Constant Ratio Fixed-Parameter Approximation of the Edge Multicut Problem

Daniel Marx, Igor Razgon

Presenting: Arkadiy Pyuro

הכללה של בעיתst-Cut ובעית Multiway-CutFPTעל עצים FPT :עם שני פרמטרים k,l -פתרון פרמטרי בkבלבד – בעיה פתוחה קיים אלג' קירוב בפקטורO(log m)לא קיים קירוב בפקטור קבוע

2

1 1EMC , , , ,..., , ,

: , and are disconnected in \

l l

i i

G V E T s t s t k

C E C k s t G C

3

FPT בסיבוכיות O(5k kq2)(q -הוא מספר הפסוקים ב F -וב L)יחד

4

2-ASAT , ,

: , \ is satisfiable

F L k

S F S k F S L

F,L .קבוצות של פסוקים כל פסוק הואOR.בין שני ליטרלים

:ניסיון ראשון

:רעיון כדי לייצג את מושג Yלהסתמך על קבוצת צמתים מיוחדת ◦

.2הקשירות באמצעות פסוקים בגודל

5

,

,

,

, , ,

,

,

, ,i i

u v

u u

s t i i

u v v w u w

F x u v E

x u V

L x s t T

x x x u v w V

6

2-ASAT-2B , , ,

: , \ | is satisfiable

F P L k

S P S k F c B B S L

F,L .קבוצות של פסוקים כל פסוק הואOR.בין שני ליטרלים P 2 היא קבוצה שלk+1 בלוקים Bi ,

,F פסוקים מ- 2כאשר כל בלוק מכיל עד Pומתקיים: F

הוכחה:

7

2-ASAT-2B , , , :

2-ASAT , ,2

if is 'NO': return 'NO'

else: return any minimal subset

of that covers

F P L k

S F L k

S

P S

EMC

AEMC2

AEMC1

2-ASAT-2B

2-ASAT

8

Y 2 קבוצת צמתים בגודלk+1,לכל היותר

שמפרידה בין כל זוג

C מפרידה את T רק בין הזוגות – C מפרידה את Y מפרידה בין כל הצמתים של – Y

9

AEMC1 , , ,

: , separates and

G T Y k

C E C k C T Y

1 1, ,..., ,l lT s t s t

,i is t T

,i is t T

10

S1

t1

s2

t2

EMC

AEMC2

AEMC1

2-ASAT-2B

2-ASAT

11

1 1

2 2

1 2

, ,

, ,

, ,

1 2, ,

,

, ,

, , 1 2

, ,

,

, ,

, ,

,i i

u w v w

u w v w

u w v w

u w v w

w w

s w t w i i

u w u w

F x x u v E w Y

x x u v E

P x xu v E w w Y

x x

x w Y

L x x s t T w Y

x x w w Y u V

13

1 1

2 2

1 2

, ,

, ,

, ,

, ,

,

, ,

, ,

i i

u w v w

u w v w

u w v w

u w v w

w w

s w t w

u w u w

F x x

x x

P x x

x x

x

L x x

x x

u1

W

u2

uq

,w wx

1, ,w w u wx x

1 2, ,u w u wx x

1 , ,q qu w u wx x

,qu wx

2-ASAT-2B , , , AEMC1 , , ,F P L k G T Y k

נניח שניתן להפריד אתT,Y ע"י הסרת k קשתות לכל , אם L∧Fנראה שניתן לספק את כל הפסוקים ב- היותר.

בלוקים. kמורידים לכל היותר נניחC⊆Eל הוא הפלט שAEMC1(G,T,Y,k) :ההשמהxu,v אמת' אמ"מ' u,v באותו רכיב קשירות של G\

C לכל קשת)u,v( -בC:נסיר לכל היותר בלוק אחד

,G\C מקושר ל- ב- vוגם G\C מקושר ל- ב- uאם ◦נסיר את

, G\Cבאותו רכיב קשירות של u,wאם רק ◦ נסיר את

אחרת, אין צורך להסיר בלוק◦

1 1 2 2, , , ,,u w v w u w v wx x x x

, ,u w v wx x

1w Y2w Y

2( )w Y

AEMC1 , , , 2-ASAT-2B , , ,G T Y k F P L k

נניח שניתן לספק אתL∧F ע"י הסרתk בלוקים לכל קשתות k ע"י הסרת T,Yנראה שניתן להפריד את היותר.

לכל היותר. נניחS⊆P2ל הוא הפלט ש-ASAT-2B(F,P,L,k). -כל בלוק בP -ולכן גם ב( S.מתאים לקשת יחידה )

.S להיות אוסף הקשתות המתאימות לבלוקים ב- Cנגדיר -נניח שיש מסלול בG\C :בין שני צמתיםu1-…-uq אז לא ,

פסוקים מהצורה: .Fהסרנו מ- לכן, אם או ,

(.T מפרידה את Y)כי Lנקבל סתירה ל-

1, ,i iu w u wx x

1 qu u Y 1( , )qu u T

EMC

AEMC2

AEMC1

2-ASAT-2B

2-ASAT

16

Z 2 קבוצת צמתים בגודלk+1,לכל היותר

שמפרידה בין כל זוג

-ההבדל מAEMC1: C לא חייבת להפריד את Z.

17

AEMC2 , , ,

: , separates

G T Z k

C E C k C T

1 1, ,..., ,l lT s t s t

,i is t T

בהנתן קלט)G,T,Z,k( -לAEMC2:נבצע ,.Zנעבור על כל החלוקות של ◦

לכל חלוקה, נקבל גרףG* ע"י כיווץ כל מחלקה בחלוקה לצומת אחת.

נריץ אתAEMC1 על )G*,T,Y,k(( ,Y -הם הצמתים ב Z.)אחרי כיווץ ' לפחות עבור אחת החלוקות, NOאם קיבלנו תשובה שונה מ- '◦

'.NOנחזיר אותה. אחרת, נחזיר ':נכונות

, אז כמובן שלא T שמפרידה את kבגודל C⊆Eאם לא קיימת ◦.Y, לכל Y וגם את Tקיימת קבוצה כזו שמפרידה גם את

לרכיבי קשירות. אם *G כנ"ל, אז היא מחלקת את Cאם קיימת ◦ מפרידה C למחלקות לפי רכיבי קשירות אלה, אז Zנחלק את

.Yגם את 18

EMC

AEMC2

AEMC1

2-ASAT-2B

2-ASAT

19

צריך למצוא קבוצהZ 2בגודלk+1 שמפרידה את ,T.( נשתמש בדחיסה איטרטיביתIterative Compression)נסמן :E={e1,e2,…,em} :וגם Ei={e1,e2,…,ei} , Gi=(V,Ei). :מתקייםC0=φ לכלi :

לכל היותר.2k, חתך בגודל Ci-1נניח שמצאנו את ◦

.Tמפריד את Ci-1U{ei}אז ◦

.Z הצמתים ב- 2k+1 צומת. אלה יהיו Cנוסיף בתוך כל קשת ב- ◦.Tמפריד את Ci-1U{ei} כיTהם מפרידים את

שנקבל, ע"י איחוד הקשתות Ci, ונתקן את AEMC2עתה נריץ את ◦שפיצלנו. Ci-1U{ei}ב-

20

EMC

AEMC2

AEMC1

2-ASAT-2B

2-ASAT

21

22

2

2 3 3

3 2 4 2

2 1 25

25 2 1

k

k

Time O m P k O kq

q O lk nk mk O nk mk

Time O P k k n k m

בעיתEMC

קירוב פרמטרי

-2רדוקציה ל-SAT

iterative compression

23

24