Conjuntos ordenados

Conjuntos Ordenados

Elementos Distinguidos de un Conjunto Ordenado

Isomorfismo

Conjuntos Ordenados

Orden Amplio: Sea el conjunto A y la relación R: A A, si R cumple con las

propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva entonces es una relación de orden

amplio u orden.

Se dice que el conjunto A es un conjunto ordenado y se indica ( A; ).

Sean a, b A, a b decimos “a precede a b” si a es anterior a b en el orden establecido

Sean a, b A, si a b y b a, decimos que a y b no son comparables y se indica a II b.

Orden Estricto: Sea el conjunto A y la relación R: A A, si R cumple con las

propiedades asimétrica y transitiva entonces es una relación de orden estricto.

Se dice que el conjunto A es un conjunto estrictamente ordenado y se indica ( A; ).

Orden Parcial y Total: Sea R una relación de orden en A

R es de orden parcial existen pares de elementos incomparables

El orden es total en caso contrario

Si ( A; ) está totalmente ordenado el orden se dice total o lineal y es una cadena

Ejemplo: Sea IN el conjunto de números naturales y la relación R: IN IN / a R b a I b

Por definición: a I b m IN / b = a.m

Reflexiva:

a IN : a = a . 1 a I a a R a

Antisimétrica:

a, b IN: a R b b R a a I b b I a m, n IN /

b = a.n a = b.m a.b = a.n.b.m n.m = 1 n = m = 1 a = b

Transitiva:

a, b, c IN: a R b b R c a I b b I c n, m IN / b = a.n c = b.m

c = a.n.m c = a. p con p = n.m IN a I c

Diagrama de Hasse

Es posible representar un conjunto ordenado y finito mediante un diagrama llamado

de Hasse.

En el diagrama se suprimen los arcos redundantes (bucles o los que son

consecuencias de la transitividad).

Ejemplo: Sea A = { 2, 3, 6, 9, 12, 36 } ordenado por la relación de divisor, el diagrama

de Hasse correspondiente es

2

3

6 12

36

9

Observación

En el diagrama de Hasse se puede

prescindir de los arcos y reemplazarlos

por aristas si se lee de abajo hacia arriba.

2 3

6

12

36

9

Orden Recíproco u Orden Inverso

Sean ( A; ) un conjunto ordenado y R-1 = { ( b, a ) / ( a, b ) R } es la relación inversa o

recíproca, se la llama orden recíproco o inverso y se lo denota .

Ejemplo: Si ( Z; ) es el conjunto ordenado, el orden recíproco es ( Z; ).

Orden Restringido

Sea ( A; ) un conjunto ordenado, sea Ø B A, entonces la restricción del orden a B es:

/ B = ( B x B ) , que indicamos ( B; ) o ( B; / B )

Orden Usual Producto

Sean ( A; ) y ( B; ) dos conjuntos ordenados, se define en A x B, producto cartesiano,

la siguiente relación ( x, y ) R ( z, t ) x z y t.

Se lo denomina orden usual producto.

- 1

1 2

1 2

Ejemplo:

Sea A = { a, b } y la relación = { ( a, a ), ( a, b ), ( b, b ) }

y B = { 0, 1, 2 } y la relación = { ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 0, 2 ), ( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 2 ) }

A x B = { ( a, 0 ), ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( b, 0 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ) }

R = { ( ( a, 0 ), ( a, 0 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 2 ) );

( ( a, 0 ), ( b, 0 ) ), ( ( a, 0 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( b, 2 ) );

( ( a, 1 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 2 ) );

( ( a, 2 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 2 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 0 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 1 ) );

( ( b, 0 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 2 ) ) }

1

2

( b, 2 )

( a, 2 ) ( b, 1 )

( a, 1 ) ( b, 0 )

( a, 0 )

Elementos Distinguidos de un Conjunto Ordenado

Sea ( A; ) un conjunto ordenado

Un elemento a A es maximal si: x A / a x x = a

ningún elemento “lo sigue” excepto si mismo

Un elemento a A es minimal si: x A / x a x = a

ningún elemento “lo precede” excepto si mismo

Ejemplo: Sea A = { a, b, c, d } ordenado según el diagrama

d e

b c

a

Maximales = { d, e }

Minimales = { a }

Observaciones

Los maximales y/o minimales pueden no existir

Los maximales y/o minimales pueden no ser únicos

Si el maximal es único se lo llama máximo o último elemento ( 1A )

Si el minimal es único se lo llama mínimo o primer elemento ( 0A )

Átomos: Sea ( A; ) un conjunto ordenado con primer elemento 0A, los átomos

son los elementos que siguen inmediatamente al primer elemento

Ejemplo: Sea A = { a, b, c, d, e } ordenado según el diagrama de Hasse

e

b c

a

d

Son átomos { b, c }

Cotas. Conjuntos.

Sean ( A, ) un conjunto ordenado y B Ø, B A

k A es cota superior de B si x B , x k

k A es cota inferior de B si x B , k x

El conjunto de las cotas superiores se llama conjunto mayorante

El conjunto de las cotas inferiores se llama conjunto minorante

A la menor de las cotas superiores se la denomina supremo

A la mayor de las cotas inferiores se la denomina ínfimo

Si el supremo pertenece a B entonces es máximo

Si el ínfimo pertenece a B entonces es mínimo

Ejemplo: Sean A = { a, b, c, d, e, f, g, h } un conjunto ordenado según y B = { c, d, f }

g h

f

c d

a b

Minimales = { a, b } en A

Maximales = { g, h } en A

A no tiene primer elemento

A no tiene último elemento

Cotas Superiores = { f, g, h } de B

f es supremo, como f B entonces f es máximo

Cotas Inferiores = { a }

a es ínfimo, como a B entonces B no tiene mínimo

Conjunto bien ordenado

Sea ( A, ) un conjunto ordenado, está bien ordenado si y sólo si todo subconjunto

de A tiene primer elemento, es decir que si B Ø , B A, B tiene primer elemento.

Observaciones

se llama buen orden

Si B Ø, B A B está bien ordenado

Si ( A, ) está bien ordenado A está totalmente ordenado

Ejemplo:

El conjunto de IN de números naturales con la relación es un conjunto bien ordenado.

Isomorfismos

Dos conjuntos ( A, ) y ( B, ) ordenados son isomorfos si existe una función biyectiva

que preserva el orden

A B si f: A B biyectiva / a b f (a) f (b)

Ejemplo: Sean

1

1 2

2

A = { 2, 3, 6, 9, 18 }

ordenado por la

relación de divisor

2 3

96

18 e

dc

a b

B = { a, b, c, d, e }

ordenado según el

diagrama

Si f: A B / f (2) = a

f (3) = b

f (6) = c

f (9) = d

f (18) = e

f es una función biyectiva, que además preserva el

orden, es decir es un isomorfismo