Construire le nombre au cycle 2ienboulogne2.etab.ac-lille.fr/files/2017/02/... · Au cycle 2, nombre et calculs. Un enjeu premier, la poursuite de la construction du nombre •La

Construirelenombreaucycle2

Estimerdesgrandeurs

Plandel’intervention

• L’esprit,lesenjeuxdesprogrammesducycle2• Quelquesaspectsdelaconstructiondunombre,chezletout-petit,apportsdesneuro-sciences

• Lenombreàl’écolematernelle• Laconstructiondunombreetdesgrandeursaucycle2• Leconceptd’estimation

Lesmathématiquesaucycle2–l’espritdesprogrammesAuCycle2,onnecessed’articulerleconcretetl’abstrait.Observeretagirsurleréel,manipuler,expérimenter,toutescesactivitésmènentàlareprésentation,qu’ellesoitanalogique(dessins,images,schématisations),ousymboliqueabstraite(nombres,concepts).Lelienentrefamiliarisationpratiqueetélaborationconceptuelleesttoujoursàconstruireetreconstruire,danslesdeuxsens.

Lesenjeuxd’enseignementdesmathématiquesCycle2

Généralités Sixcompétencesmajeuresenmathématiques:chercher,modéliser,représenter,raisonner,calculer,communiquerLarésolutiondeproblèmeestaucentredel’activitémathématique,développantlescapacités àchercher,raisonneretcommuniquer.Lesproblèmesdoiventêtreancrésdansleréel,certainspeuventêtreproposéspourapprendreàchercher.Leurrésolutionpermetl’introductionprogressivedeformesconventionnelles.Lessituationsd’actionpermettentdedonnerdusensauxapprentissages.Importancedesstratégiesexplicites

Nombresetcalculs

Constructionetconnaissancedunombreetducalcul,enappui surlarésolutiondeproblèmes.Ceux-ciportentd’abordsurdesobjets,puissurdessituationsplusabstraites.Leconceptd’estimationestàtravailleraveclesélèves,pourpoursuivrelaconstructionduconceptdenombreamorcéàl’écolematernelle.Etudedesrelationsinternesauxnombres.Encalcul,privilégierlecalculmental,lecalculréfléchietlecalculenligneaucalculposé.Lesnombresinférieursà1000sontlefondementdelanumérationdécimale,ilsdoiventdoncêtreparticulièrementtravaillés(jusque10000auCE2).LadivisioneuclidienneàunchiffreestabordéeauCE2,maispaslatechniqueopératoire

Lesenjeuxd’enseignementdesmathématiquesCycle2

Grandeursetmesures

Comparaisond’objetspourl’appropriationdepropriétésetd’unlexiqueNotiond’unitéfondamentaleProblèmesliésàdessituationsvécuesquipermettentderéinvestirettransférerdescompétencessurlesnombresetlescalculsRôledel’estimationdesgrandeursetdesmesurespourdonnerdusensDuréesenlienavecsesituerdansletemps

Espaceetgéométrie

Apprendre àserepéreretàsedéplacerdansl’espace,àpartirdesituationsconcrètesenlienavecd’autresenseignementsetdeproblèmes.Localiserdesobjets,décrireouproduiredesdéplacements.Développementprogressif,enfonctiondesbesoins,dereprésentationssymboliquespourquel’espacesoitmisenrelationavecdesreprésentationsgéométriques.ConnaissancedesolidesàpartirdemanipulationsetdefabricationsReproductiondefigurespourameneràlagéométrieplane.SymétrieaxialeImportancedulangagemathématique:vocabulaireprécis

Quelquesaspectsdelaconstructiondunombrechezlestout-petitsExtraitd’unentretiendeMichelFAYOL,2012• Lesrechercheseffectuéescesvingtdernièresannéesmontrentquelesêtreshumainsviennentprobablementaumondeavecunecapacitédetraitementdesquantités.Cetraitementpourraits’effectuerdedeuxmanièresdifférentes:uneidentification despetitesquantités(1,2et3)ainsiqu’unepossibilitédedifférencierdegrandesquantités(8et16)enfonctiondeleurrapport(deunsurdeux).

• Pourautant,uncertainnombred’enfantsrencontrentdesdifficultésimportantesaucoursdesapprentissagesarithmétiques.L’hypothèseactuelleestquelesdifficultéssontsoulevéesnonpasparletraitementdesquantitésmaisparl’acquisitiondessystèmessymboliquesqui,seuls,permettentunemanipulationprécisedesquantitésquiouvrelavoieauxmathématiques.

Apportdesneuro-sciences –StanislasDehaene,VéroniqueIzard• Nouspossédonsdèslanaissancelafacultédepercevoirlesensdesnombresetd’avoiruneimpressionimmédiatedesquantités(caractèreinné)

• Enprésentantàdesbébésdemoinsde3moisunesuccessiond’imagesreprésentantunecertainequantitéd’objets(4canards,8canards),onenregistreunemodificationdel’activitécérébrale,attestantlaperceptionintuitivedesdifférencesdequantités

• Uneautreexpérience,surdesnourrissons:enfaisantentendreunerépétitiondesyllabespuisenmontrantuneimageillustrantunequantitéd’objetscorrespondantounonaunombredesyllabesénoncées,lesnouveauxnésfixentbeaucouppluslongtempslesimageslorsquelesquantitéscorrespondent

• L’intuitionnumériqueestuniverselle:onlaretrouvedanscertainessociétéshumainesdanslesquellesiln’yapasd’enseignementdesmathématiques,oudemotspourexprimerdesquantités

Apparitiondulangageetconstructiondunombre• Lenombrepermetd’exprimertoutequantitéavecprécision• Ilpermetaussidegarderenmémoireunequantité• Attentioncependant:larécitationdelasuitedesnombrenegarantitpas,chezungrandnombred’enfants,lamiseenrelationaveclavaleurcardinale.

• Desdifficultés,précoces,liéesàl’irrégularitédusystèmefrançais

Enmaternelle,danslesnouveauxprogrammesConstruirelenombrepourexprimerlesquantités

Unnouveaudomained’apprentissage:Construirelespremiersoutilspourstructurersapensée• Construirelenombrepourexprimerlesquantités

• D’abordl’estimation (plus,moins,pareil,beaucoup,pas)• Del’apparenceàlapriseencomptedesquantités• Comprendreleprinciped’abstraction• Nepasoublierdécompositionsetcompositions• Progressivité:lestroisannéespeuventêtreinsuffisantes

Aucycle2,nombreetcalculs.Unenjeupremier,lapoursuitedelaconstructiondunombre• Laconnaissancedesnombresetducalculestunobjectifmajeurducycle2.Ellesedéveloppeenappuisurlesquantitésetlesgrandeurs.

• Desrésolutionsde problèmes contextualisés :dénombrerdescollections,mesurerdesgrandeurs,repérerunrangdansuneliste,prévoirdesrésultatsd'actionsportantsurdescollectionsoudesgrandeurs(lescomparer,lesréunir,lesaugmenter,lesdiminuer,lespartagerenpartségalesouinégales,cherchercombiendefoisl'uneestcomprisedansl'autre,etc.).Cesactionsportentsurdesobjetstoutd'abordmatérielspuisévoquésàl'oralouàl'écrit ;letravailderechercheetdemodélisationsurcesproblèmespermetd'introduireprogressivementlesquatreopérations(addition,soustraction,multiplication,division).

• L'étudederelationsinternesauxnombres :comprendrequelesuccesseurd'unnombreentierc'est« cenombreplusun »,décomposer/recomposerlesnombresadditivement,multiplicativement,enutilisantlesunitésdenumération(dizaines,centaines,milliers),changerd'unitésdenumérationderéférence,comparer,ranger,itérerunesuite(+1,+10,+n),etc.

• L'étudedesdifférentesdésignationsoraleset/ouécrites :nomdunombre ;écritureusuelleenchiffres(numérationdécimaledeposition) ; double de,moitié de, somme de, produit de ; différence de, quotient et restede ;écrituresenligneadditives/soustractives,multiplicatives,mixtes,enunitésdenumération,etc.

• L'appropriationdestratégiesdecalcul adaptéesauxnombresetauxopérationsenjeu.Cesstratégiess'appuientsurlaconnaissancedefaitsnumériquesmémorisés(répertoiresadditifetmultiplicatif, connaissancedesunitésdenumérationetdeleursrelations,etc.)etsurcelledespropriétésdesopérationsetdelanumération.Lecalculmentalestessentieldanslaviequotidienneoùilestsouventnécessairedeparvenirrapidementàunordredegrandeurdurésultatd'uneopération,oudevérifierunprix,etc.

Ledomainegrandeursetmesuresestrenforcé• Lesélèvessontamenésàcomparerdesobjetsoudesphénomènesenutilisantdesnombres.Àtraversdesactivitésdecomparaison,ilsapprennentàdistinguerdifférentstypesdegrandeursetàutiliserlelexiqueapproprié :longueurs(etrepéragesurunedroite),masses,contenance(etvolumecontenu),durées(etrepéragedansletemps),prix.Lacomparaisondegrandeurspeutêtredirecte,d'objetàobjet(juxtaposerdeuxbaguettes),nécessiterlacomparaisonàunobjetintermédiaire(utiliseruntroisièmerécipientpourdéterminerlaquellededeuxbouteillesalaplusgrandecontenance)ouàplusieursobjetsdemêmegrandeur(mettreboutàboutplusieursbaguettesidentiquespourcomparerleslongueursdedeuxlignestracéesausol).Ellepeutégalementreposersurlacomparaisondemesuresdesgrandeurs.

• Estimerlesordresdegrandeurdequelqueslongueurs,massesetcontenancesenrelationaveclesunitésmétriques.

• Vérifieréventuellementavecuninstrument.• Ordresdegrandeurdesunitésusuellesenlesassociantàquelquesobjetsfamiliers.• Rapportstrèssimplesdelongueurs(doubleetmoitié).

• Exemplesdesituations:àvueouparmanipulation,proposeruneestimationdelamesured'unegrandeurattachéeàunobjet,avantconfrontationavecd'autresapproches.

Constat:toujourslamêmechose!- Calculerdemanièreexacteouapprochée- Parveniràunordredegrandeurdurésultat- ContrôlerlavraisemblancedurésultatMaisdunouveauaussi:- Lenombreesttraitéetmêmedéfinicommeunegrandeur- Lesactivitésdegrandeursetmesuressontmisesenavant

L’estimationdanslesnouveauxprogrammes

Lesopérations

• Travailler d’abord l’estimation et l’ordre de grandeur(analogie avec les grandeurs et mesures)

• Différer au maximum les techniques opératoires(contre productives, voire nocives), stopper lesalgorithmes pour établir le sens du nombre grâce auxrelations mentales (équilibre à redonner au calculmental et au calcul réfléchi)

Desexemplesd’activité

ActivitéàfaireauvidéoprojecteurouauTNI

ExempleissudelapropositionArithmétiqueetcompréhensionàl’écoleélémentaireACEdel’ESPEdeBretagne

Estimation jusqu’à 12Avec règle de réponse graduée

A

B

0 12

120

A

B

0 12

120

A

B

0 12

120

A

B

0 12

120

Quelquesprécisionsdevocabulaire: - Estimation :unprocessus- Approximation :unrésultat- Arrondir :unetechnique

Pourquoidemanderauxélèvesd’estimeretdedonneruneapproximation?Aumoins3raisons:- L’estimationetlecalculapprochépermettentd’anticiperlerésultatattenduoudevérifierunrésultatcalculé…Ondevraitapprendreauxélèvesàtoujoursestimerlerésultatrecherché- Danslaplupartdesproblèmes,l’estimationestsuffisante.Lecalculexactesttropcoûteuxetsourced’erreurs…Ondevraitapprendreauxélèveslerôleetl’importancedel’estimation

Lerôledel’estimationdanslesapprentissagesarithmétiques

L’estimationestindispensableàl’aisanceencalculmental:

L’aisance à manier les faits arithmétiques et les stratégies decalcul mental sont essentielles à l’estimation. Et inversement !

Une pratique continue en estimation de calcul est indispensable

L’estimation de calcul est une activité mentale qui nécessite doncune pratique régulière accompagnée du partage de stratégies.Dans les programmes : calculer mentalement pour obtenir unrésultat exact ou évaluer un ordre de grandeur