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Conjuntos numéricos Prof.ª: Aline Figueirêdo Nascimento
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Conjuntos numéricos - colegiosete.com.br · cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que a da 3.ª fileira

Dec 03, 2018

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Conjuntos numéricos

Prof.ª: Aline Figueirêdo Nascimento

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Introdução

É indiscutível que os números exercem influência marcante no dia a dia dos seres humanos.

Na economia global, por exemplo, os indicadores de índices e porcentagens nos permitem fazer a leitura e a análise dos resultados alcançados e, consequentemente, prever possíveis mudanças econômicas e sociais em nosso planeta.

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Retomando os conjuntos dos números naturais,

inteiros e racionais(Pág. 4)

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Os conjuntos numéricos já estudados são...

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Relações aplicadas aos conjuntos numéricos

• Relação de pertinência

• Relação de inclusão

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Conjuntos numéricos

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Fração geratriz de uma dízima periódica

São chamados de dízimas periódicas os números decimais não exatos que apresentam, na parte decimal, algarismos que se repetem periodicamente e infinitamente.

Por exemplo:

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Fração geratriz de uma dízima periódica

Denomina-se fração geratriz a fração que gera ou dá origem a uma dízima periódica.

Exemplos:

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Exemplo:

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Nem sempre a parte decimal apresenta apenas os algarismos do período. Então, o que deve ser feito quando a dízima apresentar outros algarismos que não os do período na parte decimal?

É fácil! Basta estabelecer uma equação e resolvê-la, conforme os exemplos:

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Exemplos:

a) 0,1555...

Algarismo do período: 5

Algarismo não periódico: 1

Fração geratriz procurada: x

x= 0,1555...

Procedimentos:

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Exemplos:

b) 3,2111...

Algarismo do período:1

Algarismo não periódico: 2

Fração geratriz procurada: x

x= 3,2111...

Procedimentos:

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Exemplos:

c) 0,12333...

Algarismo do período:3

Algarismo não periódico: 1 e 2

Fração geratriz procurada: x

x= 0,12333...

Procedimentos:

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O número de ouro: curiosidade ou coincidência?

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Durante anos o homem procurou a beleza perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram então o retângulo de ouro. Era um retângulo, com proporções: o lado maior dividido pelo lado menor e a partir dessa proporção tudo era construído. Assim eles fizeram o Parthenon. A proporção do retângulo que forma a face central e lateral, a profundidade dividida pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma proporção ideal de 1,618.

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Os Egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides: cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que a da 3.ª fileira e assim por diante. Durante milénios, a arquitetura clássica grega prevaleceu. O retângulo de ouro era padrão, mas depois de muito tempo - veio a construção gótica com formas arredondadas, que não utilizavam o retângulo de ouro grego.

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Mas no ano 1200, Leonardo Fibonacci um matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos, criou aquela que é provavelmente a mais famosa sequência matemática, a série Fibonacci. A partir de 2 coelhos, Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequência, onde um número é igual à soma dos dois números anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

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Aí entra a 1.ª "coincidência": a proporção de crescimento média da série é 1,618. Os números variam, um pouco acima às vezes, em outras um pouco abaixo, mas a média é 1,618 - exatamente a proporção das pirâmides do Egito e do retângulo de ouro dos gregos. Então, essa descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal proporção, a ponto de os cientistas começaram a estudar a natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas.

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Por exemplo: - A proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas machos numa colmeia é de 1,618. - A proporção que aumenta o tamanho das espirais de um caracol é de 1,618. - A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol é de 1,618. - A proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore a medida que subimos de altura é de 1,618.

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E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas galáxias, as estrelas se distribuem em torno de um astro principal numa espiral obedecendo à proporção de 1,618. Por isso, o número phi ficou conhecido como a divina proporção.

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Por que é que os historiadores religiosos descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria escolhido para fazer o mundo?

Por volta de 1500, com o retorno do Renascentismo, a cultura clássica voltou à moda.

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Michelangelo e, principalmente Leonardo da Vinci, grandes amantes da cultura pagã, colocaram esta proporção natural em suas obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe: ele, como cientista, usava cadáveres para medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece tanto a divina proporção do que o corpo humano, obra prima de Deus.

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Por exemplo:

- Meça a sua altura e depois divida pela altura do seu umbigo até o chão: o resultado é 1,618.

- Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho do seu cotovelo até o dedo: o resultado é 1,618.

- Meça seus dedos, ele inteiro dividido pela dobra central até a ponta ou da dobra central até a ponta dividido pela segunda dobra: o resultado é 1,618.

- Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do seu joelho até o chão. O resultado é 1,618.

- A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua mandíbula até o alto da cabeça dá 1,618.

- Da sua cintura até a cabeça e depois divida só pelo altura do tórax: o resultado é 1,618.

Considere sempre erros de medida da régua ou fita métrica, que não são objetos acurados de medição.

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Tudo, cada osso do corpo humano é regido pela divina proporção. Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis, árvores, arte e o homem, coisas teoricamente diferentes, são todas ligadas numa proporção em comum. Encontramos ainda o número phi em famosas sinfonias como a 9.ª de Beethoven, e em outras diversas obras. Então, tudo isto, seria uma mera coincidência?"

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O número de ouro: curiosidade ou coincidência?

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O número de ouro é representado pela letra fi (ϕ) e é um número irracional. Todo

número cuja representação decimal é infinita e não periódica é chamada de

número irracional.

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O número de ouro: φ

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O número de ouro: φ

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Um número irracional especial

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Um número é denominado de irracional e pertencerá ao conjunto dos números

irracionais, quando não for possível representá-lo como quociente entre dois números inteiros

a e b, com b ≠ 0.

Exemplo: Todas as raízes quadradas de números naturais que não são quadrados perfeitos:

7; 3; 21; √32.

Algumas raízes cúbicas, quartas, entre outras:

33

; 23

; 73

; 5;4

74

.

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Qual é o animal com mais de 3 e menos de 4 olhos?

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πolho

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Chaves quanto você tirou em Matemática?

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Um número irracional especial: 𝝅

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Dentre os números irracionais, o mais famoso é o “pi”, representado pela letra grega 𝝅 , que tem o seu valor expresso por 3,1415926535...

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Números reais

A reunião entre os elementos do conjunto dos números racionais ( ℚ ) e os elementos do conjunto dos números irracionais (𝕀) resulta em um novo conjunto: o conjunto dos números reais, representado por ℝ.

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Números reais

Simbolicamente: ℝ = ℚ ∪ 𝕀.

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Revisando Conteúdo: Grandezas e medidas

Professora: Aline Figueirêdo.

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Ângulos complementares e suplementares

COMPLEMENTARES: são ângulos na qual a soma de suas medidas é igual a 90º e neste caso, um ângulo é o complemento do outro.

Ex.: 40º e 50o (40+50=90) ou

37o e 53o (37+53=90) ou

20o e 70o (20+70=90) ...

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Ângulos complementares e suplementares

SUPLEMENTARES: são ângulos na qual a soma de suas medidas é igual a 180º e neste caso, um ângulo é o suplemento do outro.

Ex.: 50o e 130o (50+130=180) ou 71o e 109º (71+109=180) ou 80o e 100o (80+100=180) ...

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Ângulos congruentes

Ângulos que possuem a mesma medida são chamados de congruentes. O símbolo de congruência é ≡ .

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O.P.V.

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

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Bissetriz

Bissetriz é a semirreta com origem no vértice de um ângulo e que o divide em dois ângulos de mesma medida (congruentes).

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Exemplo 1:

Calcule o valor de x na figura a seguir:

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Exemplo 2:

Calcule o valor de x na figura.

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Exemplo 3:

Calcule o valor dos ângulos a seguir:

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Graus, minutos e segundos

O minuto, cuja notação é ('), é a sexagésima parte do grau, ou seja:

1º = 60'

E o segundo, cuja notação é ("), é a sexagésima parte do minuto, ou seja:

1' = 60"

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Graus, minutos e segundos

Exemplo 1: Transforme 260’ em graus:

Exemplo 2: Transforme 1800” em minutos.

Exemplo 3: Transforme 7º 30’ em minutos.

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Referências

• GIOVANNI. CASTRUCI. GIOVANNI JR. A Conquista da Matemática, 7ª Série. São Paulo; ed. FTD, 2008.

• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade, 7ª série. São Paulo; ed. Atual, 2010.

• IMENES. LELLIS. Matemática, 7ª Série. Editora Ática, 2008.

• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm#m112b15


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