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Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Construccion de un modelo AR-ARCH vavariables latentes
Miguel Angel Contreras Ortiz
Facultad de Ciencias, UNAM
Abril 2011
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
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Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
1 Fundamentos y motivacion del uso de variables latentes
2 Series de tiempo va variables latentes
3 Construccion del modelo AR-ARCH
4 Aplicaciones del modelo
5 Conclusiones
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
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Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Introduccion
Pitt, Chatfield, Walker (2002) y Pitt, Walker(2005)desarrollaron
artculos en los cuales exponen una metodologapara construir series
de tiempo estacionarias incorporandovariables auxiliares; lo
anterior con el fin de poder fijar unadistribucion marginal
especfica para las observaciones delproceso en estudio.
Esta metodologa de incorporar variables auxiliares(o latentes)
en un modelo probabilstico tiene su motivacionen tecnicas de
simulacion estocastica usadas en la estadsticaBayesiana como es el
algoritmo Gibbs sampler.
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va variables latentes
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Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Introduccion
Pitt, Chatfield, Walker (2002) y Pitt, Walker(2005)desarrollaron
artculos en los cuales exponen una metodologapara construir series
de tiempo estacionarias incorporandovariables auxiliares; lo
anterior con el fin de poder fijar unadistribucion marginal
especfica para las observaciones delproceso en estudio.
Esta metodologa de incorporar variables auxiliares(o latentes)
en un modelo probabilstico tiene su motivacionen tecnicas de
simulacion estocastica usadas en la estadsticaBayesiana como es el
algoritmo Gibbs sampler.
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Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Algoritmo Gibbs Sampler
Para el caso de una distribucion f (x) definida en Rn,
elalgoritmo Gibbs sampler permite simular muestras de unacadena de
Makov x (1), x (2), . . . con distribucion estacionariaf (x).
Una aplicacion de este algoritmo se da cuando tenemos
unadensidad conjunta dada por f (x , y1, . . . , yn) y nos
interesancaractersticas de la densidad marginal f (x).
En este caso podemos usar el algoritmo Gibbs sampler para
simular muestras (x (i), y(i)1 , . . . , y
(i)k ), i = 1, 2, . . . , n de
f (x , y1, . . . , yk); entonces la muestra {x
(i)}ni=1correspondera a la densidad marginal f (x).
Consideremos un caso donde la distribucion conjunta esf
(X1,X2).
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Algoritmo Gibbs Sampler
Para el caso de una distribucion f (x) definida en Rn,
elalgoritmo Gibbs sampler permite simular muestras de unacadena de
Makov x (1), x (2), . . . con distribucion estacionariaf (x).
Una aplicacion de este algoritmo se da cuando tenemos
unadensidad conjunta dada por f (x , y1, . . . , yn) y nos
interesancaractersticas de la densidad marginal f (x).
En este caso podemos usar el algoritmo Gibbs sampler para
simular muestras (x (i), y(i)1 , . . . , y
(i)k ), i = 1, 2, . . . , n de
f (x , y1, . . . , yk); entonces la muestra {x
(i)}ni=1correspondera a la densidad marginal f (x).
Consideremos un caso donde la distribucion conjunta esf
(X1,X2).
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Conclusiones
Algoritmo Gibbs Sampler
Para el caso de una distribucion f (x) definida en Rn,
elalgoritmo Gibbs sampler permite simular muestras de unacadena de
Makov x (1), x (2), . . . con distribucion estacionariaf (x).
Una aplicacion de este algoritmo se da cuando tenemos
unadensidad conjunta dada por f (x , y1, . . . , yn) y nos
interesancaractersticas de la densidad marginal f (x).
En este caso podemos usar el algoritmo Gibbs sampler para
simular muestras (x (i), y(i)1 , . . . , y
(i)k ), i = 1, 2, . . . , n de
f (x , y1, . . . , yk ); entonces la muestra {x
(i)}ni=1correspondera a la densidad marginal f (x).
Consideremos un caso donde la distribucion conjunta esf
(X1,X2).
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Conclusiones
Algoritmo Gibbs Sampler
Para el caso de una distribucion f (x) definida en Rn,
elalgoritmo Gibbs sampler permite simular muestras de unacadena de
Makov x (1), x (2), . . . con distribucion estacionariaf (x).
Una aplicacion de este algoritmo se da cuando tenemos
unadensidad conjunta dada por f (x , y1, . . . , yn) y nos
interesancaractersticas de la densidad marginal f (x).
En este caso podemos usar el algoritmo Gibbs sampler para
simular muestras (x (i), y(i)1 , . . . , y
(i)k ), i = 1, 2, . . . , n de
f (x , y1, . . . , yk ); entonces la muestra {x
(i)}ni=1correspondera a la densidad marginal f (x).
Consideremos un caso donde la distribucion conjunta esf
(X1,X2).
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Conclusiones
Algoritmo Gibbs Sampler
Dado el vector inicial X0 = (x0,1, x0,2), generamos muestrasde f
(X1,X2) al muestrear x1,1 de f (X1|X2 = x0,2) y x1,2 def (X2|X1 =
x1,1).
Las entradad del vector Xt son obtenidas alternadamentegenerando
valores de ambas distribuciones condicionales. Parala t-esima
iteracion, dada la muestra Xt = (xt,1, xt,2) hacemoslos
siguiente:
1. Generamos un valor xt+1,1 de f (X1|X2 = xt,2).2. Generamos un
valor xt+1,2 de f (X2|X1 = xt+1,1).3. La t-esima muestra de la
cadena es Xt+1 = (xt+1,1, xt+1,2).
Al repetir los pasos 1, 2 y 3 un numero n de veces grande,
losvalores (xm+t,1, xm+t,2) seran una muestra de f (x1, x2) parat =
1, 2, . . . y m Z, 0 m n.
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Conclusiones
Algoritmo Gibbs Sampler
Dado el vector inicial X0 = (x0,1, x0,2), generamos muestrasde f
(X1,X2) al muestrear x1,1 de f (X1|X2 = x0,2) y x1,2 def (X2|X1 =
x1,1).Las entradad del vector Xt son obtenidas
alternadamentegenerando valores de ambas distribuciones
condicionales. Parala t-esima iteracion, dada la muestra Xt =
(xt,1, xt,2) hacemoslos siguiente:
1. Generamos un valor xt+1,1 de f (X1|X2 = xt,2).2. Generamos un
valor xt+1,2 de f (X2|X1 = xt+1,1).3. La t-esima muestra de la
cadena es Xt+1 = (xt+1,1, xt+1,2).
Al repetir los pasos 1, 2 y 3 un numero n de veces grande,
losvalores (xm+t,1, xm+t,2) seran una muestra de f (x1, x2) parat =
1, 2, . . . y m Z, 0 m n.
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Conclusiones
Algoritmo Gibbs Sampler
Dado el vector inicial X0 = (x0,1, x0,2), generamos muestrasde f
(X1,X2) al muestrear x1,1 de f (X1|X2 = x0,2) y x1,2 def (X2|X1 =
x1,1).Las entradad del vector Xt son obtenidas
alternadamentegenerando valores de ambas distribuciones
condicionales. Parala t-esima iteracion, dada la muestra Xt =
(xt,1, xt,2) hacemoslos siguiente:
1. Generamos un valor xt+1,1 de f (X1|X2 = xt,2).
2. Generamos un valor xt+1,2 de f (X2|X1 = xt+1,1).3. La t-esima
muestra de la cadena es Xt+1 = (xt+1,1, xt+1,2).
Al repetir los pasos 1, 2 y 3 un numero n de veces grande,
losvalores (xm+t,1, xm+t,2) seran una muestra de f (x1, x2) parat =
1, 2, . . . y m Z, 0 m n.
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Conclusiones
Algoritmo Gibbs Sampler
Dado el vector inicial X0 = (x0,1, x0,2), generamos muestrasde f
(X1,X2) al muestrear x1,1 de f (X1|X2 = x0,2) y x1,2 def (X2|X1 =
x1,1).Las entradad del vector Xt son obtenidas
alternadamentegenerando valores de ambas distribuciones
condicionales. Parala t-esima iteracion, dada la muestra Xt =
(xt,1, xt,2) hacemoslos siguiente:
1. Generamos un valor xt+1,1 de f (X1|X2 = xt,2).2. Generamos un
valor xt+1,2 de f (X2|X1 = xt+1,1).
3. La t-esima muestra de la cadena es Xt+1 = (xt+1,1,
xt+1,2).
Al repetir los pasos 1, 2 y 3 un numero n de veces grande,
losvalores (xm+t,1, xm+t,2) seran una muestra de f (x1, x2) parat =
1, 2, . . . y m Z, 0 m n.
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Conclusiones
Algoritmo Gibbs Sampler
Dado el vector inicial X0 = (x0,1, x0,2), generamos muestrasde f
(X1,X2) al muestrear x1,1 de f (X1|X2 = x0,2) y x1,2 def (X2|X1 =
x1,1).Las entradad del vector Xt son obtenidas
alternadamentegenerando valores de ambas distribuciones
condicionales. Parala t-esima iteracion, dada la muestra Xt =
(xt,1, xt,2) hacemoslos siguiente:
1. Generamos un valor xt+1,1 de f (X1|X2 = xt,2).2. Generamos un
valor xt+1,2 de f (X2|X1 = xt+1,1).3. La t-esima muestra de la
cadena es Xt+1 = (xt+1,1, xt+1,2).
Al repetir los pasos 1, 2 y 3 un numero n de veces grande,
losvalores (xm+t,1, xm+t,2) seran una muestra de f (x1, x2) parat =
1, 2, . . . y m Z, 0 m n.
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Conclusiones
Algoritmo Gibbs Sampler
Dado el vector inicial X0 = (x0,1, x0,2), generamos muestrasde f
(X1,X2) al muestrear x1,1 de f (X1|X2 = x0,2) y x1,2 def (X2|X1 =
x1,1).Las entradad del vector Xt son obtenidas
alternadamentegenerando valores de ambas distribuciones
condicionales. Parala t-esima iteracion, dada la muestra Xt =
(xt,1, xt,2) hacemoslos siguiente:
1. Generamos un valor xt+1,1 de f (X1|X2 = xt,2).2. Generamos un
valor xt+1,2 de f (X2|X1 = xt+1,1).3. La t-esima muestra de la
cadena es Xt+1 = (xt+1,1, xt+1,2).
Al repetir los pasos 1, 2 y 3 un numero n de veces grande,
losvalores (xm+t,1, xm+t,2) seran una muestra de f (x1, x2) parat =
1, 2, . . . y m Z, 0 m n.
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Conclusiones
Variables Latentes
El metodo de variables latentes consiste en notar que
enocasiones es posible simular mas facilmente y eficientementede
una distribucion f (x, |) que de la distribucion f (x|),donde el
nuevo parametro puede ser escencialmentecualquier variable
aleatoria; a esta variable se le llama variableauxiliar o variable
latente.
Es evidente que al generar una muestra de la
distribucionconjunta f (x, |), automaticamente obtenemos una
muestrade la distribucion marginal f (x|) que nos
interesabaoriginalmente.
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Conclusiones
Variables Latentes
El metodo de variables latentes consiste en notar que
enocasiones es posible simular mas facilmente y eficientementede
una distribucion f (x, |) que de la distribucion f (x|),donde el
nuevo parametro puede ser escencialmentecualquier variable
aleatoria; a esta variable se le llama variableauxiliar o variable
latente.
Es evidente que al generar una muestra de la
distribucionconjunta f (x, |), automaticamente obtenemos una
muestrade la distribucion marginal f (x|) que nos
interesabaoriginalmente.
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Conclusiones
Variables Latentes
Ejemplo: Supongamos que deseamos simular un vectoraleatorio x
Nb(, p). Esta simulacion puede realizarseusando el hecho de que si
Ga(, p/(1 p)) yx| Po(), entonces x Nb(, p).
En este ejemplo estamos considerando a como variablelatente, ya
que
f (x|) f ()d =
f (x, ) = f (x)d.
Mas aun, si se conocieran las distribuciones
condicionalescompletas, es decir f (x|) y f (|x), se puede realizar
lasimulacion usando el algoritmo Gibbs Sampler.
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Conclusiones
Variables Latentes
Ejemplo: Supongamos que deseamos simular un vectoraleatorio x
Nb(, p). Esta simulacion puede realizarseusando el hecho de que si
Ga(, p/(1 p)) yx| Po(), entonces x Nb(, p).En este ejemplo estamos
considerando a como variablelatente, ya que
f (x|) f ()d =
f (x, ) = f (x)d.
Mas aun, si se conocieran las distribuciones
condicionalescompletas, es decir f (x|) y f (|x), se puede realizar
lasimulacion usando el algoritmo Gibbs Sampler.
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Conclusiones
Variables Latentes
Ejemplo: Supongamos que deseamos simular un vectoraleatorio x
Nb(, p). Esta simulacion puede realizarseusando el hecho de que si
Ga(, p/(1 p)) yx| Po(), entonces x Nb(, p).En este ejemplo estamos
considerando a como variablelatente, ya que
f (x|) f ()d =
f (x, ) = f (x)d.
Mas aun, si se conocieran las distribuciones
condicionalescompletas, es decir f (x|) y f (|x), se puede realizar
lasimulacion usando el algoritmo Gibbs Sampler.
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Conclusiones
Inferencia Bayesiana
En el enfoque Bayesiano de la Estadstica, la
incertidumbrepresente en un modelo dado, p(x|), es representado a
travesde una distribucion inicial o a priori p() sobre los
posiblesvalores del parametro desconocido que define al modelo.
El Teorema de Bayes,
p(|x) = p(x|)p()p(x)
permite entonces incorporar la informacion contenida en
unconjunto de datos x = (x1, . . . , xn), produciendo
unadescripcion conjunta de la incertidumbre sobre los valores delos
parametros del modelo a traves de la distribucion final oposterior
p(|x).
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Conclusiones
Inferencia Bayesiana
En el enfoque Bayesiano de la Estadstica, la
incertidumbrepresente en un modelo dado, p(x|), es representado a
travesde una distribucion inicial o a priori p() sobre los
posiblesvalores del parametro desconocido que define al modelo.
El Teorema de Bayes,
p(|x) = p(x|)p()p(x)
permite entonces incorporar la informacion contenida en
unconjunto de datos x = (x1, . . . , xn), produciendo
unadescripcion conjunta de la incertidumbre sobre los valores delos
parametros del modelo a traves de la distribucion final oposterior
p(|x).
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Conclusiones
Inferencia Bayesiana
Sin perdida de generalidad, podemos escribir que
p(|x) p(x|)p() = L(x|)p()donde significa proporcional a o bien
igual salvo porun factor que no depende de .
Si p() es una constante entonces
p(|x) L(x|)y como consecuencia al encontrar el estimador
maximoverosmil, estaramos encontrando la moda de la
distribucionfinal.
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Conclusiones
Inferencia Bayesiana
Sin perdida de generalidad, podemos escribir que
p(|x) p(x|)p() = L(x|)p()donde significa proporcional a o bien
igual salvo porun factor que no depende de .
Si p() es una constante entonces
p(|x) L(x|)y como consecuencia al encontrar el estimador
maximoverosmil, estaramos encontrando la moda de la
distribucionfinal.
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Conclusiones
Algoritmo E-M
El algoritmo EM (Expectation-Maximization) es unprocedimiento
iterativo para calcular la moda de ladistribucion final o los
estimadores maximo verosimiles cuandose tienen datos
incompletos.
En la formulacion usual del algoritmo EM, el vectorcompleto de
datos x es conformado tanto por datosobservados y como por datos
faltantes w, es decir que loselementos de w se pueden considerar
como variables latentes.
El algoritmo EM provee un procedimiento iterativo paracalcular
los estimadores de maxima verosimilitud basado soloen los datos
observados.
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Conclusiones
Algoritmo E-M
El algoritmo EM (Expectation-Maximization) es unprocedimiento
iterativo para calcular la moda de ladistribucion final o los
estimadores maximo verosimiles cuandose tienen datos
incompletos.
En la formulacion usual del algoritmo EM, el vectorcompleto de
datos x es conformado tanto por datosobservados y como por datos
faltantes w, es decir que loselementos de w se pueden considerar
como variables latentes.
El algoritmo EM provee un procedimiento iterativo paracalcular
los estimadores de maxima verosimilitud basado soloen los datos
observados.
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Conclusiones
Algoritmo E-M
El algoritmo EM (Expectation-Maximization) es unprocedimiento
iterativo para calcular la moda de ladistribucion final o los
estimadores maximo verosimiles cuandose tienen datos
incompletos.
En la formulacion usual del algoritmo EM, el vectorcompleto de
datos x es conformado tanto por datosobservados y como por datos
faltantes w, es decir que loselementos de w se pueden considerar
como variables latentes.
El algoritmo EM provee un procedimiento iterativo paracalcular
los estimadores de maxima verosimilitud basado soloen los datos
observados.
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Conclusiones
Algoritmo E-M
Cada iteracion del algoritmo EM consiste de dos pasos: elpaso E
(paso de la esperanza) y el paso M (paso de lamaximizacion).
Supongase que (k) denota el valor estimado despues de
kiteraciones del algoritmo para la moda de la distribucion finalde
nuestro interes p(|y) y sea p(|y,w) la distribucion
finalaumentada.
Por ultimo definamos a p(w|y, (k)) como la
distribucioncondicional de los datos latentes w dado el valor
k-esimo de lamoda de la distribucion final y dados los datos
observados;entonces los pasos E y M en la (k + 1)-esima iteracion
son:
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Conclusiones
Algoritmo E-M
Cada iteracion del algoritmo EM consiste de dos pasos: elpaso E
(paso de la esperanza) y el paso M (paso de lamaximizacion).
Supongase que (k) denota el valor estimado despues de
kiteraciones del algoritmo para la moda de la distribucion finalde
nuestro interes p(|y) y sea p(|y,w) la distribucion
finalaumentada.
Por ultimo definamos a p(w|y, (k)) como la
distribucioncondicional de los datos latentes w dado el valor
k-esimo de lamoda de la distribucion final y dados los datos
observados;entonces los pasos E y M en la (k + 1)-esima iteracion
son:
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Conclusiones
Algoritmo E-M
Cada iteracion del algoritmo EM consiste de dos pasos: elpaso E
(paso de la esperanza) y el paso M (paso de lamaximizacion).
Supongase que (k) denota el valor estimado despues de
kiteraciones del algoritmo para la moda de la distribucion finalde
nuestro interes p(|y) y sea p(|y,w) la distribucion
finalaumentada.
Por ultimo definamos a p(w|y, (k)) como la
distribucioncondicional de los datos latentes w dado el valor
k-esimo de lamoda de la distribucion final y dados los datos
observados;entonces los pasos E y M en la (k + 1)-esima iteracion
son:
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Conclusiones
Algoritmo E-M
paso E. Calcular Q(, (k)) = E[log p(|y,w)] con respectoa p(w|y,
(k)), es decir,
Q(, (k)) =
W log p(|y,w)p(w|y, (k))dwy
pasoM. Maximizar Q(, (k)) con respecto a . Se toma
(k+1) = arg max
Q(, (k)).
Despues de esto regresamos al paso-E. El algoritmo se iterahasta
que
|Q((k+1), (k)) Q((k), (k))| o bien ||(k+1) (k)||
seasuficientemente pequeno.
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Conclusiones
Algoritmo E-M
paso E. Calcular Q(, (k)) = E[log p(|y,w)] con respectoa p(w|y,
(k)), es decir,
Q(, (k)) =
W log p(|y,w)p(w|y, (k))dwy
pasoM. Maximizar Q(, (k)) con respecto a . Se toma
(k+1) = arg max
Q(, (k)).
Despues de esto regresamos al paso-E. El algoritmo se iterahasta
que
|Q((k+1), (k)) Q((k), (k))| o bien ||(k+1) (k)||
seasuficientemente pequeno.
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Conclusiones
Algoritmo E-M
paso E. Calcular Q(, (k)) = E[log p(|y,w)] con respectoa p(w|y,
(k)), es decir,
Q(, (k)) =
W log p(|y,w)p(w|y, (k))dwy
pasoM. Maximizar Q(, (k)) con respecto a . Se toma
(k+1) = arg max
Q(, (k)).
Despues de esto regresamos al paso-E. El algoritmo se iterahasta
que
|Q((k+1), (k)) Q((k), (k))| o bien ||(k+1) (k)||
seasuficientemente pequeno.
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Conclusiones
Series de tiempo
Los modelos de series de tiempo proporcionan un
metodosofisticado para describir y predecir series historicas ya
que sebasan en la idea de que el conjunto de datos en estudio
hasido generado por un proceso estocastico, con una estructuraque
puede caracterizarse y describirse.
Hablando en terminos matematicos, una serie de tiempopuede
entenderse como una realizacion del procesoestocastico {Xt : t T},
es decir, para w
xt1 = xt1(w) , xt2 = xt2(w) , . . .
y las observaciones {xt : t T} son la serie de tiempo.
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Conclusiones
Series de tiempo
Los modelos de series de tiempo proporcionan un
metodosofisticado para describir y predecir series historicas ya
que sebasan en la idea de que el conjunto de datos en estudio
hasido generado por un proceso estocastico, con una estructuraque
puede caracterizarse y describirse.
Hablando en terminos matematicos, una serie de tiempopuede
entenderse como una realizacion del procesoestocastico {Xt : t T},
es decir, para w
xt1 = xt1(w) , xt2 = xt2(w) , . . .
y las observaciones {xt : t T} son la serie de tiempo.
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va variables latentes
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Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Series de tiempo estacionarias
Un proceso {Xt}tT se llama completamente estacionario sipara
todo n 1, para cualesquiera t1, t2, . . . , tn elementos deT y para
todo tal que t1 + , t2 + , . . . , tn + T , lafuncion de
distribucion conjunta del vector (Xt1 , . . . ,Xtn ) esigual a la
distribucion conjunta del vector(Xt1+ ,Xt2+ , . . . ,Xtn+ )
Ft1,...,tn (a1, . . . , an) = P(Xt1 a1; . . . ; Xtn an)= P(Xt1+
a1; . . . ; Xtn+ an)= Ft1+,...,tn+ (a1, . . . , an).
En otras palabras, toda la estructura probabilstica de unproceso
completamente estacionario no cambia al correr en eltiempo
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Series de tiempo estacionarias
Un proceso {Xt}tT se llama completamente estacionario sipara
todo n 1, para cualesquiera t1, t2, . . . , tn elementos deT y para
todo tal que t1 + , t2 + , . . . , tn + T , lafuncion de
distribucion conjunta del vector (Xt1 , . . . ,Xtn ) esigual a la
distribucion conjunta del vector(Xt1+ ,Xt2+ , . . . ,Xtn+ )
Ft1,...,tn (a1, . . . , an) = P(Xt1 a1; . . . ; Xtn an)= P(Xt1+
a1; . . . ; Xtn+ an)= Ft1+,...,tn+ (a1, . . . , an).
En otras palabras, toda la estructura probabilstica de unproceso
completamente estacionario no cambia al correr en eltiempo
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Series de tiempo estacionarias
Un proceso de 2o orden {Xt}tT se llama debilmenteestacionario o
estacionario de 2o orden si para cadan {1, 2, . . .}, para
cualesquiera t1, t2, . . . , tn T y paratodo tal que t1 + , . . . ,
tn + T , todos los momentos deorden 1 y 2 del vector (Xt1 , . . .
,Xtn ) son iguales a loscorrespondientes momentos de orden 1 y 2
del vector(Xt1+ , Xt2+ , . . ., Xtn+ ).
Algunas implicaciones de esta definicion son
E(Xt) = , t
Cov(Xt ,Xt+ ) = , t.
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Series de tiempo estacionarias
Un proceso de 2o orden {Xt}tT se llama debilmenteestacionario o
estacionario de 2o orden si para cadan {1, 2, . . .}, para
cualesquiera t1, t2, . . . , tn T y paratodo tal que t1 + , . . . ,
tn + T , todos los momentos deorden 1 y 2 del vector (Xt1 , . . .
,Xtn ) son iguales a loscorrespondientes momentos de orden 1 y 2
del vector(Xt1+ , Xt2+ , . . ., Xtn+ ).
Algunas implicaciones de esta definicion son
E(Xt) = , t
Cov(Xt ,Xt+ ) = , t.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Series de tiempo estacionarias
0 50 100 150 200
4
2
02
46
Index
x
0 50 100 150
05
1015
2025
30time
x
Figura: (a) Proceso estacionario (b) Proceso no-estacionario
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelos ARMA(p,q)
Diremos que el proceso a tiempo discreto Xt es
tipoautorregresivo y promedios moviles de orden p y q,ARMA(p, q),
si es un proceso estacionario y para cadat {0,1,2, . . .} se
tiene
Xt 1Xt1 pXtp = t + 1t1 + + qt , (1)
donde {t} es una sucesion de v.as no-correlacionadas, talque t,
t N(0, ).
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelos ARMA(p,q)
La ecuacion (1) se puede escribir usando la notacion
deoperadores de retraso BXt = Xt1 como
p(B)Xt = q(B)t ; t {0,1,2, . . .},con
p(z) = 1 1z pzp , z C,
q(z) = 1 + 1z + + qzq , z C.
(a) Si p(z) 1 entonces Xt = (B)t se reduce a unmodelo MA(q).
(b) Si q(z) 1 entonces (B)Xt = t se reduce un modeloAR(p).
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelos ARMA(p,q)
La ecuacion (1) se puede escribir usando la notacion
deoperadores de retraso BXt = Xt1 como
p(B)Xt = q(B)t ; t {0,1,2, . . .},con
p(z) = 1 1z pzp , z C,
q(z) = 1 + 1z + + qzq , z C.(a) Si p(z) 1 entonces Xt = (B)t se
reduce a unmodelo MA(q).
(b) Si q(z) 1 entonces (B)Xt = t se reduce un modeloAR(p).
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-
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tiempo va variables latentes
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Conclusiones
Modelos ARMA(p,q)
La ecuacion (1) se puede escribir usando la notacion
deoperadores de retraso BXt = Xt1 como
p(B)Xt = q(B)t ; t {0,1,2, . . .},con
p(z) = 1 1z pzp , z C,
q(z) = 1 + 1z + + qzq , z C.(a) Si p(z) 1 entonces Xt = (B)t se
reduce a unmodelo MA(q).
(b) Si q(z) 1 entonces (B)Xt = t se reduce un modeloAR(p).
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Conclusiones
Modelos ARMA(p,q)
0 50 100 150 2004
3
2
1
0
1
2
3
Figura: Ejemplo de un proceso ARMA(1,1).
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelos ARCH(q)
Un modelo autorregresivo condicionalmente heterocedastico(ARCH)
con orden q( 1) es definido como
Yt = tt , donde 2t = 0 + 1Y
2t1 + . . .+ qY
2tq,
para constantes 0 0, j 0 y {t}t v.a.s i.i.d. con
algunadistribucion parametrica D, con media 0 y varianza es
1(comunmente se usa Normal o t-Student).
El modelo ARCH fue introducido por Engle (1982) paramodelar y
predecir la varianza para las tasas de inflacion deReino Unido.
Desde entonces, ha sido ampliamente usadopara modelar la
volatilidad de series de tiempo economicas yfinancieras.
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Conclusiones
Modelos ARCH(q)
Un modelo autorregresivo condicionalmente heterocedastico(ARCH)
con orden q( 1) es definido como
Yt = tt , donde 2t = 0 + 1Y
2t1 + . . .+ qY
2tq,
para constantes 0 0, j 0 y {t}t v.a.s i.i.d. con
algunadistribucion parametrica D, con media 0 y varianza es
1(comunmente se usa Normal o t-Student).
El modelo ARCH fue introducido por Engle (1982) paramodelar y
predecir la varianza para las tasas de inflacion deReino Unido.
Desde entonces, ha sido ampliamente usadopara modelar la
volatilidad de series de tiempo economicas yfinancieras.
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Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelos ARCH(q)
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 180010
8
6
4
2
0
2
4
6
8
Figura: Ejemplo de un proceso ARCH(1).
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelo ARCH(1)
Dentro de este tipo de modelos el ARCH(1) es el masutilizado
para modelar la voatilidad de series financieras
2t (Yt |Yt1) = 0 + 1Y 2t1,donde para una serie de precios S1,S2,
. . . se tomaYt = log(St/St1) (conocidos en el ambito financiero
comolog-retornos o simplemente retornos).
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelo GARCH(q, p)
El modelo ARCH ha sido extendido en varias direcciones. Lamas
importante de esas es la extension para incluir uncomponente
autorregresivo en la varianza condicional; estaextension se conoce
como modelo ARCH generalizado(GARCH) debido a Bollerslev (1986) y
Taylor (1986).
El proceso {Yt}t sigue un proceso GARCH(p, q) si
Yt = tt , 2t = 0 +
qi=1
i Y2ti +
pj=1
j2tj , (2)
donde nuevamente {t} es una sucesion de v.a.s i.i.d. conmedia 0
y varianza unitaria, 0 > 0, i 0, j 0, ymax(p,q)
i=1 (i + i ) < 1.
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelo GARCH(q, p)
El modelo ARCH ha sido extendido en varias direcciones. Lamas
importante de esas es la extension para incluir uncomponente
autorregresivo en la varianza condicional; estaextension se conoce
como modelo ARCH generalizado(GARCH) debido a Bollerslev (1986) y
Taylor (1986).
El proceso {Yt}t sigue un proceso GARCH(p, q) si
Yt = tt , 2t = 0 +
qi=1
i Y2ti +
pj=1
j2tj , (2)
donde nuevamente {t} es una sucesion de v.a.s i.i.d. conmedia 0
y varianza unitaria, 0 > 0, i 0, j 0, ymax(p,q)
i=1 (i + i ) < 1.
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelo GARCH(q, p)
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 180030
20
10
0
10
20
30
Figura: Realizacion de un proceso GARCH(1,1).
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelo ARMA(m, n)-GARCH(q, p)
Una extension reciente a los modelos ARCH y GARCH ha sidoel
modelo ARMA-GARCH, el cual contempla un proceso deseries de tiempo
tanto para la media como para el error, esdecir
Xt =m
k=1
k Xtk + Yt +n
j=1
j Ytj ,
Yt = tt , 2t = 0 +
qi=1
i Y2ti +
pj=1
j2tj ,
donde t es i.i.d. de acuerdo a una cierta distribucion conmedia
cero y varianza unitaria.
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Conclusiones
Modelo ARMA(m, n)-GARCH(q, p)
Una extension reciente a los modelos ARCH y GARCH ha sidoel
modelo ARMA-GARCH, el cual contempla un proceso deseries de tiempo
tanto para la media como para el error, esdecir
Xt =m
k=1
k Xtk + Yt +n
j=1
j Ytj ,
Yt = tt , 2t = 0 +
qi=1
i Y2ti +
pj=1
j2tj ,
donde t es i.i.d. de acuerdo a una cierta distribucion conmedia
cero y varianza unitaria.
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Conclusiones
Modelo ARMA(m, n)-GARCH(q, p)
Una extension reciente a los modelos ARCH y GARCH ha sidoel
modelo ARMA-GARCH, el cual contempla un proceso deseries de tiempo
tanto para la media como para el error, esdecir
Xt =m
k=1
k Xtk + Yt +n
j=1
j Ytj ,
Yt = tt , 2t = 0 +
qi=1
i Y2ti +
pj=1
j2tj ,
donde t es i.i.d. de acuerdo a una cierta distribucion conmedia
cero y varianza unitaria.
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Conclusiones
Los modelos de Pitt y Walker
Consideremos una sucesion de variables aleatorias
Y1 W1 Y2 W2 Wn1 Yn. (3)
El proceso (3) evoluciona como sigue: Comenzamos con unavariable
aleatoria Y1 con densidad fYt (y). Condicionalmente aYt = y1 la
variable W1 tiene densidad fWt |Yt (w |y1),condicional a W1 = w1 la
variable aleatoria Y2 tiene densidadfYt+1|Wt (y |w1)(= fYt |Wt (y
|w1)) y proseguimos en la mismaforma para t = 3, 4, 5, . . .
De acuerdo a la estructura en que evoluciona el proceso hayuna
clara conexion con el Gibbs sampler.
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-
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Conclusiones
Los modelos de Pitt y Walker
Consideremos una sucesion de variables aleatorias
Y1 W1 Y2 W2 Wn1 Yn. (3)El proceso (3) evoluciona como sigue:
Comenzamos con unavariable aleatoria Y1 con densidad fYt (y).
Condicionalmente aYt = y1 la variable W1 tiene densidad fWt |Yt (w
|y1),condicional a W1 = w1 la variable aleatoria Y2 tiene
densidadfYt+1|Wt (y |w1)(= fYt |Wt (y |w1)) y proseguimos en la
mismaforma para t = 3, 4, 5, . . .
De acuerdo a la estructura en que evoluciona el proceso hayuna
clara conexion con el Gibbs sampler.
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Conclusiones
Los modelos de Pitt y Walker
Consideremos una sucesion de variables aleatorias
Y1 W1 Y2 W2 Wn1 Yn. (3)El proceso (3) evoluciona como sigue:
Comenzamos con unavariable aleatoria Y1 con densidad fYt (y).
Condicionalmente aYt = y1 la variable W1 tiene densidad fWt |Yt (w
|y1),condicional a W1 = w1 la variable aleatoria Y2 tiene
densidadfYt+1|Wt (y |w1)(= fYt |Wt (y |w1)) y proseguimos en la
mismaforma para t = 3, 4, 5, . . .
De acuerdo a la estructura en que evoluciona el proceso hayuna
clara conexion con el Gibbs sampler.
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-
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Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Los modelos de Pitt y Walker
La densidad fYt |Wt (y |w) es conocida y no cambia con t.
Paraque esto suceda especificamos las densidades fYt (y)(= fY (y))y
fWt |Yt (w |y)(= fW |Y (w |y)).
Pitt, Chatfield, Walker (2002) y Pitt, Walker (2005)
proponenmodelos de series de tiempo usando el esquema (3) donde
elproceso {Y1,Y2, . . .} corresponde a las observaciones de
algunfenomeno en la naturaleza y el proceso {W1,W2, . .
.}corresponde a variables latentes que se introducen con el finde
especificar la dependencia estocastica entre Yt+1 y Yt .
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
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Conclusiones
Los modelos de Pitt y Walker
La densidad fYt |Wt (y |w) es conocida y no cambia con t.
Paraque esto suceda especificamos las densidades fYt (y)(= fY (y))y
fWt |Yt (w |y)(= fW |Y (w |y)).Pitt, Chatfield, Walker (2002) y
Pitt, Walker (2005) proponenmodelos de series de tiempo usando el
esquema (3) donde elproceso {Y1,Y2, . . .} corresponde a las
observaciones de algunfenomeno en la naturaleza y el proceso
{W1,W2, . . .}corresponde a variables latentes que se introducen
con el finde especificar la dependencia estocastica entre Yt+1 y Yt
.
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-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Los modelos de Pitt y Walker
Dadas las densidades fWt |Yt y fYt+1|Wt tenemos que
fYt+1|Yt (y |yt) =
fYt+1|Wt (y |w)fWt |Yt (w |yt)dw . (4)
Por construccion, el proceso {Y1,W1, Y2,W2, . . .} tiene
lapropiedad de Markov, ya que la densidad de Wt condicional
alpasado del proceso solo depende de Yt (la observacioninmediata
anterior), asimismo la densidad de Yt+1 condicionalal pasado solo
depende de Wt .
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-
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Conclusiones
Los modelos de Pitt y Walker
Dadas las densidades fWt |Yt y fYt+1|Wt tenemos que
fYt+1|Yt (y |yt) =
fYt+1|Wt (y |w)fWt |Yt (w |yt)dw . (4)
Por construccion, el proceso {Y1,W1, Y2,W2, . . .} tiene
lapropiedad de Markov, ya que la densidad de Wt condicional
alpasado del proceso solo depende de Yt (la observacioninmediata
anterior), asimismo la densidad de Yt+1 condicionalal pasado solo
depende de Wt .
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Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelo ARCH va variables latentes
Para construir un modelo tipo ARCH estrictamenteestacionario,
Pitt y Walker (2005) proponen un esquema
como en (3) donde fWt |Yt (w |yt) = Ig(w |+12 , 2+y2t2 )y
fYt (y) = St(y |0, 12 , ).
Dadas las distribuciones que se tienen para Yt y Wt |Yt ,Wt Ig(2
,
2
2 ) y Yt |Wt N(0,w). Luego la transicionpara el proceso
seraYt+1|Yt St(yt+1|0, = +12+(yt )2 , = + 1).La varianza
condicional tiene la siguiente forma
2(yt |yt1) =2 + y 2t1 1 = 0 + 1y
2t1.
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va variables latentes
-
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Conclusiones
Modelo ARCH va variables latentes
Para construir un modelo tipo ARCH estrictamenteestacionario,
Pitt y Walker (2005) proponen un esquema
como en (3) donde fWt |Yt (w |yt) = Ig(w |+12 , 2+y2t2 )y
fYt (y) = St(y |0, 12 , ).Dadas las distribuciones que se tienen
para Yt y Wt |Yt ,Wt Ig(2 ,
2
2 ) y Yt |Wt N(0,w). Luego la transicionpara el proceso
seraYt+1|Yt St(yt+1|0, = +12+(yt )2 , = + 1).
La varianza condicional tiene la siguiente forma
2(yt |yt1) =2 + y 2t1 1 = 0 + 1y
2t1.
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Conclusiones
Modelo ARCH va variables latentes
Para construir un modelo tipo ARCH estrictamenteestacionario,
Pitt y Walker (2005) proponen un esquema
como en (3) donde fWt |Yt (w |yt) = Ig(w |+12 , 2+y2t2 )y
fYt (y) = St(y |0, 12 , ).Dadas las distribuciones que se tienen
para Yt y Wt |Yt ,Wt Ig(2 ,
2
2 ) y Yt |Wt N(0,w). Luego la transicionpara el proceso
seraYt+1|Yt St(yt+1|0, = +12+(yt )2 , = + 1).La varianza
condicional tiene la siguiente forma
2(yt |yt1) =2 + y 2t1 1 = 0 + 1y
2t1.
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Conclusiones
Modelo AR-ARCH
El proceso {Yt}t jugara el papel de las innovaciones o ruidoen
un modelo AR(1) para las observaciones {Xt}t .
Consideremos la ecuacion que define a un proceso AR(1)
Xt = Xt1 + Yt , (5)
donde || < 1 para garantizar que el proceso sea
estacionario.
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Conclusiones
Modelo AR-ARCH
El proceso {Yt}t jugara el papel de las innovaciones o ruidoen
un modelo AR(1) para las observaciones {Xt}t .Consideremos la
ecuacion que define a un proceso AR(1)
Xt = Xt1 + Yt , (5)
donde || < 1 para garantizar que el proceso sea
estacionario.
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Conclusiones
Modelo AR-ARCH
Podemos pensar en (5) como una transformacion entre dosvectores
aleatorios
T (Y1, . . . ,Yn) = (X1, . . . ,Xn),
donde dado un valor inicial constante X0 = x0 para {Xt}t ,cada
entrada de (X1, . . . ,Xn) esta definida por (5).
La transformacion inversa
T1(X1, . . . ,Xn) = (Y1, . . . ,Yn)
queda definida por
Yt = Xt Xt1.
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Conclusiones
Modelo AR-ARCH
Podemos pensar en (5) como una transformacion entre dosvectores
aleatorios
T (Y1, . . . ,Yn) = (X1, . . . ,Xn),
donde dado un valor inicial constante X0 = x0 para {Xt}t ,cada
entrada de (X1, . . . ,Xn) esta definida por (5).
La transformacion inversa
T1(X1, . . . ,Xn) = (Y1, . . . ,Yn)
queda definida por
Yt = Xt Xt1.Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un
modelo AR-ARCH va variables latentes
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Conclusiones
Modelo AR-ARCH
As entonces la funcion de verosimilitud para las
observacionesx1, . . . , xn del proceso {Xn}n esta dada por
fX1,...,Xn (x1, . . . , xn) = fY1,...,Yn (x1x0, . . . ,
xnxn1)|JT1 |
= fY1(x1 x0)n1t=1
fYt+1|Yt (xt+1 xt |xt xt1),
donde fY1(x1 x0) = (+1
2)
( 2
)
(1
2pi
) 12
1
[1+(x1x0)2
2]+1
2
la cual es una distribucion St(x1|x0, , ) con = 12 .
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Conclusiones
Modelo AR-ARCH
As entonces la funcion de verosimilitud para las
observacionesx1, . . . , xn del proceso {Xn}n esta dada por
fX1,...,Xn (x1, . . . , xn) = fY1,...,Yn (x1x0, . . . ,
xnxn1)|JT1 |
= fY1(x1 x0)n1t=1
fYt+1|Yt (xt+1 xt |xt xt1),
donde fY1(x1 x0) = (+1
2)
( 2
)
(1
2pi
) 12
1
[1+(x1x0)2
2]+1
2
la cual es una distribucion St(x1|x0, , ) con = 12 .
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Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelo AR-ARCH
Por otra parte, fYt+1|Yt (xt+1 xt |xt xt1)
=(+22 )
(+12 )
(1
(2 + (xt xt1)2)pi) 1
2 1
[1 + (xt+1xt )2
2+(xtxt1)2 ]+2
2
,
es decir que la densidad de transicion para Y es unaSt(xt+1|xt ,
, + 1) con = +12+(xtxt1)2 .
Usando los supuestos del artculo de Pitt y Walker
(2005),partimos del hecho de que
fWt |Yt (w |xt xt1) = Ig(+12 , 2+(xtxt1)2
2 ) y
fYt (xt xt1) = St( = xt1, = 12 , ).
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Modelo AR-ARCH
Por otra parte, fYt+1|Yt (xt+1 xt |xt xt1)
=(+22 )
(+12 )
(1
(2 + (xt xt1)2)pi) 1
2 1
[1 + (xt+1xt )2
2+(xtxt1)2 ]+2
2
,
es decir que la densidad de transicion para Y es unaSt(xt+1|xt ,
, + 1) con = +12+(xtxt1)2 .Usando los supuestos del artculo de Pitt
y Walker (2005),partimos del hecho de que
fWt |Yt (w |xt xt1) = Ig(+12 , 2+(xtxt1)2
2 ) y
fYt (xt xt1) = St( = xt1, = 12 , ).
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Estimacion de parametros va el algoritmo EM
Como se dijo anteriormente, el objetivo del algoritmo EM
esencontrar la moda de la distribucion final y, recordando que sila
distribucion final es proporcional a la verosimilitud, alencontrar
su moda estaramos encontrando el estimador o losestimadores maximo
verosmiles.
La expresion de la verosimilitud aumentada considerando
elconjunto de datos completos sera la siguiente
fX1,...,Xn,W1,...,Wn1 |, , (x1, . . . , xn,w1 . . . ,wn1)
=n1t=1
{fYt+1|Wt (xt+1xt |wt)fWt |Yt (wt |xtxt1)fY1(x1x0)
}.
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Estimacion de parametros va el algoritmo EM
Como se dijo anteriormente, el objetivo del algoritmo EM
esencontrar la moda de la distribucion final y, recordando que sila
distribucion final es proporcional a la verosimilitud, alencontrar
su moda estaramos encontrando el estimador o losestimadores maximo
verosmiles.
La expresion de la verosimilitud aumentada considerando
elconjunto de datos completos sera la siguiente
fX1,...,Xn,W1,...,Wn1 |, , (x1, . . . , xn,w1 . . . ,wn1)
=n1t=1
{fYt+1|Wt (xt+1xt |wt)fWt |Yt (wt |xtxt1)fY1(x1x0)
}.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Estimacion de parmetros va el algoritmo EM
Consideremos pi(, , ) 1, as
pi(, , |x1, . . . , xn,w1, . . . ,wn1) fX1,...,Xn,W1,...,Wn1 |,
, pi(, , )= fX1,...,Xn,W1,...,Wn1 |, , .
Se pretende usar el algoritmo EM para encontrar a , y .
La distribucion condicional de las variables latentes dados
losdatos observados y los parametros sera obtener:
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Estimacion de parmetros va el algoritmo EM
Consideremos pi(, , ) 1, as
pi(, , |x1, . . . , xn,w1, . . . ,wn1) fX1,...,Xn,W1,...,Wn1 |,
, pi(, , )= fX1,...,Xn,W1,...,Wn1 |, , .
Se pretende usar el algoritmo EM para encontrar a , y .
La distribucion condicional de las variables latentes dados
losdatos observados y los parametros sera obtener:
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Estimacion de parmetros va el algoritmo EM
Consideremos pi(, , ) 1, as
pi(, , |x1, . . . , xn,w1, . . . ,wn1) fX1,...,Xn,W1,...,Wn1 |,
, pi(, , )= fX1,...,Xn,W1,...,Wn1 |, , .
Se pretende usar el algoritmo EM para encontrar a , y .
La distribucion condicional de las variables latentes dados
losdatos observados y los parametros sera obtener:
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Estimacion de parametros va el algoritmo EM
fX1,...,Xn,W1,...,Wn1|,,fX1,...,Xn|,,
=
n1t=1
{fYt+1|Wt (xt+1xt |wt )fWt |Yt (wt |xtxt1)
}n1
t=1 fYt+1|Yt (xt+1xt |xtxt1)
fW1,...,Wn1|X1,...,Xn,,, =n1t=1
{fYt+1|Wt (xt+1xt |wt )fWt |Yt (wt |xtxt1)
fYt+1|Yt (xt+1xt |xtxt1)
}.
Posteriormente se toma el logaritmo de la distribucion
finalresultante y se procede a implementar los pasos E y M.
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
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Conclusiones
Estimacion de parametros va el algoritmo EM
fX1,...,Xn,W1,...,Wn1|,,fX1,...,Xn|,,
=
n1t=1
{fYt+1|Wt (xt+1xt |wt )fWt |Yt (wt |xtxt1)
}n1
t=1 fYt+1|Yt (xt+1xt |xtxt1)fW1,...,Wn1|X1,...,Xn,,, =n1
t=1
{fYt+1|Wt (xt+1xt |wt )fWt |Yt (wt |xtxt1)
fYt+1|Yt (xt+1xt |xtxt1)
}.
Posteriormente se toma el logaritmo de la distribucion
finalresultante y se procede a implementar los pasos E y M.
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-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Estimacion de parametros va el algoritmo EM
fX1,...,Xn,W1,...,Wn1|,,fX1,...,Xn|,,
=
n1t=1
{fYt+1|Wt (xt+1xt |wt )fWt |Yt (wt |xtxt1)
}n1
t=1 fYt+1|Yt (xt+1xt |xtxt1)fW1,...,Wn1|X1,...,Xn,,, =n1
t=1
{fYt+1|Wt (xt+1xt |wt )fWt |Yt (wt |xtxt1)
fYt+1|Yt (xt+1xt |xtxt1)
}.
Posteriormente se toma el logaritmo de la distribucion
finalresultante y se procede a implementar los pasos E y M.
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-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos simulados
A manera de resumen, lo que se hizo fue simular
2500observaciones que siguen el proceso que estamos planteando,es
decir, un modelo AR(1) para las observaciones {Xt}t conerrores que
siguen un proceso ARCH(1) como plantea elartculo de Pitt y Walker
(2005).
Se ajusto el modelo estimando los parametros va el algoritmoEM.
Para verificar la efectividad de prediccion en el modelo,se
realizaron 5 predicciones de la volatilidad de los datos y
secompararon con las observaciones reales.
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos simulados
A manera de resumen, lo que se hizo fue simular
2500observaciones que siguen el proceso que estamos planteando,es
decir, un modelo AR(1) para las observaciones {Xt}t conerrores que
siguen un proceso ARCH(1) como plantea elartculo de Pitt y Walker
(2005).
Se ajusto el modelo estimando los parametros va el algoritmoEM.
Para verificar la efectividad de prediccion en el modelo,se
realizaron 5 predicciones de la volatilidad de los datos y
secompararon con las observaciones reales.
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Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos simulados
Los verdaderos valores de los parametros para los datossimulados
fueron:
(, , ) = (2.5,4.5,0.95).
Las estimaciones finales de los parametros despues deimplementar
el algoritmo EM fueron las siguientes:
(, , ) = (2.5036478, 4.4077945, 0.9485942).
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Conclusiones
Ajuste de datos simulados
Los verdaderos valores de los parametros para los datossimulados
fueron:
(, , ) = (2.5,4.5,0.95).
Las estimaciones finales de los parametros despues deimplementar
el algoritmo EM fueron las siguientes:
(, , ) = (2.5036478, 4.4077945, 0.9485942).
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos simulados
Figura: Datos estimados y originales.
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos simulados
Figura: Volatilidad estimada y real.
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos reales
50 100 150 200 25022
24
26
28
30
32
34
0 50 100 150 200 2504
3
2
1
0
1
2
3
4
5
Figura: Precios y retornos de la accion de AT&T.
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos reales
Se modelaron los retornos historicos de la accion de
AT&TInc. Los datos son los precios diarios desde el 3 de
octubre de2005 hasta el 29 de septiembre de 2006 (251 datos).
Se ajusto la serie con el modelo propuesto y secomparo contra 3
modelos alternativos:
Un AR(1) con errores distribuidos N(0, 2).
Un MA(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1,
).AR(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1, ).Se realizaron
20 predicciones junto con sus intervaloscalculados al 95 % de
confianza y se compararon con lasobservaciones verdaderas.
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos reales
Se modelaron los retornos historicos de la accion de
AT&TInc. Los datos son los precios diarios desde el 3 de
octubre de2005 hasta el 29 de septiembre de 2006 (251 datos).
Se ajusto la serie con el modelo propuesto y secomparo contra 3
modelos alternativos:
Un AR(1) con errores distribuidos N(0, 2).
Un MA(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1,
).AR(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1, ).Se realizaron
20 predicciones junto con sus intervaloscalculados al 95 % de
confianza y se compararon con lasobservaciones verdaderas.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos reales
Se modelaron los retornos historicos de la accion de
AT&TInc. Los datos son los precios diarios desde el 3 de
octubre de2005 hasta el 29 de septiembre de 2006 (251 datos).
Se ajusto la serie con el modelo propuesto y secomparo contra 3
modelos alternativos:
Un AR(1) con errores distribuidos N(0, 2).
Un MA(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1,
).AR(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1, ).Se realizaron
20 predicciones junto con sus intervaloscalculados al 95 % de
confianza y se compararon con lasobservaciones verdaderas.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos reales
Se modelaron los retornos historicos de la accion de
AT&TInc. Los datos son los precios diarios desde el 3 de
octubre de2005 hasta el 29 de septiembre de 2006 (251 datos).
Se ajusto la serie con el modelo propuesto y secomparo contra 3
modelos alternativos:
Un AR(1) con errores distribuidos N(0, 2).
Un MA(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1, ).
AR(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1, ).Se realizaron
20 predicciones junto con sus intervaloscalculados al 95 % de
confianza y se compararon con lasobservaciones verdaderas.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos reales
Se modelaron los retornos historicos de la accion de
AT&TInc. Los datos son los precios diarios desde el 3 de
octubre de2005 hasta el 29 de septiembre de 2006 (251 datos).
Se ajusto la serie con el modelo propuesto y secomparo contra 3
modelos alternativos:
Un AR(1) con errores distribuidos N(0, 2).
Un MA(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1,
).AR(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1, ).
Se realizaron 20 predicciones junto con sus intervaloscalculados
al 95 % de confianza y se compararon con lasobservaciones
verdaderas.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Ajuste de datos reales
Se modelaron los retornos historicos de la accion de
AT&TInc. Los datos son los precios diarios desde el 3 de
octubre de2005 hasta el 29 de septiembre de 2006 (251 datos).
Se ajusto la serie con el modelo propuesto y secomparo contra 3
modelos alternativos:
Un AR(1) con errores distribuidos N(0, 2).
Un MA(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1,
).AR(1)-ARCH(1) con errores distribuidos St(0, 1, ).Se realizaron
20 predicciones junto con sus intervaloscalculados al 95 % de
confianza y se compararon con lasobservaciones verdaderas.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Residuales del modelo AR(1) ordinario.
50 100 150 200 2504
3
2
1
0
1
2
3
4Residuales
4 3 2 1 0 1 2 3 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Data
Dens
ity
ResidualesDensidad Normal
0 5 10 15 200.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Sample Autocorrelation Function (ACF)
3 2 1 0 1 2 34
3
2
1
0
1
2
3
4QQ Plot
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Residuales del modelo MA(1) - ARCH(1).
50 100 150 200 2504
3
2
1
0
1
2
3
4Residuales
4 3 2 1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Data
Dens
ity
ResidualesDensidad tstudent
0 5 10 15 200.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Sample Autocorrelation Function (ACF)
4 2 0 2 4
20
24
Students t QQ Plot
Theoretical Quantiles
Samp
le Qu
antile
s
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Residuales del modelo AR(1) - ARCH(1).
50 100 150 200 2504
3
2
1
0
1
2
3
4Residuales
4 3 2 1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Data
Dens
ity
ResidualesDensidad tstudent
0 5 10 15 200.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Sample Autocorrelation Function (ACF)
4 2 0 2 4
20
24
Students t QQ Plot
Theoretical Quantiles
Samp
le Qu
antile
s
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Residuales del modelo propuesto.
50 100 150 2004
3
2
1
0
1
2
3
4Residuales
4 3 2 1 0 1 2 3 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Data
Dens
ity
ResidualesDensidad tstudent
0 5 10 15 20 25 30 35 400.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Lag
Samp
le Au
tocorr
elatio
n
Sample Autocorrelation Function (ACF)
4 2 0 2 4
20
24
Students t QQ Plot
Theoretical Quantiles
Samp
le Qu
antile
s
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Resultados comparativos.
Los modelos MA(1)-ARCH(1), AR(1)-ARCH(1) yAR(1)-ARCH(1) (usando
variables latentes) pasaron laspruebas de bondad de ajuste y de
no-correlacion, sin embargoen el modelo AR(1) se rechazo la prueba
de Jarque-Bera paraprobar Normalidad con lo cual queda
descartado.
Los otros MA(1)-ARCH(1), AR(1)-ARCH(1) que noconsideran
variables latentes en su construccion, presentarondeficiencias como
exceso de curtosis respecto a la distribuciont-Student, en sus
histogramas vemos que los residuales no seasemejan mucho a una
distribucion t-Student, etc.
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Resultados comparativos.
Los modelos MA(1)-ARCH(1), AR(1)-ARCH(1) yAR(1)-ARCH(1) (usando
variables latentes) pasaron laspruebas de bondad de ajuste y de
no-correlacion, sin embargoen el modelo AR(1) se rechazo la prueba
de Jarque-Bera paraprobar Normalidad con lo cual queda
descartado.
Los otros MA(1)-ARCH(1), AR(1)-ARCH(1) que noconsideran
variables latentes en su construccion, presentarondeficiencias como
exceso de curtosis respecto a la distribuciont-Student, en sus
histogramas vemos que los residuales no seasemejan mucho a una
distribucion t-Student, etc.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Resultados comparativos.
Nuestro modelo tiene errores con distribucion marginalSt(0, 2, )
mientras que los modelos del tipo MA-ARCH yAR-ARCH contra los que
se comparo, consideran unadistribucion St(0, 1, )
Debemos notar que nuestro modelo posee un parametro extra,, el
cual es precisamente el resultado de incorporar unproceso latente
en el modelo y nos da una distribucion masgeneral para el error,
una t-Student reescalada.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Resultados comparativos.
Nuestro modelo tiene errores con distribucion marginalSt(0, 2, )
mientras que los modelos del tipo MA-ARCH yAR-ARCH contra los que
se comparo, consideran unadistribucion St(0, 1, )Debemos notar que
nuestro modelo posee un parametro extra,, el cual es precisamente
el resultado de incorporar unproceso latente en el modelo y nos da
una distribucion masgeneral para el error, una t-Student
reescalada.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Prediccion para observaciones futuras.
Para las predicciones se ajustaron 20 modelos sustrayendo
laultima observacion en cada modelo por separado, es decir,para el
primero se consideraron n 1 observaciones y sepronostico la
observacion numero n, para el segundo modelose tomaron n 2 datos y
se pronostico la observacion n 1 yas sucesivamente.
Se utilizo la ventaja de que los retornos {Xt}t sigue unproceso
AR(1) para el cual la prediccion para una observacionfutura xn+1
puede obtenerse mediante la ecuacion
xn+1 = xn. (6)
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Prediccion para observaciones futuras.
Para las predicciones se ajustaron 20 modelos sustrayendo
laultima observacion en cada modelo por separado, es decir,para el
primero se consideraron n 1 observaciones y sepronostico la
observacion numero n, para el segundo modelose tomaron n 2 datos y
se pronostico la observacion n 1 yas sucesivamente.
Se utilizo la ventaja de que los retornos {Xt}t sigue unproceso
AR(1) para el cual la prediccion para una observacionfutura xn+1
puede obtenerse mediante la ecuacion
xn+1 = xn. (6)
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Prediccion para observaciones futuras.
El intervalo de confianza es analogo al intervalo de
confianzapara una prediccion hecha mediante un modelo AR(1)
xinf = xpred 1/2t , xsup = xpred + 1/2t , (7)
De los 20 intervalos de confianza para las predicciones,
19contuvieron al verdadero valor, es decir el 95 % como
sedeseaba.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Prediccion para observaciones futuras.
El intervalo de confianza es analogo al intervalo de
confianzapara una prediccion hecha mediante un modelo AR(1)
xinf = xpred 1/2t , xsup = xpred + 1/2t , (7)
De los 20 intervalos de confianza para las predicciones,
19contuvieron al verdadero valor, es decir el 95 % como
sedeseaba.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Prediccion para observaciones futuras.
Notemos nuevamente que el parametro fue el resultado deusar
variables latentes en el modelo y como vimos, juega unpapel
importante en la construccion del intervalo de confianzapara las
predicciones ya que, en otro caso, al usar un modelotradicional
este parametro es considerado como 1 y estoposiblemente hubiera
ocasionado que los intervalos calculadosno contuvieran a los
verdaderos valores en mas casos de losesperados.
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Valuacion de opciones con volatilidad estocastica
40 50 60 70 80 90 100
5
0
5
10
15
20
25
30
35
Precios para S(T)
Prd
ida/G
anan
cia
40 50 60 70 80 90 100
5
0
5
10
15
20
25
30
35
Prd
ida/G
anan
cia
Precios para S(T)
Figura: Diagramas de perdidas y ganancias para una opcion
call(izquierda) y put (derecha).
Miguel Angel Contreras Ortiz Construccion de un modelo AR-ARCH
va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Valuacion de opciones con volatilidad estocastica
Sean yt y St la volatilidad y el precio de la accion al tiempo
trespectivamente. Entonces dados los retornos xn, xn1 y elprecio Sn
se tiene que
yn = xn xn1.
Luego para t = n + 1, . . . ,
yt |wt1 N(0,wt1)
xt = xt1 + yt
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Valuacion de opciones con volatilidad estocastica
Sean yt y St la volatilidad y el precio de la accion al tiempo
trespectivamente. Entonces dados los retornos xn, xn1 y elprecio Sn
se tiene que
yn = xn xn1.Luego para t = n + 1, . . . ,
yt |wt1 N(0,wt1)
xt = xt1 + yt
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Valuacion de opciones con volatilidad estocastica
wt |yt Ig(( + 1)/2, (xt xt1)2/2 + (2/2))
St = St1ext .
El valor de la prima c para una opcion call puede
obtenersemediante la expresion
c =1
n
ni=1
max (St,i K , 0),
y cada muestra St,i es obtenida a traves de simulacion
delproceso anterior.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Valuacion de opciones con volatilidad estocastica
wt |yt Ig(( + 1)/2, (xt xt1)2/2 + (2/2))
St = St1ext .
El valor de la prima c para una opcion call puede
obtenersemediante la expresion
c =1
n
ni=1
max (St,i K , 0),
y cada muestra St,i es obtenida a traves de simulacion
delproceso anterior.
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Valuacion de opciones con volatilidad estocastica
0 500 1000 1500 2000 25000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Figura: Simulacion de 10 trayectorias de precios con retornos
AR-ARCH.
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va variables latentes
-
Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Resultados comparativos
Comparando el precio de una opcion tipo call para la
accionAT&T con respecto a otros modelos como son Black-Scholesy
Arboles Binomiales se obtuvo lo siguiente:
PrecioCallBS = 2.9615
PrecioCallAB = 2.9798
PrecioCallPropuesto = 2.9771
Como vemos los 3 precios son consistentes.
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va variables latentes
-
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Resultados comparativos
Comparando el precio de una opcion tipo call para la
accionAT&T con respecto a otros modelos como son Black-Scholesy
Arboles Binomiales se obtuvo lo siguiente:
PrecioCallBS = 2.9615
PrecioCallAB = 2.9798
PrecioCallPropuesto = 2.9771
Como vemos los 3 precios son consistentes.
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Conclusiones
A lo largo de este trabajo hemos aprendido un ejemplo endonde se
ilustra como la introduccion de variables latentespermite definir
la relacion de dependencia estocastica en unmodelo estadstico, en
este caso una serie de tiempo del tipoAR(1)-ARCH(1), siendo esta
una de muchas aplicaciones quepuede haber en la utilizacion de
estas tecnicas.
Ademas se ilustro el uso de una distribucion marginalespecfica
para un conjunto de observaciones en estudio,rompiendo con el
esquema tradicional del uso excesivo de ladistribucion Normal para
gobernar la estructura probabilsticade los datos de interes.
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va variables latentes
-
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Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Conclusiones
A lo largo de este trabajo hemos aprendido un ejemplo endonde se
ilustra como la introduccion de variables latentespermite definir
la relacion de dependencia estocastica en unmodelo estadstico, en
este caso una serie de tiempo del tipoAR(1)-ARCH(1), siendo esta
una de muchas aplicaciones quepuede haber en la utilizacion de
estas tecnicas.
Ademas se ilustro el uso de una distribucion marginalespecfica
para un conjunto de observaciones en estudio,rompiendo con el
esquema tradicional del uso excesivo de ladistribucion Normal para
gobernar la estructura probabilsticade los datos de interes.
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tiempo va variables latentes
Construccion del modelo AR-ARCHAplicaciones del modelo
Conclusiones
Conclusiones
Como consecuencia de usar variables latentes para
creardependencia, nuestro modelo tiene errores con
distribucionmarginal St(0, 2, ). Los modelos
ARMA-GARCHtradicionales consideran una distribucion St(0, 1, ), la
cualresulta menos flexible y no alcanza a capturar
caractersticasimportantes presentes en los datos como son la
asimetra, quees una caracterstica representativa de los modelos
ARCH yGARCH. Consideremos que esta es una ventaja de usarnuestro
esquema.
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Conclusiones
Conclusiones
Ahora bien, pensemos que definiendo las distribuciones
detransicion apropiadas entre las observaciones y las
variableslatentes podemos especificar cualquier distribucion
deprobabilidad, continua o discreta, como distribucion marginalde
nuestras observaciones.
A su vez, es factible introducir 2 o mas variables latentes en
elmodelo segun convenga y permita definir completamente larelacion
de dependencia estocastica de las observacionesfijando una
distribucion marginal apropiada, ademas depreservar la
estacionaridad de las observaciones. De estamanera, se podran
construir modelos de series de tiempocada vez mas complejos.
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va variables latentes
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Fundamentos y motivacion del uso de variables latentesSeries de
tiemp