CONTOH-CONTOH TEKNIK PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA TUGAS 2 Disusun sebagai Tugas Kelompok Mata Kuliah Filsafat dan Sejarah Matematika Oleh: K A D I R 0706197 (S3) SYARIFAH FADILLAH A. 0706877 (S3) YONANDI 0707196 (S3) YANRY BUDIANINGSIH 0705740 (S2) JAPAR SIDIK 0706357 (S2) A M R I 0706412 (S2) PROGRAM STUDI S2 DAN S3 PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH PASCASARJANA UPI BANDUNG JANUARI 2008
26
Embed
CONTOH-CONTOH TEKNIK PEMBUKTIAN DALAM · PDF filemenggunakan logika, bukan bukti yang empiris. ... namun memiliki bukti-bukti empiris dalam bentuk kasus-kasus dan contoh, dinamakan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CONTOH-CONTOH TEKNIK PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
TUGAS 2
Disusun sebagai Tugas Kelompok Mata Kuliah Filsafat dan Sejarah Matematika
Oleh:
K A D I R 0706197 (S3) SYARIFAH FADILLAH A. 0706877 (S3) YONANDI 0707196 (S3) YANRY BUDIANINGSIH 0705740 (S2) JAPAR SIDIK 0706357 (S2) A M R I 0706412 (S2)
PROGRAM STUDI S2 DAN S3 PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH PASCASARJANA UPI BANDUNG
JANUARI 2008
1
A. BUKTI MATEMATIKA
Salah satu ciri khas ilmu matematika adalah bukti matematika dan
pembuktian matematis. Filsafat matematika berurusan dengan peran
bahasa dan logika matematika dalam pembuktian, dan dengan ilmu
matematika yang dapat dipandang sebagai suatu bahasa. Bukti dan
pembuktian dalam matematika menggunakan logika matematika namun
tidak dapat lepas dari penggunaan bahasa sehari-hari yang biasanya
mengandung kekaburan makna.
Suatu bukti atau pembuktian adalah suatu cara untuk memastikan
kebenaran suatu pernyataan. Suatu bukti matematika adalah suatu hasil
upaya untuk menunjukkan bahwa, dengan bertumpu pada aksioma-
aksioma tertentu dan dengan aturan-aturan logika matematika, suatu
pernyataan adalah benar. Bukti matematika adalah argumen yang
menggunakan logika, bukan bukti yang empiris.
Suatu bukti matematika adalah suatu urutan berantai penarikan
kesimpulan yang didasarkan pada suatu kumpulan aksioma dan sejumlah
teorema yang sudah dibuktikan, tunduk kepada aturan-aturan logika
matematika, dan berakhir dengan pernyataan yang akan dibuktikan.
Pernyataan [matematika] adalah suatu kalimat matematika yang
memiliki nilai kebenaran Benar atau Salah. (Kalimat itu strukturnya
adalah kalimat berita.)
Aksioma adalah pernyataan yang tidak dapat atau tidak perlu
dibuktikan. Dalam banyak cabang matematika sistem aksioma yang
dipakai sebagai dasar pembuktian adalah sistem aksioma ZFC, yaitu
sistem aksioma untuk teori himpunan Zermelo-Fraenkel yang ditambah
dengan Aksioma Pemilihan (Axiom of Choice). Pendekatan aksioma-dan-
bukti, yang dimulai oleh Euclides, sekarang disebut metode aksiomatik.
2
Sekumpulan aksioma disebut lengkap jika ia dapat digunakan
untuk membuktikan kebenaran atau ketakbenaran tiap pernyataan.
Sekumpulan aksioma disebut konsisten jika tidak ada pernyataan yang
dapat dibuktikan benar dan sekaligus salah.
Suatu pernyataan yang belum dapat dibuktikan secara matematis
namun memiliki bukti-bukti empiris dalam bentuk kasus-kasus dan
contoh, dinamakan konjektur.
Pernyataan yang memiliki bukti matematis, artinya telah
dibuktikan benar dengan berdasarkan aksioma-aksioma saja dan teorema-
teorema lain yang memenuhi aturan logika matematika, disebut teorema.
Jika suatu pernyataan adalah suatu teorema, maka ia berlaku umum dan
dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan-
pernyataan lain.
Suatu lema adalah pernyataan pendahuluan yang memiliki bukti
(disebut juga "teorema kecil") dan berguna untuk membuktikan
pernyataan baru.
Suatu teorema akibat (corrolary) adalah suatu teorema yang dapat
diturunkan dari suatu teorema dalam beberapa langkah saja.
Aturan penarikan kesimpulan (inference rules), atau deduksi logika
matematika, adalah aturan yang meramu aksioma dan pernyataan yang
benar untuk membentuk lebih banyak pernyataan yang benar.
B. BEBERAPA MACAM BUKTI MATEMATIKA
Pernyataan-pernyataan matematika dapat dibuktikan dengan:
1. Pembuktian langsung;
2. Pembuktian dengan induksi matematika;
3. Pembuktian dengan transposisi atau pembuktian dengan
kontrapositif;
4. Pembuktian dengan kontradiksi atau reductio ad absordum;
3
5. Pembuktian dengan konstruksi atau pembuktian dengan contoh;
6. Pembuktian dengan exhaustion;
7. Pembuktian probabilistik;
8. Pembuktian kombinatorik;
9. Pembuktian nonkonstruktif;
10. Bukti atau bukan-bukti;
11. Pembuktian sederhana.
Selain kesebelas bukti di atas, dalam matematika juga dikenal
beberapa bukti lain, yaitu:
12. Pembuktian dengan contoh penyangkal (Counter example);
13. Pembuktian terdefinisi dengan baik (well defined);
14. Pembuktian Pigeon Hole;
15. Pembuktian jika dan hanya jika / biimplikasi (if and only if); dan
16. Pembuktian Unwinding definition.
C. CONTOH-CONTOH METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA
Contoh-contoh semua metode pembuktian pernyataan matematika
di atas disajikan sebagai berikut.
1. Pembuktian langsung
Dalam pembuktian langsung, kesimpulan dapat dicapai dengan
mengkombinasi pernyataan yang akan dibuktikan, dengan logika
matematika, aksioma-aksioma, definisi, dan teorema-teorema yang sudah
ada.
Contoh:
Teorema: Jika a membagi b dan b membagi c, maka a membagi c
Bukti:
Berdasarkan definisi keterbagian, maka ada bilangan asli k1 dan k2
sedemikian sehingga b = a k1 dan c = b k2. Karena c = b k2 dan b = a k1,
maka c = a k1 k2.
4
Misalkan k = k1 k2; maka k adalah bilangan asli dan c = a k, sehingga
dengan definisi keterbagian disimpulkan a membagi c. ����
2. Pembuktian dengan Induksi Matematika
Pembuktian dengan cara ini menggunakan himpunan bilangan
bulat positif, untuk pembuktian kasus dasar, kemudian menerapkan
aturan induksi untuk kasus-kasus yang berikutnya, acapkali untuk tak
berhingga banyaknya kasus.
Himpunan bilangan bulat positif adalah Z+ = {1, 2, 3, ...}.
Ditetapkan bahwa P(n) adalah pernyataan matematika yang menyangkut
bilangan bulat positif n. Harus dipastikan bahwa:
i. P(1) adalah benar, artinya P(n) benar untuk n = 1;
ii. Jika diandaikan P(m) adalah benar untuk bilangan m ∈ Z+ maka
harus diperoleh bahwa P(m + 1) adalah benar. (Bilangan m + 1
adalah pemberikut dari m.)
Jika kedua syarat itu sudah dipenuhi maka disimpulkan pernyataan P(n)
adalah benar, atau berlaku, untuk semua bilangan bulat positif.
Contoh:
Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah
bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Bukti:
(i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif
pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan
ganjil positif pertama adalah 1.
(ii) Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
adalah benar (hipotesis induksi) [catat bahwa bilangan ganjil positif
ke-n adalah 2n – 1]. Akan ditunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2
5
juga benar. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)
= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)
= n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2.
Terbukti bahwa juga berlaku untuk n+1.
Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan
benar, maka terbukti bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif
pertama adalah n2. ����
3. Pembuktian dengan transposisi
Cara pembuktian ini juga dinamakan pembuktian dengan
kontrapositif. Pembuktian ini memastikan bahwa pernyataan "Jika P,
maka Q" adalah benar dengan menunjukkan kebenaran pernyataan
kontrapositifnya, yaitu pernyataan "Jika Q tidak benar, maka P tidak
benar". Dalam lambang-lambang, ditulis ¬ Q ⇒ ¬ P eq P ⇒ Q.
Contoh:
Teorema
Jika x dan y adalah dua bilangan bulat di mana x + y genap, maka x dan y
memiliki parity yang sama.
Sebelum membuktikan teorema tersebut terlebih dahulu dikemukakan
definisi bilangan bulat ganjil, bilangan bulat genap, dan parity.
Definisi:
1. Bilangan bulat x disebut genap (atau ganjil) jika ada bilangan bulat
k lain sehingga x = 2k (atau 2k + 1).
2. Dua bilangan bulat dikatakan mempunyai parity-nya sama jika
kedua-duanya genap atau kedua-duanya ganjil
Bukti Teorema:
6
Kontrapositif dari teorema tersebut adalah: ”Jika x dan y adalah dua
bilangan bulat yang memiliki parity yang berbeda, maka x + y ganjil”.
Misalkan x dan y memiliki parity yang berbeda. Karena salah satu
bilangan bulat tersebut genap dan yang lainnya ganjil, maka dengan tidak
mengurangi keumuman, misalkan x genap dan y ganjil. Jadi terdapat
bilangan bulat k dan m sedemikian sehingga x = 2k dan y = 2m+1. Jika x
dan y dijumlahkan, maka akan diperoleh
x + y = (2k) + (2m + 1) = 2(k+m) + 1
yang menurut definisi merupakan bilangan bulat ganjil. ����
4. Pembuktian dengan kontradiksi
Pembuktian dengan cara ini dinamakan juga pembuktian reductio
ad absordum (reduksi sehingga absurd). Suatu pernyataan ingin dibuktikan
benar. Jika diandaikan bahwa pernyataan itu tidak benar sehingga akan
pasti memunculkan kontradiksi, maka disimpulkan bahwa pernyataan
yang akan dibuktikan adalah benar. Contoh pembuktian dengan cara ini
adalah pembuktian bahwa 2 adalah bilangan irasional, akar bilangan
irasional adalah bilangan irasional juga, dan bahwa tidak ada bilangan
prima terbesar atau bilangan prima tidak berhingga.
Contoh:
Teorema : Terdapat tak berhingga banyak bilangan prima.
Bukti:
Asumsikan bilangan prima itu berhingga dan misalkan bilangan-bilangan
prima itu adalah p1, p2, ..., pn. Misalkan bilangan q = p1p2... pn + 1
Maka q adalah prima atau komposit. Jika q dibagi oleh sebarang bilangan
prima pi, maka hasilnya akan selalu bersisa 1 untuk setiap i = 1, 2, ..., n.
Jadi, q bukan komposit. Oleh karena itu disimpulkan bahwa q adalah
bilangan prima yang berbeda dengan bilangan prima p1, p2, ..., pn. Hal
7
ini kontradiksi dengan asumsi bahwa semua bilangan prima tersebut
adalah p1, p2 ..., pn. ����
5. Pembuktian dengan konstruksi
Cara pembuktian dengan konstruksi juga dinamakan pembuktian
dengan contoh. Pembuktian ini membangun suatu contoh kongkrit yang
memiliki sifat khusus untuk menunjukkan bahwa ada sesuatu yang lain
yang memiliki sifat itu. Pembuktian ini menetapkan bahwa suatu objek
tertentu itu ada dengan memberikan cara-cara menemukannya.
Contoh:
Teorema:
Terdapat bilangan rasional antara akar kuadrat dari 10100 dan akar
kuadrat dari 10100 + 1
Bukti:
Akar kuadrat dari 10100 adalah 1050. Dengan cara coba-coba, misalkan x =
10 50 + 10 -51, yang jelas merupakan bilangan rasional yang lebih besar dari
akar kuadrat dari 10100. Untuk membuktikan x lebih kecil dari akar
kuadrat dari 10100+1, kita hitung
x2 = (1050 + 10-51)2 = 10100 + (2) 10-1 + 10-102
yang jelas lebih kecil dari 10100+1. ����
6. Pembuktian dengan exhaustion
Dalam pembuktian dengan cara ini, kesimpulan pernyataan
dipastikan atau ditetapkan dengan membagi-baginya menjadi sejumlah
berhingga kasus dan tiap kasus dibuktikan kebenarannya. Seringkali
banyaknya kasus adalah besar sekali. Untuk pembuktian yang pertama
Masalah Empat Wama, pembuktian dengan cara exhaustion ini
menggunakan 1936 buah kasus dan tiap kasus harus dibuktikan
tersendiri. Pembuktian ini dipandang kontroversial karena sebagian besar
8
dari kasus itu dikerjakan dengan menggunakan komputer, bukan dengan
tangan. Pembuktian mutakhir masalah ini sekarang masih menggunakan
600 kasus.
Contoh:
Teorema:
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n7 - n dapat dibagi oleh 7.
Bukti:
Pertama faktorkan n7 – n sebagai berikut:
n7 - n = n(n6 - 1) = n(n3 - 1)(n3 + 1) = n(n - 1) (n2 + n + 1) (n + 1)(n2 - n + 1).
Terdapat 7 kasus yang harus dipertimbangkan, bergantung pada n = 7q+r
di mana r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Kasus 1: n = 7q.
Maka n7 – n memiliki n faktor yang dapat dibagi oleh 7.
Kasus 2: n = 7q + 1.
Maka n7 - n memiliki n - 1 = 7q faktor yang dapat dibagi oleh 7.
Satu dari banyak pertanyaan yang sering dikeluhkan siswa dalam
pembuktian adalah “Bagaimana memulainya?”. Jawabannya sederhana,
yaitu: uraikan definisi. Pertama, perhatikan apa yang ditanyakan dalam
pembuktian. Apakah semua sudah melibatkan yang sudah didefinisikan
(dalam kuliah atau dalam teks atau dalam masalahnya)? Tulis definisinya.
Apa yang diasumsikan? Apakah melibatkan definisi? Jika ya, tulis
kembali. Kadang-kadang teorema sesuai dengan permasalahannya. Jika
ya, tuliskan. Jangan takut melakukan sesuatu yang diketahui untuk
mencoba membuktikannya.
Contoh: Faktor persekutuan terbesar (FPB)
FPB dari dua bilangan bulat positif dan adalah bilangan gcd
yang memenuhi dua sifat: (1) habis membagi dan , (2) jika adalah
bilangan bulat positif lain yang habis membagi dan , maka .
Dengan kata lain gcd seperti operasi biner.
Teorema
Operasi biner gcd adalah asosiatif, yaitu untuk bilangan bulat positif
dan
gcd(gcd( ), ) = gcd( ,gcd( ))
Uraian Strategi
Apa yang harus dibuktikan? Dua gcd adalah sama. Dari mana memulai?
Misalkan adalah gcd nya, gcd(gcd( ), ). Apa artinya? Hal itu
berarti (1) habis membagi gcd( ) dan , (2) Jika adalah bilangan
bulat positif lain yang habis membagi gcd( ) dan maka . Harus
20
dibuktikan = gcd( ,gcd( )). Apa artinya? Harus membuktikan dua hal
(1) habis membagi dan gcd , (2) Jika adalah bilangan bulat
positif lain yang habis membagi dan gcd maka .
(1) membagi gcd( ), harus membagi . Diketahui membagi ,
jadi harus membagi gcd .
(2) Sekarang misalkan membagi dan gcd . Maka,
membagi dan , jadi membagi gcd( ) juga. Tetapi kemudian
asumsinya . Dan ini semua memerlukan pembuktian.
Bukti Teorema
Misalkan Maka membagi dan , dan akibatnya
membagi dan gcd( ). Jika membagi dan gcd( ), maka harus
membagi gcd( ) dan , dan akibatnya . Jadi gcd( , gcd( )).����
21
Catatan
Acapkali di akhir penulisan pembuktian, ada tulisan "QED". Ini artinya
adalah Quod Erat Demonstrandum, yaitu bahasa Latin untuk "yaitu yang
diminta untuk dibuktikan". Sering juga tulisan QED itu diganti dengan
halmos atau nisan, lambang kecil persegi panjang tegak, � atau kotak kecil
kosong ���� , yang menandai berakhirnya pembuktian.
22
Daftar Pustaka
Albert R. Meyer (2007). Course Notes, Week 1, 6.042J/18.062], Spring '07:
Albert R. Meyer, Radhika Nagpal (2002). Course Notes 1, 6.042J/18.062J, Fall '02: Mathematics for Computer Science. Massachusetts Institute of Technology.
Math Forum Ask Dr_ Math FAQ False Proofs and Classic Fallacies. http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.false.proof.html. Online. Diakses 28 Nopember 2007.
Mathematics for Computer Science. Revised March 22, 2007, Massachusetts Institute of Technology.
Proofs in Mathematics. http://www.cut-the-knot.org/proofs/index.shtml. Online. Diakses 28 Nopember 2007
Proofs Without Words. http://www.cut-the-knot.org/ctk/pww.shtml. Online. Diakses 28 Nopember 2007.