UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Cantidad de
movimientoMARCO TEORICOEnmecnica clsica, la cantidad de movimiento
se define como elproductode lamasadel cuerpo y suvelocidaden un
instante determinado. Histricamente, el concepto se remonta
aGalileo Galilei. En su obraDiscursos y demostraciones matemticas
en torno a dos nuevas ciencias, usa el trmino italianoimpeto.
Mientras queIsaac NewtonenPrincipia Matemticausa el trmino
latinomotus (movimiento).Momentoymomentumson palabras directamente
tomadas del latnmomentum, trmino derivado del verbo mover.El trmino
difiere de lo que cotidianamente conocemos como impulso y fue
acuado porIsaac Newtonen susegunda ley, donde lo llamvis motrix,
refirindose a una especie de fuerza del movimiento.
Newton le dio el nombre de movimiento a esta cualidad de un
objeto en movimiento. Hoy se le llama cantidad de movimiento o
momento lineal.Y se define del modo siguiente.
Cantidad de movimiento = masa x velocidad=m.
Dondees el smbolo con que se representa la cantidad de
movimiento. es un vector que apunta en la misma direccin que.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO-PARTCULAConceptos bsicos: Cantidad de
movimiento linealCantidad de movimiento lineal,momento
lineal,mpetuomomentumes unamagnitud fsica fundamentalde
tipovectorialque describe elmovimientode un cuerpo en cualquier
teoramecnica.La definicin concreta de cantidad de movimiento
difiere de una formulacin mecnica a otra: enmecnica newtonianase
define para unapartculasimplemente como el producto de su masa por
la velocidad, en lamecnica lagrangianaohamiltonianase admiten
formas ms complicadas ensistemas de coordenadas no cartesianas, en
la teora de la relatividadla definicin es ms compleja aun cuando se
usansistemas inerciales, y enmecnica cunticasu definicin requiere
el uso deoperadores auto adjuntosdefinidos sobre unespacio
vectorialde dimensin infinita.IMPETU: Movimiento fuerte, acelerado
y violento:
IMPULSOEnmecnica, se llamaimpulsoa lamagnitud fsica, denotada
usualmente comoI, definida como la variacin en elmomento linealque
experimenta unobjeto fsicoen un sistema cerrado. Si consideramos
unamasaque no vara en el tiempo sujeta a la accin de una fuerza
tambin constante, la cantidad de movimiento se puede tomar como el
simple producto entre lavelocidad() y lamasa(). Segn lasegunda ley
de Newton, si a unamasase le aplica una fuerzaaqulla adquiere
unaaceleracin, de acuerdo con la expresin:
Multiplicando ambos miembros por el tiempoen que se aplica la
fuerza designada:
Como , tenemos:
y finalmente:
que es equivalente a (1) cuando la fuerza no depende del
tiempo.
Unimpulsocambia elmomento linealde un objeto, y tiene las mismas
unidades y dimensiones que el momento lineal.
Ecuacin de la cantidad de movimiento e impulso
Considere una partcula de masa m sobre la que acta una fuerza F.
Como se vio en la segunda ley de Newton puede expresarse en la
forma.
. (1)
Donde mv es la cantidad de movimiento lineal de la partcula. Al
multiplicar ambos lados de la ecuacin (1) por dt e integrar a
partir del tiempo t1 hasta el tiempo t2, se escribe
O al trasponer el ltimo trmino.
. (2)
La integral en la ecuacin (2) es un vector conocido como impulso
lineal, o simplemente impulso, de la fuerza F durante el intervalo
considerado.Al descomponer F en componentes rectangulares, se
escribe
Se advierte que las componentes del impulso de la fuerza F son,
respectivamente, iguales a las reas bajo las curvas que se obtienen
al graficar las componentes Fx, Fy y Fz en funcin de t.
En el caso de una fuerza F de magnitud y direccin constantes, el
impulso se representa mediante el vector F (t2 t1), que tiene la
misma direccin que F.
Si se usan unidades del SI, la magnitud del impulso de una
fuerza se expresa en N.s. Sin embargo, al recordar la definicin del
newton, se tiene:
Para la cantidad de movimiento lineal de una partcula. De tal
modo, se verifica que la ecuacin (2) es dimensionalmente correcta.
Si se usan unidades de uso comn en Estados Unidos, el impulso de
una fuerza se expresa en lb.s.
La ecuacin (2) expresa que cuando sobre una partcula acta una
fuerza F durante un intervalo dado, la cantidad de movimiento final
mv2 de la partcula puede obtenerse al sumar vectorialmente su
cantidad de movimiento inicial mv1 y el impulso de la fuerza F
durante el intervalo considerado.
Se escribe: (3)
Si bien la energa cintica y el trabajo son cantidades escalares,
la cantidad de movimiento y el impulso son cantidades
vectoriales.
Para obtener una solucin analtica, es necesario entonces
sustituir la ecuacin (3) por las correspondientes ecuaciones de
componentes:
Cuando varias fuerzas actan sobre una partcula, debe
considerarse el impulso de cada una de las fuerzas. Se tiene..
(4)
Cuando un problema incluye dos o ms partculas, cada partcula
puede considerarse por separado y la ecuacin (4) se escribe para
cada partcula. Tambin es posible sumar vectorialmente las
cantidades de movimiento de todas las partculas y los impulsos de
todas las fuerzas implicadas. Se escribe entonces
Puesto que las fuerzas de accin y reaccin ejercidas por las
partculas entre s forman pares de fuerzas iguales y opuestas, y
puesto que el intervalo de T1 a T2 es comn para todas las fuerzas
implicadas, los impulsos de las fuerzas de accin y reaccin se
cancelan y slo necesitan ser considerados los impulsos de las
fuerzas externas.Si no se ejerce fuerza externa sobre las partculas
o en otras palabras fuerzas externas es cero.Entonces:
Considere, por ejemplo, dos botes, de masa mA y mB, inicialmente
en reposo, que estn siendo jalados uno por el otro
Como se ignoran todas las fuerzas externas y como los cuerpos
estn en equilibrio se puede escribir de esta forma:
Donde vA y vB representan las velocidades de los botes despus de
un intervalo finito. La ecuacin obtenida indica que los botes se
mueven en direcciones opuestas (uno hacia el otro) con velocidades
inversamente proporcionales a sus masas.
CONSERVACIN DEL MOMENTO LINEAL
La ley de conservacin de la cantidad de movimiento seala que si
sobre un sistema de partculas no actan fuerzas externas o la suma
de las fuerzas externas es nula, entonces la cantidad de movimiento
total del sistema es constante
El valor de este concepto se hace tangible cuando se enfoca la
atencin no a un cuerpo nico, sino a un sistema de muchos cuerpos
que interactan entre s, pero sobre los cuales no acta fuerza
externa alguna. Para aclarar lo anterior se comienza describiendo
el ms sencillo de esos sistemas, el que consiste de dos cuerpos de
masasm1ym2. Si esos dos objetos chocan, la cantidad de movimiento
de cada uno cambiar. Pero, segn la tercera ley de Newton, la
fuerzaF12, que ejercem1ym2, debe ser igual en magnitud, pero en
direccin opuesta aF21, la fuerza quem2, ejerce sobrem1. Esto
es,F=F12+F21= 0; donde+=constante=
FUERZAS EXTERNAS
Son aquellas que ejercen los agentes externos al sistema sobre
una partcula del mismo. Las fuerzas externas pueden variar la
cantidad de movimiento total de un sistema.
FUERZAS INTERNASSe considera que una fuerza es interna si es la
que aplica una partcula del sistema sobre otra que tambin pertenece
al mismo sistema. Las fuerzas internas se caracterizan adems porque
1. La resultante de las fuerzas interiores de un sistema es nula,
ya que al calcularla se suma cada accin con su correspondiente
reaccin.2. Pueden producir variaciones en la cantidad de movimiento
de las partculas que componen un sistema, pero no alteran la
cantidad de movimiento del mismo
En el caso de los astronautas que se empujan en el espacio
exterior, podemos advertir que no hay fuerzas externas actuando
sobre ellos. Siendo las fuerzas de contacto las que producen el
cambio en el estado de movimiento.
Lo que nos dice que cuando las fuerzas externas son nulas, la
cantidad de movimiento total del sistema se conserva.La ley de
conservacin de la cantidad de movimiento seala que si sobre un
sistema de partculas no actan fuerzas externas o la suma de las
fuerzas externas es nula, entonces la cantidad de movimiento total
del sistema es constante.Recordando el teorema del impulso
mecnico:
Si la fuerza resultante es nula, tambin ser nula la variacin el
momento lineal, lo que equivale a decir que el momento lineal es
constante:
Si te fijas, la conservacin de la cantidad de movimiento de un
cuerpo equivale al Principio de inercia.Si la resultante de las
fuerzas que actan sobre el cuerpo es nula, su momento lineal o
cantidad de movimiento es constante y si la masa del cuerpo es
constante, su velocidad tambin lo es. Este razonamiento lo podemos
expresar as:
y si
ENTONCES DIREMOS; y si (Resultante de las fuerzas externas) =
0;
; (Cantidad de movimiento)LO QUE EQUIVALE A DECIR:Si la
resultante de las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo o
sistema de partculas es nula, entonces la cantidad de movimiento
total se conserva.
La conservacin de la cantidad de movimiento se puede generalizar
a unsistema de partculas.Un sistema de partculas es un conjunto de
cuerpos o partculas del que queremos estudiar su movimiento.La
cantidad de movimiento o momento lineal de un sistema de partculas
se define como la suma de las cantidades de movimiento de cada una
de las partculas que lo forman:
Si la fuerza que mantiene en rbita a la Estacin Espacial
Internacional desapareciera, la estacin se movera con velocidad
constante (movimiento rectilneo uniforme).
Si se desea acelerar un objeto, es necesario aplicarle una
fuerza. Para cambiar la cantidad de movimiento o momento de un
objeto es necesario aplicarle un impulso. En cualquier caso, la
fuerza o el impulso se deben ejercer sobre el objeto por medio de
algo externo a l. Las fuerzas internas no cuentan
Cuando se dispara una bala con un rifle, las fuerzas presentes
son internas. El momento total del sistema formado por la bala y el
rifle, por tanto no sufre un cambio neto. Por la tercera ley de
Newton de la accin y la reaccin, la fuerza ejercida sobre la bala
es igual y opuesta a la fuerza ejercida sobre el rifle. Las fuerzas
que actan sobre la bala y el rifle lo hacen durante el mismo
tiempo, lo que da por resultado cantidades de movimiento iguales
pero con direcciones opuestas. Aun cuando la bala y rifle por s
mismos han adquirido considerable momento, como sistema no
experimentan cambio alguno en el momento. Antes del disparo, el
momento es cero; despus del disparo, el valor neto sigue siendo
cero. No se gana ni se pierde cantidad de movimiento.
JEMPLOS DONDE SE CONSERVA LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
CHOQUE:Un impacto (choque entre dos cuerpos) es un suceso que
suele tener lugar en un intervalo de tiempo muy corto. Adems se
llama choques a la interaccin de dos (o ms) cuerpos mediante una
fuerza impulsiva.
Caractersticas en los choques:
1)Los dos cuerpos pueden desintegrarse en pedazos.2)Las dos
masas se pueden unir para formar una sola.3) Las masas pueden
permanecer invariables. Aun en este caso hay diversas
posibilidades. Los cuerpos pueden permanecer completamente
inalterados, como cuando chocan dos bolas de billar, o bien se
pueden deformar, como cuando chocan dos automviles.
El momento total de un sistema de cuerpos que chocan no cambia
antes, durante, ni despus del choque. Esto se debe a que las
fuerzas que actan durante el choque son internas fuerzas que actan
y reaccionan dentro del propio sistema-. Hay slo una redistribucin
o compartimiento del momento que exista antes del choque.
ReboteCuando hay rebote se produce una consecuencia interesante
de la conservacin del momento. Considere una bola de golf que choca
con una bola de boliche que se encuentra en reposo. Si el choque es
perfectamente elstico, tal manera que la pelota de golf rebote con
slo una pequesima prdida de rapidez, la bola de boliche retrocede
con casi el doble del momento que la pelota de golf incidente. Esto
es congruente con la ley de la conservacin del momento, porque si
el momento inicial de la pelota de golf es positivo, entonces,
despus del rebote, es negativo
El momento negativo de la pelota de golf es compensado por el
mayor momento de la bola de boliche. El momento neto antes y despus
del choque es el mismo.FASES DE CHOQUE:Mucho se ha estudiado acerca
de la relacin entre las fuerzas de impacto u la deformacin
resultante cuando chocan dos cuerpos, La deformacin de stos resulta
depender de la velocidad de deformacin as como de la temperatura y
del material constituyente de los cuerpos, Sin embargo, es una
suerte que podamos prescindir de los detalles del choque. Para
tener una relacin sencilla entre las velocidades relativas de los
cuerpos antes y despus del choque podemos utilizar la ecuacin que
nos da el teorema de la cantidad de movimiento.El choque de dos
cuerpos consta de dos fases: una fase de deformacin o compresin,
seguida de otra de restauracin o restitucin y se acompaa de una
generacin de calor y sonido:
fase de deformacin:Transcurre desde el instante de contacto
hasta el de mxima deformacin, los dos cuerpos se encuentran
comprimidos por la intensa fuerza de interaccin. Al final de sta
fase, los cuerpos ni siguen aproximndose ni se separan: la
velocidad relativa segn la lnea de impacto es nula.
Fase de restitucin:Transcurre desde el instante de mxima
deformacin hasta el de separacin total, los cuerpos se van
separando a causa de que las fuerzas interiores de los cuerpos
actan de manera que les devuelvan la forma original. Por lo
general, sin embargo, la recuperacin de sta no es total. Parte de
la energa mecnica inicial se disipa, durante el choque, a causa de
deformacin residual permanente de los cuerpos y de las vibraciones
sonoras que se originan.
PLANO DE IMPACTO:Plano en el que se desarrolla los
desplazamientos de dos partculas que chocan o colisionan.
LINEA DE IMPACTO:Recta normal a las superficies en el punto de
impacto.
CLASIFICACIN DE LOS CHOQUES:
a) segn la posicin relativa de los centros de masa de los
cuerpos, la velocidad relativa de los centros de masa y la lnea de
impacto.
1.- Choque central: Cuando los centros de masa de ambos cuerpos
se halla sobre la misma lnea de impacto.
2.- Choque excntrico: Cuando el centro de masa de uno o ambos
cuerpos no se halle sobre la lnea de impacto.Evidentemente, entre
dos puntos materiales slo podr producirse choque central, ya que el
tamao y forma de los puntos se supone que no afectan al clculo de
su movimiento.
b) Segn la orientacin de las velocidades de los cuerpos respecto
a la lnea de impacto.
1.- Choque directo: Cuando las velocidades iniciales de los
cuerpos en colisin tengan la direccin de la lnea de impacto. El
choque directo es una colisin frontal.
2.- Choque oblicuo: Cuando las velocidades iniciales de los
cuerpos en colisin no tengan la direccin de la lnea de impacto.
c) Segn el grado de elasticidad.
1) Choque inelstico:
En stos choques los cuerpos presentan deformaciones luego de su
deformacin. Esto es una consecuencia del trabajo realizado por las
fuerzas impulsivas, lo que conduce a una disminucin de la energa
cintica total de los cuerpos, adems se observar que:
2) Choque elstico:Son aquellas en donde los cuerpos luego de la
colisin conservan la misma energa cintica. Asimismo, la deformacin
experimentada por los cuerpos durante el choque solo es temporal,
observndose que cada uno recupera su forma original terminada la
colisin. Adems se verifica que:
COEFICIENTE DE RESTITUCIN
Cuando dos cuerpos chocan, sus materiales pueden comportarse de
distinta manera segn las fuerzas de restitucin que acten sobre los
mismos. Hay materiales cuyas fuerzas restituirn completamente la
forma de los cuerpos sin haber cambio de forma ni energa cintica
perdida en forma de calor, etc. En otros tipos de choque los
materiales cambian su forma, liberan calor, etc., modificndose la
energa cintica total.
Se define entonces un coeficiente de restitucin (e) a una medida
del grado de conservacin de laenerga cintica, y asimismo la
conservacin de la cantidad de movimientoen un choque entre
partculas clsicas, segn las fuerzas de restitucin y la elasticidad
de los materiales. Es decir, el coeficiente de restitucin e es
igual al cociente, cambiado de signo, entre la velocidad relativa
de los dos puntos despus del choque y dicha velocidad relativa
antes del choque.
El mdulo del impulso de deformacin es, generalmente, mayor que
el del impulso de restauracin . El cociente de estos dos impulsos
se denomina coeficiente de restitucin:
EJERCICIOS DE APLICACINECUACION DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTOEJERCICIO 1Un automvil que pesa 4000 lb desciende por una
pendiente de 5 a una rapidez de 88 pies/s, cuando se aplican los
frenos lo que provoca una fuerza de frenado total constante
(aplicada por el camino sobre los neumticos) de 1500 lb. Determine
el tiempo que se requiere para que el automvil se detenga.
SOLUCIONSe aplica el principio de impulso y la cantidad de
movimiento. Puesto que cada una de las fueras es constante en
magnitud y direccin, cada impulso correspondiente es igual al
producto de las fuerzas y al intervalo t.
EJERCICIO 2. Un bloque de 40 newtons es lanzado horizontalmente
con una velocidad de 2 m/s, sobre la superficie de un carrito que
esta inicialmente en reposo y que tiene un peso de 80 newtons.
Determinar el tiempo que tarde el bloque en detenerse. El
coeficiente dinmico de rozamiento entre amas superficies es de 0.3.
Despreciar el rozamiento de las ruedas y entre el carrito y el
piso.
SOLUCIN Sean la masa y la velocidad del bloque; la masa y
velocidad del carrito Aplicando la ecuacin de la cantidad de
movimiento al conjunto, antes y durante el movimiento: Sustituyendo
valores: Como ; resulta es la velocidad que se alcanza en el
contacto inicial porque posteriormente el bloque se detiene y el
carrito contina movindose. Considerando ahora el impulso y la
cantidad de movimiento del bloque al estar en contacto con el
carrito: siendo F la fuerza de rozamiento que tiene el valor de: ;
donde N es la fuerza normal, que es la reaccin de la superficie de
apoyo sobre el bloque que tiene el valor de 40 newtons, por lo que
el valor de la fuerza de rozamiento es de Sustituyendo valores
considerando positivo el movimiento hacia la derecha: despejando se
obtiene: t=0.455 s. es el tiempo durante el cual el bloque se movi
sobre el carrito.
EJERCICIO 3El bloque A de 10kg se suelta desde el punto de
reposo a 2m por encima de la placa P de 5kg, la que puede
deslizarse libremente a lo largo de las guas verticales lisas BC Y
DE.Determine la velocidad del bloque y la placa justo despus del
impacto. El coeficiente de restitucin entre el bloque y la placa es
e=0.75. Adems, determine la compresin mxima del resorte por el
impacto. La longitud no alargada del resorte es de 600mm.
Solucin:
Conservacin de La energa: Al tener en cuenta el bloque de una
cada de la posicin (1) a la posicin (2) como se muestra en la
Figura:
Conservacin del Momento Lineal: Dado que el peso del bloque A y
la placa P y la fuerza desarrollada en el resorte son no
impulsivas, la cantidad de movimiento de la sistema se conserva a
lo largo de la lnea de impacto (eje y). Haciendo referencia a la
Figura:
Coeficiente de Restitucin:
Comparando las la ecuacin anterior con la obtenida:
Conservacin de la energa: La compresin mxima del resorte se
produce cuando placa P se detiene momentneamente. Si tenemos en
cuenta la cada de la placa de la posicin (3) a la posicin (4) como
se muestra en la Figura.
NOTA: En este ejercicio podemos observar la aplicacin de la
conservacin de la energa para poder obtener los datos
pedidos.CLASIFICACION DE LOS CHOQUES
A. segn la posicin relativa de los centros de masa de los
cuerpos, la velocidad relativa de los centros de masa y la lnea de
impacto.
CHOQUE CENTRALEJERCICIO 4:A la bola A se le da una velocidad
inicial de Va1 = 5 m/s. Si Sufre una colisin directa con la bola B
(e = 0.8), determine la velociad de B y el ngulo justo despus de
rebotar en la baranda ubicada en C (e = 0.6). Cada bola tiene masa
de 0.4 kg. Suponga que las bolas se deslizan sin rodar.
SOLUCION:i) Analizando la colisin del problema podemos darnos
cuenta que no solo se trata de un choque directo, sino tambin de un
choque central ya que la lnea de impacto pasa por los centros de
masa de ambos cuerpos.ii) Calculando la velocidad de B y el ngulo
justo despus de impactar con la banda, sabiendo que el momento
lineal de A y B se conserva antes y despus del
impacto.mA(VA)1+mB(VB)1 mA(VA)2+mB(VB)2iii) Reemplazando los datos
obtenidos:0.4(5)+ 0 0.4(VA)2+0.4(VB)2..(1)iv) Por el coeficiente de
restitucin:e Resolviendo tenemos: (+)0.8(2)v) Resolviendo las
ecuaciones (1) y (2) obtenemos que:(VA)2 0.5 m/s ; (VB)2 4.5 m/svi)
Cuando B impacta con la baranda en el eje Y tambin se conserva el
momento lineal, por lo cual tenemos:mB(VBy)2 mB(VBy)3 Reemplazando
tenemos:(+) 0.4(4.5) 0.4(VB)3; luego se tiene que: (VB)3
2.25.(3)vii) Ahora por el coeficiente de restitucin:e ; Remplazando
los valores conocidos tenemos:(+) Finalmente resolviendo las
ecuaciones (1) y (2); obtenemos que:
B. Segn la orientacin de las velocidades de los cuerpos respecto
a la lnea de impacto.CHOQUE DIRECTOEJERCICIO 5El camin de 5Mg y el
automvil de 2Mg viajan a la velocidad que se indican en el grfico.
Despus de la colisin el automvil se desplaza a 15km/h a la derecha
con respecto al camin. Determine el coeficiente de restitucin entre
el camin y el automvil y la perdida de engra a causa de la
colisin.
Solucin:Conservacin del momento lineal: El momento lineal del
sistema es conservada a lo largo del eje x (lnea de llegada).
Las velocidades iniciales del camin y el coche son (VC)1=
y (VA)1=
Haciendo referencia a la Fig.
Coeficiente de Restitucin: Aqu, =La aplicacin de la ecuacin de
velocidad relativa,
Aplicando la ecuacin de coeficiente de restitucin:
Reemplazando la ecuacin (2) en (3):Entonces: Resolviendo las
ecuaciones. (1) y con el coeficiente de restitucin:
Energa Cintica: La energa cintica del sistema justo antes y
justo despus de la colisin es:
As:
CHOQUE OBLICUOEJERCICIO 6EJERCICIO:Dos discos de igual radio,
que se deslizan por una superficie horizontal lisa, chocan
oblicuamente segn se indica en la figura. El peso del disco A es de
25 N y se mueve hacia la derecha a 1,8 m/s, mientras que el disco B
pesa 10 N y se mueve hacia la izquierda a 0,9 m/s. Si el
coeficiente de restitucin en el choque vale 0,7 y la duracin del
contacto es de 0,001 s, se pide determinar:a) Las velocidades de
los discos inmediatamente despus del choque.b) El tanto por ciento
de prdida de energa a consecuencia del choque.
SOLUCIN:a) Primero se trazan ejes coordenados n y t a lo largo
de la lnea de impacto y perpendicular a ella, segn se indica en la
figura. Luego por simple inspeccin podemos darnos cuenta de que la
distancia vertical que separa los centros en igual al radio r, y
que la distancia entre los centros en 2r. Por tanto, el ngulo que
forma la lnea de impacto con la horizontal se puede determinar
por:
Luego descomponemos las velocidades iniciales en sus componentes
normal y tangencial:
Como la nica fuerza impulsiva que acta sobre el sistema es la
fuerza interior de reaccin (que ejerce en la direccin n), se
conservar el momento lineal en la direccin t, para cada disco y la
componente t de su velocidad no se alterar despus del choque: ; A
continuacin, considerando que los dos discos constituyen un sistema
de puntos materiales, sobre ste no se ejerce ninguna fuerza
exterior impulsiva, en ninguna direccin, por lo que la cantidad de
movimiento del sistema se conservar en todas las direcciones. En
particular, para la direccin n, la conservacin de la cantidad de
movimiento da:
Combinando esta ecuacin con el coeficiente de restitucin: se
tiene: y Por ultimo las velocidades finales se expresan relativas a
sus direcciones horizontals iniciales. El valor de la velocidad
final del disco A es:
Y su direccin relativa a la horizontal viene dada por:;
resolviendo tenemos:
Para el disco B
Resolviendo tenemos: b) La suma de las energas cinticas de los
dos discos antes del choque era:
Despus del choque, la suma de las energas cinticas es:
El tanto por ciento de disminucin de la energa cintica ser: