CONTINUIDADE E IMITES INFINITOS - Unesp€¦ · •Limites Infinitos Definição Assíntotas: horizontal e vertical Limites Fundamentais •No cotidiano, para descrever um fato que

MATEMÁTICA I

CONTINUIDADE E LIMITES

INFINITOS

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

[email protected]

Parte 1

•Continuidade de Funções

Definição

Tipos de Descontinuidade

Propriedades

Parte 2

•Limites Infinitos

Definição

Assíntotas: horizontal e vertical

Limites Fundamentais

• No cotidiano, para descrever um fato que ocorre

ou ocorreu sem interrupção, geralmente, usamos

o termo Contínuo.

o Ex.: medicamento de uso contínuo.

• Na matemática, usamos a expressão Contínua

para funções e neste caso a noção é um pouco

diferente da usada no cotidiano.

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

Uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é dita contínua num ponto

𝑎 se, e somente se, satisfaz às três condições

simultaneamente:

• Se uma função não satisfaz todas as condições

acima no ponto 𝑎, a função é dita descontínua

(no ponto 𝑎) e 𝑎 é um ponto de descontinuidade

da função.

∃ lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥∃𝑓 𝑎 lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

Intuitivamente, dizemos que uma função é

descontínua num ponto 𝑎 se o seu gráfico tiver

“salto, degrau ou ruptura” ao passar pelo ponto

(𝑎 , 𝑓(𝑎)).

Essa função não é contínua,

pois ∄𝑓 𝑎

Essa função não é contí-

nua, pois ∄ lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

TIPOS DE DESCONTINUIDADE

a) Descontinuidade removível: as descontinuidades

são criadas a partir da remoção de 𝑓(𝑎).

b) Salto: o gráfico “salta” ao

passar a.

c) Descontinuidade

infinita: quando

𝑥 → 𝑎 ⇒ 𝑓 𝑥 → ∞

Se f e g são funções contínuas em a, então:

i) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎.

ii) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎.

iii) (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎.

iv)𝑓

𝑔(𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), 𝑔(𝑎) ≠ 0, é contínua em 𝑎.

PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS

Observação 1: as afirmações são verdadeiras:

• A função potência 𝑦 = 𝑥𝑛 é contínua ∀𝑥 ∈ ℕ.

• A função polinomial 𝑃𝑛 𝑥 é contínua ∀𝑥 ∈ ℝ.

• A função 𝑦 = 𝑏 𝑥

é contínua: ቊ∀𝑥 ∈ ℝ, se 𝑏 é ímpar

𝑥 > 0, se 𝑏 é par

PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS

Observação 1 (continuação): As afirmações são

verdadeiras:

• As funções seno, cosseno são contínuas ∀𝑥 ∈ ℝ.

• A função Exponencial é contínua ∀𝑥 ∈ ℝ.

• A função Logarítmica é contínua quando 𝑥 > 0.

• A função Racional (na forma irredutível!) é

contínua em ℝ − {𝑥0} , onde xo é o conjunto das

raízes do denominador.

PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS

Observação 2: Para calcular o limite das funções

elementares contínuas, quando x tende ao ponto 𝑎,

basta substituir 𝒙 por 𝒂 na expressão 𝒇(𝒙),

respeitando 𝐷𝑓.

PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS

EXERCÍCIO

Considere a função:

𝑓 𝑥 =

𝑥2 − 1, −1 < 𝑥 < 02𝑥, 0 < 𝑥 < 13,

−𝑥 + 3,1,

𝑥 = 11 < 𝑥 < 22 < 𝑥 ≤ 3

a) Faça o esboço do gráfico da função.

b) Determine o domínio e a imagem de f(x)?

c) Estude os pontos de descontinuidade da função.

d) Qual o novo valor de 𝑦 para remover a descontinuidade em 1?

b) Qual o novo valor de 𝑦 para remover a descontinuidade em 2?

Parte 1

•Continuidade de Funções

Definição

Tipos de Descontinuidade

Propriedades

Parte 2

•Limites Infinitos

Definição

Assíntotas: horizontal e vertical

Limites Fundamentais

Considere as funções com comportamento

ilimitado quando 𝑥 tende a 𝑎.

• Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função definida por: 𝑦 =3

𝑥−2 2

descontínua em 𝑥 = 2. Qual o comportamento de

𝑦 = 𝑓(𝑥) na vizinhança de 2?

LIMITES INFINITOS

2 𝑥

𝑦

Para 𝑓(𝑥) =3

𝑥−2 2 temos que

lim𝑥→2+

𝑓 𝑥 = ∞

pois

Analogamente, lim𝑥→2−

𝑓 𝑥 = ∞, pois

LIMITES INFINITOS

𝑥 3 2,5 2,33 2,25 2,1 2,01 2,001

𝑦 3 12 27 48 300 30.000 3.000.000

𝑥 1 1,5 1,66 1,75 1,9 1,99 1,999

𝑦 3 12 27 48 300 30.000 3.000.000

Se o limite de uma função cresce (ou decresce)

ilimitadamente, quando 𝑥 se aproxima de um

valor 𝑎, dizemos que o limite é infinito (ou menos

infinito).

• Notação:

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = ∞ ou lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = −∞.

• Assim, temos uma descontinuidade infinita.

DEFINIÇÃO DE LIMITES INFINITOS

ASSÍNTOTA VERTICAL

A reta vertical 𝑥 = 𝑎 é chamada assíntota

vertical do gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), se 𝑦 →

±∞ quando 𝑥 → 𝑎− ou 𝑥 → 𝑎+ .

𝑦 𝑦

𝑥 𝑥

𝑦 𝑦

𝑥 𝑥

𝒂 𝒂

𝒂 𝒂

• Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função definida por 𝑦 =2𝑥2

𝑥2+1

𝑦

𝑥

Note que, neste caso, temos uma assíntota

horizontal em 𝑦 = 2, assim:

lim𝑛→−∞

2𝑥

𝑥2 + 1= 2

LIMITES INFINITOS

ASSÍNTOTA HORIZONTAL

A reta horizontal 𝑦 = 𝐿 é chamada assíntota

horizontal do gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), se

𝑦 → 𝐿 quando 𝑥 → ∞ ou 𝑥 → −∞.

𝑳 𝑳

𝑳 𝑳

LIMITES INFINITOS

Seja 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

• Se 𝑦 → 0 , quando 𝑥 → 𝑎, então:

lim𝑥→𝑎

1

𝑓 𝑥= ±∞.

• Exemplo. Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥 e 𝑎 = 0 com 𝑥 ∈ ℝ+

lim𝑥→0+

𝑥 = 𝑓 0 = 0

Assim,

lim𝑥→0+

1

𝑓 𝑥= lim

𝑥→0+

1

𝑥= ∞

LIMITES INFINITOS

Seja 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

• Se 𝑦 → 0 , quando 𝑥 → 𝑎, então:

lim𝑥→𝑎

1

𝑓 𝑥= ±∞.

• Se 𝑛 ∈ ℕ∗, então:

i) lim𝑥→0+

1

𝑥𝑛= ∞

ii) lim𝑥→0−

1

𝑥𝑛= ቊ

∞ para 𝑛 par−∞ para 𝑛 ímpar

LIMITES INFINITOS

São considerados limites infinitos no infinito

qualquer um dos 4 casos:

• 𝑦 → ∞ quando 𝑥 → ∞

• 𝑦 → ∞ quando 𝑥 → −∞

• 𝑦 → −∞ quando 𝑥 → −∞

• 𝑦 → −∞ quando 𝑥 → ∞

LIMITES INFINITOS

Teorema.

• Se 𝑛 ∈ ℕ∗, então:

lim𝑥→±∞

𝑘

𝑥𝑛= 0, 𝑘 ∈ ℝ.

• Se 𝑛 ∈ ℕ∗, então:

i) lim𝑥→∞

𝑥𝑛 =∞

ii) lim𝑥→−∞

𝑥𝑛 = ቊ∞ para 𝑛 par−∞ para 𝑛 ímpar

LIMITES FUNDAMENTAIS

LF1. lim𝑥→0

sen 𝑥

𝑥= 1

LF2. lim𝑥→±∞

1 +𝑘

𝑥

𝑥= 𝑒𝑘

• se 𝑘 = 1, lim𝑥→±∞

1 +1

𝑥

𝑥= 𝑒

LF3. lim𝑥→0

𝑎𝑥−1

𝑥= ln 𝑎

• se 𝑎 = 𝑒, lim𝑥→0

𝑒𝑥−1

𝑥= 1

𝑥

𝑦

LISTA DE EXERCÍCIOS