VI. PROJETO DE CONTROLADORESA funo do controle realimentado
assegurar que o sistema em malha fechada tenha resposta desejvel no
transitrio e em regime permanente. desejvel que um sistema em malha
fechada satisfaa os seguintes critrios de performance:1-
Estabilidade em malha fechada; 2- Efeito das perturbaes
minimizadas; 3- Respostas rpidas e no-oscilatrias; 4- Eliminao de
offset; 5- Evitar aes de controle excessivas; 6- O sistema de
controle deve ser robusto, isto , insensvel a mudanas no
processo e a erros de modelo. Em geral, as especificaes de
desempenho dos sistemas de controle no devem ser mais restritivas
do que o necessrio para desempenhar a tarefa estabelecida. Existem
vrios mtodos para se projetar um controlador, estes mtodos so
baseados nos modelos do processo. A seguir apresentaremos os mtodos
mais utilizados.
VI.1 MTODO DA STESE DIRETAUm controlador pode ser projetado
usando o modelo do processo e especificando a resposta em malha
fechada desejada. A sntese direta interessante, pois fornece a
relao entre o processo e o controlador resultante. A desvantagem
deste mtodo que o controlador resultante pode no ter a estrutura de
um PID. Consideremos o seguinte diagrama em blocos de um sistema de
controle:
99
Km- compensador de setpoint. Transforma o setpoint na mesma
grandeza medida. A funo de transferncia do sistema em malha
fechada, para o caso servo, pode ser escrito como: Km Gc G f G p y
Y ( s) = 1 + Gc G f G p Gm sp ( s ) Considerando Gm ( s) = Km e
chamando G( s) = G f G p Gm = G f G p Km temos:Y ( s) Gc G Y ( s)
1+ Gc G sp
y Chamando Gsp y a resposta desejada para o sistema, temos: sp d
Gc G Gsp 1+ Gc G (6.1) Rearranjando temos: 1 Gsp Gc ( s) = G 1 Gsp
(6.2) A expresso de Gc pode ser obtida se o modelo do processo (G)
conhecido e a resposta em malha fechada especificada (GSP). Note
que o controlador tem o modelo do processo invertido devido ao
termo 1 na equao. Esta situao encontrada em muitas tcnicas de
controle baseada em G modelos. Controle Perfeito Idealmente,
gostaramos que a varivel controlada acompanhasse a alterao de
setpoint instantaneamente sem erro. Esta situao conhecida como
controle perfeito.
100
Y ( s) = Ysp ( s)
ou
Gsp ( s) = 1
Substituindo na equao (6.2) temos: 1 1 G c ( s) = G c ( s) = G 1
1 Infelizmente o controle perfeito impossvel, pois o controlador
necessitaria de um ganho infinito. Porm, o controlador perfeito
pode ser aproximado pelo seguinte: k Gc ( s) = c G onde: k c o
ganho do controlador. Substituindo Gc na equao (6.1) temos: kc G kc
G G sp ( s) = G sp ( s) = kc 1 + kc 1+ G G Assim, o controle
perfeito obtido fazendo o limite de k G sp ( s) = 1 . Exemplo:
Considerando um modelo do processo de 2a ordem: k G( s) = 2 s + 2s
+ 1 O controlador : k G c ( s) = c G kc 2 2 Gc ( s) = ( s + 2s + 1)
k A ao de controle se baseia na derivada segunda do erro ( termo em
s 2 ). Na presena de processo ruidoso, este controlador reagir
muito com pequenas alteraes no sinal do erro. Na prtica, o controle
perfeito, para processos de 2a ordem, tem problemas de
implementao:
ou
Controlador Baseado em Tempo de Decaimento Finito Uma considerao
mais prtica considerar uma funo de transferncia realstica em malha
fechada. Consideremos uma funo de transferncia de 1a ordem:
101
1 cs + 1 onde: c a constante de tempo em malha fechada.
Gsp ( s) =
Substituindo Gsp na equao (6.2) temos:
1 s+1 1 Gc ( s) = c 1 G 1 cs + 1 Gc ( s) =1 1 G cs
Exemplo: Projetar o controlador para os seguintes processos: a)
Processo de 1a ordem: kp G ( s) = ps + 1Gc ( s) =
ps + 1kp
1 cs
G c ( s) =
p c k p
1 1 + s p
Na forma do controlador padro PI, temos: 1 Gc ( s) = k c 1 + i s
Identificando os termos, temos: p kc = ck p i = p
102
b) Processo de 2a ordem kp G ( s) = 2 2 s + 2 p s + 1
Gc ( s) = Gc ( s) =
2 s 2 + 2 p s + 1kp
1 c s
p s + 2 p s + 1 k p c s2 2
p2 Gc ( s) = + + s k p c k p c s k p c1
2 p
p2 Gc ( s) = + + s k p c k p c 2 p s k p c 2 p1
2 p
2 p
2 p
2 p p2 1 1 + Gc ( s) = + k p c 2 p s 2 p
s
Na forma do controlador PID padro, temos:
1 Gc ( s) = k c 1 + + d s is Identificando os termos, temos: 2 p
kc = ck p i = 2 p
d =
2p p = 2 p 2
Processos Com Tempo Morto Se a funo de transferncia do processo
contm um tempo morto , razovel desejar uma funo de transferncia em
malha fechada da forma:
e c s Gsp ( s) = cs + 1onde: c e c so parmetros de projeto c ,
porque a varivel controlada no pode responder a alterao no setpoint
num tempo menor do que .
103
Substituindo Gsp na equao (6.2) temos: e c s 1 cs +1 Gc ( s) = e
c s G 1 s +1 c
Gc ( s) =
1 e c s c s G c s + 1 e
Este controlador no tem a forma de PID padro, mas o termo 1 e cs
no denominador representa uma compensao de tempo morto. Aproximando
o termo de tempo morto do denominador ( e c s ) por uma expanso em
srie de Taylor de 1a ordem (proposta de Smith ), temos: e c s = 1 c
s Substituindo na equao anterior temos:
e c s 1 Gc ( s) = G c s + 1 (1 c s) Gc ( s) = 1 e cs G ( c + c )
s
Exemplo: Projetar o controlador para os seguintes processos:
a) Processo de 1a ordem com tempo morto. k p e s G( s) = ps
+1
Gc ( s) =Gc ( s) =
ps + 1k p e s
e c s ( c + c )se (c ) s
k p ( c + c ) s
ps + 1
Fazendo c = temos: ps + 1 1 G c ( s) = kp ( c + )s
104
Gc ( s) =
1 1 + s k p ( c + ) p
p
Na forma do controlador padro PI, temos:
1 Gc = k c 1 + i sIdentificando os termos, temos: Kc = K p ( c+
)
p
i = pb) Processo de 2a ordem com tempo morto
G( s)
K p e c s
p 2 s 2 + 2 p s + 1 p 2 s 2 + 2 p s + 1K p e s e c s ( c +
)s
G c ( s)
p 2 s 2 + 2 p s + 1 ( ) s Gc ( s) e Kp e + s
(
)
c
Fazendo c = temos:G c ( s) =
p 2 s 2 + 2 p s + 1Kp
1 ( c + )s
G c ( s) =
K p ( c + )2 p
2 p
+
K p ( c + ) s
1
+
K p ( c + )
p2
s
p2 1 1 + G c ( s) = + s K p ( c + ) 2 p s 2 p s Na forma do
controlador PID padro, temos:
1 Gc ( s) = Kc 1 + + d s Is
105
Identificando os termos, temos: Kc = K p ( c + ) 2 p
I = 2 p
p2 p d = = 2 p 2A seguir, apresentamos um resumo das formas do
controlador obtidas por sntese direta: 1 Gsp Gc = G 1 Gsp Caso
Resposta em malha fechada Gs p = 1Gs p = Gs p = 1 c s + 1 1 c s + 1
G=
Modelo de processo
Kc
c
d
A B C
QualquerG= Kp
Kc =
ps + 1Kp
p s + 2 p s + 12 2
cK p 2 p Kc = c KpKc =
Kc =
p
I = I = p
d = 0 d = 0
I = 2 p
d =
p 2
D
Gs p
e s = c s + 1 e s c s + 1
Gs p =
K p e s
cs + 1K p e s
( + ) Kc
p
I = pp
d = 0
E
Gs p =
G=
p s + 2 p s + 12 2
Kc =
(
2 pc
+ )K p
I = 2 p
d =
p 2
VI.2 CONTROLE PELO MODEL CONTROL-IMC)
MODELO
INTERNO
(INTERNAL
Como na sntese direta o IMC (Controle pelo Modelo Interno) um
mtodo de projeto baseado na relao direta entre o modelo do processo
e os parmetros do controlador. IMC tem as seguintes vantagens:
Permite ao projetista balancear a performance do sistema do
controle e a robustez do sistema com alteraes do processo e
incerteza do modelo. Explicita a incerteza do modelo. Suponha o
seguinte diagrama em blocos de um controle realimentado:
106
Temos a seguinte relao do controle convencional em malha
fechada: Gc G 1 Y= Ys p + d 1 + Gc G 1 + Gc G A abordagem do IMC
baseado no seguinte diagrama em blocos:
Temos a seguinte relao do IMC em malha fechada:
Y=
~ Ys p + ~ d 1 + Gc * ( G G ) 1 + Gc * ( G G )
Gc * G
~ 1 Gc * G
Para os dois diagramas em blocos serem idnticos temos que
fazer:
Gc G Gc* G = ~ 1 + Gc G 1 + Gc* ( G G ) ~ Gc 1 + Gc * (G G ) =
Gc * [1 + Gc G ]
[
]
~ Gc + Gc Gc * G Gc Gc* G = Gc * + Gc GC * G ~ Gc Gc Gc* G = Gc
*
107
Gc * Gc = ~ 1 Gc * G O controlador IMC projetado em duas
etapas:Etapa 1 - Fatorar o modelo do processo
~ ~ ~ G = G+ G ~ onde G+ contm algum tempo morto, zeros no
semi-plano direito e ganho igual a 1.
Etapa 2 - Especificar o controlador1 Gc * = ~ f G
onde f um filtro passa-baixa com ganho 1. O filtro IMC tpico tem
a forma:
f =
( s + 1)c
1
r
onde: c a constante de tempo desejado para malha fechada. r um
nmero inteiro positivo escolhido de tal forma que a ordem do
numerador de Gc * exceda a ordem do denominador em uma unidade. ~
Notar que o controlador ( G * c ) contm o inverso de G no lugar do
modelo ~ ~ inteiro ( G ) , pois se o G fosse utilizado, teramos um
termo de previso ( e +s ) ou um plo instvel. Sendo a relao do IMC
em malha fechada:
Y=
~ Ysp + ~ d 1 + Gc * ( G G ) 1 + Gc * ( G G )
Gc * G
~ 1 Gc * G
1 ~ ~ ~ Para o caso do modelo perfeito G = G = G G+ e Gc * = ~ f
temos: G * ~ * ~ Y = Gc GYsp + (1 Gc G )d
108
1 ~ ~ 1 ~ ~ Y = ~ fG G+ Ysp + 1 ~ fG G+ d G G ~ ~ Y = G + fYsp +
(1 G + f )d
Para o caso servo, temos: ~ Y = G+ f YSP O IMC equivalente
sntese direta se:
~ Gsp = G+ fExemplo: Calcular o controlador IMC para um processo
de primeira ordem com tempo morto e encontre os parmetros
equivalentes aos do PID padro. Soluo: A funo de transferncia do
modelo de 1a ordem com tempo morto representado por:
G( s) =
k p e s
ps + 1
O tempo morto pode ser aproximado pelo quociente de polinmios,
conhecido como aproximao de Pad:
e s = 1 s +Aproximando pela 1a ordem, temos:
2 s22!
3s33!
+
e s =
e
2
s
=s
1
s
e2
2 s 1+ 2
e
s
=
1 1+
2 2
s s
109
~ Substituindo em G , temos: K p 1 s 2 1 + s p s + 1 2
~ G ( s) =
(
)
~ ~ ~ Fatorando o modelo em G = G+ G onde:
~ G ( s) + = 1 s 2~ G ( s) = Kp 1 + s p s + 1 2
(
)
Aplicando um filtro do IMC de 1a ordem, temos:f = 1 c s + 1
1 Gc* = ~ f G
Gc* =
1 + s p s + 1 2
(
)
K p ( c s + 1)
Representando o sistema na forma de um PID na malha fechada
convencional temos: Gc* Gc = ~ 1 Gc* G onde:Gc* = 1 + s p s + 1
2
(
)
K p ( c s + 1)
~ G=
k p 1 s 2 1 + s p s + 1 2
(
)
110
Substituindo, temos:Gc = 1 + s p s + 1 2
(
))
K p c + s 2
GC =
1 p s 2 + p + s + 1 2 s K p c + 2 1
(
p + 1 p 1 1 1 + + Gc = s c p kp 2 + 1 p + s 2 + 1 2 2 Na forma
do controlador PID padro, temos:
1 Gc ( s ) = k c 1 + + d s i s Identificando os termos,
temos:
p +1 1 kc = kp 2 c +1 2
i = p +
2
d =
p p 2 +1
Recomenda-se que c seja tal que:
p c > 0,8 e c = 10
para o processo em questo.
VI.3 CRITRIOS SEMI-EMPRICOS (COHEN & COON)Em 1953 Cohen, G.H
e Coon desenvolveram relaes de projeto de controladores baseados na
curva de reao do processo.
111
Os critrios de projeto do sistema em malha fechada so: Minimizao
do Erro Quadrtico (ISE); Razo de decaimento de , que em um sistema
de 2a ordem corresponde a um fator de amortecimento () de 0,2 e um
overshoot de 50%.
Procedimento de Teste
Seja o seguinte sistema do controle
1) Colocar o controlador em manual.
A funo de transferncia em malha aberta dada por:Ym( s ) c( s) =
G f G p G m = G ( s)
112
2) Aplicar um degrau na sada (M)
3) Observar a resposta do processo e aproximar o modelo a um
processo de 1a ordem com tempo morto:
G( s) =
k p e s
ps + 1
A aproximao do modelo pode ser feita da seguinte forma:
kp =
css M
p = 15(t 63% t 28% ) .
t = 15 t 28% 63% . 3 s - ponto de inflexo do processo
=
p
4) Calcular os parmetros do controlador de acordo com a tabela a
seguir: Controlador PKcI
d
1 1 + K p 3
____ 30 + 3 9 + 20 32 + 6 9 + 20
____ ____ 4 11 + 2
PI PID
1 0,9 + K p 12 1 1,333 + K p 4
113
O mtodo de Cohen-Coon pode ser utilizado como estimativa inicial
dos parmetros do controlador. Se a aproximao da curva de reao do
processo no for bem ajustada, a sintonia tambm no ser boa. Notar
que Kc maior para o controlador P do que o PI, e Kc maior para o
controlador PID devido a ao estalizante da ao derivativa.
O coeficiente = conhecido como Razo de Controlabilidade. p
Quanto maior , maior a dificuldade de controle, ou seja, o sistema
tende a oscilar. Para um controlador PI o valor do ganho do
controlador dado por : kc =
1 0,9 + k p 12
Reordenando os parmetros temos:kc k p =1 0,9 + 12 0,9
onde: k c k p chamado de ganho da malha.Graficamente podemos
representar
kc k p =
+ 0,083
114
VI.4 PROJETO BASEADO NO CRITRIO DA INTEGRAL DO ERROUma abordagem
alternativa do projeto de controladores baseado em ndices de
performance. Estes ndices so obtidos pela ponderao de toda a
resposta temporal.
e(t ) = YSP ( t ) Y ( t )Os ndices de performance mais populares
so:Integral do erro absoluto (IAE - Integral of absolute error)
Este critrio pondera os mdulos dos erros, e til quando os erros
so pequenos ( | e | < 1 ).
IAE = e ( t ) dt0
115
Integral do quadrado do erro (ISE - Integral square Error)
Este critrio pondera os erros ao quadrado, e til quando os erros
so grandes ( | e | >1 ).
ISE = e( t ) dt2 0
Integral do erro absoluto multiplicado pelo tempo (ITAE -
Integral of time weighted absolute error)
Este critrio pondera os mdulos dos erros, penalizando os erros
que persistem com o tempo. Este critrio mais til quando os sistemas
tendem a ter offset.
ITAE = t e( t ) dt0
Integral do erro ao quadrado multiplicado pelo tempo (ITSE -
Integral of time weighted square error)
Este critrio pondera os erros quadrticos, penalizando os erros
que persistem com o tempo. Este critrio mais seletivo do que o
ISE.
ITSE = t e( t ) dt2 0
Os diferentes critrios, os diferentes casos (servo, regulador),
os diferentes pontos em que introduzidos e diferentes modelos,
levam a ajustes diferentes . Temos a seguinte metodologia dos
critrios: 1) Para um determinado caso e sistema, calcular o erro (e
( t ) ) como funo de k c , I e d ; 2) Aplicar o critrio integral
escolhido durante o intervalo de tempo, tal que a resposta tenha se
assentado. obtida assim uma funo dos parmetros ex: ISE ( k c , I ,
d ) ;
(
)
3) Aplicar o critrio de otimizao da hipersuperfcie, onde o vale
mais profundo dado por:Minimizar ISEk c , I , d
4) O ponto de mnimo determinado usando algum mtodo de otimizao.
ISE =0 kc
ISE =0 I ISE =0 d
116
Parmetros Recomendados
Da Universidade de Lousiana surgiram os resultados baseados no
modelo de 1 ordem com tempo morto.a
G ( s) =
k p e s
ps + 1
e =
p
Caso regulador d 0, y sp = 0
(
)ISE IAE Gc ( s) = k c 0.902 -0.985 ITAE
Parmetros Coef. Controlador Proporcional (P) a1 k p k c = a1 b1
b1 Controlador Proporcional-Integral (PI)
1.411 -0.917
0.490 -1.084 1 Gc ( s) = k c 1 + I s 0.859 -0.977 0.674
0.680
k p k c = a1 b1
i 1 = b p a2
2
a1 b1 a2 b2
1.305 -0.959 0.492 0.739
0.984 -0.985 0.608 0.707
Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID)
1 Gc ( s) = k c 1 + + d s I s 1.435 -0.921 0.878 0.749 0.482
1.137 1.357 -0.947 0.842 0.738 0.381 0.995
k p k c = a1 b1
i 1 = b p a2 d = a 3 b p
2
a1 b1 a2 b2 a3 b3
1.495 -0.945 1.101 0.771 0.560 0.1006
3
117
Caso servo y sp 0, d = 0 Parmetros
(
)Coef. IAE ITAE 1 Gc ( s) = k c 1 + I s
Controlador Proporcional-Integral (PI)
k p k c = a1 b1
i 1 = p a 2 + b2
a1 b1 a2 b2
0.758 -0.861 1.020 -0.323
0.586 -0.916 1.030 -0.165
Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID)
1 Gc ( s) = k c 1 + + d s I s 0.965 -0.855 0.796 -0.147 0.308
0.9292
k p k c = a1 b1
i 1 = p a 2 + b2
a1 b1 a2 b2 a3 b3
1.086 0.869 0.740 0.130 0.348 0.914
d = a 3 b p
3
Estas relaes tem algumas consideraes empricas que limita a sua
aplicabilidade a 01 < < 0.258 para o critrio IAE e 01 <
< 0.379 para o critrio . . ITAE. Um pouco fora desta faixa o
desempenho tambm pode ser aceitvel.Exemplo
Use o critrio de erro integral para obter os parmetros do
controlador para um processo com a seguinte funo de transferncia:
10e s G( s) = 2s + 1 Comparar os controladores PI projetadas para o
caso regulador.Soluo
k p = 10
p = 2 =1
=
1 = p 2
= 0,5
118
Controlador Proporcional-Integral (PI) Parmetros k p k c = a1 b1
Coef. a1 b1 a2 b2 ISE 1.305 -0.959 0.492 0.739
1 Gc ( s) = k c 1 + I sIAE 0.984 -0.985 0.608 0.707 ITAE 0.859
-0.977 0.674 0.680
i 1 = b p a2Para Kc
2
10 kc = 1,305 ( 0,5 )
0,959
k c = 0,245 k c = 0,195 k c = 0,169
10 k c = 0,984 (0,5) 10 k c = 0,857 ( 0,5)Para i
0 , 985
0 , 977
I2
=
1 (0,5) 0,739 0,492 1 (0,5) 0,707 0,608 1 (0,5) 0,680
0,674Critrio ISE IAE ITAE
I = 2,44
I2
=
I = 2,02 I = 1,85kc0,245 0,195 0,169
I2
=
i2,44 2,02 1,85
Graficamente:
119
Notar que a sintonia com o critrio ISE nos d um comportamento
oscilatrio e com um tempo de estabilizao maior. Os resultados com o
critrios IAE e ITAE so parecidos.Exemplo
Para o modelo do processo. 4 e 3 , 5 s G( s) = 7s + 1 Compare os
controladores PI e PID baseados no critrio ITAE nos casos servo
regulador.Soluo:kp = 4
p = 7 = 3,5
=
3,5 = 7 p
= 0,5Critrio ITAE
Controlador PI
4 k c = 0,586 ( 0,5) I 1 = 7 1,03 0165 0.5 .0 , 916
Caso Servo
4 k c = 0,859 (0,5) I 1 (0,5) 0,680 = 7 0,674 4 k c = 1,357
(0,5) I 1 (0,5) 0,738 = 7 0,842 d 0 , 995 = 0,381( 0,5) 7
Caso Regulador
0 , 977
PID
4k c = 0,965 ( 0,5) I 1 = 7 0,796 0147 0.5 . d 0 , 9292 =
0,308(0,5) 70 ,855
0 , 947
Controlador PI PID
Caso Servo k c = 0,276
Caso Regulador k c = 0,423
i = 7,39k c = 0,435 i = 9,69
i = 6,48k c = 0,654 i = 4,98
d = 113 ,
d = 1,34
120
GraficamenteCaso Servo
Caso Regulador
Notar que o caso servo temos um grande overshoot quando
sintonizado pelo critrio ITAE-regulador. No caso regulador os
overshoot nos dois critrios so semelhantes, porm mais lento pelo
critrio ITAE-servo, e mais acentuado para o PID. Portanto a
sintonia mais adequada (conservativa) seria pelo critrio
PI-ITAEservo.
VI.5 COMPARAO DOS PROJETOS DE CONTROLADORESAs relaes de projeto
apresentadas so baseadas em diferentes critrios de performance, que
de forma geral, podem ser concludas como:1.
O ganho do controlador k c inversamente proporcional ao produto
dos outros ganhos da malha fechada.kc 1 k
121
Onde:
k = kv k p km
2. O k c deve diminuir com o aumento da razo de controlabilidade
= . Em p geral, a qualidade do controle reduz com o aumento de ,
pois temos tempos de estabilizaes e oscilaes maiores.3. Os tempos
integral ( I ) e derivativo ( d ) aumentam com o acrscimo de . De
modo geral a relao d fica na faixa: i 0,1 < d < 0,2 I Uma
regra prtica d = 0,25 i Quando acrescenta-se a ao integral (I) no
controlador, isto permite que se reduza o valor de k c .
Entretanto, se acrescentarmos a ao derivativa(D) podemos aumentar o
valor de k c .4. 5.
O critrio de projeto de Cohen-Coon tende produzir uma resposta
oscilatria em malha fechada com uma razo de decaimento de . Se
desejarmos uma resposta menos oscilatria podemos reduzir o k c e
aumentar I .
6. Dos critrios da integral do erro, o critrio ITAE fornece o
ajuste mais conservativo, enquanto que o critrio ISE nos d o ajuste
menos conservativo.
As relaes apresentadas foram desenvolvidas para controladores
PID ideais e com sistema sem interaes. Os critrios de projeto so
comparados atravs do seguinte exemplo:Exemplo
Considere um processo com o seguinte modelo: G( s) = 2 es s
+1
Compare os ajustes do controlador PI e a resposta em malha
fechada para o caso regulador usando os seguintes critrios: com c =
0,0 IMC IMC com c = 0,8 Cohen-Coon ITAE-Regulador
122
Considere tambm uma alterao no ganho do processo para 3 ( erro
no modelo) e verifique a robustez do controlador.Soluo Para o
controlador IMC
k e s ~ ( s) = G s +1 Aproximando para e s = 1 s temos k (1 s) ~
G ( s) = s +1 ~ ~ ~ Fatorando o modelo em G = G+ G temos ~ G+ = 1
s~ G =
k s +1
Utilizando o IMC temos:1 Gc* = ~ f G
e Gc* Gc = ~ 1 Gc* G Simplificando temos:f Gc = ~ ~ G fG
f ou Gc = ~ ~ G (1 fG+ )
Aplicando um filtro de 1a ordem, temos:f =1 cs + 1
Gc =
s +1 1 s k ( c + 1) 1 c s + 1
123
Gc =
s +1 k ( c + )s
Identificando os parmetros do PI padro, temos: Gc = 1 1 + k ( c
+ ) s
Portanto: kc = k ( c + )
I = No caso, temos: k =2
=1 =1Para c = 0,0.
=
=1
1 = 1
kc =
1 2( 0 + 1)
k c = 0,5
I = 1Para c = 0,8kc =1 2( 0,8 + 1)k c = 0,28
I = 1
Para o critrio Cohen - Coon
kc =
1 0,9 + k 12
124
I = Portantokc =
30 + 3 9 + 2
1 1 0,9 + 12 2 1 30 + 3 1 9 + 20 1
k c = 0,49
I =
I = 1,14
Para o critrio ITAE - reguladorkc =0,859 ( ) 0,977 k
I =
0,674
0,680
Portanto:
kc =
0,859 0,977 1 2
k c = 0,43
I =
1 0,680 1 0,674
I = 1,48
Critrio IMC (c = 0,0) IMC (c = 0,8) Cohen-Coon
ITAE-Regulador
kc0,50 0,28 0,49 0,43
i1,00 1,00 1,14 1,48
A resposta em malha fechada representada graficamente por:
125
respostas menos oscilatrias do que o IMC ( c = 0) e Cohen-Coon.
Considerando o modelo do processo com erro, temos: k =3
O sistema com critrios IMC ( c = 0,8) e ITAE-regulador
apresentam
=1 =1
=1Critrio IMC (c = 0,0) IMC (c = 0,8) Cohen-Coon
ITAE-Regulador
kc0,33 0,19 0,33 0,29
i1,00 1,00 1,14 1,48
A resposta em malha fechada representada graficamente por:
O comportamento mostra a fraca robustez do critrio Cohen-Coon.
Tanto os critrios IMC c = 0,8 como o ITAE-regulador apresentam
resultados satisfatrios nos casos de erros no modelo. Um
comportamento semelhante observado no caso servo e quando temos um
acrscimo de 50% no tempo morto do modelo.
126