Top Banner
& & # !$& & " !$ $& & " & $& $ *'& )'(+
23

€¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

Oct 18, 2020

Download

Documents

dariahiddleston
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

� ��� �������������������������������������������������������� ������������������ ������

��

������������� ��†&������������������†&�

�������#�������������������‡���

† � �����!�����$&�� ��&��"�����

‡ �����������!�����$������������$&������� ��&��"�������

�� ������������������������������� ������� ����&�������$&�� �$�*'&�)'(+�

Page 2: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

1

Background

�� Codes on graphs: build large and powerful codes out of a set of smaller component codes

�� Message passing decoding: (e.g. belief propagation) efficient parallel computation of marginals by local computations and exchange of messages within the factor graph

x1

x2

x3

x4

x5

f1 f2

µf1,x3 µf2,x3

f(x1, x2, x3, x4, x5) = f1(x1, x2, x3) · f2(x3, x4, x5)

Question:

which influence does the structure of the component codes have and how simple or powerful should they be?

Page 3: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

2

Convolutional Codes for Iterative Decoding

Parallel Concatenation: Serial Concatenation:

+ better BP decoding threshold - worse distance spectrum / error floor

- worse BP decoding threshold + better distance spectrum / error floor

- worse MAP decoding threshold + better MAP decoding threshold

Ensemble Rate ϵBP ϵMAP

PCC 1/3 0.6428 0.6553

SCC 1/4 0.6896 0.7483

Ensemble Rate ϵBP ϵMAP

PCC 1/3 0.6428 0.6553

SCC 1/3 0.6118 0.6615

PCC 1/2 0.4606 0.4689

SCC 1/2 0.4010 0.4973

Observation: optimizing component codes for iterative decoding does not necessarily optimize the strength of the overall code

Spatial coupling: can overcome this discrepancy due to threshold saturation

Page 4: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

�� Consider transmission of a sequence of codewords:

Spatially�Coupled�LDPC�Codes

vt ·HT = 0 ∀t = 1, . . . , L

v1 vL. . . vt

�� Assuming a conventional LDPC code, each codeword satisfies:

�� Spatial coupling: codewords are interconnected with their neighbors

vt ·HT0 (t) + vt−1 ·HT

1 (t) + · · ·+ vt−m ·HTm(t) = 0 ,

... ...

H0(t) +H1(t) + · · ·+Hm(t) = H ∀tCondition:

3

Page 5: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

����������� �����

4

0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5

10-4

10-2

100

Bit e

rasu

re ra

te

(5,10) LDPC

BP BP

(3,6) LDPC

Channel erasure probability (BEC)

MAP

gain due to coupling

BP coupled

•� ������� � ���������$� ��� ���� ��������� ������� L� ���������#� ���� �� ��� ������������ �������������������������� ��� ������������ ���•� �������� ������������� ��������������� ������������������!������������� �� ���������� ����������!��

Page 6: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

5

Parallel Concatenated Codes (PCCs)

Factor graph: Compact form: Coupling (edge spreading):

Trellis Interleaver Variable nodes �����������

Page 7: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

6

Construction of Spatially Coupled PCCs

1. Consider a sequence of L independent blocks

Trellis Interleaver Variable nodes

2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges

�����������

vUt

vLt

ut

Page 8: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

7

Spatially Coupled PCCs (SC-PCCs)

vUt−1

vLt−1 vL

t+1

vUt+1vU

t

vLt

utut ut+1ut−1

ΠtΠt−1

ut−1

Πt+1

ΠUt+1ΠU

t−1 ΠUt

ΠLt ΠL

t+1

ut+1

ΠLt−1 CL CL CL

CUCU CU

•� �� �����������#�m=1, can be generalized to m>1�

•� ��������&����� ������������� �������� ������ ���� ������������������� ��� � ����!#���������� �� ����� �����������t=L+1���������vL+1=0�

•� ���� ����!�������������� ��� ��� �����%�� ����������� ��� �����"��������������!���� ������������������

Page 9: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

8

Density Evolution Analysis (BEC)

tt− 1 t+ 1

ϵ

p(i,t)U,s

p(i,t)U,p

q(i−1)L

p(i,t)U,s = fU,s

!q(i−1)L , ϵ

"

p(i,t)U,p = fU,p

!q(i−1)L , ϵ

"

q(i−1)L = ϵ ·

2p(i−1,t)L,s + p(i−1,t−1)

L,s + p(i−1,t+1)L,s

4

Constraint node update (trellis):

Variable node update:

tt− 1 t+ 1

ϵ

ϵϵ

p(i,t)U,s

p(i,t)U,p

q(i−1)L

+.,��(("������'��(�(������'������(( ���'�)�$��������������%��������"������������������������������������#��" �����������������������%�����"����������'*����������������� ��������������������������������������������������'����(�/--0'�#��(�0(���

�����������'�����������������������#������% �����$����������������������������"�� ����+.,(��

Page 10: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

9

Spatially Coupled Serial Concatenated Codes

1. Consider a sequence of L independent blocks

Trellis Interleaver Variable nodes

2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges

�����������

ut

vIt

vOt

Page 11: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

10

Spatially Coupled SCCs (SC-SCCs)

uIt+1

vIt+1

vIt−1

uIt−1 uI

t

vItΠ(1)

t−1 Π(2)t−1 Π(2)

t+1Π(1)t+1Π(1)

t Π(2)t

utut−1 ut+1

CI CI CICO CO CO

t t+ 1t− 1

•� �� �����������#�m=1, can be generalized to m>1�

•� ��������&����� ������������� �������� ������ ���� ������������������� ��� � ����!#���������� �� ����� �����������t=L+1���������vL+1=0�

•� ���� ����!�������������� ��� ��� �����%�� ����������� ��� �����"��������������!���� ������������������

Page 12: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

11

Numerical Results (SC-TCs with 4-state components)

Thresholds for punctured SC-TCs with different coupling memories

Ensemble Rate ρ2 εBP εMAP ε1

SCε3

SCε5

SCδSH

CPCC/CSC−PCC 1/3 1.0 0.6428 0.6553 0.6553 0.6553 0.6553 0.0113

CSCC/CSC−SCC 1/3 1.0 0.5405 0.6654 0.6437 0.6650 0.6654 0.0012

CPCC/CSC−PCC 1/2 0.5 0.4606 0.4689 0.4689 0.4689 0.4689 0.0311

CSCC/CSC−SCC 1/2 0.5 0.3594 0.4981 0.4708 0.4975 0.4981 0.0019

CPCC/CSC−PCC 2/3 0.25 0.2732 0.2772 0.2772 0.2772 0.2772 0.0561

CSCC/CSC−SCC 2/3 0.25 0.2038 0.3316 0.3303 0.3305 0.3315 0.0018

CPCC/CSC−PCC 3/4 0.166 0.1854 0.1876 0.1876 0.1876 0.1876 0.0624

CSCC/CSC−SCC 3/4 0.166 0.1337 0.2486 0.2155 0.2471 0.2486 0.0014

CPCC/CSC−PCC 4/5 0.125 0.1376 0.1391 0.1391 0.1391 0.1391 0.0609

CSCC/CSC−SCC 4/5 0.125 0.0942 0.1990 0.1644 0.1968 0.1989 0.0011

Observation: threshold saturation occurs for large enough coupling memory m (,)��%��� �������� �#�%����� ��#� ����%������ ���#��&� � ��!��� ������ ���������$����������� ����������������������� ���#'�����,*+-%�

Page 13: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

������������ �����������������������;� ������������������������>E?4������#�))�&����%�(�#!1���#&/9��%)!*0�'�(!*09� ��"�<� ���=��&%.&#-+&%�#��&��)�* �*��(���#&)�#0�(�#�*���*&�'(&�-�*��&��)5�

12

>E?��5�5���#*)*(&$3��5��(- �� �.3��5� �%*$�!�(3��%���5� 5��!��%�!(&.3�7�(�!�����#&�"��&��)38��������������������� 3�.&#5�GG3�%&5�H3�''5�DHFB:DHGI3��-%��DBBJ5��

;� ���)�/!* �����&$'&%�%*��&��)�/�(��(���%*#0��&%)!��(����&(� !� �)'����&'+��#��&$$-%!��+&%)�>F?5�

>F?��5�5��!�%3�5�5���)*�(3��5�5���(�0�%�%3��5���&3��%���5���1� (� 3��7*�(�+.�� �(�����!)!&%����&�!%��&���(�!��������&��)��&(� !� 9)'����&'+��#��&$$-%!��+&%38��!%��(&�5������#&��#���#��&$$-%!��+&%)��&%��(�%��3�DBCE5�� �������6CE53����5�DBCE5��

;� %�* !)�/&("�/���&%)!��(����&-%*�('�(*�&�����)���##�����(�!�����&%.&#-+&%�#��&��)�<���)=�>G?5��

>G?��5�� �%�3��5� �%*$�!�(3��5� 5��!��%�!(&.3��%���5�5��&)*�##&3��(53�7�(�!�����&%.&#-+&%�#��&��)4����%�/��#�))�&��*-(�&9#!"���&��)38�������(�%)5�%�5�� �&(03�.&#5�GH3�%&5�C3�''5�ECH:EEC3���%5�DBCB5�

;� ���)���%����)��%��)����#�))�&��*-(�&9#!"��� �����&��)3�!5�53����(!������*/��%�*-(�&��&��)��%�� �����&��)5�

Page 14: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

13

ut

ut+1 v(1)t+1

v(2)t+1

v(2)t

v(1)t

v(1)t−1

v(2)t−1

•� ����� ���� ��� ����� �� ������#� ��� ������������ �������� �������� �����!�

•� ��������������������������������������������������������� �������$"%!�

•� ������������������ �������� ���� ����������������� ��� �����������������������!��

������ ����������������������������

Page 15: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

13

ut

ut+1 v(1)t+1

v(2)t+1

v(2)t

v(1)t

v(1)t−1

v(2)t−1

v(0)t = ut

v(1)t

v(2)t

ut

Encoder A

Encoder B

D

D

������ ����������������������������

Page 16: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

��������������� �� ��� ����� ����������

14

������������� �������� ��� ���������

������ ����� �����������������������N���

P(0)t

P(1)t

P(2)t

DN

DN

Encoder A

Encoder B

utut

v(1)t

v(2)t

Page 17: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

������������������� �������� ����

15

•� ����������������������� ���������� �L�����&�•� �������t$�������������������������� �������������������•� ������������������!��������!���������

•� �����������������������•� ����������������������t < 1 ����t > L��������������"���&�

•� ������������%�������������������������&���������������!���������������� ����L�(�'&��

CU CU CU

CL CL CLΠLt

ΠUtΠU

t−1

ΠLt−1 ΠL

t+1

ΠUt+1

Πt+1ΠtΠt−1

vLt−1

vUt−1 vU

t+1

vLt+1vL

t

vUt

ut

ut ut+1ut+1ut−1

ut−1

( )

Page 18: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

� ����� ����� ���� ������ ��

16

CU

CL

Π(U,1)t

Π(U,2)t

Π(L,2)t

Π(L,1)t

Πt

vLt

vUt

utut

������������������� �� � ���������� �����������������ut,A

lut,B

������������ �������

������������ �����

(ut,A,ut−1,B)

(ut,B,ut−1,A)

ut,A

lut,B

������������

Page 19: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

���������������������������������

17

ϵBP ϵMAP ϵSCm = 1 m = 3 m = 5 m = 7

Type-I 0.55414 0.66539 0.66094 0.66447 0.66506 0.66524Type-II 0.55414 0.66539 0.66534 0.66538 0.66539 0.66539

������������� �!� �������!�������� �����m�+4,&�

������ ����� ��������������������������������� ��������

ϵBP ϵMAP ϵSCm = 1 m = 3 m = 5

SC-PCCs 0.64282 0.65538 0.65538 0.65538 0.65538SC-SCCs 0.61184 0.66154 0.65190 0.66140 0.66153

+4,��&������ ���%��&�����!��%� ����&��� �������� �%��'�� ��������"��!��� ��������*����� �������� � ��#���!������!���)����������%(����%�2013&�+5,��&�����!��%��&������ ���%� ����&��� �������� �%�'�� � ��#���!������!���������%(��������&�6��������� ��� ���#�����!������!����������-����� �"�������� �������������%�2013&�

Page 20: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

� �������� ��������� �����

18

•� �$���.��������� �� �� ���������� ����� ' !�� �

/60��+ ����)� +. +�����)�+�+��$'��)������+�+�� !��)�,�� ���������������!��� ����� �!$��"����������$����� ���������$� ��� )-�������+���!���+��'��+�����$�������� �1��!���"%��������+����+�5345+�

Definition [8]: A scalar admissible system (f, g), is defined by the recursion

x(i) = f!g(x(i−1)); ε

",

where f : [0, 1]×[0, 1] → [0, 1] and g : [0, 1] → [0, 1] satisfy the following conditions:

• f is increasing in both arguments x, ε ∈ (0, 1]

• g is increasing in x ∈ (0, 1]

• f(0; ε) = f(x; 0) = g(0) = 0

• f and g have continuous second derivatives

ut

vUt

vLt

N

N

TU

TL

NTO

TI 2N

ut

vOt

vIt

N

N

TU

TL

ut

vLt

vUt

�������� ����� �������

����*�����$��!�������$�"�� �� ������$� �������!������������&�

Page 21: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

� �������� ��������� �����

19

•� ��"��#����%��#��,�

192��-����%��+�-���"���� +������-�� ����������"+�. � �!�������"% �#����� ����#���)���%������ % ��0���������!��&� �"������� )�� �!% ���������+/��"������� ����� ��-�� ��6457-�

U(x; ε) =

# x

0

$z − f(g(x); ε)

%g′(z)dz

= xg(x)−G(x)− F (g(x); ε),

where F (x; ε) =& x0 f(z; ε)dz and G(x) =

& x0 g(z)dz.

•� � ��� "),�����(�������"����"������ ��% !����( x = f (g(x); �) ) �� �!����!�"����!"�#��� )�����"����"����� �!����������"��#����%��#���U (x; �)��

•� � �!�����!�"% �#����������� �&���%!����"�����"��#����%��#���192+������'����"���!"��!���������+���!"� ��"���-����182-�

Page 22: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

�������� �����

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1�0.1

�0.05

0

0.05

0.1

0.15

x

U(x

;ε)

ε = 0.6ε = 0.6428ε = 0.65ε = 0.6554ε = 0.7

������� ����������������������G'"$�%!&#

ut

vUt

vLt

N

N

TU

TL

���� ��� ��� εBP = sup

'ε ∈ [0, 1]|U ′(x; ε) > 0, ∀x ∈ (0, 1]

(

���������� ��� ��� ε∗ = sup

'ε ∈ [0, 1]|U(x; ε) ≥ 0, ∀x ∈ [0, 1]

(.

������������� ������������������� �� �������������� ��� ������������������������ �������� ������

Page 23: €¦ · Consider a sequence of L independent blocks Interleaver ariable nodes 2. Interconnect (couple) neighboring blocks by spreading edges v U t v L t u t. 7 Spatially Coupled

�����������

�� ������� ��� �������������"������� ������&������� ��%��� ���������������� ��� ����� ��������������� ��� ����� ��� � ��������������� ����

�� �!��� �����"����������������������������������� �������� ������������������� ����������������������

�� �����#���������������� ��������������� ��� ���� �����������������"������#������������������������������� ���

�� ������������������������������� ��������"� �������������� ��������%��� � �����������������������

��

21