionadas por el movimiento relativo de la mis-
ma manera que la observacion de una varilla parcialmente sumergida en agua
esta distorsionada por la refraccion de la luz.
RFo RFvYo Yv
Xo Xv
v
Figura 1.9: Deformacion sin esfuerzos mecanicos. Mediante una simple rotacion de laestructura, sus dos brazos se contraen y expanden alternativamente, sin que ningunafuerza actue sobre ella.
29 La estructura en escuadra representada en la figura 1.9 plantea un problema
similar: sucesivas rotaciones libres de 90◦ son suficientes para contraer, alterna-
tivamente, uno de sus brazos por un factor γ1 al tiempo que extiende el otro por
un factor γ, sin que ninguna fuerza actue sobre ellos.
30 Estos ejemplos de deformacion mecanica sin la accion de fuerzas se asemejan
Figura 1.11: De acuerdo con la leyes de la mecanica, en el equilibrio todas las marcasblancas y negras de la cuerda elastica han de tener necesariamente la misma longitud.
33 RFo es el sistema de referencia propio del montaje mecanico representado
en la figura 1.11, en el cual una carga de masa en reposo mo cuelga de una
cuerda elastica, cuyo extremo izquierdo esta unido a un soporte vertical fijo. La
Figura 1.12: En RFv , con respecto al cual RFo se mueve de izquierda a derecha en ladireccion del eje Xv , la longitud de las marcas horizontales de la cuerda estan contraıdaspor un factor γ−1, mientras que las marcas verticales mantienen su longitud propia lo.
35 RFv es un sistema de referencia inercial cuyo diagrama espaciotemporal
coincide con el de RFo en un cierto instante, y desde el que RFo se mueve de
izquierda a derecha, en la direccion de Xo con una velocidad v. En consecuencia,
y de acuerdo a la transformacion de Lorentz, en RFv la longitud de las marcas
verticales de la escala metrica es tambien Lo, mientras que las marcas horizontales
3Un truco comun que usamos en geologıa para ilustrar la deformacion mecanica de lasrocas.
36 Sea n el numero de marcas de la escala metrica, y supongase que nh de
ellas estan en la seccion horizontal para una cierta posicion de la polea deslizante.
Obviamente, el numero de marcas verticales en esa misma posicion sera n − nh.
Como cabrıa esperar, en RFo la longitud Lo de la cuerda en equilibrio con la masa
colgante no varıa con la posicion de la polea:
Lo = nhlo + (n− nh)lo (10)
= lo(nh + n− nh) = nlo (11)
Sin embargo, en RFv la longitud Lv de la cuerda es variable, dependiendo de la
posicion de la polea, es decir del numero nh de marcas horizontales:
Lv = nhγ−1lo + (n− nh)lo (12)
= lo(nhγ−1 + n− nh) (13)
= lo(n− nh(1− γ−1)) (14)
Por tanto, a medida que el numero nh de marcas horizontales aumenta la longitud
Lv de la cuerda disminuye. O con otras palabras, si la polea se desplaza hacia la
derecha la longitud de la cuerda disminuye, y si se desplaza hacia la izquierda
su longitud aumenta. Obviamente esos cambios de longitud estan en desacuerdo
con las leyes de la mecanica: una misma masa colgante no puede crear diferentes
tensiones mecanicas, y por tanto diferentes estiramientos, en la misma cuerda.
mv
mv
1 12
2
3
3
4
4
5
5
6
6
lo
g-1
lo
Figura 1.13: La tension mecani-ca horizontal de cualquier partede la cuerda cambia cuando cam-bia su posicion de la seccion hori-zontal a la vertical y viceversa.
37 Al deslizar la polea hacia la izquierda o ha-
cia la derecha podemos hacer que cualquier par-
te de la cuerda pase de la posicion horizontal a
la vertical y viceversa. Cuando cambia, su tension
mecanica tambien cambia, siendo mayor cuando su
posicion es vertical (Figura 1.13). Estos cambios de
tension son tambien incompatibles con las leyes de
la mecanica.
38 Como acabamos de ver, la situacion mecanica
observada desde RFv es incompatible con las leyes
fısicas conocidas. Por una parte, la tension mecani-
ca de la cuerda debe ser la misma a lo largo de toda
su longitud y, por tanto, la longitud de todas sus
marcas metricas tiene que ser tambien la misma,
ya esten en la seccion horizontal o en la vertical.
Por la otra, la longitud total de la cuerda en equi-
[1] M. Abraham, Prinzipien der dynamik des elektrons, Annalen der Physik 315 (1)(1903), 105–179.
[2] Amir D. Aczell, The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah and theSearch for Infinity, Pockets Books, New York, 2000.
[3] J. Albert and K. Culik., A simple universal cellular automaton and its one-wayand totalistic version, Complex Systems 1 (1987), 1–16.
[4] Andreas Albrecht and Joao Magueijo, Time varying speed of light as a solutionto cosmological puzzles, Phys. Rev. D 59 (1999), 043516.
[5] R. Aloisio, A. Galante, A. Grillo, E. Luzio, and F. Mendez, A note on dsr-likeapproach to space-time, Physics Letters B 610 (2005), 101 – 106.
[6] R. Aloisio, A. Galante, A. F. Grillo, E. Luzio, and F. Mendez, Approachingspace-time through velocity in doubly special relativity, Phys. Rev. D 70 (2004),125012.
[7] Jan Ambjorn, Jerzy Jurkiewicz, and Renate Loll, El universo cuanticoautoorganizado, Investigacion y Ciencia 384 (2008), 20–27.
[8] Amelino-Camelia, Giovanni, Lammerzahl, Claus, Mercati, Flavio, Tino, andGuglielmo M., Publisher’s note: Constraining the energy-momentum dispersionrelation with planck-scale sensitivity using cold atoms [phys. rev. lett. 103,171302 (2009)], Phys. Rev. Lett. 104 (2010), 039901.
[9] G. Amelino-Camelia, Testable scenario for relativity with minimum length,Physics Letters B 510 (1-4) (2001), 255–263.
[10] Giovanni Amelino-Camelia, A Phenomenological description of quantum gravityinduced space-time noise, Nature 410 (2001), 1065–1069.
[11] Charis Anastopoulos, Particle or Wave. The evolution of the concept of matterin modern physics, Princeton University Press, New Jersey, 2008.
[12] Aristoteles, Tratados de logica, Editorial Gredos, Madrid, 1988.
[13] , Metafısica, Espasa Calpe, Madrid, 1995.
[14] , Fısica, Gredos, Madrid, 1998.
[15] P. Arrighi and J. Grattage, A Quantum Game of Life, ArXiv e-prints (2010), 1 –12.
[16] Pablo Arrighi and Jonathan Grattage, The quantum game of life, Physics WorldJune (2012), 23–26.
[17] John Baez, The Quantum of Area?, Nature 421 (2003), 702 – 703.
[18] E. R. Banks, Universality in cellular automata, Proceedings of the 11th AnnualSymposium on Switching and Automata Theory, 1970.
[19] Marcello Barbieri, The organic codes. an introduction to semantic biology,Cambirdge University Press, Cambridge, 2003.
[20] Carlos Barcelo and Gil Jannes, A real lorentz-fitzgerald contraction, Foundationsof Physics 38 (2008), 1199–199.
[21] John D. Barrow, The Infinite Book, Vintage Books(Random House), New York,2006.
[22] Jacob D. Bekenstein, La informacion en un universo holografico, Investigacion yCiencia (2003), no. 325, 36 – 43.
[23] Jean Paul Van Bendegem, In defense of discrete space and time, Logique etAnalyse 38 (1997), 150 –152.
[24] , Finitism in Geometry, Stanford Encyclopaedia of Philosophy (E. N.Zalta, ed.), Stanford University, URL = http://plato.stanford.edu, 2002.
[25] Bernadette Bensaude-Vincent, Lavoisier: una revolucion cientıfica, Historia delas ciencias (Michel Serres, ed.), Catedra, Madrid, 1991.
[26] Henri Bergson, Creative Evolution, Dover Publications Inc., New York, 1998.
[27] Henri Bergson, The Cinematographic View of Becoming, Zeno’s Paradoxes(Wesley C. Salmon, ed.), Hackett Publishing Company, Inc,Indianapolis/Cambridge, 2001, pp. 59 – 66.
[28] J. Beringer et al., Review of particle physics (rpp), Phys.Rev. D86 (2012),010001.
[29] Joel Biard, Logique et physique de l’infini au Xive siecle, Infini desmathematiciens, infinit des philosophes (Fran coise Monnoyeur, ed.), Belin,Paris, 1992.
[30] E. Biser, Discrete Real Space, Journal of Philosophy 38 (1941), 518 – 524.
[31] David Blanco Ledesma, El espacio es una cuestion de tiempo, RBA Editores,2012.
[32] D. Bleh, T. Calarco, and S. Montangero, Quantum Game of Life, ArXiv e-prints(2010), 1 – 5.
[33] Robert Bluhm, Breaking lorentz symmetry, Physics World 17 (2004), 41–46.
[34] David Bohm, The special theory of relativity, A. Benjamin Inc., London and NewYork, 1965.
[35] Niels Bohr, Atomic Physics and Human Knowledge, John Wiley and Sons, NewYork, 1958.
[36] Max Born, Einstein’s theory of relativity, Dover Publications Inc., New York,1965.
[37] Timothy H. Boyer, The classical vacuum, Scientific American (1985), 70–78.
[38] Reginald T. Cahill, A new light-speed anisotropy experiment: absolute motion andgravitational waves detected, Progress in Physics 4 (2006), 73–92.
[39] Georg Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre,Mathematishen Annalen 21 (1883), 545 – 591.
[40] , Gesammelte Abhandlungen, Verlag von Julius Springer, Berlin, 1932.
[41] , Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers,Dover, New York, 1955.
[42] , Foundations of a General Theory of Manifolds, The Theoretical Journalof the National Caucus of Labor Committees 9 (1976), no. 1-2, 69 – 96.
[44] Brian Clegg, A Brief History of Infinity. The Quest to Think the Unthinkable,Constable and Robinson Ltd, London, 2003.
[45] Frank Close, Nothing, Oxford University Press, New York, 2009.
[46] Jonas Cohn, Histoire de l’infini. Le probleme de l’infini dans la penseeoccidentale jusqu’‘a Kant, Leseditions du CERF, Paris, 1994.
[47] H. R. Coish, Elementary particles in a finite world geometry, Physical Review114 (1959), 383 – 388.
[48] B.W. Parkinson J. P. Turneaure J.W. Conklin M. I. Heifetz G.M. Keiser A. S.Silbergleit T. Holmes J. Kolodziejczak M. Al-Meshari J. C. Mester B. MuhlfelderV.G. Solomonik K. Stahl P.W. Worden Jr. W. Bencze S. Buchman B. Clarke A.Al-Jadaan H. Al-Jibreen J. Li J.A. Lipa J.M. Lockhart B. Al-Suwaidan M. TaberC.W. F. Everitt, D. B. DeBra and S. Wang, Gravity probe b: Final results of aspace experiment to test general relativity, Physical Review Letters (2011),201101–1 201101–5.
[49] Josep W. Dauben, Georg Cantor. His mathematics and Philosophy of theInfinite, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1990.
[50] Joseph W. Dauben, George Cantor y la teorıa de los conjuntos transfinitos,Investigacion y Ciencia (Scientifc American) (1983), no. 83, 82 – 93.
[51] , El desarrollo de la teorıa cantoriana de conjuntos, Del Calculo a lateorıa de conjuntos, 1630-1910. Una introduccion historica (I. Grattan-Guinness,ed.), Alianza, Madrid, 1984, pp. 235 – 282.
[52] P.C.W. Davis, The physics of complex organisation, Theoretical Biology.Epigenetic and Evolutionary Order from Complex Systems (B. Goodwin andP. Saunders, eds.), The Johns Hopkins University Press, 1992.
[53] Theodosius Dobzhansky, El azar y la creatividad en la evolucion, Estudiios sobrela filosofıa de la biologıa (F.J. Ayala and T. Dobzhansky, eds.), Ariel, 1983.
[54] Albert Einstein, Ist die tragheit eines korpers von seinem energieinhaltabhangig?, Annalen der Physik 18 (1905), 639–641.
[55] , Zur elektrodynamik bewegter korper, Annalen der Physik 17 (1905),891–921.
[56] , Sobre la electrodinamica de los cuerpos en movimiento, Cien anos derelatividad. Los artıculos clave de 1905 y 1906 (Antonio Ruız de Elvira, ed.),nivola, Madrid, 2003, pp. 88–139.
[57] Walter M. Elsasser, atomo y organismo. Nuevo enfoque de la BiologıaEvolucionista, Siglo XXI, Mexico, 1969.
[58] C. Emmeche, S. Koppe, and F. Stjernfelt, Explaining Emergence, Journal forGeneral Philosophy of Science 28 (1997), 83–119.
[59] Benjamın Alonso Hernandez et alter, El laser. la luz de nuestro tiempo, Centrode Laseres Pulsados Ultracortos Ultraintensos. Universidad de Salamanca, 2010.
[60] Jesus Navarro Faus, Heisenberg. el principio de incertidumbre, RBA Editores,2012.
[61] Jose L. Fernandez Barbon, Geometrıa no conmutativa y espaciotiempo cuantico.,Investigacion y Ciencia (2005), no. 342, 60–69.
[62] Jose Ferreiros, El nacimiento de la teorıa de conjuntos, Universidad Autonomade Madrid, Madrid, 1993.
[63] Richard Feynman, Superstrings: A Theory of Everything?, Superstrings: ATheory of Everything? (Paul Davis and Julian Brown, eds.), CambridgeUniversity Press, Cambridge, 1988.
[64] Richard P. Feynman, El caracter de la ley fısica, Tusquets, Barcelona, 2000.
[65] Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands, Lectures onPhysics, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts, 1977.
[66] D. Finkelstein and E. Rodrıguez, Quantum time-space and gravity, QuantumConcepts in Space and Time (R. Penrose and C. J. Isham, eds.), OxfordUniversity Press, Oxford, 1986, pp. 247 – 254.
[67] E. Fischbach, H. Kloor, R. A. Langel, A. T. Y. Lui, and M. Peredo, Newgeomagnetic limits on the photon mass and on long-range forces coexisting withelectromagnetism, Phys. Rev. Lett. 73 (1994), 514–517.
[68] George Francis FitzGerald, The ether and the earth’s atmosphere, Science 13(1889), 390.
[69] A.P. Flitney and D. Abbott, A semi-quantum version of the game of Life, eprintarXiv:quant-ph/0208149 (2002), 1 – 6.
[70] P. Forrest, Is Space-time Discrete or Continuous?, Synthese 103 (1995), 327 –354.
[71] A. P. French, Special relativity, W. W. Norton and Company Inc., New York,1968.
[72] Galileo Galilei, Consideraciones y demostraciones matematicas sobre dos nuevasciencias, Editora Nacional, Madrid, 1981.
[73] Galileo Galilei, Dialogo sobre los dos maximos sistemas del mundo ptolemaico ycopernicano, Cırculo de Lectores, Barcelona, 1997.
[74] Alejandro R. Garciadiego Dantan, Bertrand Rusell y los orıgenes de lasparadojas de la teorıa de conjuntos, Alianza, Madrid, 1992.
[81] , Cosmic rays and tests of fundamental principles, Nuclear Physics B -Proceedings Supplements 212-213 (2011), 26–33.
[82] I. Grattan-Guinness, Towards a Biography of Georg Cantor, Annals of Science27 (1971), no. 4, 345 – 391.
[83] Brian Green, El universo elegante, Editorial Crıtica, Barcelona, 2001.
[84] , The Fabric of the Cosmos. Space, Time, and the Texture of Reality,Alfred A. Knopf, New York, 2004.
[85] Michael Hallet, Cantorian set theory and limitation of size, Oxford UniversityPress, 1984.
[86] David Halliday, Robert Resnick, and Jearl Walker, Fundamentals of physics,John Wiley and Sons, 2008.
[87] Friederich Hasenohrl, Zur theorie der strahlung in bewegten korpern, Annalen derPhysik 15, 344-370 (1904), 344–370.
[88] Friedrich Hasenohrl, Zur Theorie der Strahlung in bewegten Korpern.berichtigung, Annalen der Physik 16 (1905), 589–592.
[89] Thomas Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, second ed., vol. I,Dover Publications Inc, New York, 1956.
[90] O. Heaviside, On the electromagnetic effects due to the motion of electrificationthrough a dielectric, Philosophical magazine 5, 27 (1889), 324–339.
[91] Craig J. Hogan, Interferometers as Probes of Planckian Quantum Geometry,Phys.Rev. D85 (2012), 064007.
[92] John H. Holland, Hidden Order, Addison-Wesley, Reading, 1995.
[96] Nick Huggett and Carl Hoefer, Absolute and relational theories of space andmotion, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edward N. Zalta, ed.),Stanford Universtiy, fall 2009 ed., 2009.
[97] H. E. Ives, Derivation of the mass-energy relation, Journal of the Optical Society42 (1952), 540–543.
[98] Alberto Tomas Perez Izquierdo, Max planck: la teorıa cuantica. la revolucion delo muy pequeno, RBA Editores, Barcelona, 2012.
[99] N. Jafari and A. Shariati, Projective interpretation of some doubly specialrelativity theories, Phys. Rev. D 84 (2011), 065038.
[100] Max Jammer, Concepts of mass in classical and modern physics, HarvardUniversity Press, Cambridge, MA, 1961.
[101] , Concepts of Space: The History of Theories of Space In Physics, DoverPubllcations Inc, New York, 1993.
[102] , Concepts of mass in contemporary physics and philosophy, PrincetonUniversity Press, Princeton, New Jersey, 2000.
[103] S. A. Kauffman, Anticaos y adaptacion, Investigacion y Ciencia (ScientifcAmerican) (1992), no. 184, 46 – 53.
[104] , The Origins of Order, Oxford University Press, New York, 1993.
[105] Stuart Kaufman, At home in the universe. The search for the laws ofself-organization and complexity, Oxford University Press, New York, 1996.
[106] Alan Kostelecky, The search for relativity violations, Scientific American (2004),93–101.
[107] H. Kragh and B. Carazza, From Time Atoms to Space-time Quantization: theIdea of Discrete Time, ca 1925-1936, Studies in the History and the Philosphy ofScience 25 (1994), 437 – 462.
[108] Robert Laughlin, Un universo diferente. La reinvencion de la fısica en la edad dela emergencia, Katz, Buenos Aires, 2007.
[109] Shaughan Lavine, Understanding the Infinite, Harvard University Press,Cambridge MA, 1998.
[110] Marc Lchieze-Rey, L’ infini. De la philosophie a l’astrophysique, Hatier, Paris,1999.
[111] Antonio Leon, Living beings as informed systems: towards a physical theory ofinformation, Journal of Biological Systems 4 (1996), no. 4, 565 – 584.
[112] , Infinity at stake, Printed by Bubok Publishing, Madrid, 2013.
[113] C.H. Lineweaver, L. Tenorio, G.F. Smoot, P. Keegstra, A.J. Banday, andP. Lubin, The dipole observed in the cobe dmr 4 year data, apj 470 (1996), 38.
[114] H. A. Lorentz, Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocitysmaller than that of light, Proceeding of the Royal Netherlands Academy ofSciences and Arts 6 (1904), 809–831.
[115] Hendrik Antoon Lorentz, De relatieve beweging van de aarde en den aether,Zittingsverlag Akad. V. Wet. (1892), 74–79.
[116] John Losee, Introduccion historica a la filosofıa de la ciencia, Alianza, Madrid,1987.
[117] Seth Loyd and Y. Jack Ng, Computacion en agujeros negros, Investigacion yCiencia (Scientifc American) (2005), no. 340, 59 – 67.
[118] Jean Pierre Lumient and Marc Lachieze-Rey, La physique et l’infini,Flammarion, Paris, 1994.
[119] Charles Lyell, Principles of geology, Penguin Books, 1997.
[120] Joao Magueijo and Lee Smolin, Generalized lorentz invariance with an invariantenergy scale, Phys. Rev. D 67 (2003), 044017.
[121] Joao Magueijo, Faster than the speed of light, Arrow Books, Londo, 2004.
[122] Shahn Majid, Quantum space time and physical reality, On Space and Time(Shahn Majid, ed.), Cambridge University Press, New York, 2008.
[123] Eli Maor, To Infinity and Beyond. A Cultural History of the Infinite, PincetonUniversity Press, Princeton, New Jersey, 1991.
[124] S. Marinov, The interrupted rotating disc experiment, Journal of Physics A:Mathematical and General 16 (1983), no. 9, 1885.
[125] Tim Maudlin, Quantum non-locality and relativity, Wiley-Blackwell, 2011.
[126] James Clerk Maxwell, Materia y movimiento, Crıtica, Barcelona, 2006.
[127] Ernst Mayr, This is Biology. The Science of Living World, Harvard UniversityPress, Cambridge, 1998.
[128] J. E. McTaggart, The unreality of time, Mind 17 (1908), 457 – 474.
[129] A. Meessen, Is it logically possible to generalize physics through space-timequantization?, Philosophie der Naturwissenschaften. Akten des 13Internationalen Wittgenstein Symposium (P. Weingartner and G. Schurz, eds.),Holder-Pichler-Tempsky, Vienna, 1989, pp. 19 – 47.
[130] N. David Mermin, It’s about time. understanding einstein’s relativty, PrincetonUniversity Press, Princetona and Oxford, 2009.
[131] H. Muller, P.L. Stanwix, M.E. Tobar, E. Ivanov, P. Wolf, S. Herrmann,A. Senger, E. Kovalchuk, and A. Peters, Tests of relativity by complementaryrotating michelson-morley experiments, Physical Review Letters 99 (2007), no. 5,050401.
[132] J. W. Moffat, Superluminary universe:. a possible solution to the initial valueproblem in cosmology, International Journal of Modern Physics D 2 (1993),351–365.
[133] J. Monod, Le Hazard et la Necessite, Ed. Du Deuil, Paris, 1970.
[134] Andreas W. Moore, Breve historia del infinito, Investigacion y Ciencia (ScientifcAmerican) (1995), no. 225, 54 – 59.
[135] , The Infinite, Routledge, New York, 2001.
[136] Richard Morris, Achilles in the Quantum Universe, Henry Holt and Company,New York, 1997.
[145] Javier Ordonez, Victor Navarro, and Jose Manuel Sanchez Ron, Historia de laCiencia, Espasa Calpe, Madrid, 2004.
[146] H. H. Pattee, El problema de la jerarquıa biologica, Hacia una Biologıa Teorica(C. H. Waddington, ed.), Alianza, Madrid, 1970.
[147] , Las bases fısicas de la codificacion y fidelidad en la evolucion biologica,Hacia una Biologıa Teorica (C. H. Waddington, ed.), Alianza, Madrid, 1979,pp. 81–114.
[148] , Evolving self-reference: matter, symbols and semantic closure,Comunication and Cognition 12 (1995), 9–27.
[149] , The Problem of Observables in Models of Biological Organizations,Evolution, Order and Complexity (E. L. Khalil and E. Boulding, eds.),Routledge, London, 1996.
[150] Roger Penrose, Why new physics is needed to understand the minds, What isLife? The Next Fifty Years (Michael P. Murphy and Luke A.J. O’Neill, eds.),Cambirdge University Press, 1997.
[151] J.-P. Petit, An interpretation of cosmological model with variable light velocity,Modern Physics Letters A 3 (1988), 1527–1532.
[152] Clifford A. Pickover, Keys to Infinity, Wiley, New York, 1995.
[153] Igor Pikovski, Michael R. Vanner, Markus Aspelmeyer, M. S. Kim, and CaslavBrukner, Probing planck-scale physics with quantum optics, Nature Physics 8(2012), 393–397.
[154] Max Planck, Uber irreversible strahlungsvorgange, Sitzungsberichte der KoniglichPreußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 5 (1899), 440–480.
[155] , Zur theorie des gesetzes der energieverteilung im normalspektrum,Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2 (1900), 237–243.
[156] , Das prinzip der relativitat un die grundgleichungen der mechanik,Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 4 (1906), 136–141.
[157] , Zur Dynamik bewegter Systeme, Sitzungsberichte derKoniglich-Preussischen Akademie der Wissenschaften 29 (1907), 542–570.
[158] , Where is science going?, Norton, New York, 1932.
[159] Henri Poincare, The theory of Lorentz and the principle of reaction, Archivesneerlandaises des Sciences exactes et naturelles 5 (1900), 252–278.
[160] , L’etat actuel et l’avenir de la physique mathematique, Bulletin desSciences Mathematiques 28, 2 serie (1904), 302–324.
[161] M. Polanyi, Life’s Irreducible Structure, Science 160 (1968), 1308.
[162] Jon Perez Laraudogoitia, Supertasks, The Stanford Encyclopaedia of Philosophy(E. N. Zaltax, ed.), Standford University, URL = http://plato.stanford.edu, 2001.
[163] Penrose R., The apparent shape of a relativistic moving sphere, Proceeding of theCambridge Philosophical Society 55 (1959), 137–139.
[164] Martin Rees, Just Six Numbers. The deep forces that shape the universe,Phoenix. Orion Books Ltd., London, 2000.
[165] Jose Manuel Sanchez Ron, Historia de la fısica cuantica. i. el perıodo fundacional(1860-1926), Editorial Crıtica, 2001.
[166] Brian Rotman, The Ghost in Turing Machine, Stanford University Press,Stanford, 1993.
[167] Carlo Rovelli, Quantum spacetime: What do we know?, Physics meets Philosophyat the Plank scale (Craig Callender and Nick Huggett, eds.), CambridgeUniversity Press, Cambridge, 2001, pp. 101 – 122.
[168] Rudy Rucker, Infinity and the Mind, Princeton University Press, Princeton, 1995.
[169] Steven Savitt, Being and Becoming in Modern Physics, The StanfordEncyclopedia of Philosophy (Edward N. Zalta, ed.), The Stanford Encyclopediaof Philosophy, 2008.
[170] E. Schrodinger, What is Life, Cambridge University Press, 1967.
[171] Jan Sebestik, La paradoxe de la reflexivitedes ensembles infinis: Leibniz,Goldbach, Bolzano., Infini des mathematiciens, infini des philosophes (Fran coiseMonnoyeur, ed.), Belin, Paris, 1992, pp. 175–191.
[172] Lee Smolin, Three roads to quantum gravity. A new understanding of space, timeand the universe, Phoenix, London, 2003.
[173] Lee Smolin, Atomos del espacio y del tiempo, Investigacion y Ciencia (ScientifcAmerican) (2004), no. 330, 58 – 67.
[174] , The trouble with physics, Allen Lane. Penguin Books, London, 2007.
[175] G. F. Smoot, M. V. Gorenstein, and R. A. Muller, Detection of anisotropy in thecosmic blackbody radiation, Phys. Rev. Lett. 39 (1977), 898–901.
[176] Georg J. Stoney, On the physical units of nature, Philosophical Magazine 11(1881), 381–391.
[177] Steven Strogatz, Sync. the emerging science of spontaneous order, PenguinBooks, London, 2004.
[178] Daniel F. Styer, Relativity for the questioning mind,http://www.oberlin.edu/physics/dstyer, 2009.
[179] Leonard Susskind, Los agujeros negros y la paradoja de la informacion,Investigacion y Ciencia (Scientifc American) (1997), no. 249, 12 – 18.
[180] Rene Taton, Historia General de las Ciencias, vol. 4 y 5, Orbis, Barcelona, 1988.
[181] Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler, Spacetime physics. introduction tospecial relativity, W. H. Freeman and Company, New York, 1997.
[182] James Terrell, Invisibility of the lorentz contraction, Physical Review 116 (1959),1041–1045.
[183] J. J. Thomson, On the electric and magnetic effects produced by the motion ofelectrified bodies, Philosophical magazine 5, 11 (1881), 229–249.
[184] David Toring, The unquantum quantum, Scientific American December (2012),46–49.
[185] Jean Paul Van Bendegem, Finitism in geometry, The Stanford Encyclopedia ofPhilosophy (Edward N. Zalta, ed.), Stanford University, spring 2010 ed., 2010.
[186] Gabriele Veneziano, El universo antes de la Gran Explosion, Investigacion yCiencia (Scientifc American) (2004), no. 334, 58 – 67.
[187] J. von Neumann, Theory of self-reproducing automata, University of IllinoisPress, Champaign, IL, 1966.
[188] David Foster Wallace, Everything and more. Acompact history of infinity, OrionBooks Ltd., London, 2005.
[189] Eric W. Weistein, Superfactorial, Eric Weisstein World of Mathematics, WolframResearch Inc., http://mathworld.wolfram.com, 2009.
[190] F. Wilczek, Fundamental Constants, ArXiv e-prints (2007), 1 – 20.
[191] Frank Wilczek, The lightness of being. big questions, real answers., Allen Lane.Penguin Books., 2009.
[192] S. Wolfram, A New Kind of Science, Wolfram Media Inc, Champaign IL, 2002.
[193] Philip Yam, Exploiting zero-point energy, Scientific American (1997), 82–85.
[194] Paolo Zellini, Breve storia dell’infinito, Adelphi Edicioni, Milano, 1980.