-
- I. 1 -
EXEMPLE DE APLICARE
EN 1993 Proiectarea structurilor din oel. Partea 1-7: Structuri
din plci plane solicitate la ncrcri n afara planului.
Exemplul nr. 1: Calculul unei plci plane nerigidizate ncrcat n
afara planului, simplu rezemat pe contur
Exemplul nr. 2: Calculul unei plci plane nerigidizate ncrcat n
afara planului, ncastrat pe contur
Exemplul nr. 3: Calculul unei plci plane rigidizate ncrcat n
afara planului, simplu rezemat pe contur
Exemplul nr. 4: Calculul unei plci plane rigidizate ncrcat n
afara planului, ncastrat pe contur
-
- I. 2 -
Exemplul nr. 1: Calculul unei plci plane nerigidizate ncrcat n
afara planului, simplu rezemat pe contur.
Prin exemplul curent se dorete calculul unei plci plane
nerigidizate ncrcat n afara planului i cu o rezemare simpl pe
contur, n vederea determinrii deformaiei n afara planulul i a
tensiunilor ce iau natere n plac sub aciunea ncrcrilor. Placa este
realizat din oel S235 cu o grosime de 15 mm, iar deschiderile plcii
sunt de 3000 mm i respectiv 4500 mm. ncrcarea este uniform
distribuit i acioneaz perpendicular pe suprafaa plcii.
1.1. Condiii geometrice
Figura 1: Plac plan simplu rezemat
Simboluri:
qEd valoarea de calcul a ncrcrii distribuite; a latura mai
scurta a plcii; b latura mai lung a plcii; t grosimea plcii; E
modulul de elasticitate; kw coeficientul pentru deformaia plcii
corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n
tabele; kbx coeficientul pentru tensiunea de ncovoiere bx a plcii
corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n
tabele; kby coeficientul pentru tensiunea de ncovoiere by a plcii
corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n
tabele; w deformaia unui segment de plac ncrcat cu o ncrcare
uniform distribuit; bx tensiunea de pe direcia transversal; bx
tensiunea de pe direcia longitudinal; eq tensiunea echivalent;
.
-
- I. 3 -
Datele problemei: qEd = 4,0 kN/m2 a = 3000 mm b
= 4500 mm t
= 15 mm fy = 235 N/mm2 E
= 210000 N/mm2
1.2. Determinarea coeficienilor k pentru ncrcri uniform
distribuite
Pentru determinarea deformaiei n afara planulul i a tensiunilor
ce iau natere n plac sub aciunea ncrcrcrii uniform distribuite,
este necesar s se obin valoarea coeficienilor k. Conform tabelului
B.1 din SR EN 1997-1-7 i n funcie de raportul laturilor, valoarea
coeficienilor rezult:
5,130004500
==
a
b 08438,0=wk
486,0=bxk 299,0=byk
1.3. Calculul deformaiei n afara planului
Deformaia n afara planului se determin cu urmtoarea relaie,
prevzut n B.3.1.(1) din SR EN 1993-1-7:
3
4
tEaqkw Edw
=
mmw 57,3815210000
3000004,008438,0 34
=
=
1.4. Calculul tensiunilor
Cu relaiile prevzute n B.3.2. din SR EN 1993-1-7 se determin
tensiunile de pe direcia transversal i longitudinal precum i
tensiunea echivalent.
2
2
, t
aqk EdbxEdbx
=
2y22
2
, 235f 76,77
153000004,0486,0
mm
Nmm
NEdbx =
-
- I. 4 -
1.5. Comparaie cu rezultatele din analiza cu element finit (FEM)
Pentru a evalua modul de comportare al plcii, s-a efectuat o analiz
numeric cu programul de modelare cu metoda elementului finit
Abaqus.
Tipul de element finit folosit n analize a fost elementul de
suprafa, shell element. Pentru modelul de material, s-a folosit o
curb cu o comportare elastic perfect plastic, avnd o valoare a
limitei de curgere de 235 N/mm2. Modulul de elasticitate al oelului
a fost considerat egal cu 210000 N/mm2 iar coeficientul lui Poisson
cu valoarea de 0,3. Tipul de analiz numeric utilizat a fost de tip
Dinamic Explicit. Discretizarea plcii a fost fcut cu elemente de
tip S4R. Geometria, modelul de material precum i ncrcarea au fost
definite folosind ca i uniti de msura [N] i [mm]. n consecin i
rezultatele sunt prezentate n aceleai uniti.
Din analiza cu element finit a plcii curente s-a obinut
deformaia n afara planului precum i tensiunile de pe direcia
transversal i longitudinal. Acestea sunt comparate cu valorile
obinute pe cale analitic n tabelul urmtor. Se pot observa diferene
ntre rezultatele celor dou metode de analiz, cu valori mai mici n
analiza numeric.
Analitic Analiz FEM Deformaia n afara planului w [mm] 38,57 14,5
Tensiunile transversale bx [N/mm
2] 77,76 41,15 Tensiunile longitudinale by [N/mm
2] 47,84 28,53
Figura 2: Deformaia n afara planului
-
- I. 5 -
Figura 3: Tensiunile transversale (pe direcia x)
Figura 4: Tensiunile longitudinale (pe direcia y)
-
- I. 6 -
Exemplul nr. 2: Calculul unei plci plane nerigidizate ncrcat n
afara planului, ncastrat pe contur
Prin exemplul curent se dorete calculul unei plci plane
nerigidizate ncrcat n afara planului i avnd marginile ncastrate, n
vederea determinrii deformaiei n afara planulul i a tensiunilor ce
iau natere n plac sub aciunea ncrcrilor. Placa este realizat din
oel S235 cu o grosime de 15 mm, iar deschiderile plcii sunt de 3000
mm i respectiv 4500 mm. ncrcarea este uniform distribuit i acioneaz
perpendicular pe suprafaa plcii.
2.1. Condiii geometrice
Figura 5: Plac plan ncastrat
Simboluri:
qEd valoarea de calcul a ncrcrii distribuite; a latura mai
scurta a plcii; b latura mai lung a plcii; t grosimea plcii; E
modulul de elasticitate; kw coeficientul pentru deformaia plcii
corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n
tabele; kbx coeficientul pentru tensiunea de ncovoiere bx a plcii
corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n
tabele; kby coeficientul pentru tensiunea de ncovoiere by a plcii
corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n
tabele; w deformaia unui segment de plac ncrcat cu o ncrcare
uniform distribuit; bx tensiunea de pe direcia transversal; bx
tensiunea de pe direcia longitudinal; eq tensiunea echivalent;
.
-
- I. 7 -
Datele problemei: qEd = 4,0 kN/m2 a = 3000 mm b
= 4500 mm t
= 15 mm fy = 235 N/mm2 E
= 210000 N/mm2
2.2. Determinarea coeficienilor k pentru ncrcri uniform
distribuite
Pentru determinarea deformaiei n afara planulul i a tensiunilor
ce iau natere n plac sub aciunea ncrcrcrii uniform distribuite,
este necesar s se obin valoarea coeficienilor k. Conform tabelului
B.2 din SR EN 1997-1-7 i n funcie de raportul laturilor, valoarea
coeficienilor rezult:
5,130004500
==
a
b 02393,0=wk
2180,0=bxk 1210,0=byk
2.3. Calculul deformaiei n afara planului
Deformaia n afara planului se determin cu urmtoarea relaie,
prevzut n B.3.1.(1) din SR EN 1993-1-7:
3
4
tEaqkw Edw
=
mmw 93,1015210000
3000004,002393,0 34
=
=
2.4. Calculul tensiunilor
Cu relaiile prevzute n B.3.2. din SR EN 1993-1-7 se determin
tensiunile de pe direcia transversal i longitudinal precum i
tensiunea echivalent.
2
2
, t
aqk EdbxEdbx
=
2y22
2
, 235f 88,34
153000004,02180,0
mm
Nmm
NEdbx =
-
- I. 8 -
2.5. Comparaie cu rezultatele din analiza cu element finit (FEM)
Pentru a evalua modul de comportare al plcii, s-a efectuat o analiz
numeric cu programul de modelare cu metoda elementului finit
Abaqus.
Tipul de element finit folosit n analize a fost elementul de
suprafa, shell element. Pentru modelul de material, s-a folosit o
curb cu o comportare elastic perfect plastic, avnd o valoare a
limitei de curgere de 235 N/mm2. Modulul de elasticitate al oelului
a fost considerat egal cu 210000 N/mm2 iar coeficientul lui Poisson
cu valoarea de 0,3. Tipul de analiz numeric utilizat a fost de tip
Dinamic Explicit. Discretizarea plcii a fost fcut cu elemente de
tip S4R. Geometria, modelul de material precum i ncrcarea au fost
definite folosind ca i uniti de msura [N] i [mm]. n consecin i
rezultatele sunt prezentate n aceleai uniti.
Din analiza cu element finit a plcii curente s-a obinut
deformaia n afara planului precum i tensiunile de pe direcia
transversal i longitudinal. Acestea sunt comparate cu valorile
obinute pe cale analitic n tabelul urmtor. n acest caz se pot
observa rezultate foarte apropiate ale celor dou metode de
analiz.
Analitic Analiz FEM Deformaia n afara planului w [mm] 10,93 9,06
Tensiunile transversale bx [N/mm
2] 34,88 33,31 Tensiunile longitudinale by [N/mm
2] 19,36 18,74
Figura 6: Deformaia n afara planului
-
- I. 9 -
Figura 7: Tensiunile transversale (pe direcia x)
Figura 8: Tensiunile longitudinale (pe direcia y)
-
- I. 10 -
Exemplul nr. 3: Calculul unei plci plane rigidizate ncrcat n
afara planului, simplu rezemat pe contur.
Prin exemplul curent se dorete calculul unei plci plane
rigidizate ncrcat n afara planului i cu o rezemare simpl pe contur,
n vederea determinrii deformaiei n afara planulul i a tensiunilor
ce iau natere n plac sub aciunea ncrcrilor. Placa este realizat din
oel S235 cu o grosime de 15 mm, iar deschiderile plcii sunt de 3000
mm i respectiv 4500 mm. Placa este prevzut cu rigidizri dispuse la
partea inferioar la o distan de 750 mm. ncrcarea este uniform
distribuit i acioneaz perpendicular pe suprafaa plcii.
3.1. Condiii geometrice
Figura 9: Plac rigidizat, simplu rezemat pe contur
Simboluri:
qEd valoarea de calcul a ncrcrii distribuite; a latura mai
scurta a plcii; b latura mai lung a plcii; t grosimea plcii; tn
grosimea nervurii; hn nlimea nervurii; a1 distana dintre axele
nervurilor longitudinale; b1 distana dintre axele nervurilor
transversale; E modulul de elasticitate; coeficientul lui Poisson;
w deformaia unui segment de plac ncrcat cu o ncrcare uniform
distribuit; D rigiditatea la ncovoiere a plcii; In momentul de
inerie al unei nervuri n raport cu suprafaa median a plcii; I
momentul de inerie al unei fii unitare de plac; M momentul
ncovoietor; x tensiune transversal; y tensiune longitudinal;
.
-
- I. 11 -
Datele problemei: qEd = 4,0 kN/m2 a = 3000 mm b
= 4500 mm a1 = 750 mm b1 = 750 mm t
= 15 mm tn = 15 mm hn = 100 mm fy = 235 N/mm2 E
= 210000 N/mm2
3.2. Calculul rigiditii la ncovoiere a plcii
Se calculeaz rigiditatea la ncovoiere a plcii pe direcia
transversal i longitudinal (Teoria Plcilor Plane i Curbe -
Timoshenko).
( ) 123
112 bIEtED nx
+
=
( ) mmNmmDx
2
2
3
1464903846750
50000002100003,011215210000
=
+
=
( ) 123
112 aIEtED ny
+
=
( ) mmNmmDy
2
2
3
1464903846750
50000002100003,011215210000
=
+
=
Momentul de inerie al unei nervuri n raport cu suprafaa median a
plcii este:
+
=
23
212n
nn
nn
n
hhthtI
mm
mmI n423
50000002
100100151210015
=
+
=
3.3. Calculul deformaiei n afara planului
Deformaia n afara planului se determin cu urmtoarea relaie
(Teoria Plcilor Plane i Curbe - Timoshenko):
Daq
w4
=
mmw 7,11464903846
3000004,000772,04
=
=
3.4. Calculul momentelor ncovoietoare
Momentele ncovoietoare se determin cu urmtoarele relaii (Teoria
Plcilor Plane i Curbe - Timoshenko):
2aqM x =
-
- I. 12 -
mm
NmmM x 2,29233000004,00812,02
==
21 aqM y =
mm
NmmM y 8,17923000004,00498,02
==
00772,0= 0812,0= 0497,01 =
3.5. Calculul tensiunilor
Tensiunile de pe direcia transversal i longitudinal se determin
cu urmtoarele relaii considernd o fie cu lime unitar.
zI
M xx =
2y2 235f 07,421009,69472,2923
mm
Nmm
Nx =
-
- I. 13 -
Acestea sunt comparate cu valorile obinute pe cale analitic n
tabelul urmtor. n acest caz se pot observa rezultate apropiate ale
celor dou metode de analiz.
Analitic Analiz FEM Deformaia n afara planului w [mm] 1,7 2,9
Tensiunile transversale bx [N/mm
2] 42,07 54,54 Tensiunile longitudinale by [N/mm
2] 25,8 22,1
Figura 10: Deformaia n afara planului
Figura 11: Tensiunile transversale (pe direcia x)
-
- I. 14 -
Figura 12: Tensiunile longitudinale (pe direcia y)
-
- I. 15 -
Exemplul nr. 4: Calculul unei plci plane rigidizate ncrcat n
afara planului, ncastrat pe contur.
Prin exemplul curent se dorete calculul unei plci plane
rigidizate ncrcat n afara planului i i avnd marginile ncastrate, n
vederea determinrii deformaiei n afara planulul i a tensiunilor ce
iau natere n plac sub aciunea ncrcrilor. Placa este realizat din
oel S235 cu o grosime de 15 mm, iar deschiderile plcii sunt de 3000
mm i respectiv 4500 mm. Placa este prevzut cu rigidizri dispuse la
partea inferioar la o distan de 750 mm. ncrcarea este uniform
distribuit i acioneaz perpendicular pe suprafaa plcii.
4.1. Condiii geometrice
Figura 13: Plac rigidizat, ncastrat pe contur
Simboluri:
qEd valoarea de calcul a ncrcrii distribuite; a latura mai
scurta a plcii; b latura mai lung a plcii; t grosimea plcii; tn
grosimea nervurii; hn nlimea nervurii; a1 distana dintre axele
nervurilor longitudinale; b1 distana dintre axele nervurilor
transversale; E modulul de elasticitate; coeficientul lui Poisson;
w deformaia unui segment de plac ncrcat cu o ncrcare uniform
distribuit; D rigiditatea la ncovoiere a plcii; In momentul de
inerie al unei nervuri n raport cu suprafaa median a plcii; I
momentul de inerie al unei fii unitare de plac; M momentul
ncovoietor; x tensiune transversal; y tensiune longitudinal;
-
- I. 16 -
Datele problemei: qEd = 4,0 kN/m2 a = 3000 mm b
= 4500 mm a1 = 750 mm b1 = 750 mm t
= 15 mm tn = 15 mm hn = 100 mm fy = 235 N/mm2 E
= 210000 N/mm2
4.2. Calculul rigiditii la ncovoiere a plcii
Se calculeaz rigiditatea la ncovoiere a plcii pe direcia
transversal i longitudinal (Teoria Plcilor Plane i Curbe -
Timoshenko).
( ) 123
112 bIEtED nx
+
=
( ) mmNmmDx
2
2
3
1464903846750
50000002100003,011215210000
=
+
=
( ) 123
112 aIEtED ny
+
=
( ) mmNmmDy
2
2
3
1464903846750
50000002100003,011215210000
=
+
=
Momentul de inerie al unei nervuri n raport cu suprafaa median a
plcii este:
+
=
23
212n
nn
nn
n
hhthtI
mm
mmI n423
50000002
100100151210015
=
+
=
4.3. Calculul deformaiei n afara planului
Deformaia n afara planului se determin cu urmtoarea relaie
(Teoria Plcilor Plane i Curbe - Timoshenko):
Daq
w4
0022,0 =
mmw 48,01464903846
3000004,00022,04
=
=
4.4. Calculul momentelor ncovoietoare
Momentele ncovoietoare din zona de reazem i din centrul plcii se
determin cu urmtoarele relaii (Teoria Plcilor Plane i Curbe -
Timoshenko):
2,
0757,0 aqM reazemx =
-
- I. 17 -
mm
NmmM x 2,27253000004,00757,0 2 ==
2,
0368,0 aqM centrux =
mm
NmmM x 8,13243000004,00368,02
==
2,
0570,0 aqM reazemy =
mm
NmmM reazemy 20523000004,00570,0 2, ==
2,
0203,0 aqM centruy =
mm
NmmM reazemy 8,7303000004,00203,02
,==
4.5. Calculul tensiunilor
Tensiunile de pe direcia transversal i longitudinal se determin
cu urmtoarele relaii, considernd o fie cu lime unitar.
zI
M xx =
2y2, 235f 06,191009,69478,1324
mm
Nmm
Ncentrux =
-
- I. 18 -
fcut cu elemente de tip S4R. Geometria, modelul de material
precum i ncrcarea au fost definite folosind ca i uniti de msura [N]
i [mm]. n consecin i rezultatele sunt prezentate n aceleai
uniti.
Din analiza cu element finit a plcii curente s-a obinut
deformaia n afara planului precum i tensiunile de pe direcia
transversal i longitudinal. Acestea sunt comparate cu valorile
obinute pe cale analitic n tabelul urmtor. n acest caz se pot
observa rezultate foarte apropiate ale celor dou metode de
analiz.
Analitic Analiz FEM Deformaia n afara planului w [mm] 0,48 0,69
Tensiunile transversale bx [N/mm
2] 19,06 19,4 Tensiunile longitudinale by [N/mm
2] 10,51 7,46
Figura 14: Deformaia n afara planului
Figura 15: Tensiunile transversale (pe direcia x)
-
- I. 19 -
Figura 16: Tensiunile longitudinale (pe direcia y)