Économétrie II - UDLrisques-environnement.universite-lyon.fr/IMG/pdf/ectx_ii... · 2016-09-08 · Économétrie II Ch. 6. Spéciﬁcation Formes fonctionnelles Quelle forme fonctionnelle?

Économétrie II

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L3 Économétrie – L3 MASS

Prof. Philippe Polomé, U. Lyon 2

Année 2014-2015

Économétrie II

Ch. 6. Spécification

Rappel

1. E (✏t) = 0 8t : espérance nulle2. X var (✏t) = �2 8t : Homoscédasticité3. X cov (✏t , ✏s) = 0 8t 6= s : Pas d’auto-corrélation4. X E (✏txt) = 0 8t : Exogénéité5. X La matrice X est de plein rang : Pas de multicolinéarité6. Le modèle est correctement spécifié7. La variable dépendante Y est continue

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Table des matières

Ch. 6. SpécificationFormes fonctionnellesTestsRégresseurs omis ou superflusSélection de régresseurE (✏) 6= 0 & rôle de la constante

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Introduction

I 2 aspects : Régresseurs – CoefficientsI Forme fonctionnelle

I Quels régresseurs faut-il inclure dans le modèle ?I Sous quelle forme (linéaire, polynomiale, logarithmique...) ?I Manque t-il des régresseurs ? Y en a t-il de trop ? Faut-il

inclure une constante ?I Quelles conséquences ?

I Le modèle est-il effectivement linéaire en les coefficients ?I Les coefficients sont-il stochastiques ?I Non traité sauf erreurs de mesure en Ch 5

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Formes fonctionnelles

Table des matières


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Quelle forme fonctionnelle ?

I Une régression linéaire (en les coefficients) peut donner de“bons” résultats même si la relation sous-jacente est nonlinéaire

I Approximation locale – théorème de TaylorI Si le modèle est Y = F (X ,�) + ✏ par exemple,I On peut l’approximer par Y ⇡ �

0

+ �1

X + �2

X 2 + R où R estle Reste de Taylor, qui se trouvera dans le terme d’erreur ✏

I C’est surtout pour des variables expliquées discontinues que lemodèle doit vraiment être non-linéaire

I Une infinité de formes fonctionnelle est envisageable :I Logarithmes sur les variables expliquées ou explicativesI Formes quadratiques sur les régresseursI Interactions entre régresseursI . . .

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Forme fonctionnelle : approche interprétative vs. test

I InterprétativeI Que dit la théorie économique ?

I Nature de la relation connue (exponentielle, linéaire. . . ) ?I Concavité / convexité attendue ?

I Quelle interprétation peut-on dériver des résultats ?I y = ↵

1

+ �1

xI y = ↵

2

+ �2

x + �2

x2

I y = ↵3

+ �3

x1

+ �3

x2

+ �3

x1

x2

I y = ↵4

+ �4

ln (x)I ln (y) = ↵

5

+ �5

ln (x)

I ... interprétation de@y@x

,@y@x

1

, élasticités...

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Tests

Table des matières


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Tests

Test 1 : significativité

I Tester l’inclusion de termes quadratiques ou de termes croiséspar des tests sur la significativité des coefficients associés

I t-tests, F-tests

I Rapidement contraignant de tester toutes les combinaisonspossibles

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Tests

Exemple : prix immobilier

I Données hprice1.gdt de Wooldridge dans GretlI 88 prix de ventes déclarés de maisons, 1990, BostonI

price = p = prix de venteI

lotsize = s = surface de la propriétéI

sqrft = h = surface habitableI

bedrooms = c = nombre de chambres

I p = �0 + �1s + �2h + �3c + ✏ ou bienI p = �0 + �1s+�12s

2 + �2h+�22h2 + �3c + µ

I Test H0 : �12 = �22 = 0

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Tests

Exécution dans Gretl

I Menu “ajouter” “carrés des variables sélectionnées”I Menu MCO p = �0 + �1s + �12s

2 + �2h + �22h2 + �3c + µ

I Post-estimation : “Tests” “Omission de variables” : mettre s2

et h2

I Test Wald : F(2, 82) = 14.5 ; p. valeur t 4e-06I Donc R H0 : �12 = �22 = 0I Les carrés sont significatifs : manquaient dans la forme

linéaire ?

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Tests

Test 2 : Le test de Ramsey : RESET

I Idée simplificatrice : Au lieu d’inclure toutes les spécificationspossibles des régresseurs, tester significativité de fonctions dela variable ajustée y

I Effet « combiné » des X

I Procédure en 4 étapes

1. Estimation de la forme linéaire : y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk + ✏2. Valeurs ajustées : y3. Estimation de : y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk+�1y2 + �2y3 + ⌫4. Test de H0 : �1 = �2 = 0 ; test de Fisher F ⇠ F2.n�k�3

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Tests

Exemple Gretl : prix immobilier

I Mêmes données que dans l’exemple précédentI Ramsey “à la main”

I Estimer p = �0 + �1s + �2h + �3c + ✏I p = �0 + �1s + �2h + �3c

I Post-estimation : “sauvegarder” “valeurs ajustées”I Créer le carré de yhat puis le cube

I “définir une nouvelle variable” : Cube_yhat=yhat^3I Estimer p = �0 + �1s + �2h + �3c+�1p2 + �2p3 + ⌫

I Les coef. de ce modèle ne sont pas interprétablesI Tester H0 : �1 = �2 = 0

I R hypothèse : F(2, 82) = 4.67, avec p. valeur = 0.012I 9 variabilité dans p qui n’est pas expliquée par les variables

incluses mais pourrait l’être par leurs carrés/cubes

I Ramsey en post estimation : “tests”I Résultats identiques

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Tests

Test 3 : Alternatives non-imbriquées/anidées/emboîtées

I Deux cas polaires

1. Mêmes régresseurs mais formes fonctionnelles 6=I Par ex. : y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk + ✏I Contre : y = �0 + �1 ln x1 + ...+ �k ln xk + ⌫

2. Mêmes formes fonctionnelles mais régresseurs 6=I Par ex. A : y = X� + ✏I Contre B : y = Z� + ⌫I avec X

TZ 6= Ø (pas nécessairement vide mais peut être vide)

I 2 approchesI Minzon & Richard : Principe “englobant”

I Davidson & MacKinnon : Prédiction

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Tests

1. Mêmes régresseurs mais formes fonctionnelles 6=Approche Minzon & Richard : Modèle englobant

I Estimation d’un modèle complet incluant toutes les formesfonctionnelles des explicatives (possiblement sansinterprétation)

I y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk + �1 ln x1 + ...+ �k ln xk + µI On teste 2 hypothèses nulles (test F par ex.)

I H0X : �

1

= ... = �k = 0I H

0lnX : �1

= ... = �k = 0

I Si on R H0X mais pas H0lnX alors le modèle en ln est validé

par rapport au modèle en niveau

I Nombre important de coef. à estimerI Multicolinéarité (forte corrélation xm et ln xm)

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Tests

1. Mêmes régresseurs mais formes fonctionnelles 6=Approche Davidson & MacKinnon : Prédiction

I Si y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk + ✏ est la bonne spécificationI et donc y = �0 + �1 ln x1 + ...+ �k ln xk + ⌫ la mauvaise

I Alors y = �0 + �1 ln x1 + ...+ �k ln xk ne doit pas êtresignificative dans y = �0 + �1x1 + ...+ �kxk + ↵y + ✏

I Si ↵ n’est pas significatif, le modèle en niveau est validé parrapport au modèle en ln

I S’il est significatif, on ne peut conclure

I On procède pareillement avec l’autre modèle

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Tests

2. Mêmes formes fonctionnelles mais régresseurs 6=Approche Minzon & Richard : Modèle englobant

I Soit X2 les régresseurs présents dans A y = X� + ✏ mais pasdans B y = Z� + ⌫

I Soit Z2 les régresseurs présents dans B mais pas dans AI On estime le modèle englobant selon B :

Y = Z� + X2�2 + ⌫2I On teste H

0

: �2

= 0 (test en z)I Si �2 n’est pas significativement 6= 0, alors A n’apporte rien de

plus que BI On dit que B est englobant par rapport à AI Ce qui valide B

I On teste pareillement le modèle englobant selon A :Y = X� + Z2�2 + ✏2

I Mêmes remarques que pour le cas polaire 1I Beaucoup de coef., multicolinéarité

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Tests

Interprétation des tests de spécification

I Il est possible qu’aucune des deux spécifications n’apparaissedominer l’autre :

I Les deux spécifications sont rejetéesI Significativité des coefficients pour les deux alternatives dans

le test de Davidson et MacKinnonI H

0

: �1

= ... = �k = 0 et H0

: �1

= ... = �k = 0 sontacceptées dans le test de Minzon et Richard

I Nécessité de spécifier un modèle plus completI Les deux sont acceptées

I Les deux spécifications sont « également » acceptables.I On peut comparer les valeurs des R2 pour choisir la

spécification.I Les données sont “trop molles” pour pouvoir trancher (si tant

est qu’il faut trancher)

I Rejeter une spécification contre une autre ne signifie pas quela deuxième est la « bonne »

I Elle pourrait être rejetée contre une troisième

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Tests

Exemple Davidson & MacKinnon : prix immobiliers

I Mêmes données que dans l’exemple précédentI Estimer (par exemple) modèle A :

ln p = �0 + �1s + �2h + �3c + ✏I Prédire “in-sample” ˆln p = �0 + �1s + �2h + �3c via

Post-estimation : “sauvegarder” “valeurs ajustées”I Estimer modèle B : ln p = �0 + �1 ln s + �2 ln h + �3 ln c + µ

et prédire de façon semblable, on note la prédiction ˜ln p (avecun tilde)

I Tests de validationI Estimer modèle A avec ˜ln p :

ln p = �0 + �1s + �2h + �3c + ↵1 ˜ln p + ✏I Si ↵

1

n’est pas significatif, le modèle A est validéI Estimer modèle B avec ˆln p :

ln p = �0 + �1 ln s + �2 ln h + �3 ln c + ↵2 ˆln p + ✏I Si ↵

2

n’est pas significatif, le modèle B est validé

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Régresseurs omis ou superflus

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Régresseur omis (hétérogéneité)

I Modèle correctement spécifié Y = �0 + �1x1 + �2x2 + ✏I Modèle estimé Y = �0 + �1x1 + ⌫

I Alors l’effet du régresseur manquant se retrouve dans l’erreurdu modèle estimé : ⌫ = �2x2 + ✏

1. Régresseur manquant n’est corrélé avec aucun régresseurprésent

I Hétéroscédasticité vraisemblablement sivar (x2t) 6= var (x2s) , t 6= s

I Peut-être autocorrélation si corr (x2t , x2s) 6= 0, t 6= sI Terme d’erreur n’a plus une espérance nulle : ci-dessous

2. Régresseur manquant est corrélé à un régresseur présentI Alors, en plus des problèmes ci-dessus : inconsistance

I Exemple de régresseur manquant avec & sans endogénéité :fichier tableur Regr manquant.ods

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Régresseur superflu

I Si le modèle correctement spécifié est Y = �0 + �1x1 + ⌫

I Mais que le modèle estimé est Y = �0 + �1x1 + �2x2 + ✏

I Si le modèle Y = �0 + �1x1 + ⌫ était correctement spécifié audépart, le terme d’erreur est un bruit blanc

I ⌫ = �2x2 + ✏, ⌫ bruit blanc, comme �2 = 0, ✏ est aussi unbruit blanc

I En particulier, il n’est pas corrélé (avec quoi que ce soit)

I Donc E⇣�2

⌘= 0

I Mais si corrélation(x1, x2) 6= 0, alors il peut apparaître de lamulticolinéarité, qui induit une perte de significativité de tousles régresseurs (1er semestre)

I Exemple fichier tableur Regr manquant.ods

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Étendue du problème

I Inhérent à toute analyse économétriqueI Certains régresseurs sont inobservables ou difficilement

mesurablesI dynamisme, charisme, capital social d’un individu, esprit

d’équipe dans une entreprise . . .

I Certains régresseurs sont indisponiblesI questions non posées, réponses biaisées sur des sujets sensibles

. . .

I Il faut bien rester conscient que certaines variables peuventcapter des effets plus larges “confondants” que ce pourquoielles sont incluses dans le modèle

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Sélection de régresseur

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I En pratique, quel est l’ensemble des régresseurs pertinents ?I La théorie n’aide pas toujours car se concentre sur quelques

régresseursI p.e. équation de demande d’un bien

I devrait dépendre du prix et du revenu de l’acheteur,I peut aussi dépendre d’autres caractéristiques du bien

(packaging, marketing...) ou de l’acheteur (profilsociologique)...

I Sélection successive forward step : intégrer régresseurs 1 à 1I Dans beaucoup de logicielsI À exclure car statistiquement incorrect

I Les régressions antérieures peuvent présenter del’inconsistance suite à l’absence de regresseurs pertinents

I Les tests effectués dans la régression s sont conditionnels auxdécisions prises sur les régressions antérieures

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Méthodologie la plus couramment admise

I Partir d’un ensemble général de régresseurs sur based’arguments économiques / théoriques / intuitifs mais passtatistiques

I Éviter multicolinéaritéI Éviter data mining (inclusion de régresseurs sur base d’erreurs

de type I ou faux positifs)

I Enlever des régresseurs non significatifs si on juge le modèletrop complexe ou trop colinéaire

I Mais pas une obligation : intéressant de montrer lanon-significativité

I Utiliser le test de Wald / F (nullité de plusieurs coefficients) etle test des modèles non-emboîtés

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E (✏) 6= 0 & rôle de la constante

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E (✏) 6= 0

I Ne peut être détecté carnX

i=1

✏ = 0 dès que le modèle comporte

une constante (sans preuve)I Nature du problème

I 8✏ on peut écrire ✏ = a+ µ, avec E (µ) = 0I donc Y = �0 + �1X + ✏ = �0 + �1X + a+ µ = � + �1X + µ

I � biaisé & inconsistant pour �0 et/ou a : problèmed’identification

I Pas d’effet sur autres coefficientsI

Sauf si E (✏) 6= 0 à cause de l’omission d’un régresseurI Dans ce cas, si le régresseur omis est corrélé aux régresseurs

présents...

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Flexibilité & rôle de la constante

I Sans point autour du zéro, l’intercept est estimé avec unevariance importante

I Que E (✏) soit = 0 ou non n’a alors guère d’importanceI �0 alors paramètre de flexibilité : permet que la pente s’ajuste

I Pour cette raison, en général on inclut une constante, mêmenon significative, dans tout modèle

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