Construction du nombre au cycle 2docs2-ienbruay.etab.ac-lille.fr/docs/anim/Conf Rebreuve nombre C 2... · Description rapide: Les jetons noirs sont les voyageurs ... Monnaie Chaîne

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Construction du nombre au cycle 2

Fabien EMPRINMaître de conférences

CEREP - URCADirecteur Adjoint ESPE

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PREMIÈRE RÉFLEXION

L’apprentissage et les automatismesPlace du langage dans la construction des concepts

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Quelle place pour les automatismes?

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Les automatismes suite

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Référence

Etude Japonaise : université de Kyoto.Professeur Tetsuro Matsuzawa sur la

mémoire à court terme de chimpanzé Ayumu de cinq ans.

Référence vidéo : http://dai.ly/cWnogV

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Le risque des automatismes

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Le paradoxe des automatismes

• Les procédures automatiques se font sans compréhension de la tâche. (punition par la copie)

• L’installation de procédures élémentaires automatisées permet aux élèves d’échapper aux automatismes sur des procédures plus complexes (Grand N n°79, D. Butlen, M. Charles-Pézard).

• Dialectique entre sens et techniques, l’exemple du calcul mental Denis Butlen et Pascale Masselot

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Qu’est ce que faire des maths ?

• Montrer que l’activité mathématique c’est chercher, réfléchir, inventer.

L'essence des mathématiques, c'est la liberté. Georg Cantor

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Quelques constats• Des difficultés dans les techniques opératoires (en

particulier avec retenues)• Des difficultés accrues avec les décimaux• 12,23 x 10 = 12,230 ou 12,23 x 10 = 120,23

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Premières idées

• Une mauvaise construction du système de numération est la cause de toutes ces difficultés.

• Les difficultés sont souvent masquées (plus ou moins consciemment) dans les évaluations

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Les Instructions Officielles

• Le nombre - Outil– Prise de conscience du fait que les nombres doivent

permettre de résoudre certains problèmes : mémorisation de la quantité, mémoire du rang, anticipation d’un résultat

• Le nombre - Objet– Construction progressive de la suite orale et de la suite écrite– Construction progressive des premières connaissances

relatives à la numération décimale– Premières connaissances sur la comparaison des nombres– Premières relations additives et multiplicatives entre les

nombres d’usage courant

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Plan de la conférence

premières réflexions : Automatisme / concept • Qu’est-ce que savoir compter (outil)?

• L’exemple d’une compétence• D’autres compétences

• Qu’est-ce que connaître les nombres (objet)?• À quoi sert le nombre ?• La numération• Le calcul

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QU’EST-CE QUE SAVOIR COMPTER?

Dénombrement, comptage dénombrement

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Dénombre = Dé nombrer = extraire le nombre de….

Il existe plusieurs moyens principaux dedénombrer :• le « subitizing »• le dénombrement par comptage de un en

un.• Le calcul .. .

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Combien ?

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Le comptage dénombrement … pas si simple

Savez-vous compter ?

Alors combien y a-t-il de dents sur le grand plateau ?

La difficulté ici est l’énumération

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L’énumération

• L’ « énumération » : être capable de pointer une et une seule fois tous les éléments de la collection.

• Un exemple de situation . J Briand : les allumettes (CD-ROM Hatier)

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Une situation, plusieurs variables

• Les boîtes d’allumettes

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Premier essai

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Reprise

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Mise en commun

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Les boîtes à œufs

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Un exemple

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Liaison C1/C2 : un rallye Mat(h)

• Un rallye par groupes (de 4)• Des briques à assembler• Une organisation souple• Enjeux :

– L’argumentation– Le sens de l’activité mathématique

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Un exercice de rallye

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Les variables

• Les objets : – déplaçables ou non– marquables ou non– organisés (ligne/colonne, chemins..)

• La collection (nécessaire au-delà de la capacité de comptage)– Juste ce qu’il faut / plus

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Et sa version informatique

• A nous les nombres !

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institutionnalisation

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Les compétences nécessaires au comptage

dénombrement

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Il faut également …

• Connaître la comptine numérique• La segmenter !

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Quelques comptines• Répétitives sans segmentation : J'ai fait une pirouette,

[undeuxtroisquatrecinqsixsept], J'ai déchiré mes chaussettes, [undeuxtroisquatrecinqsixsept]…

• Segmentation par 3 : [undeuxtrois] nous irons au bois…• Segmentation par 2 : [undeux] v’la les œufs…• Segmentation par 1 : [un] nez, [deux] nez, [trois] nez …• Cumulative : [un] elle a un œil brun [undeux], elle a des plumes bleues…• Anti-Cumulative : [undeuxtroisquatrecinqsixsept] J'ai des trous à mes chaussettes

[undeuxtroisquatrecinqsix] J'ai mangé l'écrevisse...• A l’envers : dans la forêt du dolmen vert, il y a [dix] ours qui marchent à l’envers,

[neuf] petits daims plein de lumière [...] et [zéro] sorcière.• Segmentation par dix : qui compte jusqu'à dix ? c’est Alice, qui compte jusqu’à

vingt ? c’est Germain ….

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Compétences liées au comptage dénombrement

• Les principes de Gellman– L’élève doit connaître la chaîne orale : c'est-à-dire la suite des mots-nombres.– L’élève doit synchroniser le pointage des éléments de la collection avec la

récitation des mots-nombres.– Il doit également faire abstraction de certaines propriétés des objets de la

collection, c'est-à-dire compter une grosse bille comme une petite, une bille bleue comme une rouge...

– L’élève doit comprendre que le dernier mot nombre prononcé correspond au cardinal de la collection

– L’élève doit se rendre compte que l’ordre de pointage est indifférent et qu’il conduit toujours à désigner la même quantité.

• Les élèves doivent comprendre ce à quoi servent les nombres.

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Une exemple pour travailler le principe d’abstraction

• Tiré d’un travail sur les rallyes mathématiques à l’école maternelle.

Charotte F., Emprin F. (2009), Un rallye Mathématique à l’école maternelle, SCEREN-CRDP Champagne-Ardenne

• Vidéo en accès libre sur le site

http://www2.crdp-reims.fr/crdp/index.php?id=926

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Le principe d’abstraction au travers d’un jeu : Mystero

• Michel et Robert Lyons

?

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?

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Situation Devinet : consigne

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Phase de recherche

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Première phase

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Reprise

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Qu’est-ce que connaître les nombres (objet)?

Le sens du nombreLes problèmes à résoudre

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A quoi sert le nombre ?

• Le sens du nombre :– Mémoriser– Comparer– Anticiper

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La situation des pinceaux G. Brousseau

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Situation fondamentale du nombre cardinalDivers habillages pour cette situation à support matériel en MS et GS :

•ERMEL GS•Les voitures et les voyageurs•Les math‐œufs

•CDROM Apprentissagesmathématiques en maternelle

•Voitures et garages•Lapin et carottes

•Découvrir le monde avec les mathématiques• La ferme de Mathurin

• ERMEL CP• Le robot• Les mosaïques

• Capmaths CP• Les ziglotrons

Roland Charnay et Marie‐Paule Dussuc‐2011 42

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Description rapide: Les jetons noirs sont les voyageurs déjà dans le wagon, Il s’agit de finir de remplir le wagon, en recouvrant complètement le quadrillage de jetons noirs.Consigne: « il faut prendre les jetons dans une caisse… éloignée… et finir de remplir le wagon.S’il reste des jetons sur le quai, vous avez perdu, s’il reste des cases vides, vous avez perdu… ».

Les variables (didactiques et pédagogiques): Le support (voir d’autres exemples à la suite), La distance spatiale et temporelle entre le lieu et la boîte, Le nombre d’allers et retours (3, puis 2, et enfin 1 seul), Le nombre d’objets de la collection à construire.. Le type de communication (seul, oral avec un banquier, par écrit).

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Une collection de gobeletsUne collection de jetons

La distance entre les 2 collections

D’autres supports:

Figure 2

D’autres supports encore, pour les PS et MS…

Des MS au travail!!

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La variable « banquier », permet le passage à la schématisation et à l’écrit:

La schématisation par une collection-témoin.

Le passage à l’écrit (trace de la bande numérique).

Le qualitatif résiste…Inversion momentanée de l’écriture du chiffre.

Passage à l’écriture chiffrée

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Replacer un objet à sa position(aspect  ordinal)

Respecter le rang GS/CPUne frise modèle constituée d’une suite d’images, placée plus loin.

L’élève dispose d’une frise vide, sans images, et d’une image, 

il doit la replacer sur la frise vide au même endroit que sur la frise modèle.CDROM Apprentissages mathématiques en maternelle

Marie‐Paule Dussuc‐Roland Charnay‐2011

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Et sa version informatique

• À nous les nombres !

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Comment faire ?

Chaîne orale (« un », « deux »...)

Quantités (collection)

Représentations du nombreDoigts

ConstellationsCollections témoins 

Abaques

Supports :Calendrier

Bandes numériques (pistes numérotées)Tableaux des nombres

CompteursCalculatrice

Monnaie

Chaîne écrite (1, 2, 3, ...)

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CONSTRUIRE LA NUMÉRATION

Le matériel comme vecteur de l’apprentissage

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LA NUMÉRATIONDe l’histoire des nombres aux apprentissages des élèves

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Le nombre sert à mémoriser la quantité

15OOO ans avant J-CLascaux

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Perdre les propriétés qualitatives pour ne garder que ... Le nombre

Bois de renne entaillé datant du Paléolithique (15 000 ans av.J.-C.)

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Où y a-t-il le plus ?

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Grouper

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Les chiffres romains

I II III IIII IIIII IIIII IIIII IIIIIIIIII IIIIII II III IIII IIIII

I II III IIII V V V V V VI II III IIII

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Symboliser les groupements

Numération sumérienne, qui est de base 60, le petit cône vaut 1, la bille 10, le grand cône 60, le grand cône perforé 3600 et la sphère perforée 36 000.

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Pour ne pas perdre les cailloux on les enferme dans un boule d’argile.

Pour savoir combien il y a ..

Ou...

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Mais alors à quoi servent les cailloux

une tablette d'argile (2 400 ans av. J.-C.) en écriture cunéiforme où figurent clous et chevrons qui seront les chiffres de cette numération.

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Les numérations additivesEgyptienne

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Chinoise

Document tiré de la Summa arithmética de Luca pacioliCalcul digital du Haut Moyen Age.

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Chinoise encore

Ecriture usuelle Ecriture officielle Français

一 壹 1

二 貳 2

三 叁 3

四 肆 4

五 伍 5

六 陸 6

七 柒 7

八 捌 8

九 玖 9

零 0

十 拾 10

百 佰 100

千 仟 1000

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Chinoise toujours

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Romaine

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Maya

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Grecque

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Mais pour écrire une infinité de nombres

• Il faut une infinité de chiffres

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Les écritures additives ne sont pas pratiques

• pour la comparaison:LXXXVIII est il plus grand que CI ?

• Pour le calculLXXXVIII + CI =?

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Et puis pour les fractions : les Égyptiens, les Mayas

L'addition des six fractions, 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64, donne 63/64, la fraction manquante étant sans doute ajoutée magiquement par Thot.

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Les numérations de position

• Les Babyloniens : 2 symboles

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Problème : comment différencier?

2

60 + 1

Une solution ...

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Il faut inventer le zéro de position

Dans ce manuscrit indien du 12e siècle figure le nombre 109 305. Le zéro est représenté par un point, le "bindu".

Sources photos : http://perso.univ-lille3.fr/~lvinciguerra/es/ecritures_scientifiques.html

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Petite histoire du zéro• Sunya c'est "le vide" en langue indienne (le sanskrit) et la première

figuration du zéro fut un petit cercle.Traduit en arabe, sunya devient sifr (le vide)

• Le zéro est entré en Occident au 12e siècle et diverses appellations lui furent attribuées. Celles-ci constituaient toutes des transcriptions plus ou moins latinisées du mot arabe sifr (le vide).

• Léonard de Pise (vers 1170-1250) utilise dans son Liber Abaci le nom de zéfirum que l'on utilisera jusqu'au 15e siècle. Après quelques modifications, ce mot aboutit à zéfiro , qui donnera zéro à partir de 1491.

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L’origine des chiffres

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D’autres numérations utilisées

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Ce qui signifieLe message d'Arecibo, 1974La première émission radioélectrique visant ouvertement une civilisation extraterrestre fut effectuée le 16 novembre 1974 avec l'antenne fixe de 300 m de diamètre de l'observatoire radioastronomique d'Arecibo installée à Puerto Rico. Le message binaire mis au point par Frank Drake et son équipe fut envoyé vers l'amas globulaireMessier 13 en 169 secondes. Il fut émis avec une puissance de 450 kW à 12.6 cm de longueur d’onde (2380 MHz) dans une bande passante de 10 Hz similaire à celle utilisée par les modems analogiques

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Ou encore

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Bibliographie• http://lechiffre.free.fr/chapter1/B-Naissance/titre1.html#cib1• http://www.math93.com/histoire-nombres.htm• GEORGES IFRAH (Les chiffres) - Robert Laffont (p 209-210)• Denis GUEDJ (L'empire des nombres) - Découvertes Gallimard - Sciences

(p55)• L’empire de nombres, Denis Guedj, Découverte Gallimard, 1998• Il existe une film tiré de ce livre. (Passage sur ARTE)• Histoire universelle des chiffres, Geoger Ifrah, bouquin-robert Laffont, 1994• Histoire de numérations écrites, Guitel G, Flammarion, 1975• Apprentissages numériques en GS et CP (2 tomes), ERMEL, Hatier,• Les chiffres ou l’histoire d’une grande invention, Robert Laffont, 1985 • (plus condensé que le précédent)• Un TP est à faire sur l’histoire des numérations sur le site :• http://tboivin.free.fr/mpi/histoire/histoire.htm

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avoir un rapport à la quantité, par collection témoin, dénombrement…

Utiliser le 

nombre Connaître la construction des codes écrits

Faire des groupements et des échanges

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Où y a-t-il le plus ?

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Grouper

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• Le groupement par dix : un extrait de manuel (Maths + CE1)

Des exemples d’activités

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avoir un rapport à la quantité, par collection témoin, dénombrement…

Utiliser le 

nombre Connaître la construction des codes écrits

Faire des groupements et des échanges

Comprendre la réversibilité des échanges

Faire la différence entre valeur et 

quantité

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La monnaie

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avoir un rapport à la quantité, par collection témoin, dénombrement…

Utiliser le 

nombre Connaître la construction des codes écrits

Faire des groupements et des échanges

Comprendre la réversibilité des échanges

Comprendre la nécessité d’un 

ordre conventionnel

Donner du sens aux écrits

Faire la différence entre valeur et 

quantité

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Les fourmillions

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3246

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avoir un rapport à la quantité, par collection témoin, dénombrement…

Utiliser le 

nombre Connaître la construction des codes écrits

Faire des groupements et des échanges

Utiliser la numération pour le calcul

Utiliser le nombre pour 

la comparaisonComprendre la 

réversibilité des échanges

Comprendre la nécessité d’un 

ordre conventionnel

Donner du sens aux écrits

Faire la différence entre valeur et 

quantité

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avoir un rapport à la quantité, par collection témoin, dénombrement…

Utiliser le 

nombre Connaître la construction des codes écrits

Faire des groupements et des échanges

Utiliser la numération pour le calcul

Utiliser le nombre pour 

la comparaisonComprendre la 

réversibilité des échanges

Comprendre la nécessité d’un 

ordre conventionnel

Donner du sens aux écrits

Faire la différence entre valeur et 

quantité

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Place du matériel dans les apprentissages

• Contraintes• Possibilités• Lien avec les techniques de calcul• Lien avec la comparaison

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Une définition conceptuelle de l’addition et de la soustraction

• Liée à l’aspect cardinal• Liée à l’aspect ordinal

3+23

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Multibase

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Compteurs à

bandesou à roues

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1

3

4

5

6

7

8

9

01

2

3

5

6

7

8

9

0

1

2

4

5

6

7

8

9

0

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Calculatrice

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Bandes numériques et pistes

1 2 3 4

5

678

…

12 3 4

…

1

2

4

3

5

6

1

2

3

4

…

…

4

3

2

1

…4321

Exemples de bandes numériques

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Rouleau des nombres

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Abaques et bouliers

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Tableau des nombres

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Spirale

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

RELATION NUMÉRATION / OPÉRATIONS / COMPARAISON

Remédiation et différenciation

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Place du matériel

• Deux rôles :– Outil de différenciation en cours

d’apprentissage– Outil de remédiation après l’apprentissage

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Dans le calcul mental

• Mental / écrit ?• Réfléchi / automatisé• Développement des procédures personnelles

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Les stratégies

• Schématisation et recomptage• Surcomptage / décomptage• Appui sur la numération• Arbre• Bonds• Bande• Technique opératoire

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Dialectique entre les différents matériels et différenciation

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Exemples de stratégies mentales

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Exemple de stratégies écrites

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Et pour la soustration

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Un exemple de remédiation en CE2 avec les abaques

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Remédier

• Une exemple : le jeu des comparaisons

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Les opérations : l’addition et la soustraction

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Installation de l’addition posée

• Basée sur les différents matériels• Fourmillions (multibase)• Abaques• Compteurs• …

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Techniques opératoires de la soustraction

• Française• Anglaise• Addition à trous

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Les structures multiplicatives et de division

• Quelles définitions conceptuelles de la multiplication ?

• Addition itérée• 3 « fois » 5 c’est 5 + 5 +5 = 3 x 5

• Grilles rectangulaires

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En guise de conclusionOserais-je exposer ici la plus grande, la plus importante, la plus

utile règle de toute l'éducation ? Ce n'est pas de gagner du temps, c'est d'en perdre.

Jean-Jacques Rousseau, Emile ou de l'éducation• Laisser le temps de faire, d’essayer...• Mettre en place des mises en commun pour dépasser « le

faire » (donc conserver les informations photo, productions...)

• S’adapter sans pour autant annihiler tout obstacle

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MERCI DE VOTRE ATTENTION

Contact :[email protected]