CONSID ÉRATIONS SUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ A LA FLEXION SIMPLE PAR Andr é PADUART, Ingénieur Civil A. I. Br, Agrégé de l'Enseignement Supérieur. 75 i3h (Met samenvatting in 't Nederlands) EXTRAIT DES ANNALES DES TRAVAUX PUBLICS DE BELGIQUE DECEMBRE 1949. BRUXELLES IMPRIMERIE G. L G. 61, avenue de la Liberté 1949
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Transcript
CONSIDÉRATIONS SUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ
A LA FLEXION SIMPLE
P A R
A n d r é P A D U A R T ,
Ingénieur Civil A. I. Br, Agrégé de l 'Enseignement Supérieur.
75 i3h (Met samenvatting in 't Nederlands)
EXTRAIT DES
A N N A L E S D E S T R A V A U X P U B L I C S D E B E L G I Q U E
DECEMBRE 1949.
B R U X E L L E S
I M P R I M E R I E G. L G. 61, avenue de la Liberté
1949
sur le a V
Considérations calcul du béton armé la flexion simple.
A n d r é P A D U A R T .
Ingénieur Civil A. I. Br, Agrégé de l'Enseignement Supérieur.
P R E A M B U L E (*)
L a r é d a c t i o n d e ce m é m o i r e f u t t e r m i n é e e n n o v e m b r e 1948 m a i s d e s r a i s o n s p a r t i c u l i è r e s e n o n t r e t a r d é l a p u b l i c a t i o n .
D e p u i s c e t t e d a t e , d e u x n o u v e l l e s c o n t r i b u t i o n s o n t é t é a p p o r t é e s r e s p e c t i v e m e n t p a r M . R . C h a m b a u d e t p a r M . A . G u e r r i n .
A p r è s a v o i r , d a n s l ' e n t r e t e m p s , p r i s c o n n a i s s a n c e d e ces d o c u m e n t s , n o u s a v o n s m a i n t e n u n o s c o n c l u s i o n s e t a u c u n e r e t o u c h e d u t e x t e n e n o u s a p a r u n é c e s s a i r e .
L o r s q u e l ' o n a sous les y e u x l a l i s t e d e s p u b l i c a t i o n s q u i o n t é t é c o n s a c r é e s à la r é s i s t a n c e à la f l e x i o n d u b é t o n a r m é e t à l ' i n f l u e n c e d e l a p l a s t i c i t é d u b é t o n s u r la r é s i s t a n c e l i m i t e , i l p e u t p a r a î t r e p r é s o m p t u e u x , s i n o n i n u t i l e , d e v o u l o i r e n c o r e l ' a l l o n g e r . E t p o u r t a n t , la d i v e r s i t é d e s
(*) N O T E D U SECRETARIAT. — Ainsi que l'auteur le signale dans son Introduction, le calcul du béton armé à la f l ex ion fait toujours l'objet de discussions dans plusieurs pays.
La publicat ion dans les Annales des Travaux Publics de Belgique du mémoire de M. P A D U A R T doit être considérée c o m m e un honnnage à la compétence de son auteur dans tous les problèmes relatifs au calcul du béton armé.
C'est en vue d'apporter un é lément à la question controversée du calcul du béton arnté à la f l ex ion que les Annales des Travaux Publics publient volontiers le présent travail. Cependant, la Commiss ion Directrice des Annales des Travaux Publics rappelle qu'elle n'entend jamais par une insertion, assumer la responsabilité des théories qui y sont émises.
1. — I N T R O D U C T I O N .
9
a u t e u r s e t des p o i n t s d e v u e q u i s ' a f f r o n t e n t , le g r a n d n o m b r e d ' a r t i c l e s se r a p p o r t a n t à ce s u j e t q u e l ' o n r e n c o n t r e d a n s la p r e s s e t e c h n i q u e e t e n f i n la q u a n t i t é d ' e s sa i s d e l a b o r a t o i r e q u i o n t é t é e f f e c t u é s p l u s o u m o i n s r é c e m m e n t d a n s p l u s i e u r s p a y s s e m b l e n t p r o u v e r q u e l a q u e s t i o n n ' e s t p a s é p u i s é e e t q u e le p r o b l è m e d e l a r é s i s t a n c e à la f l e x i o n d u b é t o n a r m é n ' a p a s e n c o r e t r o u v é sa s o l u t i o n d é f i n i t i v e .
C ' e s t p o u r q u o i i l n o u s a p a r u i n t é r e s s a n t , a p r è s a v o i r essayé d e r a m e n e r le p r o b l è m e à ses axes , d e r a s s e m b l e r u n c e r t a i n n o m b r e d e c o n s i d é r a t i o n s c o n c e r n a n t les d i v e r s e s h y p o t h è s e s d e b a s e q u i o n t é t é p r o p o s é e s çà e t l à e t d e d é v e l o p p e r u n e m é t h o d e d e c a l c u l q u i , t o u t e n é t a n t s u f f i s a m m e n t s i m p l e , n e s ' é c a r t e j a m a i s , o u t r e m e s u r e , d e ces h y p o t h è s e s .
C e t t e n o t e p r é s e n t e d o n c u n c a r a c t è r e p r o v i s o i r e ; e l l e se r a p p o r t e u n i q u e m e n t a u f o n d d e la q u e s t i o n e t n e c o n t i e n t p a s l ' e n s e m b l e d e t a b l e a u x e t d ' a b a q u e s q u i s e r a i e n t n é c e s s a i r e s p o u r la r é s o l u t i o n des p r o b l è m e s v a r i é s q u e l ' o n r e n c o n t r e e n p r a t i q u e .
N o u s e x a m i n e r o n s s u c c e s s i v e m e n t les p r i n c i p a l e s m é t h o d e s q u i o n t é t é p r o p o s é e s p o u r le c a l c u l d e la r é s i s t a n c e e n f l e x i o n s i m p l e s a n s c e p e n d a n t e n t r e r d a n s les d é t a i l s . U n e a n a l y s e c o m p a r a t i v e f o r t d é v e l o p p é e d e ces m é t h o d e s a é t é f a i t e p a r M . A . G u e r r i n (1 ) e t , t o u t r é c e m m e n t , M . P . M o e n a e r t (2 ) a p u b l i é u n e é t u d e a n a l o g u e q u i , p o u r ê t r e p l u s s u c c i n c t e q u e la p r é c é d e n t e , n ' e n e s t p a s m o i n s i n t é r e s s a n t e . Ce s e r a i t d o n c a l l o n g e r i n u t i l e m e n t ce m é m o i r e q u e d e r e f a i r e , à n o t r e t o u r , u n e d e s c r i p t i o n c o m p l è t e des n o m b r e u s e s m é t h o d e s d e c a l c u l e x i s t a n t e s .
N o t r e b u t es t d e r e c h e r c h e r les g r a n d e s a n a l o g i e s o u les g r a n d e s o p p o s i t i o n s e n t r e g r o u p e s d e m é t h o d e s a f i n d e d é c o u v r i r les r a i s o n s p o u r l e s q u e l l e s a u c u n e d e s f o r m u l e s a c t u e l l e s n e d o n n e e n t i è r e sa t i s fac t i o n .
2. — A N A L Y S E D E S P R I N C I P A L E S F O R M U L E S .
T r o i s c a r a c t é r i s t i q u e s d e la s e c t i o n é t u d i é e i n t e r v i e n n e n t d a n s t o u t e s les f o r m u l e s . C e s o n t :
— la h a u t e u r u t i l e d e l a p o u t r e h
— la l a r g e u r d e la p o u t r e b
(1) A. Guerrin. — Les théories nouve l les de la f lex ion dans les pièces en béton. (Essais et calculs — D u n o d 1941).
(2) P. Moenaert. — Etude critique des méthodes de calcul du béton armé en nex ion . (Bul l . Sté Royale des Ing. et Ind. Série A. n° 3 - 1948).
— 3 —
Lia
— la p r o p o r t i o n d ' a r m a t u r e s X = • b h
P o u r l e s u r p l u s , c e r t a i n e s f o r m u l e s t i e n n e n t c o m p t e des t e n s i o n s
a d m i s s i b l e s R ' i , e t R» d u b é t o n c o m p r i m é e t d e l ' a c i e r é t e n d u ; les a u t r e s ,
a u c o n t r a i r e , se b a s e n t s u r les r é s i s t a n c e s l i m i t e s R'br — t e n s i o n d e r u p t u r e p a r é c r a s e m e n t d u b é t o n , v a l e u r g é n é r a l e m e n t d é t e r m i n é e s u r c u b e ,
— e t Rai — l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r . Q u e l q u e s r a r e s f o r m u l e s f o n t m ê m e i n t e r v e n i r l a r é s i s t a n c e l i m i t e R t d u b é t o n s o u m i s à t r a c t i o n .
D ' a u t r e p a r t , c e r t a i n e s f o r m u l e s c o n t i e n n e n t l e r a p p o r t m d e s m o d u
les d ' é l a s t i c i t é d e l ' a c i e r e t d u b é t o n c o m p r i m é ; les a u t r e s se s o n t a f f r a n
c h i e s d e ce c o e f f i c i e n t .
C e t t e b r è v e a n a l y s e f a i t i m m é d i a t e m e n t a p p a r a î t r e u n m o d e d e c las
s e m e n t r a t i o n n e l d e s m é t h o d e s d e c a l c u l e n u t i l i s a n t d e s f o r m e s c a n o n i q u e s .
a ) Méthodes du l"' groupe.
E l l e s c o n d u i s e n t à u n e e x p r e s s i o n d e l a f o r m e :
M r =r= R'b,. bh2.X.[x ( 1 — K.X.(ii)
e t d o n n e n t l e m o m e n t d e r u p t u r e M r d e l a p i è c e é t u d i é e e n f o n c t i o n d e
l a r é s i s t a n c e R'br, d u r a p p o r t y. = Rai/R'br e t d ' u n c o e f f i c i e n t K q u i d é p e n d d e la f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n
e t q u i v a r i e s u i v a n t les a u t e u r s , c o m m e l e m o n t r e l e t a b l e a u s u i v a n t :
N o m des auteurs Valeur de K
Hajnal-Konyi, Jenssen, R. Coppée 0,5 0,54 0,589 0,625 0,6275 0,67
L e s f o r m u l e s a p p a r t e n a n t à c e g r o u p e d o n n e n t l e m o m e n t d e r u p t u r e e n f o n c t i o n d e s r é s i s t a n c e s l i m i t e s d u b é t o n e t d e l ' a c i e r . E l l e s s o n t é t a b l i e s e n s u p p o s a n t q u ' a u m o m e n t d e l a r u p t u r e , ces d e u x r é s i s t a n c e s l i m i t e s s o n t a t t e i n t e s s i m u l t a n é m e n t e t e n n é g l i g e a n t l a r é s i s t a n c e à l a
t r a c t i o n d u b é t o n ( f i g . 1 ) .
4
— 4
Jbr E l l e s c o n d u i s e n t à u n d i a g r a m m e p a r a b o l i q u e d e l a f o n c t i o n M r / R ' b r b h » . > v
C e t t e f o n c t i o n p a s s e p a r u n
m a x i m u m a n a l y t i q u e ( f i g . 2 ) p o u r
l a v a l e u r c r i t i q u e (X ii.)er d e l a
v a r i a b l e X n é g a l e à
1 (X lJ.)er —
1 + K
A u d e l à d e c e t t e v a l e u r , l a f o n c
t i o n M r / R ' b r b h ^ r e s t e c o n s t a n t e , l a r é s i s t a n c e d u b é t o n e s t c o m p l è t e m e n t e x p l o i t é e e t u n acc ro i s se
m e n t d e X fi. d e v i e n t s a n s e f f e t . C e t t e f o n c t i o n r e s t e é g a l e a u m a x i m u m
1 M r / R ' b r bh2 =
1 + K
N o u s p o u v o n s r a n g e r d a n s ce m ê m e g r o u p e l a f o r m u l e d e G E B A U E R
q u i , t o u t e n a d o p t a n t u n e v a l e u r d u c o e f f i c i e n t K é g a l e à 0 ,5 e s t é t a b l i e e n t e n a n t c o m p t e d e l a r é s i s t a n c e d u b é t o n à l a t r a c t i o n . D e ce f a i t ,
l ' e x p r e s s i o n X \i. q u i f i g u r e d e v a n t l es p a r e n t h è s e s e t e n t r e ce l les -c i s e
t r o u v e ê t r e r e m p l a c é e p a r l e t e r m e
X t / 2 e
e r e p r é s e n t a n t l a d i s t a n c e e n t r e l ' a r m a t u r e e t l a f i b r e e x t é r i e u r e t e n d u e
d e l a p o u t r e e t t é t a n t le r a p p o r t d e l a r é s i s t a n c e l i m i t e d u b é t o n e n t r a c t i o n à l a r é s i s t a n
c e l i m i t e R'br e n c o m p r e s s i o n .
I l c o n v i e n t égal e m e n t d e s i g n a l e r l a
f o r m u l e d e M A I L -L A R T , q u i a é t é é t a b l i e s a n s a u c u n e
h y p o t h è s e s u r l a rép a r t i t i o n d e s t e n s i o n s e t e n v e i l l a n t s eu l e m e n t à ce q u e l a
/ 7 ^ . 2
— 5 —
c o u r b e r e p r é s e n t a t i v e sa t i s fa s se le m i e u x p o s s i b l e à u n e n s e m b l e d e ré su l t a t s e x p é r i m e n t a u x . B i e n q u e t r o u v é e d ' u n e f a ç o n t o u t e spéc ia l e , c e t t e f o r m u l e p e u t c e p e n d a n t se r a t t a c h e r a u l''"' g r o u p e à c o n d i t i o n d e r e m p l a c e r l ' e x p r e s s i o n e n t r e p a r e n t h è s e s (1 — KX [x) p a r
h) Méthodes du 2™" groupe.
Les f o r m e s c a n o n i q u e s s o n t :
M ^ b h 2 x l l ~ \ e t M ^ R ' b b h 2 a / l V k J ], \
Les m é t h o d e s a p p a r t e n a n t à ce g r o u p e c o n d u i s e n t à d e u x v a l e u r s d u m o m e n t f l é c h i s s a n t a d m i s s i b l e , l ' u n d é p e n d a n t d e l a t e n s i o n l i m i t e p e r m i s e d a n s l ' a c i e r e t l ' a u t r e n e f a i s a n t i n t e r v e n i r q u e la c o m p r e s s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n . L a v a l e u r d e M à p r e n d r e e n c o n s i d é r a t i o n est é v i d e m m e n t le p l u s p e t i t des d e u x m o m e n t s f l é c h i s s a n t s .
L e c o e f f i c i e n t a, r a p p o r t d e la h a u t e u r v ' d e la z o n e c o m p r i m é e à la h a u t e u r u t i l e h d e la p o u t r e , d é p e n d des d é f o r m a t i o n s de l ' a c i e r e t d u b é t o n e t es t d o n c u n e f o n c t i o n d u r a p p o r t m d e s m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é d e s d e u x m a t é r i a u x .
Les f o r m u l e s d e ce g r o u p e f o n t a p p a r a î t r e d e u x p a r a m è t r e s K i e t Ko q u i , e n c o r e u n e fo i s , v a r i e n t d ' u n a u t e u r à l ' a u t r e s e lon la f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s s u p p o s é . L e t a b l e a u c i - a p r è s i n d i q u e q u e l q u e s v a l e u r s p a r t i c u l i è r e s .
Méthodes K l Observations
Classique . . . . 3 3
von Eniperger 3 2,37 Multiplier }i\ par 0,71
Kazincki et Lyse. 2 2
Elasl ico-plasl ique. 3 2
c) Méthodes particulières.
Q u e l q u e s f o r m u l e s , q u i n e p e u v e n t ê t r e r a n g é e s dans ces d e u x g r o u p e s , m é r i t e n t d ' ê t r e s igna lées . E l l e s se p r é s e n t e n t sous u n e f o r m e
— 6 —
p l u s c o m p l i q u é e q u e les f o r m e s c a n o n i q u e s p r é c é d e n t e s e t o n t é t é é t a b l i e s e n f a i s a n t i n t e r v e n i r c e r t a i n e s c o n s i d é r a t i o n s a r t i f i c i e l l e s d a n s le b u t d ' a d a p t e r les r é s u l t a t s t h é o r i q u e s a u x c o n s t a t a t i o n s e x p é r i m e n t a l e s .
P a r m i ces f o r m u l e s n o u s c i t e r o n s ce l l e d u P r o f e s s e u r P a r i s , ce l le d e S t e u e r m a n n e t ce l l e d e M r G u e r r i n .
B i e n q u e ces f o r m u l e s s o i e n t i n t é r e s s a n t e s , e l les o n t l ' i n c o n v é n i e n t d ' ê t r e i r r a t i o n n e l l e s e t d e n e p a s p o u v o i r se r a t t a c h e r a u x p r i n c i p e s génér a u x d e la r é s i s t a n c e des m a t é r i a u x , p r é c i s é m e n t à c a u s e d e s a r t i f i c e s a u x q u e l s e l les f o n t a p p e l . D e p l u s , e l l e s s o n t i n u t i l e m e n t c o m p l i q u é e s p u i s q u ' e l l e s n e c o n d u i s e n t p a s à d e s c o n c o r d a n c e s m e i l l e u r e s q u e cert a i n e s f o r m u l e s d e s d e u x p r e m i e r s g r o u p e s .
3. — C R I T I Q U E D E L A M E T H O D E C L A S S I Q U E .
L a m é t h o d e c l a s s i q u e , q u i a p p a r t i e n t a u d e u x i è m e g r o u p e , es t la
m é t h o d e a d m i s e o f f i c i e l l e m e n t e n B e l g i q u e .
I l r é s u l t e d e la c o m p a r a i s o n des v a l e u r s c a l c u l é e s p a r c e t t e m é t h o d e a v e c les r é s u l t a t s d ' e s sa i s d e l a b o r a t o i r e q u e la v a l e u r d u m o m e n t a d m i s s i b l e d o n n é e e n f o n c t i o n d e R'b, c ' e s t - à -d i r e l a v a l e u r à c o n s i d é r e r d a n s l e cas d e r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d e b é t o n p o s s è d e u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é excess i f , d é p a s s a n t t r è s s e n s i b l e m e n t c e l u i q u e l ' o n o b s e r v e p o u r le cas d e la r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r . I l s ' en s u i t u n m a n q u e d ' h o m o g é n é i t é e n t r e les d e u x f o r m u l e s q u i c a r a c t é r i s e n t la m é t h o d e c l a s s i q u e e t u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é e f f e c t i f q u i d é p e n d d e s v a l e u r s d e X e t d e |x.
M . M o e n a e r t , a p r è s a v o i r m o n t r é q u ' a u c u n e des m é t h o d e s n e d o n n a i t e n t i è r e s a t i s f a c t i o n , a c o n s t a t é q u ' i l é t a i t p o s s i b l e d ' é l i m i n e r ce m a n q u e d e c o n c o r d a n c e d ' u n e f a ç o n t r è s s a t i s f a i s a n t e , p o u r les p o u t r e s so l l i c i t ée s p a r f l e x i o n s i m p l e e t s a n s a r m a t u r e s c o m p r i m é e s , en augm e n t a n t d a n s les c a l c u l s la t e n s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n d e 30 % . U n r é s u l t a t c o m p a r a b l e a é t é t r o u v é t o u t r é c e m m e n t e n F r a n c e p a r M M . R . C h a m b a u d , P . L e b e l l e e t R . P a s c a l ( 1 ) .
U n e m a j o r a t i o n d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s d u b é t o n a é t é a d m i s e p a r q u e l q u e s r è g l e m e n t s é t r a n g e r s , n o t a m m e n t d é j à e n 1932 p a r l es p r e s c r i p t i o n s a l l e m a n d e s D I N 1045. Ces r è g l e m e n t s a d m e t t e n t d e s m a j o r a t i o n s a l l a n t d e 15 % à 30 % .
( I ) R. Chambaud, P. Lebe l l e et R. Pascal. Etude expérimentale de la rupture dans les pièces en béton armé à section rectangulaire soumises à la f lex ion. (Trois ième congrès de l 'Association Internationale des Ponts et Charpentes, Liège 1948.)
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L ' a d o p t i o n p u r e e t s i m p l e d ' u n c o e f f i c i e n t d e m a j o r a t i o n n o u s p a r a î t c e p e n d a n t u n e s o l u t i o n e m p i r i q u e à é v i t e r . E n e f f e t , une t e l l e f a ç o n d e f a i r e n e s e r a j a m a i s v a l a b l e q u e d a n s les l i m i t e s d e s c o n d i t i o n s d a n s l e s q u e l l e s o n t é t é f a i t e s les e x p é r i e n c e s d e l a b o r a t o i r e e t e l l e s ' o p p o s e à t o u t e g é n é r a l i s a t i o n . L e c o e f f i c i e n t p r o p o s é p a r M . M o e n a e r t c o n c e r n e , n o u s l ' a v o n s d é j à s i g n a l é , la f l e x i o n s i m p l e s a n s a r m a t u r e s c o m p r i m é e s . I l s e r a i t i m p r u d e n t d ' a p p l i q u e r sans p l u s ce m ê m e c o e f f i c i e n t a u x p i è c e s a r m é e s e n c o m p r e s s i o n , a u x p i èce s so l l i c i t ée s p a r f l e x i o n
c o m p o s é e e t a u b é t o n p r é c o n t r a i n t .
D ' a u t r e p a r t , l a m a j o r a t i o n d e l a t e n s i o n d e c o m p r e s s i o n a d m i s s i b l e p e u t c o n d u i r e à u n e i n t e r p r é t a t i o n e r r o n é e c h e z les p e r s o n n e s q u i n e s o n t p a s s u f f i s a m m e n t f a m i l i a r i s é e s avec le c a l c u l d u b é t o n a r m é e t l a i sser c r o i r e q u e la s é c u r i t é d e la c o n s t r u c t i o n es t r é e l l e m e n t d i m i n u é e .
N o u s a v o n s d o n c p r é f é r é r e c h e r c h e r les causes d e l a m a j o r a t i o n d u m o m e n t a d m i s s i b l e , t r a d u i r e cel les-c i auss i f i d è l e m e n t e t auss i s i m p l e m e n t q u e p o s s i b l e d a n s n o s f o r m u l e s e t v é r i f i e r , a posteriori, s i , d a n s les cas particuliers r é a l i s é s p a r les essais d e l a b o r a t o i r e , l a c o n c o r d a n c e es t s a t i s f a i s a n t e .
A v a n t c e l a , e t p o u r é v i t e r les écue i l s q u e l ' o n r e n c o n t r e d a n s l a p l u p a r t des m é t h o d e s q u e n o u s a v o n s d é c r i t e s p l u s h a u t , i l es t n é c e s s a i r e d ' a n a l y s e r la s i g n i f i c a t i o n d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é e t l ' i m p o r t a n c e d u r a p p o r t m d e s m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é d e l ' a c i e r e t d u b é t o n .
4. — C O E F F I C I E N T S D E S E C U R I T E .
L e b é t o n a r m é é t a n t u n m a t é r i a u h y b r i d e , l a n o t i o n d e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é n ' a p a s l a m ê m e c l a r t é q u e p o u r les m a t é r i a u x h o m o g è n e s , t e l s q u e l ' a c i e r , p a r e x e m p l e .
L a d i f f i c u l t é p r o v i e n t d e ce q u e la r é s i s t a n c e d ' u n e p i è c e e n b é t o n a r m é es t f o n c t i o n d e ce l l e s d e d e u x m a t é r i a u x auss i d i f f é r e n t s l ' u n d e l ' a u t r e q u e l e b é t o n e t l ' a c i e r . O n c o n s t a t e d o n c q u e l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é à la r u p t u r e d ' u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é d é p e n d à la f o i s d e l a t e n s i o n a d m i s e p o u r l ' a c i e r e t d e l a t e n s i o n a d m i s e p o u r l e b é t o n , c 'es t -à - d i r e des c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d e s d e u x m a t é r i a u x e n p r é s e n c e .
I l y a l i e u d e c o n s i d é r e r l es f a c t e u r s s u i v a n t s :
a ) Plasticité de l'acier.
L ' a c i e r d o u x o u d e m i - d u r , q u i es t e m p l o y é c o m m e a r m a t u r e d u b é t o n , p r é s e n t e , à p a r t i r d e sa l i m i t e é l a s t i q u e , u n e c a p a c i t é d ' a l l o n -
g e m e n t sous t e n s i o n c o n s t a n t e t r è s i m p o r t a n t e . I l e n r é s u l t e q u e l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é q u i es t a f f e c t é à la l i m i t e é l a s t i q u e n ' a a u c u n e s i g n i f i c a t i o n q u a n t a u x d é f o r m a t i o n s ; e n d ' a u t r e s m o t s , si o n l i m i t e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s à la m o i t i é d e la l i m i t e é l a s t i q u e c o m m e o n le f a i t g é n é r a l e m e n t , l ' a c i e r p o u r r a s u b i r des d é f o r m a t i o n s d é p a s s a n t d e b e a u c o u p l e d o u b l e d e la d é f o r m a t i o n d e s e rv i ce sans q u e c e t t e l i m i t e é l a s t i q u e n e so i t d é p a s s é e . I l e n r é s u l t e i m p h é n o m è n e d ' a d a p t a t i o n q u e l ' o n c o m m e n c e à e x p l o i t e r s é r i e u s e m e n t d a n s les c o n s t r u c t i o n s m é t a l l i q u e s f l é c h i e s .
Si l ' o n d o n n e à u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é , n o r m a l e m e n t c o n d i t i o n n é e , u n e d é f o r m a t i o n p a r f l e x i o n s u p é r i e u r e a u d o u b l e d e la d é f o r m a t i o n d e se rv i ce , les a r m a t u r e s c o n s e r v e n t t o u t e l e u r e f f i c a c i t é p u i s q u ' e l l e s t r a v a i l l e n t e n c o r e à l e u r l i m i t e é l a s t i q u e .
b ) Plasticité du béton.
L o r s q u ' o n e f f e c t u e u n essai d e c o m p r e s s i o n s u r u n p r i s m e d e b é t o n , o n c o n s t a t e dès le d é b u t d e la m i s e e n c h a r g e , à c o n d i t i o n q u e l ' e ssa i soi t f a i t assez l e n t e m e n t , q u e les d é f o r m a t i o n s n e r e s t e n t p a s p r o p o r t i o n n e l l e s a u x t e n s i o n s a p p l i q u é e s à l ' é p r o u v e t t e e t q u e le r a p p o r t d e s a c c r o i s s e m e n t s d e t e n s i o n e t d e d é f o r m a t i o n v a e n d i m i n u a n t . L e d i a g r a m m e r e p r é s e n t a t i f n ' e s t p a s r e c t i l i g n e , m a i s est c o n s t i t u é p a r u n e c o u r b e q u i t e n d à d e v e n i r p a r a l l è l e à l ' a x e des d é f o r m a t i o n s q u a n d la s o l l i c i t a t i o n a u g m e n t e . L e m o d u l e d ' é l a s t i c i t é m o y e n d u b é t o n — r a p p o r t d e la t e n s i o n à la d é f o r m a t i o n t o t a l e — d i m i n u e d o n c a u c o u r s d e l ' e ssa i d e c o m p r e s s i o n e t le r a p p o r t m a u g m e n t e q u a n d la c o n t r a i n t e a p p l i q u é e
a u b é t o n s ' é lève .
D a n s u n e p i è c e f l é c h i e , les t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n n e s o n t d o n c p a s p r o p o r t i o n n e l l e s à la d i s t a n c e d e la f i b r e n e u t r e , m a i s a u g m e n t e n t m o i n s r a p i d e m e n t l o r s q u e l ' o n s ' é l o i g n e d e cel le-c i . C 'es t c e t t e p r o p r i é t é q u e d e n o m b r e u x a u t e u r s o n t e ssayé d ' e x p l o i t e r e n c o n s i d é r a n t p o u r l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n , n o n nn d i a g r a m m e t r i a n g u l a i r e ( m é t h o d e c l a s s i q u e ) , m a i s i m d i a g r a m m e e n f o r m e d e :
t r a p è z e ( v o n E m p e r g e r , J e n s s e n , G u e r r i n ) ;
r e c t a n g l e ( W i t h n e y , C o p p é e , G e b a u e r , K a z i n c k i e t Lyse ) ;
r e c t a n g l e e t p a r a b o l e ( B i t t n e r ) ;
c o u r b e s p é c i a l e ( S a l i g e r ) ;
q u a r t d ' e l l i p s e ( D y s o n ) ;
p a r a b o l e c u b i q u e ( M e n s c h ) .
c) Hétérogénéité du béton.
U n f a c t e u r q u i v i e n t s i n g u l i è r e m e n t c o m p l i q u e r la d é t e r m i n a t i o n d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é d ' u n e p i è c e e n b é t o n a r m é , f a c t e u r d o n t l a p l u p a r t des a u t e u r s n e p a r a i s s e n t c e p e n d a n t p a s s ' ê t r e souc iés , r é s i d e d a n s l e f a i t q u e la d i s p e r s i o n d e s r é s i s t a n c e s d ' u n b é t o n d e c o m p o s i t i o n d o n n é e est b e a u c o u p p l u s é t e n d u e q u e ce l l e d ' u n ac ie r . C e t t e d i f f é r e n c e es t i n h é r e n t e à la n a t u r e m ê m e d e ces d e u x m a t é r i a u x e t t i e n t a u t a n t à l e u r s m o d e s d ' é l a b o r a t i o n q u ' à l e u r s t r u c t u r e p r o p r e m e n t d i t e . E l l e s ' a f f i r m e e n p r a t i q u e p a r l ' a p p l i c a t i o n d ' u n p l u s g r a n d c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é a u b é t o n : g é n é r a l e m e n t 4 p o u r le b é t o n p a r r a p p o r t à 1^ r é s i s t a n c e su r c u b e a u m o m e n t d e l a m i s e e n se rv ice e t 2 p o u r l ' a c i e r p a r r a p p o r t à l a l i m i t e é l a s t i q u e .
S a c h a n t q u e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s d e l ' a c i e r e t d u b é t o n s o n t l i m i t é e s d e la so r t e , q u e l e s t l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é q u i e n résvilte d a n s le c o m p l e x e « b é t o n a r m é ». Es t - i l éga l à 2 o u 4, o u b i e n es t - i l c o m p r i s e n t r e ces d e u x v a l e u r s ? I l es t i m p o s s i b l e d e r é p o n d r e a priori à c e t t e q u e s t i o n . A u s s i est- i l i l l o g i q u e d e v o u l o i r u t i l i s e r u n e f o r m u l e d e r é s i s t a n c e f a i s a n t i n t e r v e n i r le r a p p o r t p. d e ces t e n s i o n s d e r u p t u r e . N o u s a v o n s c e p e n d a n t vu q u e la p l u p a r t des a u t e u r s y f o n t a p p e l , n o t a m m e n t d a n s les m é t h o d e s a p p a r t e n a n t a u p r e m i e r g r o u p e .
C 'es t ce q u i e x p l i q u e p o u r q u o i ces a u t e u r s p a r l e n t d e « c a l c u l à la r u p t u r e » e t d é f i n i s s e n t u n « m o m e n t d e r u p t u r e », l a i s s a n t à l ' a u t e u r d e p r o j e t la d i f f i c u l t é d e c h o i s i r l u i - m ê m e le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é o p p o r t u n . E n r é a l i t é , les c a l c u l s son t t o u j o u r s f a i t s à la r u p t u r e p u i s q u e c 'es t c o n t r e la r u p t u r e q u e l ' o n se c o u v r e e n c a l c u l a n t l es s e c t i o n s d e l a p o u t r e . L a d i f f é r e n c e e n t r e les d e u x c o n c e p t i o n s se t r o u v e u n i q u e m e n t d a n s la f o r m e d u d i a g r a m m e des t e n s i o n s de c o m p r e s s i o n q u e l ' o n c o n s i d è r e ; les i m s e n v i s a g e n t l ' a l l u r e d u d i a g r a m m e c o r r e s p o n d a n t à la
r u p t u r e , les a u t r e s c o n s i d è r e n t le d i a g r a m m e des t e n s i o n s r é e l l e s d a n s la p o u t r e e n se rv ice .
5. — R O L E D U R A P P O R T m D E S M O D U L E S D ' E L A S T I C I T E .
Les f o r m u l e s d u p r e m i e r g r o u p e n e f o n t a u c u n e a l l u s i o n a u r a p p o r t d e s m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é e t s u p p o s e n t q u ' a u m o m e n t d e la r u p t u r e d e la p i è c e e s sayée , la r é p a r t i t i o n d e s t e n s i o n s est i n d é p e n d a n t e d e s r a i d e u r s r e l a t i v e s des d e u x m a t é r i a u x associés . Ce te f a ç o n d e f a i r e c h o q u e le b o n sens , c a r e l le es t o p p o s é e a u x p r i n c i p e s é l é m e n t a i r e s d e la r é s i s t a n c e d e s m a t é r i a u x , à s a v o i r q u e les t e n s i o n s n e p e u v e n t ê t r e p r o d u i t e s q u e p a r d e s d é f o r m a t i o n s e t q u e la r é p a r t i t i o n des t ens ions est l i ée à la lo i d e s d é f o r m a t i o n s , q u e cel les-c i s o i e n t é l a s t i q u e s o u p a r t i e l l e m e n t p l a s t i q u e s .
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I l e s t f a u x d e s u p p o s e r q u e , q u e l l e s q u e s o i e n t les q u a l i t é s d u b é t o n e t d e l ' a c i e r e t q u e l q u e soi t l e p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e s , la r u p t u r e n e se p r o d u i t q u e l o r s q u e l ' a r m a t u r e e t l a s e c t i o n c o m p r i m é e d e b é t o n s o n t e n t r é e s t o u t e s d e u x d a n s la z o n e p l a s t i q u e e t q u e les d é f o r m a t i o n s n ' o n t p l u s a u c u n e f f e t . Ce r a i s o n n e m e n t est p a r t i c u l i è r e m e n t e n d é f a u t p o u r les f a i b l e s p o u r c e n t a g e s d ' a r m a t u r e s . E n e f f e t , i l es t des cas o ù l ' é t a t d e t e n s i o n l i m i t e n e se r é a l i s e q u ' a p r è s u n a l l o n g e m e n t p l a s t i q u e d e l ' a c i e r t r è s é l e v é e t i n c o m p a t i b l e avec u n c o m p o r t e m e n t n o r m a l d e l ' o u v r a g e et o ù l e s c revasses q u i a p p a r a i s s e n t e n t r a î n e n t l a r u i n e l o n g t e m p s a v a n t la r u p t u r e p r o p r e m e n t d i t e .
D ' a u t r e p a r t , q u a n d i l s ' ag i t d e p i è c e s c o m p o r t a n t u n e a r m a t u r e d e c o m p r e s s i o n , les a d e p t e s d u p r e m i e r g r o u p e d e f o r m u l e s s o n t ob l i gé s d e r e v e n i r a u x h y p o t h è s e s c l a s s i q u e s d e d é f o r m a t i o n s des s ec t i ons t r a n s v e r s a l e s e t d o i v e n t a b a n d o n n e r les c o n c e p t i o n s q u ' i l s d é f e n d e n t à p r o p o s d e la f l e x i o n s a n s a r m a t u r e d e c o m p r e s s i o n .
O n p e u t e n c o n c l u r e q u e ces c o n c e p t i o n s m a n q u e n t d e g é n é r a l i t é et q u e l e s m é t h o d e s a p p a r t e n a n t a u p r e m i e r g r o u p e n e p o u r r o n t j a m a i s c o n d u i r e à i m e s o l u t i o n é l é g a n t e d u p r o b l è m e d e la f l e x i o n d u b é t o n a r m é .
6. — E S S A I S D E R A P P R O C H E M E N T E N T R E L E S G R O U P E S D E M E T H O D E S .
L e s d i v e r s e s c o n s i d é r a t i o n s q u i p r é c è d e n t f a c i l i t e n t l ' é t a b l i s s e m e n t d ' u n e m é t h o d e d e c a l c u l é c h a p p a n t , d a n s l a m e s u r e d u p o s s i b l e , a u x o b j e c t i o n s q u e l ' o n p e u t f o r m u l e r , a v e c r a i s o n , a u s u j e t d e c h a c u n des g r o u p e s d e m é t h o d e s d e c a l c u l q u e n o u s a v o n s d é f i n i s p l u s h a u t .
V o i c i q u e l l e s s o n t l es b a s e s d e ce r a p p r o c h e m e n t :
a) Diagramme des tensions de compression du béton.
I l e s t c u r i e u x d e c o n s t a t e r q u e t o u s les a u t e u r s , à p a r t v o n E m p e r g e r , s u p p o s e n t q u e l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s , a u m o m e n t d e la r u p t u r e d ' u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é , a u n e f o r m e b i e n d é t e r m i n é e n e d é p e n d a n t e n r i e n d e s q u a l i t é s r e s p e c t i v e s d e s m a t é r i a u x , n i d u p o u r c e n t a g e d ' a c i e r . E t e n c o r e , v o n E m p e r g e r n e cons idè re - t - i l q u e d e u x d i a g r a m m e s b i e n d é f i n i s , s a n s i n t e r m é d i a i r e s : u n d i a g r a m m e t r i a n g u l a i r e si la r u p t u r e a l i e u p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r e t u n d i a g r a m m e t r a p é z o ï d a l si l a r u p t u r e se p r o d u i t p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n . O r , l ' o n c o n ç o i t q u e l e d i a g r a m m e t r i a n g u l a i r e , b i e n j u s t i f i é l o r s q u e le b é t o n es t d e b o n n e q u a l i t é e t q u e le p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e est t r è s f a i b l e , se d é f o r m e progressivement d e
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f a ç o n à t e n d r e ve r s u n d i a g r a m m e q u a s i r e c t a n g u l a i r e l o r s q u e la q u a l i t é d u b é t o n d e v i e n t m é d i o c r e e t q u e la q u a n t i t é d ' a c i e r a u g m e n t e . I l e n r é s u l t e q u e la m é t h o d e c l a s s i q u e e s t auss i i n d i q u é e d a n s c e r t a i n s cas q u e les m é t h o d e s d e W i t h n e y o u d e C o p p é e d a n s d ' a u t r e s cas, m a i s q u ' a u c u n e d e cel les-ci n ' e s t c e p e n d a n t g é n é r a l e .
N o u s m o n t r e r o n s p l u s l o i n c o m m e n t à l ' a i d e d ' u n diagramme variable i l es t p o s s i b l e d e p a s s e r s a n s s o l u t i o n d e c o n t i n u i t é d 'vm e x t r ê m e à l ' a u t r e .
b ) Rapport des modules d'élasticité.
C o m m e n o u s l ' a v o n s e x p l i q u é p l u s h a u t , ce r a p p o r t d o i t , à n o t r e avis , i n t e r v e n i r d a n s u n e f o r m u l e g é n é r a l e . Son i n f l u e n c e p e u t c e p e n d a n t ê t r e v a r i a b l e e t m ê m e d i s p a r a î t r e c o m p l è t e m e n t l o r s q u e l a p l a s t i c i t é es t a t t e i n t e d a n s l ' e n t i è r e t é d e la s e c t i o n r é s i s t a n t e .
N o u s f e r o n s i n t e r v e n i r le r a p p o r t m d a n s le c h o i x d e l ' i n c l i n a i s o n d e l a t a n g e n t e à l ' o r i g i n e d u d i a g r a m m e v a r i a b l e des t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n .
P o u r é v i t e r l ' é c u e i l q u e n o u s a v o n s s i g n a l é à p r o p o s d e s m é t h o d e s d u p r e m i e r g r o u p e , n o u s a d m e t t r o n s q u e l a r u p t u r e d o i v e ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e a c q u i s e d è s q u e la l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r é t e n d u est e l l e - m ê m e a t t e i n t e e t ce la q u e l l e q u e so i t , à ce m o m e n t , la f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s . T o u t e a u g m e n t a t i o n d u m o m e n t f l é c h i s s a n t n e p o u r r a i t , e n e f f e t , ê t r e o b t e n u e q u e m o y e n n a n t l ' a p p a r i t i o n d e f i s s u r a t i o n s i m p o r t a n t e s c a u s a n t v r a i s e m b l a b l e m e n t la m i s e h o r s se rv ice d e la c o n s t r u c t i o n .
c) Coefficients de sécurité de F acier et du béton.
N o u s a v o n s m o n t r é p l u s h a u t q u e l l e s son t les d i f f i c u l t é s q u e susc i t e l ' a p p l i c a t i o n d e c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d i f f é r e n t s à l ' a c i e r e t a u b é t o n . E t c e p e n d a n t , ces c o e f f i c i e n t s s o n t j u s t i f i é s p a r l ' e x p é r i e n c e e t d o i v e n t ê t r e conse rvés . N o u s p o u v o n s n é a n m o i n s r e v e n i r a u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é
u n i q u e e n r a i s o n n a n t d ' u n e f a ç o n t r è s s i m p l e . U n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é a d e u x f o n c t i o n s essen t i e l l e s b i e n d i s t i n c t e s : 1° t e n i r c o m p t e d e l ' i n d é t e r m i n a t i o n des s u r c h a r g e s q u i p o u r r o n t
r é e l l e m e n t ê t r e a p p l i q u é e s à l ' o u v r a g e a u c o u r s d e son e x p l o i t a t i o n , e t d e s e f f e t s s e c o n d a i r e s , t e l s q u e les so l l i c i t a t i ons d y n a m i q u e s o u r é p é t é e s e t l e v i e i l l i s s e m e n t d e l a c o n s t r u c t i o n ;
2° t e n i r c o m p t e des d é f i c i e n c e s a c c i d e n t e l l e s d e la q u a l i t é d e s m a t é r i a u x e n t r a n t d a n s la c o n s t r u c t i o n .
Les c a r a c t é r i s t i q u e s d e l ' a c i e r d o u x é t a n t a c t u e l l e m e n t b i e n c o n n u e s e t d ' u n e r é g u l a r i t é v r a i m e n t r e m a r q u a b l e , g r âce à l ' é v o l u t i o n d e l a s i d é r u r g i e , le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é c o r r e s p o n d a n t a e s s e n t i e l l e m e n t t r a i t à l ' i n d é t e r m i n a t i o n d e s t e n s i o n s a p p l i q u é e s .
— 12 —
L e b é t o n , a n c o n t r a i r e , es t u n m a t é r i a u f a b r i q u é d a n s d e s c o n d i t i o n s b e a u c o u p m o i n s f a v o r a b l e s q u e l ' a c i e r e t p r é s e n t e des c a r a c t é r i s t i q u e s t r è s i r é g u l i è r e s . A u s s i f a u t - i l ê t r e b e a u c o u p p lu s p r u d e n t d a n s la d é t e r m i n a t i o n des t e n s i o n s a d m i s s i b l e s e t u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é é g a l à 4 es t - i l r e c o m m a n d é . Cec i r e v i e n t e n s o m m e à p r e n d r e u n e double sécurité c a r a c t é r i s é e p a r u n c o e f f i c i e n t 2 vis-à-vis des s o l l i c i t a t i o n s e t p a r u n c o e f f i c i e n t 2 vis-à-vis d e la q u a l i t é d e s m a t é r i a u x .
N o u s a d o p t e r o n s d o n c p o u r le c a l c u l d u m o m e n t a d m i s s i b l e u n
c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é éga l à 2 p a r r a p p o r t a u m o m e n t d e r u p t u r e , q u e ce l le -c i se p r o d u i s e p a r a p p a r i t i o n d e la l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r o u p a r é c r a s e m e n t d u b é t o n , m a i s n o u s i n t r o d u i r o n s d a n s l e c a l c u l l a v a l e u r d e la résistance possible d u b é t o n , r é s i s t a n c e q u i es t éga le , p a r d é f i n i t i o n , à la m o i t i é d e la r é s i s t a n c e m o y e n n e s u r c u b e s R'br.
d ) Résistance du béton à la traction.
Q u e l q u e s r a r e s m é t h o d e s d e c a l c u l t i e n n e n t c o m p t e d e la r é s i s t a n c e d u b é t o n à la t r a c t i o n d a n s la d é t e r m i n a t i o n d u m o m e n t d e r u p t u r e . N o u s j u g e o n s p r é f é r a b l e d e s u i v r e la p r a t i q u e c o u r a n t e e t d ' e n f a i r e a b s t r a c t i o n .
B i e n s o u v e n t les essais d e l a b o r a t o i r e s o n t e f f e c t u é s s u r des é p r o u -ve t t e s s a i n e s n e p r é s e n t a n t a u c u n e f i s s u r a t i o n i n i t i a l e . 11 n ' e n es t p a s d e m ê m e des é l é m e n t s d e c o n s t r u c t i o n q u i p e u v e n t p r é s e n t e r des f i s su re s , m ê m e a v a n t l ' a p p l i c a t i o n des s u r c h a r g e s , r i e n q u e p a r l ' a c t i o n d u r e t r a i t e t d e s v a r i a t i o n s t h e r m i q u e s s u r des é l é m e n t s n o n l i b r e m e n t d i l a t a b l e s .
N o t o n s q u e les a u t e u r s q u i t i e n n e n t c o m p t e d a n s l e u r f o r m u l e d e la r é s i s t a n c e e n t r a c t i o n d u b é t o n r e c o n n a i s s e n t e n g é n é r a l q u ' i l n e s ' ag i t là q u e d ' u n artifice a y a n t p o u r b u t d ' a m é l i o r e r la c o n c o r d a n c e d e s d o n n é e s t h é o r i q u e s a v e c l ' e x p é r i e n c e e t q u e le d i a g r a m m e d e r é p a r t i t i o n des t e n s i o n s q u ' i l s e n v i s a g e n t n e c o r r e s p o n d b i e n s û r p a s à la r é a l i t é .
e ) Simplicité de la méthode.
A v a n t d ' e s s a y e r d e t r o u v e r i m e m é t h o d e d e c a l c u l , i l es t n é c e s s a i r e d ' e x a m i n e r i m e n s e m b l e d e r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x e t d e se r e n d r e c o m p t e d e l ' é n o r m e d i s p e r s i o n q u e l ' o n y d é c o u v r e .
L e c a l c u l d u b é t o n a r m é n ' e s t p a s u n e s c i ence e x a c t e . A u s s i est- i l i n u t i l e d e s ' e n f o n c e r d a n s t r o p d e c o n s i d é r a t i o n s s p é c u l a t i v e s c o n d u i s a n t à d e s f o r m u l e s q u i s ' é t e n d e n t s u r d e u x l i gnes d ' i m p r i m e r i e e t q u i f o n t i n t e r v e n i r des c o e f f i c i e n t s a u x q u e l s le c a l c u l a t e u r s e r a s o u v e n t b i e n e n p e i n e d e f i x e r u n e v a l e u r r a i s o n n a b l e .
— 13 —
7. — M E T H O D E D E C A L C U L P R O P O S E E ,
a ) Bases de la méthode.
N o u s a d m e t t o n s q u e le d i a g r a m m e « t e n s i o n - d é f o r m a t i o n » d u b é t o n c o n s t i t u a n t la z o n e c o m p r i m é e des p o u t r e s f l é c h i e s se c o m p o s e d ' u n t r o n ç o n d e p a r a b o l e d u s e c o n d d e g r é s u i v i d ' u n e d r o i t e p a r a l l è l e à l ' a x e des absc isses ( f ig . 3 ) .
L e t r o n ç o n d e p a r a b o l e p a r t d e l ' o r i g i n e d e s axes c o o r d o n n é s avec E ,
u n e t a n g e n t e Eb = . I l a t t e i n t a u s o m m e t la v a l e u r l,^ R'br r e p r é
s e n t a n t , c o m i n e e x p l i q u é p l u s h a u t , la r é s i s t a n c e p o s s i b l e d u b é t o n s u r c u b e . C e t t e v a l e u r m a x i m u m c o r r e s p o n d à u n e d é f o r m a t i o n c r i t i q u e
R 'br Se - .
N o u s s u p p o s o n s q u ' a u d e l à d e c e t t e d é f o r m a t i o n , la t e n s i o n d e v i e n t c o n s t a n t e e t é g a l e à la v a l e u r d e la r é s i s t a n c e p o s s i b l e d u b é t o n s u r
p r i s m e l/^ R'pr- D a n s l ' é t u d e q u i su i t , n o u s a v o n s p r i s m = 15 e t n o u s a v o n s d o n n é a u r a p p o r t R'pr/R'br la v a l e u r 0,8, cel le-ci v a r i a n t d ' a p r è s les a u t e u r s d e 0 ,75 à 0,85.
E n t r e les p o i n t s O e t C, la t e n s i o n d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n p e u t s ' é c r i r e ;
E b S Eb. S ( 1
2 R'b,
— 14 —
A d r o i t e d u p o i n t C, l a v a l e u r z es t c o n s t a n t e p a r h y p o t h è s e e t
R'br é g a l e à (T = 0 ,8 X —
2
A u c o u r s d e l ' é t u d e d ' u n e s e c t i o n f l é c h i e e n b é t o n a r m é , n o u s d e v o n s d o n c c o n s i d é r e r d e u x p h a s e s d i f f é r e n t e s : la p h a s e élastique c o r r e s p o n d a n t a u cas où la d é f o r m a t i o n S c n ' e s t p a s a t t e i n t e a u m o m e n t d e la r u p t u r e e t la p h a s e plastique c o r r e s p o n d a n t a u cas o ù c e t t e d é f o r m a t i o n c r i t i q u e est a t t e i n t e a v a n t q u e n e se p r o d u i s e l a r u p t u r e . D a n s l e p r e m i e r cas, l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s s u r b é t o n a u m o m e n t d e l a r u p t u r e s e r a u n f r a g m e n t d e p a r a b o l e ; d a n s l e d e u x i è m e cas , u n e r é g i o n
p l a s t i q u e avec t e n s i o n c o n s t a n t e a p p a r a î t r a . N o u s l i m i t e r o n s p o u r l ' i n s t a n t n o t r e e x p o s é a u cas d ' u n e s ec t i on
r e c t a n g u l a i r e sans a r m a t u r e c o m p r i m é e .
b ) Phase élastique.
L a r é s i s t a n c e p o s s i b l e d u b é t o n n ' é t a n t p a s a t t e i n t e , la r u p t u r e se p r o d u i t p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r t e n d u , d e s o r t e q u e n o u s s avons q u e l a t e n s i o n d e l ' a r m a t u r e , à ce m o m e n t , a t t e i n t la l i m i t e é l a s t i q u e .
D é s i g n o n s p a r A le n i v e a u d e la f i b r e n e u t r e , v ' e t v é t a n t les d i s t a n c e s d e cel le-ci r e s p e c t i v e m e n t à la f i b r e e x t é r i e u r e c o m p r i m é e e t à l ' a r m a t u r e ( f ig . 4 ) .
So i t S s le r a c c o u r c i s s e m e n t d e la f i b r e s u p é r i e u r e .
P a r h y p o t h è s e 5 s < 5 c
1 5
L a r é s u l t a n t e d e s c o m p r e s s i o n s est é g a l e à :
f v ' f v ' / E b S N b = \ b j d y = b E b 8 1
Jq Jo \ 2 R'br
d y
O r S = — 8 a V
D ' o ù N h b E b 8 a v'2
2 V
!ib ô a V
3 V R 'b
N o u s o b t e n o n s d e l a m ê m e f a ç o n le m o m e n t s t a t i q u e d e s c o m p r e s s i o n s p a r r a p p o r t a u p o i n t A :
b E, Sb =
b ô a V 3 E b 8 a v ' 1
3 V \ 8 V R'br
E n ce q u i c o n c e r n e l ' a c i e r t e n d u , n o u s a v o n s i m m é d i a t e m e n t
N a = Qa • Rai e t Sa = • Ral " V
La c o n d i t i o n d ' é q u i l i b r e d e t r a n s l a t i o n c o n d u i t à :
N a = N b
b E b s a v '2 / E b 8 a v ' o u Qa Ral — I 1
2 V 3 V R 'b ( 1 )
M a i s Qa = X b h e t v ' = a h
N o u s s a v o n s e n o u t r e q u e 8a es t l ' a l l o n g e m e n t d e l ' a c i e r à la f i n d e l a p é r i o d e é l a s t i q u e . D o n c :
E b R a l Eb . 8a = • Ra l =
E a m
( 1 ) (2 )
L e m o m e n t d e r u p t u r e s ' o b t i e n t c o m m e s u i t :
M , = Sa + Sb
b E b 8 a v'3 / 3 E b 8 a v ' = Qa «Ta v H ( 1
3 v 8 v R 'b
— 16 —
A p r è s t r a n s f o r m a t i o n s , n o u s t r o u v o n s :
a 3 X (1 — a ) + .
3 m (1 — a )
3 a
8 m (1 — a ) R 'h ( 3 )
L a t e n s i o n m a x i m u m s u p p o r t é e e f f e c t i v e m e n t p a r l e
b é t o n p e u t se c a l c u l e r à p a r t i r d e l a d é f o r m a t i o n S s e t v a u t :
Ral * / * I^al \ a s = • ( 1 • ( 4 )
1 — a 2 m R ' b , /
L e d o m a i n e d ' a p p l i c a t i o n d e s f o r m u l e s ( 2 ) , (3) e t
( 4 ) es t d é f i n i p a r l a c o n d i t i o n S s ^ S c.
Ral R 'b
m E b E b
o u e n c o r e
( 5 )
c ) Phase plastique.
T a n t q u e l a r é s i s t a n c e
t o t a l e d u b é t o n c o m p r i m é n ' e s t p a s é p u i s é e , la r u p
t u r e se p r o d u i t e n c o r e a u m o m e n t o ù l a t e n s i o n d a n s
l ' a r m a t u r e a t t e i n t l a l i m i t e é l a s t i q u e .
^ ^ L a r é g i o n c o m p r i s e e n -t r e l es o r d o n n é e s w e t v '
( f i g . 5) es t e n t r é e d a n s l a p h a s e p l a s t i q u e e t s u b i t u n e c o m p r e s s i o n c o n s t a n t e éga
l e à 0 ,8 . R 'br /2 .
F i g . 5.
— 1 7 —
L a r é s u l t a n t e Nb s ' é c r i t c e t t e f o i s
= b . 5 d y + ( v ' — w ) b . 0 ,4 R V
= b E K 8 1
O r S =
E h 8
2 R' , br
d y + 0,4 ( v ' — w ) b R\
R 'h e t
E b °a
b R 'b .2 V / R'br V
D ' o ù N b = + 0 ,4 v ' 1 b R'br
3 E b 8a y E b Sa
L e m o m e n t s t a t i q u e d e s c o m p r e s s i o n s p a r r a p p o r t a u p o i n t A s ' é c r i t R'br V \ 2 5 b R'br« V2
Sb = h 0,2 2 4 ( E b Sa)2
^'2
E b b R 'b
E n ce q u i c o n c e r n e l ' a c i e r , n o u s t r o u v o n s e n c o r e :
N a = Qa Ral e t Sa = Ral ' V
E n é g a l a n t Na e t Nb, n o u s o b t e n o n s :
b R 'b,^ V / R'br V
Q a R a l = + 0 , 4 v ' ] b R ' b r 3 E b 3 a E b S ,
D ' o ù R 'br m (1 — a ) R'br^
X = 0 ,4 a 0 ,267 R a
( 6 )
L e m o m e n t d e r u p t u r e e s t é g a l à :
M , - b h 2 R u .
X (1 — a ) + 0 ,4 R'br R'br^
0,067 ( 1 — a )2 m2 Ral 8 R a , «
( 7 )
L e s f o r m u l e s ( 6 ) e t (7 ) c o r r e s p o n d e n t à l a c o n d i t i o n :
( 8 )
— 1 8 —
8. — F O R M U L E S P A R T I C U L I E R E S .
a ) Notations.
A p r è s a v o i r e x p o s é l a m é t h o d e q u e n o u s p r o p o s o n s , n o u s g r o u p o n s
c i - d e s s o u s les f o r m u l e s d é f i n i t i v e s v a l a b l e s p o u r l a s e c t i o n r e c t a n g u l a i r e
a r m é e e n t r a c t i o n s e u l e m e n t . Ces f o r m u l e s s o n t p r é s e n t é e s d e f a ç o n à
d o n n e r d i r e c t e m e n t l e m o m e n t a d m i s s i b l e M e n f o n c t i o n d e s t e n s i o n s
a d m i s s i b l e s R'b e t Rg.
N o u s i n t r o d u i s o n s l e r a p p o r t d e s r é s i s t a n c e s r é g a l a u q u o t i e n t d e
la t e n s i o n a d m i s s i b l e d e l ' a c i e r p a r c e l l e d u b é t o n .
N o u s a v o n s d o n c p a r d é f i n i t i o n :
R a Ral r = - 2 = 2 [i
R 'b R '
R a p p e l o n s q u e n o u s a v o n s p o s é
v ' D a E a a = X = m = = 15
h b h E b
b ) Phase élastique. 30
a < 30 + r
X = 1 a r
30 (1 — a) \ 90 (1 — a )
1 R ' b 15 1 — a \ 60
M a 3 r / a r = X ( l - « ) r + ^ 1
b h ^ R ' b 4 5 (1 — o() \ 80 (1 — a )
c) Phase plastique.
3 0 a ^
30 + r
— 2 0 —
9. — A B A Q U E .
L e s f o r m u l e s q u e n o u s v e n o n s d e d o n n e r s o n t d ' u n u s a g e c o m m o d e l o r s q u e l ' o n c o n n a î t l a v a l e u r d e a. O r , e n p r a t i q u e , c e t t e v a l e u r n ' e s t
c o n n u e , a p r i o r i , n i d a n s les p r o b l è m e s d ' é t a b l i s s e m e n t , n i d a n s les p r o b l è m e s d e c o n t r ô l e . I l f a u d r a i t d o n c so i t p r o c é d e r p a r t â t o n n e m e n t s , so i t é l i m i n e r a e t e x p r i m e r d i r e c t e m e n t M e n f o n c t i o n d e X o u X e n f o n c t i o n
d e M . M a l h e u r e u s e m e n t , ce s r e l a t i o n s d e v i e n n e n t f o r t c o m p l i q u é e s e t l e u r u t i l i s a t i o n s e r a i t p r a t i q u e m e n t i m p o s s i b l e . N o u s a v o n s p r é f é r é r e m p l a c e r
les f o r m u l e s p a r u n a b a q u e q u e n o u s a v o n s o b t e n u e n d o n n a n t u n e s é r i e
d e v a l e u r s p a r t i c u l i è r e s à l a v a r i a b l e p a r a m é t r i q u e a e t e n c a l c u l a n t les
e x p r e s s i o n s M / b h ^ R ' b e t X p o u r d i f f é r e n t e s v a l e u r s d u r a p p o r t r .
N o u s a v o n s a i n s i é t a b l i l ' a b a q u e I s u r l e q u e l f i g u r e n t é g a l e m e n t les
c o u r b e s d ' é g a l e v a l e u r d e a ' s /R 'b . ( V o i r p a g e 32. )
R a p p e l o n s q u e r es t l e r a p p o r t d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s e t n o n c e l u i
d e s t e n s i o n s d e r u p t u r e q u i i n t e r v i e n t d a n s l es f o r m u l e s d u 1''"' g r o u p e .
10. — E X E M P L E S D E D I A G R A M M E S D E S T E N S I O N S .
L a f i g u r e 6 r e p r o d u i t u n e n s e m b l e d e d i a g r a m m e s d e s t e n s i o n s p o u r l e cas oiî r = 30. D e s v a l e u r s d e a c r o i s s a n t d e 0 ,1 e n 0 ,1 o n t é t é c h o i s i e s e t c h a q u e f o i s l a v a l e u r d e >. a é t é i n d i q u é e . O n r e t r o u v e d a n s l e s d i a g r a m
m e s l ' a l l u r e i n d i q u é e à l a f i g u r e 3 e t l ' o n r e m a r q u e q u e l a p h a s e p l a s
t i q u e e s t a t t e i n t e p o u r X = 1 ,11 % . L a f i g u r e 6 m o n t r e c o m m e n t l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n é v o l u e p r o g r e s s i v e m e n t
d e l a f o r m e t r i a n g u l a i r e à l a f o r m e r e c t a n g u l a i r e ' e n p a s s a n t p a r u n e
f o r m e p a r a b o l i q u e , d e s o r t e q u ' i l n ' y a a u c u n e d i s c o n t i n u i t é d a n s l a m é t h o d e .
11. — I N F L U E N C E D E L A V A L E U R P A R T I C U L I E R E
D O N N E E A U R A P P O R T m .
N o u s a v o n s v o l o n t a i r e m e n t c o n s e r v é l a v a l e u r m = 15 q u i es t r e c o n
n u e p a r les n o r m e s b e l g e s a f i n d e n o u s r a c c r o c h e r à la m é t h o d e r é g l e m e n
t a i r e l o r s q u e l e p o u r c e n t a g e d ' a c i e r d e v i e n t t r è s f a i b l e e t q u e l e d i a g r a m m e des t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n t e n d v e r s l a f o r m e t r i a n g u l a i r e .
N o u s a v o n s r e t r a c é q u e l q u e s c o u r b e s d e l ' a b a q u e I e n d o n n a n t c e t t e f o i s à m les v a l e u r s 10 e t 6 ; l a f i g u r e 7 m o n t r e les v a r i a t i o n s q u i e n r é s u l t e n t .
— 2 1 —
L ' o n c o n s t a t e q u e l e s c o u r b e s r e p r é s e n t a t i v e s d e l ' e x p r e s s i o n M / b h ^ R ' b e n f o n c t i o n d e X se m o d i f i e n t t r è s p e u q u a n d m v a r i e d e s o r t e q u e le c a l c u l d u m o m e n t a d m i s s i b l e n ' e s t p r a t i q u e m e n t p a s i n f l u e n c é p a r
la v a l e u r q u e l ' o n a t t r i b u e à c e r a p p o r t . A u c o n t r a i r e , l a c o u r b e
a 'b /R 'b = 1 se d é p l a c e f o r t e m e n t , c e q u i i n d i q u e q u e le c h o i x d e l a v a l e u r d e m a u n e g ros se i n f l u e n c e s u r l a f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s . C e c i n ' a q u ' u n e i m p o r t a n c e s e c o n d a i r e p u i s q u e ce q u e l ' o n
d é s i r e c o n n a î t r e , a v a n t t o u t , ce n ' e s t p a s l a r é p a r t i t i o n des c o n t r a i n t e s ,
m a i s b i e n l e m o m e n t f l é c h i s s a n t q u e l a s e c t i o n p e u t s u p p o r t e r a v e c u n e
s é c u r i t é n o r m a l e .
12. — I N F L U E N C E D E L A Q U A L I T E D U B E T O N
S U R L A R E P A R T I T I O N D E S T E N S I O N S E T E X E M P L E D E C A L C U L
D E S T E N S I O N S M A X I M A .
S o i t u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é c a r a c t é r i s é e p a r :
b = 60 c m h = 8 5 c m Qa = 5 3 cra^ M = 44 ,7
O n d e m a n d e d e c a l c u l e r l es t e n s i o n s m a x i m a p o u r d i f f é r e n t e s v a l e u r s
d u r a p p o r t r d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s .
N o u s d é d u i s o n s d e s d o n n é e s :
5 3 M 4 .470 .000 k g c m X = = 0 ,0104 e t = = 10,3 k g / c m »
60 X 8 5 b h ^ 60 X 852 ^ ^ s
N o u s c o n s i d é r o n s q u e l q u e s v a l e u r s p a r t i c u l i è r e s d u r a p p o r t r e t , p o u r
c h a c u n e d ' e l l e s , n o u s r e p r o d u i s o n s d a n s l e t a b l e a u c i -dessous l e c a l c u l d e s
L e s c o l o n n e s 2 e t 3 s o n t d é d u i t e s d e l ' a b a q u e I . L e s t r o i s d e r n i è r e s c o l o n n e s s o n t e x p r i m é e s e n k g / c m ^ .
M L a c o l o n n e 4 s ' o b t i e n t e n d i v i s a n t 10,3 r e p r é s e n t a n t p a r la
b h ^ c o l o n n e 2. L a c o l o n n e 5 es t le p r o d u i t d e s c o l o n n e s 3 e t 4. L a c o l o n n e 6 est le p r o d u i t des c o l o n n e s 1 e t 4.
L e s v a l e u r s d e R'b, a'b e t (Ta s o n t p o r t é e s e n d i a g r a m m e à la f i g u r e 8. Les v a l e u r s c r o i s s a n t e s d e r c o r r e s p o n d e n t , p o u r u n a c i e r d o n n é , à u n e q u a l i t é p l u s m é d i o c r e d u b é t o n . O n c o n s t a t e q u e la t e n s i o n m a x i m u m d u b é t o n , t o u t e s choses éga l e s d ' a i l l e u r s , c r o î t l é g è r e m e n t q u a n d sa q u a l i t é a u g m e n t e , ce q u i s ' e x p l i q u e p a r l e f a i t q u e le d i a g r a m m e des t e n s i o n s se r a p p r o c h e d e la lo i t r i a n g u l a i r e . S i m u l t a n é m e n t la t e n s i o n d e t r a c t i o n d a n s l ' a c i e r d i m i n u e f a i b l e m e n t p a r s u i t e d e l ' a u g m e n t a t i o n d u b r a s d e l e v i e r d u c o u p l e des f o r c e s é l a s t i q u e s .
D a n s l ' e x e m p l e c o n s i d é r é , a u d e l à d e r = 31, les c o u r b e s r e p r é s e n
t a t i v e s d e R'b e t d e a'b s o n t c o n f o n d u e s d u f a i t q u e l a t e n s i o n a d m i s s i b l e
es t a t t e i n t e e t q u e l ' o n p é n è t r e d a n s l a p h a s e p l a s t i q u e .
13. — P O U R C E N T A G E C R I T I Q U E D ' A R M A T U R E .
N o u s a v o n s v u q u e les m é t h o d e s d u d e u x i è m e g r o u p e c o n d u i s e n t à u n g r o u p e d e d e u x f o r m u l e s , l ' u n e se r a t t a c h a n t à l a t e n s i o n a d m i s s i b l e d e l ' a c i e r , l ' a u t r e à la t e n s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n . Ces m é t h o d e s i n t r o -
— 2 3 —
d u i s e n t l a n o t i o n d e p o u r c e n t a g e c r i t i q u e V.„ p o u r c e n t a g e p o u r l e q u e l l es d e u x f o r m u l e s d o n n e n t l e m ê m e m o m e n t f l é c h i s s a n t . C e t t e v a l e u r c o r r e s p o n d à l a m e i l l e u r e u t i l i s a t i o n d e s d e u x m a t é r i a u x e n p r é s e n c e , p u i s q u e les d e u x t e n s i o n s a d m i s s i b l e s s o n t a t t e i n t e s s i m u l t a n é m e n t . L a v a l e u r Xc d é p e n d é v i d e m m e n t d u r a p p o r t r de s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s e t
n o u s r e p r o d u i s o n s à l a f i g u r e 9 l es c o u r b e s r e l a t i v e s à la m é t h o d e r é g l e m e n t a i r e e t à l a m é t h o d e d e v o n E m p e r g e r , a i n s i q u e l a c o u r b e
e x p é r i m e n t a l e i n d i q u é e p a r M . M o e n a e r t .
D a n s l a m é t h o d e ''° q u e n o u s a v o n s e x p o s é e ,
n n e n o t i o n a n a l o g u e
e x i s t e à l a f r o n t i è r e d e s p h a s e s é l a s t i q u e e t p l a s - j „
t i q u e . N o u s a p p e l l e r o n s ^ p o u r c e n t a g e c r i t i q u e l a ^ v a l e u r d e Xc q u i , p o u r i u n r a p p o r t r d o n n é , cor - 1 r e s p o n d à l a c o u r b e
j 'b /R 'b = 1 d e l ' a b a q u e I . C e t t e f o n c t i o n e s t dess i n é e à l a f i g u r e 9 e t n o u s c o n s t a t o n s q u e l a 'o n o t i o n d e p o u r c e n t a g e c r i t i q u e , t e l l e q u e n o u s
1 1 1-,.. . ° <"•' '"^ °" v e n o n s d e l a d é f i n i r , m~Xor
c o n c o r d e a v e c c e l l e q u i a p p a r t i e n t a u x m é t h o d e s d u d e u x i è m e g r o u p e .
14. — C O M P A R A I S O N A V E C Q U E L Q U E S A U T R E S F O R M U L E S .
N o u s a v o n s r e p r o d u i t à l a f i g u r e 10 ( p a g e 2 1 ) les c o u r b e s d o n n a n t M / b h ^ R 'b e n f o n c t i o n d e X p o u r r = 15 e t r = 30, a f i n d e l es c o m p a r e r
a v e c l e s c o u r b e s r e p r é s e n t a t i v e s d e l a m ê m e f o n c t i o n c a l c u l é e s u i v a n t
d ' a u t r e s f o r m u l e s , à s a v o i r :
— la f o r m u l e d e R o s e t d e B i t t n e r , c o n s i d é r é e c o m m e e x e m p l e d e s
m é t h o d e s d e c a l c u l d u p r e m i e r g r o u p e ;
— la f o r m u l e d e v o n E m p e r g e r , c o r r e s p o n d a n t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n ;
— la m é t h o d e c l a s s i q u e b a s é e s u r m = 15, c o r r e s p o n d a n t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n ;
— 2 4 —
— la m ê m e m é t h o d e c l a s s i q u e a p p l i q u é e e n m a j o r a n t de 30 % la t e n s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n s u i v a n t la p r o p o s i t i o n d e M . M o e n a e r t .
N o u s avons , e n o u t r e , h a c h u r é la z o n e e x p é r i m e n t a l e d é d u i t e d u
d é p o u i l l e m e n t q u e M . M o e n a e r t a f a i t d e s 183 essais e f f e c t u é s d a n s
10 l a b o r a t o i r e s d i f f é r e n t s .
L ' e x a m e n d e la f i g u r e 10 m o n t r e t o u t d ' a b o r d q u e la d i s p e r s i o n des r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x est é n o r m e e t q u ' i l es t a b s u r d e d e r e c h e r c h e r
u n e f o r m u l e a y a n t la p r é t e n t i o n d ' ê t r e t ou j o u r s e x a c t e à 10 % p r è s . I l m o n t r e éga le m e n t q u e les f o r m u l e s d u p r e m i e r g r o u p e , dit e s « c a l c u l à l a r u p t u r e » c o n d u i s e n t à d e u x i n t e r p r é t a t i o n s d i f f é r e n t e s , s e l o n q u e l ' o n c o n s i d è r e l e coef f i c i e n t d e s é c u r i t é 2 a f f e c t é à Rgi o u l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é 4 a f f e c t é à R'br- L e s f i g u r e s 11 ( c i - c o n t r e ) et 12 ( v o i r p a g e s u i v a n t e ) d o n n e n t les m o -
• X m e n t s a d m i s s i b l e s , t e l s q u ' i l s r é s u l t e n t d e s z o n e s e x p é r i m e n t a l e s d e M . M o e n a e r t c o r r e s p o n d a n t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r a v e c u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é éga l
à 2 e t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n a v e c u n c o e f f i c i e n t éga l
à 4 ,e t e l l e s y s u p e r p o s e n t les c o u r b e s r e p r é s e n t a t i v e s d e la m é t h o d e
p r o p o s é e . O n r e m a r q u e qvie ces c o u r b e s se s i t u e n t d ' u n e f a ç o n t r è s sat is
f a i s a n t e p a r r a p p o r t à la z o n e h a c h u r é e e t d o n n e n t u n e p r é c i s i o n auss i
b o n n e q u e les m e i l l e u r e s des m é t h o d e s c o n n u e s t o u t e n é t a n t d ' u n e
j u s t i f i c a t i o n p l u s r a t i o n n e l l e e t p l u s s i m p l e .
P o u r la f i g u r e 11 — r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r — la c o u r b e
t h é o r i q u e est assez v o i s i n e d e la l i m i t e i n f é r i e u r e d e l a z o n e e x p é r i
m e n t a l e ; p a r la f i g u r e 12 — r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n — les
c o u r b e s t h é o r i q u e s c h e v a u c h e n t a u c o n t r a i r e la l i m i t e s u p é r i e u r e d e la
— 25 —
z o n e e x p é r i m e n t a l e . C e t t e d i f f é r e n c e , q u i p a r a î t p a r a d o x a l e , se j u s t i f i e p a r le f a i t q u e les c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é a p p l i q u é s à l ' a c i e r e t a u b é t o n n e son t pas les m ê m e s .
15. — C O M P A R A I S O N A V E C L ' E X P E R I E N C E .
P o u r p o u v o i r se f a i r e u n e o p i n i o n c o m p l è t e s u r la v a l e u r d ' u n e f o r m u l e d e c a l c u l , i l n e s u f f i t p a s d e la c o m p a r e r avec d ' a u t r e s f o r m u l e s , m a i s i l est e n c o r e n é c e s s a i r e d e l ' a p p l i q u e r à u n g r a n d n o m b r e d e cas , a f i n d e se r e n d r e c o m p t e d e la s é c u r i t é e f f e c t i v e à l a q u e l l e e l l e c o n d u i t . C e t e x a m e n est p a r t i c u l i è r e m e n t n é c e s s a i r e i c i p a r s u i t e d e la c o m p l i c a t i o n r é s u l t a n t des c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d i f f é r e n t s . I l i m p o r t e d o n c d e c o m p a r e r , p o u r u n e n s e m b l e d 'essa is auss i vas te q u e p o s s i b l e , les m o m e n t s d e r u p t u r e m e s u r é s e n l a b o r a t o i r e avec les m o m e n t s a d m i s s i b l e s t h é o r i q u e s a f i n d e c o n n a î t r e le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é r é e l d e la p i è c e q u e l ' o n ca l cu l e .
C 'es t c e q u e n o u s avons f a i t e n c o n s i d é r a n t 142 essais. P o u r c h a c u n d ' e u x , c o n n a i s s a n t les v a l e u r s d e X e t d e r , n o u s a v o n s dét e r m i n é la f o n c t i o n M / b h 2 R ' b a u m o y e n
d e 1 a b a q u e 1, ce q u i — \ n o u s a d o n n é l e m o m e n t a d m i s s i b l e M. E n c o m p a r a n t c e m o m e n t a v e c le m o m e n t d e r u p t u r e M,-, m e s u r é e x p é r i m e n t a l e m e n t , n o u s o b t e n o n s l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é e f f e c t i f S vis-à-vis d e la r u p t u r e .
P o u r c h a c u n d e s e x p é r i m e n t a t e u r s a u x q u e l s n o u s n o u s s o m m e s r é f é r é s , n o u s a v o n s é t a b l i le d i a g r a m m e des c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é S e n f o n c t i o n d u p r o d u i t X r . Novis d o n n o n s le t a b l e a u c o m p l e t des c a l c u l s e t les d i a g r a m m e s c o r r e s p o n d a n t s ( f ig . 13 à 17 ) . N o u s a v o n s c h a q u e f o i s a j o u t é la d r o i t e m o y e n n e t r a d u i s a n t le m i e u x p o s s i b l e l ' e n s e m b l e d e s r é s u l t a t s .
(1) Résultats publiés dans les Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics, de mars-avril 1937, et reproduits dans l'ouvrage de M. Guerrin.
(2) V o i r Béton und Eisen, du 20 mai 1938. Vcrgleichsversuche mit Rundeisen — und Griffelstahl — bewerkten Eisenbetonbalken.
(3) Voir Journal of the Institute of Civil Engineers, n° 21, décembre 1943. The plastic théories for the Ultimate strength of rcinforced concrète beams.
(1) Festigkeit und Verformung von auf Biegung beanspruchten Eisenbeton-Balken (EMPA, Bericht n' 141, Zurich, 1941).
— 30 —
T o u t e s les d r o i t e s m o y e n n e s o n t é t é r e p r i s e s à la f i g u r e 18 q u i const i t u e l ' a b o u t i s s e m e n t d e c e t t e c o n f r o n t a t i o n e t q u e n o u s c o m m e n t o n s c i -dessous :
a ) N o u s r e t r o u v o n s l a f o r t e d i s p e r s i o n q u e n o u s a v o n s d é j à s i g n a l é e e t q u i p r o v i e n t d e la n a t u r e m ê m e d u m a t é r i a u ;
b ) Les r é s u l t a t s d i f f é r e n t assez b i e n d ' u n e x p é r i m e n t a t e u r à l ' a u t r e a u p o i n t q u e les d r o i t e s m o y e n n e s , q u i s o n t a s c e n d a n t e s c h e z c e r t a i n s , s o n t d e s c e n d a n t e s c h e z les a u t r e s . Ces d i s c o r d a n c e s s o n t i n é v i t a b l e s ; e l l e s p e u v e n t r é s u l t e r d u m o d e d e f a b r i c a t i o n des é p r o u v e t t e s , d e l a m a n i è r e d o n t les c h a r g e s s o n t a p p h q u é e s , d e l a v i tesse avec l a q u e l l e les essais s o n t c o n d u i t s , e t d e b i e n d ' a u t r e s causes e n c o r e ;
c) L e s essais d o n n e n t t o u s vme s é c u r i t é s u p é r i e u r e à 2 e t l e u r m o y e n n e se t r a d u i t g r a p h i q u e m e n t p a r i m e h o r i z o n t a l e d o n t l ' o r d o n n é e est p r a t i q u e m e n t é g a l e à 3.
C e l a s i g n i f i e q u e l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é q u e l ' o n o b t i e n t e n a p p l i q u a n t la m é t h o d e p r o p o s é e n e d é p e n d p a s d e X r , c ' e s t - à -d i r e n i d u p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e , n i d u r a p p o r t des r é s i s t ance s e t q u e p o u r u n g r a n d n o m b r e d ' e s sa i s i l a t t e i n t u n e v a l e u r m o y e n n e d e 3 a v e c i m m i n i m u m t o u j o u r s s u p é r i e u r à 2.
16. — R E S O L U T I O N D U C A S G E N E R A L ,
a ) Exposé de la méthode.
C'es t v o l o n t a i r e m e n t q u e , j u s q u ' i c i , n o u s avons l i m i t é n o t r e e x p o s é a u x s e c t i o n s r e c t a n g u l a i r e s , so l l i c i t ées p a r f l e x i o n s i m p l e e t a r m é e s e n t r a c t i o n s e u l e m e n t . N o u s n e c o n s i d é r e r o n s p r o v i s o i r e m e n t p a s les cas p a r t i c u l i e r s d e p o u t r e s d o u b l e m e n t a r m é e s o u d e p o u t r e s e n T , n i l a f l e x i o n c o m p o s é e d e s e c t i o n s r e c t a n g u l a i r e s , c i r c u l a i r e s o u a u t r e s . .
A f i n d e l i m i t e r la l o n g u e u r d e la p r é s e n t e n o t e , n o u s e x p o s e r o n s imi -q u e m e n t la m é t h o d e g é n é r a l e d e r é s o l u t i o n b a s é e s u r l es c o n c e p t i o n s q u e n o u s a v o n s d é f i n i e s p r é c é d e m m e n t .
So i t ( f i g u r e 19) u n e s e c t i o n e n b é t o n d e f o r m e q u e l c o n q u e symét r i q u e p a r r a p p o r t a u p l a n u — u . C e t t e s ec t i on c o m p o r t e u n e a r m a t u r e d e t r a c t i o n Qa = r é p a r t i e e n p l u s i e u r s n a p p e s e t u n e a r m a t u r e d e c o m p r e s s i o n Sw 'a é g a l e m e n t r é p a r t i e e n p l u s i e u r s n a p p e s .
N o u s c o n n a i s s o n s , d ' a u t r e p a r t , la q u a l i t é , r é e l l e o u p r o b a b l e des m a t é r i a u x , c ' e s t - à -d i r e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s Ra e t R'b- C o n n a i s s a n t
— 3 1 —
l ' e f f o r t l o n g i t u d i n a l N q u i e s t a p p l i q u é à la s ec t ion , o n d e m a n d e d e d é t e r m i n e r le m o m e n t f l é c h i s s a n t M q u ' e l l e p o u r r a s u p p o r t e r s a n s q u e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s n e s o i e n t dépas sées .
O n p r o c è d e p a r t â t o n n e m e n t s e n c h o i s i s s a n t à p r i o r i u n e pos i
t i o n d e l a f i b r e n e u t r e n -— n .
S o i e n t Vg e t V les d i s t a n c e s d e c e t t e f i b r e resp e c t i v e m e n t à l ' a r m a t u r e é t en d u e la p l u s é loi g n é e e t a u c e n t r e d e g r a v i t é d e l ' en s e m b l e des a r m a t u r e s é t e n d u e s .
O n p e u t i m m é d i a t e m e n t c a l c u l e r la t e n s i o n a d m i s s i b l e m o y e n n e Ram d e l ' a c i e r é t e n d u d e t e l l e f a ç o n q u e la t e n s i o n a d m i s s i b l e R» n e soi t d é p a s s é e d a n s a u c u n e b a r r e :
V Ram ^ R a
O n c o n n a î t d o n c a i n s i l e r a p p o r t des r é s i s t ance s r :
•Ram
~ R'b
L a r é s u l t a n t e N'b d e s c o m p r e s s i o n s d u b é t o n est é g a l e à :
. v ' N ' b = \ ' 'b b d y
Les v a l e u r s des t e n s i o n s a'b s o n t d o n n é e s p a r l ' a b a q u e I I , oii
(Tb
R'b
e t 5 = 2 m
— 3 2 -
L ' i n t é g r a l e p r é c é d e n t e p e u t , d a n s u n cas g é n é r a l , ê t r e r e m p l a c é e p a r u n e s o m m a t i o n d e q u a n t i t é s f i n i e s :
R\ S b Y) A y
L o r s q u e b est c o n s t a n t e n t r e les n i v e a u x yi e t y2, o n o b t i e n t d i r ec t e m e n t l a v a l e u r c o r r e s p o n d a n t e d e 'N\ à l ' a i d e d e la f o r m u l e s u i v a n t e :
2 m N 'b = R'b v b {<ù2 — tùi)
(ùo e t « i é t a n t d o n n é s e n f o n c t i o n d e y p a r le m ê m e a b a q u e .
L ' e f f o r t r e p r i s p a r l es ar-— — ~ ' m a t u r e s p l a c é e s d a n s la z o n e
c o m p r i m é e v a u t :
N ' a = S Q ' a . is\
Si v'a ^ Ve, o n p e u t é c r i r e :
V a
s'a = R a Ve
Si v'a > Vc, o n d o i t p r e n d r e
a'a = R a
c a r l ' a r m a t u r e a t t e i n t d a n s ce cas sa l i m i t e é l a s t i q u e a v a n t la r u p t u r e d e la p o u t r e .
L a r é s u l t a n t e g é n é r a l e des e f f o r t s l o n g i t u d i n a u x s ' é c r i t p a r conséq u e n t :
N ' = N 'b + N 'a . R a
L a p o s i t i o n d e la f i b r e n e u t r e n — n q u e l ' o n a c h o i s i e n e s e r a c o r r e c t e q u e si c e t t e r é s u l t a n t e est é g a l e à l ' e f f o r t l o n g i t u d i n a l ex té r i e u r N . I l s e r a d o n c n é c e s s a i r e d e t â t o n n e r j u s q u ' à ce q u ' o n a i t :
N ' = N
o u , d a n s le cas d e l a f l e x i o n s i m p l e ,
N ' = O
A y a n t a i n s i r e p é r é le n i v e a u e x a c t d e n — n , o n d é t e r m i n e le m o m e n t f l é c h i s s a n t a d m i s s i b l e e n a d d i t i o n n a n t les m o m e n t s s u i v a n t s c a l c u l é s p a r r a p p o r t à la f i b r e n e u t r e :
1) — moment des aciers étendus :
Ma = . Ram • V
— 33 —
2 ) — moment des aciers comprimés
M ' = S Q 'a V' 2 t a n t q u e v \ < Ve
M'a = Ra S Q'a v'a si v'a dépaSSC Vg.
3) — moment du béton comprimé :
M'b = a'b- b y d y
q u e l ' o n p e u t é c r i r e d a n s le cas g é n é r a l
2 m V
Si b es t c o n s t a n t e n t r e les n i v e a u x y i e t y2, o n a auss i
/ 2 m \ 2
R ' , j v 2 b ( S , Si )
les t e r m e s S2 e t Si é t a n t l ' ourn i s p a r l ' a b a q u e I I ci-c o n t r e .
O n p e u t d o n c é c r i r e :
M = Ma + M'a + M'b
b ) Exemple.
O n d o n n e l a s e c t i o n e n T , r e p r é s e n t é e à la f i g u r e 21, a r m é e e n t r a c t i o n d e 4 l i ts d e b a r r e s c o n t e n a n t c h a c u n 114 cm^ d ' a c i e r ; l ' a r m a t u
r e c o m p r i m é e est é g a l e à 4,5 c m - . Les t e n s i o n s a d m i s s ib l e s s o n t d e 65 k g / c m ^ p o u r le b é t o n c o m p r i m é e t d e 1250 k g / c m ^ p o u r l ' a c i e r . O n d e m a n d e l e m o m e n t f lé -
— V \ b r j Ç A y r o
10
o.3o o 6 0 > 3o-
4 .5<
r/ç.z/
h, 11-1 odî' cJci^
/
tic
— 3 4 —
c h i s s a n t q u e l a s e c t i o n p e u t s u p p o r t e r , e n l ' a b s e n c e d ' e f f o r t l o n g i
t u d i n a l .
N o u s a p p l i q u o n s l a m é t h o d e g é n é r a l e q u e n o u s v e n o n s d e d é c r i r e . A p r è s q u e l q u e s t â t o n n e m e n t s , q u e n o u s n e r e p r o d u i s o n s p a s ic i , o n
t r o u v e q u e l a p o s i t i o n d e l a f i b r e n e u t r e es t d é f i n i e p a r Ve = 105 c m ,
c e q u i d o n n e v = 9 3 c m e t v ' = 139 c m .
« A = 0 , 5 1 2 SA = 0 , 2 8 0 e t UB = 0 , 2 4 0 SB = 0 , 0 8 5
3 0
N 'b = 6 5 — 9 3 ( 0 , 5 1 2 X 1 2 0 — 0 , 2 4 0 X 6 0 ) = 5 0 2 . 0 0 0 k g , 1 7
N ' a = 1 2 5 0 X 4 , 5 = 5 . 6 0 0 k g .
N a = — 1 1 0 8 X 4 5 6 = — 5 0 6 . 0 0 0 k g .
N = 1 . 7 0 0 k g .
N e s t d o n c p r a t i q u e m e n t n u l , c e q u i c o n f i r m e l a p o s i t i o n d e l a f i b r e n e u t r e .
L e m o m e n t f l é c h i s s a n t s ' o b t i e n t e n a d d i t i o n n a n t les t r o i s c o m p o s a n t e s :
/ 3 0 X 9 3 x 2 M ' b = 6 5 / \ ( 0 , 2 8 0 X 1 2 0 — 0 , 0 8 5 X 6 0 ) = 4 9 . 9 0 0 . 0 0 0 k g c m .
M'a — 1250 X 4,5 X 1 3 3 = 750 .000 k g c m .
M , = 1108 X 4 5 6 X 9 3 = 47 .000 .000 k g c m .
M = 97 .650 .000 k g c m .
— 35 —
L a s e c t i o n d o n n é e p e u t d o n c s u p p o r t e r , avec u n e s é c u r i t é n o r m a l e , u n m o m e n t d e 976,5 T m .
L ' a p p l i c a t i o n d e l a m é t h o d e c l a s s ique a u r a i t m o n t r é q u e l e p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e s d é p a s s e le p o u r c e n t a g e c r i t i q u e e t a u r a i t c o n d u i t à i m m o m e n t a d m i s s i b l e d e 794 T m , so i t les 0,815 d e la v a l e u r p r é c é d e n t e .
17. _ C O N C L U S I O N S .
a ) L a m é t h o d e c l a s s i q u e c o n d u i t à u n m o m e n t f l é c h i s s a n t q u i p r é s e n t e u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é excessif p a r r a p p o r t a u m o m e n t d e •
r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n .
b ) D e n o m b r e u s e s m é t h o d e s o n t é t é p r o p o s é e s p o u r c o r r i g e r ce t é c a r t , les u n e s i n t r o d u i s a n t les v a l e u r s des t e n s i o n s d e r u p t u r e , les a u t r e s ce l les d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s des m a t é r i a u x ; c e r t a i n e s d ' e n t r e e l les t i e n n e n t c o m p t e d u r a p p o r t m des m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é .
c) Q u e l q u e s m é t h o d e s f o n t a p p e l à des a r t i f i c e s d e r a i s o n n e m e n t q u i s ' é c a r t e n t c o m p l è t e m e n t d e la r é a l i t é des p h é n o m è n e s .
d ) L ' e x a m e n d ' u n g r a n d n o m b r e d 'essa i s d e l a b o r a t o i r e m o n t r e q u e la d i s p e r s i o n d e s r é s u l t a t s es t t r è s g r a n d e e t i l e s t i m p o s s i b l e d e concev o i r u n e f o r m u l e a y a n t u n e p r é c i s i o n m a t h é m a t i q u e p o u r le c a l c u l d e s s ec t i ons e n b é t o n a r m é .
e ) I l est d é s i r a b l e q u e la f o r m u l e u t i l i s é e p o u r l e c a l c u l d o n n e e n m o y e n n e la m ê m e s é c u r i t é p a r r a p p o r t à la r u p t u r e q u e l s q u e s o i e n t le p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e s e t les q u a l i t é s d u b é t o n e t d e l ' ac ie r .
f ) J u s q u ' à p r é s e n t , c h a q u e f o r m u l e a é t é é t a b l i e e n s u p p o s a n t q u e le d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s s u r b é t o n a v a i t u n e f o r m e i n v a r i a b l e .
g) L ' u t i h s a t i o n d e c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d i f f é r e n t s p o u r l e b é t o n e t p o u r l ' a c i e r c o m p l i q u e la d é t e r m i n a t i o n t h é o r i q u e d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é d e la p i è c e e n b é t o n a r m é .
h ) L a m é t h o d e p r o p o s é e s u p p o s e q u e le d i a g r a m m e des t e n s i o n s s u r b é t o n est v a r i a b l e e t q u ' i l s ' é t e n d d e la f o r m e t r i a n g u l a i r e p o u r les p i è c e s t r è s p e u a r m é e s à la f o r m e r e c t a n g u l a i r e p o u r les p i èces a r m é e s à l ' excès , e n p a s s a n t p a r la f o r m e p a r a b o l i q u e .
i ) L a m é t h o d e p r o p o s é e s c i n d e le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é a p p l i q u é a u b é t o n e t i n t r o d u i t la n o t i o n d e « r é s i s t a n c e p o s s i b l e » d e ce lu i -c i , vis-à-vîs d e l a q u e l l e o n p r e n d la m ê m e s é c u r i t é q u e p o u r l ' a c i e r .
— 36 —
j ) P o u r les p i èce s t r è s p e u a r m é e s , la m é t h o d e p r o p o s é e se c o n f o n d avec la m é t h o d e c l a s s i q u e .
k ) L a c o m p a r a i s o n d e s r é s u l t a t s o b t e n u s p a r l a m é t h o d e p r o p o s é e avec c e u x q u i o n t é t é t r o u v é s e x p é r i m e n t a l e m e n t m o n t r e q u e l e coe f f i c i e n t d e s é c u r i t é m o y e n vis-à-vis d e la r u p t u r e est c o n s t a n t e t n e d é p e n d n i d u p o u r c e n t a g e d ' a c i e r , n i d u r a p p o r t d e s r é s i s t a n c e s des m a t é r i a u x associés .
SAMENVATTING :
Enkele beschouwingen aangaande de berekening van het gewapend béton
tegen enkelvoudige doorbuiging.
De studie van de weerstand van het gewapend béton tegen doorbuiging heejt reeds het voorwerp uitgemaakt van talrijke publicaties, en menigvuldige berekeningsmethcdcs wcrden hierbij voorgesteld.
Een vergelijkende analyse van deze méthodes werd in België uitge-voerd door de heer P. Moenaert en in Frankrijk door de heer A. Guerrin.
Over 'f algemeen beschouwd, voeren deze méthodes : — hetzij tôt een formule van de vorm :
M , - R ' b . . b h 2 X ;A (1 — KX [A)
loaarin X het wapeningspercentage voorstelt, [). de verhouding Ra/R\r en K een coëfficient waarvan de waarde, volgens de auteurs, schommelt tussen 0,5 en 0,67;
— hetzij tôt een dubbele formule van de vorm :
M ^ R a b h 2 X (1 ) e n M ^ R'b b h ^ a ( 1 ) Kl Kj
— 3 7 —
welke de waarde beperkt van het toelaathaar moment, im functie van de
Vit de vergelijking van de volgens deze miethode berekende waarden met de resultaten van laboratoriumproeven, blijkt dat de waarde van het toelaatbaar moment, uitgedrukt in functie van R'b, eera overdreven veiligheidscoëfficient behelst, welke deze vastgesteld bij de breuk door ontoereikendheid aan staal aanzienlijk te boven gaat.
De heer Moenaert stelde voor de toelaatbare spanningen voor het béton, in de berekeningen met 30 % te verhogen. Steller is echter van oordeel dat de aanwending, zonder meer, van een dergelijke verho-gingscoëfficient een empirische oplossing uitmaakt en dient venvorpen.
De definitie van de veiligheidscoëfficient bij gewapend béton stuit op grote moeilijkheden, omdat deze coefficient afhangt van twee mate-rialen met uiterst verschillende eigenschappen en voor dewelke de opgelegde veiligheidscoëfficienten geenszins de zelfde zijn.
Aile tôt nu toe gekende formules berusten op de veronderstelling dat het spanningsdiagram in het béton een onveranderlijke vorm ver-toont bij de breuk. De door steller uiteengezette méthode veronderstelt, daarentegen, dat de vorm van het spanningsdiagram, op het ogenblik van de breuk, afhangt van het staalpercentage en dat hij wisselt van de driehoeksvorm voor zeer weinig bewapende elementen, tôt de recht-hoekige vorm voor overvloedig bewapende elementen, met de daartussen liggende parabolische vorm, zoals aangeduid op figuur 6.
De voorgestelde méthode splitst, daarenboven, de op het béton toe-gepaste veiligheidscoëfficient in een eerste coëfficient, rekening houdend met de onbepaaldheid van de belastingen welke op de constructie inwer-ken, alsmede met de secundaire invloeden, — zoals dynamische of her-haalde sollicitaties, — en in een tweede coëfficient, rekening houdend met de mogelijke tekortkomingen in de kwaliteit van het materiaal.
Dit komt er op neer, voor het béton een minimum breukweerstand te beschouwen, waarop dan de zelfde veiligheidscoëfficient wordt toe-gepast als voor het staal, hetgeen het probleem aanzienlijk vergemak-
tœlaatbare spanningen in het staal en in het béton.
De klassieke méthode voert tôt de dubbele formule :
e n
kelijkt.
— 3 8 —
Voor licht bewapende stukken, stemt de voorgestelde méthode vol-komen overeen met de klassieke méthode.
De vergelijking tussen de resultaten verkregen door de voorgestelde méthode met deze opgeleverd door 142 proeven, die door verschillende auteurs werden uitgevoerd, toont aan dut de gemiddelde veiligheids-coefficient ten opzichte van de breuk constant is en geenszins afhangt, noch van het staalpercentage, noch van de verhouding tussen de respec-tieve weerstanden van de samenstellende materialen.