CONSIDERATII METODICE PRIVIND PREDAREA INELELOR DE POLINOAME Prof.MUSCA FLORINA COLEGIUL TEHNIC M.VITEAZUL ORADEA 1. Aspecte organizatorice ale predării capitolului Inele de Polinoame 1.1. Metodica introducerii inelelor de polinoame Deoarece elevii, deja în clasele mai mici sunt familiarizaţi cu noţiunea de monoame, conform programei actuale de matematică primele noţiuni legate de monoame sunt introduse în clasa a VII-a, în capitolul Numere reale, Calcule cu numere reale reprezentate prin litere , predarea Inelelor de polinoame nu prezintă greutăţi deosebite la clasa a XII-a, iar elevii îşi lărgesc orizontul matematic prin abordarea acestei teme prin prisma structurilor algebrice, dobândesc la timp cunoştinţele necesare altor discipline (fizică, chimie, informatică, etc). Polinoamele constituie o etapă fundamentală în formarea capacităţilor de abstractizarea a elevilor. Calculul cu polinoame stă la baza celor mai multe tehnici matematice. Predarea Inelelor de polinoame vizează următoarele obiective de referinţă, realizarea lor reprezentând una din cerinţele obligatorii. 1. Recunoaşterea şi diferenţierea mulţimilor de numere, a polinoamelor, a matricelor şi a structurilor algebrice; (1) 2. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia; (2.1) 3. Compararea proprietăţilor algebrice sau aritmetice ale operaţiilor definite pe diverse mulţimi, în scopul identificării unor algoritmi; (2.2) 4. Exprimarea proprietăţilor mulţimilor înzestrate cu operaţii prin identificarea organizării structurale a acestora; (4.1) 5. Utilizarea similarităţii operaţiilor definite pe mulţimi diferite în deducerea unor proprietăţi algebrice; (5) 6. Utilizarea calculelor algebrice în probleme practice uzuale; (6) 7.Recunoaşterea polinoamelor; 8. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice; 48
64
Embed
consideratii metodice asupra cap. inele de polinoame
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CONSIDERATII METODICE PRIVIND PREDAREA INELELOR DE POLINOAME
Prof.MUSCA FLORINA COLEGIUL TEHNIC M.VITEAZUL
ORADEA
1. Aspecte organizatorice ale predării capitolului Inele de Polinoame
1.1. Metodica introducerii inelelor de polinoame
Deoarece elevii, deja în clasele mai mici sunt familiarizaţi cu noţiunea de monoame,
conform programei actuale de matematică primele noţiuni legate de monoame sunt introduse
în clasa a VII-a, în capitolul Numere reale, Calcule cu numere reale reprezentate prin litere,
predarea Inelelor de polinoame nu prezintă greutăţi deosebite la clasa a XII-a, iar elevii îşi
lărgesc orizontul matematic prin abordarea acestei teme prin prisma structurilor algebrice,
dobândesc la timp cunoştinţele necesare altor discipline (fizică, chimie, informatică, etc).
Polinoamele constituie o etapă fundamentală în formarea capacităţilor de abstractizarea a
elevilor. Calculul cu polinoame stă la baza celor mai multe tehnici matematice. Predarea Inelelor de polinoame vizează următoarele obiective de referinţă, realizarea
lor reprezentând una din cerinţele obligatorii.
1. Recunoaşterea şi diferenţierea mulţimilor de numere, a polinoamelor, a matricelor şi
a structurilor algebrice; (1)
2. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia; (2.1)
3. Compararea proprietăţilor algebrice sau aritmetice ale operaţiilor definite pe diverse
mulţimi, în scopul identificării unor algoritmi; (2.2)
4. Exprimarea proprietăţilor mulţimilor înzestrate cu operaţii prin identificarea
organizării structurale a acestora; (4.1)
5. Utilizarea similarităţii operaţiilor definite pe mulţimi diferite în deducerea unor
proprietăţi algebrice; (5)
6. Utilizarea calculelor algebrice în probleme practice uzuale; (6)
7.Recunoaşterea polinoamelor;
8. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor
algebrice;
48
9. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date;
10. Aplicarea prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din
aritmetica numerelor;
Constructia inelului de polinoame se realizează pornind de la o mulţime AN, mulţimea
tuturor funcţiilor de la N la A, adică AN= f / f:N → A, unde A este un inel comutativ, unitar.
Un element f∈ AN, fiind o funcţie, se reprezintă cu ajutorul valorilor sale sub forma f=
,...),...,,( 10 maaa = Niia ∈)( .
Dacă f,g∈ AN, f= Niia ∈)( , g= Niib ∈)( atunci f=g ⇔ ii ba = , ∀ Ni ∈ .
Pe mulţimea AN definim două legi de compoziţie interne:
adunarea: dacă f,g∈ AN, f= ,...),...,,( 10 iaaa , g= ,...),...,,( 10 ibbb , atunci f+g=
,...)ba,...,ba,ba( ii1100 +++ ;
înmulţirea: gf ⋅ = jkji
iba∑=+
, ∀ k∈ N.
Exemplu. Fie f=(-1,2,3,-5,...)∈ AN şi g=(1,0,-1,0,...)∈ AN ⇒ f + g=(0,2,3,-5,...),
f•g=(-1,2,4,-7,...).
Deci (AN,+, •) este o structură algebrică.
Astfel se verifică:
Asociativitatea şi comutativitatea adunării
Fie f,g,h∈ AN, f= Ni∈)a( i , g= Ni∈)b( i , h= Ni∈)c( i . Atunci, pentru orice i∈ N avem
iiii abba +=+ şi )cb(ac)ba( iiiiii ++=++ , deoarece adunarea în A este comutativă şi
asociativă. Rezultă că f+g=g+f şi (f+g)+h=f+(g+h), adică adunarea în AN este comutativă şi
asociativă.
Elementul neutru şi elementul simetrizabil (opusul) faţă de adunare
Există în AN element neutru faţă de adunare, şi anume funcţia 0:N → A, 0(i)=0, ∀ i∈
N. Pentru orice f∈ AN, f= ,)a( i Ni∈ opusul său este -f∈ AN şi f+(-f)=(-f)+f=0.
Exemplu. f= (-1,0,2,7,...)∈ AN ⇒ - f = (1,0,-2,-7...).
Comutativitatea şi asociativitatea înmulţirii
Înmulţirea în A fiind comutativă rezultă că jkji
iba∑=+
= ∑=+ kij
ij ab Nji ∈∀ , , k=i+j
⇒ gf ⋅ = fg ⋅ , adică înmulţirea în AN este comutativă.
Analog ( gf ⋅ ) h⋅ = ⋅f ( hg ⋅ ), înmulţirea în AN este asociativă. (Capitolul I, paragraful
1.1)
Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare
Fie ⋅f (g + h) = (d0,d1,...,dk,...),
49
gf ⋅ + hf ⋅ = ,...)d,...,d,d( 'k
'1
'0 , kd = )( j
kjiji cba +∑
=+= ∑
=+ kjijiba + j
kjiica∑
=+.
Înmulţirea fiind distributivă faţă de adunare rezultă că dk=d'k, Nn ∈∀ . Rezultă ⋅f
(g+h)= gf ⋅ + hf ⋅ şi înmulţirea în AN fiind comutativă, avem şi ⋅f (g+h)= gf ⋅ + hf ⋅ , adică
înmulţirea în AN este distributivă faţă de adunare.
Elementul neutru faţă de înmulţire
Există în AN element neutru faţă de înmulţire şi anume: (1,0,0,...,0,...).
În concluzie, avem (AN,+, •) inel comutativ cu element unitate.
Forma algebrică a polinoamelor:
Notăm X=(0,1,0,...0,...), atunci din definiţia înmulţirii în AN, rezultă că:
Deci f se divide cu g, dacă restul împărţirii lui f la g în Zm[X] este zero, adică 9 (X + 3 ) = 0 în
Zm[X], ceea ce este echivalent cu 9 = 0 (mod m) şi 27 0 (mod m). Deci m=3 sau m=9.
51
Întotdeauna pentru un polinom f∈ K[X] trebuie precizată mulţimea în care se
determină rădăcinile.
(1). f = 2X + 3∈ Z[X] are gradul 1 şi nu are rădăcini în Z.
(2). f = 2X + 3∈ Q[X] are gradul 1 şi are rădăcina 23− în Q.
(3). g = X2 + X + 1 ∈ Z2[X] are gradul 2 şi nu are rădăcinile α 1=0, α 2=1, α 3=1 în Z2
şi avem h = X(X+1) în Z2[X].
Relaţia de divizibilitate în inelele de polinoame
Divizibilitatea polinoamelor ocupă un loc important în studiul proprietăţilor
polinoamelor, stând la baza rezolvării numeroaselor probleme de matematică, dintre cele mai
diverse.
Fie inelul de polinoame K[X]. În definirea operaţiei de înmultire în inelul de
polinoame, produsul a două polinoame f,g din K[X] este tot un polinom din K[X] al cărui
grad este egal cu suma gradelor celor două polinoame fg=h.
Aceasta ne sugerează a considera şi problema reciprocă acesteia: dându-se un
polinom h din K[X] există sau nu două polinoame în K[X] al căror produs să fie polinomul
h.
Astfel dându-se polinoamele f,h din K[X] există polinomul g din K[X], astfel ca
produsul fg este egal cu polinomul h, atunci spunem că polinomul f este un divizor al
polinomului h (h este divizibil prin f) sau că polinomul h este un multiplu al polinoamului f.
Exemplu: 1. Fie f,g,h R[X], f= X+2, h= X2+5X+6. Există polinomul g= X+3 astfel
încât:(X+2)(X+3)=X2+5X+6.
Divizorii de forma a şi af, a∈K-0 se numesc divizori improprii ai lui f. Ceilalţi
divizori, dacă există, se numesc divizori proprii ai lui f.
Problema care ne interesează este de a vedea cum se scrie un polinom f∈K[X] ca un
produs de factori de un anumit tip.
Un polinom f∈K[X] se numeşte ireductibil peste K (sau încă ireductibil în K[X]) dacă
are gradul cel puţin unu şi dacă nu are divizori proprii.
În caz contrar, el se numeşte reductibil peste K (sau încă reductibil în K[X]).
Problema descompunerii unui polinom în factori ireductibili (factorizarea
polinoamelor) este operaţia inversă înmulţirii polinoamelor. Reamintim faptul că atunci când
factorizăm un număr natural, căutăm numere prime al căror produs să fie numărul dat, de
exemplu, 6=23, sau 12=223.
Când factorizăm un polinom, căutăm polinoame al căror produs să fie polinomul dat.
Este foarte important a specifica mulţimea din care fac parte polinoamele.
52
Aşadar, un polinom f∈C[X] este reductibil peste C dacă există două polinoame (cel
puţin) g, h∈C[X], g, h ≠ 0 de grad cel puţin unu pentru care f = gh.
Analog, un polinom f∈R[X] este reductibil peste R dacă există două polinoame (cel
puţin) g,h∈R[X], g, h ≠ 0 de grad cel puţin unu pentru care f = gh.
De asemenea, un polinom f∈Q[X] (Z[X]) este reductibil peste Q(Z) dacă există două
polinoame (cel puţin) g,h∈Q[X] (Z[X]), de grad cel puţin unu pentru care f = gh.
Este foarte importantă precizarea polinoamelor ireductibile în principalele inele de
polinoame
1. Un polinom f∈C[X] este ireductibil, dacă şi numai dacă f = aX + b, a,b∈C, a≠0.
2. Un polinom f∈R[X] este ireductibil, dacă şi numai dacă f = aX + b, a,b∈R, a≠0 sau
f = aX2 + bX + c, a,b,c∈R, a ≠ 0, b2 – 4ac<0.
Deci orice polinom de gradul întâi din C[X] (sau R[X] sau Q[X], Z[X]) este un
polinom ireductibil.
Pentru a arata că un polinom este ireductibil într-o mulţime se foloseşte metoda
reducerii la absurd. Arătăm că f = X2–3 este ireductibil peste Z[X].
Presupunem că f ar fi reductibil peste Z, deci ar admite o scriere de forma
f =(aX+b)(mX+n).a,b,m,n ∈Z, a,m ≠ 0. După calcule X2–3=amX2+(an+bm)X+bn obţinem
sistemul
−==+
=
30
1
bnbman
am, care nu are soluţii în Z. Deci f este ireductibil peste Z.
Legătura între divizori şi rădăcini este dată de teorema lui Bézout, ce stabileşte
legătura între divizorii de gradul unu ai polinomului f∈ K[X] şi rădăcinile din K ale acestui
polinom.
Fie f R[X], f ≠ 0. Un element ∈ R este rădăcină a polinomului f în inelul R dacă şi
numai dacă polinomul X - α divide f în inelul R[X].
Înţelegerea acestor noţiuni pentru elevi poate fi dificilă dacă nu sunt clarificate toate
situaţiile prin exemple şi contraexemple.
Dacă f are rădăcină în K[X] atunci f este reductibil în K[X] .
Exemplul: Fie f = X2 – 3. Rădăcinile polinomului f sunt: x1= 3 ; x2=- 3 ∈ R[X] ⇒
f= (X – 3 )(X + 3 ). Deci f reductibil peste R[X].
Reciproca afirmaţiei:
Dacă f este reductibil în K[X] atunci f are rădăcini în K[X], nu este adevarată .
53
Exemplul: 1. Polinomul f = (X2 + 1)(X2 + 3) ∈ Z[X] este reductibil în Z[X] şi nu are
rădăcini în Z.
2. Polinomul g = (X2 + X + 1 )2 ∈ Z2 [X] este reductibil în Z2[X] şi nu are rădăcini în
Z2, fiindcă g( 0 ) = 1 şi g(1 ) = 1 .
Negaţia afirmaţiei:
Dacă f nu are rădăcini în K[X] atuncif ireductibil în K[X], nu este adevarată.
Exemplul:
1. Fie f=X4+4 R[X]. Polinomul f nu are rădăcini în R[X], dar se poate descompune în
R[X], f=(X2-2X+1)(X2+2X+1).
Observaţie: Dacă un polinom de grad mai mare sau egal cu 4 nu are rădăcini în
corpul K, nu rezultă în mod necesar că este ireductibil!
2. Fie polinomul ][32 423 XZXXXf ∈+++= care nu are nici o rădăcină în Z4[X],
dar este reductibil în Z4[X].
Se verifică prin calcul faptul că f( 0 ), f(1 ), f( 2 ), f( 3 ) ≠ 0.
Pentru a demonstra că polinomul este reductibil, considerăm descompunerea lui f
astfel: f=(aX+b)(cX2+dX+e), a,b,c,d,e∈ Z4 [X]. Dezvoltând în membrul drept relaţia şi apoi
identificând coeficienţii avem: a= 2 , b=1 , c=d=e= 3 , ceea ce arată că:
)333)(12( 2 +++= XXXf , deci f este reductibil peste Z4 [X].
Observaţie: Această afirmaţie este adevarată în Zp[X] dacă p este număr prim.
Deci orice polinom f din K[X] de grad 2 sau 3, care nu admite rădăcini în corpul K,
este ireductibil în K[X].
Orice polinom ireductibil în K[X], de grad mai mare sau egal cu 2, nu admite
rădăcini în corpul K (demonstraţie prin reducere la absurd, apelând la teorema lui Bézout).
Fie R[X]un inel integru. Orice polinom f ∈ R[X] de grad (f) = n ≥ 0 are în R cel
mult n rădăcini.
Observaţie: Dacă R nu este integru, afirmaţia nu mai este valabilă, adică un
polinom de grad n ≥ 0 poate avea mai mult de n rădăcini în inelul coeficienţilor.
Exemplul: f = 2X ∈ Z4[X] are gradul unu şi are două rădăcini α 1 = 0 şi α 2 = 2 în
inelul Z4[X], fiindcă f(0) = 0 şi f(2) = 0. De asemenea, f are două descompuneri neasociate în
inelul Z4[X] şi anume f = 2X = 2(X+2).
54
1.2. Proiectarea unităţii de învăţare
O unitate de învăţare reprezintă o structură didactică şi flexibilă, care are următoarele
caracterisici:
• Determină formarea la elevi a unui comportament specific, generat prin
integrarea unor obiective de referinţă;
• Este unitară din punct de vedere tematic;
• Se desfăşoară în mod sistematic şi continuu pe o perioadă de timp;
• Se finalizează prin evaluare.
Proiectarea unei unităţi de învăţare se face într-un tabel ce conţine următoarele rubrici:
Conţinuturi unde apar inclusiv detalieri de conţinut necesare în explicitarea anumitor
parcursuri, respectiv în cuplarea lor la baza proprie de cunoaştere a elevilor;
Obiective de referinţă – se trec numerele obiectivelor de referinţă din programa
şcolară;
Activităţi de invăţare – se trec activităţi care pot fi cele din programa scolară, sau
altele, pe care profesorul le consideră adecvate pentru atingerea obiectivelor propuse;
Resurse – se trec specificări de timp, mijloace didactice, metode didactice;
Evaluare – se menţionează instrumentele sau modalităţile de evaluare aplicate în
clasă.
Fiecare unitate de învăţare se încheie cu evaluare sumativă.
Apariţia noilor programe, centrate pe achiziţiile elevilor, impune anumite schimbări în
didactica fiecărei discipline. Diversificarea metodelor de învăţare, a modurilor şi formelor de
organizare a lecţiei, a situaţiilor de învăţare, constituie cheia schimbărilor pe care le
preconizează noul curriculum. Asigurarea unor situaţii de învăţare multiple creează premise
pentru ca elevii să poată valorifica propriile abilităţi în învăţare.
Metodele de învăţare sunt scheme de acţiune identificate de teoriile învăţării; ele sunt
aplicate conţinuturilor disciplinei studiate şi reprezintă acţiuni interiorizate de elev.Sensul
schimbărilor în didactica actuală este orientat spre formarea de competenţe, adică a acelor
ansambluri structurate de cunoştinţe şi deprinderi dobândite prin învăţare, care permit
identificarea şi rezolvarea unor probleme specifice, în contexte diverse.
Învăţarea nu mai poate avea ca unic scop memorarea şi reproducerea de cunoştinţe: în
societatea contemporană, o învăţare eficientă presupune explicarea şi susţinerea unor puncte
de vedere proprii, precum şi realizarea unui schimb de idei cu ceilalţi. Pasivitatea elevilor în
55
clasă, consecinţă a modului de predare prin prelegere, nu produce învăţare decât în foarte
mică măsură. De fapt, prelegerea presupune că toţi elevii pot asimila aceleaşi informaţii, în
acelaşi ritm, ceea ce este departe de realitate. Pentru elevi, este insuficient dacă, în timpul unei
ore, ascultă explicaţiile profesorului şi văd o demonstraţie sau un experiment. Este mult mai
eficient dacă elevii participă în mod activ la procesul de învăţare: discuţia, argumentarea,
investigaţia, experimentul, devin metode indispensabile pentru învăţarea eficientă şi de durată.
Aşadar, învăţarea devine eficientă doar atunci când îl punem pe elev să acţioneze!
Trecerea la o metodologie mai activă, centrată pe elev, implică elevul în procesul de învăţare
şi îl învaţă aptitudinile învăţării, precum şi aptitudinile fundamentale ale muncii alături de alţii
şi ale rezolvării de probleme. Metodele centrate pe elev implică individul în evaluarea
eficacităţii procesului lor de învăţare şi în stabilirea obiectivelor pentru dezvoltarea viitoare.
În cele ce urmează, exemplificăm câteva dintre posibilele situaţii de învăţare activă
care se pot organiza în orele de matematică în cadrul capitolului Inele de polinoame,
exemplificarea detaliată fiind făcută în proiectarea activităţilor de învăţare de la sfârşitul
capitolului.
1. Brainstorming
Metoda Brainstorming înseamnă formularea a cât mai multor idei – oricât de
fanteziste ar putea părea acestea - ca răspuns la o situaţie enunţată, după principiul cantitatea
generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile şi inedite este
necesară o productivitate creativă cât mai mare.
Vom exemplifica această metodă în rezolvarea unui exerciţiu, în cadrul unei lecţii de
recapitulare şi sistematizare din cadrul capitolului Inele de polinoame. Rădăcini complexe ale
polinoamelor – aplicaţii. (vezi proiect didactic nr 1):
Avantajele utilizării metodei brainstorming sunt multiple. Dintre acestea enumerăm:
• obţinerea rapidă şi uşoară a ideilor noi şi a soluţiilor rezolvitoare;
• costurile reduse necesare folosirii metodei;
• aplicabilitatea largă, aproape în toate domeniile;
• stimulează participarea activă şi crează posibilitatea contagiunii ideilor;
• dezvoltă creativitatea, spontaneitatea, încrederea în sine prin procesul evaluării amânate;
• dezvoltă abilitatea de a lucra în echipă;
Dezavantajele brainstorming-ului:
• nu suplineşte cercetarea de durată, clasică;
• depinde de calităţile moderatorului de a anima şi dirija discuţia pe făgaşul dorit;
• oferă doar soluţii posibile nu şi realizarea efectivă;
• uneori poate fi prea obositor sau solicitant pentru unii participanţi;
56
Etape Exemplu
1. Alegerea sarcinii de lucru
2. Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid a tuturor ideilor legate de rezolvarea problemei
3. Înregistrarea tuturor ideilor în scris (pe tablă). Anunţarea unei pauze pentru aşezarea ideilor (de la 15 minute până la o zi).
4.Reluarea ideilor emise pe rând şi gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, etc.
5.Analiza critică, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise anterior. Selectarea ideilor originale sau a celor mai apropiate de soluţii fezabile pentru problema supusă atenţiei.
6.Afişarea ideilor rezultate în forme cât mai variate şi originale: cuvinte, propoziţii, colaje, imagini, desene, rezolvări, etc.
Se trec în revistă obiectivul de referinţă şi cele operaţionale ale lecţiei, care sunt scrise din timp pe un poster. Se propune o problemă (din manual sau din culegerea de probleme). Să se determine parametrii reali m, n astfel încât ecuaţia x4-x3-mx2-x+n=0 să aibă rădăcină dublă x=1 şi să se rezolve ecuaţia dată.
Cereţi elevilor să propună strategii de rezolvare a problemei. Pot apărea, de exemplu, sugestii legate de divizibilitate, schema lui Horner, metoda identificării, metoda reducerilor succesive, relatiile lui Viete. Lăsaţi elevii să propună orice metodă le trece prin minte!
Notaţi toate propunerile elevilor. La sfârşitul orei, puneţi elevii să transcrie toate aceste idei şi cereţi-le ca, pe timpul pauzei, să mai reflecteze asupra lor.
Pentru problema analizată, cuvintele-cheie ar putea fi: radacina dublă, divizibilitate, teorema restului.
Puneţi întrebări de tipul:Am putea rezolva problema în mai multe moduri? Ce înseamnă radacina dublă?Când două polinoame se divid? În câte moduri putem arăta că două polinoame sunt divizibile? Este util să studiem un caz particular al problemei? Care sunt relaţiile între rădăcini şi coeficienţi? Ce anume trebuie să demonstrăm?
Ca urmare a discuţiilor avute cu elevii, trebuie să rezulte strategia de rezolvare a problemei. Aceasta poate fi sintetizată sub forma unor indicaţii de rezolvare, de tipul:1) Dacă x=1 este rădăcină dublă a polinomului f=X4-X3-mX2-X+n, atunci acesta se divide prin (X-1)2 şi deci restul împărţirii celor două polinoame este polinomul nul.2) În schema lui Horner cerem ca x=1 să fie rădăcină dublă, deci –m+n-1=0 şi –m=0.3) Dacă x=1 este rădăcină dublă a ecuaţiei atunci trebuie să avem egalitatea: x4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2+αx+β). Folosim metoda identificării coeficienţilor.4) Dacă P=X2-2 X +1, Q= X 4- X 3-m X 2- X +n, atunci cel mai mare divizor comun dintre P şi Q trebuie să fie P. (metoda reducerilor succesive)5) Din enunţ x1=x2=1. Având o relaţie între rădăcini
57
vom asocia acesteia relaţiile lui Viéte.2. Ştiu-vreau să ştiu –am învăţat este o metodă care trece în revistă ceea ce elevii ştiu
despre temă şi apoi se formulează întrebări la care se aşteaptă găsirea răspunsului în lecţie;
întrebările pot apărea în urma dezacordului privind unele detalii sau pot fi produse de
curiozitatea elevilor.
1. Cu grupuri mici sau cu întreaga clasă se trece în revistă ceea ce elevii ştiu deja despre o
anumită temă şi se formuleaza întrebări la care se aşteaptă găsirea răspunsului în lecţie.
2. Se cere elevilor să formeze perechi şi să facă o listă cu tot ce ştiu despre tema ce
urmează a fi discutată în cadrul orei. Între timp li se dă şi un tabel cadru cu trei coloane:
Ştiu(ce credem că ştim?)
Vreau să ştiu(ce vrem să ştim?)
Am învăţat(ce am invaţat?)
3. Li se cere câtorva perechi să spună celorlaţi ce au scris pe listele lor, iar în tabelul de pe
tablă se vor nota lucrurile cu care toţi sunt de acord.
4. După completarea primei coloane a tabelului li se va cere elevilor să formuleze
întrebări despre lucrurile cu care nu sunt siguri. Aceste întrebări pot apărea în urma dezacordului
privind unele detalii sau pot fi produsul curiozităţii elevilor. Ele vor fi trecute în coloana din
mijloc.
5. În continuare li se va cere elevilor să rezolve un exerciţiu pe tema lecţiei.
6. După rezolvarea exerciţiului, se va reveni la întrebările pe care le-au formulat înainte
de a rezolva exerciţiul şi pe care le-au trecut în coloana “Vreau să ştiu”. Se va verifica la care
întrebări s-au găsit răspunsuri şi se vor trece aceste răspunsuri în coloana “Am învăţat”. În
continuare elevii vor verifica ce alte informaţii au găsit în rezolvarea exerciţiului şi care nu au
legatură cu nici una din întrebările puse la început şi le vor trece şi pe acestea în coloana “Am
învăţat”.
7. În final se vor trece în revistă cu elevii întrebările care au rămas fără răspuns şi se va
discuta posibilitatea găsirii unor surse care să furnizeze răspunsuri la aceste întrebari.
Aplicarea metodei în cadrul lecţiei: Formarea ecuaţiei de grad n Obiectivul lectiei: - formarea ecuaţiei de grad n când se cunosc rădăcinile.
Se dă ecuaţia: x3– 3x2+ 2x+ 1 = 0, cu rădăcinile: x1, x2, x3. Scrieţi ecuaţia în y, ale cărei rădăcini sunt: y1= x1+ 2; y2= x2+ 2; y3= x3+ 2.
Ştiu(ce credem că ştim?)
Vreau sa ştiu(ce vrem să ştim?)
Am învăţat(ce am învăţat?)
- definiţia polinoamelor cu
coeficienţi complecşi
- operarea cu polinoame
- relaţiile lui Viete
Cum formăm ecuaţia de grad
II, cînd cunoaştem rădăcinile
x1, x2?
Cum formăm ecuaţia de grad
(se rezolvă exerciţiul propus,
în urma căruia elevii vor
verifica la care întrebări au
găsit răspunsul şi ce alte
58
- calculul sumelor
Sn=x1n+x2
n+x3n pentru n=1,2,3,4
- descompunerea lui f în factori
primi: Dacă x1, x2, ..., xn sunt n
rădăcini ale lui f în R, atunci
f(X)= 0a ( )1xX − ( )2xX − ...
( )nxX −
III, când cunoaştem rădăcinile
x1, x2, x3?
Care este forma ecuaţiei in y?
Ce rol au relaţiile lui Viete în
formarea ecuaţiei?
Care este forma generală a
ecuaţiei care are rădăcinile x1,
x2, x3,...xn?
Se poate forma ecuaţia în y
făra a folosi relaţiile lui Viete?
informaţii au găsit)
- formarea ecuaţiei de grad n
când se cunosc rădăcinile.
Avantajele acestei metode:
• Se clarifică ceea ce se ştie, ceea ce nu se ştie şi ceea ce mai rămâne de învăţat
• Este o modalitate de învăţare interactivă
• Mobilizează întregul colectiv de elevi
• Interdisciplinaritatea
• Este o modalitate pragmatică de abordare a lecţiei
Dezavantaje:
• Poate fi uneori time-consuming (costisitoare din punct de vedere al timpului)
• Nu se pretează la absolut toate lecţiile
Modalitatea introducerii în lecţie a metodei este următoarea: primele două coloane se
folosesc ca warm-up, a treia coloană se foloseşte pentru fixarea cunoştinţelor. Punctele
neacoperite din coloana a doua se folosesc ca repere pentru fixarea obiectivelor lecţiilor
următoare, sau pot constitui tema de casă.
Metoda are un impact bun asupra elevilor deoarece:
• Îi conştientizează asupra desfăşurării lecţiei
• Sporeşte responsabilitatea
• Stimulează dorinţa de cunoaştere
• Duce la dezvoltarea unui stil de muncă riguros, ştiinţific posibil de aplicat şi în
alte domenii.
3. Cubul - metodă modernă de învăţare prin cooperare - este o modalitate de lucru
care poate fi aplicată individual, în perechi sau în grupuri pentru o abordare a unei situaţii
problematice, prin solicitarea gândirii elevului;
59
- profesorul le cere elevilor să scrie despre un anumit concept sau temă prin parcurgerea
feţelor cubului. Este preferabil să se respecte ordinea prezentată pentru că aceasta îi conduce pe
elevi în mod treptat spre o gândire complexă.
Etapele acestei metode corespund celor 6 feţe ale unui cub:
Descrie! – explică/defineşte o noţiune un concept
Compară! – stabileşte asemănări şi deosebiri
Asociază! – la ce te face să te gândeşti?
Aplică! – ce aplicabilitate practică poate avea?
Analizează! – analizează conceptual din diferite puncte de vedere
Argumentează pro sau contra! – este bine/rău, util/nefolositor?
Fiecare instrucţiune/cerinţă de pe faţeta cubului presupune sarcini de lucru.
În echipele constituite pentru atingerea unui obiectiv, care nu au un caracter permanent,
membrii au roluri diferite în funcţie de înclinaţiile lor personale şi de nevoile echipei.
Profilul unui membru al echipei, rolul care i se potriveşte cel mai bine, poate fi stabilit pe
baza următoarelor caracteristici:
• relaţionarea cu ceilalţi membri;
• modul în care participă la luarea deciziilor;
• căile prin care obţine informaţiile şi utilizarea lor;
• metoda preferată în organizarea activităţii
Descrierea metodei asupra lectiei: Operaţii cu polinoame (vezi proiect didactic nr 3)
Lecţie de fixare şi consolidare a cunoştinţelor.
Se arată elevilor un cub din carton (care trebuie imaginat un polinom) având feţele
colorate diferit, fiind inscripţionate cu următoarele verbe active:
Elevii sunt împărţiţi în 6 grupe eterogene, nu neapărat egale numeric. Fiecare grupă primeşte o coală colorată în nuanţele precizate mai sus. Echipele aleg un
lider de grup care va arunca zarul pentru a vedea faţa pe care este scris verbul definitoriu pentru
acea grupă (descrie, compară, asociază, analizează, aplică şi argumentează).
Se anunţă tema de discutat şi timpul de lucru alocat fiecărei grupe. Se anunţă obiectivele
lecţiei de fixare şi consolidare. Se împart fişele cu sarcinile de lucru în grup. Timp de 20-25 de
minute elevii lucrează în echipă la sarcina de lucru primită. Profesorul supraveghează activitatea
elevilor şi dă indicaţii acolo unde este nevoie. Soluţionează eventual şi situaţiile în care nu toţi
60
elevii se implică în cadrul activităţii de grup sau atunci când un elev monopolizează toate
activităţile.
Desfăşurarea activităţii elevilor: Elevii care primesc fişa cu verbul descrie vor avea de definit polinomul, dat exemple de
polinoame în forma algebrică cu coeficienţi in Q[X], R[X], Z3[X], de definit gradul unui
polinom, să descrie operaţiile cu polinoame, valoarea unui polinom.
Elevii care primesc fişa cu verbul compară vor stabili asemănări şi deosebiri între
noţiunile studiate: între polinomul f, funcţia polinomială, ecuaţia asociată; analogii şi
comparaţii între grad(f+g), grad(fg), între valoarea unui polinom într-un punct de forma α =
ba + şi α = ba − sau α =a+bi şi α =a-bi (generalizare).
Elevii care vor avea fişa cu verbul asociază, vor asocia fiecărei noţiuni formulele de
calcul sau proprietatea ce i se asociază (exemplu: pentru determinarea restului împărţirii unui
polinom f la g folosim:…), apoi vor da câte un exemplu pentru fiecare.
Pentru grupa care va avea de analizat, sarcina de lucru va cere ca elevii să analizeze
diferite proprietăţi ale polinoamelor, să discute în funcţie de parametrul m gradul polinomului,
să determine parametrii a,b,c în funcţie de conditiile impuse, să analizeze în câte moduri se
poate rezolva problema propusă.
Elevii care vor primi fişa cu verbul aplică vor avea de rezolvat diferite aplicaţii cu
polinoame.
Elevii ce vor primi fişa cu verbul argumentează vor avea de analizat şi justificat în scris
exercitii ”capcană”. (exemplu: de ce nu se poate aplica teorema împărţirii cu rest în Z6[X]
pentru orice polinoame, argumentează afirmaţia polinomul f este divizibil prin g = X–a ⇔ f (a)
= 0 ⇔ a este rădăcină a polinomului f.) Li se poate cere să realizeze şi scurte demonstraţii sau
să descopere greşeala dintr-o redactare a unei rezolvări.
Evaluare: După expirarea timpului de lucru (20-25 min) se va aplica metoda ,,turul galeriei”.
Materialele realizate, posterele, vor fi expuse în clasă în 6 locuri vizibile. Elevii din
fiecare grup îşi vor prezenta mai întâi sarcina de lucru şi modul de realizare a ei, apoi, la
semnalul dat de profesor, vor trece, pe rând pe la fiecare poster al colegilor de la altă grupă şi vor
acorda acestora o notă. După ce fiecare grup a vizitat ,,galeria” şi a notat corespunzător
producţiile colegilor, se vor discuta notele primite şi obiectivitatea acestora, se vor face aprecieri
şi se vor corecta eventualele erori.
În finalul orei se va da fiecărei echipe un material informativ ca premiu.
Se realizează şi un moment de reflecţie asupra metodelor noi folosite şi asupra modului
de implicare a fiecărui elev în echipa sa.
61
1.3. Proiectarea unităţii de învăţare: Inele de polinoameNumăr ore alocate: 12
CONŢINUTURI – detaliate ale unităţii de învăţare C. S. ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE RESURSE EVALUARE
Ce? De Cum? Cu ce? Cât?
62
1. Forma algebrică a unui polinom(gradul unui polinom, egalitatea a două polinoame, valoarea numerică a unui polinom) Identificarea formei algebrice, a unui polinom. Definiţie: Fie M una din mulţimile : Z, Zp, p prim, Q, R sau C, iar M* = M – 0. Se numeşte polinom cu coeficienţi în mulţimea M, o expresie de forma: f = 01
11 ... aXaXaXa n
nn
n ++++ −− M[X] an≠ 0 ,(1), unde n
∈ N şi a0, a1, …,an∈ M, se numesc coeficienţii polinomului f. Expresia (1) se numeşte forma algebrică a polinomului f Comentarii: 1) Notăm cu M[X] mulţimea polinoamelor cu coeficienţi în M, de nedeterminată X. 2) Z[X] ⊂ Q[X] ⊂ R[X] ⊂ C[X]. 3)Termenii:akXk, k = , 0 n , se numesc monoame ale polinomului f.
Definiţie: Dacă f= in
ii Xa∑
= 1, g = j
m
jj Xb∑
= 1
∈ C[X], atunci: f = g
dacă şi numai dacă ai= bi , ∀ i≥0. (2).Definiţie: Fie f = 01
11 ... aXaXaXa n
nn
n ++++ −− ∈ C[X]; se
numeşte gradul polinomului f, notat:grad(f), cel mai mare număr natural n, cu proprietatea: an ≠ 0.Comentarii: 1) Dacă grad (f )= n, an ≠ 0 şi termenul an, se numeşte coeficientul dominant, al polinomului f, iar a0 se numeşte termenul liber al polinomului f. 2) Dacă f = 0, grad (f )= -∞.
Definiţie: Fie un polinom f∈ M[X], f= in
ii Xa∑
= 1 n∈ N; dacă α∈
M, atunci numărul: f(α)= nn
iia α∑
= 1 , an ≠ 0 (3), se numeşte
valoarea numerică a polinomului f, în punctul α.
2. Operaţii cu polinoame
1. 2. 2.2 4.1 4.2 5. 6.
1. 2.
Exemple diverse de polinoame scrise sub formă algebrică. Exerciţii cu egalitatea a două polinoame, cu gradul unui polinom. Aplicaţii. 1) Determinaţi parametrii λşi µ, astfel încât polinoamele: f = 3 + λX + X2+ 5X3şi g = 3 + 4X + X2+µX3, să fie egale; folosim proprietatea f = g ⇒ ai= bi (2) ⇒ λ= 4, µ= 5 2) Determinaţi parametrii reali: m, n, p, ştiind că polinomul:
(4−m) X + ) + n
32
X 2 – ( )p−5 X3 , este nul.
Din ipoteză ⇒
=−
=+
=−
05
032
04
p
n
m
⇒
=
−=
=
532
4
p
n
m
3) Se consideră polinomul: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]XRmXmXmXmf ∈++−+−+−= 1111 2234
Discutaţi gradul polinomului f, după valorile parametrului real m. Rezolvare: Dacă: m4– 1 = 0, m∈ ± 1, grad(f) < 3; Dacă: m=1, f=2, grad(f)=0 m=-1, f=−2X, grad(f)= . Dacă: m∈ R – ± 1, grad(f)= 3. 4) Calculaţi valoarea polinomului
[ ]XRXXf ∈+−= 31232 , în α= -3 ; din relaţia (3)
( ) 1233323 3+−=f ∈R[X] .
Manual, culegeri;
Metode: expunerea, explicaţia,
conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,
problematizarea, studiu de caz, descoprirea,
activităţi frontale şi individuale.
Tema, pag. 64, ex.5 (2), (3)
Verificarea temei, pentru acasă prin sondaj, rezolvarea
la tablă a eventualelor
exerciţii ce n-au putut fi abordate de
elevi, aprecierea răspunsurilor
primite, observarea sistematică, a
elevilor, aprecierea verbală.
63
Definiţie: Fie:f,g∈ C[X], f= in
ii Xa∑
= 1, g = j
m
jj Xb∑
= 1
∈ C[X]. Se
numeşte suma polinoamelor f şi g, polinomul notat: s = f + g, definit prin: ( ) ( ) ( ) k
kk XbaXbabas ++++++= ...1100 , unde:k=max(n,m). Propoziţie: Oricare ar fi f,g∈ C[X], avem: grad(f + g) ≤ maxgrad(f), grad(g). Definiţie: Fie:f,g∈ C[X]; se numeşte diferenţa polinoamelor f, g, polinomul: f – g = f + (-g). Proprietăţi ale adunării polinoamelor: A1. Asociativitatea: ( f + g)+h = f + ( g +h), ∀ f, g, h∈ C[X], A2. Element neutru (polinomul nul): f + 0 = 0 + f = f, ∀ f∈ C[X], A3. ∀ f∈ C[X], ∃ (-f) ∈ C[X], astfel încât:f+(-f)=(-f)+f=0. (-f: opusul polinomului f)A4. Comutativitatea: f+g=g+f, ∀ f,g∈ C[X]. Definiţie: Fie: f,g∈ C[X], f = 01
11 ... aXaXaXa n
nn
n ++++ −− ,
g = .... 012
21
1 bXbXbXb nn
nn ++++ −
−−
−
Produsul polinoamelorf şi g este polinomul: fg =a0b0+(a0b1+a1b0)X+(a0b2+a1b1+a2b0)X 2+... Propoziţie: Oricare ar fi f,g∈ C[X], avem: 1) grad(fg)= grad(f) + grad(g). 2) f ≠ 0 şi g ≠ 0 ⇒ fg ≠ 0( fg = 0 ⇒ f = 0 sau g = 0)
Proprietăţi ale înmulţirii polinoamelor: I1. Asociativitatea: (fg)h=f(gh), ∀ f,g,h∈ C[X]. I2. Element neutru: (polinomul constant:1) f.1 =1.f = f, ∀ f∈ C[X]. I3. Comutativitatea: fg = gf, ∀ f,g∈ C[X]. D. Înmulţirea polinoamelor este distributivă, faţă de adunarea polinoamelor: f(g+h)=fg+fh, ∀ f,g,h∈ C[X].
2.2 4.1 4.2 5. 6
Aplicaţii. 1)Calculaţi suma polinoamelor : f,g∈ C[X], în cazurile: a) f = 5372 23 +−+ XXX , g = 324 2 −+ XX .
b) f = iXXiXgXiX +−+=−+ 33,232 232 . Rezolvare:
a)
( ) ( )
( ) .23232
352347223
23
gradggradfgfgradXXX
XXXgf
=⟩==+⇒+−+=
=−+++−+=+
b) ( )
( ) .232123 23
gradfgradggfgradiXiiXgf=⟩==+
⇒−+++=+
2) Fie f,g∈ C[X], 7523 34 +−+= XXXf ,
23235 234 −++−= XXXXg ; Determinaţi:-f,-g; calculaţi:f -g, g -f; arătaţi că: f + g = g + f.Rezolvare: 7523 34 −+−−=− XXXf ;
23235 234 +−−+−=− XXXXg . f – g = f + ( ) 98252 234 +−−+−=− XXXXg ; g – f = g+ ( ) 98252 234 −+−−=− XXXXf , deci: f – g ≠ g – f; f + g = 8X4– X3+ 2X2– 2X + 5 = g + f. 3) Fie:f g ∈ C[X], f = λ X 2+ (α+ 1)X +β+3, g =X 2– 3X + 7; Determinaţi parametrii: λ, α, β, astfel încât: f + g =g + f = 0. f + g = (λ+ 1)X2+ (α+ 1 – 3)X +β+ 3 +7g+f =(λ+ 1)X2+(α-2)X++β+ 10 din ipoteză rezultăλ+ 1= 0,α-2 = 0, β+ 10 = 0 ⇒ λ= 1,α=2,β= -10 şi f = -X 2+ 3X– 7 =- g.4) Să se calculeze: f.g, în cazurile: a) f =1+X +X 2, g = 1 – X; b) f = 22 2 ++ XX , 2+= Xg , f,g∈ Z3[X]
Manual , culegeri
Metode:
expunerea, explicaţia,
conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,
problematizarea,munca
independentă,
Tema de casăPag 66 ex 5, 6
Verificarea temei, pentru acasă prin sondaj, rezolvarea
la tablă a eventualelor
exerciţii ce n-au putut fi abordate de
elevi, aprecierea răspunsurilor
primite, observarea sistematică, a
elevilor, aprecierea verbală
64
3. Operaţii cu polinoame
Teorema împărţirii cu rest a polinoamelor: Fie: f,g∈ C[X], g ≠ 0. Există şi sunt unice, două polinoame q,r∈C[X], astfel încât: 1). f = g. q + r. 2). grad(r)< grad(g). Polinomul f se numeşte deîmpărţit, polinomul g se numeşte împărţitor, polinomul q este câtul, iar polinomul r se numeşte restul împărţirii.Comentarii : 1)Teorema împărţirii cu rest este valabilă şi în R[x], Q[x], dar nu rămâne adevărată în Z[X]. 2)Pentru a efectua împărţirea polinomului f prin polinomul g ≠ 0 vom utiliza algoritmul care apare în demonstraţia teoremei împărţirii cu rest, ilustrat cu ajutorul unor exemple. 3)determinarea câtului şi restului a două polinoame se poate face şi prin metoda identificării coeficienţilor.
4. Divizibilitatea polinoamelor.
Definiţie: Dacă f,g∈ C[X], polinomul g divide polinomul f, notat:g|f, sau g este divizor al lui f, sau f este multiplu al lui g, dacă există un polinom q∈ C[X], astfel încât: f = g.q (sau: f Mg). Observaţie: Dacă în teorema împărţrii cu rest, a lui f la g, r= 0 ⇒ f = gq, adică: g|f ⇔ r= 0. Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate: P1. Relaţia de divizibilitate este:
1. 2. 2.2 4.1 4.2 5. 6
Rezolvare: a) f.g =(1+X+X 2 )1-(1+X+X 2 )X= 1-X 3; b) f.g= ( ) ( ) 122222 232 +++=+++ XXXXXX , f.g ∈ Z3[X] Exemple/aplicaţii.1) Dacă f = X 3– 1, g = X-1 atunci X 3– 1= (X– 1)( X2+ X + 1) deci q = ( X2+ X + 1), r = 0. 2) Să se efectueze împărţirea polinomului f =6X3– 7X2+ 3X+2, la polinomul: g = 2X2– 3X+2 şi apoi să se facă proba.Metoda 1 . Aplicând teorema împărţirii cu rest, există q = 3X + 1, r = 0, astfel încât: (2X2– 3X+2)(3X + 1)= 6X3– 7X2+ 3X+2.Metoda 2. (Metoda identificării) pelează la teorema împărţirii cu rest: f = gq + r, grad(r)<grad(g) (1) ⇒ grad(f)= grad(g)+ grad(q) şi grad(q)= grad(f)-grad(g); considerăm: q = ax + b, r= cX +d (grad(r)< grad(g)). Atunci, confrm teoremei împărţirii cu rest obţinem 6X3– 7X2+ 3X+2 = (2X2– 3X+2)(a X +b)+ cX+d ⇒6X3– 7X2+ 3X+2 = 2a X3– (3a – 2b)X2+ (2a – 3b + c)X+2b+d şi identificând coeficienţii obţinem
+=+−=
−==
dbcba
baa
22323237
26
⇒
====
0013
dcba
⇒ q=3X+1, r=0.
Aplicaţii.1) Să se stabilească dacă polinomul f = 4X5– 6X4+ 13X3– 11X2+ 10X– 8, se divide prin g = X2– X + 2. Împărţind f la g (teorema împărţirii cu rest) obţinemq = 4X3– 2X2+ 3X– 4, r= 0, deci g|f. 2) Ce valoare trebuie să aibă parametrul m, pentru ca polinomul f = -5X4– X3+ 4X2-7 + m, să se dividă cu
Manual, culegeri; Metode:
expunerea, explicaţia,
conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,
problematizarea, studiu de caz,
activităţi frontale şi individuale. Tema, pag.66,
ex.20, 21.
Manual, culegeri; Metode:
expunerea, explicaţia,
conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,
problematizarea, studiu de caz, descoperirea,
activităţi frontale şi individuale.Fişa de lucru
Tema, pag. 171, ex.7,9; Pag. 172,
ex.34.
Verificarea temei, pentru acasă prin sondaj, rezolvarea
la tablă a eventualelor
exerciţii ce n-au putut fi abordate de
elevi, aprecierea răspunsurilor
primite, observarea sistematică, a
elevilor, aprecierea verbală
Verificarea temei, pentru acasă prin sondaj, rezolvarea
la tablă a eventualelor
exerciţii ce n-au putut fi abordate de
elevi, aprecierea răspunsurilor
primite, observarea
65
1)reflexivă(f|f, ∀ f∈ C[X]); 2) tranzitivă( dacă f|g, g|h ⇒ f|h, ∀ f, g, h∈ C[X]);P2. Fie f, gi. Dacă f|gi, i = m,1 f | g1 q1+...+ gm qm,
( )qi ∈ C[X], i = m,1 . P3. Fie f,g∈ C[X], f|g şi g≠ 0 f ≠ 0 şi grad(f)≤grad(g).P4. Fie f,g∈ C[X], f ≠ 0, astfel încât f|g şi g|f; atunci există a∈ C*, astfel încât: f = a.g. Definiţie: Polinoamele f,g∈ C[X], sunt asociate în divizibilitate, dacă f/g şi g/f, notat:f ~ g.Definiţie: Divizorii de forma: a şi af, a∈ C–0, se numsc divizori improprii ai lui f∈ C[X]; ceilalţi divizori ai lui f, dacă există, se numesc divizori proprii.
5. Rădăcinile unui polinom (teorema restului, teorema lui Bézout)
Definiţie: Fie f ∈ M[X], f = ∑=
m
i
ii Xa
0. Funcţia: f~ :A→B f~
(x)=f(x), pentru orice x∈ B se numeşte funcţie polinomială. Observaţie:1) Gradul polinomului, dă gradul funcţiei polinomiale;2) A detemina funcţia polinomială, înseamnă a-i preciza coeficienţii, care sunt aceaşi cu ai polinomului. Definiţie. Numărul x0∈ C, se numeşte rădăcină a polinomului f, dacă f(x0)= 0. Observaţii. 1) Pentru un polinom f∈ M[X], trebuie precizată mulţimea în care se determină rădăcinile. 2) Orice polinom f∈ C[X], de gradul n, are exact n rădăcini în C.
Polinomul f Funcţia polinomială asociată f : R R
Ecuaţia asociată
aX+b, a,b∈ R a ≠ 0
Funcţia de gradul If(x)=ax+b
Ecuaţia de gradul Iax+b=0
aX2+bX+c, a,b,c∈ R Funcţia de gradul II Ecuaţia de gradul II
1. 2. 2.2 4.1 4.2 5. 6
1. 2. 4.1 4.2 5. 6
polinomul g = X– 2? Restul împărţirii lui f la g este: m– 98; g|f ⇒ r= 0, adică m =98.3) Să se determine parametrii reali m, n astfel încât g/f, în cazurile:a) f = X3+ (m+ 1)X2– 2X + 3m, g = X + 1. b) f =X 3+(2n + 1)X2+ mX–m– n, g = (X + 1)(X–1). Rezolvare: a) Aplicând algoritmul teoremei împărţirii cu rest, restul împărţirii lui f la g este: 4m + 2 = 0 ⇒ m=-½.b) restul împărţirii lui f la g este: r= (m+ 1)X– m+ n + 1 ⇒
=−=
⇒
=++−=+
21
0101
nm
nmm
Observaţie: Se poate aplica şi metoda identificării coeficienţilor
Exemple de rădăcini.1) f=2X+1∈ Z[X] nu are rădăcini în Z, dar are rădăcina x0=-1/2∈ Q[X]. 2) polinomul g = X2-2∈ Q[X] nu are rădăcini în Q, dar are rădăcinile ± 2 ∈ R.3) g = (X2 + X + 1 )2 nu are rădăcini Z2 [X],dar are rădăcini în Z3[X] fiindcă g( 0 ) = 1 şi g(1 ) = 1 în Z2[X], dar g( 0 ) = 1 şi g(1 ) = 0 în Z3[X].
Exemple de rădăcini multiple: 1) a este rădăcină dublă pentru f dacă : (X– a)2/f şi (X– a)3 f.
2) a este rădăcină triplă pentru f dacă : (X– a)3/f şi (X– a)4 f.
Aplicaţii.1) Fie f∈ C[X]. Determinaţi restul împărţirii poinomului f = X3+ 3X2+ 5X + 3 la binomul g=X+3.
Manual, culegeri; Metode:
expunerea, explicaţia,
conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,
problematizarea, studiu de caz, descoperirea,
activităţi frontale şi individuale.
Tema, pag. 171, ex.22,25; Pag.
171, ex.42.
sistematică, a elevilor, aprecierea
verbală
Verificarea temei, pentru acasă prin sondaj, rezolvarea
la tablă a eventualelor
exerciţii ce n-au putut fi abordate de
elevi, aprecierea răspunsurilor
primite, observarea sistematică, a
elevilor, aprecierea
66
a ≠ 0 f(x)=ax2+bx+c ax2+bx+c=0aX3+bX2+cX+d a,b,c,d∈ R a ≠ 0
Funcţia cubicăf=ax3+bx2+cx+d
Ecuaţia de gradul IIIax3+bx2+cx+d=0
X=nedeterminata x=variabila x=necunoscutaDefiniţie: Dacă polinomul f∈ C[X], f ≠ 0, se divide prin (X– a)p, p∈ N, p≥2, dar nu se divide prin: (X– a)p+1, spunem că a este rădăcină multiplă de ordin p, pentru polinomul f. Teorema restului: Restul împărţirii unui polinom f∈ C[X], f ≠ 0, prin polinomul g = X-a∈ C[X], este egal cu valoarea numerică a polinomului f în a: r= f(a).Corolar: (Teorema lui Bézout). Polinomul f∈ C[X], f ≠ 0, se divide prin g = X–a ∈ C[X] ⇔ f(a) = 0. Generalizarea teoremei lui Bézout: Fie f∈ C[X] şi α1, α2∈ C, α1 ≠ α2; atunci: (Xα1)(Xα2)/f ⇔ f( α1)= f( α2)= 0.
6.Divizibilitatea prin X-a. (Schema lui Horner)
Schema lui Horner este un procedeu pentru determinarea câtului şi restului împărţirii unui polinom f, prin X–a.Fie f∈ C[X], f = ,... 01
11 aXaXaXa n
nn
n ++++ −− câtul
împărţirii polinomului f la binomul X - a este
g = ,... 012
21
1 bXbXbXb nn
nn ++++ −
−−
− iar restul este r.
f = gq + r, grad r= 1 ⇒ gradq = gradf – 1= n- 1 şi gradr=0
011
1 ... aXaXaXa nn
nn ++++ −
−
=(X-a)( 012
21
1 ... bXbXbXb nn
nn ++++ −
−−
− )+rPrin identificare rezultă egalităţile
1. 2. 2.2
Conform teoremei restului r= f(-3) = 0.2) Fie f∈ C[X], f =X3+(4+3i)X– 6; x0 = -2i ∈ C; f(-2i) = 0, conform teoremei lui Bezout obţinem X + 2i/f. 3) Determinaţi parametrii a şi b, astfel încât polinomul: f = X4– 4X3+ 4X2+ a X + b, să se dividă cu:X2– 4X + 3. X2– 4X + 3 = (X– 1)(X– 3), conform teoremei lui Bezout avem f(1)= f(3)= 0şi obţinem
=−=
⇒
−=+−=+
34
931
ba
baba
.
4) Determinaţi parametrii reali m şi n astfel încât g/f dacă: a) f = X3+ ( m + 1)X2– 2X + 3m, g = X + 1. b) f = X3+ ( 2n + 1)X2+ mX– m– n, g = (X– 1)(X +1).Se aplică teorema lui Bézout.
Folosind schema lui Horner să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f = - X5 +3X3 - 2X2 + X + 2 la binomul g = X - 3.
Realizăm schema lui Horner: X5 X4 X3 X2 X1 X°
-1 0 3 -2 1 2
3 -1 0 + 3(-
1)=-3
3+ 3(-3)=
-6
-2+3(-6)=
-20
1+3(-20)=
-59
2+3(-59)=
-175b4 b3 b2 b1 b0 R
Astfel câtul este q = -X4 - 3X3 - 6X2 - 20X - 59 şi
restul r = -175
2.Folosind schema lui Horner să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f= 2 X3+3 X2+1X+1 [ ]XZ6∈ la binomul g=1X- 2 .
Manual, culegeri; Metode:
expunerea, explicaţia,
conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,
problematizarea, studiu de caz, descoperirea,
activităţi frontale şi individuale.
Tema, pag. 172, ex.22;
verbală
Verificarea temei, pentru acasă prin sondaj, rezolvarea
la tablă a eventualelor
exerciţii ce n-au putut fi abordate de
67
+=+=
+==
−−−
−
00
110
112
1
............................
abarabab
ababab
nnn
nn
Realizăm următorul tabel:
7. Descompunerea în factori primi
Definiţie. Un polinom f∈K[X] se numeşte ireductibil peste K
(sau încă ireductibil în K[X]) dacă are gradul cel puţin unu şi
dacă nu are divizori proprii. În caz contrar, el se numeşte
reductibil peste K (sau încă reductibil în K[X]).
Observaţie. Deci un polinom f∈K[X] este reductibil peste K[X] dacă există două polinoame (cel puţin) g,h∈K[X], g,h ≠ 0, de grad cel puţin unu, astfel încât 0 < grad(g), grad(h)<grad(f) şi f = g . h.Propoziţie. Orice polinom de gradul 1 din K[X] este un polinom ireductibil.Teorema d’Alambert-Gauss. Orice polinom cu coeficienţi complecşi de grad mai mare sau egal cu unu are cel puţin o rădacină complexă.Teoremă.1) Un polinom f∈ C[X], este ireductibil ⇔ f=aX+b, a,b∈ C[X],
4.2 5. 6
1. 2. 2.2
Realizăm schema lui Horner:
Rezultă q = 2 X2 +1X + 3 şi r = 1 .
3) Fie f∈ R[X], f = mX3+ X2+ n X+p; m, n, p∈ R, m ≠ 0. Ştiind că, împărţind pe f pe rând la: X-1, respectiv X– 2, se obţin resturile: r1= 4, r2= -5 şi că f este divizibil prin X + 1, să se determine coeficienţii: m, n, p. Aplicând teorema restului obţinem r1= 4 = f(1), r2=-5 = f(2) şi
f(-1)=0 de unde rezultă
===
⇒
−=+−−=++
=++
111
1028
3
pnm
pnmpnm
pnm
1)Descompuneţi f în factori ireductibili peste Z,Q,R..f = X2 – 3 .Rădăcinile polinomului f sunt: x1= 3 ;x2=- 3 ∈ R[X] ⇒ f= (X – 3 )(X + 3 ). Deci f reductibil peste R[X]. Arătăm că f este ireductibil peste Z[X].
Presupunem că f ar fi reductibil peste Z, deci ar admite o
scriere de forma f =(aX+b)(mX+n), a,b,m,n ∈Z, a,m ≠ 0.
După calcule rezultă X2 – 3=amX2+(an+bm)X+bn ⇔
−==+
=
30
1
bnbman
am, sistemul nu are soluţii în Z. Deci f este
Manual, culegeri; Metode:
expunerea, explicaţia,
conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,
problematizarea, studiu de caz, descoperirea,
activităţi frontale şi individuale.
Tema, pag. 174, ex.33 ;
elevi, aprecierea răspunsurilor
primite, observarea sistematică, a
elevilor, aprecierea verbală
Verificarea temei, pentru acasă prin sondaj, rezolvarea
la tablă a eventualelor
exerciţii ce n-au putut fi abordate de
elevi, aprecierea
68
Xn Xn-1 Xn-2 … X1 X°an an-1 an-2 … a1 a0
A an an-1+ abn-1 an-2+ abn-2 … a1+ ab1 a0+ ab0
bn-1 bn-2 bn-3 … b0 r
X3 X2 X1 X°2 3 1 1
2 2 1 3 1
a ≠ 0.2) Un polinom f∈ R[X], este ireductibil ⇔ f=aX+b, a,b∈ C[X], a ≠ 0 sau f=aX2+bX+c, a,b,c∈ R[X], a ≠ 0, b2-4ac<0.Teoremă.Fie f∈K[X]. Atunci f se poate scrie ca un produs finit de polinoame ireductibile din inelul K[X].Observaţie. 1) Scrierea este unică (abstracţie făcând ordinea factorilor) Dacă x1, x2, ..., xn sunt n rădăcini ale lui f în R, atunci f(X)= 0a ( )1xX − ( )2xX − ... ( )nxX − =
nnnn aXaXaXa ++++ −
−1
110 ...
2) Fie R un inel integru şi f ∈ R[X] un polinom cu grad(f) >1. Dacă f are o rădăcină în R, atunci f este reductibil în inelul R[X].
3) Un polinom reductibil în R[X] nu are în mod necesar rădăcini în R.
8. Rădăcini complexe ale polinoamelor. Relaţiile lui Viète. Definiţie. Fie f∈ C[X] polinom neconstant cu grad(f)≥1. Ecuaţia f(x)= 0 se numeşte ecuaţia polinomială sau ecuaţia algebrică asociată polinomului f. Corolar: 1) Din teoremele din lecţia precedentă ⇒ orice polinom f∈ C[X], de grad n ≥1, are n rădăcini (nu neapărat distincte; o rădăcină, se repetă de un număr de ori, egal cu ordinul său de multiplicitate). 2)Dacă f = ,... 01
11 aXaXaXa n
nn
n ++++ −− an ≠ 0,
n≥1, iar x1, x2,…xn, sunt rădăcinile lui f atunci f(X)= 0a ( )1xX − ( )2xX − ... ( )nxX − =
nnnn aXaXaXa ++++ −
−1
110 ...
rezultă următoarele relaţii între rădăcinile polinomului şi coeficienţii săi:
∑=
n
iix
1= nxxx +++ ...21 =
0
1
aa−
4.1 4.2 5. 6
1. 2.
ireductibil peste Z.
2) Să se descompună în factori ireductibili peste Q[X], R[X], C[X] polinomul f = X 4- X 3- 2X 2+ 3X-3.Polinomul f se descompune în Q[X]:
Legăturaîintre divizori şi rădăciniPolinomul f = (X2 + 1)(X2 + 3) ∈ Z[X] este reductibil în Z[X] şi nu are rădăcini în Z. Polinomul g = (X2 + X + 1 )2 ∈ Z2 [X] este reductibil în Z2[X] şi nu are rădăcini în Z2, fiindcă g( 0 ) = 1 şi g(1 ) = 1 .
Aplicaţii. 1) Particularizaţi (1), pentru polinomul f∈ C[X], cu grad(f)= 2, 3, 4. Presupunem: f = a2X2+ a1X + a0, a2 ≠ 0, are rădăcinile:x1, x2 şi relaţiile lui Viète sunt:
=
−=+
2
021
2
121
aa
xx
aaxx
Presupunem f = a X3+ b X2+ cX + d, a≠ 0, cu rădăcinile x1, x2,x3 . Relaţiile lui Viete sunt:
Manual, culegeri; Metode:
expunerea, explicaţia,
conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,
problematizarea, studiu de caz, descoperirea,
activităţi frontale şi individuale.
Tema, pag. 177, ex.56 ;
răspunsurilor primite, observarea
sistematică, a elevilor, aprecierea
verbală
Verificarea temei, pentru acasă prin sondaj, rezolvarea
cunoscute sub numele de formulele lui Viete. 3) Dacă un polinom, de grad, cel mult n, se anulază pentru n + 1 valori, distincte, atunci f = 0. Comentariu:1) A rezolva o ecuaţie polinomială, înseamnă a-i determina rădăcinile (rădăcinile polinomului). 2) Relaţiile lui Viète, sunt importante pentru un polinom (determinarea unor parametri din structura lui, a rădăcinilor), ori de câte ori, se dă o relaţie (sau mai multe) între unele dintre rădăcinile polinomului. 3) Practic, ori de câte ori, avem o informaţie despre rădăcinile unui polinom, acesteia i se ataşează relaţiile lui Viète.
9. Rădăcini complexe ale polinoamelor – aplicaţii. Teoremă. Fie f = ,... 01
11 aXaXaXa n
nn
n ++++ −− an ≠ 0,
n≥1, iar: x1, x2,…xn, sunt rădăcinile lui f. Atunci
S1= ∑=
n
iix
1= nxxx +++ ...21 =
0
1
aa−
S2= j
n
jii xx∑
= 1,= nn xxxxxx 13121 ... −+++ =
0
2
aa
…………………………………………………
2.2 4.1 4.2 5. 6
−=
=++
−=++
adxxx
acxxxxxx
abxxx
321
323121
321
;
Presupunem: f = a X4+ b X3+ cX2+d X + e, a≠ 0, cu rădăcinile x1, x2, x3, x4; să se scrie relaţiile lui Viete. 2) Fiind dat polinomul f = X2– 3 X + 4, se cere: x1
2 + x22 ; x1
3 + x23 ;
Relaţiile lui Viète,sunt x1+x2= 3 şi x1 x2=4, de unde rezultă x1
2 + x22 =( x1+x2 2 -2 x1 x2=1 şi
x13 + x2
3 =( x1+x2)3 -3 x1 x2( x1+x2) =9.1) Fie ecuaţia x3+2x2-3x+1=0, cu rădăcinile x1, x2, x3. Să se calculeze:
a) x12+x2
2+x32 ; b)
23
22
21 x
1x1
x1
++;
Relaţiile lui Viéte pentru ecuaţie sunt:
−=−=++
−=++
13
2
321
323121
321
xxxxxxxxx
xxx
a). x12+x2
2+x32 =( x1+x2+x3
)2-2(x1x2+x1x3+x2x3)=10b). Se împart relaţiile prin x1
3, x23 şi respectiv x3
3 (se poate face împărţirea deoarece rădăcinile sunt diferite de zero). Prin însumarea acestor egalităţi rezultă
0x1
x136x 2
111 =+−+ ∑∑∑
. ⇒ 5
x1
21
=∑..
Manual, culegeri; Metode:
expunerea, explicaţia,
conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,
problematizarea, studiu de caz, descoperirea,
activităţi frontale şi individuale.
Tema, pag. 177, ex.5657;.
putut fi abordate de elevi, aprecierea
răspunsurilor primite, observarea
sistematică, a elevilor, aprecierea
verbală
70
Sn= nn xxxxx 1321 ... − = ( )0
1aann−
Observaţie. Dacă polinomul f, are coeficientul dominant 1, adică
an= 1 atunci
f=(X– x1)(X– x2)…(X– xn) = Xn– S1Xn-1+ S 2Xn-2+…+(-1)nS n.
Exemple. 1) Pentru n = 2rezultă ax2+bx + c= 0 cu
=+=
21
21
xxPxxS
şi deci x2– Sx+ P = 0.
2) Pentru n = 3obţinem ax3+bx2+ cx + d = 0
−==
=++=
−=++=
adxxxS
acxxxxxxS
abxxxS
3213
3231212
3211
⇒ X3– S 1X2+ S 2X– S 3= 0.
10. Polinoame cu coeficienţi reali; polinoame cu coeficienţi raţionali. Teoremă: Fie f∈ R[X], f ≠ 0. Dacă x0= a + ib, b ≠ 0 este o rădăcinăcomplexă a lui f, atunci: 1) x0 = a – bi este de asemenea o rădăcină complexă a lui f; 2) x0 şi x0 au acelaşi ordin de multiplicitate. Corolar: 1) Orice polinom cu coeficienţi reali, are un număr par de rădăcini complexe (care nu sunt reale).
2.2 4.1 4.2 5. 6
Se dă ecuaţia: x3– 3x2+ 2x+ 1 = 0, cu rădăcinile: x1, x2, x3. a) Scrieţi ecuaţia în y, ale cărei rădăcini sunt:
y1= x1+ 2; y2= x2+ 2; y3= x3+ 2. Rezolvare:
Ecuaţia în y, este: y3– S1y2+ S2y– S3= 0, unde: S1= y1+y2+y3; S2= y 1y2+ y1y3+ y 2y 3;S3= y1y2y3.
Din relaţiile lui Viete ⇒
−==++
=++
12
3
321
323121
321
xxxxxxxxx
xxx
⇒
S1=x1+x2+x3+6= 9; S2=(x1+ 2)(x2+ 2)+(x1+ 2)(x3+ 2)+(x2+ 2)(x3+ 2)=26;S3= (x1+ 2)(x2+ 2 )(x3+ 2) = 23. Deci, ecuaţia în y este: y3– 9 y2+ 26y– 23 = 0.Observaţie: Ecuaţia în y se poate obţine şi altfel: din y = x + 2 ⇒ x= y– 2, care înlocuit în ecuaţia dată ⇒ y3– 9 y2+ 26y– 23 = 0.
1) Fie 264 234 +++−= XXXXf . Dacă x1= 1 - 2 este radacină a polinomului f, să se calculeze celelalte radacini. Dacă 2121 21 +=⇒−= xx este rădăcină.
Manual, culegeri; Metode:
expunerea, explicaţia,
conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,
problematizarea, studiu de caz, descoperirea,
activităţi frontale şi individuale. Tema, pag.176
ex50
Verificarea temei, pentru acasă prin sondaj, rezolvarea
la tablă a eventualelor
exerciţii ce n-au putut fi abordate de
elevi, aprecierea răspunsurilor
primite, observarea sistematică, a
elevilor, aprecierea verbală
71
2) Orice polinom cu coeficienţi reali, de grad impar, are cel puţin o rădăcină reală. Teoremă: Orice polinom f = ,... 01
11 aXaXaXa n
nn
n ++++ −− an ≠ 0, f∈
R[X], se poate scrie ca un produs de polinoame de gradul I sau II, (cu Δ< 0) cu coeficienţi reali. Teoremă: Fie f∈ Q[X], f ≠ 0. Dacă x0= a + b , a, b∈ Q, b > 0, b∈ Q, este o rădăcină pătratică a lui f, atunci: 1) 0
~x = a - b este, de asemenea, o rădăcină (numită conjugata pătratică a lui x0) a lui f; 2) x0 şi 0
~x , au acelaşi ordin de multiplicitate.
11. Polinoame cu coeficienţi complecşi – aplicaţii.
12.Polinoame cu coeficienţi complecşi – test de
1. 2. 2.2 4.1 4.2 5. 6
1. 2. 2.2 4.1 4.2 5. 6
)12())((
)21)(21(2
21212 −−⇒++−
⇒−−+−⇒
XXfxxXxxXf
XXf
Efectuând împărţirea31)22)(12( 4,3
22 ±=⇒−−−−= xXXXXf .2)Să se determine m şi n şi apoi să se rezolve ecuaţia
022234 =+++− XmXXX ştiind că admite rădăcina i+1 .
Dacă )1)(1(0)1(0)1( iXiXfifif +−−−⇒=−⇒=+
)22(
)11(2
2
+−
⇔++−−+−+−
XXf
iiXiXiXXXf
234
234
222
XXXnXmXXX
−+−+++−
222 +− XX
XXXnXmXX
222)2(
23
23
−+−++−+
mXX ++2
mmXmXnmX
222
2
−+−+
nmmX +− 22
r=
==
⇒=+−00
022nm
nmmX
Dacă ⇒−==⇒+=⇒= 1,0)(0 432 xxXXxqm
ix ±−∈ 1;1;0
Aplicaţii diverse cu polinoame cu coeficienţi complecşi. Fişe de lucru.
Evaluare sumativă: fişe cu subiecte.
Manual, culegeri; Metode:
expunerea, explicaţia,
conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,
problematizarea, studiu de caz, descoperirea,
activităţi frontale şi individuale.
Verificarea temei, pentru acasă prin sondaj, rezolvarea
la tablă a eventualelor
exerciţii ce n-au putut fi abordate de
elevi, aprecierea răspunsurilor
primite, observarea sistematică, a
elevilor, aprecierea verbală
72
evaluare sumativă.(vezi 3.2.Evaluarea Inelelor de
polinoame)
73
74
75
3.2. Evaluarea unităţii Inele de Polinoame
Proiectarea unei probe de evaluare este o activitate complexă, ce presupune parcurgerea mai
multor etape, obiectivate în anumite componente ale probei, fiecare având anumite funcţii şi
semnificaţii în raport cu proba de evaluare privită ca întreg. Elaborarea probei de evaluare are
caracter procesual, realizându-se în etape consacrate unor demersuri specifice.
Evaluarea reprezintă o activitate de mare complexitate, presupunând:
• activitate de măsurare care trebuie să fie foarte riguroasă şi foarte precisă;
• activitate de apreciere care trebuie să acorde semnificaţiile curente vis -a - vis de
informaţiile recoltate prin intermediul primei activităţi.
La modul general, măsurarea presupune o descriere cantitativă a comportamentelor formate
la elevi în urma realizării instruirii.
2.1. Obiective de evaluare
Elaborarea obiectivelor de evaluare este o activitate complexă care solicită respectarea unor
cerinţe epistemologice, logice, psihologice şi pedagogice, alături de parcurgerea unor etape impuse
de anumite exigenţe metodologice. Asigurarea fidelităţii unei probe de evaluare presupune
elaborarea unui barem de corectare şi notare cu grad înalt de obiectivitate şi aplicabilitate, menit să
reducă la minim diferenţele de notare dintre corectori. Realizarea acestuia se constituie într-o etapă
laborioasă şi dificilă, datorită complexităţii obiectivelor evaluării şi a varietăţii probelor şi itemilor
de evaluare.
Testul propus, împreună cu baremul de corectare, se încadrează în ceea ce literatura de
specialitate numeşte evaluare sumativă. Testul se aplică la sfârşitul unităţii de învăţare “Inele de
polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ”. Prin acest test am urmărit:
1. Obţinerea unei ierarhii a elevilor aflaţi la finalul unităţii de învăţare;
2. Notarea a reliefat modul de înţelegere şi capacităţile de calcul, dar şi lacunele care mai
trebuie completate şi aspecte care trebuie aprofundate;
3. Compararea rezultatelor obţinute de elevii buni şi de cei mai puţin buni.
76
Ca urmare, obiectivele de evaluare stabilite se raportează la obiectivele educaţionale ale
disciplinei – Matematică, ale căror conţinuturi fac obiectul evaluării la sfârşitul unei perioade de
instruire, dar şi la obiectivele educaţionale specifice nivelului liceal.
Având în vedere că evaluarea sumativă presupune pe lângă obiective şi momentul realizării
acesteia şi consecinţele pe care le determină, ca profesor am luat în calcul şi aceste aspecte.
Testul a fost dat elevilor în conformitate cu programa şcolară, curricumul naţional,
standardele de performanţă. Am dorit ca testul să nu producă panică, stres elevilor, dar din
răspunsurile date ulterior de elevi în chestionarul aplicat se poate deduce clar că unii elevi sunt
stresaţi de notare. Testul nu a urmărit o defavorizarea a unuia sau altuia dintre elevi, ci, prin
întrebările bazate mai ales pe itemi obiectivi şi semiobiectivi, nu a fost lăsat loc de interpretare sau de
nemulţumire faţă de notare, aceasta făcându-se cât mai obiectiv.
Obiectivele de evaluare urmărite prin acest test au fost:
1. Recunoaşterea noţiunii de polinoame în diferite contexte
2. Să identifice şi să utilizeze algoritmi în rezolvarea problemelor în care intervin
polinoame
3. Să aplice corect formulele şi rezultatele matematice ,
4. Să argumenteze complet soluţia problemei
77
3.2.2. Instrumentul de evaluare
Colegiul Tehnic ,,Mihai Viteazul” Oradea
Test de evaluare clasa a XII- aPolinoame
Subiect Enunţ Puncte
1
Să se calculeze f+g (0.5p)f–g (0.5p)4f+2g (0.5p)5f–4g (0.5p)fg (o,5p)f:g (0,5p)
unde f(x) = 7X4 – 9X3 – 8X2 + 3X –3 şi g(x) = X2 + X – 1
3
2Să se determine parametrul m astfel încât polinomul
4 3 24 6X X X X m+ − + − să se dividă prin X+2. 1
3Folosind schema lui Horner să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f= 2 X3+3 X2+1X+1 [ ]XZ6∈ la binomul g=1X- 2 . 1
4 Să se arate că polinomul 2 8 1( 1) nX X X++ + − se divide cu 2 1X + . 2
5 Rezolvaţi ecuaţia: X3 + X + 10 =0, dacă are rădăcina X1 = 1-2i. 2
3.2.4. Barem de corectare şi notareColegiul Tehnic ,,Mihai Viteazul” Oradea
Disciplina Matematică, Clasa a XII-a, an şcolar 2007-2008
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE
Subiectul ISe punctează doar rezultatul conform punctajului din barem.Subiectele II, III, IV, VSe vor puncta orice formulări şi modalităţi de rezolvare corectă a cerinţelor, în acord cu ideile precizate în barem.SUBIECTUL I_____________________________________________________________________( 3 puncte)
⇒ pentru X=1 P''(1)= n2(n-1)(n+1) - 2(n2-1)n(n-1) + n(n+1)(n-2)(n-3) =0.
Pentru calcularea câtului se consideră identitatea = 1 + x + x2 + ... xn cu x ≠ 1. Se
derivează relaţia de două ori, membrul al doilea al relaţiei după derivare reprezintă câtul
q(X)=2+6X+...+n(n-1)Xn-2.
3. Polinoame ireductibile. Criterii de ireductibilitate.
Exerciţiul 13. Să se arate că polinomul f = (X - a1)( X - a2) ... (X - an) -1 este ireductibil
peste Z[X] unde a1, a2, ... , an Z, diferite două câte două.
Rezolvare: Presupunem prin absurd că f = g . h, g, h Z[X].
96
Cum f(ai) = -1, rezultă g(ai) = 1, h(ai) = -1 sau g(ai) = -1, h(ai) = 1 şi deci g(ai) + h(ai) = 0, 1 ≤ i ≤ n.
Deoarece grad (g + h) < n, iar (g + h) se anulează în n puncte diferite se deduce g + h = 0. Deci f(x)
= -[g(x)]2, contradicţie, deoarece coeficientul lui Xn, din f este 1.
Exerciţiul 12. Să se arate că polinomul f = (X - a1)( X - a2) ... (X - an) + 1 este ireductibil
pentru a1, a2, ..., an Z , ai ≠ aj, dacă i ≠ j, cu excepţia
(X -a)( X -a-1)( X -a-2)( X -a-3)+1 = [(X -a-1)( X -a-2) - 1]2 = (X -a)( X -a-2) + 1 = (X -a-1)2.
Rezolvare: Presupunem că f = g . h, g,h Z[X].
Este clar că g(ai) = h(ai) = 1. Deci g, h nu sunt constante şi atunci k = g - h are gradul strict mai
mic decât n şi se anulează în n valori distincte. Deci g - h = 0, adică g = h şi prin urmare f = g 2.
Această egalitate nu este posibilă decât pentru n par.
Din (X -a1)( X -a2) ... (X -an) + 1 = g2 deducem g + 1 = (X - a1)( X - a3) ... (X - an-1) şi
g - 1 = (X - a2)( X - a4) ... (X - an)
(pentru a avea o astfel de scriere renumerotăm, eventual, numerele a1, a2, ..., an)
Scăzând relaţiile de mai sus, membru cu membru, obţinem:
2 = ( X - a1)( X - a3)...( X - an-1) - (X - a2)( X - a4) ... (X - an)
Punem a1 > a3 > ... > an-1. În ultima egalitate facem x = a2k, k = 1, 2, ..., n/2şi obţinem (a2k - a1)(a2k -
a3) ... (a2k - an-1) = 2, adică numărul 2 se descompune în n/2 factori întregi dispuşi în ordine
crescătoare. Pentru n/2 =2 obţinem n = 4. şi pentru n/2 = 1 obţinem n = 2. Deci sunt îndeplinite
condiţiile din enunţ.
Exerciţiul 14. (Criteriul lui Eisenstein) Fie f Z[X], f = in
ii Xa∑
= 0
∈ Z[X], an ≠ 0. Dacă
există un element prim p Z astfel încât (1). p | ai, i = 0, 1, 2, ... , n-1;
(2). p |/ an şi p2 |/ a0, atunci f este ireductibil în Z[X].Rezolvare: Presupunem că f este reductibil în Z[X]. Atunci f = gh cu g,h Z[X] încât 1 ≤
grad(g), grad(h) < grad(f). Fie g = bmXm + ... + b1X + b0, bm ≠ 0 şi h = cn-mXn-m + ... + c1X + c0, cn-m ≠ 0. Efectuând produsul g h şi identificând coeficienţii din cele două scrieri ale polinomului f, avem:
(2.1).
000
10011
2011022
111
cbacbcba
cbcbcba
cbcbacba
mnmmnmn
mnmn
=+=
++=
+==
−−−−−
−
97
Din ipoteza că p|a0 şi din ultima egalitate (2.1) rezultă că p|b0c0. Cum p este un element prim
în R şi p|b0c0, rezultă p|b0 sau p|c0. Din faptul că p2 a0 = b0c0, conform ipotezei, rezultă că p|b0 şi p c0 sau p|c0 şi p b0.
Presupunem că p|b0 şi p c0. Din ipoteza p|b1 şi din faptul că p|b0, folosind penultima
egalitate (2.1.) deducem că p|a1-b0c1, adică p|b1c0. Din p|b1c0 şi p c0, p fiind un element prim,
obţinem p|b1. Din p|a2, p|b1, p|b0 şi egalitatea a2 = b2c0 +b1c1 +b0c2 rezultă p|a2 - b1c1 - b0c2 = b2c0 şi
ţinând seama că p c0, rezultă p|b2.
Continuând procedeul, vom obţine din a doua egalitate (2.1) că p|bm.Cum an = bmcn-m şi p|bm deducem că p|an, contradicţie. Deci f este ireductibil.
Exerciţiul 15. Să se arate că f = X3 - 3X2 + 12X - 7 este ireductibil în Z[X].Conform Propoziţiei 2.2.1. (capitolul II), f este ireductibil în Z[X] dacă şi numai dacă g =
f(X + 1) este ireductibil în Z[X]. Avem g = (X+1)3 - 3(X+1)2 + 12(X+1) - 7 = X3 + 9X + 3 Z[X].Pentru p=3, avem 3|a2, 3|a1, 3|a0, 3 nu divide a3 şi 32 nu divide a0, deci g este ireductibil.
Aşadar, f este ireductibil. Exerciţiul 16. Dacă p este un număr prim, polinomul Xp-1 + Xp-2 + ... X + 1 nu se poate descompune în produsul a două polinoame cu coeficienţi întregi.
Rezolvare: Polinomul (X) = Xp-1 + Xp-2 + ... + X + 1, unde p este un număr prim, este ireductibil în Q[X]. Observăm că pentru Φp (X) nu se poate aplica criteriul lui Eisenstein. Totuşi, luând atomorfismul Ψ : Q[X] Q[X], Ψ(Φp(X)) = Φp(X+1) şi aplicând Propoziţia 2.2.1, rezultă că Φp(X) este ireductibil dacă şi numai dacă Φp(X+1) este ireductibil.
Fie g(X) = Φp(X+1) = (X+1)p-1 +(X+1)p-2 +... +(X+1)+1. Avem:
( ) =++++
=−+=−+−+=
−−−
XXCXCXCX
XX
XXXg
pp
pp
pp
ppp 122111)1(1)1(1)1(
= 1232211 −−−−− +++++ pp
pp
pp
pp
p CXCXCXCX ,
cu coeficienţii ap-1=1, ai=11 +−− = i
pip
p CC , i=1,2,...,p-2 , a0=1−p
pC =p.
Ipotezele din criteriul lui Eisenstein sunt verificate, deoarece p|a i, pentru i = 0, 1, ... , p-2, p
ap-1 şi p2 nu divide a0. Deci g este ireductibil. Prin urmare, Φp(X) este ireductibil Z[X], dar şi în
Q[X].
Exerciţiul 17. Să se arate că polinomul f(X) = X52 + X51 + X50 +... + X + 1 nu se poate scrie ca produsul a două polinoame cu coeficienţi întregi.
Rezolvare: Pentru a arăta că f(X) este ireductibil în Z[X] este suficient să arătam că f(X+1)
este ireductibil în Z[X] (dacă f(X+1) este ireductibil, nu se poate ca f(X) să se descompună în factori
în Z[X], căci atunci şi f(X+1) s-ar descompune în factori în Z[X]).
Se observă că f(X) = 1153
−−
XX p = 53
98
( ) =++++
=−+=−+
−+=+−−−
XXCXCXCX
XX
XXXf
15353
253253
153153
535353 1)1(1)1(1)1(1
5253
5153
50253
51153
52 CXCXCXCX +++++ Ipotezele din criteriul lui Eisenstein sunt verificate, deoarece 53|ai, pentru i = 0, 1, ... , 51, 53 an
(an=1) şi p2 nu divide a0 (a0=53). Deci g este ireductibil. Prin urmare, f(X) este ireductibil în Z[X].Exerciţiul 18. (criteriul de ireductibilitate modulo p). Fie f Z[X] de gradul n ≥ 1. Dacă
există un număr prim p astfel încat redusul al polinomului f este ireductibil în Zp[X] şi grad( (f)) = grad(f), atunci f este ireductibil în Z[X].(vezi demonstratia în capitolul II. Teorema 2.2.3).
Exerciţiul 19. Să se arate că f = X3 - 3X2 + 12X - 7 este ireductibil în Z[X].
Rezolvare: Pentru a demonstra aceasta aplicăm criteriul de ireductibilitate modulo p pentru
p=2.
Polinomul g = *pρ (f) = X3 - X2 - 1 = X3 + X2 + 1 Zp[X] nu are rădăcini în Z2, fiindcă g( 0 ) =
g(1 ) = 1 şi conform criteriul de ireductibilitate modulo p, g este ireductibili în Z2[X]. Deci f este
ireductibil.
Exerciţiul 20. Să se arate că polinomul F(X)=(X2+2)n+5(X2n-1+10Xn+5) este ireductibil în Z[X].
Rezolvare: Se consideră f=X2+2 g =(X2n-1+10Xn+5).Aplicăm criteriul de ireductibilitate modulo p pentru p=5. Fie *
pρ (f) redusul polinomului f.
Atunci polinomul *pρ (f)= X2+2 este ireductibil în Z5[X], nu are rădăcini în Z5.
Polinomul *pρ (g)= X2n-1 nu se divide prin X2+2 în Z5[X] şi conform criteriul de
ireductibilitate modulo p, F(X)=(X2+2)n+5(X2n-1+10Xn+5) este ireductibil în Z[X].
Exerciţiul 21. Aflaţi toate numerele întregi n pentru care polinomul f(X)=X5-nX-n-2
poate fi exprimat ca produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi.
(olimpiada Grecia 2003)
Rezolvare: Presupunem că f(X)=f 1(X) f 2(X), unde f1,f2∈ Z[X], neconstante, gradf1<gradf2 şi
f1,f2 sunt polinoame unitare.
Cazul I: gradf1=1, gradf2=4. Deoarece f1 este polinom unitar, rezultă că f1 are o radacină a∈
Z.
Atunci f1(a)=0 ⇒ f(a)=0 ⇔ a5-2=n( a+1). Cum a=1 nu convine obţinem
131
12 234
5
+−+−+−=
+−=
aaaaa
aan , deci a+1∈ D3 = 3,1 ±± , adică a∈ -4,-2,0,2. Înlocuind în
relaţia lui n ⇒ n∈ 342,34,-2,10.
99
Pentru n=-2 ⇒ f (x)=x(x4+2)
n=10 ⇒ f (x)=(x-2)(x4+2x3+4x2+8x+6)
n=34 ⇒ f (x)= (x+2)(x4-2x3+4x2-8x+6)
n=342 ⇒ f (x)= (x+4)(x4-4x3+16x2-64x-86).
Cazul II: gradf1=2, gradf2=3. f(X)=X5-nX-n-2 (1)
Fie f1(X)= X2+rX+q, f2(X)=X3+sX2+tX+u unde r,q,s,t,u∈ Z. Din relaţia f(X)=f1(X) f2(X), prin
identificare, obţinem
+−=−=
−=⇔
=++=++
=+
rqruqrt
rs
qsrtutrsq
sr
200
0
3
2 . Înlocuind în relaţia din ipoteza ⇒
(X2+rX+q)[ X3-rX2+(r2-q)X+2rq-r3]= X5-nX-n-2, unde r,q,u∈ Z.
Pentru x=-1, relaţia devine (1-r+q)(r3+r2+r-2rq-q+1)=3. Deoarece r,q∈ Z avem cazurile:
=+−−++
=+−
31211
23 qrqrrrqr
;
−=+−−++
−=+−
31211
23 qrqrrrqr
;
=+−−++
=+−
11231
23 qrqrrrqr
−=+−−++
−=+−
11231
23 qrqrrrqr
Rezolvând aceste sisteme ⇒ r=-1 şi q =1 deci ⇒ s=1, t=0, u=-1 ⇒
f( X)= (X2-X+1)( X3+X2-1) ,prin identificare cu relatia(1) ⇒ n=-1
⇒ r=-1 şi q =-3 ⇒ s=1, t=4, u=7 ⇒
f(X)= (X2-X-3)( X3+X 2 +4X+7) prin identificare cu relatia(1) ⇒ n=19
ţinând seama şi de primul caz ⇒ n∈ , -2,-1,10, 19,34,342.
100
Proiect didactic
Profesor: Musca Florina, Clasa: a XII-aProfilul: RealTipul lecţiei: sistematizare şi recapitulareTimp de realizare: 50 minSubiect : Rădăcinile polinoamelor. Ecuaţii algebrice de grad superior
Obiectiv de referinţă: să calculeze rădăcinile polinomului, soluţiile ecuaţiilor, aplicând diverse modalităţi
Obiective operaţionale:O1 - să identifice dintr-o mulţime de ecuaţii ecuaţiile algebrice;O2 – să clasifice ecuaţiile algebrice după criteriile cunoscute;O3 – să structureze într-un context necunoscut calculul rădăcinilor polinoamelor, utilizînd suportul teoretic oferit;O4 – să argumenteze metoda potrivită pentru rezolvarea fiecărei sarcini propuse, utilizînd terminologia aferentă;O5 – să rezolve independent cel puţin 5 exemple diferite;O6 – să compună în scris ecuaţii algebrice de diferite tipuri, în diverse contexte;
Metode şi procedee:Asalt de idei (brainstorming oral); Clasificare (Păiangen); Turul Galeriei; Susţinerea proiectului de grup; Brain ring matematic.Mijloace didactice: fişe cu însărcinări, fişe de clasificare, postere, marchere
Forme de organizare: Frontal, în grupuri mici (preponderent), individual.
101
Nr. crt.
Etapele lecţiei
Obiecti-ve
operaţi-onale
Activitatea profesorului Activitatea elevului Evaluare
I. Moment organizatoricA. Captarea atenţiei.
Motivez necesitatea cunoaşterii ecuaţiilor de orice grad ( Anexa 1)
AscultăDiscută în grupuri, caută greşeala, găsesc argumente, comunică între grupe, răspund.
Urmăresc modul de argumentare.
B. Enunţarea temei şi obiectivelor.
Trec în revistă obiectivul de referinţă şi cele operaţionale ale lecţiei, care sunt scrise din timp pe un poster.
Citesc în glas pe rînd obiectivele, pătrunzînd în esenţa lor.
Evaluez gradul de conştientizare a obiectivelor propuse.
C. Reactualizarea cunoştinţelor.
O1
O2
Împart clasa în 4 grupuri a câte 5 elevi şi propun fiecărei grupe o fişă cu 20 de ecuaţii. (Anexa 2)
Selectează din mulţimea dată ecuaţiile algebrice de grad superior. Fişele se afişează şi liderul fiecărui grup argumentează răspunsurile.
Verifică cum identifică elevii ecuaţiile algebrice după criterii cunoscute.
II. Recapitularea şi sistematizarea cunoştinţelor.
O3
O4
Propun fiecărui grup o fişă cu sarcinile:
a) Rezolvă o ecuaţie reciprocă de grad superior.
b) Determină rădăcinile unui polinom (Anexa 3)
Îndeplinesc sarcinile, scriu produsele pe tablă, comentând răspunsurile prin utilizarea terminologiei aferente.
Apreciez abilitatea de a comenta rezolvarea unui exemplu utilizând terminologia aferentă.
O4 Propun elevilor problema: Să să determine parametrii reali m, n astfel încât ecuaţia x4-x3-mx2-x+n=0 să aibă rădăcină dublă x=1 şi să se rezolve ecuaţia dată(Rezolvare prin mai multe metode – Anexa 4).
Discută în grup, analizează şi depistează metodele posibile, rezolvă.Prezintă rezultatul la tablă pe postere, compară metodele de rezolvare şi fac concluzii despre momentul raţional în rezolvare.
Urmăresc competenţa de a depista mai multe metode şi a argumenta alegerea celei mai raţionale prin analiză şi comparare.
102
O3 Aleg rezolvarea corectă Rezolvarea o scriu pe un poster. La semnalul profesorului produsele se afişează. Utilizând tehnica Turul Galeriei elevii analizează modul de rezolvare propus de colegi, evaluează şi, eventual corectează.
Menţionez capacitatea de a evalua şi a observa greşeli în rezolvare, a argumenta alegerea sau corectarea făcută.
O6
O5
Cer grupurilor să îndeplinească sarcina:Compuneţi câte o ecuaţie de grad superior. Propuneţi-o spre rezolvare echipei vecine. Evaluaţi rezolvarea.
Lucrează după tehnica verificare reciprocă: fiecare grup compune o ecuaţie de grad superior, o propune spre rezolvare grupului vecin, rezolvând-o în prealabil pentru a putea evalua rezultatul grupului vecin.
Urmăresc competenţa de a compune sarcini la temă şi de a evalua lucrul colegilor.
O4
O5
Propun jocul Brainring matematic cu 4 însărcinări diferite la temă (Anexa 5)
Fiecare echipă respectă regulile jocului, rezolvând individual şi în echipă. Elevii aduc argumente în favoarea soluţiei propuse. Expertul este un elev cu o performanţe la matematică
Evaluez şi, eventual notez elevii care demonstrează capacitatea de a rezolva rapid, corect, de a argumenta răspunsul şi a ţine cont de restricţii la rezolvare.
O6O4O5
Anunţ tema pentru acasă: fiecare elev va îndeplini o lucrare de laborator care va fi susţinută (prezentată) individual la ora următoare (Anexa 6)
Analizează conţinutul probei de laborator, adresează întrebări pentru precizare
Elevii care vor susţine prin prezentare publică lucrarea propusă vor fi apreciaţi cu note.
103
Anexa 1
Motto: „Trebuie să dăm problemei o formă,care să facă întotdeauna posibilă rezolvarea ei”.
Abel
Omniprezentele ecuaţii
Dintre comorile lăsate nouă de vechii egipteni, se găseşte în Marea Britanie un document,
care i-a surprins şi amuzat pe experţii în hieroglifie: un papirus vechi de 3600 ani, cunoscut sub
numele de „papirusul Rhind”.
S-a descoperit astfel, că un viclean proprietar din Egiptul antic ştia să utilizeze ecuaţiile
pentru a rezolva o problemă care-l frămînta: Cum să facă să plătească un impozit cât mai mic? Şi să
ştiţi, că nu era de loc uşor pentru vechii egipteni să folosească o ecuaţie, pentru că ei nu cunoşteau
nici semnul „+” (ei îl simbolizau printr-o pereche de picioare care mergeau spre dreapta), nici
numerele negative.
Astăzi însă, ca rezultat al evoluţiei algebrei, a pune o problemă în ecuaţie este echivalent cu
a-i simplifica enunţul.
Şi trebuie să fim conştienţi, că orice abordare ştiinţifică a unei situaţii, fie că se referă la
construirea unei clădiri, la evaluarea presiunii în pneurile unui automobil, la determinarea traiectoriei
unui mobil, la precizarea unei dobînzi etc., ne duce inevitabil la rezolvarea unor ecuaţii.
Ioan Dăncilă „Matematica gimnaziului”
104
Anexa 2
Selectaţi ecuaţiile algebrice şi clasificaţi-le după criteriile cunoscute;Încadraţi clasificarea într-o schemă (păiangen).
2). P ( X ) = X5 - X3 +3X2 - 2X +8 după schema lui Horner se determină câtul:
X5 X4 X3 X2 X1 X0
1 0 -1 3 -2 8-2 1 -2 3 -3 4 0
Q ( X) = X4 -2X3 +3X2 - 3X + 4
Runda a III-a
Să se rezolve ecuaţiile ştiind că au o rădăcină comună: x3 – 6x2 + 11 x + a = 0 şi x3 + 4 x2 +x + a =0, a ∈ R
5 min, 5 puncte
Rezolvare:1. Ecuaţiile se scad şi se obţine: - 10 x2 + 10 x = 0 ↔ x2 = 1, x1 = 1 şi x2 = -12. Se determină a: 1 – 6 + 11 + a = 0 → a = - 63. Se rezolvă ecuaţiile ştiind că au rădăcinile ± 1:a) x3 – 6x2 + 11 x + a = (x2 -1 ) ( ax + b ) = ax3 + bx2 +ax –b . Prin comparare avem: a = 1, b = -6, x – 6 = 0, x3 = 6 şi S = -1, 1, 6 b) x3 + 4 x2 +x + a = 0, x1 = 1 x3 + 4 x2 +x -6 = ( x-1 ) ( x2 +5x +6 ), deci obţinem x2 = - 2 sau x 3 = - 3 Prin urmare, mulţimea soluţiilor este S = 1, -2, -3 .
109
Temă pentru acasă(lucrare de laborator)
1. Alcătuiţi 2 ecuaţii algebrice de grad superior şi le rezolvă.
2. Fie polinomul: P(X) = X3 + mX2 + 2X + m +1, m ∈ R.
a) Ştiind că X 1 = 1, să se determine m şi să se rezolve ecuaţia P ( X ) = 0
b) Să se calculeze E ( x ) = x13 + x2
3 + x33
c) Să se determine valoarea expresiei: E ( x ) = ( x3 · x 2 ·x1 ).
3. Polinomul F(X) = X4 – 5 X3 + 8 X 2 + aX +b are rădăcina dublă X = 1.
4. a) Să se determine parametrii a şi b
b) să se rezolve ecuaţia: F ( X ) = 0.
5. Să se rezolve ecuaţia x7 - 2 x6 + 3 x5 – x 4 – x3 + 3 x 2 - 2x + 1 = 0.
6. Găsiţi rădăcinile ecuaţiei x 8 + 2 x 4 – 3 = 0.
7. Să se determine polinomul P ( X) cu coeficienţii reali de grad minim, care are rădăcina dublă
1 + i şi rădăcina simpă 1.
110
BIBLIOGRAFIE
1. Albu, A.C: - Introducere în fundamentele matematicii, Ed. Universitatea de Vest din Timişoara, Monografii matematice, nr.58, Timişoara, 1995
2. Albu, A.C: - Istoria matematicii, Ed. Mirton, Timişoara 19973. Albu, T.; Ion, I.D.: - Capitole de teoria algebrică a numerelor, Ed. Academiei Rep. Soc. Rom.
Bucureşti 19844. Albu, T.; Ion, I.D.: - Itinerar elementar în algebra superioară, Ed. AII Bucureşti 19975. Algebra, manuale clasice şi alternative V-X6. Bănea, Horea: - Metodica predării matematicii, Ed. Paralela 45, 19987. Barbilian, D. - Algebră, E.D.P. Bucureşti 19858. Becheanu, M., Niţă, C, Ştefănescu, M.,...: - Algebră, Ed. AII Bucureşti 19989. Chiriac, V., Chiriac, M.: - Probleme de algebră, Ed. Tehnică Bucureşti 197710.Coşniţă, C, Turtoiu, F: - Probleme de algebră, Ed. Tehnică Bucureşti 1989 11. Didactica matematicii: vol. 5 Cluj-Napoca 1989 12.Dăncilă, I: - Algebra examenelor, Ed. AII Bucureşti 199413.Dodescu, GH: - Metode numerice în algebră, Ed. Tehnică Bucureşti 1979 14. Dragomir, A., Dragomir, P.: - Structuri algebrice, Ed. Facla Timişoara 1981 15.Galbură, Gh.: - Algebra, E.D.P. Bucureşti 197216.Ion, I.D., Radu, N.: - Algebră, ediţia a IV - a E.D.P. Bucureşti 199117.Ion, I.D., Popescu, D., Niţă, C, Radu, N.: - Probleme de algebră, E.D.P. Bucureşti 198118.Ion, I.D., Niţă, C, Năstăsescu, C: - Complemente de algebră, Edit. Şt. Bucureşti 198419.Ivan, Gh.: - Capitole fundamentale de algebră. Inele. Module. Construcţii universale de module,
Univ. de Vest din Timişoara 200020. Stănăşilă, O.: - Analiză liniară şi geometrie, Ed. AII Bucureşti 200021.Năstăsescu, C, Niţă, C: - Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Ed. Tehnică Bucureşti 197922.Năstăsescu, C, Niţă, C, Brandiburn, M, Joiţa, D.: - Exerciţii şi probleme de algebră pentru
clasele IX-XII, E.D.P. Bucureşti 198323. Năstăsescu, C, Niţă, C, Vraciu, C; - Bazele algebrei, Ed. Academiei Bucureşti 198624. Năstăsescu, C, Niţă, C, Vraciu, C: - Aritmetică şi algebră, E.D.P. Bucureşti 199325. Nicolescu, C.P.: - Sinteze de matematică, Ed. Albatros Bucureşti 199026. Olivotto, I.: - Culegere de exerciţii şi probleme pentru gimnaziu, Ed. Ara Bucureşti 199227. Panaitopol, L, Drăghicescu, I.C.: - Polinoame şi ecuaţii algebrice, Ed. Albatros Bucureşti 198028. Purdea, I.: - Tratat de algebră modernă, Ed. Academiei Bucureşti 198229. Rus, I., Varna, D.: - Metodica predării matematicii, E.D.P. Bucureşti 198330. Teodorescu, N., Constantinescu, A.,...: - Probleme din gazeta matematică (Ediţie selectivă şi