Contato Entre Curvas Antonio Carlos Nogueira, Cirilo Gon¸ calves Junior , Faculdade de Matem´ atica, UFU, 38400 - 902, Uberlˆ andia, MG E-mail: [email protected], [email protected]. Palavras-chave: contato com retas, contato com circulos, vertices Resumo: Na teoria do contato, estuda-se os parˆ ametros, em que uma curva z toca em outra curva. Com isso busca-se obter informa¸ c˜ oes sobre o comportamento da curva. Neste trabalho estudaremos contato com retas e com c´ ırculos. 1 Contato com Retas Seja z : I -→ 2 uma curva diferenci´ avel, e u ∈ 2 um vetor unit´ ario, e seja L u a reta de equa¸ c˜ ao {z - z(t 0 )}• u = 0 onde t 0 ∈ I . Seja γ : I -→ 2 a fun¸ c˜ ao diferenci´ avel dada por γ (t)= {z(t) - z(t 0 )}• u. γ ´ e chamada de aplica¸ c˜ ao contato da curva z com a reta L u . Defini¸ c˜ ao: Diz-se que a curva z, tem contato de ordem k em t 0 com a reta L u , quando γ tem um zero de multiplicidade k em t 0 . Conclui-se que o contato ´ e invariante por parametriza¸ c˜ oes equivalentes, e por isometrias. E chega-se que a reta tangente a curva z em t 0 tem contato de ordem ≥ 2 com z em t 0 , e al´ em disso pode-se obter uma explica¸ c˜ ao convincente para o sinal da curvatura k(t). Como o objetivo ´ e estudar o contato de ordem superior, toma-se o u = iz (t 0 ), que ´ e normal a z em t 0 . Assim t 0 tem ordem ≥ 2 sobre γ . Deste modo, mostra-se que se o contato de z com L u em t 0 tem ordem ≥ 3 ent˜ ao t 0 ´ e um parˆ ametro de inflex˜ ao, e que se em um parˆ ametro de inflex˜ ao, o contato for de ordem par em t 0 , ent˜ ao para t pr´ oximo de t 0 a curva fica de um lado da reta L u , se o contato for de ordem impar, a reta L u intersecta z em t 0 . Continuando esta analise, vˆ e-se que, t ´ e um parˆ ametro regular para uma curva z, com contato de ordem ≥ 4 se e somente se, k(t)=0e k (t) = 0. ´ E importante, tamb´ em estudar o contato da curva z(t)=(x(t),y(t)) com L u , em um parˆ ametro irregular t 0 . Para isso, olha-se para os parˆ ametros regulares t pr´ oximos de t 0 . Define- se o gradiente com sendo a raz˜ ao y (t) x (t) , e diz-se que o limite gradiente existe quando lim t→t 0 y (t) x (t) existir. Neste caso, define-se a reta tangente limite em t 0 como sendo a reta que passa por z(t 0 ) tendo este limite gradiente. Se z(t 0 ) for um c´ uspide, ent˜ ao define-se a reta tangente limite ”cuspidal”como sendo a reta que passa em z(t 0 ) na dire¸ c˜ ao de z (t 0 ). Conclui-se, que a reta tangente cuspidal, ´ ea´ unica reta com contato de ordem ≥ 3 com z em t 0 , onde z(t 0 )´ e um c´ uspide. E ainda, se t 0 ´ e um parˆ ametro de c´ uspide de ordem ≥ 3, ent˜ ao k(t) →∞, quando t → t 0 . 2 Contato com C´ ırculos De modo an´ alogo, define-se a fun¸ c˜ ao de contato com um c´ ırculo C , de centro em c e raio r com a curva z, passando por z(t 0 ), pela fun¸ c˜ ao γ : I -→ com γ (t)= |z(t) - c| 2 -|z(t 0 ) - c| 2 . 345 ISSN 2317-3300
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Contato Entre Curvas - Sociedade Brasileira de … · O lugar geom´etrico do centro de curvatura ´e chamado de evoluta de z. ... A elipse (azul), sua evoluta (verde) e suas curvas
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Palavras-chave: contato com retas, contato com circulos, vertices
Resumo: Na teoria do contato, estuda-se os parametros, em que uma curva z toca em outracurva. Com isso busca-se obter informacoes sobre o comportamento da curva. Neste trabalhoestudaremos contato com retas e com cırculos.
1 Contato com Retas
Seja z : I −→ <2 uma curva diferenciavel, e u ∈ <2 um vetor unitario, e seja Lu a retade equacao {z − z(t0)} • u = 0 onde t0 ∈ I. Seja γ : I −→ <2 a funcao diferenciavel dada porγ(t) = {z(t) − z(t0)} • u. γ e chamada de aplicacao contato da curva z com a reta Lu.Definicao: Diz-se que a curva z, tem contato de ordem k em t0 com a reta Lu, quando γ temum zero de multiplicidade k em t0.
Conclui-se que o contato e invariante por parametrizacoes equivalentes, e por isometrias. Echega-se que a reta tangente a curva z em t0 tem contato de ordem ≥ 2 com z em t0, e alemdisso pode-se obter uma explicacao convincente para o sinal da curvatura k(t).
Como o objetivo e estudar o contato de ordem superior, toma-se o u = iz′(t0), que e normala z em t0. Assim t0 tem ordem ≥ 2 sobre γ. Deste modo, mostra-se que se o contato de z comLu em t0 tem ordem ≥ 3 entao t0 e um parametro de inflexao, e que se em um parametro deinflexao, o contato for de ordem par em t0, entao para t proximo de t0 a curva fica de um ladoda reta Lu, se o contato for de ordem impar, a reta Lu intersecta z em t0. Continuando estaanalise, ve-se que, t e um parametro regular para uma curva z, com contato de ordem ≥ 4 se esomente se, k(t) = 0 e k′(t) = 0.
E importante, tambem estudar o contato da curva z(t) = (x(t), y(t)) com Lu, em umparametro irregular t0. Para isso, olha-se para os parametros regulares t proximos de t0. Define-
se o gradiente com sendo a razao y′(t)x′(t) , e diz-se que o limite gradiente existe quando limt→t0
y′(t)x′(t)
existir. Neste caso, define-se a reta tangente limite em t0 como sendo a reta que passa porz(t0) tendo este limite gradiente. Se z(t0) for um cuspide, entao define-se a reta tangente limite”cuspidal”como sendo a reta que passa em z(t0) na direcao de z′′(t0). Conclui-se, que a retatangente cuspidal, e a unica reta com contato de ordem ≥ 3 com z em t0, onde z(t0) e umcuspide. E ainda, se t0 e um parametro de cuspide de ordem ≥ 3, entao k(t) → ∞, quandot → t0.
2 Contato com Cırculos
De modo analogo, define-se a funcao de contato com um cırculo C, de centro em c e raio r
com a curva z, passando por z(t0), pela funcao γ : I −→ < com γ(t) = |z(t) − c|2 − |z(t0) − c|2.
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Prova-se que C e tangente a z se, e somente se, c pertence a reta normal a z em t0, e que ocontato e invariante por parametrizacoes equivalentes e por isometrias. Ainda pode-se mostrarque, em um parametro regular t0, onde z(t0) nao e inflexao. Existe um unico cırculo C comcontato de ordem ≥ 3 com z em t0, e com raio ρ = 1
|k(t0)|.
Definicao: O escalar ρ = 1|k(t)| e chamado de raio de curvatura em t. E o unico cırculo com
este raio e com contato de ordem ≥ 3 e chamado de cırculo de curvatura (ou cırculo osculador)
em t, e seu centro e definido por z∗ = z(t) + N(t)k(t) , onde N(t) e o vetor unitario normal a z(t).
O lugar geometrico do centro de curvatura e chamado de evoluta de z. Uma involuta de z e acurva que e ortogonal as retas tangentes a z.
As curvas paralelas fornecem outro meio de se obter a evoluta. Elas sao definidas comosendo as curvas que distam de uma distancia d da curva z sobre a reta normal a z em t, istoe zd(t) = z(t) + dN(t) e a equacao da paralela zd a uma distancia d de z. Chega-se que se z
e uma curva regular e z∗ sua evoluta, e d um numero real. Entao, t e um parametro irregularpara a paralela zd se, e somente se, zd = z∗. Deste modo, conclui-se que o lugar geometrico dosparametros irregulares das paralelas zd e a evoluta de z.
Exemplo: a) Considere a parabola z = (t2, 2t) utilizando os resultados citados acima, calcula-sesua evoluta:
z∗ =
(
3t2 + 2, 2t −(
1
2(4t2 + 4)
)
t
)
e sua curva paralela a uma distancia d:
zd =
(
t2 +d√
1 + t2, 2t − dt√
1 + t2
)
.
A parabola (azul), sua evoluta (verde) e suas curvas paralelas (vermelho), estao representadasna figura 1.Exemplo: b) Considere a elipse z = (2 cos(t), sen(t)), analogamente ao exemplo anterior,calcula-se sua evoluta:
z∗ =
(
2 cos t − (4sen2t + cos2 t) cos t
2sen2t + 2 cos2 t, sent − 2(4sen2t + cos2 t)sent
2sen2t + 2 cos2 t
)
e sua curva paralela a uma distancia d:
zd =
(
2 cos t − cos t√4sen2t + cos2 t
, sent − 2sent√4sen2t + cos2 t
)
.
A elipse (azul), sua evoluta (verde) e suas curvas paralelas (vermelho), estao representadas nafigura 2.
3 Vertices
Com as ideias anteriores, pode-se estudar um ponto excepcional de uma curva, onde naverdade o cırculo de curvatura possui contato de ordem ≥ 4. Chega-se, que se z e uma curva, et e um parametro onde z(t) nao e inflexao. A condicao para o cırculo de curvatura ter contatode ordem ≥ 4 e que k′(t) = 0. E a condicao para que o cırculo de curvatura tenha contato deordem ≥ 5 e que k′(t) = 0, k′′(t) = 0.
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Figura 1: Exemplo (a) Figura 2: Exemplo (b)
Por um vertice de uma curva z, entende-se um parametro t no qual k′(t) = 0. Em particular,as curvas em que a curvatura e constante (segmentos de reta, arcos de circunferencia) todos osparametros sao vertices.
Em algumas curvas (como as conicas), e facil ver os vertices, no entanto, em geral, isso nao euma tarefa facil, entao e mais rentavel olhar para a evoluta desta curva, onde os vertices apare-cem de forma mais clara. Pois mostra-se que, se z e uma curva regular e t0 um parametro, ondez(t0) nao e inflexao, entao t0 e um vertice para z se, e somente se, e irregular para a evoluta z∗.
Definicao: Uma curva z que e periodica, e que nao possui auto interseccao e chamada deoval. Uma curva regular e dita ser convexa, quando seu traco esta inteiramente de um lado dareta tangente em qualquer parametro.
Assim chega-se ao resultado central deste trabalho, o ”teorema dos quatro vertices”deMukhopadhaya.
Teorema: Qualquer oval convexo z possui pelo menos quatro vertices.
Referencias
[1] C. G. Gibson, Elementary Geometry of Differentiable Curves, Cambridge Universite Press,(2001).
[2] K. Tenenblat, Introducao a Geometria Difencial, Ed. Edgard Blucher Ltda, 2a edicao,(2008).